高中数学选修2-2 北师大版 导数的概念与几何意义学案

§2 导数的概念及其几何意义第一课时 导数的概念一、教学目标：1、知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。

2、过程与方法：①通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。

教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为xx f x x f x x x f x f x y ∆-∆+=--=∆∆)()()()(000101 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。

（二）、探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='→∆→)()()()()(00001010lim lim 01。

例1、一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。

求函数)(x f y =在x=2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。

解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）. 当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x=2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。

导数的概念和几何意义（铜鼓中学数学教研组）一、教学目标：理解导数的概念及其几何意义。

二、教学重点：理解以及导数和变化率的关系．会计算函数在某点处的导数，理解导数的实际意义．教学难点: 理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合四、课时安排：1课时五、教学过程[情境导学]如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图像上来考察函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？这就是本节我们要研究的主要内容．探究点一 函数在一点处的导数思考1 导数和平均变化率有什么关系？答 导数就是平均变化率当Δx 趋于0时的极限，记作f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？答 函数在某点处的导数就是函数在这点处的瞬时变化率，导数可以反映函数在一点处变化的快慢程度．思考3 导数在实际问题中有什么意义？答 导数可以刻画事物变化的快慢．例1 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，计算T ′(2)，并解释它的实际意义．解 T ′(2)＝lim Δt →0T (2＋Δt )－T (2)Δt ＝lim Δt →01207＋Δt ＋15－⎝⎛⎭⎫1207＋15Δt ＝lim Δt →0－120·Δt 7(7＋Δt )·Δt＝－12049 (℃/min)． T ′(2)＝－12049(℃/min)表示太阳落山后2分钟蜥蜴的体温以12049℃/min 的速度下降． 反思与感悟 解释导数的实际意义要结合题目中变化的事物，它反映事物变化的快慢． 跟踪训练1 已知正方形的面积S 是边长x 的函数S ＝x 2，计算S ′(5)并说出S ′(5)的意义．解 S ′(5)＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δx ＝lim Δx →0(5＋Δx )2－52Δx ＝lim Δx →010Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(10＋Δx )＝10. S ′(5)＝10说明正方形的面积在边长为5时以10的速度增加．探究点二 导数的几何意义思考1 如图，当点P n (x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3,4)沿着曲线f (x )趋近于点P (x 0，f (x 0))时，割线PP n 的变化趋势是什么？答 当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于确定的位置．这个确定位置的直线PT 称为点P 处的切线．思考2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？答 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．思考3 如何求曲线f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程？答 先确定切点P (x 0，f (x 0)) ，再求出切线的斜率k ＝f ′(x 0)，最后由点斜式可写出切线方程． 思考4 求曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程与求过某点(x 0，y 0)的曲线的切线方程有何不同？答 曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线，点(x 0，f (x 0))一定是切点，只要求出k ＝f ′(x 0)，利用点斜式写出切线即可；而求过某点(x 0，y 0)的曲线f (x )的切线，给出的点(x 0，y 0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切线．小结 (1)导数的几何意义：曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)；(2)欲求曲线切线的斜率，先找切点P (x 0，f (x 0))．例2 已知曲线y ＝x 2，(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P (3,5)的切线方程．解 (1)设切点为(x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0(x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝lim Δx →0x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 20Δx ＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)，由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0，∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，①再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，②联立①，②得，x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)．当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2，此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10，此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x －25.反思与感悟 (1)求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；(2)求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标，再按(1)完成解答．跟踪训练2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?(2)曲线过点P (3,9)的切线方程．解 y ′＝lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0[2(x ＋Δx )2－7]－(2x 2－7)Δx ＝lim Δx →0(4x ＋2Δx )＝4x .(1)设切点为(x 0，y 0)，则4x 0＝4，x 0＝1，y 0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．即曲线上点(1，－5)的切线平行于直线4x －y －2＝0.(2)由于点P (3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)．将P (3,9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0)．解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x －y －15＝0和16x －y －39＝0.跟踪训练3 若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值．解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )3＋3a (x ＋Δx )－x 3－3ax Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3＋3a Δx Δx ＝lim Δx →0[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a . 设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得⎩⎨⎧ a ＝1－322，x 0＝－342.∴a ＝1－322.1．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)h ( ) A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关答案 B2．函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数为( )A ．12B ．6C ．3D ．2 答案 B解析 f ′(1)＝lim Δx →03(1＋Δx )2－3×12Δx ＝lim Δx →03＋6Δx ＋3(Δx )2－3Δx ＝6.3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1 答案 A解析 由题意，知k ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝1，∴a ＝1. 又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A.4．已知曲线f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． 答案 (3,30)解析 设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →02(Δx )2＋4x 0·Δx ＋4Δx Δx ＝4x 0＋4， 令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3,30)．[呈重点、现规律]1．导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x 0，f (x 0))，表示出切线方程，然后求出切点.。

课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0) Δy fx1－fx0 变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ Δx x1－x0 fx0＋Δx－fx0 . Δx
菜 单
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究
(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题． 2．过程与方法 通过对瞬时变化率的研究，体会“逼近”的含义，经过 思考、讨论、探究，抽象概括出导数的定义；并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广，经历建 立导数概念的过程，体会由特殊到一般及认识事物的规律， 并感受其中蕴含的逼近思想；

导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。

只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。

2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。

对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。