北师大八年级数学下册易错题整理练习(一)

专题01 因式分解 易错题之选择题（30题）Part1 与 因式分解 有关的易错题1．（2020·雅安市八年级月考）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A ．12a 2b = 3a ⋅ 4abB ．2x 2+2x ＝2x 2（1+1x ）C ．（x+2）（x ﹣2）＝x 2﹣4D ．4x 2 + 4x +1 =（2x +1）2【答案】D【提示】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【详解】解：A 、是一个单项式转化为乘积的形式，不是因式分解，故A 不符合；B 、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B 不符合；C 、是整式的乘法，故C 不符合；D 、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D 符合；故选：D ．【名师点拨】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式．2．（2020·四川省自贡市八年级月考）下列四个等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()am bm c m a b c ++=++B ．()211(1)x x x -=+-C ．221(1)x x x x +=+ D ．()2221441x x x +=++【答案】B【提示】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．【详解】解：A 、()am bm c m a b c ++=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；B 、()211(1)x x x -=+-，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；C 、()21x x x x +=+，故错误，此选项不符合题意；D 、()2221441x x x +=++，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选：B ．【名师点拨】本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．3．（2020·河南周口市·八年级期末）把多项式2x ax b ++分解因式，得(1)(3)x x +-，则+a b 的值是（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-5【答案】D【提示】利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a 与b 的值，即可求出a +b 的值．【详解】根据题意得：x 2+ax+b=(x+1)(x−3)=x 2−2x−3，可得a=−2，b=−3，则a+b=−5，故选D.【名师点拨】本题考查因式分解，解决本题的关键是要理解两个多项式相等的条件，两个多项式分别经过合并同类项后,如果他们的对应项系数都相等,那么称这两个多项式相等.4．（2020·安徽淮南市·八年级期末）若2(32)()2x x p mx nx ++=+-，则下列结论正确的是（ ） A ．6m =B ．1n =C ．2p =-D ．3mnp =【答案】B【提示】 直接利用多项式乘法运算法则得出p 的值，进而得出n 的值．【详解】解：∵2(32)()2x x p mx nx ++=+-，∵（3x+2）（x+p ）=3x 2+（3p+2）x+2p=mx 2-nx -2，∵m=3，p=-1，3p+2=-n ，∵n=1，故选B.【名师点拨】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p 的值，是一道基础题．5．（2020·湖北黄石市·八年级期末）下列各多项式从左到右变形是因式分解，并分解正确的是（ ）A ．（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ）B ．（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6C ．4a 2﹣9b 2＝（4a ﹣9b ）（4a+9b ）D ．m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2【答案】A【提示】 直接利用因式分解的定义进而提示得出答案．【详解】A 、（a ﹣b ）3﹣b （b ﹣a ）2＝﹣（b ﹣a ）3﹣b （b ﹣a ）2＝（b ﹣a ）2（a ﹣2b ），是因式分解，故此选项正确；B 、（x+2）（x+3）＝x 2+5x+6，是整式的乘法运算，故此选项错误；C 、4a 2﹣9b 2＝（2a ﹣3b ）（2a+3b ），故此选项错误；D 、m 2﹣n 2+2＝（m+n ）（m ﹣n ）+2，不符合因式分解的定义，故此选项错误．故选A ．【名师点拨】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握因式分解的定义是解题关键．6．（2020·四川省射洪县八年级月考）下列因式分解中，正确的个数为（ ）①x 3+2xy+x=x （x 2+2y ）；②x 2+4x+4=（x+2）2；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（x ﹣y ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 【答案】C【详解】试题提示：接根据提取公因式法以及公式法分别分解因式作出判断：∵x 3+2xy+x=x （x 2+2y+1），故原题错误；②x 2+4x+4=（x+2）2，故原题正确；③﹣x 2+y 2=（x+y ）（y ﹣x ），故原题错误．故正确的有1个．故选C ．7．（2020·河北唐山市·八年级期末）下列因式分解中：①()3222x xy x x x y ++=+；②22()()x y x y x y -+=+-；③2244(2)x x x ++=+；④221(1)x x x ++=+；正确的个数为（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【答案】C【提示】根据因式分解的方法逐个判断即可．【详解】解：①()32221x xy x x x y ++=++，故①错误；②22()()x y x y x y -+=-+-，故②错误；③2244(2)x x x ++=+，正确，④221(1)x x x ++≠+，故④错误，所以正确的只有③，故答案为：C ．【名师点拨】本题考查了判断因式分解是否正确，掌握因式分解的方法是解题的关键．8．（2020·河北唐山市·八年级月考）一次课堂练习，一位同学做了4道因式分解题，你认为这位同学做得不够完整的题是（ ）A ．2222()x xy y x y -+=-B ．22()x y xy xy x y -=-C ．22()()x y x y x y -=+-D ．32(1)x x x x -=- 【答案】D【提示】利用完全平方公式和平方差公式可对A 、C 两项进行判断；利用提公因式法可对B 进行判断，利用提公因式法和平方差公式可对D 项进行判断.【详解】因为x 2-2xy+y 2=(x -y)2，所以选项A 分解正确；因为x 2y -xy 2=xy(x -y)，所以选项B 分解正确；因为x 2-y 2=(x -y)(x+y)，所以选项C 分解正确；因为x 3-x=x(x 2-1)=x(x+1)(x -1)，所以选项D 分解不彻底.故选:D.【名师点拨】本题是一道关于因式分解的题目，关键是掌握因式分解的常用方法；9．（2020·山东泰安市·东平县八年级月考）如果多项式x 2﹣mx ＋6分解因式的结果是（x ﹣3）（x ＋n ），那么m ，n 的值分别是（ ）A ．m ＝﹣2，n ＝5B ．m ＝2，n ＝5C ．m ＝5，n ＝﹣2D ．m ＝﹣5，n ＝2【答案】C【提示】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m 与n 的值即可．【详解】x 2－mx ＋6＝（x －3）（x ＋n ）＝x 2＋（n －3）x －3n ，可得－m ＝n －3，－3n ＝6，解得：m ＝5，n ＝－2．故选：C ．【名师点拨】此题考查了因式分解与多项式乘法的关系，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解本题的关键．10．（2020·重庆市八年级月考）已知25x x m -+有一个因式为2x -，则另一个因式为（ ）A ．3x +B ． 6 x ﹣C ． 3 x ﹣D ．6x +【答案】C【提示】所求的式子25x x m -+的二次项系数是1，因式（x−2）的一次项系数是1，则另一个因式的一次项系数一定是1，然后根据25x x m -+中一次项系数为－5，列方程求出另一个因式．【详解】解：设另一个因式为（x ＋a ），则x 2−5x ＋m ＝（x−2）（x ＋a ），即x 2−5x ＋m ＝x 2＋（a−2）x−2a ，∵a−2＝−5，解得：a ＝−3，∵另一个因式为（x−3）．故选：C ．【名师点拨】本题主要考查因式分解的实际运用，根据二次项系数假设出另一个因式是解本题的关键． Part2 与 提公因式法 有关的易错题11．（2020·四川泸州市·八年级月考）多项式2mx m -与多项式221x x -+的公因式是（ ）A ．1x -B ．1x +C ．21x -D ．()21x - 【答案】A【详解】试题提示：把多项式分别进行因式分解，多项式2mx m -=m （x+1）（x -1），多项式221x x -+=()21x -，因此可以求得它们的公因式为（x -1）．故选A考点：因式分解12．（2020·山东临沂市·八年级期末）将3-a b ab 进行因式分解，正确的是( )A ．()2a a b b -B ．()21ab a -C ．()()11ab a a +-D ．()21ab a - 【答案】C【提示】多项式3-a b ab 有公因式ab ，首先用提公因式法提公因式ab ，提公因式后，得到多项式()21x -，再利用平方差公式进行分解．【详解】 ()()()32111a b ab ab a ab a a -=-=+-，故选C ．【名师点拨】此题主要考查了了提公因式法和平方差公式综合应用，解题关键在于因式分解时通常先提公因式，再利用公式，最后再尝试分组分解；13．（2020·广西防城港市·八年级月考）下列分解因式正确的是( )A ．-ma -m=-m(a -1)B ．a 2-1=(a -1)2C ．a 2-6a+9=(a -3)2D ．a 2+3a+9=(a+3)2【答案】C【提示】利用提取公因式或者公式法即可求出答案．【详解】A.原式=−m (a +1)，故A 错误；B.原式=(a +1)(a −1)，故B 错误；C.原式=(a −3)2，故C 正确；D.该多项式不能因式分解，故D 错误，故选:C【名师点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.14．（2020·毕节市八年级月考）多项式8x m y n -1－12x 3m y n 的公因式是（ ）A ．x m y nB ．x m y n -1C ．4x m y nD ．4x m y n -1【答案】D【详解】由题意可得，这个多项式的公因式为4x m y n -1，注意数字的最大公约数也是公因式，容易出错，故选D15．（2020·辽宁大连市·八年级期末）如图，边长为a ，b 的矩形的周长为10，面积为6，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．60B ．16C ．30D ．11【答案】C【提示】 先把所给式子提公因式进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，再代入求值即可．【详解】∵矩形的周长为10，∵a+b=5，∵矩形的面积为6，∵ab=6，∵a 2b+ab 2=ab （a+b ）=30．故选：C ．【名师点拨】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．16．（2020·渝中区八年级期末）若mn 2=-，3m n +=，则代数式22m n mn +的值是（ ）．A ．-6B ．-5C ．1D ．6【答案】A【提示】由提公因式进行化简，然后把mn 2=-，3m n +=代入计算，即可得到答案．解：∵mn 2=-，3m n +=，∵22()236m n mn mn m n +=+=-⨯=-；故选：A ．【名师点拨】本题考查了提公因式法，以及求代数式的值，解题的关键是正确的把代数式进行化简．17．（2020·河北邢台市·八年级期末）将多项式222a a --因式分解提取公因式后，另一个因式是（ ） A ．a B ．1a + C ．1a - D ．1a -+【答案】B【提示】直径提取公因式即可.【详解】()22221a a a a --=-+故选：B【名师点拨】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．18．（2020·河南南阳市期末）如果多项式221155abc ab a bc -+-的一个因式是15ab -，那么另一个因式是（） A ．5c b ac -+ B ．5c b ab +- C ．15c b ab -+ D ．15c b ab +-【答案】A【提示】 多项式先提取公因式15ab -，提取公因式后剩下的因式即为所求．【详解】 解：22111(5)555abc ab a bc ab c b ac -+-=--+，故另一个因式为(5)c b ac -+，故选：A ．【名师点拨】此题考查了因式分解-提取因式法，找出多项式的公因式是解本题的关键．也是解本题的难点，要注意符号．19．（2020·大冶市八年级月考）（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）A ．﹣22019B ．﹣22020C ．22019D ．﹣2【提示】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20．（2020·平山县八年级期末）若2220x y -=，且5x y +=-，则x y -的值是 （ ）A ．﹣4B ．4C ．5D ．以上都不对【答案】A【提示】 对原式进行因式分解，代入值即可．【详解】x 2-y 2=（x+y ）（x -y ）=-5（x -y ）=20，解得，x -y=-4．故选A ．【名师点拨】考查了应用平方差公式因式分解，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．Part3 与 公式法 有关的易错题21．（2020·德州市八年级月考）已知a ，b ，c 是三角形的三边，那么代数式a 2-2ab +b 2-c 2的值（ ） A ．大于零B ．等于零C ．小于零D ．不能确定【答案】C【详解】a 2-2ab+b 2-c 2=（a -b ）2-c 2=（a+c -b ）[a -（b+c ）]．∵a ，b ，c 是三角形的三边．∵a+c -b ＞0，a -（b+c ）＜0．∵a 2-2ab+b 2-c 2＜0．故选C ．22．（2020·北京海淀区八年级月考）若3a b +=，则226a b b -+的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．12【答案】C【详解】∵a+b=3， ∵a 2-b 2+6b=(a+b)(a -b)+6b=3(a -b)+6b=3a -3b+6b=3a+3b=3(a+b)=9，故选C.23．（2020·陕西西安市八年级月考）多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（ ） A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1 【答案】C【提示】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【名师点拨】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x -2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.24．（2020·山东济宁市·八年级期末）下列各式中，计算结果是2718x x +-的是（ ）A ．(1)(18)x x -+B ．(2)(9)x x ++C ．(3)(6)x x -+D ．(2)(9)x x -+ 【答案】D【解析】试题提示:利用十字相乘法进行计算即可.原式=（x －2）（x ＋9）故选D.考点：十字相乘法因式分解.25．（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）下列各选项中因式分解正确的是（ ）A ．()2211x x -=-B ．()32222a a a a a -+=-C ．()22422y y y y -+=-+D ．()2221m n mn n n m -+=-【答案】D【提示】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可．【详解】解：A.()()2111x x x -=+-，故此选项错误；B.()23221a a a a a -+=-，故此选项错误；C.()22422y y y y -+=--，故此选项错误；D.()2221m n mn n n m -+=-，正确．故选D ．【名师点拨】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．26．（2020·枣庄市八年级月考）把代数式2x 2﹣18分解因式，结果正确的是（ ）A ．2（x 2﹣9）B ．2（x ﹣3）2C ．2（x +3）（x ﹣3）D ．2（x +9）（x ﹣9）【答案】C【解析】试题提示：首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式得出即可．解：2x 2﹣18=2（x 2﹣9）=2（x+3）（x ﹣3）．故选C ．考点：提公因式法与公式法的综合运用．27．（2020·广东揭阳市·八年级期末）若实数a 、b 满足a+b=5，a 2b+ab 2=-10，则ab 的值是（ ）A ．-2B ．2C ．-50D ．50【答案】A【解析】试题提示：先提取公因式ab ，整理后再把a+b 的值代入计算即可．当a+b=5时，a 2b+ab 2=ab （a+b ）=5ab=-10，解得：ab=-2．考点：因式分解的应用．28．（2020·张掖市八年级月考）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A ．x 2+x+1B ．x 2+2x ﹣1C ．x 2﹣1D ．x 2﹣6x+9【解析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项解析判断后利用排除法求解：A 、x 2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；B 、x 2+2x ﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；C 、x 2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故选项错误；D 、x 2﹣6x+9=（x ﹣3）2，故选项正确．故选D ．29．（2020·雅安市八年级月考）若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A ．50B ．100C ．98D ．97【答案】D【提示】对题目中的式子分解因式即可解答本题．【详解】∵993-99=99×（992-1）=99×（99+1）×（99-1）=99×100×98，∵k 可能是99、100、98或50，故选D ．【名师点拨】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法解答．30．（2020·南通市八年级月考）如图，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，x ，y 表示四个相同长方形的两边长（x y >）.则①x y n -=；②224m n xy -=；③22x y mn -=；④22222m n x y -+=，中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】A【提示】 根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．①x−y 等于小正方形的边长，即x−y=n ，正确；②∵xy 为小长方形的面积， ∵224m n xy -=， 故本项正确；③()()22x y x y x y mn -=+-=，故本项正确；④()222222222242m n m nx y x y xy m -++=+-=-⨯=故本项错误.则正确的有3个①②③.故选A.【名师点拨】此题考查因式分解的应用，整式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.。

北师大版八年级下册数学易错点知识归纳题型一：等腰三角形的分类讨论问题1、若等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．2、若等腰三角形的周长是25cm ，一腰上的中线将周长分为3:2的两部分，则此三角形的底边长为_____________．3、若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．4、等腰三角形的周长为28cm ，其中一边长为10cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．5、已知：如图，线段AB 的端点A 在直线l 上，AB 与l 的夹角为60°，请在直线l 上另找一点C ，使△ABC 是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．另外在平面直角坐标系中知道两个点A,B ，再找一个点C 使得△ABC 为等腰三角形，求点C 的坐标，和这个一样的做法6、如图，已知∠AOB =60°，点P 在OA 边上，OP =12，点M ，N 在OB 边上，PM =PN ，若MN =2，则OM =题型二：有关线段的中垂线和角平分线的两个定理1、已知：如图，△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点F ，求证：点F在∠DAE 的平分线上．2、如图，已知PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA =PB ．∠MON =50°，∠OPC =30°，求∠PCA 的大小． MNP CBOAFEDCB AFDEC B APN M BOA 60°3、已知：如图2，∠ABC =60°，∠ACD =100°，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD 且交BE 于E ，作射线AE ，则∠CAE 的度数为_________．题型三：有关轴对称的最值问题旋转和折叠问题1、如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若AE =2，当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为______．FED B AM FED CB A2、如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．3、如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =120°，∠B =∠D =90°，在BC ，CD 上分别找一点M ，N ．当△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为________．ABCDNMD C B A4、利用旋转证明全等求已知线段的长度关系和数量关系 类比归纳问题 已知正三角形ABC 正三角形DCE ，试证明BD 和AE 的数量关系和夹角关系 如果变为正方形，结果会变成什么样？如果是正多边形呢？BGF题型四：运用基本性质解不等式或表示不等式的解集1、若不等式组420x ax >⎧⎨->⎩的解集是12x -<<，则a =________．2、若不等式组2>31<1x n x m +⎧⎨+-⎩的解集是12x -<<，则m n -=____．利用特殊值比较大小题3、已知0<m <1，则m ，m 2，1m的大小关系（用“<”号连接）． 4、已知1<a <0，则a ，1a，a ，a 2的大小关系是___________（用“<”号连接）．若的大小关系是则2,,,01,0ab ab a b a <<-<题型五：通过不等式求字母的围1、若关于x 的不等式组1>240x ax +⎧⎨-⎩≤有解，则a 的取值围是_________．2、若关于x 的不等式组405>0a x x a -⎧⎨+-⎩≥无解，则a 的取值围是_________．3、若关于x 不等式组2()31211233x a x x x -+⎧⎪--⎨-⎪⎩≥≥的整数解只有三个，则a 的取值围是_________________．4、若关于x ，y 的二元一次方程组3133x y ax y +=+⎧⎨+=⎩的解满足xy <2，则a 的取值围是5、新定义题型：我们把a b c d 称作二阶行列式，规定它的运算法则为a b=ad bc c d-，例如131432224==⨯-⨯-，如果2301xx->，则x 的取值围是（）A ．x >1B ．x <-1C ．x >3D ．x <-3题型六：通过函数图形求解不等式1、如图，直线y kx b 经过A (3，1)和B (6，0)两点，则不等式组0<kx b <13x的解集为________．yA2OBA xy12、如图，直线ykx b 经过A (1，2)和B (3，0)两点，则不等式组0<kx b≤x 1的解集是____________.题型七：分配方案的问题1、某公司有A 型产品40件，B 型产品60件，分配给下属甲、乙两个商店销售，其中70件给甲商店，30件给乙商店，且都能卖完．两商店销售这两种产品每件的利润（元）如下表：A 型利润B 型利润 甲商店200170乙商店 160 150（1）设分配给甲商店A 型产品x 件，这家公司卖出这100件产品的总利润为W （元），求W 关于x 的函数关系式，并求出x 的取值围；（2）若公司要求这批产品总利润不低于17 560元，请你为该公司设计出最优分配方案．2、康乐公司在A ，B 两地分别有同型号的机器17台和15台，现要运往甲地18台，乙地14台，从A ，B 两地运往甲、乙两地的费用如下表：甲地（元／台）乙地（元／台）A 地600 500B 地400 800 （1）若从A 地运往甲地x 台，求完成以上调运所需总费用y （元）与x （台）的函数关系式，并求出x 的取值围；（2）若该公司要求总费用不超过16 300元，请你为该公司设计出最优调运方案．题型八：因式分解的综合应用1、若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k 的值是 . 如果多项式x 22(m3)x16是一个完全平方式，那么m_____．2、若c b a ,,是三角形的三边，求证：02222<---bc c b a3、已知a,b,c 是三角形的三边满足022=-+-bc ac b a 则该三角形是三角形4、若a ，b ，c 是三角形三边长，且a 216b 2c 26ab 10bc 0,则2b a c ______．5、若a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2b 2c 2ab bc ac ，试判断△ABC的形状．6、化简201222)1()1()1()1(1x x x x x x x x x ++⋯++++++++7、若22228440a b ab a b -+++=，则201332b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭________．8、多项式x 2mx 4分解因式后，其结果中有一个因式是x 1，求m 的值和另一个因式．题型九：分式的定义与有无意义与分式的化简1、当x 取何值时，以下分式有意义？（1）ax x ；（2）239x x +-（33x -（4）1x - 2、当x =______分式212xx x ---=0，当x =________时，216(3)(4)x x x --+=03、若分式22x yx y +-的中,x y 同时扩大2倍，分式的值若分式222x y xy+的中,x y 同时扩大2倍，分式的值4、若118x y +=，则2322x xy yx xy y -+++=____23a b =，则2222a ab b a b -++=________ 5、若分式2424x x x -+-的值为整数，则整数x 的值为__________．6、若关于x 的分式方程211ax --=-的解是正数，则a 的取值围是__________．题型十：分式方程增根和无解的问题1、若关于x 的分式方程2111x a x x x-=++无解，求a 的值． ①化为整式方程；②无解分为两种情况：增根产生的无解或整式方程无解．2、若分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+有增根，则m =题型十一：有关平行四边形性质判别与三角形中位线定理的题型1、如图，在□ABCD 中，AB =4cm ，AD =7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF 的长为（）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cmFED CB AOE DCBAACD FE G第1题图第2题图第题图2、如图，□ABCD 的周长为20cm ，AC ，BD 交于点O ，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，则△DCE 的周长为（）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm3、在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AC =10，BD =6，则AB 长的取值围是（）A ．35AB << B ．216AB <<C ．610AB <<D ．28AB <<4、如图，在□ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 是BC 边的中点，且OE =1，则CD 的长为（）A ．1B ．2C ．12D ．4OEDCBA5、若一个正多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数为一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的角和是720°，那么原多边形的边数为（）A ．5B ．5或6C ．6或7D ．5，6或76、在面积为15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ．若AB =5，BC =6，则CE +CF 的值为（）A．112+ B．112-C．112+112- D．112+或12+7、如图，在□ABCD 中，AB =2，BC =3，∠ABC ，∠BCD 的平分线分别交AD 于点E ，F ，则EF 的长为（）A ．3B ．2C ．1.5D ．18、如图，在□ABCD 中，AB :BC =3:2，∠DAB =60°，点E 在AB 边上，且AE :EB =1:2，F 是BC 的中点，过点D 分别作DP ⊥AF 于点P ，DQ ⊥CE 于点Q ，则DP :DQ 的值为____________．QDCFBPEAACFEBDFEDCBA 9、如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，F 在CA 的延长线上，∠FDA =∠B ，AC =6，AB =8，则四边形AEDF 的周长为_______．10、如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO 是正方形，点B 的坐标为(4，4)，若直线2y mx =-恰好把正方形ABCO 分成面积相等的两部分，则m 的值为__________11、如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，则题型十二：平移面积和平行四边形的存在性问题1、如图，将面积为12cm 2的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，若平移的距离是BC 的3倍，则图中四边形ACED 的面积为______________．FE DC BA2、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(4，0)，点C 在y 轴正半轴上，且OB =2OC ．若M 是坐标平面一点，且以M ，A ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点M 的坐标为________________．FEDCB A如图，在□ABCD 中，E ，F 是对角线BD 上的两点，BE =DF ，点G ，H 分别在BA ，DC 的延长线上，且AG =CH ，连接GE ，EH ，HF ，FG ．求证：（1）△BEG ≌△DFH ；（2）四边形GEHF 是平行四边形．H G F E DCBA类比归纳题总结：已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，M ，N 分别是DE ，AE 的中点，连接MN ，交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示，易证12MF FN BE +=．（1）当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．（2）当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请直接写出你的结论（不需要证明）．图1AD BCNMEF 图2ADBCN M EF图3ADBC NME F已知直线AM ∥BN ，∠MAB 与∠NBA 的平分线相交于点C ，过点C 作直线l ，分别交直线AM ，BN 于点D ，E ．（1）如图1，当直线l 与直线AM 垂直时，猜想线段AB ，AD ，BE 之间的数量关系，写出结论并证明．（2）如图2，当直线l 与直线AM 不垂直，且交点D ，E 都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）当直线l 与直线AM 不垂直，且交点D ，E 在AB 的异侧时，请直接写出线段AB ，AD ，BE 之间的数量关系．l E DCBANMlE D CBAN M图1 图2如图，在正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，CD （或它们的延长线）于点M ，N ．（1）当∠MAN 绕点A 旋转到如图1的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图2的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．八年级下册数学期末考试知识点复习总结（新版北师大版）第一章一、全等三角形的判定与性质※1性质：全等三角形对应相等、对应相等 ※2判定：①分别相等的两个三角形全等（SSS);②分别相等的两个三角形全等(SAS)③分别相等的两个三角形全等(ASA)图2CBA DNM 图1C N B M A D④相等的两个三角形全等(AAS)⑤相等的两个直角三角形全等（HL）二. 等腰三角形※1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.※2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）．※3. 推论：等腰三角形、、互相重合（即“”）．※4.等边三角形的性质与判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴.判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.三.直角三角形※1. 勾股定理与其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的等于的平方．逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是．※2.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么等于的一半.※3.直角三角形斜边上的中线等于的一半。

北师大版八年级数学下1-5单元易错题集锦（一）一、选择题1.如图所示，AC=AD ，BC=BD ，则（ ） A.CD 垂直平分AB B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACB D.以上说法均不对2.如果a>b ，c<0，那么下列不等式成立的是（ ）A.a+c>bB.a+c>b-cC.ac-l>bc-1D.a （c-1）<b （c-1） 3.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）A.()ab ac d a b c d ++=++B.2(2)(2)4x x x +-=- C.623ab a b =⋅ D.22816(4)x x x -+=-4.下列等式中成立的是（ ）A.123a b a b +=+B.212a b a b =++ C.2ab a ab b a b =-- D.a aa ba b =--++ 5.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个6.已知等腰三角形的一个角为50°，则其顶角为（ ） A.50° B.80° C.50°或65° D.50°或80°7.下列说法中，错误的是（ ） A.不等式x<5的整数解有无数多个 B.不等式x>-5的负整数解有有限个 C.不等式-2x<8的解集是x<4 D.-40是不等式2x<-8的一个解8.下列式子能直接用完全平方公式进行因式分解的是（ ）A.21681a a ++B.239a a -+ C.2441a a +- D.2816a a --9.（2020广东佛山华英学校期中）下列各分式中，是最简分式的是（ ）A.22x y x y ++B.22x y x y -+C.2x xxy + D.2xy y10.下列说法中，不正确的是（ ） A.图形平移是由移动的方向和距离所决定的 B.图形旋转是由旋转中心和旋转角度所决定的 C.任意两条相等的线段都成中心对称 D.任意两点都成中心对称11.钟表上的时针走1小时旋转了_________度. 12.当x=_________时，分式225x x -+的值为0. 13.已知x ，y 是二元一次方程组23245x y x y -=⎧⎨+=⎩的解，则代数式224x y -的值为___________.14.用“>”或“<”填空：若a<b<0，则5a -_________5b -；1a _________1b；21a -_________21b -.15.如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，交AB 于E ，若DB=14cm ，则AC=_________.16.（2020独家原创试题）如图，已知在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（2a +1，3a -4），则点P 到x 轴的距离为_________.17、计算及解方程。

易错题练习（一）一、若162+-kx x 是一个完全平方式,则k 的值是 。

二、下列说法正确的是( ）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合.C 、将分式24a b a +中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变. D 、若分式4242+-x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-≥+-<-x x x x 321334)1(372四、分解因式：x x x 6523++五、化简求值：42)223(2-÷--+x x x x x x ,其中4=x六、解分式方程:xx x --=-21122七、如图，点B 为AC 上一 ，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE,点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

(1）求证:PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数.八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠,一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km /，下来时平均速度为n h km /（上去与下来的路径是同一条路)则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是 。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ∆,若AC=1,则图中阴影部分的面积为( ）A 、33 B 、33 C 、3 D 、63 三、解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧<-->+361213x x x x四、分解因式：18)1(12)1(22+---a a五、化简求值xx x x x x x ----÷-21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

专题01 三角形的证明易错题之选择题（40题）Part1 与等腰三角形有关的易错题1．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC，AB＝AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE＝EC B．AE＝BE C．△EBC＝△BAC D．△EBC＝△ABE【答案】C【详解】解：△AB=AC，△△ABC=△ACB．△以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，△BE=BC，△△ACB=△BEC，△△BEC=△ABC=△ACB，△△BAC=△EBC．故选C．点睛：本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大．2．（2020·广西河池市·八年级期末）等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【答案】B【详解】试题分析：分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．考点：等腰三角形的性质．3．（2020·山东德州市·八年级期末）如图所示，△ABP与△CDP是两个全等的等边三角形，且PA△PD，有下列四个结论：①△PBC＝15°，②AD△BC，③PC△AB，④四边形ABCD是轴对称图形，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】根据周角的定义先求出△BPC的度数，再根据对称性得到△BPC为等腰三角形，△PBC即可求出；根据题意：有△APD是等腰直角三角形；△PBC 是等腰三角形；结合轴对称图形的定义与判定，可得四边形ABCD 是轴对称图形，进而可得②③④正确．【详解】根据题意，BPC 36060290150∠=-⨯-= ，BP PC =，()PBC 180150215∠∴=-÷=，①正确；根据题意可得四边形ABCD 是轴对称图形，④正确；△△DAB+△ABC=45°+60°+60°+15°=180°，△AD//BC ，②正确；△△ABC+△BCP=60°+15°+15°=90°，△PC△AB ，③正确，所以四个命题都正确，故选D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、轴对称图形的定义与判定等，熟练掌握各相关性质与定理是解题的关键.4．（2020·杭州市八年级期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC CD DE ==，点D ，E 可在槽中滑动，若75BDE ∠=︒，则CDE ∠的度数是（ ）A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°【答案】D【分析】 根据OC=CD=DE ，可得△O=△ODC ，△DCE=△DEC ，根据三角形的外角性质可知△DCE=△O+△ODC=2△ODC 据三角形的外角性质即可求出△ODC 数，进而求出△CDE 的度数．【详解】△OC CD DE ==，△O ODC ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，设O ODC x ∠=∠=，△2DCE DEC x ∠=∠=，△180CDE DCE DEC ∠=︒-∠-∠1804x =︒-，△75BDE ∠=︒，△180ODC CDE BDE ∠+∠+∠=︒，即180475180x x +-+=︒︒︒，解得：25x =︒，180480CDE x ︒∠=-=︒.故答案为D.【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．5．（2020·黑龙江绥化市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则△B 的大小为( )A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°【答案】B【分析】 根据AB ＝AC 可得△B ＝△C ，CD ＝DA 可得△ADB ＝2△C ＝2△B ，BA ＝BD ，可得△BDA ＝△BAD ＝2△B ，在△ABD 中利用三角形内角和定理可求出△B ．【详解】解：△AB ＝AC ，△△B ＝△C ，△CD ＝DA ，△△C ＝△DAC ，△BA ＝BD ，△△BDA ＝△BAD ＝2△C ＝2△B ，设△B ＝α，则△BDA ＝△BAD ＝2α，又△△B ＋△BAD ＋△BDA ＝180°，△α＋2α＋2α＝180°，△α＝36°，即△B ＝36°，【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用．6．（2020·江苏盐城市·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．5B．6C．8D．10【答案】C【分析】根据等腰三角形的三线合一得出△ADB=90°，再根据勾股定理得出BD的长，即可得出BC的长.【详解】在△ABC中，AB＝AC，AD是△BAC的平分线，∴AD⊥BC，BC=2BD.∴△ADB=90°在Rt△ABD中，根据勾股定理得：=4∴BC=2BD=2×4=8.故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.7．（2020·安徽合肥市·八年级期末）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分△ABC，△A=36°，则△1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°【答案】C【分析】根据△A=36°，AB=AC求出△ABC的度数，根据角平分线的定义求出△ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．解：△△A=36°，AB=AC，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC，△△ABD=36°，△△1=△A+△ABD=72°，故选C．8．（2020·湖北黄石市·八年级期末）如图，等边三角形ABC中，AD△BC，垂足为D，点E在线段AD上，△EBC=45°，则△ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】A【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出△ECB=45°，即可得出结论．【详解】△等边三角形ABC中，AD△BC，△BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线，△点E在AD上，△BE=CE，△△EBC=△ECB，△△EBC=45°，△△ECB=45°，△△ABC是等边三角形，△△ACB=60°，△△ACE=△ACB-△ECB=15°，故选A．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出△ECB是解本题的关键．9．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是( )秒A．2.5B．3C．3.5D．4【答案】D【详解】解：设运动的时间为x，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，解得x=4．故选D．【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．10．（2020·浙江金华市·八年级期末）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，△DAE=△BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②△ABD+△ECB=45°；③BD△CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【答案】A【解析】分析：只要证明△DAB△△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：△△DAE=△BAC=90°，△△DAB=△EAC△AD=AE ，AB=AC ，△△DAB△△EAC ，△BD=CE ，△ABD=△ECA ，故①正确，△△ABD+△ECB=△ECA+△ECB=△ACB=45°，故②正确，△△ECB+△EBC=△ABD+△ECB+△ABC=45°+45°=90°，△△CEB=90°，即CE△BD ，故③正确，△BE 2=BC 2-EC 2=2AB 2-（CD 2-DE 2）=2AB 2-CD 2+2AD 2=2（AD 2+AB 2）-CD 2．故④正确，故选A ．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．Part2 与 直角三角形 有关的易错题11．（2020·吉林长春市·八年级期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A B ． C ．6,7,8D ．2,3,4 【答案】B【详解】试题解析：A ．2+2≠2，故该选项错误；B ．12+2=2,故该选项正确；C ．62+72≠82，故该选项错误；D ．22+32≠42，故该选项错误.故选B.考点：勾股定理.12．（2020·浙江八年级期末）下列条件中，能判断ABC 是直角三角形的有（ ）①A B C ∠+∠=∠；②A B C ∠-∠=∠；③::2:5:3A B C ∠∠∠=；④23A B C ∠=∠=∠；⑤1123A B C ∠=∠=∠；⑥::3:4:5AB AC BC =． A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 【答案】A【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理判断即可得到结果．【详解】解：①A B C ∠+∠=∠，△2180A B C C ∠+∠+∠=∠=︒，△△C =90°，即△ABC 为直角三角形；②A B C ∠-∠=∠，△A B C =+∠∠∠，△2180A B C A ∠+∠+∠=∠=︒，△△A =90°，即△ABC 为直角三角形；③::2:5:3A B C ∠∠∠=， △5180253B ∠=︒⨯++=90︒，即△ABC 为直角三角形； ④23A B C ∠=∠=∠，△可以假设△A =6k ，△B =3k ，△C =2k ，△6k +3k +2k =180°，△k =18011⎛⎫︒ ⎪⎝⎭， △△A =108011⎛⎫︒⎪⎝⎭＞90°，即△ABC 是钝角三角形； ⑤1123A B C ∠=∠=∠， 设△A =x ，△B =2x ，△C =3x ，则x +2x +3x =180°，解得x =30°，故△C =3x =90°，即△ABC 是直角三角形；⑥::3:4:5AB AC BC =，设AB =3x ，AC =4x ，BC =5x ，则（3x ）2+（4x ）2=（5x ）2，即△ABC 是直角三角形，故选：A ．【点睛】此题主要考查了直角三角形的判定方法，只有三角形的三边长符合勾股定理或三内角中有一个是直角的情况下，才能判定三角形是直角三角形．13．（2020·辽宁锦州市·八年级期末）下列命题中，其逆命题成立的是有（ ） ．①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．A．①③④B．①②③C．②④D．① ④【答案】D【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，不成立；④如果一个三角形是直角三角形，c为斜边，则a2+b2=c2，正确．逆命题成立的有①④个；故选：D．【点睛】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，解体的关键是熟练掌握课本上的定理．14．（2020·河北保定市·八年级期末）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（）A B C D【答案】A【解析】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.解：由勾股定理得：BC，1310AC AB=22222(5)+=，即222AB AC BC+=△△ABC是直角三角形，设BC边上的高为h，则1122ABCS AB AC h BC=⋅=⋅，△AB AChBC⋅===.故选A.点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.15．（2020·山东枣庄市·八年级期末）下列结论中，错误的有()①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则△A＝90°；③在△ABC中，若△A：△B：△C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据勾股定理可得①中第三条边长为5根据勾股定理逆定理可得②中应该是△C=90°，根据三角形内角和定理计算出△C=90°，可得③正确，再根据勾股定理逆定理可得④正确．【详解】①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三条边长为5，说法错误，第三条边长为5②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若2BC+2AC=2AB，则△A=90°，说法错误，应该是△C=90°．③△ABC中，若△A：△B：△C=1：5：6，此时△C=90°，则这个三角形是一个直角三角形，说法正确．④若三角形的三边比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，说法正确．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．16．（2020·湖北十堰市·八年级期末）如图1，园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB△BC，这块草坪的面积是（）A．24米2B．36米2C．48米2D．72米2【答案】B【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形．从而用求和的方法求面积．【详解】连接AC，则由勾股定理得AC=5米，因为AC2+DC2=AD2，所以△ACD=90°．这块草坪的面积=S Rt△ABC+S Rt△ACD=12AB•BC+12AC•DC=12（3×4+5×12）=36米2．故选B．【点睛】此题主要考查了勾股定理的运用及直角三角形的判定等知识点．17．（2020·广东深圳市八年级期末）已知三角形的三边长为6,8,10，则这个三角形最长边上的高为（）A．2.4B．4.8C．9.6D．10【答案】B【分析】先根据勾股定理的逆定理判定它是直角三角形，再利用直角三角形的面积作为相等关系求斜边上的高．【详解】解：△62+82=102，△这个三角形是直角三角形，△边长为10的边上的高为6×8÷10=4.8．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．18．（2020·贵州省施秉县八年级期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且△B=36°，△C=76°，则△DAE的度数为()A．40°B．20°C．18°D．38°【答案】B【解析】△△ABC中已知△B=36°，△C=76，△△BAC=68°．△△BAD=△DAC=34，△△ADC=△B+△BAD=70°，△△DAE=20°．故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，属于基础题，根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析.19．（2020·上海市奉贤区八年级期末）如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①△DCB=△A；②△DCB=△ACE；③△ACD=△BCE；④△BCE=△BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到△CDB=90°，根据余角的性质得到△DCB=△A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到△A=△ACE，于是得到△DCB=△ACE，故②正确；同理得到△ACD=△BCE，故③正确；由于BC 不一定等于BE，于是得到△BCE不一定等于△BEC，故④错误．【详解】△CD△AB，△△BDC=90°，△△DCB+B=90°，△△A+△B=90，△△DCB=△A，△①正确；△CE是RtABC斜边AB上的中线，△EA=EC=EB，△△ACE=△A，△△DCB=△A，△△DCB=△ACE，△②正确；△EC=EB，△△B=△BCE，△△A+△B=90，△A+△ACD=90，△△B= △ACD，△△ACD= △BCE，△③正确；△BC与BE不一定相等，△△BCE 与△BEC 不一定相等，△④不正确；△正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．20．（2020·北京昌平区·八年级期末）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则△1的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】D【分析】根据三角形的外角的性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：由题意得：5=30===∠︒∠∠∠︒，43245，1=4+5=+30=75∴∠∠∠︒︒︒45；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形的外角及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握知识点是解题的关键．Part3 与 线段的垂直平分线 有关的易错题21．（2020·湖南娄底市·八年级期末）如图，已知BD 是ABC 的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．【答案】D【分析】 根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及△A=90°可求得△C=△DBC=△ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】△ED 是BC 的垂直平分线，△DB=DC ，△△C=△DBC ，△BD 是△ABC 的角平分线，△△ABD=△DBC ，△△A=90°，△△C+△ABD+△DBC=90°，△△C=△DBC=△ABD=30°，△BD=2AD=6，△CD=6，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.22．（2020·湖北荆州市·八年级期末）如图，已知,5,3AB AC AB BC ===，以AB 两点为圆心，大于12AB 的长为半径画圆，两弧相交于点,M N ，连接MN 与AC 相较于点D ，则BDC ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．11D ．13【答案】A【分析】 利用基本作图得到MN 垂直平分AB ，利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB ，然后利用等线段代换得到△BDC 的周长=AC+BC ．【详解】由作法得MN 垂直平分AB ，△DA=DB ，△△BDC 的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8．故选A ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．23．（2020·四川达州市·八年级期末）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC ＝BC，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．故选B．考点：作图—复杂作图24．（2020·甘肃定西市·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，△BAC=100°，AB的垂直平分线DE分别交AB、BC 于点D、E，则△BAE=（）A．80°B．60°C．50°D．40°【答案】D【分析】首先利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质△B，利用线段垂直平分线的性质易得AE=BE，△BAE=△B．【详解】解：△AB=AC，△BAC=100°，△△B=△C=（180°﹣100°）÷2=40°，△DE是AB的垂直平分线，△AE=BE，△△BAE=△B=40°，故选D．25．（2020·贵州安顺市·八年级期末）如图，AC=AD，BC=BD，则下列结果正确的是（）A．AB△CD B．OA=OB C．△ACD=△BDC D．△ABC=△CAB【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质定理即可得到结论．【详解】△AC=AD，△点A在线段CD的垂直平分线上，△BC=BD，△点B在线段CD的垂直平分线上，△AB垂直平分CD，△AB△CD，故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握其性质定理是解题的关键．26．（2020·辽宁沈阳市期末）如图，△ABC中，BD平分△ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若△A=60°，△ABD=24°，则△ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°【答案】A【解析】试题分析：△BD平分△ABC，△△DBC=△ABD=24°，△△A=60°，△△ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，△BC的中垂线交BC于点E，△BF=CF，△△FCB=24°，△△ACF=72°﹣24°=48°，故选A．考点：线段垂直平分线的性质．27．（2020·山东聊城市·八年级期末）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【答案】D【分析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．【详解】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选择：D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 28．（2020·山东济南市·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△A ＝120°，BC ＝6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为（ ）A ．4cmB ．3cmC ．2cmD ．1cm【答案】C【分析】 连接AM 、AN 过A 作AD BC ⊥于D ，先求出AB 、AC 值，再求出BE 、CF 值，求出BM 、CN 值，代入--＝MN BC BM CN 求出即可．【详解】连接AM 、AN ，过A 作AD BC ⊥于D△在ABC ∆中，AB AC ＝，120∠︒＝A ，6cm BC ＝△30∠∠︒＝＝B C ，3cm ＝＝BD CD△在Rt ABD ∆中，2AB AD =△在Rt ABD ∆中，AB△AD =，AB AC =△AB 的垂直平分线EM△12==BE AB同理CF△30∠∠︒＝＝B C△2BM ME =△在BME ∆中，BM =△2cm BM =同理2cm ＝CN△2cm --=＝MN BC BM CN故选：C ．【点睛】本题考查垂直平分线的性质、含30直角三角形的性质，利用特殊角、垂直平分线的性质添加辅助线是解题关键，通过添加的辅助线将复杂问题简单化，更容易转化边．29．（2020·福建泉州市八年级期末）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使ADC 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：△ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，△B BCD ∠=∠，△DB DC =，△点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.30．（2020·江西赣州市·八年级期末）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的（ ）A ．三边中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三边中垂线的交点D ．三边上高所在直线的交点【答案】C【分析】根据垂直平分线的性质即可得出结论．【详解】解：为使游戏公平，凳子应到点A 、B 、C 的距离相等根据线段垂直平分线的性质，则凳子应放的最适当的位置是在ABC 的三边中垂线的交点故选C ．【点睛】此题考查的是线段垂直平分线性质的应用，掌握垂直平分线的性质是解题关键． Part4 与 角平分线 有关的易错题31．（2020·石家庄市八年级期末）如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．24B ．30C ．36D ．42【答案】B【分析】 过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D 作DE△AB 交BA 的延长线于E ，△BD 平分△ABC ，△BCD=90°，△DE=CD=4，△四边形ABCD 的面积1122ABD BCD SS AB DE BC CD ∆=+=⋅+⋅1164943022=⨯⨯+⨯⨯= 故选B.【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．32．（2020·河南南阳市·八年级期末）尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D【解析】 解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ；再有公共边OP ，根据“SSS”即得△OCP△△ODP ．故选D ．33．（2020·河南信阳市·八年级期末）如图，已知在△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分△ABC ，交CD 于点E ，BC=5，DE=2，则△BCE 的面积等于（ ）A ．10B ．7C ．5D ．4【答案】C【详解】 试题分析：如图，过点E 作EF△BC 交BC 于点F,根据角平分线的性质可得DE=EF=2,所以△BCE 的面积等于1152522BC EF ⨯⨯=⨯⨯=,故答案选C ．考点：角平分线的性质；三角形的面积公式．34．（2020·石家庄市八年级期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是△BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【分析】过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分△AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF△BO与点F，由题意得CE△AO，△两把完全相同的长方形直尺，△CE=CF，△OP平分△AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A ．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理． 35．（2020·湖南株洲市·八年级期末）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三边的中垂线的交点 C ．△ABC 三条角平分线的交点D ．△ABC 三条高所在直线的交点.【答案】C【分析】 由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC 三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【详解】解：△凉亭到草坪三条边的距离相等，△凉亭选择△ABC 三条角平分线的交点．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是角平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了利用了角平分线上的点到角两边的距离相等．36．（2020·河南洛阳市·八年级期末）如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【分析】 利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，△AB AC =，△CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，△1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， △1502BCG ACB ∠=∠=︒． 故选C ．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.37．（2020·广西北海市·八年级期末）如图所示，在△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm【答案】B【分析】 直接利用角平分线的性质得出DE=EC ，进而得出答案．【详解】解：△△ABC 中，△ACB=90°，BE 平分△ABC ，DE△AB 于点D ，△EC=DE ，△AE+DE=AE+EC=3cm ．故选：B ．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，得出EC=DE 是解题关键．38．（2020·广东佛山市·八年级期末）如图，OP 平分△MON ，PA△ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA=2，则PQ 的最小值为（ ）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】分析：根据题意点Q是射线OM上的一个动点，要求PQ的最小值，需要找出满足题意的点Q，根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以我们过点P作PQ垂直OM，此时的PQ最短，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PA=PQ，利用已知的PA的值即可求出PQ的最小值．解答：解：过点P作PQ△OM，垂足为Q，则PQ为最短距离，△OP平分△MON，PA△ON，PQ△OM，△PA=PQ=2，故选B．39．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）如图,OC是△AOB的平分线,P是OC上一点,PD△OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为()A．6B．5C．4D．3【答案】A【详解】试题分析：如图，过点P作PE△OB于点E，△OC是△AOB的平分线，PD△OA于D，△PE=PD，△PD=6，△PE=6，即点P 到OB的距离是6．故选A．考点：角平分线的性质40．（2020·江西赣州市·八年级期末）在Rt △ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32 C ．2 D ．6【答案】A【分析】证明△ABD△△AED 即可得出DE 的长．【详解】△DE△AC ，△△AED=△B=90°，△AD 平分△BAC ，△△BAD=△EAD ，又△AD=AD ，△△ABD△△AED ，△DE=BE=3，故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．。

八年级下册易错题第一章 三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D ） A ．7㎝ B ．9㎝ C ．12㎝或者9㎝ D ．12㎝考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，等腰三角形两腰相等， 因此只能是：5cm ，5cm,2cm.2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．40°或70°考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：①当40°是顶角时，底角就是70°；②40°就是一个底角.3.已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则最长边上的高是（D ）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm提示：设最长边上的高为h,由题意可得△ABC 是直角三角形，利用面积相等求，即h .10.218.6.21 解得h=4.84.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是3或33. 解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠ABD=30°∴AD=21AB=21×6=3， ∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠ACB=21∠BAD=21(90°-30°)=30°， ∴∠ABD=∠ABC ，∴底边上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD=30° ∴∠A=90°-30°=60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴底边上的高为23×6=33 综上所述，底边上的高是3或335.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（B ）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”】6.如图，在△ABC 中，AB=5，AC=3，BC 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 于E ，则△ADC 的周长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.答案：已知：△ABC , 求证：△ABC 中至少有一个内角小于或等于60° 证明：假设△ABC 中没有一个内角小于或等于60°，即每一内角都大于60° 则∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180° 即∠A+∠B+∠C>180°，这与三角形的内角和为180度矛盾．假设不成立． ∴△ABC 中至少有一个内角小于或等于60°考查知识：反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立【注意：反证法一般很少用到，除非是题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】8. 如图所示，∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ，P 为OC 上任意一点，PD ∥OA 交OB 于点D ，PE ⊥OA 于点E ，若PE=2cm ，则PD=_________cm ．解：过点P 作PF ⊥OB 于F ， ∵∠AOB=30°，OC 平分∠AOB ， ∴∠AOC=∠BOC=15°， ∵PD ∥OA ，∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠DPO=∠AOP=15°， ∴∠BOC=∠DPO ， ∴PD=OD=4cm ，∵∠AOB=30°，PD ∥OA ， ∴∠BDP=30°， ∴在Rt △PDF 中，PF=21PD=2cm ， ∵OC 为角平分线，PE ⊥OA ，PF ⊥OB, ∴PE=PF ，∴PE=PF=2cm9.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A.6 B.7 C.8 D.9解：∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠EBC ，∠ECN=∠ECB ， ∴BM=ME ，EN=CN ， ∴MN=BM+CN ， ∵BM+CN=9， ∴MN=9考查知识点：平行+平分，必有等腰三角形10.如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE=DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为（B ） A.11 B.5.5 C.7 D.3.5解：作DM=DE 交AC 于M ，作DN ⊥AC ， ∵在△AED 和△AMD 中∴△AED ≌△AMD ∴ADM ADE S S V V = ∵DE=DG ，DM=DE ， ∴DM=DG ，∵AD 是△ABC 的外角平分线，DF ⊥AB ， ∴DF=DN ，在Rt △DEF 和Rt △DMN 中，Rt △DEF ≌Rt △DMN （HL ），∵△ADG 和△AED 的面积分别为50和39， ∴ADM ADG MDG S S S V V V -==50-39=11MDG DEF DNM S S S V V V 21===21×11=5.5考查知识点：角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等11．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（A ） A.B.C.D.解：在Rt △ABC 中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=151292222=+=+BC AC 过C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，则由ABC S V =21AC ．BC=21AB ．CD ，得CD=AB BC AC .=1512x 91=536考查知识：利用面积相等法12.如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（A ）A.1 B.2 C.3 D.4解：∵AD ⊥BC ， ∴∠EAH+∠B=90°， ∵CE ⊥AB ，∴∠EAH+∠AHE=90°，∵EH=EB ，在△AEH 和△CEB 中，∴△AEH ≌△CEB （ASA ） ∴CE=AE ，∵EH=EB=3，AE=4， ∴CH=CE-EH=4-3=1考查知识：利用三角形全等求线段长度.13.如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB=5,AC=2,则DF 的长为23.解：延长CF 交AB 于点G ， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAF=∠CAF ， ∵AF 垂直CG ， ∴∠AFG=∠AFC ， 在△AFG 和△AFC 中，∴△AFG ≌△AFC （ASA ） ∴AC=AG ，GF=CF ， 又∵点D 是BC 的中点， ∴DF 是△CBG 的中位线， ∴DF=21BG=21（AB-AG ）=21（AB-AC ）=23点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，一般出现既是角平分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，交AD 于E ，交BC 的延长线于F. 求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF. ∵FE 垂直平分AD ， ∴FA=FD ，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．(1)证明：∵AD平分∠CAB∴∠CAD=∠EAD∵DE⊥AB，∠C=90°，∴∠ACD=∠AED=90°又∵AD=AD，∴△ACD≌△AED（2）解：∵△ACD≌△AED∴DE=CD=1∵∠B=30°，∠DEB=90°，∴BD=2DE=217.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的长．（1）证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°∴∠ABD=∠45°=∠BAD∴AD=BD∵BE⊥AC∴∠CAD+∠AFE=90°∵AD⊥BC∴∠FBD=∠BFD=90°∴∠CAD=∠FBD又∠ADC=∠BDF=90° ∴△ADC ≌△BDF ∴AC=BF∵AB=BC ，BE ⊥AC ∴AC=2AE ∴BF=2AE(2)解：设AD=x ，则BD=x ∴AB=BC=2+x∵△ABD 是等腰直角三角形 ∴AB=2AD ∴2+x=2x 解得x=2+2即AD=2+218.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE 证明：延长BE 至F ，使EF=BC ∵△ABC 是等边三角形 ∴∠B=60°，AB=BC ∴AB=BC=EF∵AD=BE ，BD=AB+AD, BF=BE+EF ∴BD=BF∴△BDF 是等边三角形 ∴∠F=60°，BD=FD 在△BCD 和△FED 中， BC=EF∠B=∠F=60° BD=FD∴△BCD ≌△FED （SAS ） ∴DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.证明：延长AE 、BC 交于点F ∵AE ⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90° ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90° ∴∠DBC=∠FAC 在△ACF 和△BCD 中∴△ACF ≌△BCD （ASA ） ∴AF=BD 又AE=21BD ∴AE=EF,即点E 是AF 的中点 ∴AB=BF∴BD 是∠ABC 的角平分线20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME证明：过点A 分别作AM ⊥BD,AN ⊥CE,分别交BD ，CE 于M ，N 两点 ∵△ABE 和△ACD 均为等边三角形， ∴∠EAB=∠CAD=60°，AD=AC，AB=AE∵∠EAC=∠BAD=60°+∠BAC ， ∴△EAC ≌△BAD ，∴ AM BD S AN CE S BAD EAC .21.21===V V CE=BD ∴AN=AM∴AF 平分∠DME （在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.证明：连接AD. ∵∠A=90° AB=AC D 是BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∠ADB=90° ∠B=45°=∠CAD AD=BD （直角三角形中，中线等于斜边的一半）且BE=AF ∴易证△BED ≌△AFD （SAS ） ∴∠BDE=∠ADF ∵∠ADE+∠EDB=∠ADB=90° ∴∠ADF+∠ADE=90° ∴ED ⊥FD第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（C ） A ．x-2＜y-2 B ．2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y 1.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解除未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】(2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-12，则a 的取值范围是a ＞1. 提示：利用不等式的基本性质三：a-1＜0 （3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-00b x a x 的解集是3<x <5,那么a=3,b=-5.提示：解得不等式组的解集为：a<x <-b而不等式组的解集为：3<x <5 ∴a=3,b=-5(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （B ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m ≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是(A )． A ．m ≤3 B ． m ≥3 C ．m=3 D ．m ＜3提示：不等式组解集：同大取大；解不等式组得而该不等式组的解集是3>x ，∴m ≤3【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是65-＜a ≤32-． 解：解该不等式组得∵有三个整数解 ∴2＜x ＜6a+10∴三个整数解应该是3,4,5 ∴5＜6a+10≤6 解得65-＜a ≤32- 【自己解答】(7) 若方程组⎩⎨⎧+=++=+3654,2m y x m y x 的解x ，y 均为正数，求m 的取值范围.提示：先将m 当作已知数，将x 、y 用含m 的式子表示出来，然后利用x ，y 均为正数，列出含m 的不等式组，解出m 的取值范围【自己解】2.解不等式（组）【不等式组的结果不能写成大括号的形式】 （1）解不等式1213312+-≥+）（x x ，并将解集在数轴上表示出来； （2）解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+--+<-1215312)1(315x x x x ，并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意. (1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（C ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为x<-14.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打9折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x 解：设可以打x 折． 那么（600×10x-500）÷500≥8% 解得x ≥9．故答案为：9．◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B ） <B ．>C ．≤D ．≥惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本； 第二种：按购买金额打九折付款。

易错题练习（一）一、若162kx x 是一个完全平方式，则k 的值是。

二、下列说法正确的是（）A 、三角形的三条角平分线的交点到三个顶点的距离相等。

B 、等腰三角形的高、中线、角平分线重合。

C 、将分式24ab a中的a 和b 的值都扩大为原来的2倍，分式值不变。

D 、若分式4242x x 的值为0，则x 的值是2。

三、解不等式组：x x x x 321334)1(372四、分解因式：xx x 6523五、化简求值：42)223(2x x xxx x ，其中4x 六、解分式方程：xx x 21122七、如图，点B 为AC 上一，分别以AB 、AC 为边在AC 同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别是AC 、AD 、CE 的中点。

（1）求证：PM=PN ；（2）求∠MPN 的度数。

八、陈明同学准备在课外活动时组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元，后因人数增加到原定人数的2倍，享受优惠，一共只需480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元。

求原定人数是多少人？易错题练习（2）一、小明爬山时，上去的平均速度为m h km/，下来时平均速度为n h km/（上去与下来的路径是同一条路）则小明的上去与下来这一全部过程的平均速度是。

二、如图，将等腰直角三角形ABC 绕A 点旋转15°后得到''C AB ，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A 、33B 、33C 、3D 、63三、解不等式组：361213x xxx 四、分解因式：18)1(12)1(22a a 五、化简求值x x xx x x x 21)12(1，然后给x 选一个你认为合适的数代入求值。

六、解分式方程：13132x x x 七、如图，点O 是ABC 内一点，连接OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接，得到四边形DEFG 。

北师大八年级数学下册易错题整理第一章三角形的证明1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（）A．7㎝ B．9㎝ C．12㎝或者9㎝ D．12㎝2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（）A．40° B．50° C．60° D．40°或70°3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则最长边上的高是（）A.2.4cmB.3cmC.4cmD. 4.8cm4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300，腰长为6，则其底边上的高是5.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高6.如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°.8. 如图所示，∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为OC上任意一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA 于点E，若PE=2cm，则PD=_________cm．9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC 于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（） A.6 B.7 C.8 D.910.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（） A.11 B.5.5 C.7 D.3.511．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A. B. C. D.12.如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（）A.1 B.2 C.3 D.413.如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于点F，AB=5,AC=2,则DF的长为15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．16. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ． （1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．17.如图，△ABC 中，AB=BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD=45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF ．（1）求证：BF=2AE ；（2）若CD=，求AD 的长．18.如图，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在BA 、BC 的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE19.如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且AE=21BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线.20.如图，在△ABC 中，分别以AC 、AB 为边，向外作正△ACD ，正△ABE ，BD 与AE 相交于F ，连接AF ，求证：AF 平分∠DME21.如图，已知：AB=AC ，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.求证：FD ⊥ED.第二章 不等式(组)不等式基本性质例：如果x ＞y ，那么下列各式中正确的是（ ）A ．x-2＜y-2B ． 2x ＜2yC ．-2x ＜-2yD ．-x ＞-y (2) 已知关于x 的不等式（1-a ）x ＞2的解集为x ＜a-1 ，则a 的取值范围是（3）如果不等式组⎩⎨⎧<+>-0b x a x 的解集是3<x <5,那么a= ,b=(4) 如果不等式 ⎩⎨⎧><m x x 8无解,那么m 的取值范围是 （ ）A ．m ＞8 B.m ≥8 C.m ＜8 D.m ≤8(5)如果不等式组⎩⎨⎧>-<+m x x x 148的解集是3>x ，则m 的取值范围是( )． A ．m≤3 B ． m≥3 C ．m=3 D ．m ＜3(6)关于x 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧->-+--<-325251263x x a x x 有三个整数解，则a 的取值范围是． 并把它的解集表示在数轴上.3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y 值得大小，函数值（y ）越大，图像越高，函数值（y ）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x 的取值范围，找出与x 轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x 轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x 轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.(1)函数y ＝kx ＋b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图所示，则关于x 的不等 式kx+b>0的解集为（ ）．A ．x>0B ．x<0C ．x<2D ．x>2（2）直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为4.一元一次不等式（组）应用题◆一件商品的进价是500元，标价为600元，打折销售后要保证获利不低于8%，则此商品最多打 折.商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”；“售价”也叫“标价”；②获利是在进价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10x◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤．价格为每斤y 元．后来他以每斤2yx +元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ） x <yB ．x >yC ．x ≤yD ．x ≥y（2）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设顾客预计累计购物x 元（x>300）． （1）请用含x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；（2）顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由．（3）去年6月份广州市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲货车可装荔枝4吨和香蕉1吨。

请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权八年级下册易错题明证一章三角形的第）1.已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（D㎝㎝或者9㎝ D．12 A．7㎝ B．9㎝ C．12等腰三考查知识点：三角形的基本知识及等腰三角形边的关系：任意两边之和大于第三边，角形两腰相等，5cm,2cm.因此只能是：5cm， 2.一个等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是（D） D70°．40°或A．40° B．50° C．60°°；底角就是70①当40°是顶角时，考查知识点：三角形的内角和及等腰三角形两底角相等：.°就是一个底角②40）10cm，则最长边上的高是（D3.已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、 D. 4.8cmA.2.4cmB.3cmC.4cm是直角三角形，利用面积相等求，即h,由题意可得△ABC提示：设最长边上的高为11h10.6..8 .22解得h=4.8330.3或30等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，腰长为6，则其底边上的高是4.°ABD=30解：①三角形是钝角三角形时，如图1，∵∠11，AB=∴AD=×6=322∵AB=AC，11ACB=∠°∠BAD=(90°-30)=30°，∴∠ABC=22，∠ABCABD=∴∠；∴底边上的高AE=AD=3 ABD=30°②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠°，A=90∴∠°-30°=60 ABC∴△是等边三角形，333∴底边上的高为6=×233或综上所述，底边上的高是3.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（5.B）的交点三条高 C.三个内角平分线 B.三边垂直平分线三条中线 D.A.考查的知识点：三角形三边垂直平分线的交点到到三角形三个顶点的距离相等【归纳为：点到点距离相等，为垂直平分线上的点】还有一个：三角形三个内角平分线的交点到三角形三只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权】边的距离相等【归纳为：点到线的距离相等，为角平分线的交点，此时的距离有“垂直”的周，则△ADCAB于D，交BC于E，6.如图，在△ABC中，AB=5AC=3，BC的垂直平分线交长等于8考查的知识点：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.60°7. 用反证法证明：一个三角形中至少有一个内角小于或等于60°已知：△ABC ,求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于答案：°60°，即每一内角都大于证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60 °°=180C>60°+60°+60∠,∠B>60°,∠C>60°∴∠A+B+∠则∠A>60°度矛盾．假设不成立．°，这与三角形的内角和为180∠B+∠C>180即∠A+60中至少有一个内角小于或等于°∴△ABC反证法，用反证法进行证明时先写出已知、求证，再假设求证的反面成立，推出考查知识：【注意：反证法一般很少用到，除非是与题设、定理等相矛盾的结论，从而肯定原结论成立题目要求用反证法证明，否则一般不考虑该方法】PE⊥OAD，交OB于点OC∠AOB=30°，OC平分∠AOB，P为上任意一点，PD∥OA8. 如图所示， PD=_________cm．，若PE=2cm，则于点E，OB于F解：过点P作PF⊥，平分∠AOB°，∵∠AOB=30OC °，∠BOC=15∴∠AOC= ，∥OA∵PD AOP=15°，∴∠DPO=∠ AOP=15°，∴∠DPO=∠，∠∴∠BOC=DPO ，∴PD=OD=4cm ，∥OA∵∠AOB=30°，PD BDP=30°，∴∠1 PF=，PD=2cm中，∴在Rt△PDF2OB, ⊥OA⊥，PFPEOC∵为角平分线，PE=PF=2cm ，∴PE=PF∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除AC，交于ME作MN∥BC交AB过点9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E， A.6 B.7 C.8 D.9），若BM+CN=9，则线段MN的长为（于N，的平分线相交于点E∵∠ABC、∠ACB解： ECB，EBC，∠ECN=∠∴∠MBE=∠ BC，∵MN∥ ECB，，∠ECN=∠∴∠EBC=∠EBC EN=CN，∴BM=ME，，∴MN=BM+CN ，∵BM+CN=9MN=9∴平分，必有等腰三角形考查知识点：平行的面积分和△AEDE=D，△ADA是△AB的角平分线，DF⊥AB，垂足10如图 A.11 B.5.5 C.7 D.3.553，则△ED的面积为为，DN，作⊥AC解：作DM=DE交AC于M 中AED和△AMD∵在△AMDAED≌△∴△SS?∴ADMADE VV，DE=DG，DM=DE∵ DM=DG，∴，⊥的外角平分线，是△∵ADABCDFAB只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除DF=DN，∴中，Rt△DMNRt在△DEF和HL），DEF≌Rt△DMN（Rt△和39，∵△ADG和△AED的面积分别为5=50-39=11ADMDAD1SS?S?11=5.5 =×MDG VVV DNMDEF22角平分线上的点到角两边的距离相等及三角形的全等考查知识点： AB的距离是（A）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到11．在 C.D. B.A. BC=12，中，解：在Rt△ABCAC=9，222215AC12?BC?9?? AB=根据勾股定理得：，，交过C作CD⊥ABAB于点D1129x3611AC.BCS =，得CD==．AC=则由．BC=ABCD ABC V1552AB2考查知识：利用面积相等法，EH=EB=3HCEADED中12.如图，在△ABCAD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为、，、交于点，已知A.1 B.2 C.3 D.4A CH，则AE=4的长是（）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除B解A°B=9∴EAHCA°∴EAHAHE=9BAH∴EH=E中AE和CE在△ASA）∴△AEH≌△CEB（ CE=AE，∴，EH=EB=3∵，AE=4CH=CE-EH=4-3=1∴.考查知识：利用三角形全等求线段长度的长AB=5,AC=2,则DF于点是中线，AE是角平分线，CF⊥AEF，中，13.如图，在△ABCAD3. 为2，AB延长CF交于点G解：BAC∵AE平分∠，∠CAF，GAF=∴∠，CG∵AF垂直AFG=∴∠∠AFC，AFCAFG在△和△中，只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ASA）∴△AFG≌△AFC ，GF=CF，∴AC=AG 是BC的中点，又∵点D CBG的中位线，DF∴是△3111）=）∴DF==（AB-ACAB-AGBG=（2222一般出现既是角平本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，点评：分线又是高的情况，我们就需要寻找等腰三角形．14.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，FE垂直平分AD，交AD于E，交BC的延长线于F.求证：∠CAF=∠B.解：∠B=∠CAF.∵FE垂直平分AD，∴FA=FD，∴∠FAD=∠ADF∵AD为∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD又∵∠CAF=∠FAD=∠CAD，∠B=∠ADF-∠BAD，∴∠B=∠CAF点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义及三角形的外角等知识点.15.如图，OA、OB表示两条相交的公路，点M、N是两个工厂，现在要在∠AOB内建立一个货物中转站P，使中转站到公路OA、OB的距离相等，并且到工厂M、N的距离也相等，用尺规作出货物中转站P的位置．解：①作∠AOB的角平分线；②连接MN，作MN的垂直平分线，交OM于一点，交点就是所求货物中转站的位置．只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除．于点EAB，过点D作DE⊥16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D ；≌△AED（1）求证：△ACD 的长．，求BD（2）若∠B=30°，CD=1CAB 平分∠∵AD (1)证明：EAD∠∴∠CAD= AB，∠C=90°，∵DE⊥ AED=90°∴∠ACD=∠ AD=AD，又∵≌△AED∴△ACDAED ACD ≌△）解：∵△（2DE=CD=1∴°，B=30°，∠DEB=90∵∠BD=2DE=2∴交于点BEAD与⊥BC于点D，∠BAD=45°，BE如图，△ABC中，AB=BC，⊥AC于点E，AD17. CF．F，连接BF=2AE；（1）求证：的长．CD=，求AD（2）若）证明：（1，∠BAD=45°⊥BC∵ADBAD =∠ABD=∠45°∴∠AD=BD ∴AC⊥∵BE AFE=90°∠∴∠CAD+BC⊥∵AD °∠∴∠FBD=BFD=90只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权BFD AFE=∠又∠FBDCAD=∠∴∠ BDF=90°又∠ADC=∠BDF ≌△∴△ADCAC=BF∴AC ⊥∵AB=BC，BEAC=2AE ∴∴BF=2AEBD=x (2)解：设AD=x，则2+x∴AB=BC= 是等腰直角三角形∵△ABD2AD ∴AB=22x ∴+x=2解得x=2+2即AD=2+18.如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在BA、BC的延长线上，且AD=BE.求证：DC=DE证明：延长BE至F，使EF=BC∵△ABC是等边三角形∴∠B=60°，AB=BC∴AB=BC=EF∵AD=BE，BD=AB+AD, BF=BE+EF∴BD=BF∴△BDF是等边三角形∴∠F=60°，BD=FD在△BCD和△FED中，BC=EF∠B=∠F=60°BD=FD∴△BCD≌△FED（SAS）只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除∴DC=DE19.如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，1BD，求证：BD是∠ABC的角平分线. 且AE=2证明：延长AE、BC交于点F∵AE⊥BE∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°∴∠DBC=∠FAC在△ACF和△BCD中∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD1BD 又AE=2∴AE=EF,即点E是AF的中点∴AB=BF∴BD是∠ABC的角平分线20.如图，在△ABC中，分别以AC、AB为边，向外作正△ACD，正△ABE，BD与AE相交于F，连接AF，求证：AF平分∠DME只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：两点，NBD，CE于M过点A分别作AM⊥BD,AN⊥CE,分别交均为等边三角形，和△ACD ∵△ABEAB=AE ，，AD=AC∴∠EAB=∠CAD=60°BAC，∠BAD=60°+∠∵∠EAC= BAD，∴△EAC≌△11AM.??S?SBDCE.AN CE=BD ∴BAD VV EAC22AN=AM∴（在角的内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上）AF平分∠DME∴ED.⊥求证：FDAB=AC，∠A=90°，AF=BE,BD=DC.21.如图，已知：连接AD.证明：BC的中点D是AB=AC ∵∠A=90°（直角三角形中，中线等于斜边的一半）CAD AD=BD B=45°=∠⊥BC ∠ADB=90°∠AD∴BE=AF且SAS）≌△∴易证△BEDAFD （∠ADB=90°∠∠∴∠BDE=ADF ∵∠ADE+EDB=ADE=90°∠∴∠ADF+⊥FDED∴只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为_____°.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是_____.第二章不等式(组)不等式基本性质例：如果x＞y，那么下列各式中正确的是（C）xy-y -x＞D．-2y C．-2x＜＜A．x-2y-2 B．＜221.系数含有字母的不等式（组）解题思路：先把字母系数当做已知数，解出未知数的取值范围，再根据题意及不等式的性质或解不等式组的方法进行计算【特别注意：“=”一定要考虑，如果满足题意则要取，不满足题意就不取】【自己做】（1）已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围.2，则a的取值范围是a x＜＞1. (2) 已知关于x的不等式（1-a）x＞2的解集为1?a0 利用不等式的基本性质三：a-1＜提示：x?a?0?的解集是3<（3）如果不等式组x<5,那么a=3,b=-5. ?x?b?0?提示：解得不等式组的解集为：a<x<-b而不等式组的解集为：3<x<5∴a=3,b=-5x?8?无解,那么m的取值范围是(4) 如果不等式（B）?x?m?A．m＞8 B.m≥8 C.m＜8 D.m≤8提示：不等式组无解的条件是：比大的还大，比小的还小；∴m≥8【“=”一定要考虑，这个题取“=”就满足题意】x?8?4x?1?x?3，则m的取值范围是(A )如果不等式组(5)的解集是．?x?m?只供学习与交流．资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3m＜D．C．m=3 m≥3 A．m≤3 B．解不等式组得提示：不等式组解集：同大取大；3x?=”就满足题意】【而该不等式组的解集是“=”一定要考虑，这个题取“，∴m≤3??1x?2?x?3?6?25?ax??≤的不等式组．有三个整数解，则的取值范围是＜a(6)关于x25??36?x2a?5??3?解该不等式组得解：∵有三个整数解6a+10＜x＜∴23,4,5 ∴三个整数解应该是6 ＜6a+10≤∴525?? a解得≤＜36,m?2x?y??my. 的取值范围的解】【自己解答(7) 若方程组，均为正数，求?x3m??5y?64x?y均为正数，列，y 用含m的式子表示出来，然后利用提示：先将m当作已知数，将x、x的取值范围的不等式组，解出出含mm不等式组的结果不能写成大括号的形式2.解不等式（组）【】【自己解】）?1（3x2x?11??）解不等式，并将解集在数轴上表示出来；（123)1(x?x?1?35??，并把它的解集表示在数轴上）解不等式组.（2115x?2x????1?23?3.一元一次不等式（组）与一次函数利用一次函数解一元一次不等式（组）：实质就是比较两个函数y值得大小，函数值（y）越大，图像越高，函数值（y）越小，图像越高低，这里一般是让求自变量x的取值范围，找出与x轴交点的横坐标（指一元一次不等式），看让求图像在x轴以上的自变量的取值范围（还是图像在x轴以下的自变量的取值范围）；或找出函数交点的横坐标，然后看在该交点以左满足题意还是交点以右满足题意.?0）的图象如图所示，则关于x为常数，bk的不等、（＋＝函数(1)ykxbk式kx+b>0的解集为（C）．只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权x>2D．x<2 C B．x<0 ．A．x>0xy?kx?bl::ly?k在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则（2）直线与直线2112x x?kkx?b的不等式关于的解x<-121一元一次不等式（组）应用题4.，则此商品8%600元，打折销售后要保证获利不低于◆一件商品的进价是500元，标价为.9折最多打；②获利是在进；“售价”也叫“标价”商品销售中需注意的地方：①“进价”也叫“成本”x价的基础上获利；打折是在售价基础上打折；③打几折就是给售价×10折．设可以打x解：x8% ≥那么（600×-500）÷50010．9解得x≥．故答案为：9斤．价格为30◆某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20y?x元．后来他以每斤y 每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（B）2x xxxyyyy D ．C B．> ．≥≤<y2030x?根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是解：50yx?元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则以每斤2y?20yx?30x＞250y＞解得：x只供学习与交流．请联系网站删除资料收集于网络，如有侵权＞y∴赔钱的原因是x该商场为促销制5元。

北师大版八年级数学下册分式与分式方程中的易错题(附答案)易错专题：分式与分式方程中的易错题类型一：求分式的值，忽略分母不为0的情况。

1.若分式的值为0，则x的值为（）。

A。

±4 B。

4 C。

-4 D。

无解2.若分式 2/(x+x-12) = 1/x-3，则x的值是（）。

A。

3或-3 B。

-3 C。

3 D。

9类型二：自主取值再求分式的值，忽略分母或除式不为0的情况。

3.先化简分式 2/(x-1) + 2/(x-4)，其中x是从-1、0、1、2中选取的一个合适的数，然后求值。

类型三：解分式方程不验根。

4.解方程 (1-x)/(x-2) = -2，注意不需要验根。

类型四：无解时忽略分式方程化为一次方程后未知数系数为0的情况。

5.已知关于x的分式方程 (1-x)/(5-x) = 2/(x-2)，无解，则m的值为（）。

A。

-1.5 B。

1 C。

-1.5或2 D。

-0.5或-1.56.若关于x的分式方程 2m+x/(2-x) = 6/(x-3) 无解，则m的值为（）。

A。

-3 B。

2 C。

-2或3 D。

-1或-3类型五：已知方程根的情况求参数的取值范围时忽略分母为0时参数的值。

7.已知关于x的分式方程 (a-x)/(x+1) = 2/(x-2) 无解，求a 的值。

8.若关于x的分式方程 x/m = 2-1/x 的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）。

A。

1,2,3 B。

1,2 C。

1,3 D。

2,39.已知关于x的分式方程 (a-x)/(x+1) = 1 的解为负数，求a 的取值范围。