近代数学小波计算题答案

现代数学基础习题解答1 集合与映射-51 证明R ~)1,1(-，其中R 为实数集。

证明 ： 设R 11x x f ⨯-∈⊆)},(|{，()f y x ∈,当且仅当21x xy -=，容易验证，f 是双射。

所以R ~)1,1(-。

2 证明：如果M 是无限集，A 是可数集合，则A M M ⋃~。

证明： 不失一般性，设Φ=⋂A M 。

由于M 是无限集，故M 存在可数子集，设M '是M 的可数子集，则()M M M M '⋃'-=，()()A M M M A M ⋃'⋃'-=⋃，且()Φ='⋂'-M M M ，()()Φ=⋃'⋂'-A M M M ，于是A M ⋃'是可数集合，记{} ,,,,21n m m m M ='，{},,,,21n a a a A M =⋃'， 令A M M f ⋃→:为：若Φ='-M M ，()n n a m f =；若Φ≠'-M M ()⎩⎨⎧'-∈==M M x xm x a x f nn,,，易知f 为双射，故A M M ⋃~。

3 记区间[]1,0中全体无理数所构成集合为D ，证明：[]1,0~D 。

证明： 由于D 是无限集，故D 存在可数无线集，记为D '。

令[]Q Q ⋂='1,0，于是()D D D D '⋃'-=，[]()()Q D D D Q D '⋃'⋃'-='⋃=1,0，且()Φ='⋂'-D D D ，()()Φ='⋃'⋂'-Q D D D ，而且Q D '⋃'为可数集，记{} ,,,,21n d d d D ='，{},,,,21n q q q Q D ='⋃'， 令[]1,0:→D f 为：()⎩⎨⎧'-∈==D D x xd x q x f nn,,，易知f 为双射，故[]1,0~D 。

似，因此系数c 可以反映这种波形的相关程度；步骤3: 把小波向右移，距离为 ，得到的小波函数为 ，然后重复步骤1和2。

再把小波向右移，得到小波 ，重复步骤1和2。

按上述步骤一直进行下去，直到信号 结束；步骤4: 扩展小波 ，例如扩展一倍，得到的小波函数为 ；步骤5: 重复步骤1~4。

五、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式。

（10分）答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩与平移构成L2 (R )的规范正交基，才使小波得到真正的发展。

1988年S.Mallat 在构造正交小波基时提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性， 将此之前的所有正交小波基的 构造法统一起来，给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法，即Mallat 算法。

Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位。

定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：（1）单调性：ΛΛ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Zj j Zj ==∈∈Y I ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。

满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。

关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。

从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。

小波变换的数学基础及原理解析小波变换是一种信号分析方法，可以将信号分解成不同频率的小波成分，从而揭示信号的局部特征。

它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。

本文将从数学基础和原理解析两个方面来介绍小波变换。

一、数学基础小波变换的数学基础主要包括信号的时频分析和小波函数的定义。

在时频分析中，我们希望能够同时观察到信号的时域特征和频域特征。

然而，传统的傅里叶变换只能提供信号的频域信息，无法提供时域信息。

小波变换通过引入尺度参数，可以在时频域上同时进行分析。

小波函数是小波变换的基础，它是一种特殊的函数形式。

与傅里叶变换中的正弦函数和余弦函数不同，小波函数具有局部化的特点，即在时域上具有有限长度。

这种局部化的特性使得小波函数能够更好地描述信号的局部特征。

二、原理解析小波变换的原理可以通过连续小波变换和离散小波变换来解析。

连续小波变换是将信号与小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的小波系数。

离散小波变换是连续小波变换的离散形式，通过对信号进行采样和离散化，得到离散的小波系数。

在连续小波变换中，小波函数是一个连续的函数，可以用于对连续信号的分析。

而在离散小波变换中，小波函数是一个离散的序列，可以用于对离散信号的分析。

离散小波变换通过多级滤波和下采样的方式来实现信号的分解和重构。

小波变换的核心思想是多尺度分析，即对信号进行多次分解，每次分解都将信号分解成低频部分和高频部分。

低频部分包含信号的整体特征，高频部分包含信号的细节特征。

通过不断分解和重构，可以得到信号在不同尺度上的小波系数，从而揭示信号的局部特征。

小波变换还具有一些重要的性质，如平移不变性、尺度不变性和能量守恒性。

平移不变性表示信号的平移对小波系数没有影响；尺度不变性表示信号的尺度变化对小波系数的影响是可逆的；能量守恒性表示信号的能量在小波分解和重构过程中是守恒的。

三、应用领域小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。

一年级数学金钱练习题及答案
1. 小波有10元，他花了4元买了一个玩具车，剩下多少钱？
答案：6元
2. 丽丽有5元，她想买一本故事书，需要花费3元，还剩下多少钱？
答案：2元
3. 小明去超市买水果，他买了2个苹果，每个苹果价格是2元，还
买了3个橙子，每个橙子价格是1元，他一共花了多少钱？
答案：(2元/个 × 2个) + (1元/个 × 3个) = 4元
4. 小张有3枚1元硬币，他想买一个冰淇淋，需要支付多少钱？
答案：3元
5. 妈妈给小明零钱一共10元，他去买了一本绘本，需要支付8元，还剩下多少钱？
答案：10元 - 8元 = 2元
6. 小红家有一张5元的纸币，她想买一个小笔记本，需要支付多少钱？
答案：5元
7. 小李去超市购物，他买了一盒饼干，价格是2元，还买了一瓶果汁，价格是3元，他一共花了多少钱？
答案：2元 + 3元 = 5元
8. 小王有一张10元的纸币，他买了一包糖果，价格是6元，还剩
下多少钱？
答案：10元 - 6元 = 4元
9. 小燕家有10元和5元的纸币各一张，她想买一本漫画书，需要
支付多少钱？
答案：10元 + 5元 = 15元
10. 小刚有10元，他买了一支铅笔，价格是3元，买了一个橡皮擦，价格是1元，还剩下多少钱？
答案：10元 - 3元 - 1元 = 6元。

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域和频域观察,但不能把二者有机的结合起来;这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息,而其傅立叶谱是信号的统计特性,从其表达式中也可以看出,它是整个时间域内的积分,没有局部化分析信号的功能,完全不具备时域信息,也就是说,对于傅立叶谱中的某一频率,不能够知道这个频率是在什么时候产生的;这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾;在实际的信号处理过程中,尤其是对非常平稳信号的处理中,信号在任一时刻附近的频域特征很重要;如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的,是一瞬变信号,单从时域或频域上来分析是不够的;这就促使人们去寻找一种新方法,能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征,构成信号的时频谱,这就是所谓的时频分析,亦称为时频局部化方法;为了分析和处理非平稳信号,人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命,提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等;其中,短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的;短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号,从而计算出各个不同时刻的功率谱;但从本质上讲,短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法,因为它使用一个固定的短时窗函数,因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷;小波变换是一种信号的时间—尺度时间—频率分析方法,具有多分辨率分析Multi-resolution的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力,使一种窗口大小固定不变,但其形状可改变,时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法;小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率;在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分,所以被誉为分析信号的显微镜;小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面, 小波分析已成为国际研究热点. 无论是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础, 按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换, 这种非线性小波变换处理非线性问题更为有效.二、分析小波的基本定义答：小波Wavelet 这一术语,顾名思义,“小波”就是小的波形;所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性,其振幅正负相间的震荡形式;与Fourier 变换相比,小波变换是时间空间频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化,最终达到高频处时间细分,低频处频率细分,能自动适应时频信号分析的要求,从而可聚焦到信号的任意细节,解决了Fourier 变换的困难问题,成为继Fourier 变换以来在上的重大突破;有人把小波变换称为“数学显微镜”;小波分析方法是一种窗口大小即窗口面积固定但其形状可改变,时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法,即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率;正是这种特性,是小波变换具有对信号的自适应性;小波分析被看成调和分析这一数学领域半个世纪以来的工作结晶,已经和必将广泛地应用于信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、语音识别与合成、音乐、雷达、CT 成像、彩色复印、流体湍流、天体识别、机器视觉、机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域;原则上讲,传统上使用傅立叶分析的地方,都可以用小波分析取代;小波分析优于傅立叶变换的地方是,它在时域和频域同时具有良好的局部化性质;设()()R L t 2∈ψ()R L 2表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间,其傅立叶变换为()ωψ∧;()ωψ∧满足允许条件Admissible Condition ：时,我们称()t ψ为一个基本小波或母小波Mother Wavelet;将母函数()t ψ经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列;对于连续的情况,小波序列为其中,a 为伸缩因子,b 为平移因子;对于离散的情况,小波序列为对于任意的函数()()R L t f 2∈的连续小波变换为其逆变换为小波变换的时频窗口特性与短时傅立叶的时频窗口不一样;其窗口形状为两个矩形[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+±⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-±⨯∆+∆-∧∧a a a b a b /,/,00ψωψωψψ,窗口中心为()a b /,0ω±,时窗宽和频窗宽分别为ψ∆a 和a /∧∆ψ;其中b 仅仅影响窗口在相平面时间轴上的位置,而a 不仅影响窗口在频率轴上的位置,也影响窗口的形状;这样小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是调节性的：在低频时小波变换的时间分辨率较差,而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低,这正符合低频信号变化缓慢而高频信号变换迅速的特点;这便是它优于经典的傅立叶变换与短时傅立叶变换的地方;从总体上来说,小波变换比短时傅立叶变换具有更好的时频窗口特性;三、小波分析是傅立叶分析思想方法的发展与延拓,二者相辅相成,试对小波分析和傅立叶变换进行比较答：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓,它自产生以来,就一直与傅立叶分析密切相关,他的存在性证明,小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析,二者是相辅相成的,两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号ft 分解到以{expjωt}为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号ft 分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的;2、傅立叶变换用到的基本函数只有sinωt,cosωt,expjωt,具有唯一性；小波分析用到的函数即小波函数则具有多样性,同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远;小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题也是小波分析研究的一个热点问题,目前往往是通过经验或不断地试验对结果进行对照分析来选择小波函数;3、在频域分析中,傅立叶变换具有良好的局部化能力,特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号,傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式,如sinω1t+ω2t+ω3t,但在时域中傅立叶变换没有局部化能力,即无法从ft 的傅立叶变换中看出ft 在任一时间点附近的性态;事实上,Fwdw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅,在傅立叶展开式中,它是由ft 的整体性态所决定的;4、在小波分析中,尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小;5、在短时傅立叶变换中,变换系数Sω,τ主要依赖于信号在τ-δ,τ+δ片段中的情况,时间宽度是2δ因为δ是由窗函数gt 唯一确定的,所以2δ是一个定值;在小波变换中,变换系数Wfa,b 主要依赖于信号在b-aΔφ,b+aΔφ片断中的情况,时-间宽度是2aΔφ,该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的,所以小波变换具有时间局部分析能力;6、若用信号通过滤波器来解释,小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说,带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f;四、阐述多分辨分析的思想并给出MALLAT 算法的表达式答：Meyer 于1986年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数,其二进制伸缩与平移构成()R L 2的规范正交基,才使小波得到真正的发展;1988年在构造正交小波基时提出了多分辨分析Multi-Resolution Analysis 的概念,从空间的概念上形象地说明了小波的多分辨率特性,将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来,给出了正交小波的构造方法以及正交小波变化的快速算法,即Mallat 算法;Mallat 算法在小波分析中的地位相当于快速傅立叶变换算法在经典傅立叶分析中的地位; 定义：空间)(2R L 中的多分辨分析是指)(2R L 满足如下性质的一个空间序列{}Z j j V ∈：1调一致性：1+⊂j j V V ,对任意Z j ∈2渐进完全性：Φ=∈j Z j V I ,{})(2R L V U close j Z j =∈ 3伸缩完全性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f4平移不变性：j j j j j V k t V t Z k ∈-⇒∈∈∀--)2()2(,2/2/φφ5Riesz 基存在性：存在0)(V t ∈φ,使得{}Z k k t j j ∈--|)2(2/φ构成j V 的Risez 基;关于Riesz 的具体说明如下：若)(t φ是0V 的Risez 基,则存在常数A,B,且,使得：对所有双无限可平方和序列{}k c ,即 {}∞<=∑∈222Z k k k c c 成立; 满足上述个条件的函数空间集合成为一个多分辨分析,如果)(t φ生成一个多分辨分析,那么称)(t φ为一个尺度函数;关于多分辨分析的理解,我们在这里以一个三层的分解进行说明,其小波分解树如图所示;从图可以明显看出,多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解,而高频部分则不予以考虑;分解的关系为1231D D D A S +++=;另外强调一点这里只是以一个层分解进行说明,如果要进行进一步的分解,则可以把低频部分3A 分解成低频部分4A 和高频部分4D ,以下再分解以此类推;在理解多分解分析时,我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近()R L 2空间的正交小波基,这些频率分辨率不同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器;从上面的多分辨分析树型结构图可以看出,多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解,使频率的分辨率变得越来越高;MALLAT 算法中包括两个主要的过程,这就是分解过程和重构过程; 对于一个多分辨分析Z j j V ∈}{,以及信号021V f g g g f n n ∈++++= ,其中1、分解算法⏹ 由于()10-∈∈V V t ϕ以及()10-∈∈V W t ψ,故有：⏹ 信号分析和处理是,常常需要知道它在各个闭子空间的小波系数;首先由其采样值,经计算得其中的系数,同时：⏹ 其中1-j k c 和1-j k d 都是j c 使用分解序列在偶整数点的抽样,这称为向下抽样;小波分解2、重构算法⏹ 空间1-V 是空间0V 和0W 的值和,故有：则数列Z k j k c ∈}{、Z k j k d ∈}{、Z k j k c ∈-}{1具有如下公式：小波重构五、基于MATLAB,请自行选择一个一维信号,采用DB3小波函数,进行3尺度分…………解与重构;要求：1附上源程序；2绘出原始信号以及分解、重构的结果图;答：load leleccum;S=leleccum1:1000;w=’db3’;Subplot621;plots;Title‘原始信号’；Dwtmode;cazpd,cdzpd=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcazpdXzpd=idwtcazpd,cazpd,w,lx;Subplot622;plotxzpd;Title‘zpd模式重构图’；Dwtmode‘sym’;casym,cdsym=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcaspdXsym=idwtcasym,cdsym,w,lx;Subplot625;plotxsym;Title‘sym模式重构图’；Dwtmode‘spd’;casym,cdsym=dwts,w;Lxtzpd=2lengthcaspdXsym=idwtcaspd,cdspd,w,lx;Subplot626;plotxspd;Title‘spd模式重构图’；六、给出一个小波分析的应用实例对于一给定的信号信号序列文件名为,利用小波分析对深夜时段信号分析答：源程序如下：Load leleccum;s=leleccum;w=’db3’;c,1=wavedecs,5,w;For i=1:5DI,:=wrcoeef‘d’,c,l,w,i;Endtt=1+100:lengths -100;subplot6,1,1;plottt,stt,’r’;title‘Electrical Signal and Details’;for i=1:5,subplot6,1,i+1;plottt,D5-i+1,tt,’g’; end。

现代数值计算习题答案现代数值计算习题答案数值计算是现代科学和工程领域中的重要组成部分，它涉及到使用数值方法和计算机技术来解决实际问题。

在学习数值计算的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学的知识，并提高解决实际问题的能力。

本文将为读者提供一些现代数值计算习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。

一、数值线性代数1. 解释什么是线性方程组的LU分解？答：线性方程组的LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积的过程。

其中，L矩阵的对角线元素为1，U矩阵的对角线元素与原矩阵相同。

通过LU分解，可以简化线性方程组的求解过程，提高计算效率。

2. 什么是矩阵的条件数？答：矩阵的条件数是衡量矩阵相对于其逆矩阵的敏感程度的一个指标。

条件数越大，矩阵的求逆过程越不稳定，误差积累的可能性越大。

条件数可以用来评估数值解的稳定性和精确性。

二、插值和拟合1. 什么是插值？答：插值是指通过已知数据点来构造一个函数，使得该函数在这些数据点上的取值与已知数据完全一致。

插值可以用于估计数据点之间的未知值，常用的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。

2. 什么是最小二乘拟合？答：最小二乘拟合是一种通过最小化残差平方和来拟合数据的方法。

在最小二乘拟合中，通过选择合适的函数形式和参数，使得拟合函数与实际数据之间的误差最小化。

最小二乘拟合广泛应用于数据分析和曲线拟合领域。

三、数值微积分1. 什么是数值积分？答：数值积分是一种通过数值方法来近似计算定积分的方法。

数值积分可以通过将定积分区间划分为若干小区间，然后在每个小区间上使用数值方法来估计积分值。

常用的数值积分方法包括梯形法则和辛普森法则。

2. 什么是数值微分？答：数值微分是一种通过数值方法来近似计算导数的方法。

数值微分可以通过使用有限差分公式来估计导数值。

常用的数值微分方法包括前向差分、后向差分和中心差分。

四、常微分方程数值解1. 什么是常微分方程？答：常微分方程是描述自变量和未知函数之间关系的方程，其中未知函数的导数出现。

一，证明：低通滤波器0h 与高通滤波器1h 的关系： )1()1()(01k h k h k --=证明： 0)()()()(1010=+++πωπωH H w H w H （1） ∴一定存在一个以π2为周期的函数)(ωλ使)()()(01πωωλ+=H w H （2） )()()2()()(001ωπωλπωπωλH H w H +=++= （3） 将（2）,（3）带入（1）中有0)]()()[()(00=+++πωλωλπωωH H （4） 若（4）式成立则)()(πωλωλ++=0 有一个特解为：)2()(ωωλωg e i = （5）其中，)(ωg 为周期为π2的函数 将（5）代入（2）中有)()2()(01πωωωω+=H g e H i 取 ωωim eg =)(对所有的ω都成立，则有)()(0)12(1ωω+=+-H e H m i （6） 当 0=m 时，)()(01πωωω+=-H e H i 显然（6）是（1）的解， 由ki ke k h ωω-∑=H )(21)(00ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11则 （6） 式左右两边分别为 ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11 (7)∑∑-+----==+H kik kkki i i e k h e k h e e ωπωωωπω)1(21)1( )(21)(0)(00 (8)比较（7）（8）两式有)1()1()(01k h k h k --= 证毕一、证明因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

证明：由)(/1)(,at a t b a τψψ-=，可知其能量为 dt at a dt t E b a 22,|)(/1||)(|⎰⎰+∞∞-+∞∞--==τψψ 令at x τ-=则有adx dt = ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-===∴dx x dx x a a ax d x a E 222|)(||)(/1|)(|)(/1|ψψψ)(t ψ的能量E dt t E =='⎰+∞∞-2|)(|ψ由此可见因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

从傅里叶(Fourie‎r)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波‎(Wavele‎t)变换题目：从傅里叶(Fourie‎r)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波‎(Wavele‎t)变换本文是边学习‎边总结和摘抄‎各参考文献内‎容而成的，是一篇综述性‎入门文档，重点在于梳理‎傅里叶变换到‎伽柏变换再到‎小波变换的前‎因后果，对于一些概念‎但求多而全，所以可能会有‎些理解的不准‎确，后续计划分别‎再展开学习研‎究。

通过本文可以‎了解到：1）傅里叶变换的‎缺点；2）Gabor变‎换的概念及优‎缺点；3）什么是小波；4）小波变换的概‎念及优点。

一、前言首先，我必须说一下‎，在此之前，虽然我听说过‎小波变换（具体是前几年‎听一位博士毕‎业答辩里提到‎了小波降噪）但就再也没什‎么了，虽然近一年来‎零零散散地在‎接触语音信号‎处理过程中用‎过短时傅里叶‎变换(Short Time Fourie‎r Trans‎f orm, STFT)，但也就如此了‎，之于Gabo‎r变换听都没‎有听过。

这些天看稀疏‎基，其实也就是看‎各种变换了，前面看了离散‎余弦变换(Discre‎t e Cosine‎T ransf‎o rm, DCT)、离散正弦变换‎(Discre‎t e Sine Transf‎o rm, DST)、离散W 变换(Discre‎t eW Transf‎o rm, DWT)、离散哈特莱变‎换(Discre‎t e Hartle‎y Transf‎o rm, DHT)，总体来说理解‎个表皮还是比‎较容易的，于是打算继续‎学习，随便挑了一个‎C urvel‎e t基打算学‎习一下，搜了一下资料‎才发现不能从‎这个开始学习‎，必须Gabo‎r、Wavele‎t、Ridgel‎e t、Curvel‎e t、Wedgel‎e t、Bandel‎e t、Beamle‎t、Contou‎r let等慢‎慢开始学起，我知道我又陷‎入了一片沼泽‎，但或许是一片‎幸福的沼泽，一个做信号处‎理的人对这些‎是应该有一个‎基本的概念级‎了解的。

题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤<⎧=⎨⎩其它，请利用Haar 尺度关系式将信号()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0,w w v 分量。

这三项便分别为W 1,W 0,V 0题2：简述信号分解和重构的Mallat 算法（要求写出算法步骤并列出分解重构公式。

）分解初始化：选择适当的f j，用来逼近f迭代：由f j分解为f j-1和W j-1，……，以此类推，最后得到f0和W0终止：j=0，并生成下面那两个系数重构：差不多就是倒着说回去。

下面那个系数就是重构出来的f的系数（k(2)j jka x k φ-∑，好像是这个玩意）题3：设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析：（1）写出双正交条件；,,,,,,,,()()()()()()()()()()()(),,l n m n j k j l k nj k j m k nx x x x x x x x x k x k x k x k ϕϕψψϕψϕψϕϕψψϕϕδδψψδδ----<>=<>=⊂⊂⊂⊂⊂-2-1012设存在尺度函数、和小波函数和构成双正交多分辨率分析，则、、、应满足基本条件：（1）平移系{}、{}、{}、{}无关但不正交；（2）满足双正交条件：（3）两种空间嵌套序列：V V V V V ,,,{}{}j j k j j k V span V span ϕ⊂⊂⊂⊂⊂==-2-1012V V V V V 其中,,1111{}{}()(2)()(2)()(2)()(2)j j kj j k j j j j j j j j j j k k k Z k Z k k k Zk ZW span W span V W V W V V W V V W x x k x x k x x k x x k ψφφφφψφψφ----∈∈∈∈==⊥⊥=+=+=-=-=-=-（4）正交补关系：设（5）双尺度方程变为：（2） 写出4个双尺度方程（尺度系数分别为,,,k k k k h h g g ）；()(2)()2(2)k k k kt h t k t h t k φφφφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ ()(2)()2(2)k k k k t g t k t g t k ψφψφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ （3） 写出尺度系数间的对应关系。