近代数学 小波 简答题+答案

《小波分析》试题适用范围：硕士研究生时 间：2013年6月一、名词解释（30分）1、线性空间与线性子空间解释：线性空间是一个在标量域（实或复）F 上的非空矢量集合V ；设V1是数域K 上的线性空间V 的一个非空子集合，且对V 已有的线性运算满足以下条件 （1） 如果x 、y V1，则x ＋y V1； （2） 如果x V1，k K ，则kx V1， 则称V1是V 的一个线∈∈∈∈∈性子空间或子空间。

2、基与坐标解释：在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量，称为 V 的一组n 21...εεε，，，基；设是中任一向量，于是 线性相关，因此可以被基αn 21...εεε，，，线性表出：，其中系数 αεεε，，，，n 21...n 21...εεε，，，n 2111an ...a a εεεα+++=是被向量和基唯一确定的，这组数就称为在基下的坐标，an ...a a 11，，，αn 21...εεε，，，记为 （）。

an ...a a 11，，，3、内积解释：内积也称为点积、点乘、数量积、标量积。

，()T n x x x x ,...,,21=，令，称为x 与y 的内积。

()T n y y y y ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,2211[]y x ,4、希尔伯特空间解释：线性 完备的内积空间称为Hilbert 空间。

线性（linearity ）：对任意f ，g ∈H ，a ，b ∈R ，a*f+b*g 仍然∈H 。

完备（completeness ）：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

内积（innerproduct ）：<f ，g>，它满足：，()T n f f f f ,...,,21=时。

()T n g g g g ,...,,21=[]n n y x y x y x y x +++=...,22115、双尺度方程解释：所以都可以用空间的一个1010,V W t V V t ⊂∈⊂∈）（）（ψϕ）（）和（t t ψϕ1V从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高以考虑。

2．计算下列分形维数：（1）康托尔集合（the Cantor set）l o g l o g20.631l o g l o g3smDc=-=≈（2）科赫曲线（Koch）log41.262log3sD=-≈（3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵地毯：log log81.893log log3fDβκ==≈垫片:log log31.585log log2fDβκ==≈海绵：log log202.763log log3fDβκ==≈（4）阿波罗尼斯垫圆：解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数（5）皮亚诺曲线：log ln921ln3log()sNDβ===1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维初始元：生成元：（a）（b）（c）(a)log ln81.51ln4log()sNDβ==≈(b)log ln51.4651ln3log()sNDβ==≈(c)log ln51.4651ln3log()sNDβ==≈2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维 解：相似维：log ln 20.63111log()ln3s N D β==≈Hausdorff 维：log log 20.631log log 3f D βκ==≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端）ε=1/10 ()N ε=N(1/10)()ln ln 54ln 541.7321ln ln10ln 10B N D εε=-=-=≈二、求下面一维16点离散信号Haar 小波2级分解与重构计算过程及结果，并与Matlab 编程计算结果比较。

x=[ 3 7 8 5 6 5 9 8 3 7 8 5 13 3 9]解： Haar 小波对应的尺度函数为1t 0 1 0{)(≤≤=其它t ϕ低通滤波器系数)(0k h :⎩⎨⎧===⎰--02/1)()()(),()(*,1,10R kk dt t t t t k h ϕϕϕϕ 其它，==k k 10 )(0k h ={1,1,0,0，…….0}/2)(0k h -={0,0,0,0,……0,1,1}/2={1,1}/2由0h 求高通滤波系数1h⎪⎩⎪⎨⎧-=--=02/12/1)1()1()(01k h k h k其它===k k k 102/}0,.......0,0,1,1{)(1-=k h2/}1,1{2/}1,0,...,0,0{)(1-=-=-k h 1 级尺度系数212,9]/,13,6,4,6,7,11,10,1511,11,14,1[10,15,13, )(*)()(001=-=k c k h k C抽偶 2/]12,4,13,10,17,11,13,10[= 2 级尺度系数2/]16,2823,23[ 6,12]/227,23,17,1[23,24,28, )(*)()(102==-=抽偶k c k h k c 1 级小波系数2]/,-2,0,-6,9,-4,-1,3,41,1,-4,1,5[-4,-1,3,- )(*)()(011=-=k c k h k d抽偶 2/]6,2,3,4,1,1,3,4[----= 2 级小波系数2]/2,-3,9,-8,1[-3,2,-6,7 )(*)()(112=-=k c k h k d抽偶2/]8,3,6,3[ ----= 重构：（逐级重构） 2/]8,3,6,3[)(2----=k d2/]8,0,3,0,6,0,3,0[----=−−→−插值器2/]16,0,23,0,28,0,23,0[2/]16,23,28,23[)(插值器2=−−−−→−=k c2,24]/23420,26,8[20,26,22, 22/]8,0,3,0,6,0,3,0[*]1,1[2]/2,0,23,0,16[0,23,0,28*[1,1] )(*)()(*)()(21201=-----+=+=k d k h k c k h k c2/]6,0,2,0,3,0,4,0,1,0,1,0,3,0,4,0[2/]6,2,3,4,1,1,3,4[)(1----=−−→−----=插值器k d22/]24,0,8,0,26,0,20,0,34,0,22,0,26,0,20,0[22/]24,8,26,20,34,22,26.20[)(1=−−→−=插值器k c9]3 13 5 8 7 3 8 9 5 6 5 8 7 [3 2,0,-6]/2-4,0,3,0,-0,1,0,1,0,[0,-4,0,3,*[1,-1] /4,0,8,0,24],0,20,0,26,0,22,0,34[0,20,0,26*[1,1] )(*)()(*)()(11100=+=+=k d k h k c k h k c一、已知)(t ϕ（尺度函数）求小波函数)(t ψ⎩⎨⎧=01)(t ϕ其它210≤≤t解：1）⎩⎨⎧=01)(t ϕ其它210≤≤t 易知，{})(n t -ϕ关于n 为一正交归一基.2）求n h()⎰∞--==,1)2()(2),(dt n t t t t h n n ϕϕϕϕ其中，⎩⎨⎧=-01)2(n t ϕ()其它2/2/12/n t n +≤≤当0=n 时，⎩⎨⎧=01)2(t ϕ其它4/10≤≤t当1=n 时，⎩⎨⎧=-01)12(t ϕ其它4/32/1≤≤t故当0=n 时，⎩⎨⎧=-01)2().(n t t ϕϕ 其它0=n当0=n 时，⎩⎨⎧=-01)2().(n t t ϕϕ其它4/10≤≤t故⎩⎨⎧=-=⎰022/1)2().(2dt n t t h n ϕϕ 其它0=n3）求n g ⎩⎨⎧=-=022/1)1(n nn h g=n 4）求)()()(0,10,1t g t g t nn--==∑ϕϕψ⎰=⋅=021)2(222/1t ϕ 其它4/10≤≤t1)(t ϕt)(t ψ(ϕ。

我个人的理解：小波分析是傅立叶分析思想的发展与延拓，它自产生以来，就一直与傅立叶分析密切相关，他的存在性证明，小波基的构造以及结果分析都依赖于傅立叶分析，二者是相辅相成的，两者主要的不同点：1、傅立叶变换实质是把能量有限信号f(t)分解到以{exp(jωt)}为正交基的空间上去；小 波变换的实质是把能量有限信号f(t)分解到W-j 和V-j 所构成的空间上去的。

2、傅立叶变换用到的基本函数只有sin(ωt),cos(ωt),exp(jωt)，具有唯一性；小波分 析用到的函数（即小波函数）则具有多样性，同一个工程问题用不同的小波函数进行分析有时结果相差甚远。

小波函数的选用是小波分析运用到实际中的一个难点问题（也是小波分析研究的一个热点问题），目前往往是通过经验或不断地试验（对结果进行对照分析）来选择小波函数。

3、在频域分析中，傅立叶变换具有良好的局部化能力，特别是对于那些频率成分比较简单的确定性信号，傅立叶变换很容易把信号表示成各频率成分的叠加和的形式，如sin(ω1t)+0.345sin(ω2t)+4.23cos(ω3t)，但在时域中傅立叶变换没有局部化能力，即无法从f(t)的傅立叶变换中看出f(t)在任一时间点附近的性态。

事实上，F(w)dw 是关于频率为w 的谐波分量的振幅，在傅立叶展开式中，它是由f(t)的整体性态所决定的。

4、在小波分析中，尺度a 的值越大相当于傅立叶变换中w 的值越小。

5、在短时傅立叶变换中，变换系数S(ω，τ)主要依赖于信号在[τ-δ，τ+δ]片段中的情况，时间宽度是2δ（因为δ是由窗函数g(t)唯一确定的，所以2δ是一个定值）。

在小波变换中，变换系数Wf （a,b ）主要依赖于信号在[b-aΔφ，b+aΔφ）片断中的情况，时间宽度是2aΔφ，该时间的宽度是随尺度a 变化而变化的，所以小波变换具有时间局部分析能力。

6、若用信号通过滤波器来解释，小波变换与短时傅立叶变换不容之处在于：对短时傅立叶变换来说，带通滤波器的带宽Δf 与中心频率f 无关；相反小波变换带通滤波器的带宽Δf 则正比于中心频率f 。

定义：空间 L2 ( R) 中的多分辨分析是指 L2 ( R) 满足如下性质的一个空间序列Z ∈j j }{V ：
（1）单调性： ⊂⊂⊂⊂-101V V V ；（2）逼近性：)(},0{2R L V V j Z
j j Z
j ==∈∈ ；（3）伸缩性：1)2()(+∈⇔∈j j V t f V t f ；（4）平移不变性：j j V t f V t f ∈-⇒∈)1()(，
Z k ∈∀；（5）存在函数0)(V t g ∈，使得Z k k)}-{g(t ∈构成0V 的Riesz 基。

满足上述个条件
的函数空间集合成为一个多分辨分析， 如果)(t g 生成一个多 分辨分析，那么称)(t g 为一个尺度函数。

关于多分辨分析的理解，我们在这里以一个三层的分解进行说明，其小波分解树如图所示。

从图可以明显看出，多分辨分析只是对低频部分进行进一步分解，而高 频部分则不予以考虑。

分解的关系为 112}0{)(+-+++++=j j j V V V R L 。

另外强调一点这 里只是以一个层分解进行说明，如果要进行进一步的分解，则可以把低频部分分解成低频部分和高频部分，以下再分解以此类推。

在理解多分解分析时，我们必须牢牢把握一点：其分解的最终目的是力求构造一个在频率上高度逼近)(2R L 空间的正交小波基，这些频率分辨率不 同的正交小波基相当于带宽各异的带通滤波器。

从上面的多分辨分析树型结 构图可以看出，多分辨分析只对低频空间进行进一步的分解，使频率的分辨率变得越来越高。

Mallat 算法：通过下面公式(1)和(2)，可以很快计算出尺度系数和小波系数{cj,k,dj,k}，。

主题：AP微积分BC 2017简答题解析一、问题一：求曲线y=x^4-2x^3的所有拐点。

1. 答案：我们需要求出曲线的二阶导数。

根据求导法则，对y=x^4-2x^3进行求导，得到y'=4x^3-6x^2。

再对y'进行求导，得到y''=12x^2-12x。

接下来，我们需要找到拐点，即y''=0的点。

解方程12x^2-12x=0，得到x=0和x=1。

曲线的拐点为(0,0)和(1,-1)。

二、问题二：求由曲线y=x^3-3x^2+5x和直线y=4x-3所围成的图形的面积。

2. 答案：我们需要找到两条曲线的交点。

解方程x^3-3x^2+5x=4x-3，得到x^3-3x^2+x+3=0。

利用数值方法或者代数方法求得曲线的交点为x=1和x=3。

我们需要求出两条曲线之间的面积。

利用定积分，求解∫[1,3](x^3-3x^2+5x-(4x-3))dx，得到8.5。

由曲线y=x^3-3x^2+5x和直线y=4x-3所围成的图形的面积为8.5。

三、问题三：已知y=e^x，求y''+2y'+y的表达式。

3. 答案：我们需要求出y'和y''。

对y=e^x分别求一阶和二阶导数，得到y'=e^x和y''=e^x。

将y''+2y'+y的表达式带入，得到e^x+2e^x+e^x=4e^x。

所求表达式为4e^x。

四、问题四：求由两个不相交的圆x^2+y^2=4和(x-2)^2+y^2=1所围成的区域的面积。

4. 答案：我们需要找到两个圆的交点坐标。

解方程x^2+y^2=4和(x-2)^2+y^2=1，得到x=1和x=3。

我们需要求出两个圆围成的区域的面积。

利用定积分，求解∫[1,3]sqrt(4-x^2)-sqrt(1-(x-2)^2)dx，得到4.694。

所求区域的面积为4.694。

第一章 随机事件和概率1. 设有k 个袋子，每个袋子内均装有n 张卡片，分别编有号码n ,,2,1 。

现从每个袋子内各取1张卡片，取到卡片上的最大号码不超过2+m 且不小于m 的概率p 是___________。

[解] 从k 个袋子内各取1张卡片共有k n 种不同的取法。

取到的k 张卡片最大号码不超过q 的取法共有kq 种（因为每个袋子只能从q~1中取）。

记=A {取到的k 张卡片最大号码不超过2+m }，=B {取到的k 张卡片最大号码不超过1+m }所求概率为()()kkkk n m n m B P A P B A P 12)()()(--+=-=-2. 从1至9这9个数字中有放回地取3次，每次任取1个，求所取的3个数之积能被10整除的概率。

[解] 记A ={所取的3个数字中含有数字5}，B ={所取的3个数字中含有偶数}C ={所取的3个数之积能被10整除}， 则AB C =()()()()()()()[]B A P B P A P B A P AB P AB PC P -+-=-=-==111 214.0243529495981333333==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=3. 甲、乙、丙三人依次抛一枚硬币，先抛出正面者获胜，直至有一人获胜为止。

求每个人获胜的概率。

3.0[解] 用i A ，i B，i C 表示“甲、乙、丙在第i 次抛出正面”（ ,2,1=i ），则i A ，i B ，i C 相互独立，且()()()21===i i i C P B P A P甲获胜的概率() 3222111211111A C B A C B A A C B A A P p =()()() +++=322211121111A C B A C B A P A C B A P A P748111218121812181212132=-⨯=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=乙获胜的概率()3322211122111112B A C B A C B A B A C B A B A P p =()()()+++=332221112211111B A C B A C B A P B A C B A P B A P +⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+=3281418141814141728/11141=-⨯=丙获胜的概率71727411213=--=--=p p p4. 甲、乙两名射手对同一目标进行射击，其命中率分别为()1,0,2121<<p p p p 。

一，证明：低通滤波器0h 与高通滤波器1h 的关系： )1()1()(01k h k h k --=证明： 0)()()()(1010=+++πωπωH H w H w H （1） ∴一定存在一个以π2为周期的函数)(ωλ使)()()(01πωωλ+=H w H （2） )()()2()()(001ωπωλπωπωλH H w H +=++= （3） 将（2）,（3）带入（1）中有0)]()()[()(00=+++πωλωλπωωH H （4） 若（4）式成立则)()(πωλωλ++=0 有一个特解为：)2()(ωωλωg e i = （5）其中，)(ωg 为周期为π2的函数 将（5）代入（2）中有)()2()(01πωωωω+=H g e H i 取 ωωim eg =)(对所有的ω都成立，则有)()(0)12(1ωω+=+-H e H m i （6） 当 0=m 时，)()(01πωωω+=-H e H i 显然（6）是（1）的解， 由ki ke k h ωω-∑=H )(21)(00ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11则 （6） 式左右两边分别为 ki ke k h ωω-∑=H )(21)(11 (7)∑∑-+----==+H kik kkki i i e k h e k h e e ωπωωωπω)1(21)1( )(21)(0)(00 (8)比较（7）（8）两式有)1()1()(01k h k h k --= 证毕一、证明因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

证明：由)(/1)(,at a t b a τψψ-=，可知其能量为 dt at a dt t E b a 22,|)(/1||)(|⎰⎰+∞∞-+∞∞--==τψψ 令at x τ-=则有adx dt = ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-===∴dx x dx x a a ax d x a E 222|)(||)(/1|)(|)(/1|ψψψ)(t ψ的能量E dt t E =='⎰+∞∞-2|)(|ψ由此可见因子a /1的作用是保证不同尺度下，函数)(,t b a ψ与母小波)(t ψ的能量相同。

从傅里叶(Fourie‎r)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波‎(Wavele‎t)变换题目：从傅里叶(Fourie‎r)变换到伽柏(Gabor)变换再到小波‎(Wavele‎t)变换本文是边学习‎边总结和摘抄‎各参考文献内‎容而成的，是一篇综述性‎入门文档，重点在于梳理‎傅里叶变换到‎伽柏变换再到‎小波变换的前‎因后果，对于一些概念‎但求多而全，所以可能会有‎些理解的不准‎确，后续计划分别‎再展开学习研‎究。

通过本文可以‎了解到：1）傅里叶变换的‎缺点；2）Gabor变‎换的概念及优‎缺点；3）什么是小波；4）小波变换的概‎念及优点。

一、前言首先，我必须说一下‎，在此之前，虽然我听说过‎小波变换（具体是前几年‎听一位博士毕‎业答辩里提到‎了小波降噪）但就再也没什‎么了，虽然近一年来‎零零散散地在‎接触语音信号‎处理过程中用‎过短时傅里叶‎变换(Short Time Fourie‎r Trans‎f orm, STFT)，但也就如此了‎，之于Gabo‎r变换听都没‎有听过。

这些天看稀疏‎基，其实也就是看‎各种变换了，前面看了离散‎余弦变换(Discre‎t e Cosine‎T ransf‎o rm, DCT)、离散正弦变换‎(Discre‎t e Sine Transf‎o rm, DST)、离散W 变换(Discre‎t eW Transf‎o rm, DWT)、离散哈特莱变‎换(Discre‎t e Hartle‎y Transf‎o rm, DHT)，总体来说理解‎个表皮还是比‎较容易的，于是打算继续‎学习，随便挑了一个‎C urvel‎e t基打算学‎习一下，搜了一下资料‎才发现不能从‎这个开始学习‎，必须Gabo‎r、Wavele‎t、Ridgel‎e t、Curvel‎e t、Wedgel‎e t、Bandel‎e t、Beamle‎t、Contou‎r let等慢‎慢开始学起，我知道我又陷‎入了一片沼泽‎，但或许是一片‎幸福的沼泽，一个做信号处‎理的人对这些‎是应该有一个‎基本的概念级‎了解的。

现代波谱分析方法习题答案现代波谱分析方法习题答案波谱分析是一种广泛应用于科学研究和工程技术领域的分析方法。

它通过对信号的频谱进行分析，可以获取信号的频率、幅度、相位等信息。

在现代波谱分析方法中，常见的有傅里叶变换、小波变换和自相关分析等。

下面将针对这些方法提供一些习题的答案，帮助读者更好地理解和掌握这些方法。

1. 傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法。

它可以将一个信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦波的叠加。

傅里叶变换的公式为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)表示频域信号，f(t)表示时域信号，ω表示频率。

根据傅里叶变换的性质，可以得到以下答案：a) 傅里叶变换的逆变换公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(jωt)dωb) 傅里叶变换是线性的，即对于两个信号f1(t)和f2(t)，它们的傅里叶变换的线性组合等于它们的线性组合的傅里叶变换。

c) 傅里叶变换满足平移性质，即对于信号f(t)的傅里叶变换F(ω)，将信号f(t)向右平移Δt的傅里叶变换为F(ω)e^(-jωΔt)。

d) 傅里叶变换满足频率平移性质，即对于信号f(t)的傅里叶变换F(ω)，将信号f(t)的频率增加Δω的傅里叶变换为F(ω-Δω)。

2. 小波变换是一种将信号分解为不同频率的小波的方法。

它与傅里叶变换不同的是，小波变换可以提供信号的时频局部信息。

小波变换的公式为：W(a,b) = ∫f(t)ψ[(t-b)/a]dt其中，W(a,b)表示小波变换后的信号，f(t)表示原始信号，ψ(t)表示小波函数，a和b分别表示尺度因子和平移因子。

根据小波变换的性质，可以得到以下答案： a) 小波变换的逆变换公式为：f(t) = ∫∫W(a,b)ψ[(t-b)/a]dadbb) 小波变换可以提供信号的时频局部信息，即可以同时获得信号的时域和频域信息。

c) 小波变换具有多分辨率分析的特点，即可以通过改变尺度因子a来分析不同频率范围的信号。

题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤<⎧=⎨⎩其它，请利用Haar 尺度关系式将信号()(4)2(41)2(42)(43)f x x x x x φφφφ=+-+---分解为10,0,w w v 分量。

这三项便分别为W 1,W 0,V 0题2：简述信号分解和重构的Mallat 算法（要求写出算法步骤并列出分解重构公式。

）分解初始化：选择适当的f j，用来逼近f迭代：由f j分解为f j-1和W j-1，……，以此类推，最后得到f0和W0终止：j=0，并生成下面那两个系数重构：差不多就是倒着说回去。

下面那个系数就是重构出来的f的系数（k(2)j jka x k φ-∑，好像是这个玩意）题3：设{},,,φφψψ构成双正交多分辨分析：（1）写出双正交条件；,,,,,,,,()()()()()()()()()()()(),,l n m n j k j l k nj k j m k nx x x x x x x x x k x k x k x k ϕϕψψϕψϕψϕϕψψϕϕδδψψδδ----<>=<>=⊂⊂⊂⊂⊂-2-1012设存在尺度函数、和小波函数和构成双正交多分辨率分析，则、、、应满足基本条件：（1）平移系{}、{}、{}、{}无关但不正交；（2）满足双正交条件：（3）两种空间嵌套序列：V V V V V ,,,{}{}j j k j j k V span V span ϕ⊂⊂⊂⊂⊂==-2-1012V V V V V 其中,,1111{}{}()(2)()(2)()(2)()(2)j j kj j k j j j j j j j j j j k k k Z k Z k k k Zk ZW span W span V W V W V V W V V W x x k x x k x x k x x k ψφφφφψφψφ----∈∈∈∈==⊥⊥=+=+=-=-=-=-（4）正交补关系：设（5）双尺度方程变为：（2） 写出4个双尺度方程（尺度系数分别为,,,k k k k h h g g ）；()(2)()2(2)k k k kt h t k t h t k φφφφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ ()(2)()2(2)k k k k t g t k t g t k ψφψφ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑ （3） 写出尺度系数间的对应关系。

《小波分析与应用》试题学院：信息科学与工程学姓名：钱宏学号：20064249 院1、[10’]小波变化俗称“数字显微镜”，试从尺度因子的变化对时频窗的中心和半径的影响，阐述其时频局部化功能。

尺度因子变大时，相应小波分量表现了某个子频带信号，其频率中心变高且频带变宽，时频窗呈“廋窄”的变化趋势，即时窗变窄，频窗变宽，正好适应于更高频信号时频局部化的需要。

相反，尺度因子变小时，同样相应小波分量表现了某个子频带信号，其频率中心变低且频带变窄，时频窗呈“扁平”的变化趋势，即时窗变宽，频窗变窄，正好适应于低频信号时频局部化的需要。

2、[10’]简述HHT变换的原理和简要实现过程。

HHT 方法包含两个主要步骤：1) 对原始数据进行预处理,即先通过经验模态分解方法, 把数据分解为满足希尔伯特变换要求的n 阶本征模式函数(IMF)和残余函数r n(t)之和；2)对分解出的每一阶IMF 做希尔伯特变换, 得出各自的瞬时频率,做出时频图。

其中经验模态分解（EMD）方法能把非平稳、非线性信号分解成一组稳态和线性的序列集, 即本征模式函数。

且每一阶的IMF 应满足两个条件: 1)数据的极值点和过零点交替出现, 且数目相等或最多相差一个任何点上；2)在任何点上，有局部最大值和局部最小值定义的包络的均值必须是零。

下面以时间序列X(t)介绍经验模态分解的一般过程。

首先, 找出X(t)所有极大和极小值点, 并用三次样条函数对极大值点和极小值点分别进行拟合得到X (t) 的上下包络线；然后将原始数据序列减去上下包络线的均值m1(t) , 就可以得到一个去掉低频的新数据序列：h1(t)=X(t)- m1(t)，通常h1(t)不满足IMF 的条件, 还需对h1(t)重复上述处理过程。

经过k次筛分后将产生第1个IMF分量C1(t), 即h1k(t)=h1(k- 1)(t)- m1k(t)，C1(t)=h1k(t)。

第1个IMF分量代表原始数据序列中最高频的成分，将原始数据序列X(t)减去第1个分量C1(t)。

近代物理基础试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 光的波粒二象性是由哪位科学家提出的？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 普朗克D. 德布罗意答案：D2. 量子力学中的不确定性原理是由哪位科学家提出的？A. 牛顿B. 薛定谔C. 海森堡D. 狄拉克答案：C3. 相对论中，光速不变原理是由哪位科学家提出的？A. 牛顿B. 麦克斯韦C. 爱因斯坦D. 普朗克答案：C4. 以下哪个选项不是量子力学的基本原理？A. 波函数的叠加原理B. 测不准原理C. 光的波动性D. 量子态的叠加答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据德布罗意假说，一个粒子的波长与其动量成________关系。

答案：反比2. 量子力学中，波函数的模的平方代表粒子在空间中出现的概率密度，其数学表达式为________。

答案：|Ψ|^23. 相对论中，时间膨胀的公式为Δt' = Δt / √(1 - v^2/c^2)，其中v是物体的速度，c是________。

答案：光速4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能处于相同的________。

答案：量子态三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述光电效应的基本原理。

答案：光电效应是指光照射到金属表面时，金属会释放出电子的现象。

根据爱因斯坦的理论，光可以看作是一系列粒子，即光子，每个光子的能量与其频率成正比。

当光子的能量大于金属的逸出功时，光子与金属表面的电子相互作用，将能量传递给电子，使电子获得足够的能量逸出金属表面。

2. 描述海森堡不确定性原理的主要内容。

答案：海森堡不确定性原理指出，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

具体来说，粒子的位置不确定性和动量不确定性的乘积大于等于约化普朗克常数的一半，即Δx * Δp ≥ ħ/2。

3. 相对论中，时间膨胀是如何影响高速运动的物体的？答案：在相对论中，当物体以接近光速的速度运动时，相对于静止观察者，运动物体上的时间会变慢，这就是时间膨胀。

一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。

这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。

这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。

在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。

如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。

这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。

为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。

其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。

短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。

但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。

小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。

现代数字处理试卷答案一、 填空题（20分） 1、 若滤波器的冲激响应时无限长，称为 IIR 滤波器，反之，称 为 FIR 滤波器.2、 若滤波器的输出到达 最大信噪比 成为匹配滤波器；若使输出滤波器的为 均方估计误差 最小，称为维纳滤波器。

3、 在小波分析中，小波函数应满足 φ t dt =0+∞−∞和 |φ t |dt =+∞−∞1两个数学条件。

4、 在谱估计中，有 经典谱估计和现代谱估计组成了完整的谱估计。

5、 如果系统为一个稳定系统，则在Z 变换中，零极点的分布应在 单位圆内 ，如果系统为因果系统，在拉普拉斯变换中，零极点的分布应在 左边平面 。

二、 问答题（50分）1、 卡尔曼滤波器的主要特征是什么？答：随机过程的状态空间模型，用矩阵表示，可同时估计多参量，根据观测数据，提出递推算法，便于实时处理。

2、在自适应最小均方算法（LMS ）中，在自学习时自适应步长与LMS 算法的性能存在非常密切的关系，在实际应用中，如何选择该参数，以提高其LMS 算法的性能？答：大的学习步长能够提高滤波器的收敛速度，但稳定性能就会降低，反之，为了提高稳态性能而采用小的学习速率时，收敛就会慢，因此，学习步长的选择应该兼顾稳态性能与收敛速度，简单而有效的方法就是在不同的迭代时间使用不同的学习步长，采用时变得学习速率。

在暂态即过渡阶段使用大的学习步长，而在稳态使用小的学习步长。

3、什么是有色噪声？产生的原因是什么？答：有色噪声是功率谱密度P n(w)≠常数的噪声。

产生的原因主要有：实际的噪声源与接收机的检测器之间可能存在一个或者几个具有某种形状通带的部件，如天线和射频滤波器等，使白噪声通过以后，产生频谱的再分布，形成有色噪声。

在有用信号以外，接收信号中可能还还有一个具有高斯特征的干扰信号，如在雷达和声纳系统中往往就是一个干扰目标。

4、为什么在高阶信号处理中，常常采用高阶累积量，而不采用高阶矩？答：因为高阶累积量有如下性质：1）半不变性，若随机变量{E i}和y i}统计独立，则累积量具有半不变性，即：cum（E1+y1,…..E k+y k）= cum(E1,……,E k) +cum(y1,……,y k),但高阶矩一般没有半不变性。

01()2()(2)()2()(2)n Z n Zt g n t n t g n t n ϕϕψϕ∈∈⎨=-⎪⎪=-∑∑小波函数：()(2)nt h t n φφ=-∑ 5、Mallat 算法答： 1989年，Mallat 在小波变换多分辨率分析理论与图像处理的应用研究中受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率分析与重构的快速算法称为马拉特（Mallat ）算法。

Mallat分解算法：,1,2(1)j k n j n k n Zc h c ++∈=∑，,1,2(2)j k n j n k n Z d g c ++∈=∑ Mallat 重构算法：1,2,2,(3)j n n k j k n k j k n Z n Zc h c gd +--∈∈=+∑ 6、双尺度方程答：双尺度方程，本质就是将j V 的基函数表示成1j V +的基函数的线性和。

因为0101(),()t V V t W V ϕψ∈⊂∈⊂，所以()t ϕ和()t ψ都可以用1V 空间的一个基(2)n Z t n φ∈-线性表示： ()(2)()(2)n n t h t n t g t n φφϕφ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩∑∑，即为双尺度方程。

一、简述小波的定义及其主要性质。

（10分）答：小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。

所谓“小”是指它 具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。

与傅里叶 变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运 算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了傅里叶变换的困难问题，成为继傅里叶变换以来在科学方法上的重大突破。

小波性能除了正交性以外还有光滑性、紧支性、衰减性、对称性以及消失矩和时频窗面积。

二、阐述Fourier 变换和小波变换的各自的特点，并比较它们之间的优缺点。

1.从傅立叶变换到小波变换的三个阶段：*）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；2.Shannon小波的计算：*）Shannon采样定理；**）采样定理与尺度函数；***）写出Shannon小波的时域和频域表达式；****）写出两个不同的Shannon小波，并说明它们都是正交小波；3.描述MRA；4.分析和说明MRA构造正交小波的关键步骤；5.说明Haar小波是正交小波(直接或MRA)；6.Meyer小波的构造方法；7.构造Daubechies系列小波中的一个或两个；8.给出Malvar小波的构造方法（共有3种）；9.说明正交小波包的思想（空间再分割）；10.正交小波包的定义；11.小波包的频域表达形式；12.小波包的两种正交性；13.小波空间的小波包再分割；14.小波空间的小波包再分割；15.小波算法：分解和合成；矩阵形式；16.小波包算法：分解和合成；矩阵形式；17.MATLAB中的Wavelet Toolbox的使用和理解；18.Gabor变换的时-频分析特性；19.连续小波的时-频分析特性；20.二进小波的时-频分析特性；21.正交小波的时-频分析特性；22.小波包的时-频分析特性；23.Malvar小波的时-频分析特性；24.二维小波分析和图像处理；25.小波采样定理；26.小波与快速算法；27.分数傅立叶变换：*）经典分数傅立叶变换（旋转）；**）加权分数傅立叶变换（置换）；28.小波变换的数值含义分析；29.小波变换的工程含义分析；30.小波变换与局部分析和奇性分析。

1．从傅立叶变换到小波变换的三个阶段*）信号加窗；**）基加窗；***）小波基；傅里叶变换的局限性和Gabor 变换的提出傅里叶变换是一个强有力的数学工具，它具有重要的物理意义，即信号()f x 的傅里叶变换()()⎰+∞∞-ω-=ωx x f F x d e i表示信号的频谱。

正是傅里叶变换的这种重要的物理意义，决定了傅里叶变换在信号分析和信号处理中的独特地位，特别是作为平稳信号分析的最重要的工具。

2016级博士生数学复习题1.设(X)=IlA^11是实Hilb e rt空间H上的泛函，证明,当XHo, /U)在点X处沿着“方向的GateaUX微分。

P81证明：Iim /(χ+ 〃?)-/(X) = IinI卜+ 〃?卜何=Iim (|卜+呦-闵1)(卜+呦+制)z→0t /TO t7 r(∣∣x + rΛ∣∣ + ∣∣Λ∙∣∣)Iirn卜 + 呦2-卜If =Iim◎ +心 + 呦_心〉=Iiln 2(儿巾〉-仲M)“ r(∣∣x÷∕A∣∣÷ IA-Il) ^ -O /(∣χ÷rA∣∣÷∣∣χ∣∣)_ “，(卜+ 呦+ 卜||)-(^Z o于是，当XHO时，f在X处沿着Ii方向的GateauX微分为：砒(M) = ¥半IkIl处不是FreChet微分。

P84证明：由于X4 + y1≤^∣x∣,V.r,yX3 yG χ÷y+ J . /Uθ,) = S ' X +y- 2.设泛函〔°(x,y)H(0,0)(XJy)=(O,O),证明/(兀刃在点(°,°)所以f在点(0,0)处连续，令" = (■〃)，则有lim∕(O÷r∕Q-/(O)=Iiln∕→<) f t→0tξ + tη +(fξ)3f∏(/鉀+(S’= ξ + fj因此,f 在点（Oe ）处沿方向h 的GateaUX 微分为Zy （（0、0）,（歹,〃）） = § + 〃，但是,如果令ξ = η∖则有Il 州=(孕+〃2)"2=(孕+0严于是=∣∣⅛⅛≠θ所以，f 在点（0,0）处不是FreChet 可微的。

3.设"，$）为10,l ］χ［0,l ］上的二元连续函数，定义以"⑶为积分核的积分算子^ιΔ2（［0,l ］）→Δ2（［0,l ］）为 (/(/)(∕) = ∫∖(r,5)∕(5)√5,∀f ∈Δ2([0,l])V JL证明：对于任意的/,g∈Δ2（［0,l ］）,有㈣,g> = (伽，s)f($)ds,g(f» =』lw ，s)/(s)d$ g{t}dt = =打(S)^k(TS)g(t)dt ds∕ = (∕,f ",s)g(s)"s 则有(∕√)(r) = ∫7(r,5)∕(5M5,V∕'∈L 2([θ,l])4 求证.(K 了)(/)= [殆可G)ds,WeW[°,ll)∙ blH（孑+缈= ∫j ,∕(0 ^k(JTS) g(S ) d ST(K,∙∙∙) = (討∣χ3,∙∙∙,乎和…)^Il r lLP41证明：对于任意的x = (x∖x2√-∙)∈/2,有II rV Il=Z I r(Xl‘ 疋‘…)iHG 吃,彳兀3,X n‘ ∙∙∙)∣∣「1,2、H ■>"|,/2F产)-+(严)÷ -÷(-χw)-÷- )≤ [(吃)2 + (-Vj)2+••■ + (A H)2+∙∙ )]'2≤ [(^1)2 + (AS)2 + (A3)2 + ∙ +(⅞)2+∙ O]'2 =M于是I∣7'∣∣≤ 1,另外，对于5 = (O,∙∙∙,OJ,O,∙∙-),则有其中ci, C2为任意常数，作变化 1［厂y-广→ 1(〃→ S)所以IlrlI = I5.判断下面方程的类型并把它化成标准型:4%+5g+q+/+匕+ 2 = 0.证明：因为判别式△ = 〃2_4必=9〉0,故方程为双曲型。