3.4函数的应用(一)

3.4 函数的应用（一）-人教A版高中数学必修第一册（2019版）教案一、知识目标1.理解函数的定义和作用；2.掌握函数的应用，包括最值和范围等。

二、能力目标1.能够解决生活中实际问题中涉及到的函数问题；2.能够分析和解决函数图像相关的问题；3.能够使用函数的相关概念和技巧解决相关的问题。

三、情境设计情境一：小明最近开始关注健康问题，他想要控制自己的体重。

他在网上查到了一些瘦身食谱，但不知道哪一个对他最适合。

请帮助他分析一下这些食谱对他的身体会产生怎样的影响。

情境二：小王正在准备高考，他发现自己在考试中经常拖延时间，导致无法完成所有的题目。

请帮助他分析一下自己的学习时间和效率之间的关系，并提出解决办法。

四、教材分析本节课主要涉及到函数的应用，包括最值和范围等。

需要注意的是，此部分内容需要结合具体情境进行分析和解决问题。

知识点概括：1.函数的基本概念和基本性质；2.最值问题；3.范围问题。

五、教学重点与难点教学重点：1.函数的应用；2.最值问题和范围问题。

教学难点：1.如何将函数的概念应用到实际问题中；2.如何有效地解决最值和范围问题。

六、教学方法1.情景模拟法；2.讲授法；3.问答法。

七、教学步骤步骤一：函数的应用概述。

引导学生思考函数的作用，如何将函数应用到实际问题中。

通过情景模拟的方式，让学生了解函数在解决实际问题中的重要性。

步骤二：最值问题的分析和解决。

讲解最值的概念和基本公式，并通过例题演示最值问题的解决方法。

然后让学生自己尝试解决一些练习题目。

步骤三：范围问题的分析和解决。

讲解范围的概念和基本公式，并以具体问题为例介绍范围问题的解决方法。

然后让学生自己尝试解决一些练习题目。

步骤四：对比和总结。

让学生将最值问题和范围问题进行比较和总结，帮助他们更好地掌握函数应用的相关知识。

八、教学评价针对本节课的教学目标和步骤，可以通过以下方式进行教学评价：1.题目测试；2.课堂讨论；3.作业评估。

九、教学反思针对本节课的教学效果和学生反应，需要及时进行教学反思并对教学内容和方法进行调整和改进。

3.4函数的应用（一）【知识梳理】知识点一一次函数模型形如y＝kx＋b的函数为一次函数模型，其中k≠0.知识点二二次函数模型1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．3．两点式：y＝a(x－m)(x－n)(a≠0)．知识点三幂函数模型1．解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)．2．单调性：其增长情况由xα中的α的取值而定．【基础自测】1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A．200副B．400副C．600副D．800副3．（多选）某商品A以每件2元的价格出售时，销售量为10万件.经过调查，单价每提高0.2元，销售量减少5000件，要使商品A销售总收入不少于22.4万元，该商品A的单价可定为（）A．2.6元B．2.8元C．3元D．3.2元4．用长度为24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为______m.5．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (km)与时间x (min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10min ，那么y ＝f (x )的解析式为________________．【例题详解】一、二次函数模型例1一公司某年用128万元购进一台生产设备，使用x 年后需要的维护费总计2214x x +万元，该设备每年创造利润54万元．(1)求使用设备生产多少年，总利润最大，最大是多少？(2)求使用设备生产多少年，年平均利润最大，最大是多少？跟踪训练1目前脱贫攻坚进入决胜的关键阶段，某扶贫企业为了增加工作岗位和增加员工收入，决定投入90万元再上一套生产设备，预计使用该设备后前()*N n n ∈年的支出成本为()2105n n -万元，每年的销售收入95万元.(1)估计该设备从第几年开始实现总盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由.二、分段函数模型例2双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x (千辆)获利()W x (万元)，230350,02,()240340,26,x x W x x x x +<≤⎧=⎨-++<≤⎩，该公司预计2022年全年其他成本总投入为()2010x +万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为()f x (单位:万元)．(1)求函数()f x 的解析式;(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大?最大利润是多少?跟踪训练2某电影院每天最多可制作500桶爆米花，每桶售价相同，根据影院的经营经验，当每桶售价不超过20元时，当天可售出500桶；当每桶售价高于20元时，售价每高出1元，当天就少售出20桶.已知每桶爆米花的成本是4元，设每桶爆米花的售价为x （4x >且*x ∈N ）元，该电影院一天出售爆米花所获利润为y 元.（总收入=总成本+利润）(1)求y 关于x 的函数表达式；(2)试问每桶爆米花的售价定为多少元时，该电影院一天出售爆米花所获利润最大？最大利润为多少元？三、幂函数模型例3某企业计划投资生产甲、乙两种产品，根据长期收益率市场预测，投资生产甲产品的利润与投资额成正比，投资生产乙产品的利润与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时，甲、乙两类产品的利润分别为0.125万元和0.5万元.（1）分别写出两类产品的利润与投资额x 的函数关系式；（2）该企业有100万元资金，全部用于生产甲、乙产品，问怎样分配资金能使得利润之和最大，最大利润为多少万元？跟踪训练3美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y (千万元)与投入的资金x (千万元)的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y (千万元)与投入的资金x (千万元)的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大?（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A ，B 两种芯片.设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所获利润，当x 为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-发耗费资金)【课堂巩固】1．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（）①这几年生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．A ．1B ．2C ．3D ．42．如图所示，OAB 是边长为2的等边三角形，直线x t =截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y （见图中阴影部分），则函数()y f t =的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．3．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H 与下降时间t 之间的函数关系的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．2030x ≤≤，x *∈NB ．2045x ≤≤，x *∈NC ．1530x ≤≤，x *∈N D ．1545x ≤≤，x *∈N 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：每户每月用水量水价不超过310m 的部分2.5元3/m 超过310m 但不超过315m 的部分5元3/m超过315m 的部分7.5元3/m若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（）A ．317m B ．315m C ．313m D ．326m 36．“空气质量指数（AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当AQI 大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数y 随时间t 变化的趋势由函数10290,01224,1224t t y t -+≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（）A ．5小时B ．6小时C ．7小时D ．8小时7．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y （单位：10万元）与营运年数()*N x x ∈为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（）年时，其营运的年平均利润yx最大.A ．3B ．4C ．5D ．68．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形的两边长x ，y 应分别为________．9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费________元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了________千米．10．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？11．某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？12．手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费．①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？【课时作业】1．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y （单位；人）与某产品销售单价x （单位：元）满足关系式：4020my x x =-+-，其中20<x <100，m 为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015人；假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件；下列说法错误的是（）A ．实数m 的值为10000B ．销售单价越低，直播在线购买人数越多C ．当x 的值为30时利润最大D ．利润最大值为100002．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资､薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A ．2000元B ．1500元C ．990元D ．1590元3．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<4．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出L V 用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L 5V 后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V 的最小值为（）A ．5B ．10C ．15D ．205．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为（）m ．A ．400B ．12C ．20D ．306．在2h 内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.下面能反映血液中药物含量Q 随时间t 变化的图象是（）A ．B ．C ．D ．7．如图一直角墙角，两边的长度足够长，P 处有一棵树与两墙的距离分别是am 、4m ，其中012a <<，不考虑树的粗细，现在想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为S （单位：2m ），若将这棵树围在花圃内，则函数()S f a =的图象大致是（）A．B．C ．D．8．已知某商品的进货成本为10（元/件），经过长时间调研，发现售价x （元）与月销售量y （件）满足函数关系式216008000y x x=+．为了获得最大利润，商品售价应为（）A ．80元B ．60元C ．50元D ．40元9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，根据销售经验，这种商品每天的销量m （件）与售价x （元）满足一次函数1002m x =-，若要每天获得最大的销售利润，则每件商品的售价应定为___________元.10．长为5、宽为4的矩形，当长增加x ，且宽减少2x时面积最大，此时x ＝___________，最大面积S ＝___________．11．某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q （单位：元）关于产量x （单位：个）满足函数：21400,0400280000,400x x x Q x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩.(1)将利润P （单位：元）表示为产量x 的函数；（总收入＝总成本＋利润）(2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？(3)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元？12．销售甲、乙两种商品所得利润分别是12,y y 万元，它们与投入资金x 万元的关系分别为1y a =+，2y bx =（其中,,m a b 都为常数），函数12,y y 对应的曲线12,C C 如图所示．（1）求函数1y 与2y 的解析式；（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．13．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室（靠墙一侧利用原有墙体），如图所示.如果已有材料可建成的围墙总长度为30m ，那么当宽x （单位：m ）为多少时，才能使所建造的居室总面积最大？居室的最大总面积是多少？（不考虑墙体厚度）14．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x （*N x ∈）满足函数关系式21608002y x x =-+-．(1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；(2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x的值最大？15．牧场中羊群的最大蓄养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲率．已知羊群的年增长量y 只和实际蓄养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0)．(空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值)(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．。

3.4函数的应用(一)知识解读•必须会知识点1 常见的几种函数模型1.（2022·安徽亳州高一期中）商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价20元,茶杯每个定价5元,该商店现推出两种优惠方案:①买一个茶壶赠送一个茶杯;②按购买总价的92%付款。

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个)。

当购买茶杯x个时,付款为y 元,试分别建立两种优惠方案中的y与x之间的函数解析式,并指出如果该顾客需购买茶杯40个,应选择哪种优惠方案。

解析：由优惠方案①,得函数解析式为y1=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,x∈N*)。

由优惠方案②,得函数解析式为y2=(20×4+5x)×92%=4.6x+73.6(x≥4,x∈N*)。

当该顾客需购买茶杯40个时,采用优惠方案①应付款y1=5×40+60=260(元),采用优惠方案②应付款y2=4.6×40+73.6=257.6(元)。

由于y2<y1,故应选择优惠方案②。

知识点2 用函数模型解决实际问题的方法与步骤2.（2021·山东菏泽23校高一期末联考）为节约能源,倡导绿色环保,某主题公园有60辆电动观光车供租赁使用,管理这些电动观光车的费用是每日120元。

根据经验,若每辆电动观光车的日租金不超过5元,则电动观光车可以全部租出;若超过5元,则每超过1元,租不出的电动观光车就增加2辆。

为了便于结算,每辆电动观光车的日租金x(元)(x只取整数),并且要求出租电动观光车一日的收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租电动观光车的日净收入(即一日出租电动观光车的总收入减去管理费用后的所得)。

(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;答案：(1)当x≤5时,y=60x-120,令60x-120>0,解得x>2,因为x∈N*,所以3≤x≤5。

当x>5时,y=[60-2(x-5)]x-120=-2x2+70x-120,令-2x2+70x-120>0,有x2-35x+60<0,上述不等式的整数解为2≤x ≤33(x ∈N *),所以5<x ≤33(x ∈N *)。