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《现代控制理论》课程教案一、教学目标1. 了解自动控制系统的概念，理解自动控制的基本原理和特点。
2. 掌握线性系统的状态空间表示，熟悉状态空间方程的求解方法。
3. 学习控制器的分析和设计方法，包括PID控制、状态反馈控制和观测器设计。
4. 学会运用现代控制理论解决实际工程问题，提高系统的稳定性和性能。
二、教学内容1. 自动控制系统的基本概念和原理自动控制系统的定义、分类和性能指标开环控制系统和闭环控制系统的区别与联系2. 状态空间表示及其应用状态空间方程的定义和求解方法状态转移矩阵和初始状态对系统行为的影响状态空间图的绘制和分析3. 控制器的分析和设计PID控制原理及其参数调整方法状态反馈控制和观测器的设计方法控制器设计实例和仿真分析4. 系统的稳定性和性能分析线性时不变系统的稳定判据系统的瞬时响应、稳态响应和频率响应分析系统性能指标的优化方法三、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、原理和方法，阐述重点难点。
2. 案例分析法：分析实际工程案例，让学生学会运用现代控制理论解决问题。
3. 实验法：安排实验课程，让学生动手实践，加深对理论知识的理解。
4. 讨论法：组织课堂讨论，培养学生独立思考和团队协作的能力。
四、教学资源1. 教材：《现代控制理论》，作者：吴启迪、何观强。
2. 课件：PowerPoint 或其他演示软件制作的课件。
3. 实验设备：控制系统实验平台。
4. 仿真软件：MATLAB/Simulink。
五、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业完成情况和实验报告。
2. 考试成绩：期末考试，包括选择题、填空题、计算题和论述题。
3. 实践能力：实验报告和实际工程问题的解决方案。
六、教学安排1. 课时：共计32课时，其中包括16次课堂讲授，8次实验操作，8次课堂讨论。
2. 授课方式：课堂讲授结合实验操作和课堂讨论。
3. 进度安排：第1-8课时：讲授自动控制系统的基本概念和原理。
第9-16课时：讲解状态空间表示及其应用。
现代控制理论教学设计前言现代控制理论是控制理论的一种重要分支，是现代科学和技术的重要组成部分。
在工业自动化、智能控制和人工智能等领域具有极其重要的应用和发展前景。
因此，在教育教学中，现代控制理论的教学设计具有重要的意义。
授课目标本课程旨在教授学生现代控制理论的基本概念、原理和应用，使学生能够了解掌握现代控制理论的基本知识和方法，并在工作中能够应用现代控制理论解决实际问题。
授课内容第一章现代控制理论概述•控制系统基本概念•控制系统分类和特点•现代控制理论的发展历程第二章线性系统控制•线性系统数学模型•传递函数和频率响应•系统稳定性分析•控制器设计方法第三章非线性系统控制•非线性数学模型•广义线性数学模型•非线性系统稳定性分析•非线性系统控制方法第四章先进控制技术•自适应控制•预测控制•计算智能控制教学方法•讲授法：通过课堂讲授和板书等方式，让学生了解掌握课程中的基本概念和知识点。
•计算机模拟实验：利用仿真软件，给学生提供实验环境，让学生可以模拟控制系统的运行，并进行控制操作。
•课堂互动：通过提问、互动讨论等方式，培养学生的思维能力和解决问题的能力。
考核方式•平时考核：出勤、作业、课堂表现等，占总成绩的30%。
•期中考试：占总成绩的30%。
•期末考试：占总成绩的40%。
实践教学在教学过程中，将针对学生的实际需要进行实践教学。
具体包括：•实验课程设计：通过实验课程设计，让学生能够模拟实际的控制系统，提高学生的实践操作能力。
•项目设计和论文撰写：通过项目设计和论文撰写，让学生将所学的理论知识应用到实际问题中，并提高学生的综合素质和能力。
结语通过以上的授课方式和教学内容，相信学生可以更加深入地了解现代控制理论的基本知识和应用方法。
同时，我们将引导学生通过实验课程设计、项目设计和论文撰写等方式，将所学知识应用到实际问题中，提高学生的实践操作能力和综合素质。
最终，我们希望能够培养优秀的控制工程师和人工智能专家。
现在控制理论的课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解现在控制理论的基本概念，掌握控制系统数学模型的建立方法；2. 学会分析控制系统的稳定性、快速性和准确性，并能够运用相关理论知识解决实际问题；3. 掌握PID控制算法及其在控制系统中的应用。
技能目标：1. 能够运用所学知识，针对具体控制系统进行数学建模；2. 能够运用稳定性、快速性和准确性的分析方法，评价控制系统的性能；3. 能够设计PID控制器，并调整参数以优化系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对控制理论学科的兴趣，激发他们探索未知、解决问题的热情；2. 培养学生的团队合作意识，使他们学会在学术讨论中尊重他人，共同进步；3. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的应用价值。
分析课程性质、学生特点和教学要求，本课程旨在让学生通过理论学习与实践操作相结合，掌握现在控制理论的基本知识，具备分析、设计和优化控制系统的能力。
课程目标具体、可衡量，有助于学生和教师在教学过程中明确预期成果，并为后续的教学设计和评估提供依据。
二、教学内容1. 控制系统基本概念：控制系统定义、分类及其应用；- 教材章节：第一章第一节2. 控制系统数学建模：传递函数、状态空间表达式；- 教材章节：第一章第二节、第三节3. 控制系统性能分析：- 稳定性分析：劳斯-赫尔维茨准则、奈奎斯特准则；- 教材章节：第二章第一节、第二节- 快速性分析：一阶系统、二阶系统的快速性指标；- 教材章节：第二章第三节- 准确性分析：稳态误差的定义及计算方法；- 教材章节：第二章第四节4. PID控制算法：- PID控制器原理及数学表达式；- 教材章节：第三章第一节- PID参数整定方法：Ziegler-Nichols方法、Cohen-Coon方法；- 教材章节：第三章第二节、第三节5. 控制系统设计与应用：- 基于PID控制器的控制系统设计；- 教材章节：第四章- 控制系统仿真案例分析；- 教材章节：第五章教学内容按照课程目标进行科学性和系统性的组织，明确教学大纲的安排和进度。
现代控制理论教案现代控制理论理论教案绪论【教学目的】介绍现代掌控理论的基本原理及方法，以便展开系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。
【教学重点】介绍掌控理论发展的三个阶段并掌控各阶段的主要任务。
【教学方法及手段】课堂教学【课外作业】写作教材【学时分配】2学时【教学内容】本教材绪论部分主要讲述了以下几个问题：一、掌控理论发展简况1）古典控制理论：研究对象以单输入、单输出线性定常系统为主，以传递函数为系统的基本描述，以频率法和根轨迹法为主要分析与设计手段。
2）现代掌控理论以状态状态空间模型为基础，可以研究多输出、多输入、时变、非线性等各种对象；研究系统内部结构的关系明确提出了为控性、能够观测性等关键概念，明确提出了不少设计方法。
3）小系统与智能控制阶段。
二、现代控制理论的基本内容(1)线性多变量系统理论。
这就是现代掌控理论中最基础、最明朗的部分。
它阐明系统的内在想律，从能控性、能够观测性两个基本概念启程，研究系统的极点布局、状态观测器设计和抗干扰问题的通常理论。
(2)最优控制理论。
在被控对象数学模型已知的情况下，寻求一个最优控制规律(或最优控制函数)，使系统从某一个初始状态到达最终状态并使控制系统的性能在某种意义下是最优的。
(3)最优估算理论。
在对象数学模型未知的情况下，最优估算理论研究的问题就是如何从被噪声污染的观测数据中，确认系统的状态，并使这种估算在某种程度下就是最优的。
由于噪声就是随机的，而且不为乎稳中求进随机过程(随机序列)，这种憎况下的状态估算就是卡尔曼明确提出和化解的，故又称卡尔曼滤波。
这种滤波方法就是确保状态估算为线性无偏最轻估计误差方差的估算。
(4)系统辨识与参数估计。
这是基于对象的输入、输出数据、在希望的估计准则下，建立与对象等价的动态系统(即建立对象的数学模型)，由于效学模型一船地说，是由阶致和参数决定的。
因此，要决定系统的阶数和参数(即参数估计)。
三、本课程的基本任务该课程是工业自动化专业的一门重要的专业基础课程。
“现代控制理论”是自动化及其相关专业本科生的一门重要的专业基础课程。
胡皓、王春侠、任鸟飞编著的这本《现代控制理论》适应工程与应用类院校自动化、电气工程及其自动化、测控技术与仪器及相近专业的需要，力图结合系统的物理概念，深入浅出地阐述现代控制理论的最基本内容，包括状态空间的基本概念和分析方法，系统的状态空间描述和各种标准型，系统的运动分析，能控性与能观测性，结构分解和实现问题，以及系统的稳定性分析、状态反馈和状态观测器等；最后通过工程应用实例，归纳和总结状态空间的分析方法和具体应用。
本书叙述深入浅出，理论联系实际，尽可能从实际背景的分析中提出要讨论的问题、概念和方法。
在介绍系统分析和控制系统设计方法的同时，适当地给出了相应的MATLAB函数，便于读者利用MATLAB软件来有效求解控制系统的一些计算和仿真问题，以加深对概念和方法的理解。
本书既适用于电气信息类各专业及其他相关专业作为教材使用，也适用于在职人员和广大读者自学深造使用。
另外，本书配有电子课件，欢迎选用本书作教材的老师索取。
绪论第1章线性控制系统的状态空间描述1.1状态空间模型1.1.1引例1.1.2状态空间的基本概念1.1.3系统的状态空间表达1.1.4状态结构图1.2动态系统状态空间表达式的建立1.3由系统微分方程求状态空间表达式1.3.1系统输入量不含有导数项1.3.2系统输入量含有导数项1.4由状态空间表达式求传递函数1.4.1单输入单输出系统的传递函数1.4.2多输入多输出系统传递函数阵1.5状态矢量的线性变换1.5.1线性非奇异变换1.5.2系统的特征根、特征向量与传递函数矩阵1.5.3一般型转化为对角标准型1.6离散系统的状态空间表示1.6.1由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程1.6.2离散系统的传递函数阵1.7利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换本章小结习题第2章线性控制系统的运动分析2.1线性定常系统状态方程的解2.1.1齐次状态方程的求解2.1.2状态转移矩阵2.1.3非齐次状态方程的求解2.2特定输入下的状态响应2.3凯莱哈密尔顿(Caley Hamilton)定理2.4连续系统的时间离散化2.4.1连续时间线性系统的离散化模型2.4.2连续时间线性系统近似离散化模型2.5线性离散系统的运动分析2.5.1迭代法2.5.2z变换法求解2.6利用MATLAB计算矩阵指数2.6.1利用MATLAB 符号工具箱计算矩阵指数2.6.2求线性系统的状态响应本章小结。
一、教案概述1.1 课程背景《现代控制理论》是自动化、电气工程及其相关专业的一门重要专业课程。
通过本课程的学习，使学生掌握自动控制系统的基本概念、基本原理和基本方法，培养学生分析和解决自动控制问题的能力。
1.2 教学目标（1）理解自动控制系统的数学模型，包括连续系统和离散系统；（2）掌握线性系统的时域分析法、频域分析法；（3）熟悉系统的稳定性、线性度、精确度等性能指标；（4）学会设计PID控制器、状态反馈控制器等；（5）培养学生运用现代控制理论分析和解决实际问题的能力。
二、教学内容2.1 自动控制系统的基本概念（1）自动控制系统的定义；（2）自动控制系统的类型；（3）自动控制系统的性能指标。
2.2 自动控制系统的数学模型（1）连续系统的数学模型；（2）离散系统的数学模型。
2.3 线性系统的时域分析法（1）系统的稳定性；（2）系统的线性度；（3）系统的精确度。
2.4 线性系统的频域分析法（1）系统的幅频特性；（2）系统的相频特性；（3）系统的裕度。
2.5 控制器的设计方法（1）PID控制器的设计；（2）状态反馈控制器的设计。
三、教学方法3.1 课堂讲授通过讲解、案例分析等方式，使学生掌握自动控制系统的相关理论知识。
3.2 实验教学通过自动控制实验，使学生了解和掌握自动控制系统的实际运行情况，提高学生分析和解决实际问题的能力。
3.3 讨论与交流组织学生进行小组讨论，分享学习心得，互相答疑解惑。
四、教学评价4.1 平时成绩包括课堂表现、作业完成情况、实验报告等。
4.2 期末考试包括选择题、填空题、计算题、简答题等，全面测试学生对课程知识的掌握程度。
五、教学资源5.1 教材《现代控制理论》，作者：张发展战略、李翠莲。
5.2 辅助教材《现代控制理论教程》，作者：王庆伟。
5.3 实验设备自动控制实验装置、示波器、信号发生器等。
5.4 网络资源相关在线课程、学术文章、论坛讨论等。
六、教学安排6.1 课时安排本课程共计32课时，包括16次课堂讲授，8次实验教学，8次讨论与交流。
电气控制与 PLC 应用班级：姓名：一．课程重点、主要内容：第一章:常用的低压电器1.常用低压电器的组成及其分类.从结构上看,电器一般都具有两个基本组成部分,即感受部分与执行部分；低压电器按它在电气线路中的地位和作用可分为电压配电电器和低压控制电器两大类.自动空气开关主要有:触头系统,灭弧装置,保护机构及手动操作机构四大部分组成.2.接触器的作用与分类:接触器是由电磁机构,触头系统,灭弧装置,辅助部件组成.3.热继电器,熔断器的作用与选用:熔断器的主要参数:容体的额定电流和熔断电流;选用时,熔断电流是容体的额定电流的2倍.第二章:电气控制基本原理常用的电气控制系统图有电气原理图,电器布线图与安装图.图中所有的元器件都应采用国家统一规定的图形符号和文字符号.由继电器接触器所组成的电气控制电路,基本控制规律有自锁与互锁的控制,点动与连续运转的控制,多地联锁控制,顺序控制与自动循环的控制等.三相异步电动机的三大控制(启动,制动,调速)环节的原理,方法及分类.直流电动机的一般控制(启动,调速,制动)原理,方法,分类.电气控制系统常用的保护环节有过电流,过载,短路,过电压,失电压,断相,弱磁与超速保护等.第三章:典型设备电气控制电路分析1.电气原理图阅读分析基本原则是:先机后电,先主后辅,化整为零,集零为整,统观全局,总结特点.2.分析电路最常用的分析方法是查线分析法.第四章:电气控制系统设计电气控制设计分电气原理图设计和电气工艺设计两部分,电气原理图设计是整个设计的中心环节,是工艺设计和制定其他技术资料的依据.一个电气传动系统一般由电动机,电源装置和控制装置三部分组成.电动机的选择包括电动机种类,结构形式,电动机额定转速和额定功率.第五章:可编程序控制器及其工作原理1.可编程序控制器是以微处理器为核心,综合计算机技术,自动控制技术和通信技术发展起来的一种新型工业自动控制装置.2.PLC的应用大致分为如下几个领域:开关量逻辑控制,模拟量控制,运动控制,监控系统,分布控制系统. 编程序控制器按机构形式分:整体式PLC和模块式PLC. PLC的基本结构由中央处理器(CPU),存储器,输入,输出接口,电源,扩展接口,通信接口,编程工具,智能I/O接口,智能单元等组成. PLC的存储器包括系统存储器和用户存储器两部分.可编程序控制器的软件由系统软件和用户程序两大部分.PLC的编程语言有:梯形图(LAD),指令表(STL),顺序功能流程图(SFC). PLC 采集现场信息即采集输入信号有两种方式:集中采集输入方式,立即输入方式.可编程序控制器的工作过程:输入采样阶段程序执行阶段输出刷新阶段.第六章:S7—200系列可编程序控制器1.S7—200系列PLC的构成,内部元器件.2.S7—200系列PLC的基本指令与功能指令.第七章:FX系列可编程序控制器1.子系列名称.如1S,1N和2N等;2.I/O总点数.如16,32,48和128等;3.单元类型.M为基本单元; E为I/O混合扩展单元及扩展模块;EX为输入专用扩展模块;EY为输出扩展模块;4.输出形式.R为继电器输出;T为晶体管输出;S为晶闸管输出;5.电源和I/O类型等特征.无符号为AC电源,DC 24V输入;D和DS为DC 24V电源等.6.在FX系列PLC中,对每种软继电器都用一定的字母来表示,X 表示输入继电器;Y表示输出继电器;M表示辅助继电器;D表示数据寄存器;T表示定时器;S表示状态继电器.7.FX系列PLC的20条基本指令,两条步进指令.第八章:可编程序控制器的程序设计:1.梯形图按自上而下,从左到右的顺序排列.2.任何一个复杂的梯形图程序,总是由一系列简单的典型单元梯形图组成的.3.PLC在逻辑控制系统中的程序设计方法主要有经验设计法,顺序设计法和继电器控制线路移植法三种.4.根据绘制的功能图来设计PLC梯形图程序的方法,即编辑方式.常用的编辑方式有:使用通用的逻辑指令(即起保停电路)的编程方式,以转换条件为中心的编程方式和顺序控制继电器的编程方式. 二．课程的实际应用：通过学习电气控制及PLC应用课程,我在工作中能够熟练应用常用简单电气控制线路来检修故障；PLC的工程应用、维护和使用以及PLC在机床电气控制线路的应用、分析与维护。
《现代控制理论》教案大纲第一章：现代控制理论概述1.1 控制理论的发展历程1.2 现代控制理论的基本概念1.3 现代控制理论的应用领域1.4 本章小结第二章：线性系统的状态空间表示2.1 状态空间的概念2.2 线性系统的状态空间表示2.3 状态方程和输出方程2.4 本章小结第三章：线性系统的稳定性分析3.1 系统稳定性的概念3.2 线性系统的稳定性条件3.3 劳斯-赫尔维茨稳定判据3.4 奈奎斯特稳定判据3.5 本章小结第四章：线性系统的控制器设计4.1 控制器设计的目标4.2 比例积分微分控制器（PID控制器）4.3 状态反馈控制器4.4 观测器设计4.5 本章小结第五章：非线性系统的控制5.1 非线性系统的基本概念5.2 非线性系统的状态空间表示5.3 非线性系统的稳定性分析5.4 非线性控制器设计方法5.5 本章小结第六章：采样控制系统6.1 采样控制理论的基本概念6.2 采样控制系统的数学模型6.3 采样控制系统的稳定性分析6.4 采样控制系统的控制器设计6.5 本章小结第七章：数字控制系统7.1 数字控制系统的组成与特点7.2 数字控制器的原理与设计7.3 数字控制系统的稳定性分析7.4 数字控制系统的仿真与实现7.5 本章小结第八章：现代控制方法8.1 模糊控制理论8.2 自适应控制理论8.3 神经网络控制理论8.4 智能控制理论8.5 本章小结第九章：现代控制理论在工程应用中的实例分析9.1 工业控制系统中的应用9.2 航空航天领域的应用9.3 交通运输领域的应用9.4 生物医学领域的应用9.5 本章小结第十章：现代控制理论的发展趋势与展望10.1 控制理论研究的新领域10.2 控制理论在新技术中的应用10.3 控制理论的发展前景10.4 本章小结重点和难点解析一、现代控制理论概述难点解析：理解控制理论的演变过程，掌握现代控制理论的核心思想。
二、线性系统的状态空间表示难点解析：理解状态空间的物理意义，熟练运用状态空间表示线性系统。
现代控制理论第3版课程设计一、课程设计背景：现代控制理论是控制理论中的重要分支之一，具有广泛的应用领域。
为了提高学生掌握现代控制理论的能力，促进理论与实践能力的提升，本次课程设计旨在通过解决实际控制问题，让学生深入了解现代控制理论在应用中的基本思想和方法，增强学生掌握现代控制理论的能力。
二、课程设计目标：通过课程设计的实践，学生应该能够：1.理解现代控制理论的基本思想和方法2.能够就现代控制理论的相关问题进行设计和分析3.掌握MATLAB等相关软件的使用三、课程设计内容：1. 题目：基于PID控制的水箱水位控制系统的设计和实现。
2. 系统说明：一个水箱安装在一楼大厅中央，有三个进口管道，水箱水位通过一个测量装置进行实时监测，并且使用一个气泵和一个气压传感器控制水的进出。
系统输入为PID控制器输出的控制信号，输出为水箱水位的实际测量值。
3. 要求：1.对系统进行建模，使用MATLAB/Simulink进行仿真。
2.采用PID控制器设计水位控制系统，使用仿真软件调整PID参数。
3.设计一个数据采集程序，将实际采集到的数据与仿真结果进行比对，进行评估与分析。
4. 实验流程：1.在MATLAB/Simulink中建模，对系统进行仿真。
2.手动控制气泵打开，可以采集到不同水位的实际数值，记录数据。
3.在仿真软件中调整PID控制器，使仿真结果与实际数据尽可能接近。
4.持续采集数据并记录，使用MATLAB进行分析，并对比仿真结果。
5. 提交物品：1.实验报告2.实验程序3.数据分析结果四、课程设计要求：1.充分理解系统建模、PID控制器的设计原理2.熟悉MATLAB/Simulink等相关软件的使用方法3.采集实际数据并进行评分和分析4.编写实验报告并提交五、课程设计评估:1.实验报告40分；2.实验程序30分；3.数据分析结果30分。
六、课程设计注意事项：1.严格遵守实验室规定。
2.实验过程中要注意安全，确保实验室设备的安全。
设计主题：单倒置摆控制系统的状态空间设计班级：09级电气工程及其自动化3班姓名：***学号：P*********日期：2012年5月12日星期六摘要 (1)关键词: (1)1．引言 (1)2.倒立摆数学模型的建立 (1)2.1．主题背景 (1)2.2．抽象出研究对象 (2)3．对被控对象进行分析以及相应仿真 (3)3.1能控性分析 (3)3.2稳定性分析 (3)4.状态观测器的设计 (4)4.1单倒置摆全状态反馈 (4)4.2 方案一：全维观测器的设计 (5)4.3 方案二：降维观测器的设计 (7)4.4 分析比较两种设计方案的性能 (11)5. 结论 (11)参考文献 (12)倒置摆控制系统状态的状态空间设计摘要:倒置摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，对单倒置摆，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动方程，以小车的位移，速度，摆杆与y轴正方向的夹角及摆角变化的速度作为四个状态变量，进而求出系统的状态空间描述，建立数学模型。
其次运用状态反馈极点配置算法，由给定的控制要求求出状态反馈增益矩阵，将极点配置在控制要求的位置，另外考虑到系统的某些状态，如：小车速度和摆杆角速度不容易直接测量等，本文设计了全维状态观测器和降维状态观测器，对状态变量进行了重构并给出了利用Matlab仿真结果及分析。
关键词:倒立摆；状态反馈；极点配置；状态观测器。
1．引言倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，是控制理论的典型研究对象。
只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。
最初研究开始于二十世纪50年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。
倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度、位移和稳定时间直接度量、控制好坏一目了然。
近年来，控制理论不断发展，在其领域取得了一定的成就,形成了多种控制方法。
控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及在实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆就是这样一个被控制对象，倒立摆的种类不仅有简单的单机倒立摆，而且有多种形式的倒置装置，能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。
倒立摆的研究具有重要的工程背景，对倒置系统的研究在理论上和方法论上都有深远的意义，近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。
倒立摆的控制方法在军工,航天和机器人领域有广泛的用途,另外其控制方法和思路在处理一般工业过程中亦有广泛的用途。
机器人行走类似倒立摆系统，而机器人的关键技术至今仍未很好解决，倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服平台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。
因此，倒立摆机理的研究具有重要的应用价值，成为控制理论中很重要的研究课题。
2.倒立摆数学模型的建立2.1．主题背景如图1所示，为单倒置摆系统的原理图。
设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。
小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。
若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。
控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。
图1 单倒置摆系统的原理图 2.2．抽象出研究对象为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。
在本例中，我们为了简化问题，方便研究系统空间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。
设小车的瞬时位置为z ，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为)sin (θl z +。
在控制力u 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有u l z dtd m dt z d M =++)θsin (2222 即u θsin θml - θcos θ)(2=++•••••ml z m M (1)由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有m glsin θθcos )]θsin ([22=+l l z dtd m 即θθθθθθθsin cos sin cos cos 22g l l z =-+••••• (2)式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。
由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u 的条件下，可认为θ、•θ均接近零，此时sin θ≈θ，cos θ≈1，且可忽略θθ•2项，于是有u ml z m M =++••••θ)( (3) θθg l z =+•••• (4) 联立求解式(3) 、式(4)，可得u MM mg z 1+-=••θ (5)u Mlg Ml m M 1)(-+-=••θθ (6) 消去中间变量θ，可得输入变量为u 、输出变量为z 的系统微分方程为u Mlg u M z Ml g m M z-=+-••••1)()4( (7)选取小车的位移z 及其速度•z 、摆角的位置θ及其角速度•θ作为状态变量，z 为输出变量，并考虑恒等式•=z dtdz ，•=θθdtd 及式(5)、式(6)，可列出系统的状态空间表达式为u x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=•Ml M Ml g m M M mg 10100)(0010********0(8a)[]x 0001=y (8b)式中Tz z x ⎪⎭⎫⎝⎛=••θθ假定系统参数M = 1kg ，m=0.1kg ，l = 1m ，g = 9.81m/s 2，则状态方程中参数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01100100001000010A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010b ，()0001=c(9)综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z 、小车的速度•z 、摆角的位置θ及其角速度•θ。
系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。
此时倒置摆的状态空间模型表达式为：u ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=101001100100001000010x x （10）[]x 0001=y其系统的结构图如下：图2 单倒置摆开环系统结构图3．对被控对象进行分析以及相应仿真3.1能控性分析在建立完模型后我们需要对模型进行分析。
作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。
因此我们首先分析它的能控性。
根据能控性的秩判据，并将式（9）的有关数据带入该判据，可得()4==b A b A Abb M 32rank rank （11）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。
换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态x 转移到零。
仿真： 代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1); sys0=ss(A,b,c,d); S=ctrb(A,b)； f=rank(S); if f==ndisp('系统能控') elsedisp('系统不能控') end运行结果： 系统能控3.2稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征方程为： 0)11(22=-=-λλλA I （12）解得特征值为0,0，11，-11。
四个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。
仿真:采用matlab 对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。
如图可知，系统不稳定，不能到达控制目的。
代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0; sys0=ss(A,b,c,d); t=0:0.01:5;[y,t,x]=step(sys0,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')结果：图2 单倒置摆开环系统的个变量的阶跃响应曲线由上面两个方面对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的，需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。
因此我们需要设计两种控制器方案来使系统到达控制的目的，分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计。
4.状态观测器的设计4.1单倒置摆全状态反馈采用全状态反馈。
取状态变量z、z 、θ、θ 为反馈信号，状态控制规律为kx-=vu（13）设()321kkkk=k式中，3~kk分别为z、z 、θ、θ 反馈至参考输入v的增益。
则闭环控制系统的状态方程为v bxbkAx+-=)(设置期望闭环极点为-1，-2，-1+i,-1-i由matlab可求得：k=-0.4，1k=-1，2k=-21.4，3k=-6如下图画出状态反馈系统结构图：图3 单倒置摆全反馈系统结构图仿真：代码：A=[0,1,0,0,;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,11,0 ];b=[0;1;0;-1];c=[1,0,0,0];d=0;N=size(A);n=N(1);sys0=ss(A,b,c,d);P_s=[-1,-2,-1+i,-1-i];k=acker(A,b,P_s)A1=A-b*k;sys=ss(A1,b,c,d);t=0:0.01:5;[y,t,x]=step(sys,t);>> subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4);plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')>> t=0:0.01:10;[y,t,x]=step(sys,t);subplot(2,2,1);plot(t,x(:,1));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z');subplot(2,2,2);plot(t,x(:,2));grid;xlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('z的微分');subplot(2,2,3);plot(t,x(:,3));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta')subplot(2,2,4); plot(t,x(:,4));gridxlabel('t(s)');ylabel('x(t)');title('\theta的微分')结果：k =-0.4000 -1.0000 -21.4000 -6.0000图4 单倒置摆全状态反馈的阶跃响应曲线如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。
