苏教版高中数学必修五不等式单元检测.docx

基本不等式一、填空题：（每小题5分，计50分）1.若x>0,y>0且281x y+=，则xy 的最小值是 ；2.若x 、y R +∈且x+3y=1，则Z 的最大值 ；3.若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是 ；4.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为 ；5.点（x ，y ）在直线x+3y-2=0上，则3273x y++最小值为 ； 6.若数列{n a }的通项公式是281n n a n =+则数列{n a }中最大项 ； 7.设a ，b R +∈，a+2b=3 ，则11a b+最小值是 ； 8.当x>1时，则y=x+21161x x x ++的最小值是 ； 9.已知不等式（x+y ）1()9a x y+≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 ；10.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 吨.二、解答题：（12分×3+14分，计50分）11.在△ABC 中，已知A=600，a=4，求△ABC 的面积的最大值.12.已知x ＞y ＞0，求24()x y x y +-的最小值及取最小值时的x 、y 的值.13.已知a 、b 、c 都为正数，且不全相等，求证：lg lg lg lg lg lg 222a b b c c a a b c +++++>++14.已知定点(6,4)P 与定直线1:4l y x =，过 P 点的直线l 与1l 交于第一象限Q 点，与x 轴正半轴交于点M ，求使OQM ∆面积最小的直线l 方程.参考答案 1.64 2.223.64.45.96.1188.89.410.2012.当且仅当21x y =⎧⎨=⎩时所求的最小值是8 13.略14.设(,4)(0)Q a a a >①6a ≠时，44:4(6)6PQ a l y x a --=-- 令0y =，得4(6)560441M a a x a a --=+=>-- 故1a >2110110(12)211OQM Q M a S y x a a a ∆=⋅==-++-- 1121a a -+≥-，110(12)401a a -++≥-（当且仅当2a =时取“＝”号） 所以当2a =时，min ()40OQM S ∆= ②当6a =时，11624724022OQM Q M S y x ∆=⋅=⨯⨯=> 由①②得，当2a =时，min ()40OQM S ∆=，此时(2,8)Q ，:100PQ l x y +-=。

一、选择题1．设x ，y R +∈，1x y +=，求14x y +的最小值为（ ）． A ．2 B ．4 C ．8 D ．92．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．若x ､y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则22x y +的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．2 D 24．已知实数,x y 满足约束条件5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则241z x y =++的最小值是（ ）A ．14-B ．1C ．5-D ．9-5．若直线l ：()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则21a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．4 C 2 D ．226．已知点（x ，y ）在直线x +2y =4上移动，则24x y +的最小值是（ ） A ．2B ．32C ．6D ．8 7．已知实数x 、y 满足约束条件22x y a x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，且32x y +的最大值为10，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-（）（），则m ，n 之间的大小关系是 A ．m ＝n B ．m ＜nC ．m ＞nD ．不确定9．已知0,0a b >>,,a b 的等比中项是1，且1m b a =+，1n a b =+，则m n +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 10．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A．BC ．1D ．2 11．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123a b +++的最小值为（ ） A．720+B．720- CD．720-12．已知正数x ，y 满足x +y ＝1，且2211x y y x +++≥m ，则m 的最大值为（ ） A ．163 B ．13 C ．2 D ．4二、填空题13．正实数,x y 满足1x y +=，则12y x y++的最小值为________． 14．已知110,0,1x y x y >>+=，则2236x y y xy++的最小值是_________． 15．已知变量x ，y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______．16．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+，则()tan A C -的最大值为__________.17．已知M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，向量()1,0a =，则MN a ⋅的最大值是______.18．满足关于x 的不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是______．19．已知0m >，0n >，且111223m n +=++，则2m n +的最小值为________. 20．设x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值是__________．三、解答题21．定义两个函数的关系：函数()m x ，()n x 的定义域为A ，B ，若对任意的1x A ∈，总存在2x B ∈，使得()()12m x n x =，我们就称函数()m x 为()n x 的“子函数”.设,0a b >，已知函数()f x=23(1)b a b +--，22||11()1822||x g x x a a x x =+-++. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 是()g x 的“子函数”，求22a b ab+的最大值. 22．现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为111623，，；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0<p <1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整.记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)；(2)当E (X 1)<E (X 2)时，求p 的取值范围.23．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)24．已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且24006,040()740040000,40x x R x x xx -<⎧⎪=⎨->⎪⎩， （1）写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.25．已知函数2()3f x x ax a =-++.（1）当7a =时，解不等式()0f x >；（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.26．解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++>．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由“1”有代换利用基本不等式可得最小值．【详解】因为x ，y R +∈，1x y +=，所以14144()559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4x y y x =，即12,33x y ==时，等号成立． 故选：D ．【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式求最小值．解题关键是利用“1”的代换凑配出定值．用基本不等式求最值必须满足三个条件：一正二定三相等．特别是相等这个条件常常会不满足，因此就不能用基本不等式求得最值．2．C解析：C【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的解求出,,a b c 的关系，然后再判断二次函数的图象．【详解】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴2121bacaa⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴2b ac aa=-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x=++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，二次函数的图象，解题关键是掌握一元二次不等式的解集与一元二次方程的解、二次函数的图象之间的关系．3．C解析：C【分析】由不等式组作出可行域，如图,目标函数22x y+可视为可行域中的点与原点距离的平方，故其最小值应为原点到直线2x y+=的距离平方，根据点到直线的距离公式可得选项.【详解】由不等式组做出可行域如图，目标函数22x y+可视为可行域内的点与原点距离的平方，故其最小值为原点到直线2x y+=的距离的平方，由点到直线的距离公式可知，原点到直线2x y+=的距离为22d==，所以所求最小值为2.故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式0Ax By C++≥转化为y kx b≤+（或y kx b≥+），明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.4．A【分析】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.【详解】解：作出不等式组5000x y x y y ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域，如图所示的阴影部分由241z x y =++可得11244z y x =-+-， 则144z -表示直线11244z y x =-+-在y 轴上的截距，截距越小，z 越小， 由题意可得，当11244z y x =-+-经过点A 时，z 最小， 由500x y x y ++=⎧⎨-=⎩可得5522A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 此时552411422z =-⨯-⨯+=-， 故选：A.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题. 5．B解析：B求出圆的圆心与半径，可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，推出22a b +=，利用基本不等式转化求解21a b+取最小值． 【详解】解：圆222410x y x y ++-+=，即22(1)(2)4x y ++-=， 表示以2()1,M -为圆心，以2为半径的圆，由题意可得圆心在直线20(0,0)ax by a b -+=>>上，故220a b --+=，即22a b +=， ∴2212222112242a ba b b a b a b a b a b a +++=+=++++，当且仅当22b a a b=，即2a b =时，等号成立， 故选：B ．【点睛】 本题考查直线与圆的方程的综合应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 6．D解析：D【分析】运用基本不等式2422x y+≥= 【详解】因为20,40x y >>，所以224228x y x y ++≥===，（当且仅当24x y =时取“=”）．故答案为D.【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③等号取得的条件．7．B解析：B【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线32z x y =+，找出使得目标函数32z x y =+取得最大值时对应的最优解，代入目标函数可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值.【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：易知点()2,A a ，由题意可知，点A 在直线2x y +=上或其上方，则22a +≥，可得0a ≥，令32z x y =+，平移直线32z x y =+，当直线32z x y =+经过点A 时，直线32z x y =+在y 轴上的截距最大，此时，z 取得最大值，即max 3226210z a a =⨯+=+=，解得2a =.故选：B.【点睛】本题考查利用线性目标函数的最值求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8．C解析：C【解析】因为a ＞2，所以a －2＞0，所以()112222m a a a a =+=-++≥-- ()12242a a +-⋅=-，当且仅当a ＝3时取等号，故[4m ∈，)+∞．由b ≠0得b 2＞0，所以2－b 2＜2，所以222b -＜4，即n ＜4，故()0,4n ∈．综上可得m ＞n ，故选C ．9．B解析：B【分析】由等比中项定义得1ab = ，再由基本不等式求最值．【详解】,a b 的等比中项是1，∴1ab =，∴m ＋n=1ba++1a b +=a b a b ab +++ = 2()a b + ≥ 44ab = .当且仅当1a b == 时，等号成立．故选B ．【点睛】利用基本不等式求最值问题，要看是否满足一正、二定、三相等．10．D解析：D【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值.【详解】11()2()2f x x b k f b b x b ''=+-∴==+≥= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D.【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11．C解析：C【分析】由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值．【详解】直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b+-+）120=（7()61169611696b b b b -+++-+）≥，当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即b =，a =720+， 故选：C ．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题． 12．B解析：B【分析】根据题意2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x =(4411+++y x )﹣5，由基本不等式的性质求出4411+++y x ＝13(4411+++y x ）[(x +1)+(y +1)]的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案.【详解】根据题意，正数x ，y 满足x +y ＝1， 则2211x y y x +++＝22(1)(1)11--+++y x y x ＝(y +1)+41+y ﹣4+(x +1)+41x +﹣4＝(4411+++y x )﹣5， 又由4411+++y x ＝13(4411+++y x ) [(x +1)+(y +1)], ＝13 [8+4(1)4(1)11+++++x y y x ]≥163， 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立， 所以2211x y y x +++＝(4411+++y x )﹣5163≥﹣5＝13， 即2211x y y x +++的最小值为13， 所以3m ≤，则m 的最大值为13； 故选：B ．【点睛】本题主要考查基本不等式的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题． 二、填空题13．【分析】根据题中条件由展开后利用基本不等式即可求出结果【详解】因为正实数xy 满足所以当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三 解析：7【分析】 根据题中条件，由1222()2212y x y x y y x x y x y x y++++=+=+++，展开后，利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为正实数x ，y 满足1x y +=，所以1222()221237y x y x y y x x y x y x y ++++=+=+++≥+=， 当且仅当y x x y =，即1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立. 故答案为：7.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.14．【分析】由题得化简整理得再利用基本不等式可得解【详解】由得则当且仅当时等号成立此时或；则的最小值是故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一 解析：11【分析】 由题得1x y x y xy xy+=⇒+=，化简整理得()2223636361xy xy x y y xy xy xy xy-+++==+-再利用基本不等式可得解. 【详解】 由110,0,1x y x y>>+=， 得1x y x y xy xy+=⇒+=， 则()2223636x y x y x y y xy xy+++++= ()2223636x y xy x xy y xy xy +-++++== ()236361111xy xy xy xy xy -+==+-≥=， 当且仅当6xy =时等号成立，此时3333 xy⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或3333xy⎧=-⎪⎨=+⎪⎩；则2236x y yxy++的最小值是11.故答案为：11.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线解析：53【分析】作出可行域，令ytx=，OA OByk kx≤≤，所以7,313t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22111222x y x ytxy y x t⎛⎫+⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用函数的单调性即可求最值.【详解】由43040x yx y-+=⎧⎨+-=⎩解得：13575xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以137,55A⎛⎫⎪⎝⎭，由140x x y =⎧⎨+-=⎩解得：13x y =⎧⎨=⎩，所以()1,3B ， y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以OA OB y k k x≤≤, 7075131305OA k -==-，30310OB k -==-，令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， 所以22111222x y x y t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3单调递增， 当3t =时，1713109213791y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 当75t =时，1153233y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以222x y xy +的最大值为53， 故答案为：53. 【点睛】思路点睛：非线性目标函数的常见类型及解题思路： 1.斜率型：()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的a c 倍； 2.距离型：（1）()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；（2）z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.16．【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解：∵由正弦定理边角互化得解析：12【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换，再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅，再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =，将其代入()tan A C -展开式消去tan A ，结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值．【详解】解：∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+，又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦，∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+，∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时，等式不成立，∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3tan tan 2A C =， ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan C A C C A C C C A C C C-==++++-， 又∵ tan 0C >，∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==，即tan C =等号成立， ∴ ()tan tan tan tan tan tan 1tan =21123A C A C C C A C -≤++-=.【点睛】 本题主要考查正弦定理，两角差的正切公式及基本不等式的应用，需要注意的是在利用基本不等式时，要根据条件确定tan 0C >.17．2【分析】据题意由于MN 为平面区域内的两个动点则不等式组表示的为三角形区域根据向量的数量积由于（当且仅当与共线同向时等号成立）从而求得最大值【详解】由作出可行域如图由条件可得由图知不等式组表示的为三解析：2【分析】据题意，由于M ，N 为平面区域0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩内的两个动点，则不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MNa ⋅≤（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立）从而求得最大值.【详解】由0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩作出可行域，如图 由条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可得()()()1,1,2,2,3,1A B C由图知，不等式组表示的为三角形区域，根据向量的数量积，由于MN a MN a MN ⋅≤=（当且仅当MN 与a 共线同向时等号成立），即当MN 所在直线平行于=(1,0)a 所在直线且方向相同的时候得到大值，MN 的最大长度为直线=0x y -与1y =的交点(1,1)与直线4=0x y +-和1y =的交点(3,1)的距离. 22(31)(11)2-+-=，故答案为：2【点睛】解决的关键是对于不等式区域的准确表示，同时能利用向量的数量积来表示得到目标函数，利用a b a b ⋅≤（当且仅当b 与a 共线同向时等号成立）得到结论．属于中档题. 18．【分析】根据题意知不等式对应方程的实数根由此求出写出满足条件的一组有序实数对即可【详解】不等式的解集为方程的实数根为和2且即则满足条件的一组有序实数对的值可以是故答案为【点睛】本题考查了一元二次不等 解析：()2,1--【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出20a b =<，写出满足条件的一组有序实数对即可．【详解】不等式()()20ax b x -->的解集为1{|2}2x x <<， ∴方程()()20ax b x --=的实数根为12和2，且012a b a <⎧⎪⎨=⎪⎩， 即20a b =<，则满足条件的一组有序实数对(),a b 的值可以是()2,1--．故答案为()2,1--．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．19．【分析】先换元令则；再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解：令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析：3+【分析】先换元，令2s m =+，2t n =+，则1113s t +=，226m n s t +=+-；再采用“乘1法”，求出2s t +的最小值即可得解．【详解】解：令2s m =+，2t n =+，则2s >，2t >，且1113s t +=， 2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-， 而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s ts t s t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+，当且仅当2s t t s=，即s =时，等号成立． 2s t ∴+的最小值为3(3+，2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为：3+【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，采用换元法和“乘1法”是解题的关键，考查学生的转化思想、分析能力和运算能力，属于中档题．20．16【分析】作出不等式组表示的平面区域由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大结合图象即可求解的最大值【详解】作出满足约束条件表示的平面区域如图所示：由可得则表示直线在轴上的截距截距越大越大作直线然 解析：16【分析】作出不等式组表示的平面区域，由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大，结合图象即可求解z 的最大值．【详解】作出x 、y 满足约束条件22010240x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩表示的平面区域，如图所示：由2z x y =+可得2y x z =-+，则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距，截距越大，z 越大作直线20x y +=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过A 时，z 最大由10240x y x y -+=⎧⎨--=⎩可得(5,6)A ，此时16z =． 故答案为：16．【点睛】本题主要考查了线性规划知识的应用，求解的关键是明确目标函数中z 的几何意义．属于中档题.三、解答题21．（1）减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞；（2）18.【分析】（1）根据函数的解析式有意义，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解；（2）先求得函数()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭，利用基本不等式，求得函数()g x 的值域为116,)[a -+∞，根据题意，得到2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞，结合基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，函数233()1b f x b +=-有意义， 则满足2430x x -+≥，解得1x ≤或3x ≥，即定义域为{|1x x ≤或3}x ≥，又由函数243y x x =-+在减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞，根据复合函数的单调性的判定方法，可得()f x 的减区间为(],1-∞，增区间为[3,)+∞.（2）由函数233()1b f x b +=--，可得()f x 的值域为233,b a b ⎡⎫+--+∞⎪⎢⎣⎭， 211111()||||20422016||2||2g x x x x a x a a ⎛⎫⎛⎫=+++-≥+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1||||x x =时，即1x =±，等号成立， 所以()g x 的值域为116,)[a-+∞， 因为()f x 是()g x 的“子函数，所以2331,[),[16)b a b a+--+∞⊆-+∞， 所以233116b a b a+--≥-，即13316a b a b +++≤， 又13(3)()103()b a a b a b a b++=++，221331316(3)6422a b a b a b a b ⎛⎫+++ ⎪⎛⎫⎛⎫++≤≤= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭， 当且仅当1338a b a b+=+=时取“=”，即a =b =或a =，b = 所以103()64b a a b ++≤，即2218a b b a ab a b+=+≤ 所以22a b ab+的最大值为18. 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”： （1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.22．（1）见解析（2）0<p <0.3【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X 1的分布列和期望；结合X ～B (2，p )可得随机变量X 2的分布列和期望．（2）由E (X 1)<E (X 2)可得关于p 的不等式，解不等式可得所求． 详解：(1)由题意得X 1的分布列为∴E (X 1)＝1.2×6＋1.18×2＋1.17×3＝1.18. 由题设得X ～B (2，p )，即X 的分布列为22＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3.(2)由E (X 1)<E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3>1.18，整理得(p ＋0.4)(p －0.3)<0，解得－0.4<p <0.3.因为0<p <1，所以0<p <0.3．即当E (X 1)<E (X 2)时，p 的取值范围是()0,0.3.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X 的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX ，DX 即可．23．(1)3.(2)5.【解析】试题分析：（1）求出第年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论； （2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．试题（1）设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元， 则由,可得 ∵，故从第3年，该车运输累计收入超过总支出；（2）∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后,小张的年平均利润为， 当且仅当时，等号成立 ∴小张应当在第5年将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大．考点：根据实际问题选择函数类型, 基本不等式24．（1）2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪=⎨--+>⎪⎩；（2）当x ＝32时，W 取得最大值为6104万美元.【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论．【详解】（1）利用利润等于收入减去成本，可得当040x <时，2()(1640)638440W xR x x x x =-+=-+-；当40x >时，40000()(1640)167360W xR x x x x =-+=--+2638440,04040000167360,40x x x W x x x ⎧-+-<⎪∴=⎨--+>⎪⎩； （2）当040x <时，226384406(32)6104W x x x =-+-=--+，32x ∴=时，(32)6104max W W ==；当40x >时，400004000016736027360W x x x =--+-， 当且仅当4000016x x=，即50x =时，(50)5760max W W == 61045760>32x ∴=时，W 的最大值为6104万美元．【点睛】本题考查分段函数模型的构建，考查利用均值不等式求最值，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.25．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.【分析】（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，24(3)0a a ∴∆=-+≤，即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 26．见解析【分析】由题意，将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．【详解】将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->.当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2{|x x a <或}x a >；【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.。

不等式过关检测11．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |－x 2＋2x ＋3>0}，则集合M ∩N ＝________. 解析：M ＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}， ∴M ∩N ＝{x |－1<x <2}．2．设f (x )＝x 2＋bx ＋1，且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为________．解析：由f (－1)＝f (3)可知对称轴x ＝－b 2＝－1＋32，∴b ＝－2.∴f (x )＝x 2－2x ＋1，∴x 2－2x ＋1>0⇒(x －1)2>0⇒x ≠1.答案：{x |x ≠1，x ∈R }3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表：x－3－2－10 1 2 3 4 y 6 0－4 －6 －6 －46则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是________． 解析：由表可知a >0，且y ＝0时，x ＝－2或3， ∴ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |x <－2或x >3}． 答案：{x |x <－2或x >3}4．不等式x 2－2|x |－15≥0的解集为________． 解析：原不等式为|x |2－2|x |－15≥0， ∴(|x |－5)(|x |＋3)≥0，∴|x |－5≥0，∴x ≤－5或x ≥5. 答案：{x |x ≤－5或x ≥5}5．若2x 2＋1≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是________． 解析：由已知得，2x 2＋1≤24－2x，∴x 2＋1≤4－2x ， 即x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1， ∴2－3≤2x ≤2， 即18≤y ≤2. 答案：[18，2]6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，－x 2－x (x <0)，则不等式f (x )＋2>0的解集为________．解析：当x ≥0时，－x 2＋x ＋2>0⇒x 2－x －2<0，∴－1<x <2，∴0≤x <2.当x <0时，f (x )＋2＝－x 2－x ＋2>0⇒x 2＋x －2<0， ∴－2<x <1，∴－2<x <0.∴不等式的解集为{x |－2<x <2}． 答案：{x |－2<x <2}7．不等式x <2x－1的解集是________．解析：由x <2x －1可得(x －1)(x ＋2)x<0，解得{x |x <－2或0<x <1}．答案：{x |x <－2或0<x <1}8．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：由不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1， 则不等式k 1x ＋a ＋1x ＋b 1x＋c <0满足1x ∈⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1， 解得x ∈(－3，－1)∪(1,2)，即得不等式kxax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)9．设m ∈R ，解关于x 的不等式m 2x 2＋2mx －3<0. 解：当m ＝0时， ∵－3<0恒成立，∴原不等式的解集为R ；当m ≠0时，原不等式化为(mx ＋3)(mx －1)<0， 当m >0时，解得－3m <x <1m；当m <0时，解得1m <x <－3m .综上所述，当m ＝0时，原不等式的解集为R ，当m >0时，原不等式的解集为{x |－3m <x <1m }，当m <0时，原不等式的解集为{x |1m <x <－3m}．10．不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对所有实数x ∈R 都成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式为－x －1<0，不符合题意． (2)当a <0时，Δ＝(a －1)2－4a (a －1)<0， 即－3a 2＋2a ＋1<0， ∴3a 2－2a －1>0，∴a >1或a <－13，∴a <－13.综上所述，a 的取值范围是(－∞，－13)．不等式过关检测21．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝x －2y 的最大值为________．解析：线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z ＝x －2y得y ＝x 2－z 2，当直线y ＝x 2－z 2在y 轴上的截距最小时，z 取得最大值，由图知，当直线通过点A 时，在y 轴上的截距最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －y －2＝0， 解得A (1，－1)．所以z max ＝1－2×(－1)＝3. 答案：32．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，y ≥x ，3x ＋2y ≤5，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：约束条件所对应的可行域如图．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z .由图可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 最大． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3x ＋2y ＝5得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．∴z max ＝2×1＋1＝3.答案：33．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是________．解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y＝－2x ＋z ，作直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.答案：(1,1)4．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≤0，x ≥0，y ≥0，则不等式组表示的区域面积为________，z ＝y ＋2x －1的取值范围是________．解析：易知A (3,0)，B (0,1)，∴S △AOB ＝32，k PA ＝1，k PO ＝－2.∴z ≤－2或z ≥1.答案：32(－∞，－2]∪[1，＋∞)5．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0y ≤－kx ＋4k (k >1)所表示的平面区域为M ，若M 的面积为S ，则kSk －1的最小值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域，易知M 的面积S ＝12×4×4k ＝8k .∵k >1，∴k －1>0.于是，kS k －1＝8k 2k －1＝8(k －1)＋8k －1＋16≥32，当且仅当8(k －1)＝8k －1，即k ＝2时取等号． 答案：326．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x －2y ＋3≥0，y ≥x 所示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于________．解析：画出不等式组所表示的平面区域如图所示，观察图形可知，D (1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离最小，故D 关于直线3x －4y －9＝0对称的点D ′(D ′在Ω2内)的距离|DD ′|最小，D 到直线3x －4y －9＝0的距离为|3－4－9|5＝2，故|DD ′|＝4.答案：47．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：约束条件表示的平面区域为如图所示的阴影部分． 当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴a ＋b ≥2ab ＝4. 答案：48．设z ＝2y －2x ＋4，式中x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1，求z 的最大值和最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤10≤y ≤22y －x ≥1的可行域(如图所示)．令t ＝2y －2x ，则z ＝t ＋4.将t ＝2y －2x 变形得直线l ：y ＝x ＋t2.则其与y ＝x 平行，平移直线l 时t 的值随直线l 的上移而增大，故当直线l 经过可行域上的点A 时，t 最大，z 最大，当直线l 经过可行域上的点B 时，t 最小，z 最小．∴z max ＝2×2－2×0＋4＝8，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.9．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时对应的点有无数多个，求a 的值．解：画出可行域，如图所示，即直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，则直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值．分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时，将会有无数多个点使函数取得最大值．又由于k AC ＝4.4－21－5＝－35，即－a ＝－35，∴a ＝35．不等式过关检测31．如果log 2x ＋log 2y ＝1，则x ＋2y 的最小值是________．解析： 由题log 2x ＋log 2y ＝1， 可得log 2(xy )＝1， 得xy ＝2，又x ＋2y ＝2(x ＋2y )xy ＝2y＋4x ≥2 8xy ＝4， 所以x ＋2y 的最小值是4.答案：42．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，等号成立)，令xy ＝t 得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或者t ≥32，故xy 的最小值为18.答案：183．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值是________．解析：由已知条件可得y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14(x z ＋9z x ＋6)≥14(2 x z ×9zx ＋6)＝3，当且仅当x ＝y ＝3z 时取等号．答案：3 4．若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1；② a ＋b ≤ 2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b ≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤(a ＋b )24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥(a ＋b )24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2＋b 2－ab )＝2(a 2＋b 2－ab )，∵ab ≤1，∴－ab ≥－1，又a 2＋b 2≥2，∴a 2＋b 2－ab ≥1，∴a 3＋b 3≥2，故④错误；1a ＋1b ＝(1a ＋1b )a ＋b 2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故⑤正确．答案：①③⑤5．设a >0，b >0，则以下不等式中，不恒成立的是________．①(a ＋b )(1a ＋1b )≥4 ②b ＋2a ＋2>b a③a ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b④a a b b ≥a b b a 解析：当0<a <b 时，b ＋2a ＋2>ba不成立，所以②不恒成立；由(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)可知，①恒成立；由a ＋b 1＋a ＋b ＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b <a 1＋a ＋b 1＋b ，可知③恒成立； a a b b a b b a ＝a a －b (1b )a －b ＝(a b)a －b， 无论a ，b 的大小关系如何，上式恒大于等于1，故④恒成立． 答案：②6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析：由a x ＝b y ＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3(a ＋b 2)2＝1， 当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：17．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为________．解析：设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100.于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立． 答案：508．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为________． 解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5， 得q 2－q －2＝0，解得q ＝2.由a m a n ＝4a 1，得2m ＋n －2＝24，即m ＋n ＝6. 故1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝56＋16(4m n ＋n m )≥56＋46＝32，当且仅当n ＝2m 时等号成立． 答案：329．设a >0且a ≠1，t >0，比较12log a t 和log a t ＋12的大小．解：∵log a t ＋12－12log a t ＝log a t ＋12t，又t >0，由不等式性质知t ＋1≥2t ， ∴t ＋12t≥1. ①当0<a <1时，log a t ＋12t≤log a 1＝0，∴log a t ＋12≤12log a t .②当a >1时，log a t ＋12t≥log a 1＝0，∴log a t ＋12≥12log a t .10．根据下列条件求最值．(1)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5y的最小值；(2)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(3)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(4)已知x ∈R ，求f (x )＝sin 2x ＋1＋5sin 2x ＋1的最小值．解：(1)法一：由已知条件lg x ＋lg y ＝1， 可得xy ＝10.则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2. ∴z min ＝2，当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 法二：由lg x ＋lg y ＝1，可得y ＝10x.∵2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2. ∴z min ＝2，当且仅当2x ＝x2，即x ＝2，y ＝5时等号成立． (2)∵x >0，∴f (x )＝12x ＋3x ≥2 12x·3x ＝12，等号成立的条件是12x＝3x ，即x ＝2，∴f (x )的最小值是12.(3)∵x <3，∴x －3<0，∴3－x >0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－2 43－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )的最大值为－1.(4)令sin 2x ＋1＝t ， 则t ∈[1,2]，故g (t )＝t ＋5t.任取t 1，t 2∈[1,2]且t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝(t 1－t 2)－⎝⎛⎭⎫5t 2－5t 1＝(t 1－t 2)－5(t 1－t 2)t 1t 2＝(t 1－t 2)⎝⎛⎭⎫1－5t 1t 2 ＝(t 1－t 2)·t 1t 2－5t 1t 2.∵t 1<t 2且t 1，t 2∈[1,2]， ∴t 1－t 2<0，t 1t 2－5<0， 故g (t 1)－g (t 2)>0， ∴g (t 1)>g (t 2)，∴g (t )在[1,2]上是减函数，∴g (t )min ＝g (2)＝2＋52＝92.即f (x )min ＝92.。

2017-2018学年度必修五不等式单元测试一、选择题(共0小题,每小题5.0分,共0分)二、填空题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．2.不等式ax2＋2ax－(a＋2)≥0的解集是∅，则实数a的取值范围是__________．3.下列平面区域所对应的二元一次不等式(组)分别为：(1)(2)(3)(1)____________；(2)____________；(3)___________．4.已知是由不等式组，所确定的平面区域，则圆在区域内的弧长为.5.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为________．6.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．7.方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则m的取值范围是.8.实数x，y满足不等式组则ω＝的取值范围是________．9.已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于_________.10.已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为__________.11.若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．12.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为__________.13.已知0<x<1，则f(x)＝2＋log2x＋的最大值是________．14.由直线和围成的三角形区域(包括边界)用不等式(组)可表示为.15.函数的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中,则的最小值为________．三、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)16.(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？17.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？18.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x(x≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)＝3 000＋50x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)19.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．20.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?21.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?22.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．列出该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间的关系式，并画出相应的平面区域．23.国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.24.解下列不等式：(1)<0；(2)≤1.25.在线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．答案解析1.【答案】15【解析】设购买铁矿石A、B分别为x，y万吨，购买铁矿石的费用为z(百万元)，则，目标函数z＝3x＋6y，由，得，可行域如图中阴影部分所示：设P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z＝3x＋6y过点P(1,2)时，z取到最小值15.2.【答案】－1<a≤0【解析】当a＝0时，－2≥0解集为∅；当a≠0时，a满足条件：解得－1<a<0.综上可知，－1<a≤0.3.【答案】(1)(2)x＋y≤1；(3)【解析】4.【答案】【解析】如图所示，图中阴影部分所在圆心角所对弧长即为所求，易知图中两直线的斜率分别是,所以圆心角即为两直线的所成夹角，所以，所以，而圆的半径是2，所以弧长是.5.【答案】【解析】如下图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．又D(0,1)，B(0,2)，E，C(－2,0)．S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.6.【答案】{x|－3≤x<－2或0<x≤1}【解析】∵∴－3≤x<－2或0<x≤1.7.【答案】(－5，－4]【解析】令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，要使f(x)＝0的两根都大于2，则解得：8.【答案】【解析】如下图，画出满足不等式组的解(x，y)构成的可行域△ABO，求得B(2,2)，根据目标函数的几何意义是可行域上一点与点(－1,1)连线的斜率，可求得目标函数的最小值－1，最大值.故ω的取值范围是.9.【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z＝2x＋y过交点B时，z取最小值，由得∴z min＝2－2a＝1，解得a＝.10.【答案】4【解析】由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z＝·＝x＋y，将其化为y＝－x＋z，结合图形可知，目标函数的图象过点(，2)时，z最大，将点(，2)代入z＝x＋y得z的最大值为4.11.【答案】[－1,6]【解析】∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5.∴－1≤a－b≤6.12.【答案】3，－11【解析】作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z＝3x－4y经过点A时z有最小值，经过点B时z有最大值．易求A(3,5)，B(5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z最小＝3×3－4×5＝－11.13.【答案】2－2【解析】当0<x<1时，log2x<0，所以f(x)＝2＋log2x＋＝2－≤2－2.当且仅当－log2x＝，即(log2x)2＝5，亦即x＝时，等号成立．14.【答案】【解析】画出三条直线，并用阴影表示三角形区域，如下图所示．取原点，将代入得，代入得，代入得，所以三角形区域用不等式（组）可表示为15.【答案】8【解析】由题意知点，则，∴.16.【答案】(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy＝100，篱笆的长为2(x＋y) m.由≥，可得x＋y≥2，2(x＋y)≥40.等号当且仅当x＝y时成立，此时x＝y＝10.因此，这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m；(2)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x＋y)＝36，x＋y＝18，矩形菜园的面积为xy m2.由≤＝＝9，可得xy≤81，当且仅当x＝y，即x＝y＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.【解析】17.【答案】设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车．根据题意，得－2x2＋220x>6 000.移项整理，得x2－110x＋3 000<0.因为Δ＝100>0，所以方程x2－110x＋3 000＝0有两个实数根x1＝50，x2＝60.由函数y＝x2－110x＋3 000的图象，得不等式的解集为50<x<60.因为x只能取整数，所以当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51辆到59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．【解析】18.【答案】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)＝Q(x)＋＝50x＋＋3 000(x≥12，x∈N)，f(x)＝50x＋＋3 000≥2＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x＝，即x＝20时上式取“＝”因此，当x＝20时，f(x)取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．【解析】19.【答案】(1)由于z＝＝，故z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.【解析】20.【答案】①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是解得－<a<1.综上，a的取值范围是.【解析】21.【答案】设使用x年的年平均费用为y万元．由已知，得y＝，即y＝1＋＋(x∈N*)．由基本不等式知y≥1＋2＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．【解析】22.【答案】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，由题意得用图形表示以上限制条件，得到如图的平面区域(阴影部分)．【解析】23.【答案】“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元；“总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%.设税率调低后的“税收总收入”为y元，则y＝2 400m(1＋2x%)(8－x)%＝－m(x2＋42x－400)(0<x≤8)，所以y≥2 400m×8%×78%，即－44≤x≤2.又0<x≤8，所以0<x≤2. 所以x的取值范围是0<x≤2.【解析】24.【答案】（1）{x|－2<x<3} （2）【解析】(1)<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x|－2<x<3}．(2)∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.∴原不等式的解集为.25.【答案】如下图作出线性约束条件下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，作一族与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z.即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即z max＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即z min＝2×1－9＝－7.所以z max＝17，z min＝－7.【解析】。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）高二数学（必修5不等式）专题练习班级 姓名一、选择题1．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于 （ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a2.设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a+b=2，则下列不等式成立的是 （ ）A 、2b a ab 122+<<B 、2b a 1ab 22+<<C 、12b a ab 22<+<D 、1ab 2b a 22<<+ 3．二次方程22(1)20x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是A ．31a -<< B ．20a -<< C ．10a -<< D ．02a << ( )4．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈ C ．2232x y x +=+ D ．21y x x =+- 5．下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当x x x 1,20-≤<时无最大值 6．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点,若01c <<,则a的取值范围是A ．(1,3) B ．(1,2) C ．[)2,3 D ．[]1,3 ( )7．不等式组131y x y x ≥-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩的区域面积是 ( )A ．12B ．32C ．52 D ．18．给出平面区域如下图所示，其中A （5，3），B （1，1），C （1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是 ( )A ．32B ．21C ．2D ．239、已知正数x 、y 满足811x y+=，则2x y +的最小值是（ ）Ａ．18 Ｂ．16 C ．8 D ．10 10．已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为 A 、11{|}32x x -<<B 、11{|}32x x x <->或C 、{|32}x x -<<D 、{|32}x x x <->或 ( )二、填空题11．设函数23()lg()4f x x x =--，则()f x 的单调递减区间是 。

第3章 不等式(时间：120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．(2013·南京检测)若1a ＜1b＜0，则下列不等式：①a ＋b ＜ab ，②|a |＞|b |，③a ＜b ，④b a ＋a b＞2中，正确的是________．(填序号)【解析】 ∵1a ＜1b ＜0，∴a ＋b ＜0，ab ＞0，∴a ＋b ＜ab ，①正确，由1a ＜1b＜0，得0＞a ＞b ，∴|a |＜|b |，②错误，③错误，由题意知b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋ab＞2，④正确．【答案】 ①④2．函数y ＝－x 2－3x ＋4x的概念域为________．【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x －4≤0，x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4≤x ≤1，x ≠0.【答案】 [－4,0)∪(0,1]3．设M ＝(x －1)(x －5)，N ＝(x －3)2，则M 与N 的大小关系为________．【解析】 ∵M ＝(x －1)(x －5)＝x 2－6x ＋5，N ＝(x －3)2＝x 2－6x ＋9，∴M －N ＝(x 2－6x ＋5)－(x 2－6x ＋9)＝－4＜0，∴M ＜N .【答案】 M ＜N4．(2013·烟台高二检测)已知x ＞0，函数y ＝4x＋x 的最小值是________．【解析】 由x ＞0，∴4x ＞0，∴y ＝4x ＋x ≥24x·x ＝4，当且仅当4x＝x 即x ＝2时取等号．【答案】 45．已知点A (3，－1)和B (－1,2)在直线ax ＋2y －1＝0的同侧，则实数a 的取值范围是________．【解析】 因为A (3，－1)和B (－1,2)在直线的同侧，所以(3a －3)·(－a ＋3)＞0，解得1＜a ＜3.【答案】 (1,3)6．(2012·长沙高二检测)A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．【解析】 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x <a }， ∵A ∩B ＝∅，∴a ≤－1. 【答案】 (－∞，－1]7．已知x ，y 知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则2x ＋4y 的最小值为________．【解析】 作出平面区域如图所示，令z ＝2x ＋4y ，欲求z 的最小值，即求y ＝－12x ＋z4在y 轴上截距的最小值，可以看出当直线过点A (3，－3)时，纵截距最小．所以z min ＝2×3＋4×(－3)＝－6.【答案】 －68．设M ＝3x＋3y2，N ＝(3)x ＋y，P ＝3xy(0＜x ＜y )，则M 、N 、P 的大小顺序是________．【解析】 ∵3x＋3y2≥3x ·3y ＝(3)x ＋y，∴M ≥N ，又∵x ≠y ，∴M ＞N ；又∵x ≠y ，∴N ＞P ，∴M ＞N ＞P . 【答案】 M ＞N ＞P9．(2013·无锡检测)不等式x 4－x 2－2≤0的解集为________． 【解析】 原不等式可化为(x 2＋1)(x 2－2)≤0， ∵x 2＋1＞0∴x 2－2≤0，∴x 2≤2，∴－2≤x ≤ 2. 【答案】 [－2， 2 ]10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是________．【解析】 作出可行域如图所示，由题意可知当直线x ＋y ＝a 通过(23，23)时，a ＝43，知足条件，当a ＞43时知足条件，当直线x ＋y ＝a 通过点(1,0)时，a ＝1，∴当0＜a ≤1时知足条件，∴a 的取值范围为0＜a ≤1或a ≥43.【答案】 (0,1]∪[43，＋∞)11．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 【解析】 ∵x ，y ∈R ＋， ∴x ＋4y ＝1≥24xy ，∴xy ≤116.【答案】11612．(2013·德州高二检测)已知x ，y 知足⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，则y ＋7x ＋4∈________. 【解析】 作可行域如图中△ABC 区域．又y ＋7x ＋4的几何意义是区域内点(x ，y )与定点P (－4，－7)连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴ A (－1，－6)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0，∴B (－3,2)．∴k PA ＝13，k PB ＝9，∴13≤y ＋7x ＋4≤9. 【答案】 [13，9]13．设正数a ，b 知足ab ＝a ＋9b ＋7，则ab 的最小值为______．【解析】 因为a ，b 都为正数，所以ab ＝a ＋9b ＋7≥29ab ＋7＝6ab ＋7，当且仅当a ＝9b 时等号成立，因为ab ≥6ab ＋7，解得ab ≥7，所以ab ≥49，故ab 的最小值为49.【答案】 4914．(2013·南通检测)不等式x 2－ax ＋b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式bx 2－ax －1＞0的解集为______．【解析】 由题意方程x 2－ax ＋b ＝0的两根为2,3.∴a ＝5，b ＝6，∴不等式bx 2－ax －1＞0可化为：6x 2－5x －1＞0，即(x －1)(6x ＋1)＞0，∴x ＜－16或x ＞1.【答案】 (－∞，－16)∪(1，＋∞)二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设x ＞－1，求f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1的最值．【解】 ∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，∴f (x )＝x ＋5x ＋2x ＋1＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝x ＋12＋5x ＋1＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2x ＋14x ＋1＋5＝4＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1， 即x ＝1(x ＝－3舍去)时取等号．故当x ＝1时，f (x )有最小值9，f (x )无最大值．16．(本小题满分14分)求z ＝x ＋6y ＋7的最值，使(x ，y )知足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥6，y ≥0.【解】 作可行域如图所示，由图知z ＝x ＋6y ＋7在A 处取到最大值，在B 处取到最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝10，2x ＋y ＝6，解得A (23，143)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝6，y ＝0，解得B (3,0)．所以z max ＝23＋6×143＋7＝3523，z min ＝3＋6×0＋7＝10.17．(本小题满分14分)某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准别离为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益别离为万元和万元，则该公司如何分派在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【解】 设该公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间别离为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y ，二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0，平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.所以点M 的坐标为(100,200)．所以z max ＝3 000x ＋2 000y ＝70 0000元，700 000元＝70万元，即在甲电视台做广告100分钟，在乙电视台做广告200分钟，才能使公司的收益最大，最大收益是70万元．18．(本小题满分16分)(2013·扬州检测)已知f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)若不等式f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)若a ＜0，解不等式f (x )＞1.【解】 (1)显然a ＜0，且－4a 2－14a ＝178，解得：a ＝－2或a ＝－18.(2)由f (x )＞－2x 2－3x ＋1－2a 得：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0. 当a ＝－2时，不合题意；当a ≠－2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝16－4a ＋2a －1＜0，所以a ＞2.(3)ax 2＋x －a －1＞0，即(x －1)(ax ＋a ＋1)＞0 因为a ＜0，所以(x －1)(x ＋a ＋1a)＜0， 因为1－(－a ＋1a )＝2a ＋1a， 所以当－12＜a ＜0时，1＜－a ＋1a ，解集为{x |1＜x ＜－a ＋1a }；当a ＝－12时，(x －1)2＜0，解集为∅；当a ＜－12时，1＞－a ＋1a ，解集为{x |－a ＋1a＜x ＜1}．19．(本小题满分16分)(2013·无锡检测)已知函数f (x )＝x 2－ax (a ∈R )． (1)若不等式f (x )＞a －3的解集为R ，求实数a 的取值范围；(2)设x ＞y ＞0，且xy ＝2，若不等式f (x )＋f (y )＋2ay ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．【解】 (1)即不等式x 2－ax －a ＋3＞0的解集为R ， ∴Δ＝a 2＋4(a －3)＜0恒成立， 即a 2＋4a －12＜0恒成立， ∴－6＜a ＜2.(2)即不等式x 2－ax ＋y 2－ay ＋2ay ≥0恒成立，∴不等式x 2＋y 2≥a (x －y )恒成立．∵x ＞y ＞0，∴a ≤x 2＋y 2x －y.∵x 2＋y 2x －y ＝x －y 2＋2xy x －y ＝(x －y )＋4x －y≥4 (当且仅当x －y ＝4x －y即x ＝1＋3，y ＝－1＋3时取等号)， ∴实数a 的取值范围(－∞，4]．20．(本小题满分16分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．【解】 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则不等式f (x )＞－2x 化为ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.因为不等式的解集为(1,3)，所以a ＜0，－b －2a ＝4，ca＝3，即a ＜0，b ＝－4a －2，c＝3a .因为方程ax 2＋bx ＋6a ＋c ＝0有两个相等的实根，所以Δ＝b 2－4a (6a ＋c )＝0.把b ，c 别离代入Δ中，化简得5a 2－4a －1＝0，解得a ＝－15，a ＝1(舍去)．所以b ＝－65，c ＝－35.所以f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由(1)知a ＜0，所以当x ＝－b 2a 时，函数f (x )取得最大值，由题设，得a (－b2a)2＋b ·(－b2a)＋c ＞0.代入b ，c 并整理得a 2＋4a ＋1＞0.解得a ＜－2－3或a ＞－2＋ 3.又因为a ＜0，所以a 的取值范围为(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．。

2017-2018学年度必修五不等式单元测试一、选择题(共0小题,每小题5.0分,共0分)二、填空题(共15小题,每小题5.0分,共75分)1.设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为.2.不等式组表示的平面区域的形状为_____________________．3.已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad，以其中两个作条件余下一个作结论，则可组成____________个真命题.4.不等式－1<x2＋2x－1≤2的解集是________．5.设f(x)＝x2＋bx－3，且f(－2)＝f(0)，则f(x)≤0的解集为______________.6.建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．7.设,其中实数满足,若的最大值为,则实数________.8.已知变量x、y满足条件设，取点(3,2)可求得z＝8，取点(5,2)可求得z max＝12，取点(1,1)可求得z min＝3，取点(0,0)可求得z＝0，点(3,2)叫做________，点(0,0)叫做________，点(5,2)和点(1,1)均叫做________．9.画出二元一次不等式组表示的平面区域，则这个平面区域的面积为________．10.设x>－1，则函数y＝的最小值是________．11.给定区域:,令点集,则中的点共确定______条不同的直线.12.不等式<2的解集为__________.13.已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．14.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________．15.当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则m的取值范围是________．三、解答题(共10小题,每小题12.0分,共120分)16.如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？17.关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求的取值范围．18.假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x的取值范围．19.设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．20.已知实数x，y满足(1)试求z＝的最大值和最小值；(2)试求z＝x2＋y2的最大值和最小值．21.解关于x的不等式：.22.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？23.已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.24.画出x＋4y<4表示的平面区域．25.若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集为R，求实数a的取值范围．答案解析1.【答案】【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值12，即4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，而＋＝(＋)·＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当a＝b＝时取等号)．2.【答案】正方形【解析】如下图所示的阴影部分，不等式组表示的平面区域是边长为的正方形．3.【答案】3【解析】由不等式性质得⇒bc＞ad；⇒＞；⇒ab＞0.4.【答案】{x|－3≤x<－2或0<x≤1}【解析】∵∴－3≤x<－2或0<x≤1.5.【答案】[－3,1]【解析】∵f(－2)＝f(0)，∴x＝－＝＝－1，而b＝2.∴f(x)≤0⇒x2＋2x－3≤0⇒(x＋3)(x－1)≤0，∴－3≤x≤1.6.【答案】1760【解析】设水池的底面长、宽分别为x m，y m，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.7.【答案】2【解析】可行域如图：由得：，同样地，得，①当时，目标函数在x=4，y=4时取最大值，即直线在轴上的截距最大，此时，，故．②当时，目标函数在时取最大值，即直线在y 轴上的截距z最大，此时，故不存在．综上，．8.【答案】可行解非可行解最优解．【解析】9.【答案】【解析】平面区域如下图所示．S阴＝×1×1＝.10.【答案】9【解析】∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有y＝＝＝t＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.∴当x＝1时，函数y＝取得最小值9.11.【答案】6【解析】画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共5个整点.故可确定5+1=6条不同的直线.12.【答案】【解析】∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴.∴不等式的解集为．13.【答案】[3,8]【解析】作出不等式组表示的可行域，如下图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x－3y＝0，当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值，z min＝2×3－3×1＝3；当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值，z max＝2×1＋3×2＝8.所以z∈[3,8]．14.【答案】(－2,1)【解析】∵f(x)是奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－x2＋2x，作出f(x)的大致图象如图中实线所示．结合图象可知f(x)是R上的增函数，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，即－2<a<1.15.【答案】(－∞，－5]【解析】构造函数f(x)＝x2＋mx＋4，x∈[1,2]，则f(x)在[1,2]上的最大值为f(1)或f(2)．由于当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立．则有⇔⇔⇔m≤－5.16.【答案】(1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.方法一由于2x＋3y≥2＝2，∴2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．方法二由2x＋3y＝18，得x＝9－y.∵x>0，∴0<y<6，S＝xy＝y＝(6－y)·y.∵0<y<6，∴6－y>0，∴S≤·2＝.当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.方法一∵2x＋3y≥2＝2＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由解得故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．方法二由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y＝6≥6×2＝48.当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.【解析】17.【答案】可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与(1,2)内，可令f(x)＝x2＋ax＋2b，则必满足f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，即，得线性可行域如下：由线性规划可知：点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM<k<kBM，∵A(－3,1)，B(－1,0)，∴.【解析】18.【答案】税率降低后是(8－x)%，收购量为m(1＋2x%)万担，税收为120m(1＋2x%)(8－x)%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x%)(8－x)%≥120m·8%·78%，即x2＋42x－88≤0解之得－44≤x≤2，又x＞0，∴0＜x≤2∴x的取值范围是(0,2]．【解析】19.【答案】∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．【解析】20.【答案】(1)由于z＝＝，所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，如图所示，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又∵B(0,2)，C(1,0)，∴z max＝kMB＝3；z min＝kMC＝.∴z的最大值为3，最小值为.(2)z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点A的距离最大，原点到直线BC的距离最小．故z max＝|OA|2＝13，z min＝2＝2＝.【解析】21.【答案】（1）当a=0时，原不等式可化为-x+1<0，即x>1；（2）当a≠0时，原不等式可化为,①若a<0，则原不等式可化为，由于<0，则有<1，故解得x<或x>1；②若a>0，则原不等式可化为，则有ⅰ.当a>1时，则有<1，故解得<x<1；ⅱ.当a=1时，则有=1，故此时不等式无解；ⅲ.当0<a<1时，则有>1，故解得1<x<.综上分析，得原不等式的解集为：当a<0时，解集为{x|x<或x>1}；当a=0时，解集为{x|x>1}；当0<a<1时，解集为{x|1<x<}；当a=1时，解集为∅；当a>1时，解集为{x|<x<1}.【解析】22.【答案】水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元．【解析】设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y＝150×＋120×(2×3x＋2×3×)＝240 000＋720×≥240 000＋720×2＝297 600(元)，当且仅当x＝，即x＝40时，y取得最小值297 600.23.【答案】证明∵a，b，c都是正实数，∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2·2·2＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．【解析】24.【答案】先作出边界x＋4y＝4，因为这条线上的点都不满足x＋4y<4，所以画成虚线．取原点(0,0)，代入x＋4y－4，因为0＋4×0－4＝－4<0，所以原点(0,0)在x＋4y－4<0表示的平面区域内，不等式x＋4y<4表示的平面区域在直线x＋4y＝4的左下方．如下图所示．【解析】25.【答案】(－2,2]【解析】当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4<0，所以a＝2时解集为R.当a－2≠0时，由题意得即解得－2<a<2.综上所述，a的取值范围为(－2,2]．。

基本不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.若xy>0,则x y y x+的最小值是 。

1.2.提示：x y y x+≥2. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。

2.a ＋b 2≤a 2＋b 22。

提示：平方作差，利用a 2+b 2≥2ab 可得。

3.若x ＋y ＝4，x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y 的最大值是 。

3.lg4.提示：lg x ＋lg y =lg x y ≤lg(2x y +)2=lg4. 4.已知121(0,0),m n m n+=>>则mn 的最小值是4. 121mn m n =+≥≥5.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿5.9.提示： 6 = 22x y +≥2， ∴22x y ≤9 。

故2x y +的最大值是9，此时x=y=2log 3。

6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 6.8.提示 由已知y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)， 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8，当且仅当0 8x =x 20即x =5时“=”成立。

7.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。

7.[9,)+∞。

提示：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-+≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

8. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥②y=x+1x的最小值为2。

第3章 不等式（苏教版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分90分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.不等式2104x x ->-的解集是.2.设01b a <<<，则下列不等式中成立的是.①21a ab <<；②1122log log 0b a <<；③21ab b <<；④222b a <<.3.不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个.4.不等式组0,34,34x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于.5.已知函数2log (1)fx x =+（）且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是. 6.已知不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y恒成立，则正实数a 的最小值为.7.若函数1,0,()1,0,x x f x x x -+<⎧=⎨-≥⎩则不等式(1)x x ++•(1)1f x +≤的解集是.8.设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且1a b c ++=（,a ,b c +∈R ），则M 的取值范围是.9.对于满足等式22(1)1x y +-=的一切实数,x y ，不等式0x y c ++≥恒成立，则实数c 的取值范围是. 10.若正数,,,a b c d 满足4a b cd +==，则ab c d +（填“≥”或“≤”），且等号成立时,,,a b c d 的取值（填“唯一”或“不唯一”）.11.不等式224122xx +-≤的解集为. 12.已知函数1x y a -=(01)a a >≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线10(0)mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为.13.设函数25z x y =+，其中,x y 满足条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，，，则z 的最大值是. 14.用两种材料做一个矩形框，按要求其长和宽分别选用价格为每米3元和5元的两种材料，且长和宽必须为整数米，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框所围成的最大面积是m 2.二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15.(14分)解关于x的不等式22---+30a a x(2)(23)x a+>.a16.（14分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（图中阴影部分），这两个栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小?第16题图17.(14分)不等式22(23)(3)10m m x m x -----<对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围.18.（16分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？19.（16分）已知二次函数()f x 满足(2)0f -=，且2422x x f x +≤≤（）对一切实数x 都成立. （1）求(2)f 的值； （2）求()f x 的解析式；（3）设1()n b f n =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：43(3)n nS n >+.20.（16分）某村计划建造一个室内面积为72 m 2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？第3章 不等式（苏教版必修5）答题纸得分：一、填空题1. 2.3． 4．5. 6.7.8.9.10.11.12. 13. 14.二、解答题15．16.17.18.19.20.第3章 不等式（苏教版必修5）参考答案1.（-2，1）∪（2，+∞）解析：原不等式化为(2)(1)(2)0x x x +-->，解得21x -<<或2x >.2.④解析：∵2x y =是增函数，而01b a <<<，∴1222b a <<<.3.三角形 解析：原不等式组可化为0002x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＞，＞，或000 2.x y x y x -⎧⎪+⎨⎪≤≤⎩＜，＜，在平面直角坐标系中作出符合上面两个不等式组的平面区域，如图中的阴影部分所示，∴不等式组()()002x y x y x -+>⎧⎨≤≤⎩，表示的平面区域是一个三角形.第3题图第4题图4.43解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由34,34x y x y +=⎧⎨+=⎩得交点A 的坐标为（1，1），又,B C 两点的坐标分别为（0，4），40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故14441233ABC S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭△. 5.()()()f c f b f a c b a >>解析：特殊值法.令7a =，31b c ==，，满足0a b c >>>，∴ 2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71)7+.故()()()f c f b f a c b a>>. 6.4 解析：不等式1()9a x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则1219y ax a a a x y +++≥++≥，∴a ≥2或4a ≤-（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4.7.21x ≤-解析：依题意得10,10,(1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥⎧⎧⎨⎨++-≤++≤⎩⎩或，所以1,1,2121R x x x x ≥-⎧<-⎧⎪⇒⎨⎨∈--≤≤-⎪⎩⎩或1x <-或12121x x -≤≤-⇒≤-. 8.8 解析：M =b c a +·a c b +·a bc+≥8ab bc ac abc ••=8.9.[21,)-+∞解析：令cos x θ= ，1sin y θ=+，则()sin cos 1x y θθ-+=---=π2sin 4θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭-1，∴ max ()2x y -+=-1.∵0x y c ++≥恒成立，∴ max ()2c x y ≥-+=-1. 10.≤ 唯一 解析：因为4a b cd +==，由基本不等式得2a b ab +≥，故4ab ≤.又2()4c d cd +≤，故4c d +≥，所以ab c d ≤+，当且仅当2a b c d ====时，等号成立.11.{|31}x x -≤≤解析：依题意得2241(3)(1)031x x x x x +-≤-⇒+-≤⇒∈-，［］.12.4 解析：由题意知(11)A ，，∴10m n +-=，∴1m n +=， ∴1m +1n =11()2224n m n m m n m n m n m n ⎛⎫++=++≥+•= ⎪⎝⎭. 13.19解析：先在平面直角坐标系xOy 内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域（如图中阴影部分）.把25z x y =+变形为5152y x z =-+，得斜率为25-，在y 轴上的截距为15z ，随z 变化的一族平行直线.由图可以看出，当直线5152y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距15z 最大，即z 最大. 解方程组283x y y +=⎧⎨=⎩，，得23.x y =⎧⎨=⎩，故23M （，）.此时max z =2×2+5×3=19.第13题图14.40解析：设长为x 米，宽为y 米，则610100x y +≤，即3550x y +≤.∵0255335x y x y +≥•≥，当且仅当35x y =时等号成立，,x y 为正整数，∴只有当324525x y ==，时面积最大，此时面积40xy =平方米. 15.解：由22(2)(23)x a a a x ---+30a +>，得[(2)3]()0a x x a --->. ①当2a =时，20x -<，解得2x <. ②当2a >时，原不等式可以化为32()0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝->. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---， 所以当3a =时，2(03)x ->，则x ∈R 且3x ≠. 当23a <<时，32a a >-，解得32x a >-或x a <.当3a >时，32a a <-，解得32x a <-或x a >. ③当2a <时，原不等式可以化为3(2)0a x x a ⎛⎫⎪⎭--⎝-<. 因为2323(3)(1)222a a a a a a a a -++-+--==---，所以当12a -<<时，32a a <-，所以32a x a -<<；当1a =-时，2(01)x +<，不等式无解；当1a <-时，32a a >-，所以32a a x <<-. 所以原不等式的解集为： 当1a <-时，32a x a x ⎧⎫⎨⎬-⎩<<⎭； 当1a =-时，不等式无解； 当12a -<<时，32xa x a <<⎧⎫⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，{|2}x x <； 当23a <<时，32a x x a x ⎧⎫<>⎨⎩⎭-⎬或； 当3a =时，{|3}x x x ∈≠且R ； 当3a >时，32x x x a a ⎧⎫<>⎨-⎬⎩⎭或. 16.解：设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，则ab =9 000.① 广告的高为a +20，宽为2b +25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积(20)(225)2402550018 500254018 5002254018 500S a b ab b a a b a b =++=+++=++≥+•=+21 00024 500ab =，当且仅当2540a b =时等号成立，此时58b a =，将其代入①式得120a =，从而75b =，即当12075a b ==，时，S 取得最小值24 500.故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小. 17.解：若2230m m --=，则1m =-或3m =. 当1m =-时，不合题意；当3m =时，符合题意.若2230m m --≠，设22()(23)(3)1f x m m x m x =-----，则由题意，得22230,230,m m m m m ∆2⎧--<⎪⎨=[-(-3)]+4(--)<⎪⎩解得135m -<<. 综合以上讨论，得135m -<≤.18.解：设投资人分别用x y ，万元投资甲、乙两个项目，由题意，得10,0.30.1 1.8,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩目标函数为0.5z x y =+.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即为可行域.作直线0:0.50l x y +=，并作平行于直线0l 的一组直线0.5x y z +=，z ∈R ，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点M ，此时z 最大，这里点M 是直线10x y +=与直线0.30.1 1.8x y +=的交点.解方程组10,0.30.1 1.8,x y x y +=⎧⎨+=⎩得4,6,x y =⎧⎨=⎩此时，40.567z =+⨯=(万元).∴ 当46x y ==，时，z 取得最大值.答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大. 第18题图19.（1）解：∵ 2422x x f x +≤≤（）对一切实数都成立， ∴4(2)4f ≤≤，∴(2)4f =.（2）解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠.∵(2)0(2)4f f -==，，∴424,1,42024.a b c b a b c c a ++==⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩∵22ax bx c x ++≥，即2240ax x a -+-≥，∴214240410aa a ∆=--≤⇒-≤（）（）， ∴ 14a =，241c a =-=，故2()14x f x x =++.（3）证明：∵ 2144114()(2)(2)(3)23n b f n n n n n n ⎛⎫==>=- ⎪+++++⎝⎭， ∴ 1211111111444344523333(3)n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+-++-=⨯-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ＞. 20.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则72ab =，蔬菜的种植面积(4)(2)428802(2)8042S a b ab b a a b ab =--=--+=-+≤-=32（m 2）.当且仅当2a b =，即126a b ==，时，max 32S =.答：当矩形温室的边长为6 m ，12 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m 2.。

高中数学必修5《不等式》单元测试题一． 选择题：（每小题5分）1. 已知a,b,c ∈R,下列命题中正确的是A 、22bc ac b a >⇒>B 、b a bc ac >⇒>22C 、ba b a 1133<⇒> D 、||22b a b a >⇒> 2.若b ＜0＜a,d ＜c ＜0则下列各不等式中必成立的是（ ）A 、ac ＞bdB 、db c a < C 、a+c ＞b+d D 、a-c ＞b-d 3.不等式（x-3）（2-x ）＞0的解集是 （ ）A 、{x|x ＜2或x ＞3}B 、{x|2＜x ＜3}C 、{x|x≠2且x≠3}D 、{x|x≠2或x≠3}4.不等式（a-2）x 2+2（a-2）x-4<0对x ∈R 成立，则a 的取值范围是（ ）A 、]2,(--∞B 、)2,(--∞C 、]2,2(-D 、)2,2(-5.函数)20(),24(22<<-=x x x y 的最大值是（ ）A 、0B 、21 C 、2 D 、4 6. 已知+∈R b a ,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是（ ）A 、8B 、6C 、24D 、627. 设b a <<0，且1=+b a ，在下列四个数中最大的是（ ）A 、21 B 、b C 、ab2 D 、22b a + 8.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0（ ）A 、右上方B 、右下方C 、左上方D 、右下方9. 目标函数y x z +=2，变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥<+≤+-12553034x y x y x ，则有 （ ）A 、3,12min max ==z zB 、,12max =z z 无最小值C 、z z ,3min =无最大值D 、z 既无最大值，也无最小值10.有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的价格购进粮食，他们共购进粮食两次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮食10000元，在两次统计中，购粮的平均价格较低的是（ ）A 、甲B 、乙C 、一样低D 、不确定二． 填空题：（每小题5分）11. 若角α，β满足－2π＜α＜β＜2π，则2α－β的取值范围是 。