北师大版高三数学一轮复习课件：第1讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

3
3 3 3

解析:(1)由于 M 中,x= ·180°+45°=k·
90°+45°=(2k+1)·
45°,2k+1
2
奇数;而 N

中,x=4
·180°+45°=k·
45°+45°=(k+1)·
45°,k+1 是整数,
因此必有 M⊆N.
(2)如图,在平面直角坐标系中画出直线 y= 3x,可以发现它与 x 轴的
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方
法使问题得到解决.
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.
对点训练2(1)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的
弧长是
.
2

为偶数时,2 是第一象限角;当

∴ 是第一或第三象限角.
2
k

为奇数时,2 是第三象限角.
突破技巧1.象限角的两种判断方法
在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已
图像法
知角是第几象限角
先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知
转化法 角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限
2
16
4
(方法

α= =2.

1
1
1 -+ 2 2
2)S=2rl=4(c-l)l≤ 4 2 =16 ,
当且仅当 c-l=l,即

l= 时等号成立,此时

答案：D
(3)当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，
那么角的终边在第几象限，就称这个角是
第几象限．角
(4)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成角的集合是 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
3. 任意角的三角函数 设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P 的坐标 是(x，y)，它与原点的距离为 r(r＝ x2＋y2)，那么 sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．
(2)扇形半径为r，圆心角的弧度数是α，则这个扇 形的弧长l＝ |α|r ，面积S＝|α|r2，周长＝ |α|r＋2r .
2. 角的概念的推广
(1)任意角的定义 角可以看成平面内一条射线 绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所
成的图形．
(2)按逆时针方向旋转形成的角叫做 正角 ；按顺时针方向旋转形成 的角叫做负角 ；一条射线没有作任何旋转形成的角叫做 零角．
是第二象限角，则
α 2
在标有数字2的区域内，
依次类推，则很容易确定α2所在的象限．
考点二 扇形弧长、面积公式的应用 【例 2】 一个扇形的周长为 20 cm，当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时， 这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最大面积． 解 设扇形的半径为 r，则弧长为 l＝(20－2r) cm，于是扇 形的面积：S＝12(20－2r)r＝－(r－5)2＋25.当 r＝5 时，l＝
4. 单位圆与三角函数线 用单位圆中的有向线段表示三角函数(如图)．
sin α＝ MP ，cos α＝ OM ，tan α＝ AT .
5. 三角函数值在各象限的符号
函数符号象限
Ⅰ
sin α
＋
cos α

(3)∵θ＝168°＋k·360°(k∈Z)， ∴θ3＝56°＋k·120°(k∈Z)． ∵0°<56°＋k·120°<360°，故在 0°～360°范围内终边与θ3角的终边相同的角 是 56°，176°，296°.
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)
A．2kπ＋45°(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z)
B．k·360°＋94π(k∈Z) D．kπ＋54π(k∈Z)
因为94π＝2π＋π4＝π＋54π＝720°－315°，故应选 C.
C
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第十八页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
考点突破 题型透析
考点一 角的集合表示及象限角的判定
1．若 α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则 α 在( )
A．第一或第三象限
B．第一或第二象限
C．第二或第四象限
C
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第十二页，编辑于星期五：二十点 二十一分。
教材梳理 基础自测
【基础自测】
4．(教材改编题)若角 α 的终边经过点 P(－ 3，m)，且 sin α＝ 43m(m≠0)，
则 cos α＝________. ∵sin α＝ 43m，
－
一全正，二正弦，三正切，四余弦
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2．(2021·乐山模拟)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其 中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢 ＋矢 2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧对弦长， “矢”指半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为23π，半径长为 4 的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为_________．
1．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
A．2kπ－45°(k∈Z)
B．k·360°＋94π(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋54π(k∈Z)
解析：与94π的终边相同的角可以写成 2kπ＋94π(k∈Z)，但是角度制与弧度
制不能混用，所以只有 C 正确．
2．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( D )
正弦线
余弦线
正切线
二级结论 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．若 α∈0，π2，则 tan α＞α＞sin α． 必明易错 已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情 况．
三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y，cos α＝x， tan α＝yx，当不是单位圆上的点时，若圆的半径为 r，则 sin α＝yr，cos α ＝xr，tan α＝yx．
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