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高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列(理科2012年) Word版

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N 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22．N1如图1－8，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(1)AC ·BD ＝AD ·AB ； (2)AC ＝AE .图1－822．证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD， 即AC ·BD ＝AD ·AB . (2)由AD 与⊙O 相切于A ，得 ∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得 △EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD， 即AE ·BD ＝AD ·AB . 结合(1)的结论，得AC ＝AE .21 A ．N1 如图1－7，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD ＝DC ，连结AC ，AE ，DE .求证：∠E ＝∠C .图1－721A.证明：如图，连结OD ，因为BD ＝DC ，O 为AB 的中点， 所以OD ∥AC ，于是∠ODB ＝∠C .因为OB ＝OD ，所以∠ODB ＝∠B .于是∠B ＝∠C .因为点A ，E ，B ，D 都在圆O 上，且D ，E 为圆O 上位于AB 异侧的两点，所以∠E 和∠B 为同弧所对的圆周角，故∠E ＝∠B .所以∠E ＝∠C .15．N1如图1－6所示，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连结OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为________．图1－615. 2 因为CD ＝OC 2－OD 2，且OC 为⊙O 的半径，是定值，所以当OD 取最小值时，CD 取最大值．显然当OD ⊥AB 时，OD 取最小值，故此时CD ＝12AB ＝2，即为所求的最大值．12．N1 正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝37.动点P从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．16B ．14C ．12D ．1012．B 取单位长度为7的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E 点相同，根据对称性应选择14次．5．N1如图1－3，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( ) A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD25．A 本题考查了平面几何圆与三角形，特别是重点考查了射影定理等知识．对于A，CE·CB＝CD2＝AD·DB；对于B，CE·CB＝CD2≠AC2＝AD·AB；对于C，CD2＝AD·DB≠AD·AB；对于D，ED2＝CE·EB≠CD2.15．N1如图1－3，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA＝________.15. 3 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等，解题关键是通过连接OA，在△AOP中利用勾股定理求出．连接OA，则OA⊥PA，根据圆周角定理得：∠AOP＝60°，所以PO＝2，OA＝1，在直角三角形AOP中利用勾股定理得：PA＝OP2－OA2＝ 3.11．N1如图1－3，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图1－311. 6 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PA·PB＝(PO－r)(PO＋r)，把PA＝1，PB＝1＋2＝3，PO＝3代入求解得3＝9－r2，∴r＝ 6.22．N1如图1－6，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD ∽△GBD .22．证明：(1)因为D ，E 分别为AB ，AC 的中点， 所以DE ∥BC .又已知CF ∥AB ，故四边形BCFD 是平行四边形，所以CF ＝BD ＝AD .而CF ∥AD ，连结AF ， 所以四边形ADCF 是平行四边形，故CD ＝AF . 因为CF ∥AB ，所以BC ＝AF ，故CD ＝BC .(2)因为FG ∥BC ，故GB ＝CF . 由(1)可知BD ＝CF ， 所以GB ＝BD .而∠DGB ＝∠EFC ＝∠DBC ，故△BCD ∽△GBD .15 B.N1 如图1－5，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.图1－515B ．5 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理．连接AD ，在Rt △ABD 中，DE ⊥AB ，所以DE 2＝AE ×EB ＝5，在Rt △EBD 中，EF ⊥DB ，所以DE 2＝DF ×DB ＝5.13．N1 如图1－3所示，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．图1－313.43 本题考查选修4－1几何证明选讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题．由相交弦的性质可得|AF |×|FB |＝|EF |×|FC |， ∴|FC |＝|AF |×|FB ||EF |＝3×132＝2，又∵FC ∥BD ，∴AC AD ＝FC BD ＝AF AB ＝34，即BD ＝83，由切割定理得|BD |2＝|DA |×|DC |＝4|DC |2，解之得|DC |＝43.N2 选修4-2 矩阵21 B ．N2 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－143412 －12，求矩阵A 的特征值．21 B ．解：因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－143412－12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321，于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4.令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.21A ．N2设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎫a b 01(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．21A ．解： (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝⎛⎭⎫x ′y ′＝⎝⎛⎭⎫a b 01⎝⎛⎭⎫x y ＝⎝⎛⎭⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1， 整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎝⎛⎭⎫11 01，A 2＝⎝⎛⎭⎫11 01⎝⎛⎭⎫11 01＝⎝⎛⎭⎫12 01，所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝⎛⎭⎫1－2 01.3．C3、N2 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 cos x sin x －1的值域是________．3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简．f (x )＝－2－sin x cos x ＝－2－12sin2x ，又－1≤sin2x ≤1，所以f (x )＝－2－12sin2x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.N3 选修4-4 坐标系与参数方程12．N3 已知抛物线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p ＞0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.12．2 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt 化为普通方程为y 2＝2px (p >0)，并且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫－p 2，±6p ， 又∵|EF |＝|MF |＝|ME |，即有3＋p2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤p 2－⎝⎛⎭⎪⎫－p 22＋6p －2，解之得p ＝±2(负值舍去)，即p ＝2.10． N3 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6，若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.图1－110.1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．由已知得直线方程为y ＝(x －2)tan π6，化简得x －3y －2＝0，转化为极坐标方程为：ρcos θ－3ρsin θ－2＝0，解得ρ＝2cos θ－3sin θ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ，所以f (θ)＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.15 C.N3 直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．15C. 3 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcos θ＝1得2x ＝1①，由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x 2＋y 2＝2x ②，联立①②得y ＝±32，所以弦长为 3. 23．N3在直角坐标系xOy .圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 23．解：(1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3.故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一． (2)(解法一)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝t－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3)(解法二)在直角坐标系下求得弦C 1C 2的方程为x ＝1(－3≤y ≤3)．将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3. 23．N3已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． 23．解：(1)由已知可得A 2cos π3，2sin π3， B 2cos π3＋π2,2sin π3＋π2， C 2cos π3＋π,2sin π3＋π， D 2cos π3＋3π2,2sin π3＋3π2， 即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是．21 C ．N3在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． 21C ．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 9．N3 在直角坐标系xOy中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，则a ＝________.9.32 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点，化难为易．曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t (t 为参数)的普通方程是2x ＋y －3＝0，曲线C 2的普通方程是x 2a 2＋y 29＝1，两曲线在x 轴上的一个公共点，即为曲线C 1与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，代入曲线C 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫322a 2＋029＝1，解得a ＝32. 16．N3在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．16.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52 曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝()t －12化为直角坐标方程是y ＝()x －22，射线θ＝π4化为直角坐标方程是y ＝x ()x ≥0.联立⎩⎨⎧y ＝()x －22，y ＝x ()x ≥0，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4.所以y 1＝1，y 2＝4.故线段AB 的中点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即⎝ ⎛⎭⎪⎫52，52.21B. N3 在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．21B. 解：(1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32＜r ，故直线l 与圆C 相交．13．N3 在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．13. 3 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．应用极坐标与直角坐标的互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 将圆ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋()y －22＝4，直线θ＝π6化为直角坐标方程为y ＝33x .因为x 2＋()y －22＝4的圆心为()0，2，所以圆心()0，2到直线y ＝33x ，即3x －3y ＝0的距离为d ＝||2×()－3()33＋32＝ 3.9．N3 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．9．2 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．方程转化为普通方程，直线为x ＋y ＝1，圆为x 2＋y 2＝9，法一：圆心到直线的距离为d ＝|1|2＝12<3，所以直线与圆相交，答案为2.法二：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝9，x ＋y ＝1，消去y 可得x 2－x －4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.14．N3 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t(t 为参数)和⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．14．(1,1) 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C 1的直角坐标方程为：y 2＝x (x ≥0)，C 2的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝2，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，x 2＋y 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1,1)．图1－315．N3 (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________．15．(1)ρ＝2cos θ 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，因此x 2＋y 2－2x ＝0的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32≤x ≤32 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x >12时，原不等式可化为2x －1＋2x ＋1≤6，解得x ≤32，此时12<x ≤32；当x <－12时，原不等式可化为－2x＋1－2x －1≤6，解得x ≥－32，此时－32≤x <－12；当－12≤x ≤12时，原不等式可化为1－2x＋2x ＋1≤6，解得x ∈R ，此时－12≤x ≤12.综上，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32.24．N3在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 中点M 的坐标；(2)若|PA |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．解：设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2.将曲线C 的参数方程化为普通方程x 24＋y 2＝1.(1)当α＝π3时，设点M 对应参数为t 0.直线l 方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0，因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7.得tan 2α＝516.由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)>0，故tan α＝54. 所以直线l 的斜率为54.N4 选修4-5 不等式选讲23．N4 已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．23.解：(1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，综合得x ≤－3.当－3<x ≤12时，原不等式化为－x ＋4≥2x ＋4，综合得－3<x ≤0.当x >12时，原不等式为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2.综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x >－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2，综上，a 的取值范围为a ≤－2.15 A ．N4 若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 15A.－2≤a ≤4 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义．|x －a |＋|x －1|≤3表示的几何意义是在数轴上一点x 到1的距离与到a 的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a 的取值范围，不难发现－2≤a ≤4.24．N4已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f x －2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．24．解：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2. 又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以 当a ≤0时，不合题意． 当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3， －1＜x ＜－12，－1， x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.24．N4已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含，求a 的取值范围． 24．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4； 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1}∪{x |x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a | ⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为．21 D ．N4 已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.21D ．证明：因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16，从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518.10．N4 不等式|2x ＋1|－2|x －1|＞0的解集为________．10.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14考查解含绝对值不等式，此题的关键是转化为|2x ＋1|>2|x －1|，再两边平方，轻松求解．不等式转化为|2x ＋1|>2|x －1|，两边平方得(2x ＋1)2>4(x －1)2，化简得4x >1，解得x >14，故解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >14.6．N4 设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.346．C 由柯西不等式得(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)＝10×40≥(ax ＋by ＋cz )2＝202，显然上式应取等号，此时a ＝kx ，b ＝ky ，c ＝kz ，则a 2＋b 2＋c 2＝k 2(x 2＋y 2＋z 2)＝40k 2＝10，得k ＝12(舍去负值)，所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝a x ＝k ＝12.故选C. 9．N4 不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．9.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－12 当x ≤－2，不等式化为：－x －2＋x ≤1，即－2≤1恒成立，所以此时解集为：{x |x ≤－2}；当－2<x ≤0时，不等式化为：x ＋2＋x ≤1，解得x ≤－12，所以不等式的解集是：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x ≤－12.当x >0时，不等式化为：x ＋2－x ≤1，即2≤1，此时解集为空集．综上，不等式的解集为：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12. 21C. N4 已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.21C. 解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ， 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为，故m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋2b ·12b＋3c ·13c 2＝9. N5 选修4-7 优选法与试验设计。

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最新高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 L单元 算法初步与复数(文科)

最新高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 L单元 算法初步与复数(文科)

数学L单元算法初步与复数L1 算法与程序框图4．L1如图1­1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )图1­1A．34 B．55 C．78 D．894．B 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环．4．L1执行如图1­1所示的程序框图，输出的S值为( )图1­1A．1 B．3C．7 D．154．C S＝20＋21＋22＝7.14．L1顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品．工艺师带一位徒弟完成这项任务．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客．两件原料每道工序所需时间(单位：工作日)如下：则最短交货期为________个工作日．14．42 交货期最短，则应先让徒弟加工原料B，交货期为6＋21＋15＝42个工作日．4．L1阅读如图1­1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为( )A．1 B．2 C．3 D．44．B 当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.14．L1阅读如图1­3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为 9，则输出S的值为________．图1­314．1067 第一次运行时，S＝0＋21＋1，k＝1＋1；第二次运行时，S……所以框图运算的是7．L1执行如图1­1∈，则输出的S属于( )图1­1A． B．C． D．7．D (特值法)当t＝－2时，t＝2×(－2)2＋1＝9，S＝9－3＝6，排除A，B，C. 3．L1如图1­1所示是一个算法流程图，则输出的n的值是______．图1­13．5 根据流程图的判断依据，本题看2n＞20是否成立．若不成立，则n 从1开始每次增加1；若成立，则输出n 的值．本题经过4次循环，得到25>20成立，则输出的n 的值为5.8．L1 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )第二次循环，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15>－1，再次进入循环，此时i ＝5；第三次循环，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17>－1，再次进入循环，此时i ＝7；第四次循环，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19>－1，再次进入循环，此时i ＝9；第五次循环，S ＝lg 19＋lg 911＝lg 111<－1，退出循环，此时i ＝9.13．L1 执行如图1­3所示的程序框图，若输入n ＝3，则输出T ＝________． 13．20图1­3由题意可知，第一步，i＝1，S＝1，T＝1；第二步，i＝2，S＝3，T＝4；第三步，i ＝3，S＝6，T＝10；第四步，i＝4，S＝10，T＝20.8．L1执行如图1­2所示的程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝( )A．4 B．5 C．图1­28．D 当x＝2，t＝2时，依次可得：M＝1，S＝3，k＝1≤2；M＝2，S＝5，k＝2≤2；M＝2，S＝7，k＝3>2，输出S＝7.9．L1执行如图1­1的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝( )图1­1A.203B.72C.165D.1589．D 第一次循环后，M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；第二次循环后，M第三次循环后，M此时n>k(n＝4，k11．L1执行如图，则输出的n的值为________．图1­311．3 x＝1满足不等式，执行循环后x＝2，n＝1；x＝2满足不等式，执行循环后得x＝3，n＝2；x＝3满足不等式，执行循环后得x＝4，n＝3.x＝4不满足不等式，结束循环，输出n＝3.4．L1根据图1­1所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )图1­1A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －14．C 阅读题中所给的程序框图可知输出的数列为2，2×2＝22，2×22＝23，2×23＝24，…，2×2N －1＝2N ，故其通项公式为a n ＝2n.6．E5、L1 执行如图1­2的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1­2A ．0B ．1C ．2D ．36．C 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取最大值2，2>1，故选C.11．L1 阅读图1­3所示的框图，运行相应的程序，输出S 的值为________．11．－4 由程序框图易知，S＝(－2)3＋(－2)2＝－4.13．L1若某程序框图如图1­4所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________．13．6 第一次运行，；第三次运行，S＝11，i ＝4；第四次运行，S＝26，i＝5；第五次运行，S＝57，i＝6，此时S>n，输出i＝6.5．L1执行如图1­1所示的程序框图，则输出s的值为( )图1­1A．10 B．17C．19 D．365．C 第一次循环结束，得s＝0＋2＝2，k＝2×2－1＝3；第二次循环结束，得s＝2＋3＝5，k＝2×3－1＝5；第三次循环结束，得s＝5＋5＝10，k＝2×5－1＝9；第四次循环结束，得s＝10＋9＝19，k＝2×9－1＝17>10，此时退出循环．故输出s的值为19.L2 基本算法语句L3 算法案例L4 复数的基本概念与运算1．L4实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限1．B 由条件知复数在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限．1．L4设i是虚数单位，复数( )A．－i B．i C1．D i3＋2i1＋i ＝－i＋2＝1.9．L4若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝________．9．2 ∵(x＋i)i＝－1＋x i＝－1＋2i，∴x＝2. 2．L4复数(3＋2i)i等于( )A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．B (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.2．L4已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( ) A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i2．D ∵(3－4i)z＝25，∴z＝253－4i ＝25（3＋4i）（3－4i）（3＋4i）＝3＋4i.10．ML、L4对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω1ω2，其中ω2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．B 根据新定义知，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，所以①正确；对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 3＝z 1z 2＋z 1z 3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，所以正确；对于③，左边＝(z 1z 2)*z 3＝z 1z 2 z 3；右边＝z 1*(z 23)＝z 1z 2 z 3＝z 1z 2z 3＝z 1z 2z 3→，不正确；对于④，可以通过举特殊例子进行判断，z 1＝1＋i ，z 21z 2＝(1＋i)(2＋i)＝3＋i ，右边＝z 2*z 1＝z 2z 1＝(2＋i)(1－i)＝3－2．L4 i 为虚数单位，A ．1 B ．－1 C 2．B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1＋i ）2＝2i＝－故选B.11．L4 复数3＋ii 2(i 为虚数单位)的实部等于________．11．－3 因为3＋i i 2＝3＋i－1＝－3－i ，所以实部为－3.2．L4 已知复数z ＝(5－2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________．2．21 根据复数的乘法运算公式知，z ＝(5－2i)2＝52－2×5×2i ＋(2i)2＝21－20i ，故实部为21，虚部为－20.1．L4 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( )A ．1B ．2 C. 2 D. 31．C 因为z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以|z |＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.2．L4 设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( )A ．2＋3iB ．2－3iC ．3＋2iD ．3－2i2．A 由(z －2i)(2－i)＝5，得z －2i ＝52－i＝2＋i ，故z ＝2＋3i. 2．L4 1＋3i 1－i＝( ) A ．1＋2i B ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i2．B 1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋4i ＋3i 22＝－1＋2i. 3．L4 设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( ) A.12 B.22 C.32D ．2 3．B z ＝11＋i ＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝22. 1．L4 已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝2－b i ，则(a ＋b i)2＝( )A ．3－4iB ．3＋4iC ．4－3iD ．4＋3i1．A 因为a ＋i ＝2－b i ，所以a ＝2，b ＝－1，所以(a ＋b i)2＝(2－i)2＝3－4i.3．L4 已知复数z ＝2－i ，则z ·z －的值为( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 33．A ∵z ＝2－i ，∴z －＝2＋i ，∴z ·z －＝(2＋i)(2－i)＝4＋1＝5.12． L4 复数2－2i 1＋i＝________． 12．－2i 2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i. 1．L4 i 是虚数单位，复数7＋i 3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC.1725＋3125i D ．－177＋257i 1．A 7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i 32＋42＝1－i. 11．L4 已知i 是虚数单位，计算1－i （1＋i ）2＝________． 11．－12－12i 1－i （1＋i ）2＝1－i 2i ＝（1－i ）i －2＝i ＋1－2＝－12－12i.L5 单元综合1． 已知复数z ＝1＋3i 1－i，则z 的实部为( ) A ．1 B ．2C ．－2D ．－11．D 因为z ＝1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－2＋4i 2＝－1＋2i ，所以z ＝－1－2i ，故z 的实部为－1.7． 若i(x ＋y i)＝3＋4i(x ，y ∈R )，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．57．D 由i(x ＋y i)＝3＋4i ，得－y ＋x i ＝3＋4i ，解得x ＝4，y ＝－3，所以复数x ＋y i 的模为42＋（－3）2＝5.17． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2014＝________.17．－1 因为1＋i 1－i ＝（1＋i ）22＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2014＝i 2014＝(－1)1007＝－1.2． 执行如图X37­2所示的程序框图，若输入n ＝7，则输出的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5X37­22．D 依题意可知，k＝1，n＝13；k＝2，n＝25；k＝3，n＝49；k＝4，n＝97；k＝5，n＝193>100，满足条件．故输出的值为5.5．执行如图X37­5所示的程序框图，若输入的N的值为6，则输出的p的值为( ) A．120 B．720 C．1440 D．50405．B 由程序框图，可得k＝1，p＝1，1<6；k＝2，p＝2，2<6；k＝3，p＝6，3<6；k ＝4，p＝24，4<6；k＝5，p＝120，5<6；k＝6，p＝720，6＝6，不满足条件．故输出的p 的值为720.10．执行如图X37­10所示的程序框图，则计算机输出的所有点(x，y)所满足的函数为( )A．y＝x＋1 B．y＝2x C．y＝2x－1D．y＝2xX37­1010．D 由题意，该程序共输出4个点(1，2)，(2，4)，(3，8)，(4，16)，易和这4个点都在函数y＝2x的图像上．11．执行如图X37­11所示的程序框图，若输入x＝8，则输出的k＝____________．X37­1111．3 依题意，得x＝88，k＝1，x<2013；x＝888，k＝2，x<2013；x＝8888，k＝3，x>2013，满足条件．故输出的k的值为3.。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 I单元 统计(文科2012年) Word版含答

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 I单元 统计(文科2012年) Word版含答

I 统计 I1 随机抽样11．I1 某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．11．160 设样本中男生、女生的人数分别为x 、y ，且x ∶y ＝4∶3，那么x ＝280×47＝160.14．I1 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．14．12 解题的关键是记住分层抽样中最基本的比例关系，即可解决分层抽样的所有计算问题．抽取女运动员的人数是：28×98－5698＝28×4298＝12.15．I1、K2 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为小学的概率．15．解：(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种．所以P (B )＝315＝15.17．K8、I1、I2 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13＝80 000.11．I1 一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有________________________________________________________________________人． 11． 6设抽取的女运动员为x 人，因为分层抽样在每个层次抽取的比例是相等的，所以856＝x42，解得x ＝6.故抽取女运动员6人．2．I1某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．2．15 本题考查简单随机抽样中的分层抽样．解题突破口为直接运用分层抽样的定义即可．由题意可得高二年级应该抽取学生50×33＋3＋4＝15(名)．I2 用样本估计总体3．I2对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图1－1所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )图1－1A．46,45,56B．46,45,53C．47,45,56D．45,47,533．A 本题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征的简单计算，由所给的茎叶图可知所给出的数据共有30个，其中45出现3次为众数，处于中间位置的两数为45和47，则中位数为46；极差为68－12＝56.故选A.14．I2如图1－4是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是，样本数据的分组为．已知样本中平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．图1－414．9 本题考查频率分布直方图及样本估计总体的知识，考查数据处理能力，容易题．样本容量＝11＋＝50，样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×1×0.18＝9.4．I2在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B 样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数 B．平均数C．中位数 D．标准差4．D 本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念，考查推理论证能力，容易题．当每个样本数据加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．6．I2小波一星期的总开支分布如图1－1(1)所示，一星期的食品开支如图1－1(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )图1－1A．30% B．10%C．3% D．不能确定6．C 鸡蛋占食品总开支的比为3030＋40＋100＋80＋50＝10%，又食品开支占总开支的比为30%，因此鸡蛋占总开支的比为10%×30%＝3%.故选C.2．I2容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：123 x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)13．1,1,3,3 设四个数从小到大分别是：x 1，x 2，x 3，x 4，根据已知可以得到方程组： ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x 32＝2，x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，s 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x 3＝4，x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝8，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝20，又因为四个数都是正整数，根据第一个式子知x 2＝1，x 3＝3或x 2＝2，x 3＝2，则x 1＝1，x 4＝3或x 1＝2，x 4＝2，代入第三个式子，只有x 1＝1，x 2＝1，x 3＝3，x 4＝3满足条件，所以四个数分别是1,1,3,3.18．I2 若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过．．．1 mm 时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取 5 000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：(1)．．．(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品，据此估算这批产品中的合格品的件数．18．解：(1)频率分布表(2)间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70；(3)设这批产品中的合格品数为x 件， 依题意有505000＝20x ＋20，解得x ＝5000×2050－20＝1 980.所以该批产品的合格品件数估计是1 980件．19．I2、K2 假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：图1－8(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率． 19．解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5＋20100＝14，用频率估计概率，所以，甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)根据抽样结果，寿命大于200小时的产品有75＋70＝145(个)，其中甲品牌产品是75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是75145＝1529，用频率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529. 17．I2、K2某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图1－4所示，其中成绩分组区间是：．图1－4(1)求图中a 的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a >0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值．注：s 2＝1n，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数17．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200， 所以s 2＝13＝80 000.13．I2 图1－3是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s 2＝1n，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)图1－313．6.8 本题通过茎叶图考查数理统计中的平均数和方差，意在考查考生数理统计的实际应用能力；具体的解题思路和过程：先求出平均数，再用方差公式求方差．由茎叶图可求得x ＝8＋9＋10＋13＋155＝11，代入方差公式得s 2＝15＝6.8.18．K2、B10、I2 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：)的平均数；②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．18．解：(1)当日需求量n ≥17时，利润y ＝85. 当日需求量n <17时，利润y ＝10n －85. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)①这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝．故当天的利润不少于75元的概率为p ＝0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.I3 正态分布I4 变量的相关性与统计案例3．I4 在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12D ．13．D 因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，相关系数达到最大值，即为1. 故选D.5．I4 设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确．．．的是( ) A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg5．D 本题考查线性回归方程的特征与性质，意在考查考生对线性回归方程的了解，解题思路：A ，B ，C 均正确，是回归方程的性质，D 项是错误的，线性回归方程只能预测学生的体重．选项D 应改为“若该大学某女生身高为170 cm ，则估计其体重大约为58.79 kg”．本题易错一：对线性回归方程不了解，无法得出答案；易错二：对回归系数b 不了解，错选C ；易错三：线性回归方程有预测的作用，得出的结果不是准确结果，误以为D 项是对的．18．B10、I4 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)18．解：(1)由于x －＝16(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，y －＝16(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.所以a ＝y －－b x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．19．I4、K2 电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：图1－6将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？(2)已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2，19．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：将2×2χ2＝n n 11n 22－n 12n 212n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝－275×25×45×55＝10033≈3.030. 因为3.030<3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．(2)由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5个，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω＝{(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 2，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}．其中a i 表示男性，i ＝1,2,3，b j 表示女性，j ＝1,2.Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“任选2人中，至少有1人是女性”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)}，事件A 由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.I5 单元综合3．I5 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A ．101B ．808C ．1212D ．20123．B 根据分层抽样的概念，N ∶96＝(12＋21＋25＋43)∶12，即N ＝8×101＝808.。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列 Word版含答案

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列 Word版含答案

N 单元 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲15．N1 (几何证明选讲选做题)如图1­1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长＝________．图1­115．3 本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ～△CDF ，∴△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE＝3. 21．N1 A ．如图1­7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D .图1­7证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ， 所以∠OCB ＝∠B .又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D . 21. N2 B ．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 21 x，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y ，x ，y 为实数．若Aα＝Bα，求x ＋y 的值．解：由已知得，Aα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 1 x 错误!＝错误!)，B α＝错误! ))错误!)＝错误!)．因为Aα＝Bα，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2＋2y 2＋xy )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋y 4－y )．故⎩⎪⎨⎪⎧－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝4，所以x ＋y ＝72.22．N1 选修4­1：几何证明选讲图1­6如图1­6，EP 交圆于E ，C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径； (2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .22．证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD . 由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA . 又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ， 所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ， 从而∠BDA ＝∠PFA .因为AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°， 所以∠BDA ＝90°，故AB 为圆的直径． (2)连接BC ，DC .由于AB 是直径，故∠BDA ＝∠ACB ＝90°.在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB ＝BA ，AC ＝BD ，从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，所以∠DAB ＝∠CBA .又因为∠DCB ＝∠DAB ，所以∠DCB ＝∠CBA ，故DC ∥AB .因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角．所以ED为直径．又由(1)知AB为圆的直径，所以ED＝AB.22．N1选修4­1：几何证明选讲如图1­5，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC ＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.图1­522．证明：(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.22．N1选修4－1：几何证明选讲如图1­5，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.图1­5(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．22．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故点O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．15．N1B.(几何证明选做题)如图1­3所示，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________．图1­315． 3 由题目中所给图形的位置关系，可知∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，所以△AEF ∽△ACB ，所以AE AC ＝EF BC.又AC ＝2AE ，BC ＝6，所以EF ＝3.7．N1 如图1­1所示，△ABC 是圆的内接三角形，∠BAC 的平分线交圆于点D ，交BC 于点E ，过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下，给出下列四个结论：①BD 平分∠CBF ；②FB 2＝FD ·FA ；③AE ·CE ＝BE ·DE ；④AF ·BD ＝AB ·BF .则所有正确结论的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①②③D ．①②④7．D ∵∠DBC ＝∠DAC ，∠DBF ＝∠DAB ，且∠DAC ＝∠DAB ，∴∠DBC ＝∠DBF ，∴BD 平分∠CBF ，∴△ABF ∽△BDF ，∴AB BD ＝AF BF ＝BFDF，∴AB ·BF ＝AF ·BD ，BF 2＝AF ·DF .故①②④正确．由相交弦定理得AE ·DE ＝BE ·CE ，故③错误．N2 选修4-2 矩阵N3 选修4-4 参数与参数方程14．N3 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．14．(1，2) 本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化以及曲线交点坐标的求解． 曲线C 1的直角坐标方程是2x 2＝y ，曲线C 2的直角坐标是x ＝1.联立方程C 1与C 2得⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x ＝1，所以交点的直角坐标是(1，2)． 12．N3 在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．12．x －y －1＝0 依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 21. N3 C ．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t 代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2， 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．23．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，经变换为C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＝－3，化为极坐标方程，得2 ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.23．N3 选修4­4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．23．解：(1)C 的普通方程为 (x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t ，(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.23．N3 选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．23．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|PA |＝d sin 30°＝2 55|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值， 最小值为255.15．N3C.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的距离是________．15． 1 易知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的直角坐标为(3，1)，直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝1的直角坐标方程为x －3y ＋2＝0.由点到直线距离公式，得d ＝|3－3＋2|12＋（－3）2＝1.N4 选修4-5 不等式选讲 21. N4 D ．已知x >0，y >0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x >0，y >0， 所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0， 1＋x 2＋y ≥33x 2y >0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .15．N4 x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．15． ⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|≥1，|y |＋|y －1|≥1⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2⇒|x |＋|y |＋|x －1|＋|y－1|＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|x －1|＝1，|y |＋|y －1|＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1⇒0≤x ＋y ≤2.24．N4 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N .(1)求M ；(2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x 2≤14.24．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）.当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x ＜1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0， 故0≤x ＜1.所以f (x )≤1的解集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4， 解得－14≤x ≤34，因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·2＝xf (x )＝xf (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.24．N4 选修4­5：不等式选讲设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)．(1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)＜5，求a 的取值范围．24．解：(1)证明：由a >0 ，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a－（x －a ）＝1a＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.24．N4 选修4－5：不等式选讲 若a ＞0，b ＞0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？请说明理由．24．解：(1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2 a 3b 3≥42， 当且仅当a ＝b ＝2时等号成立． 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥2 6ab ≥4 3. 由于4 3>6，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6.15．N4 A.(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．15．A. 5 由柯西不等式可知(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(ma ＋nb )2，即5(m 2＋n 2)≥25，当且仅当an ＝bm 时，等号成立，所以m 2＋n 2 ≥ 5.1． 已知点P 所在曲线的极坐标方程为ρ＝2cos θ，点Q 所在曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝4＋2t (t 为参数)，则|PQ |的最小值是( ) A ．2 B.4 55＋1C ．1 D.4 55－11．D 易知点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上，圆心为(1，0)，半径为1，点Q 在直线2x －y ＋2＝0上，故|PQ |的最小值是|2＋2|5－1＝4 55－1.4． 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则曲线C 1与C 2的交点的个数为________．4．2 由题意，曲线C 1的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)可化为一般方程x 24＋y 23＝1，直线C 2的极坐标方程ρ·(cos θ－sin θ)＋1＝0可化为普通方程x －y ＋1＝0.联立两个方程，消去y 可得x 24＋（x ＋1）23＝1，即7x 2＋8x －8＝0.因为Δ＝82＋4×7×8>0，所以直线与椭圆相交，且有两个交点．5． 在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝4 2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a ＞0，θ为参数)．若圆C 1与圆C 2外切，则实数a ＝____________． 5. 2 依题意，ρ＝4 2cos θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，化成普通方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8，即该圆的圆心为C 1(2，2)，半径r 1＝2 2.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(a >0，θ为参数)化成普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，即圆心为C 2(－1，－1)，半径r 2＝a .由丙点间两圆外切可得|C 1C 2|＝3 2＝2 2＋a ，所以a ＝ 2.6． 已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．6.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数) 由曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，可得其普通方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，所以曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．7． 已知极坐标系下曲线ρ＝4sin θ表示圆，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6到圆心的距离为____________．7．2 3 将曲线ρ＝4sin θ化成普通方程为x 2＋y 2＝4y ，则该圆的圆心为(0，2)，而点A ⎝⎛⎭⎪⎫4，π6的直角坐标为(2 3，2)，由两点间距离公式可得d ＝（2 3）2＋（2－2）2＝2 3.8． 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若直线l 经过圆C 的圆心，则常数a 的值为________．8．1 将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)化为普通方程为y ＝x －a ，将圆C 的极坐标方程ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x ，则圆心为(1，0)，代入直线y ＝x －a 可得a ＝1.。

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列(2011年) Word版含答

高考复习方案大一轮(全国人教数学)-历年高考真题与模拟题分类汇编 N单元 选修4系列(2011年) Word版含答

课标理数5.N1如图1－2，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G .图1－2给出下列三个结论： ①AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ； ②AF ·AG ＝AD ·AE ； ③△AFB ∽△ADG . 其中正确结论的序号是() A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③课标理数5.N1 A 【解析】因为AD 、AE 、BC 分别与圆O 切于点D 、E 、F ，所以AD ＝AE ，BD ＝BF ，CF ＝CE ，又AD ＝AB ＋BD ，所以AD ＝AB ＋BF ，同理有AE ＝CA ＋FC .又BC ＝BF ＋FC ，所以AD ＋AE ＝AB ＋BC ＋CA ，故①正确；对②，由切割线定理有：AD 2＝AF ·AG ，又AD ＝AE ，所以有AF ·AG ＝AD ·AE 成立；对③，很显然，∠ABF ≠∠AGD ，所以③不正确，故应选A.图1－2课标理数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－2，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.课标理数15.N135 【解析】因为PA 为圆O 切线，所以∠PAB ＝∠ACB ，又∠APB ＝∠BAC ，所以△PAB ∽△ACB ，所以PB AB ＝AB CB，所以AB 2＝PB ·CB ＝35，所以AB ＝35.课标文数15.N1 (几何证明选讲选做题)如图1－3，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，图1－3E 、F 分别为AD 、BC 上点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．课标文数15.N1 7∶5图1－4【解析】图1－4延长AD 与BC 交于H 点，由于DC ∥EF ∥AB ，又DC AB ＝24，所以S △HDC S △HAB ＝416，同理S △EFH S △HAB ＝916，所以S △HDC ∶S 梯形DEFC ∶S 梯形EFBA ＝4∶5∶7， 所以梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7∶5.图1－2课标理数11.N1如图1－2，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．课标理数11.N1233【解析】连结AO 与AB ，因为A ，E 是半圆上的三等分点，所以∠ABO ＝60°，∠EBO ＝30°.因为OA ＝OB ＝2，所以△ABO 为等边三角形．又因为∠EBO ＝30°，∠BAD ＝30°，所以F 为△ABO 的中心，易得AF ＝233.课标理数22.N1图1－11如图1－11，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合，已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．课标理数22.N1【解答】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB ， 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．图1－12(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ， 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5，故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数22.N1选修4－1：几何证明选讲图1－11如图1－11，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标理数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.图1－12(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC.从而∠FED＝∠GEC.连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°，故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线图1－10与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1【解答】 (1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.图1－11因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE，因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从而∠FED＝∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．课标文数22.N1如图1－10，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．图1－10已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C，B，D，E四点共圆；(2)若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．课标文数22.N1图1－11【解答】 (1)证明：连结DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即AD AC ＝AE AB，又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB ，即∠ACB 与∠EDB 互补，所以∠CED 与∠DBC 互补， 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC ，从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数12.N1如图1－6所示，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－6课标理数12.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF ，得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标文数13.N1如图1－5，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．图1－5课标文数13.N172【解析】设AF ＝4k (k >0)，则BF ＝2k ，BE ＝k . 由DF ·FC ＝AF ·BF 得2＝8k 2，即k ＝12.∴AF ＝2，BF ＝1，BE ＝12，AE ＝72，由切割线定理得CE 2＝BE ·EA ＝12×72＝74，∴CE ＝72.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换 设矩阵M ＝错误!(其中a >0，b >0)． ①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3.解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数5.N3在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为()A ．2 B.4＋π29C.1＋π29D. 3课标理数5.N3 D 【解析】点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，圆心(1，0)到点(1，3)的距离为 3.课标理数3.N3在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)课标理数3.N3 B 【解析】由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化为普通方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，其圆心坐标为(0，－1)，所以其极坐标方程为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2，故应选B.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为 d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数14.N3 (坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2y ＝t(t ∈R )，它们的交点坐标为________．课标理数14.N3⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255 【解析】把参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ化为标准方程得x 25＋y 2＝1(y ≥0)，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t 化为标准方程得y 2＝45x (x >0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2＝1，y 2＝45x ，得x ＝1或x＝－5(舍去)，把x ＝1代入y 2＝45x 得y ＝255或y ＝－255(舍去)，所以交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，255.课标理数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标理数9. N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α化为普通方程：x 2＋(y －1)2＝1，圆心为(0，1)，r ＝1，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0，则圆心在曲线C 2上，直线与圆相交，故C 1与C 2的交点个数为2.课标文数9.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．课标文数9.N3 2 【解析】曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α，化为普通方程：x 24＋y 23＝1①，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0化为普通方程：x －y ＋1＝0②.联立①，②得7x 2＋8x －8＝0，此时Δ＝82－4×7×(－8)>0.故C 1与C 2的交点个数为2.课标理数15.N3 (1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．课标理数15.N3【答案】x 2＋y 2－4x －2y ＝0【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ⇒cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ⇒ρ2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.课标理数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标理数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数) (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝2 3.课标理数23.N3选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标理数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)． 因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )．因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称．因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ，(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．课标文数23.N3【解答】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为（2x ′＋2x ）（x ′－x ）2＝25.课标文数23.N3在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，P 点的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.课标文数23.N3【解答】 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α，(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β.N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲 解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径． 从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243.设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2.解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．【解答】由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.N4D ．选修4－5：不等式选讲 本题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力．【解答】原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －（2x －1）<3. 解得12≤x <43或－2<x <12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x <43.课标理数11.N3已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________．课标理数11.N3 2 【解析】由抛物线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t ，消去t ，得y 2＝8x ，∴焦点坐标为(2，0)．∴直线l 的方程为y ＝x －2.又∵直线l 与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切， ∴r ＝|4－2|12＋12＝ 2.课标理数21.N2(1)选修4－2：矩阵与变换设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )(其中a >0，b >0)．①若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．N3(2)坐标系选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．①已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；②设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． N4(3)选修4－5：不等式选讲 设不等式|2x －1|<1的解集为M . ①求集合M ；②若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．课标理数21.【解答】N2(1)①设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．又M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001)．所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13.故所求的逆矩阵M－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫120013)． ②设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b )⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′)，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.N3(2)①把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P 的直角坐标(0，4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上． ②因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)， 从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2. 由此得，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.N4(3)①由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x<1， 所以M ＝{x|0<x<1}．②由①和a ，b ∈M 可知0<a<1，0<b<1， 所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0. 故ab ＋1>a ＋b.课标理数10.N4，E6设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．课标理数10.N4，E6 9 【解析】方法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4x 2y 2＋1x 2y 2＋4≥5＋24x 2y 2×1x 2y2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，“＝”成立．方法二：利用柯西不等式：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ×1x ＋1y ×2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y 2时，等号成立．课标理数15.N4 (2)(不等式选做题)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．课标理数15.N4【答案】 5【解析】 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，当x ＝0，y ＝3时，|x －2y ＋1|取得最大值5.课标文数15.N4对于x ∈R ，不等式||x ＋10－||x －2≥8的解集为________． 课标文数15.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标理数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得 |x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a ＞0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数24.N4选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．课标理数24.N4【解答】 (1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 课标文数24.N4【解答】(1)f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3， x ≤2，2x －7， 2＜x ＜5，3，x ≥5.当2＜x ＜5时，－3＜2x －7＜3. 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2＜x ＜5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ＜5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．课标文数24.N4设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．课标文数24.N4【解答】 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1， 故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为 {x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0. 此不等式可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤－a 2.由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.课标理数15. (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)N4A .(不等式选做题)若关于x 的不等式|a|≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是____________．图1－5N1B.(几何证明选做题)如图1－5，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________．N3C .(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．课标理数15.(1)N4a ≥3或a ≤－3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|得t 的最小值为3，即有|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3. 课标理数15.(2)N1 4 2 【解析】在Rt △ADC 中，CD ＝82；在Rt △ADC 与Rt △ABE 中，∠B ＝∠D ，所以△ADC ∽△ABE ，故AB AD ＝BE CD ，BE ＝ABAD×CD ＝4 2. 课标理数15.(3)N3 3 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ消参得(x －3)2＋(y －4)2＝1；由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为5，两圆半径都为1，故|AB |≥3，最小值为3.课标文数15.N4A.(不等式选做题)若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．图1－7N1B.(几何证明选做题)如图1－7，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________．N3C.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．课标文数15A.N4 (－∞，3] 【解析】由绝对值的几何意义得|x ＋1|＋|x －2|≥3，要使得|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，则a ≤3，即a ∈(－∞，3]．课标文数15B.N1 2 【解析】根据图形由∠ACD ＝90°，∠B ＝∠D ，得A ，B ，C ，D 四点共圆，连接BD ，则∠DBA ＝90°，AB ＝6，AD ＝12，所以∠BDA ＝30°＝∠BCA .因为AE ⊥BC ，AE ＝12AC ＝2.课标文数15C.N3 1 【解析】由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ消参得(x －3)2＋y 2＝1，由C 2：ρ＝1得x 2＋y 2＝1，两圆圆心距为3，两圆半径都为1，故|AB |≥1，最小值为1.课标数学21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．图1－7N1A ．选修4－1：几何证明选讲如图1－7，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程． N4D ．选修4－5：不等式选讲解不等式x ＋|2x －1|<3.课标数学21.N1A ．选修4－1：几何证明选讲 本题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力．【解答】证明：连结AO 1，并延长分别交两圆于点E 和点D.连结BD ，CE.因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2，所以BD ∥CE ， 于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2. 所以AB ∶AC 为定值．N2B ．选修4－2：矩阵与变换 本题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力．【解答】A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121⎣⎢⎡⎦⎥⎤1121＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3243⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，从而⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2. 解得x ＝－1，y ＝2，所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12. N3C ．选修4－4：坐标系与参数方程 本题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力．。