直线方程中的对称问题

直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）()3,1A 关于点()2,3P 的对称点'A 的坐标,（2）()2,4A ，()'0,2A 关于点P 对称，求点P 坐标.解：由题意知点P 是线段'AA 的中点,所以易求（1）()'1,5A（2）()1,3P .因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题 求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标 解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程 ①又与垂直，且斜率都存在即有 ②由①②解得 ，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。

一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。

三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。

由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。

【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。

其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。

由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。

但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。

而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。

定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。

直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。

方法一：设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面：1， 直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。

点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。

☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称分两种：1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。