2020清华大学丘成桐数学英才班招生考试笔试题

2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第1题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 已知x 2+y 2⩽1，求x 2+xy −y 2的最值．2、【来源】设a ，b ，c 均为大于零的实数，若一元二次方程ax 2+bx +c =0有实根，则（ ）． A. max {a,b,c }⩾12(a +b +c) B. max {a,b,c }⩾49(a +b +c) C. min {a,b,c }⩽14(a +b +c) D. min {a,b,c }⩽13(a +b +c)3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第13题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试|a →|⩽1，|b →|⩽1，|a →+2b →+c →|=|a →−2b →|，则|c →|的最值为( ) A. 最大值为4√2 B. 最大值为2√5 C. 最小值为0 D. 最小值为24、【来源】在△ABC 中，AC =1， BC =√3，AB =2，M 为AB 的中点，将△BCM 沿CM 折起，使得三棱锥B −ACM 的体积为√212，则折起后AB 的长可以为（ ）．A. 1B. √2C. √3D. 25、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第5题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为椭圆x24+y23=1上一点，A(1,0)，B(1,1)，求|PA|+|PB|的取值范围．6、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第7题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试P为双曲线x24−y2=1上一点，A(−2,0)，B(2,0)，令∠PAB=α，∠PBA=β，下列为定值的是()A. tan⁡αtan⁡βB. tan⁡α2tan⁡β2C. S△PAB tan⁡(α+β)D. S△PAB cot⁡(α+β)7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第2题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试非等边三角形ABC中，BC=AC，O，P分别为△ABC的外心和内心，D在BC上，OD⊥BP，下列选项正确的是()A. BODP四点共圆B. OD//ACC. OD//ABD. DP//AC8、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第3题已知集合A，B，C⊆{1,2,3,⋯,2020}，且A⊆C，B⊆C，则有序集合组(A,B,C)的个数是（）．A. 22020B. 32020C. 42020D. 520209、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第4题已知数列{a n }满足a 0=1，|a i+1|=|a i +1|(i ∈N )，则A =|∑a k 20k=1|的值可能是（ ）． A. 0B. 2C. 10D. 1210、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第6题 已知△ABC 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则|AB |的值可能是（ ）． A. 1B. 2C. 3D. 411、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第8题甲、乙、丙三人一起做同一道题，甲说：“我做错了．”，乙说：“甲做对了．”，丙说：“我做错了．”，而事实上仅有一人做对题目且仅有一人说谎了，那么谁可能做对了题目（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 没有人12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第9题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =√3，BC =1，PA→|PA →|+PB →|PB →|+PC →|PC →|=0→，以下正确的是（ ）．A. ∠APB =120°B. ∠BPC =120°C. 2BP =PCD. AP =2PC13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第10题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试 lim n→∞∑arctan n k=12k 2=( )A. 34π B. π C. 3π2D. 7π314、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第11题从0∼9这十个数中任取五个数组成一个为五位数ABCDE （A 可以为0），则396|ABCDE 的概率是（ ）． A.1396B.1324C.1315D.121015、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第12题随机变量X (=1,2,3,⋯)，Y (=0,1,2)，满足P (X =k )=12k 且Y ≡X (mod3)，则E (Y )=（ ）． A. 47B. 87C. 127D. 16716、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第14题若存在x ，y ∈N ∗，使得x 2+ky ，y 2+kx 均为完全平方数，则正整数k 可能是（ ）． A. 2B. 4C. 5D. 617、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第15题 求值：sin⁡(arctan⁡1+arccos⁡√10+arcsin⁡√5)=（ ）．A. 0B. 12C. √22D. 118、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第16题已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱和底面夹角为β，则（）．A. cos⁡α+tan2⁡β=1B. secα+tan2⁡β=−1C. cos⁡α+2tan2⁡β=1D. secα+2tan2⁡β=−119、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第17题2020~2021学年北京海淀区高三单元测试已知f(x)=2e xe x+e−x+sin⁡x，x∈[−2,2]，则f(x)上下界之和为．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第18题已知函数f(x)的图象如图所示，记y=f(x)，x=a，x=t(a<t<c)及x轴围成的曲边梯形面积为S(t)，则下列说法正确的是（）．A. S(t)⩽cf(b)B. S′(t)⩽f(a)C. S′(t)⩽f(b)D. S′(t)⩽f(c)21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第19题 2020~2021学年北京海淀区高三单元测试定义数列{a n }，若∀n ∈N ∗，∃m ∈N ∗，使得S n =a m ，则称数列{a n }为“某数列”，以下正确的是( )A. a n ={1,n =12n−2,n ⩾2，数列{a n }为“某数列”B. a n =kn ，k 为常数，则{a n }为“某数列”C. 存在任意两项均不相同的某数列a n ，且对于任意n ∈N ∗，|a n |<√nD. 对任意等差数列{a n }，存在“某数列”{b n }和{c n }，使得a n =b n +c n22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（强基计划）第20题求值：∫sin 2xsin 4x+cos 4x2πdx =（ ）．A. πB. √2πC. 2πD. √5π23、【来源】已知f(z)=z 10+z −10+12(z 5+z −5)，则（ ）． A. f(z)=0存在实数解B. f(z)=0共有20个不同的复数解C. f(z)=0复数解的模长都等于1D. f(z)=0存在模长大于1的复数解24、【来源】设多项式f(x)的各项系数都是非负实数，且f(1)=f ′(1)=f ′′(1)=f ′′′(1)=1，则f(x)的常数项的最小值为（ ）． A. 12B. 13C. 14D. 1525、【来源】《红楼梦》《三国演义》《水浒》《西游记》四部书分列在只有四层架子的书柜的不同层上，小赵、小钱、小孙，小李分别借阅了四部书中的一部，现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》陈列在第四层，则（）．A. 《水浒》一定陈列在第二层B. 《西游记》一定陈列在第一层C. 小孙借阅的一定是第三层的书籍D. 小李借阅的一定是第四层的书籍26、【来源】设数列{a n}的前n项和为S n=(−1)n a n+12n+n−3，且实数t满足(t−a n+1)(t−a n)<0，则t的取值范围是（）．A. (−34,11 4)B. (−34,11 5)C. (−35,11 4)D. (−35,11 5)27、【来源】已知实数a，b满足a3+b3+3ab=1，设a+b的所有可能取值构成的集合为M，则（）．A. M为单元素集B. M为有限集，但不是单元素集C. M为无限集，且有下界D. M为无限集，且无下界28、【来源】设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y −4=0相切，则圆C 面积的最小值为（ ）． A. π5B. 2π5C. 4π5D. π29、【来源】设α，β为锐角，且cos⁡(α+β)=sin αsin β ，则tan⁡α的最大值为（ ）． A. √24B. √33 C. 1 D. √230、【来源】设函数f(x)=e x +a(x −1)+b 在区间[1,3]上存在零点，则a 2+b 2的最小值为（ ）． A. e2 B. e C. e 22 D. e 231、【来源】设复数z 满足|3z −7i |=3，令z 1=z 2−2z+2z−1+i，则|z 1|的（ ）．A. 最大值为83B. 最大值为73C. 最小值为43D. 最小值为2332、【来源】在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（ ）． A. 10B. 11C. 12D. 1333、【来源】设实数x 1，x 2，⋯，x 21满足0⩽x i ⩽1（i =1,2,⋯,21），则∑21i=1∑|x i −x k |21k=1的最大值为（ ）． A. 110B. 120C. 220D. 24034、【来源】已知实数x ，y ，z 满足{ 19x 3−13y 2−y =119y 3−13z 2−z =119z 3−13x 2−x =1，则（ ）．A. (x,y,z)只有1组B. (x,y,z)有4组C. x ，y ，z 均为有理数D. x ，y ，z 均为无理数35、【来源】使得nsin⁡1>1+5cos⁡1成立的最小正整数n 的值为（ ）． A. 3B. 4C. 5D. 636、【来源】已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点为Z 1，Z 2，O 为坐标原点，若|z 1|=1，5z 12−2z 1z 2+z 22=0，则△OZ 1Z 2的面积为（ ）．A. 1B. √3C. 2D. 2√31 、【答案】见解析;2 、【答案】 B;C;D;3 、【答案】 B;C;4 、【答案】 B;C;5 、【答案】[4−√5,4+√5];6 、【答案】 A;C;7 、【答案】 A;D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;D;10 、【答案】 C;D;11 、【答案】 A;B;12 、【答案】 A;B;C;D;13 、【答案】 A;14 、【答案】 C;15 、【答案】 B;16 、【答案】 C;D;17 、【答案】 D;18 、【答案】 D;19 、【答案】 2;20 、【答案】 A;C;21 、【答案】 A;B;C;D;22 、【答案】 B;23 、【答案】 B;C;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;D;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 C;29 、【答案】 A;30 、【答案】 D;31 、【答案】 A;D;32 、【答案】 C;33 、【答案】 C;34 、【答案】 A;D;35 、【答案】 C;36 、【答案】 A;第11页，共11页。

2020年清华大学强基计划招生考试数学试题金石为开教研部整理1.已知122≤+y x ，22y xy x -+求的最值_________.2.非等边三角形ABC 中，AC BC =，P O ,分别为ABC ∆的外心和内心，D 在BC 上BP OD ⊥，下列选项正确的是（）.A.C.3.,B A 4.0=a A.A C.A 5.P 6.∆A.17.P 4β，下列为定值的是（）.A.βαtan tanB.2tan 2tanβαC.()βα+∆tan PAB S D.()βα+∆cos PAB S 8.甲乙丙做一道题，甲：我做错了，乙：甲做对了，丙：我做错了，老师：仅一人做对且一人说错，问以下正确的是（）.A.甲对B.对C.丙对D.以上说法均不对9.ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，3=AB ，1=BC0=+PC PB PA ，以下说法正确的是（）.A.︒=∠120APBB.︒=∠120BPC C.PCBP =2 D.PCAP 2=10.∞→n lim A.π4311.从39612.望()Y E 13.A.214.y x ,A.x 2+B.x y y x 4422++与可以均为完全平方数C.x y y x 5522++与可以均为完全平方数D.x y y x 6622++与可以均为完全平方数15.⎪⎭⎫ ⎝⎛++51arcsin 103arccos 1arctan sin =_________.16.正四棱锥中，相邻两侧面夹角为α，侧棱与底面夹角为β，问一个βtan 与αcos 的关系，设高为h ，底面边长为a ，余弦定理刻画αcos 即可.17.()x ee e xf x x xsin 2++=-，[]2,2-上()x f 上下界之和为_________.18.()x f 的图像如图所示，()t x a x x f ==,与直线，x 轴围成图形的面积为()t S ，问()t S '的最大值为_________，()x f '的最大值为__________.19.定义数列{}n a ，若*N n ∈∀，*N m ∈∃，使得m n a S =，则称数列{}n a 为“某数列”，以下正确的是（）.A.{11222=≥-=n n n n a ，，，数列{}n a 为“某数列”B.kn a n =，k 为常数，则{}n a 为“某数列”C.忘记了D.任意的等差数列{}n a ，存在“某数列”{}n b ,{}n c ，使nn n c b a +=。

丘成桐数学英才班招生简章一、机构与原则“丘成桐数学英才班”招生工作在清华大学招生工作领导小组的领导下，由清华大学招生办公室负责具体工作的组织和实施。

“丘成桐数学英才班”招生工作按照公平公正、宁缺毋滥的原则择优确定入围名单、录取名单，学校纪检监察部门全程监督，并接受社会监督。

二、招收对象及申请条件1.符合2023年统一高考报名条件的普通高中三年级毕业生，以及普通高中二年级在读学生；2.爱国爱党、崇尚科学、身心健康、成绩优秀、创新潜力突出并有志于从事数学研究，且在中学期间表现出有数学潜质和特长的学生。

三、招生专业“丘成桐数学英才班”2023年招生的学生，录取至清华大学“数学与应用数学”专业，且本科阶段原则上不得转入其他专业。

四、申请办法学生需进行网上报名，在报名系统中填写申请表，填写完成后请将申请表进行打印，经所在中学核实加盖中学公章，扫描上传后提交（申请材料无需邮寄）。

请按照以下要求网上填写并提交申请材料：1. “学历信息”需提供可证明学生学籍中学、就读中学及所在年级的证明材料。

2. “标准化考试成绩信息”作为学生学术能力的重要体现，建议提供中学生标准学术能力测试等成绩，请上传认证成绩单的扫描件或照片。

3. “中学成绩信息”需由中学审核盖章以证明成绩真实。

4. “附加信息”需逐项填写，并上传相应的证明材料的扫描件或照片。

具体包括：（1）数学相关特长及获奖情况；（2）中学阶段物理、化学、生物、信息学奥林匹克竞赛获得的省级（含）以上奖项情况；（3）丘成桐中学生科学奖、丘成桐女子中学生数学竞赛及丘成桐中学生数学夏令营获奖情况；（4）中学阶段参与的科学研究和创新实践情况；（5）中学阶段获得的校级（含）以上个人荣誉情况等。

5. “申请理由”是初审的重要参考，请认真并据实填写（限800字）。

五、选拔程序1.初评：专家组对学生数学特长、平时表现、学术研究、创新潜质等方面进行综合评审，初评结果将在报名系统内公布。

丘成桐英才班考试范围全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、数学1. 初等数论：包括整数、有理数等基本概念的考察，以及一些中级数论题目的解答。

2. 数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列等常见数列的求和公式，以及数列与数学归纳法在解题中的应用。

3. 平面几何：包括角度、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和相关定理的考察。

4. 进阶数学：包括微积分、线性代数等高阶数学概念和定理的考察。

5. 竞赛数学：包括奥赛数学中的高难度题目和解题技巧的练习。

二、物理1. 力学：包括牛顿三大定律、摩擦力、弹簧力等力学知识和题目。

2. 热学：包括热力学、温度、热平衡等热学基础知识和问题。

3. 电磁学：包括电场、磁场、电流等电磁学基础知识和问题。

4. 光学：包括光的传播、反射、折射等光学知识和问题。

5. 现代物理：包括相对论、量子力学等现代物理领域的知识。

三、信息学1. 基本算法：包括排序算法、查找算法等常见算法的实现和应用。

2. 数据结构：包括链表、树、图等数据结构的基本概念和应用。

3. 计算机原理：包括计算机组成原理、操作系统、编程语言等计算机基础知识。

4. 算法设计：包括贪心算法、动态规划、回溯法等高级算法设计和分析。

5. 程序设计：包括编程能力、程序调试、算法实现等计算机编程技能的练习。

以上是丘成桐英才班考试范围的主要内容，学生们需要在这些领域取得一定的基础才能进入这个特殊的班级学习。

通过参加丘成桐英才班的学习，学生们将能够更好地提高自己的数学、物理和信息学能力，为未来参加奥赛比赛和科研工作打下坚实基础。

希望学生们在这个班级的学习过程中，不断努力，不断挑战自己，取得更好的成绩。

【2000字】第二篇示例：【丘成桐英才班考试范围】丘成桐英才班作为国内著名的数学培训机构，向来以其严格的教学标准和高质量的教育服务而闻名。

对于学生来说，通过丘成桐英才班的培训，不仅可以提高数学水平，更可以为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。

清华大学2024年强基计划数学学科试题考试时间 2024年6月28日8:00-12:001. 已知{}{}θθθθθθ3cos ,2cos ,cos 3sin ,2sin ,sin =，则=θ_____.2. 已知4ln =+=+b b a e a ,则下列选项中正确的有（ ）A. 1ln ln >+a b aB.1ln ln =+a b aC.4<abD.e ab >3. 某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段正中央开始走，每个点至多经过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了（ ）次。

A.96B.98C.104D.1024. 在平面直角坐标系内，()1,2,18200),(22A y x y x M≤+∈，若OMA ∆的面积不超过3，则满足条件的整点M 个数为_____.6.已知2111,1nn n a a a a +==+，下列选项中正确的有（ ）. A.333lim =+∞→n a n n B.[]20400=a C.2lim =+∞→n a n n D.[]30900=a 7.正整数{}100,,2,1,, ∈c b a ，且c b a b c a >>=+,211，满足这样条件的()c b a ,,的组数为（ ）. A.60 B.90 C.75 D.868. 从棱长为1个单位长度的正方体的底面一顶点A 出发，每次均随机沿一条棱行走一个单位长度，下列选项中正确的有（ ）.A. 进行4次这样的操作回到A 的概率为)311(214+⋅ B. 进行2次这样的操作回到A 的概率为95C. 进行4次这样的操作回到A 的概率为)311(214−⋅ D. 进行2次这样的操作回到A 的概率为31 9.圆周上721,,A A A 七个点两两相连，任选两条线段，则这两条线段无公告点的概率是（ ）. A.73 B.21 C.72 D.31 10.1021,,a a a 是一个10,,3,2,1 的排列，要求1−i a 和1+i a 一定有一个大于i a （9,,3,2 =i ），则满足的排列的总数为_____.11.直线c by ax c by ax x y x Q y x p c by ax l ++++==++22112211),,(),,(,0:，下列选项中正确的有（ ）. A.若1>x ，则l 与射线PQ 相交B. 若1=x ，则l 与射线PQ 平行C.若1−=x ，则l 与射线PQ 垂直D.若x 存在，则Q 在l 上12.在ABC ∆中，CAP BAP A ∠=∠=∠,60 ,P 在ABC ∆内部，延长BP 交AC 于Q ，且PQCP BP 111=+，则=∠BPC （ ）. A. 140 B. 130 C. 110 D. 12013.几个人讨论某个比赛的成绩，讨论内容如下：张三：甲是第4名；李四：乙不是第2或第4名；王五：丙排在乙前面；刘六：丁是第1名已知只有一个人说假话，下列正确的是（ ）.A.丙是第1名B.丁是第2名C.乙是第3名D.甲是第4名14.=++++)122arctan 22arctan 2tan(arctan 22 _____. 15.已知2024,,*≤+∈b a N b a ，使得b a b a b ab ++++227的解的组数有（ ）组.16.点集{}*,,4,5),(Ν∈≤≤=y x y x y x S ，则由S 中的点可组成_____个不同的三角形.17.已知31,0132111==+−++a a a a n n n ，下列选项中正确的有（ ）. A.21lim =+∞→n n a B.61−>n S n C.+−11n n a a 是等比数列 D.2n S n < 18.已知复数2,1+==z z z n ，则n 的最小值为_____.19.已知一个正四面体边长为22，P 2，考虑AD AP ⋅，下列说法正确的有（ ）.A.最小值为224−B.最大值为222+C.最小值为222−D.最大值为224+20.已知)0,,(),,(≥+++++=c b a ba c a cbc b a c b a f ，则),,(c b a f 的最大值、最小值分别为_____. 21.已知023=++r px x 在)2,0(上三个不等实根，则r q p ++的可能取值为_____.22.四面体ABC V −中，4,322=====CB CA VC VB VA ，，求CA 与VB 所成弦角的取值范围_____.23.已知xe x xf 1)(−=，下列选项中正确的有（ ）. A.a x f =)(两根,,21x x 且421=+x xB.a x f =)(两根，则)1,0(2ea ∈ C.任意R m ∈，函数m x f x g +=)()(都有最小值D.任意R m ∈，使得函数m x f x g +=)()(有最大值24.)(x f 是在[]10，上的连续函数，设∑=−−=n k n nk f n k f A 1)()1(，则（ ） A.n n A A 2≤ B.m n n A A +≤ C.n n A A 22≤ D.mn n A A +≤225.双曲线12222=−by a x ，斜率为1的直线l 交C 于B A ,两点，D 为C 上另一点，BOD AOD BD AD ∆∆⊥,.重心分别为Q P ,，ABD ∆外心为M ，若8−=⋅⋅OM OQ OP k k k ，则双曲线的离心率为_____.26.过抛物线y x 42=焦点F 的直线与抛物线交于点),(),,(2211y x B y x A 两点，l 过B 且与抛物线在A 处的切线平行，l 交抛物线与另一点),(33y x D ，交y 轴于E 点，则下列选项中正确的有（ ）.A.1323x x x =+B.FE FB =C.ABD ∆面积的最小值为16D.121=y y27.x x x f cos ln )(+=所有极值点依次为n a a a ,,11，则=−++∞→n n n a a 1lim _____. 28.x x u b au u u f 1,2)(2+=−++=，)(u f 有零点，则22b a +的最小值为_____.清华大学2024年强基计划数学学科试题解析。

2020年清华大学强基计划数学试题共35道选择题，为不定项选择题．1．若221x y +，则22x xy y +-的取值范围是（）．A．3322⎡-⎢⎣⎦B．[]1,1-C．5522⎡-⎢⎣⎦D．[]2,2-2．设a ，b ，c 为正实数，若一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则（）A．{}()1max ,,2a b c a b c ++ B．{}()4max ,,9a b c a b c ++ C．{}()1min ,,4a b c a b c ++ D．{}(),m n 1,3i a b c a b c ++ 3.在非等边ABC △中，BC AC =，若O 和P 分别为ABC △的外心和内心，D 在线段BC 上，且满足OD BP ⊥，则下列选项正确的是（）．A．B ，D ，O ，P 四点共圆B．OD AC ∥C．OD AB∥D．PD AC∥4．已知集合{},,1,2,3,,2020A B C ⊆ ，且A B C ⊆⊆，则有序集合组(),,A B C 的个数是（）．A．20202B．20203C．20204D．202055．已知数列{}n a 满足00a =，()11i i a a i +=+∈N ，则201kk A a==∑的值可能是（）．A．0B．2C．10D．126．已知点P 在椭圆22143x y +=上，()1,0A ，()1,1B ，则PA PB +的最大值是（）．A．4B．4C．4+D．67．已知P 为双曲线2214x y -=上一点（非顶点），()2,0A -，()2,0B ，令PAB α∠=，PBA β∠=，下列表达式为定值的是（）．A．tan tan αβB．tan tan22αβC．()tan PAB S αβ+△D．()cot PAB S αβ+△8．甲、乙、丙三位同学讨论同一道数学竞赛题，甲说：“我做错了．”乙说：“甲做对了．”丙说：“我做错了．”老师看过他们的答案并听了他们的上述对话后说：“你们仅有一人做对且仅有一人说谎了”，则根据以上信息可以推断（）．A．甲做对了B．乙做对了C．丙做对了D．无法确定谁做对了9．在Rt ABC △中，π2ABC ∠=，AB =1BC =，PA PB PC PA PB PC++=0 ，则下列说法正确的是（）．A．2π3APB ∠=B．2π3BPC ∠=C．2PC PB =D．2PA PC=10．求值：212lim arctan nn k k →+∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑（）．A．π2B．3π4C．5π4D．3π211．从0到9这十个数中任取五个数组成一个五位数abcde （a 可以等于0），则396abcde 的概率为（）．A．1396B．1324C．1315D．121012．随机变量()1,2,3,X = ，()0,1,2Y =，满足()12kP X k ==，且()mod3Y x ≡，则()E Y =（）．A．47B．87C．127D．16713．已知向量a ，b ，c 满足1a ，1b ，22++=-a bc a b ，则下列说法正确的是（）．A．c 的最大值为B．c 最大值为C．c 的最小值为0D．c 的最小值为214．若存在x ，*y ∈N ，使得2x ky +与2y kx +均为完全平方数，则正整数k 可能取值为（）．A．2B．4C．5D．615．sin arctan1arccosarcsin⎛+= ⎝（）．A．0B．12C．2D．116．已知正四棱锥中，相邻两侧面构成的二面角为α，侧棱与底面夹角为β，则（）．A．2cos tan 1αβ+=B．2sec tan 1αβ+=-C．2cos 2tan 1αβ+=D．2sec 2tan 1αβ+=-17．已知函数()[]()e 2e sin 2,2exx x f x x x -=+∈-+，则()f x 的最大值与最小值的和是（）．A．2B．eC．3D．418．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x 的图像与直线x a =，()x t a t c =<<，x 轴围成图形的面积为()S t ，则下列说法正确的是（）．A．()()S t cf b <B．()()f S t a ' C．()()f S t b ' D．()()f S t c '19．我们称数列{}n a 为“好数列”，若对任意*n ∈N 存在*m ∈N ，使得n m a S =，其中1nn ii S a ==∑，则下列说法正确的是（）．A．若21,1,2,2,n n n a n -=⎧=⎨⎩，则数列{}n a 为“好数列”B．若n n a k （k 为常数），则数列{}n a 为“好数列”C．若{}n b ，{}n c 均为“好数列”，则n n n a b c =+为等差数列D ．对任意等差数列{}n a ，存在“好数列”{}n b ，{}n c ，使()*n n n a b c n =+∈N 20．22π440sin d sin cos xx x x=+⎰（）．A．πC．2π21.在ABC △中，1AC =，BC =2AB =，设M 为AB 中点，现将ABC △沿CM折起，使得四面体B ACM -的体积为212，则折起后AB 的长度可能为（）A．1D．222．设复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，若11z =，221212520z z z z +-=，则12OZ Z △的面积为（）A．1C．2D．23．使得sin115cos1n >+成立的最小正整数n 等于（）A．3B．4C．5D．624．已知实数x ，y ，z 满足323232111931119311193x y y y z z z x x ⎧--=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪--=⎪⎩，则（）A．(),,x y z 有1组B．(),,x y z 有4组C．x ，y ，z 均为有理数D．x ，y ，z 均为无理数25．设实数1221,,,x x x 满足()011,2,,21i x，则212111i k i k x x ==-∑∑的最大值为（）A．110B．120C．220D．24026．在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点称为格点，且所有顶点都是格点的多边形称为格点多边形．若一个格点多边形的内部有8个格点，边界上有10个格点，则这个格点多边形的面积为（）A．10B．11C．12D．1327．设复数z 满足37i 3z -=，则2221iz z z -+-+的（）A．最大值为83B．最大值为73C．最小值为43D．最小值为2328．设α，β为锐角，且()sin cos sin ααββ+=，则tan α的最大值为（）A．24B．33C．129．已知函数()()e 1x f x a x b =+-+在区间[]1,3上存在零点，则22a b +的最小值为（）A．e2B．eC．2e 2D．2e 30．设A ，B 分别是x 轴，y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（）A．π5B．2π5C．4π5D．π31．已知实数a ，b 满足3331a b ab ++=，设a b +的所有可能值构成的集合为M ，则（）A．M 为单元素集B．M 为有限集，但不是单元素集C．M 为无限集，且有下界D．M 为无限集，且无下界32．已知数列{}n a 的前n 项和()1132n n n nS a n =-⋅++-，且实数t 满足()()10n n t a t a +--<，则t 的取值范围是（）A．311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．311,45⎛⎫- ⎪⎝⎭C．311,54⎛⎫- ⎪⎝⎭D．311,55⎛⎫- ⎪⎝⎭33．《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》和《西游记》四部书分列在四层架子的书柜的不同层上．小赵，小钱，小孙，小李分别借阅了四部书中的一部．现已知：小钱借阅了第一层的书籍，小赵借阅了第二层的书籍，小孙借阅的是《红楼梦》，《三国演义》在第四层．则（）A．《水浒传》一定陈列在第二层B．《西游记》一定陈列在第一层C．小孙借阅的一定是第三层的书籍D．小李借阅的一定是第四层的书籍34．设多项式()f x 的各项系数都是非负实数，且()()()()11111f f f f ''''''====，则()f x 的常数项的最小值为（）A．12B．13C．14D 15．35．已知()1051051112f z z z z z ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则（）A．()0f z =存在实数解B．()0f z =共有20个不同的复数解C．()0f z =复数解的模长均为1D．()0f z =存在模长大于1的复数解答案：（1）C（2）AD（3）AC（4）BC（5）BD （6）AC（7）AD（8）A（9）D（10）C (11)AD（12）C（13）C（14）D（15）AD （16）ABCD（17）A（18）C(19）D（20）ABD (21)A（22）C（23）B（24）C（25）B （26）A（27）A（28）CD(29）D（30）BC (31)B（32）A（33）B（34）CD（35）BC。

2020年北京海淀区清华大学自主招生数学试卷（1月）（TDA）-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第1题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联盟）第1题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第1题5分若集合A={x|−1<x<2}，B={−2,0,1,2}，则A∩B=（）．A. ∅B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−2,0,1,2}2、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第2题5分若(2+i)z=5，则z的虚部为（）．A. −1B. 1C. −iD. i3、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第3题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联考）第2题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联盟）第2题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第3题5分已知双曲线x 22−y2b2=1(b>0)的两条渐近线互相垂直，则b=（）．A. 1B. √2C. √3D. 24、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第4题5分函数f(x)=(x2−2x)e x的图象可能是（）．A.B.C.D.5、【来源】 2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第6题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考(杭二，学军，杭高、嘉兴一中、宁波效实五校联考)第5题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（五校联考）第5题4分2020~2021学年湖北武汉江岸区武汉市第二中学高一上学期单元测试《一元二次函数、方程和不等式》第1题已知关于x的不等式ax2−2x+3a<0在(0,2]上有解，则实数a的取值范围是（）．)A. (−∞,√33)B. (−∞,47,+∞)C. (√33,+∞)D. (476、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA ）第6题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（五校联考）第6题4分已知a ，b 为实数，则0<b <a <1，是log a ⁡b >log b ⁡a 的（ ）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA ）第7题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联考）第9题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联盟）第9题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第9题5分在△ABC ，若AB →⋅BC →=BC →⋅CA →=2CA →⋅AB →，则|AB →||BC →|=（ ）．A. 1B. √22C. √32D. √628、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA ）第8题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第10题5分2020~2021学年5月广东深圳南山区北京师范大学南山附属学校高三下学期周测A 卷第8题5分 在矩形ABCD 中，已知AB =3，AD =4，E 是边BC 上的点，EC =1，EF//CD ，将平面EFDC 绕EF 旋转90°后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）．A. 圆B. 双曲线C. 椭圆D. 抛物线二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA ）第9题5分已知函数f(x)=(ln⁡x −1)(x −2)i −m(i =1,2)，e 是自然对数的底数，存在m ∈R （ ）．A. 当i =1时，f(x)零点个数可能有2个B. 当i =1时，f(x)零点个数可能有4个C. 当i =2时，f(x)零点个数可能有3个D. 当i =2时，f(x)零点个数可能有4个10、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA ）第10题5分已知A ，B 是圆C 1:x 2+y 2=1上的动点，AB =√3，P 是圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=1上的动点，下列命题中正确的是（ ）．A. 线段AB 的中点M 的轨迹方程为x 2+y 2=12B. 线段AB 的中点M 的轨迹方程为x 2+y 2=14C. |PA →+PB →|的取值范围是[7,13]D. |PA →+PB →|的取值范围是[5,7]11、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第11题5分2020~2021学年4月广东深圳福田区深圳市红岭中学高二下学期月考(特优班)第9题5分2020~2021学年广东深圳南山区北大附中深圳南山分校高二下学期期中第11题5分下列说法中，正确的命题是（）．A. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,δ2)，P(ξ<4)=0.84，则P(2<ξ<4)=0.16．B. 以模型y=ce kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=ln⁡y，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是e4和0.3．C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y=a+bx，若b=2，x=1，y=3，则a=1．D. 若样本数据x1，x2，⋯，x10的方差为2，则数据2x1−1，2x2−1，⋯，2x10−1的方差为16．12、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第12题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n(2S n−a n)=1，则下列结论正确的是（）．A. 数列{S n2}是等差数列B. a n<2√nC. a n a n+1<1D. a n<S n三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第13题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联考）第15题4分2019~2020学年6月重庆南岸区重庆市第十一中学高二下学期月考第14题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第13题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联盟）第15题4分1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和．这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“1+1”．1966年，我国数学家陈景润证明了“1+2”，获得了该研究的世界最优成果．若在不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则两数之和不超过30的概率是．14、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第14题5分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第15题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联盟）第16题4分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（十校联考）第16题4分已知F是椭圆C:x 2a2+y2b2=1（a>b>0）的一个焦点，P是C上的任意一点，则|FP|称为椭圆C的焦半径．设C的左顶点与上顶点分别为A，B，若存在以A为圆心，|FP|为半径长的圆经过点B，则椭圆C的离心率的最小值为．15、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第15题5分如图矩形ABCD中，M为BC的中点，已知BC=2AB=2．将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则CN的长是；当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD外接球的体积为．16、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第16题5分2019~2020学年浙江高三上学期开学考试名校协作体第16题4分2019~2020学年5月重庆渝中区重庆市巴蜀中学高一下学期周测C卷第14题4分2019~2020学年1月北京海淀区清华大学月考理科第14题5分已知△ABC的面积等于1，若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin⁡A=．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第17题10分已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−1,√3)．(1) 求cos⁡(α+π2)的值．(2) 求函数f(x)=sin2(x+α)−cos2(x−α)(x∈R)的最小正周期与单调递增区间．18、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第18题12分2019~2020学年浙江高三上学期开学考试第19题15分如图，ABCDEF是由两个全等的菱形ABEF和CDEF组成的空间图形，AB=2，∠BAF=∠ECD=60∘．(1) 求证：BD⊥DC．(2) 如果二面角B−EF−D的平面角为60∘，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．19、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第19题12分已知等比数列{a n}的公比q>1，且a1+a3+a5=42，a3+9是a1，a5的等差中项．数列{b n}的通项公式b n=n√a−1+√a−1，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 证明：b1+b2+⋯+b n<√2n+1−1，n∈N∗．20、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第20题12分已知抛物线C：x2=2py(p>0)，焦点为F，准线与y轴交于点E．若点P在C上，横坐标为2，且满足：|PE|=√2|PF|．(1) 求抛物线C的方程．(2) 若直线PE交x轴于点Q，过点Q做直线l，与抛物线C有两个交点M，N(其中，点M在第一象限)．若QM→=λMN→，当λ∈(1,2)时，求S△OMPS△ONP的取值范围．21、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第21题12分已知函数f(x)=(x+1)(e x−1)．(1) 求f(x)在点(−1,f(−1))处的切线方程．(2) 若方程f(x)=b有两个实数根x1，x2，且x1<x2，证明：x2−x1⩽1+b+e+13e−1+ebe−1．22、【来源】 2020年北京海淀区清华大学自主招生（1月）（TDA）第22题12分某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据进行统计，如图所示，其中a−b=0.016．(1) 求这300名玩家测评分数的平均数．(2) 由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进．已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为p(0<p<1)，且每款游戏之间改进与否相互独立．①对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率．②每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．（以聘请专家费用的期望为决策依据）1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 A;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 A;C;10 、【答案】 B;C;11 、【答案】 B;C;12 、【答案】 A;B;C;13 、【答案】2;3;14 、【答案】√3−12;15 、【答案】√5;3;16 、【答案】81717 、【答案】 (1) −√32;(2) T=π，[kπ−π2,kπ](k∈Z) ;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 2√77．;19 、【答案】 (1) a n=2n;(2) 见解析;20 、【答案】 (1) x2=4y;(2) (12,2 3 );21 、【答案】 (1) y=1−ee(x+1) ;(2) 见解析;22 、【答案】 (1) 76．;(2)①3p5+12p4−17p3+9p2．②超过，证明见解析．;。

一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”( )条件 (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为(A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3△ABC 的面积为233(D)△ABC 的外接圆半径为2337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值(C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e (D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-=(C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ） （A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S 11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)2 (D)313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个 (C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为13 20.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2α2α),12b =(2β2β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2θ(C)112222||44a b mn θ-≥ (D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ）（A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ）(A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则的（ ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为13+28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多 (C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个 29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ）(A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer##1.【解析】 2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+-- =212sin 2sincos333i πππ-⋅22=cos0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]66i ππ-+-1sin )6622i i ππ++-=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅=≥=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离1，正确。