江苏省南通市海安高级中学2016-2017高一下期末数学试题

高一下学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A. 三角形B. 四边相等的四边形C.梯形D.平行四边形2.下列结论正确的是 ( )A ．当1,0≠>x x 时，2lg 1lg ≥+x xB ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 C. 当R x ∈时，x x 212>+ D ．当0>x 时，x x 1+的最小值为2 3.已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若//,//,m n αα则//m nB ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αC ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥D ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥4.已知棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，该三棱锥的侧视图可能为（ ）5.若n m ,满足012=-+n m , 则直线03=++n y mx 过定点 ( ) A. )61,21( B. )21,61(- C. )61,21(- D. )21,61(-6.ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ） 高一数学（文）第（1）页（共4页）A ．1B ．2 C．2 D．7.在ABC ∆中，3AB =，4BC =，120ABC ∠=︒，若把ABC ∆绕直线AB 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）A. 11πB. 12πC. 13πD. 14π 8.已知直线1:(3)(4)10l k x k y -+-+=与2:2(3)230l k x y --+=平行则k 的值是( ) A. 3和5 B. 3和4 C. 4和5 D. -3和-5 9.数列{}n a 满足n n a a a 11,2111-==+则2014a 等于 （ ）A ．12B ．－1C ．2D ．3A BC 120︒10.若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为（ ）ABCD11..三棱锥S ABC -及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB 的长为（ ）A.B.12.已知三棱柱 111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ， 1AA =12，则球O 的半径为A ．B ．． 132D ．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡中的横线上.）13..在ABC ∆中，已知222sin C a b c =+-，则C ∠= 。

2016-2017 学年终学业质量监测高一数学参照公式：锥体的体积 V1Sh ，此中 S 为锥体的底面积， h 为高 . 3第Ⅰ卷（共 60 分）一、填空题：本大题共 14 个小题 ,每题 5 分 ,共 70 分 .请把答案填写在答题卡相应地点上.1.函数 ysin 2x3 的最小正周期为 __________．2.已知会合 A x | 1 x 1 , B 1,0,2 ，则 AB ___________．3.函数 y12 x x 2 的定义域为 ___________．4.在 ABC 中，设角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c .若 a b c bc a3bc ，则角 A 的大小为 _________．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为 2cm ，则该棱锥的体积为3.5.__________ cm 6.设 a, b 为单位向量，且 a, b 的夹角为 2 ，则 ab b 的值为 _________.3已知方程 2 x4 x 的根在区间k, k 1 k Z上，则 k 的值为_________ ．7.102n8.3 的值为 _________．n 19.在正方体 ABCD A 1 BC 1 1D 1 中，与 AC 1 垂直的面对角线的条数是 ___________．10.设函数 f x ka x k R, a 1 的图象过点 A 0,8 , B 3,1 ，则 log ak 的值为__________．11.如图，三个同样的正方形相接，则tan ABC 的值为 __________ ．12.钢材市场上往常将同样的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99 根同样的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则节余的圆钢根数为___________.sin513.已知sin cos 4cos sin 0 ，则的值为．35 5 cos1014.已知正数x, y知足x 1 1 1 1．x4 y 10 ，则的最大值为y x y二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，点D , E分别在棱 BC, B1C1上（均异于端点），且AD C1D, A1E C1D .（1）求证：平面ADC1平面BCC1B1；（2）求证：A1E / /平面ADC1 .16.设OA,OB不共线，且OC aOA bOB a,b R .（1）若a 1, b 2 ，求证： A, B,C 三点共线；3 3（2）若A, B,C三点共线，问： a b 能否为定值？并说明原因.17.已知 ABC 的外接圆的半径为1 sin A. ， A 为锐角，且 35（1）若AC 2 ，求 AB 的长；（2）若tan A B 1，求 tan C 的值. 318. 某工厂 2 万元设计了某样式的服饰，依据经验，每生产 1 百套该样式服饰的成本为 1 万2 0.8,0 x 5 元，每生产 x （百套）的销售额（单位：万元）P x 9 ., x 5x 3（1）若生产 6 百套此款服饰，求该厂获取的收益；（2）该厂起码生产多少套此样式服饰才能够不赔本？（3）试确立该厂生产多少套此样式服饰可使收益最大，并求最大收益.（注：收益 =销售额 - 成本，此中成本 =设计费 +生产成本）19. 设a为实数，函数 f x 2 x x a a, x R.（1）求证：f x 不是 R 上的奇函数；（2）若f x 是 R 上的单一函数，务实数 a 的值；（3）若函数 f x 在区间2,2 上恰有3 个不一样的零点，务实数 a 的取值范围.20.设等差数列a n 是无量数列，且各项均为互不同样的正整数，其前 n 项和为 S n，数列 b n 知足 b n S n 1,n N *.a n（1）若a2 5, S5 40，求 b2的值；（2）若数列b n为等差数列，求b n；（3）在（ 1）的条件下，求证：数列a n 中存在无量多项（按本来的次序）成等比数列.试卷答案一、填空题1.2.3.3,44. 5.4 6.1 1 8. 2076 9.27.3 32610.311.1 12. 8 13.37 14. 95二、解答题 15. 证明：（1）在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中， CC平面 ABC ，由于 AD平面 ABC ，因此1CC 1AD ．又 ADC 1D ， CC 1 C 1D C 1 ， CC 1,C 1D 平面 BCC 1 B 1 ，因此 AD 平面 BCC 1B 1 ，又 AD平面ADC 1 ，因此平面 ADC 1平面 BCC 1B 1 ；（2）由于 A 1 E C 1D ，由（ 1）同理可得， A 1 E 平面 BCC 1B 1 ，又由（ 1）知， AD 平面 BCC 1 B 1 ，因此 A 1E / /AD ，又 A 1E 平面 ADC 1 ， AD 平面 ADC 1 ，因此A 1E / / 平面 ADC 1 ．16．证明：（ 1）当 a1, b 2 时， OC 1OA 2OB ，3 3 33 因此2OC OB1OA OC ， 33即 2BCCA ，因此 BC//CA ，因此 A, B,C 三点共线．（2） ab 为定值 1，证明以下：由于 A, B,C 三点共线，因此AC / / AB ，不如设ACABR ，因此OCOAOB OA ，即 OC1 OA OB ，又 OC aOA bOB ，且 OA, OBa1由平面向量的基本定理，得不共线，，b因此 a b 1（定值）．．解：（ ）在 ABC 中，由正弦定理 a b c2R 得，17 1sin Asin Bsin C136a 2R sin A 2，553, A3 24 ， 由于 sin A0,，因此 cos A1 sin2 A1425522c 2a24 22c 26在 ABC 中，由余弦定理 cos A b5，2bc得，22 c5解得 c 8 ，因此 AB 的长为 8 ；55sin A 33（2）由（ 1）知， tan A5 ，cos A 4 45tan Atan A B 3 113因此tan Btan A A B4 3 ．1 tan A tan AB 13 194 3在 ABC 中， AB C，tan Atan B3 1379因此 tan Ctan A B4 9．tan A tan B 13 13 1 34 91816 时，收益 y P 62 6 19（万．解：（ ）当 x6 3元）；（2）考虑 0x 5时，收益y P x2 x 22 x22.8 ，令 y20得， 1 x 7 ，因此 x min 1 ；（3）当 0 x 5 时，由（ 2）知 y 20.4 x 23.6 ，4因此当 x 4时，y min（万元），当 x5时，收益 y P x2 x9 2 xx9 ，x 3 3x 3由于 x39 2 x 3 x 96（当且仅当 x 3 9 ，即 x 6 时，取“ =”），x 3 3 x 3因此 y max3.7 （万元），综上，当 x6时，y max3.7 （万元）．答：（1）生产 6 百套此款服饰，该厂获取收益 3.7 万元；（ 2）该厂起码生产 1 百套此样式服装才能够不赔本； （ 3）该厂生产 6 百套此样式服饰时，收益最大，且最大收益为 3.7 万元．19．证明：（ 1）假定 f x 是 R 上的奇函数，则对随意的 x R ，都有 f xf x （ * ）取 x0 ，得 f 00 ，即 2 a a 0 ，解得 a 0 ，此时 f x 2x x ，因此 f 13, f 11，进而 f 1f 1 ，这与（ * ）矛盾，因此假定不建立，因此f x 不是 R 上的奇函数；（2） f xx 2 a 2 x a, x ax 2a 2 x 3a, x，a①当 a2 时，对称轴 xa 2 a ，因此 f x 在,a2 上单一递减， 在a 2, a22 2上单一递加，在a,上单一递减，不符；②当 a2 时，对称轴 xa 2 a ，因此 f x 在, a 上单一递减， 在 a,a2 上单22调递加，在a 2上单一递减，不符；2,③当 a 2 a 2a ，因此f x 在,2 上单一递减，在2，上单一时，对称轴 x 2递减，因此 f x 是 R 上的单一减函数．综上， a 2 ．（3）①当a 2时，由（2）知， f x 是 R 上的单一减函数，至多 1 个零点，不符；②当 a 2 时，由（ 2）知，2a 2a ，因此f x 在2,2 上单一递减，x2因此 f x 在2,2 上至多1 个零点，不符；③当 a 2 时，由（2）知，2 x a 2 a ，因此 f x 在,a 上单一递减，在a,a22 2上单一递加，在 a 2,2 上单一递减．2由于 f x 在区间2,2 上恰有3 个零点，a 2 12a a 2因此 f 2 3a 8 0, f a a 0, f2 0，2 4f 2 a 0 ，解得 0 a 4 2 3 或 a 4 2 3 ，又a 2 ，故0 a 4 2 3 ，综上，实数 a 的取值范围是0, 4 2 3 ．20．解：（ 1）设等差数列 a 的公差为d，n由于无量数列a n 的各项均为互不同样的正整数，因此a1 N * , d N *，（1）由a25, S5 40得，a1 d 5,5 a1 5 4 d 40 ，2解得 a1 2, dS21a1 2 3 ，因此b2a2；a2 5（2）由于数列b n 为等差数列，因此2b2 b1 b3，即 2 S2 1 S1 1S3 1，a2 a1 a32 2a1 d3 a1 d，解得 a1 d （d 0 已舍），因此 12da1 d a1n n 1S n1 2 a11n 1；此时， b nna1 2a n（3）由（ 1）知，等差数列a n 的通项公式 a n 2 3 n 1 , n N * ，下证：对随意的n N *，b n 2 4n 1都是 a n 中的项，证明：当 n 2 时，由于 1 4 42 4n 2 4n 1 1 ，3因此b n 2 4n 1 2 31442 4n 2 1 2321442 4n 2 1 1a2 1 4 4 2 4n 2 1，此中 2 1 4 42 4n 2 1 N*，又 n 1时，b1 a1 2 ，因此对随意的 n N *，b n 2 4n 1都是a n中的项，因此，数列a n 中存在无量项（按本来的次序）成等比数列．。

2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为．2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为．3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为．5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是．6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为．7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为．8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为．9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=， =．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为．11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为．12．在△ABC中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B的平分线交AC于点D，则•的值为．13．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣3x．若方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα的值；（2）求cos2α的值．16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．（1）试将•表示α的函数f（α），并写出其定义域；（2）求函数f（α）的值域．18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B 的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l．①求直线MN的方程；②求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南通市通州区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设集合A={1，2}，B=（a+1，2），若A∪B={1，2，3}，则实数a的值为 2 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】由并集定义得a+1=3，由此能求出实数a的值．【解答】解：∵集合A={1，2}，B=（a+1，2），A∪B={1，2，3}，∴a+1=3，解得实数a的值2．故答案为：2．2．若向量=（2，1），=（﹣4，x），且∥，则x的值为﹣2 ．【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量共线定理即可得出．【解答】解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．3．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠A=120°，则△ABC的面积为．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式求解即可得答案．【解答】解：∵AB=2，AC=3，∠A=120°，∴S△ABC=AB•AC•sinA==．故答案为：．4．函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2）的定义域为（﹣2，1）．【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=lg（2﹣x﹣x2），∴2﹣x﹣x2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得﹣2＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．5．若指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】48：指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据指数函数的图象和性质，列出不等式求出a的取值范围．【解答】解：指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的单调减函数，∴0＜a﹣1＜1，解得1＜a＜2；∴实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．6．已知直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，则弦AB的长为 4 ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆心为C（2，0），半径r=，再求出圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，从而弦AB的长|AB|=2，由此能求出结果．【解答】解：圆（x﹣2）2+y2=6的圆心为C（2，0），半径r=，圆心C（2，0）到直线x﹣y=0的距离d==，∵直线x﹣y=0与圆（x﹣2）2+y2=6相交于A，B两点，∴弦AB的长|AB|=2=2=4．故答案为：4．7．已知两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，则点P到x轴的距离为．【考点】H7：余弦函数的图象；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意根据cosx=sinx，求得x的值，可得y的值，从而得到点P到x轴的距离为|y|的值．【解答】解：两曲线f（x）=cosx与g（x）=sinx的一个交点为P，设点P的坐标为（x，y），由cosx=sinx，可得tanx=，∴x=kπ+，k∈Z，∴y=±，∴点P到x轴的距离为|y|=，故答案为：．8．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2．AA1=4，则该长方体外接球的表面积为24π．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】由长方体的对角线公式，算出长方体对角线AC1的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可得到，该球的表面积【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，∴长方体的对角线AC1==2，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，∴球的一条直径为AC1，可得半径R=，因此，该球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=24π故答案为：24π．9．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，且=， =．若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】==+=+=﹣.，，即可求得λ+μ．【解答】解： ==+=+=﹣．∴，则λ+μ=．故答案为：10．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，△DEF为平行于棱柱底面的截面，O1，O分别为上、下底面内一点，则六面体O1DEFO的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】六面体的体积为上下两个棱锥的体积和，根据体积公式化简即可得出答案．【解答】解：设三棱锥O1﹣DEF的高为h1，三棱锥O﹣DEF的高为h2，则h1+h2=AA1=2，∴V O﹣DEF+V=+=S△DEF•（h1+h2）==．故答案为：．11．将函数f（x）=sinωx（0＜ω＜6）图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象．若g（x）图象的一个对称中心为（，0），则f（x）的最小正周期为．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】求出g（x）的解析式，利用对称中心得出ω，再代入周期公式得出答案．【解答】解：g（x）=f（x﹣）=sinω（x﹣）=sin（ωx﹣ω），∴g（）=sin（﹣ω）=0，即﹣ω=k π，k ∈Z ，∴ω=3k π，又0＜ω＜6， ∴ω=3，∴f （x ）的最小正周期为T=．故答案为．12．在△ABC 中，已知AB=AC=4，BC=2，∠B 的平分线交AC 于点D ，则•的值为 ﹣．【考点】9R ：平面向量数量积的运算．【分析】由余弦定理求得cosA ，可得•=4×4×=14，再由内角平分线定理，可得AD=，再由向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：由余弦定理可得cosA===，可得•=4×4×=14，由BD 为∠ABC 的平分线，可得===2，AD=，即有•=•（﹣）=•（﹣）=2﹣•=×16﹣14=﹣．故答案为：﹣．13．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x 2﹣3x ．若方程f （x ）+x ﹣t=0恰有两个相异实根，则实数t的所有可能值为{﹣1，1} ．【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的解析式，分离参数可得t=f（x）+x，作出g（x）=f（x）+x的函数图象，根据图象可得t=±1．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2+3x）=﹣x2﹣3x，由f（x）+x﹣t=0得t=，令g（x）=，作出g（x）的函数图象如图所示：∵方程f（x）+x﹣t=0恰有两个相异实根，即g（x）=t有两个实根，∴t=1或t=﹣1．故答案为：{﹣1，1}．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2a，0）（a＞0），直线l1：mx﹣y﹣2m+2=0与直线l2：x+my=0（m∈R）相交于点M，且MA2+MO2=2a2+16，则实数a的取值范围是[2，1+] ．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】两直线方程联立，消去m，可得M的轨迹方程，再设M（x，y），运用两点的距离公式，可得M的又一轨迹方程，由两圆有公共点，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：由题意，，将m=﹣代入l1：mx﹣y﹣2m+2=0，化简可得x2+y2﹣2x﹣2y=0，即有M在以圆心C1（1，1），半径为的圆上，又点A（2a，0）（a＞0），设M（x，y），MA2+MO2=2a2+16，可得（x﹣2a）2+y2+x2+y2=2a2+16，即有x2+y2﹣2ax+a2﹣8=0，可得M在以圆心C2（a，0），半径为2的圆上，由两圆相交可得≤|C1C2|≤3，即为≤≤3，解得2≤a≤1+．故答案为：[2，1+]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．已知tan（α﹣）=﹣．（1）求tanα的值；（2）求cos2α的值．【考点】GR：两角和与差的正切函数；GU：二倍角的正切．【分析】（1）由已知利用两角差的正切函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．（2）由tanα=，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵tan（α﹣）==﹣．∴解得：tanα=．（2）∵tanα=，∴cos2α===．16．在四棱锥P﹣ABCD中，已知DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点．（1）求证：AE∥平面PBC；（2）若PB⊥PC，PB⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PCD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）取PC中点E，连结EF、BF，推导出四边形ABFE是平行四边形，从而AE∥BF，由此能证明AE∥平面PBC．（2）由DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，得PB⊥CD，从而PB⊥平面PCD，由此能证明平面PAB⊥平面PCD．【解答】证明：（1）取PC中点E，连结EF、BF，∵在四棱锥P﹣ABCD中，DC∥AB，DC=2AB，E为棱PD的中点，∴EF CD，AB，∴EF AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF，∵AE⊄平面PBC，BF⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC．（2）∵DC∥AB，PB⊥PC，PB⊥AB，∴PB⊥CD，∵PC∩CD=C，∴PB⊥平面PCD，∵PB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为1的正△OAB的顶点A，B均在第一象限，设点A在x轴的射影为C，∠AOC=α．（1）试将•表示α的函数f （α），并写出其定义域；（2）求函数f （α）的值域．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据题意，用α表示出、、，求出，利用数量积个数计算f （α）并化简，写出α的取值范围；（2）根据α的取值范围即可求出函数f （α）的值域．【解答】解：（1）根据题意，||=1，∠AOC=α，∴=（cos α，sin α），=（cos （α+），sin （α+）），=（cos α，0）；∴=﹣=（cos （α+）﹣cos α，sin （α+）），∴f （α）=•=cos α[cos （α+）﹣cos α]+sin αsin （α+）=cos[（α+）﹣α]﹣cos 2α=﹣=﹣cos2α，其中α∈（0，）；（2）由（1）知，f （α）=﹣cos2α，α∈（0，）时，2α∈（0，），cos2α∈（，1），∴﹣cos2α∈（﹣，﹣），∴函数f （α）的值域为（﹣，﹣）．18．如图，海平面某区域内有A，B，C三座小岛，岛C在A的北偏东70°方向，岛C在B 的北偏东40°方向，且A，B两岛间的距离为3海里．（1）求B，C两岛间的距离；（2）经测算海平面上一轮船D位于岛C的北偏西50°方向，且与岛C相距3海里，求轮船在岛A的什么位置．（注：小岛与轮船视为一点）【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】（1）在△ABC中使用正弦定理得出BC；（2）在△ABC中求出AC，再在△ACD中利用余弦定理求出AD，利用正弦定理求出∠DAC，得出结论．【解答】解：（1）由题意可得∠ABC=105°，∠BAC=45°，AB=3，∴∠ACB=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=3（海里）．（2）由题意可知CD=3，∠ACD=60°，在△ABC中，由余弦定理得AC==3，在△ACD中，由余弦定理AD==3，由正弦定理得：，即，解得sin∠DAC=，∴∠DAC=45°，∴D船在A岛北偏东25°方向上，距离A岛3海里处．19．在平面直角坐标系xOy中，圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN的垂线交l于点P．（1）若MN∥l．①求直线MN的方程；②求△PMN的面积．（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【分析】（1）①求出直线MN的斜率k=k AB=﹣，由此能求出直线MN的方程．②求出点O（0，0）到直线MN的距离d=1，从而MN=2=2，点O到直线l的距离|OP|=4，P到MN的距离h=4﹣1=3，由此能求出△PMN的面积S△PMN．（2）设M（x0，y0），则直线MN的斜率k=，直线OP的斜率为﹣，直线OP的方程为y=﹣，联立，得点P（，﹣），求出，，推导出=0，从而PM⊥OM，进而直线PM与圆O相切．【解答】解：（1）①∵圆：x2+y2=4，直线l：4x+3y﹣20=0．A（，）为圆O内一点，弦MN过点A，MN∥l，∴直线MN的斜率k=k AB=﹣，∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），整理，得：4x+3y﹣5=0．②点O（0，0）到直线MN的距离d==1，MN=2=2=2，点O到直线l的距离|OP|==4，∴P到MN的距离h=4﹣1=3，∴△PMN的面积S△PMN===3．（2）直线PM与圆O相切，证明如下：设M（x0，y0），则直线MN的斜率k==，∵OP⊥MN，∴直线OP的斜率为﹣，∴直线OP的方程为y=﹣，联立，解得点P的坐标为（，﹣），∴=（，﹣），∵=（x0，y0），，∴==﹣4==0，∴⊥，∴PM⊥OM．∴直线PM与圆O相切．20．已知函数f（x）=a|x﹣b|+1，其中a，b∈R．（1）若a＜0，b=1，求函数f（x）的所有零点之和；（2）记函数g（x）=x2﹣f（x）．①若a＜0，b=0，解不等式g（2x+1）≤g（x﹣1）；②若b=1，g（x）在[0，2]上的最大值为0，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】（1）判断f（x）的单调性和对称轴，得出零点个数和零点之和；（2）①根据g（x）的奇偶性和单调性列出不等式得出x的范围；②讨论a的范围，判断g（x）的单调性，根据最大值验证或列出不等式得出a的范围．【解答】解：（1）f（x）=a|x﹣1|+1=，∵a＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又f（1）=1，∴f（x）在（﹣∞，1）和（1，+∞）上各有1个零点，∵f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（x）的所有零点之和为2．（2）①b=0时，f（x）=a|x|+1，∴g（x）=x2﹣a|x|﹣1，∴g（﹣x）=g（x），即g（x）是偶函数，∵a＜0，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∵g（2x+1）≤g（x﹣1），∴|2x+1|≤|x﹣1|，解得﹣2≤x≤0．原不等式的解集为[﹣2，0]；②b=1时，g（x）=x2﹣a|x﹣1|﹣1=，若a=0，则g（x）=x2﹣1，则g（x）在[0，2]上单调递增，∴g（x）在[0，2]上的最大值为g（2）=3，不符合题意；若a＞0，则g（x）在[0，1]上单调递增，g（1）=0，当x＞1时，g（x）的对称轴为x=，∵g（x）在[1，2]上最大值为0，且g（1）=0，∴≥，即a≥3．若a＜0，则g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）在[1，2]上的最大值为g（2）＞g（1）=0，不符合题意．综上，a≥3．。

2016-2017学年江苏省南通市海安高级中学高一下学期期末考试数学试题一、填空题1．函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 【答案】π【解析】 函数的解析式为sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴函数的最小正周期为22T ππ==，综上所述，答案为π.2．已知集合{}{}|11,1,0,2A x x B =-<<=-，则A B ⋂=___________． 【答案】{}0【解析】 {}{}|11,1,0,2A x x B =-<<=-， {}0A B ∴⋂=，故答案为{}0.3．函数y =___________． 【答案】[]3,4-【解析】要使函数有意义，则2120x x +-≥，即2120x x --≤，即34x -≤≤，故函数的定义域为[]3,4-，故答案为[]3,4-.4．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 的大小为_________． 【答案】3π 【解析】()()()2222223a b c b c a b c a b c a bc bc +++-=+-=+-+= ，即222b c a bc +-=2221cosA 22b c a bc +-∴==， A 为三角形内角， 3A π∴=，故选答案为3π.【思路点睛】本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.5．已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm ，则该棱锥的体积为__________3cm .【解析】侧面的高==，正四棱的高为，体积为223⨯⨯= 6．设,a b 为单位向量，且,a b 的夹角为23π，则()·a b b +的值为_________. 【答案】12【解析】()221·11cos 132a b b a b b π+=⋅+=⨯⨯+= ，故答案为12. 7．已知方程24xx =-的根在区间()(),1k k k Z +∈上，则k 的值为_________．【答案】1【解析】设()24xf x x =+-，则()f x 在(),-∞+∞上递增，又()110f =-< ，()220f =>， ∴方程的根在()1,2上，即1k =，故答案为1.【方法点睛】判断函数()y f x =零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令()0,f x =则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0,f a f b <再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 8．()10123nn =+∑的值为_________．【答案】2076 【解析】()10123n n =+∑=()()1021021222 (210330207612)-++++⨯=+=-，故答案为2076.【方法点晴】本题主要考查等比数列的求和公式以及利用“分组求和法”求数列前n 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前n 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.9．在正方体1111ABCD A BC D -中，与1AC 垂直的面对角线的条数是___________． 【答案】6【解析】由1,BD AC BD AA ⊥⊥ 可得BD ⊥平面1ACA ，从而可得1AC BD ⊥ ，同理可证与1AC 垂直的面对角线还有有1111,,,,BD BC AD AB DC ，因此1AC 垂直的面对角线的条数是6，故答案为6 . 10．设函数()(),1xf x ka k R a -=∈>的图象过点()()0,8,3,1A B ，则log a k 的值为__________． 【答案】3【解析】()xf x ka -= 的的图象过点()()0,8,3,1A B ， 038{1k a k a -⋅=∴⋅=解得8{2k a ==，2log log 83a k ∴==，故答案为3.11．如图，三个相同的正方形相接，则tan ABC ∠的值为__________．【答案】17【解析】由两角差的正切公式可得， 321tan 1327ABC -∠==+⨯，故答案为17.12．钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图），再将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为___________.【答案】8【解析】设正六边形边长由n 个圆钢组成，则此正六边形共有圆钢的个数为，()(){}()21...21n n n n n n ⎡⎤+++++-++-=⎣⎦ ()2331n n g n -+=，当6n =时，()91g n =与99最接近，此时剩余圆钢根数为99918-=，故答案为8.13．已知sin cos 4cos sin 055ππαα-=，则sin 53cos 10παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为__________．【答案】35【解析】sin cos4cos sin055ππαα-= ， tan 4tan5πα∴=，又35102πππ+=， 3cos sin 105ππ∴=， 3sin cos 105ππ=，sin sin cos cos sin 5553cos sin sin cos cos 5510πππαααπππααα⎛⎫-- ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭ tan tan 3tan3555tantan 5tan55ππαππα-===+，故答案为35.14．已知正数,x y 满足11410x y x y +++=，则11x y+的最大值为__________． 【答案】9 【解析】11410x y x y +++=，令11m x y+=， 410x y m ∴+=-， ()()11410x y m m x y ⎛⎫∴++=- ⎪⎝⎭，4559y x x y ++≥+= ， 2x y = 时等号成立，可得()109,19,m m m m -≥≤≤的最大值为9，故答案为9.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.二、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别在棱11,BC B C 上（均异于端点），且111,AD C D A E C D ⊥⊥.（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）求证： 1//A E 平面1ADC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：(1) 利用面面垂直的判定定理，只需证明一个平面经过另一个平面的垂直，证明AD ⊥平面11BCC B 即可；(2 )利用线面平行的判定定理，只需证明平面外的直线平行于平面内的一条直线，证明1//A E AD 即可.试题解析：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中， 1CC ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥．又1AD C D ⊥， 111CC C D C ⋂=， 11,CC C D ⊂平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，又AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）因为11A E C D ⊥，由（1）同理可得， 1A E ⊥平面11BCC B ， 又由（1）知， AD ⊥平面11BCC B ， 所以1//A E AD ，又1A E ⊄平面1ADC ， AD ⊂平面1ADC ， 所以1//A E 平面1ADC ．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.16．设,OA OB 不共线，且(),OC aOA bOB a b R =+∈.（1）若12,33a b ==，求证： ,,A B C 三点共线； （2）若,,A B C 三点共线，问： a b +是否为定值？并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）1a b +=.【解析】试题分析：（1）将12,33a b ==代入OC aOA bOB =+ ，化简可得2BC CA = ，即可得出结论；（2）根据向量共线的性质可得1{a b λλ=-=，进而可得a b +为定值1.试题解析：（1）当12,33a b ==时， 1233OC OA OB =+ ，所以()()2133OC OB OA OC -=-，即2BC CA = ，所以//BC CA ，所以,,A B C 三点共线．（2）a b +为定值1，证明如下：因为,,A B C 三点共线，所以//AC AB，不妨设()AC AB R λλ=∈，所以()OC OA OB OA λ-=- ，即()1OC OA OB λλ=-+ ，又OC aOA bOB =+ ，且,OA OB 不共线，由平面向量的基本定理，得1{ a b λλ=-=，所以1a b +=（定值）．17．已知ABC ∆的外接圆的半径为1， A 为锐角，且3sin 5A =. （1）若2AC =，求AB 的长；（2）若()1tan 3A B -=-，求tan C 的值. 【答案】（1）85；（2）793.【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得3sin 4A =，从而得4cos 5A =，再由余弦定理列方程可得AB 的长；（2）由（1）得3t a n 4A =，再由两角差的下切公式可得13tan 9B =，从而得()79tan tan 3C A B =-+=.试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===得， 362sin 2155a R A ==⨯⨯=，因为3sin ,0,42A A π⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5A ==，在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=得， 2226245522c c⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯⨯，解得85c =，所以AB 的长为85； （2）由（1）知， 3sin 35tan 4cos 45A A A ===，所以()()()31tan tan 1343tan tan 311tan tan 9143A AB B A A B A A B +--⎡⎤=--===⎣⎦+--⨯． 在ABC ∆中， A B C π++=，所以()313tan tan 7949tan tan 313tan tan 13149A B C A B A B ++=-+===-⨯-． 18．某工厂2万元设计了某款式的服装，根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）()20.4 4.20.8,05{ 914.7,53x x x P x x x -+-<≤=->-. （1）若生产6百套此款服装，求该厂获得的利润； （2）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（3）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润.（注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本） 【答案】（1）3.7；（2）1；（3）3.7. 【解析】试题分析：（1）根据题意6x =时销售额减去成本即可得结果 ；（2）只需考虑05x <≤时()0y P x =≥，即可得17x ≤≤，从而可得结果；（3）两种情况讨论，分别求最大值，再比较大小即可.试题解析：（1）当6x =时，利润()()()9626114.7261 3.763y P =-+⨯=--+⨯=-（万元）； （2）考虑05x <≤时，利润()()()2220.4 4.20.820.4 3.2 2.8y P x x x x x x x =-+=-+--+=-+-，令20.4 3.2 2.80y x x =-+-≥得， 17x ≤≤，所以min 1x =；（3）当05x <≤时，由（2）知()220.4 3.2 2.80.44 3.6y x x x =-+-=--+，所以当4x =时， min 3.6y =（万元）， 当5x >时，利润()()()99214.729.7333y P x x x x x x ⎛⎫=-+=--+=--+ ⎪--⎝⎭，因为9363x x -+≥=-（当且仅当933x x -=-，即6x =时，取“=”），所以max 3.7y =（万元），综上，当6x =时， max 3.7y =（万元）．答：（1）生产6百套此款服装，该厂获得利润3.7万元；（2）该厂至少生产1百套此款式服装才可以不亏本；（3）该厂生产6百套此款式服装时，利润最大，且最大利润为3.7万元．19．设a 为实数，函数()()2,f x x x a a x R =---∈. （1）求证： ()f x 不是R 上的奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调函数，求实数a 的值；（3）若函数()f x 在区间[]2,2-上恰有3个不同的零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）(0,4-. 【解析】试题分析：（1）由()()()00{110f f f =+-=无解，即可得结论；（2）分三种情况讨论，结合二次函数的图像及单调性，排除不合题意的a 值即可.（3）三种情况分别结合函数单调性判断出函数零点个数，即可得出结果. 试题解析：（1）假设()f x 是R 上的奇函数， 则对任意的x R ∈，都有()()f x f x -=- （） 取0x =，得()00f =，即20a a -=，解得0a =，此时()()2f x x x =-，所以()()13,11f f -=-=-，从而()()11f f -≠-， 这与（）矛盾，所以假设不成立，所以()f x 不是R 上的奇函数； （2）()()()222,{23,x a x a x a f x x a x a x a-++≤=-++->，①当2a >时，对称轴22a x a +=<，所以()f x 在2,2a +⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[),a +∞上单调递减，不符； ②当2a <时，对称轴22a x a +=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,2a +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，不符； ③当2a =时，对称轴22a x a +==，所以()f x 在(],2-∞上单调递减，在[)2+∞，上单调递减，所以()f x 是R 上的单调减函数． 综上， 2a =．（3）①当2a =时，由（2）知， ()f x 是R 上的单调减函数，至多1个零点，不符； ②当2a >时，由（2）知， 222a x a +<=<，所以()f x 在[]2,2-上单调递减， 所以()f x 在[]2,2-上至多1个零点，不符； ③当2a <时，由（2）知， 222a x a +>=>，所以()f x 在(],a -∞上单调递减，在2,2a a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,22a +⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 因为()f x 在区间[]2,2-上恰有3个零点，所以()()()212222380,0,024a a a f a f a a f -++⎛⎫-=+>=-=⎪-⎝⎭，()20f a =-<，解得04a <<-4a >+又2a<，故042a <<+综上，实数a 的取值范围是(0,4-．20．设等差数列{}n a 是无穷数列，且各项均为互不相同的正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 满足*1,nn nS b n N a =-∈. （1）若255,40a S ==，求2b 的值； （2）若数列{}n b 为等差数列，求n b ；（3）在（1）的条件下，求证：数列{}n a 中存在无穷多项（按原来的顺序）成等比数列.【答案】（1）25；（2）12n -；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由255,40a S ==列方程组求得1a 与d ，进而可得结果；（2）由{}n b 为等差数列可得2132b b b =+结合1nn ns b a =-可得1a d =从而可得结果；（3）由()()12222242314441232144411n n n n b ---⎡⎤⎡⎤=⨯=⨯+++++=+++++-⎣⎦⎣⎦可得对任意的*n N ∈， 124n n b -=⨯都是{}n a 中的项. 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为无穷数列{}n a 的各项均为互不相同的正整数，所以**1,a N d N ∈∈， （1）由255,40a S ==得， 11545,5402a d a d ⨯+=+=， 解得12,3a d ==，所以21222215S a b a a =-==； （2）因为数列{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即3212132111SS S a a a ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，所以()()111122312a d a d a da d++=+++，解得1a d =（0d =已舍），此时， ()11112112n n n n n a S n b a na +-=-=-=； （3）由（1）知，等差数列{}n a 的通项公式()*231,n a n n N =+-∈，下证：对任意的*n N ∈， 124n n b -=⨯都是{}n a 中的项，证明：当2n ≥时，因为1224114443n n ---++++= ，所以()()124n n b -⎡=⨯⎣()22214441n a -+++++= ，其中()22*214441n N -+++++∈ ， 又1n =时， 112b a ==，所以对任意的*n N ∈， 124n n b -=⨯都是{}n a 中的项，所以，数列{}n a 中存在无穷项（按原来的顺序）成等比数列．。