2019.5昌平数学二模文科试题及答案(最新整理)

绝密★启用前北京市昌平区2019届高三年级下学期第二次统一练习(二模)数学(文)试题(解析版)2019年5月一、选择题（本大题共8小题,共40.0分）1.已知集合2{|9}U x Z x =∈＜,集合2{}2A =-，,则U A =ð（ ） A. {}1,0,1-B. {}1,1-C. []1,1-D. ()1,1-【答案】A【解析】【分析】首先求出集合U ,然后利用补集的运算求出U A ð即可。

【详解】∵集合293{|}{32101|}{}2U x Z x x Z x =∈=∈-=--＜＜＜，，，，,集合2{}2A =-，, ∴1}01{U A =-，，ð． 故选：A ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解以及集合补集的运算。

属于基础题。

2.已知复数()11z a i =-++（i 为虚数单位,a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限,则复数z 的虚部可以是（ ） A. 12i - B. 12i C. 12- D. 12【答案】D【解析】【分析】由题意得到关于a 的不等式组,求解不等式组即可确定复数z 的虚部.【详解】1(1i)z a =-++＝(1)i a a -+,对应点为：(1,)a a -在第二象限,所以,100a a -<⎧⎨>⎩ 所以复数的虚部a 的取值范围为：01a <<,只有D 符合.故选：D .【点睛】本题主要考查复数的运算法则,复数所在象限的确定等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的a 的值是（ ）A. 1-B. 12C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】 由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值,模拟程序的运行过程,即可得到答案【详解】代入2a =,12018i =<,则11122a =-=,112i =+=； 再次代入得1a =-,3i =；继续代入得2a =,4i =；不难发现出现了循环,周期为3 则当2018i =时,1a =-,2018120192018i =+=>,跳出循环得到1a =-故选A【点睛】本题主要考查的是程序框图,在循环结构中找出其循环规律,即可得出结果,较为基。

昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)2019.5本试卷共 5 页，共 150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案作答在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合U = {x ÎZ | x 2 < 9}，集合 A = {-2, 2} ，则ðU A =(A) {-1, 0,1} (B) {-1,1} (C) [-1,1] (D) (-1,1)（2） 已知复数 z = -1 + a (1 + i) （ i 为虚数单位， a 为实数）在复平面内对应的点位于第二象限，则复数 z 的虚部可以是(A) - 1 i2(B) 1 i 2 (C) - 12(D)1 2（3） 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的 a (A) -1(B)1 2 (C) 1 (D) 2（4）已知实数 x ∈ R ，则“ x < 0 ”是“ ln(x + 1) < 0 ”的=(A) 充分而不必要条件 (C) 充分必要条件(B)(D) 必要而不充分条件既不充分也不必要条件 （5）在平行四边形 ABCD 中， AB //CD ， = (2, -2), = (2,1) ，则 ⋅AB AD AC DB (A) -3 (B) 2(C) 3(D) 422⎨ ⎩⎧x + y - 3 ≤ 0, （6）若 x , y 满足⎪x - 2 y - 3 ≥ 0, ⎪ y ≥ m ,且2x + y 的最小值为1，则实数 m 的值为(A) -5(B) -1(C) 1(D) 5（7） 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为(A)(B) 2(C) 2(D) 3一(一)一一1一一一一(一)一一（8） 一次数学竞赛，共有6 道选择题，规定每道题答对得5 分，不答得1分，答错倒扣1分．一个由若干名学生组成的学习小组参加了这次竞赛，这个小组的人数与总得分情况为 (A) 当小组的总得分为偶数时，则小组人数一定为奇数 (B) 当小组的总得分为奇数时，则小组人数一定为偶数 (C) 小组的总得分一定为偶数，与小组人数无关 (D) 小组的总得分一定为奇数，与小组人数无关第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．（9） 已知幂函数 f (x ) = x （是实数）的图象经过点(2, 2) ，则 f (4) 的值为 .（10） 为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园. 针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于 21 岁至65 岁的居民进行了调查. 已知该社区 21 岁至35 岁的居民有840 人， 36 岁至50 岁的居民有 700 人， 51 岁至 65 岁的居民有560 人．若从36 岁至50 岁的居民中随机抽取了100 人，则这次抽样调查抽取的总人数是 ．(11) 能说明“设 a ,b 为实数，若 a 2 + b 2 ≠ 0 ，则直线 ax + by -1 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 1 相切”为假命题的一组 a ,b 的值依次为 .（12）等差数列{a n } 满足 a 2 + a 5 + a 9 = a 6 + 8 ，则 a 5 =;若 a 1 = 16, 则 n =时，{a n } 的前 n 项和取得最大值．25 231（13） 已知双曲线C : x 2 - y 3= 1 ，若抛物线C 2 : x = 2 py ( p > 0) 的焦点到双曲线C 1 的渐近 线的距离为1，则抛物线C 2 的方程为.（14） 已知函数的最小正周期为 ，且 f (x ) ≥π 对任意f (x ) = c os(x +)(> 0,< 0)π的实数 x 都成立，则的值为;的最大值为．f ( ) 3三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题 13 分）在等差数列{a n } 中， a 2 = 8 ，且 a 3 + a 5 = 4a 2 .（I ） 求等差数列{a n } 的通项公式；（II ） 设各项均为正数的等比数列{b n } 满足b 4 = a 1 ， b 6 = a 4 ，求数列{b n - a n } 的前 n 项和 S n .（16）（本小题 13 分）在△ABC 中， AC = 4 ， BC = 4 （I ） 求∠ABC 的大小；（II ） 若 D 为 BC 边上一点， AD =，∠BAC = 2π .3，求 DC 的长度.（17）（本小题 13 分）某学校为了解学生的体质健康状况，对高一、高二两个年级的学生进行了体质测试 . 现从两个年级学生中各随机选取20 人，将他们的测试数据，用茎叶图表示如下：等级 优秀 良好 及格 不及格测试数据[90,100] [80,89] [60, 79] [0,59] 3 7 2 2 一一 一 一6 4 3 9 0 5 87 6 3 28 1 4 5 89 8 5 2 1 7 2 3 3 9 9 7 7 6 46 4 578 8 3 05 0 2 6423 2 222 （I ） 从该校高二年级学生中随机选取一名学生，试估计这名学生体质健康合格的概率； （II ） 从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，求选取的两名学生的测试数据平均数大于95 的概率；（III ） 设该校高一学生测试数据的平均数和方差分别为 X , S 2 ，高二学生测试数据的平均1 1数和方差分别为 X , S 2 ，试估计 X 与X 、 S 2与S 2 的大小 . （只需写出结论）2 2 1 2 1 2（18）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PCD ⊥ 平 面 E 为 PB 中点．ABCD ， AB = 2 ，PBC = 1，PC = PD = 2 ，（I ） 求证： PD // 平面 ACE ；E（II ） 求证： PD ⊥ 平面 PBC ； D（III ） 求三棱锥 E - ABC 的体积.AB（19）（本小题 13 分）已知椭圆G :x +y = 1(a > b > 0) 的离心率为 ，经过点 B (0,1) .设椭圆G 的右顶点为 Aa b 2，过原点O 的直线l 与椭圆G 交于 P ,Q 两点（点Q 在第一象限），且与线段 AB 交于点 M .（I ） 求椭圆G 的标准方程；（II ） 是否存在直线l ，使得∆BOP 的面积是ΔBMQ 的面积的3 倍？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.（20）(本小题 14 分)已知函数 f (x ) = [x 2 + (a + 1)x + 1]e x .（I ） 若曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线与 x 轴平行，求a 的值；（II ）若 f (x ) 在 x = -1 处取得极大值，求 a 的取值范围；（III ） 当 a = 2 时，若函数 g (x ) = mf (x ) -1有3 个零点，求 m 的取值范围.（只需写出结论）Cn昌平区 2019 年高三年级第二次统一练习数学试卷(文科)参考答案一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) (9)(12) 24 ; 6(10)(13) 300x 2= 8y (11)(14)1,1(答案不唯一)2; - 5π3三、解答题(共 6 小题，共 80 分)(15)（共 13 分）解：（Ⅰ）设数列{a } 的公差为 d ，由已知ìïa 1 + d = 8, ， níï a + 2d + a + 4d = 4(a + d ) îï 11 1 解得ìï a 1 = 4, ，所以a =4n (n Î N * ) . ….5 分íïî d =4nïì 1 ìï 1 （Ⅱ）设数列{b } 的公比为 q ，由已知ìï b 4 = 4, ，解得ï b 1 = 2， ï b 1= - 2， níï b = 16 íï 或íï （舍）， îï 6îï q =2 îï q = - 2 所以b = 1⨯ 2n -1 = 2n -2 ，所以b - a = 2n -2 - 4n .n 2 n nS = (2- 1-4) + (20 - 8) + (21 - 12) + L + (2n - 2 - 4n ) = (2- 1 + 20 +21 + L + 2n - 2 ) - (4 + 8 + 12 + L + 4n ) 1(1- 2n ) = 2 - (4 + 4n )n = 1 (2n - 1) - 2n 2 - 2n = 2n - 1 - 1 - 2n 2 - 2n (n Î N *). 1- 2 2 2 2….13 分(16)（共 13 分）3解： （Ⅰ）在∆ABC 中， 由正弦定理得4sin 2π所以sin ∠ABC =3 = 1 . BCsin ∠BAC AC ， sin ∠ABC 4 2因为∠BAC =2π ，所以∠ABC ∈ 3 π(0, ) 3 ,所以∠ABC = π . ….6 分6（Ⅱ）在∆ABC 中, ∠C =π - 2π - π = π.3 6 6在∆ADC 中，由余弦定理 AD 2 = AC 2 + D C 2 -2AC ⋅ D C c os ∠C ， 得7 = 16 + DC 2 - 8DC cos π，即 DC 2 - 4 3DC + 9 = 0 ，6解得 DC = 3 ，或 DC = . 经检验，都符合题意.….13 分(17)（共 13 分）解：（I ）高二年级学生样本中合格的学生数为： 3 + 4 + 4 + 4 = 15 ， 样本中学生体质健康合格的频率为15 = 3 . 20 4所以从该校高二年级学生中随机选取一名学生，估计这名学生体质健康合格的概率为 3.4….4 分(II) 设等级为优秀的样本中高一年级测试数据是 93, 94, 96 的学生分别为 a 1, a 2 , a 3 , 高二年级测试数据是 90, 95, 98 的学生分别为b 1, b 2 , b 3.选取的两名学生构成的基本事件空间为{(a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ), (a 1, b 3 ), (a 2 , b 1 ), (a 2 , b 2 ), (a 2 , b 3 ), (a 3 , b 1 ), (a 3 , b 2 ), (a 3 , b 3 )}，总数为9 ，选 取 的 测 试 数 据 平 均 数 大 于 95 的 两 名 学 生 构 成 的 基 本 事 件 空 间 为{(a 1, b 3 ), (a 2 , b 3 ), (a 3, b 2 ), (a 3, b 3 )} ，总数为4 ，所以从两个年级等级为优秀的样本中各随机选取一名学生，选取的两名学生的测试数据平均 数大于 95 的概率为 4.….9 分 9（III ） X> X , S 2 < S 2 .….13 分1 2 1 2(18)（共 14 分）证明：（I ）连结 B D 交 AC 于点F ，连结 E F . P因为底面 ABCD 是矩形, 所以 F 为 BD 中点.E3 3 =23 ⎨ y 又因为 E 为 PB 中点, 所以 EF // PD . 因为 PD ⊄ 平面ACE ，EF ⊂ 平面ACE ,所以 PD // 平面ACE . ….4 分 (II) 因为底面 ABCD 为矩形, 所以 BC ⊥ CD .又因为平面PCD ⊥ 平面ABCD ,BC ⊂ 平面ABCD , 平面PCD ⋂ 平面ABCD = CD ,所以 BC ⊥ 平面PCD .因为 PD ⊂ 平面PCD ,所以 BC ⊥ PD .因为 PC = PD = 2,CD = AB = 2,所以 PC 2 + PD 2 = CD 2，即 PD ⊥ PC .因为 BC PC = C , BC , PC ⊂ 平面 PBC ， 所以 PD ⊥ 平面 PBC .….9 分（III ）因为底面 ABCD 是矩形,所以 AD // BC .因为 AD ⊄ 平面 PBC ， BC ⊂ 平面 PBC ， 所以 AD // 平面 PBC .由（II ）得， PD ⊥ 平面 PBC ， 所以V= V= V= 1 ⨯ 1 S ⋅ PD = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯1⨯ 2 ⨯ = 1.E -ABCA -EBCD -EBC3 2 ∆PBC 3 2 2 6 所以三棱锥 E - ABC 的体积为 1.….14 分6(19)（共 13 分）⎧b = 1, ⎪ c⎧a = 2,⎪ 解：（I ）由题意可知： ⎪ = , a 2 ，解得⎨b = 1, . ⎪ ⎪ 2 2 2⎩c = ⎪⎩a = b + c所以椭圆G 的标准方程为 x 2 + 24= 1 .….5 分（Ⅱ）设Q ( x 0 , y 0 ) ，则 P (-x 0 , - y 0 ) ，易知0 < x 0 < 2 ， 0 < y 0 < 1.若使∆BOP 的面积是∆BMQ 的面积的 3 倍，只需使得 OQ = 3 MQ ，30 0 即222，即22.OM = 3 OQ = ( 3 x 0 , 3y 0 )M ( 3 x 0 , 3y 0 )由 A (2, 0) ， B (0,1) ，所以直线 AB 的方程为 x + 2 y - 2 = 0 .点 M 在线段 AB 上，所以 2 x + 4y - 2 = 0 ，整理得 x = 3 - 2 y ，①3 0 3 00 0x2因为点Q 在椭圆G 上，所以 0 + y 2 = 1 ，② 4把①式代入②式可得8 y 2-12 y + 5 = 0 ，因为判别式小于零，该方程无解.所以，不存在直线l ，使得∆BOP 的面积是∆BMQ 的面积的 3 倍.….13 分(20) (共 14 分)解：函数 f (x ) 的定义域为(-∞, +∞) .f '(x ) = [x 2 + (a + 3)x + a + 2]e x .（Ⅰ）因为曲线 y = f (x ) 在点(0, f (0)) 处的切线与 x 轴平行，所以 f '(0) = (a + 2)e 0 = 0 ，解得a = -2 .此时 f (0) = 1 ≠ 0 ，所以a 的值为-2 .….5 分（Ⅱ）因为 f '(x ) = [x 2 + (a + 3)x + a + 2]e x = (x + 1)[x + (a + 2)]e x ,① 若 a < - 1，- (a + 2) > - 1，则当 x Î (- ¥ ,- 1) 时， x + 1< 0, x + (a + 2) < x + 1< 0, 所以 f '(x ) > 0 ；当 x Î (- 1,- (a + 2)) 时， x + 1> 0, x + (a + 2) < 0, 所以 f '(x ) < 0 .所以 f (x ) 在 x = -1 处取得极大值.② 若 a ³ - 1，- (a + 2) £ - 1，则当 x Î (- 1, 0) 时， x + 1> 0, x + (a + 2) ³ x + 1> 0,所以 f '(x ) > 0 .所以-1不是 f (x ) 的极大值点 .综上可知，a 的取值范围为(-∞, -1) . ….10分（Ⅲ）m>e5. ….14分4。

2019年北京市昌平区数学中考二模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.下列几何体中，俯视图是矩形的是（）A．B．C．D．2.2019年全国两会期间其中某一天产生的信息有122863条，热度最高的三个关键词分别是：“健康”“医疗”和“教育”，请将122863用科学记数法表示（）A．1.22863×105B．12.2863×104C．0.122863×106D．122.863×103.实数a，b，c，d在数轴上对应的点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞3 B．c﹣b＞0 C．a+c＞0 D．bd＞04.二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．5.如图，昌平十三陵中的部分皇陵在地图上的位置，若庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），则定陵的位置坐标为（）A．（5，2）B．（﹣5，2）C．（2，5）D．（﹣5，﹣2）6.如果m+n＝2，那么代数式的值是（）A．2 B．1 C．D．﹣17.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列说法不一定成立的是（）A．S△ABC＝S△ADC B．S矩形NFGD＝S矩形EFMBC．S△ANF＝S矩形NFGD D．S△AEF＝S△ANF8.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s（米）和所用时间t（分钟）的关系图．则下列说法中正确的是（）①小明家和学校距离1200米；②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分；③小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇；④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④二、填空题（共8小题）9.如图所示的网格是正方形网格，则∠AOB∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）10.代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．11.若正多边形的一个内角等于120°，则这个正多边形的边数是．12.在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共60只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（2）班的数学学习小组做了摸球实验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：请估计：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近．（精确到0.1）13.某学校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，至少买一个排球，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有种．14.如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若CF＝6，则AF的长为．15.今有甲、乙、丙三名候选人参与某村村长选举，共发出1800张选票，得票数最高者为当选人，且废票不计入任何一位候选人的得票数内．全村设有四个投票点，目前第一、第二、第三投票点已公布投票结果，剩下第四投票点尚未公布投票结果，如表所示：（单位：票）三名候选人有机会当选村长（填甲、乙、丙），并写出你的推断理由﹣﹣．16.“五一黄金周”期间李师傅一家开车去旅游，出发前查看了油箱里有50升油，下面的两幅图分别描述了行驶里程及耗油情况，行驶130公里时，油箱里剩油量为升．三、解答题（共12小题）17.计算：+（﹣2019）0﹣4sin45°+|﹣2|．18.解不等式组：19.在数学课上，老师提出如下问题：如何使用尺规完成“过直线l外一点P作已知直线l的平行线”．小明的作法如下：①在直线l上取一点A，以点A为圆心，AP长为半径作弧，交直线l于点B；②分别以P，B为圆心，以AP长为半径作弧，两弧相交于点Q（与点A不重合）；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明的作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB＝AP＝＝．∴四边形ABQP是菱形（）（填推理的依据）．∴PQ∥l．20.已知：关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（x＞0）的图象与直线y＝2x﹣2交于点为A（2，m）．（1）求k，m的值；（2）点B为函数（x＞0）的图象上的一点，直线AB与y轴交于点C，当AC＝2AB时，求点C的坐标．23.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ＝∠DOQ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AQ＝AC，AD＝2时，求BP的长．24.近日，某中学举办了一次以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为主题的诗词大会比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.589①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为（填“初一”或“初二”）；③若成绩在85分及以上为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为人．25.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6cm，E是线段AB上一动点，D是BC的中点，过点C作射线CG，使CG∥AB，连接ED，并延长ED交CG于点F，连接AF．设A，E两点间的距离为xcm，A，F两点间的距离为y1cm，E，F两点间的距离为y2cm．小丽根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为cm．26.在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+3a交于点A和点B，点A在x轴上．（1）点A的坐标为﹣．（2）①用等式表示a与b之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；②当≤AB≤时，结合函数图象，求a的取值范围．27.在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图1，①依题意补全图1；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．28.对于平面直角坐标系xOy中的图形M及以点C为圆心，1为半径的⊙C，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为⊙C上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M到⊙C的“圆距离”，记作d（M﹣C）．（1）点C在原点O时，①记点A（4，3）为图形M，则d（M﹣O）＝；②点B与点A关于x轴对称，记线段AB为图形M，则d（M﹣O）＝；③记函数y＝kx+4（k＞0）的图象为图形M，且d（M﹣O）≤1，直接写出k的取值范围；（2）点C坐标为（t，0）时，点A，B与（1）中相同，记∠AOB为图形M，且d（M﹣C）＝1，直接写出t的值．2019年北京市昌平区数学中考二模试卷参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】俯视图是分别从物体上面看所得到的图形，据此作答．【解答】解：A、圆锥俯视图是圆（带圆心），故此选项错误；B、长方体俯视图是矩形，故此选项正确；C、三棱柱俯视图是三角形，故此选项错误；D、圆柱俯视图是圆，故此选项错误；故选：B．【知识点】简单几何体的三视图2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将122863用科学记数法表示为：1.22863×105．故选：A．【知识点】科学记数法—表示较大的数3.【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．【解答】解：A、∵a＜﹣2，∴|a|＞2，结论A错误；B、∵b＜0，c＞0，∴c﹣b＞0，结论B正确；C、∵a＜﹣2，0＜c＜1，∴a+c＜0，结论C错误；D、∵b＜0，d＞2，∴bd＜0，结论D错误．故选：B．【知识点】实数与数轴、绝对值4.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①+②得：3x＝6，解得：x＝2，把x＝2代入①得：y＝0，则方程组的解为，故选：B．【知识点】解二元一次方程组5.【分析】根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，然后直接写出定陵的位置坐标．【解答】解：根据庆陵的位置坐标（﹣1，4），长陵的位置坐标（2，0），建立直角坐标系，如图所以定陵的位置坐标为（﹣5，﹣2），故选：D．【知识点】坐标确定位置6.【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【解答】解：原式＝（）•＝•＝∵m+n＝2，∴原式＝＝1，故选：B．【知识点】分式的化简求值7.【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【解答】解：∵AD∥EG∥BC，MN∥AB∥CD∴四边形AEFN是平行四边形，四边形FMCG是平行四边形∴S△AEF＝S△AFN，S△FMC＝S△CGF，S△ABC＝S△ACD，∴S矩形BEFM＝S矩形NFGD，∴选项A、B、D是正确的，当AN＝2ND时，S△ANF＝S矩形NFGD，所以此式子不一定成立，故选：C．【知识点】平行线之间的距离、数学常识、矩形的性质、三角形的面积8.【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．【解答】解：由图象可得，小明家和学校距离为1200米，故①正确；小华乘坐公共汽车的速度是1200÷（13﹣8）＝240米/分，故②正确；480÷240＝2（分），8+2＝10（分），则小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇，故③正确；小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，小华从家到学校的所用时间为：1200÷100＝12（分），则小华到校时间为8：00，小明到校时间为8：00，故④正确；故选：D．【知识点】函数的图象二、填空题（共8小题）9.【分析】根据tan∠AOB与tan∠COD的大小比较即可求解．【解答】解：根据题意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案为：＝【知识点】解直角三角形10.【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．【知识点】二次根式有意义的条件11.【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．【解答】解：解法一：设所求正n边形边数为n，则120°n＝（n﹣2）•180°，解得n＝6；解法二：设所求正n边形边数为n，∵正n边形的每个内角都等于120°，∴正n边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°．又因为多边形的外角和为360°，即60°•n＝360°，∴n＝6．故答案为：6．【知识点】多边形内角与外角12.【分析】由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3可得；【解答】解：当次数n足够大时，摸到红球的频率将会接近0.3，故答案为：0.3；【知识点】利用频率估计概率13.【分析】设可以购买x个篮球，y个排球，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合y为正整数、x为非负整数，即可得出各购买方程，此题得解．【解答】解：设可以购买x个篮球，y个排球，依题意，得：120x+90y＝1200，∴x＝10﹣y．∵y为正整数，x为非负整数，∴，，．∴共有3种购买方案．故答案为：3．【知识点】二元一次方程的应用14.【分析】由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，由E是边AB的中点，得出AE＝AB＝CD，证△AEF∽△CDF，即可求出AF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E是边AB的中点，∴AE＝AB＝CD，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∵CF＝6，∴AF＝3，故答案为：3．【知识点】相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质15.【分析】根据题意将三个投票箱所得所有票数相加得出甲、乙、丙三名候选人的得票，进而分别分析得票的张数得出答案．【解答】解：∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147+244+205＝596：∴596﹣583＝13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长，故答案为：甲或丙，∵第一、第二、第三投票箱甲得票数为：200+286+97＝583；乙得票数为：211+85+41＝337；丙得票数为：147+244+205＝596：∴596﹣583＝13，即丙目前领先甲13票，所以，第四投票所甲赢丙14票以上，则甲当选，故甲可能当选；第四投票所甲赢丙13票以下，则丙当选，故丙可能当选；而596﹣337＝259＞250，若第四投票点的250票皆给乙，乙的总票数仍然比丙低，故乙不可能当选，即：甲或丙有机会当选村长．【知识点】推理与论证16.【分析】找准几个关键点进行分析解答即可．【解答】解：由图象可知：当用时1小时时，油量剩余45升，行驶了30公里；当用时在1﹣2.5小时之间时，可得：每小时行驶的里程为公里，每小时耗油量为升∴当用时1+1＝2小时时，此时刚好行驶了130公里，此时油箱里的剩油量为：45﹣8×1＝37升，故答案为：37．【知识点】函数的图象三、解答题（共12小题）17.【分析】本题涉及二次根式的化简、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝2+1﹣4×+2＝2+1﹣2+2＝3．【知识点】实数的运算、零指数幂、特殊角的三角函数值18.【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①可得：x＜4；由②可得：x≥1；所以不等式组的解集为：1≤x＜4．【知识点】解一元一次不等式组19.【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可判断．【解答】解：（1）如图所示．（2）：∵AB＝AP＝PQ＝BQ．∴四边形ABQP是菱形（四边相等的四边形是菱形）．∴PQ∥l．故答案为：PQ，BQ，四边相等的四边形是菱形．【知识点】作图—复杂作图、菱形的判定与性质20.【分析】（1）由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的取值范围；（2）由（1）中所求m的取值范围，取一个m的值，代入方程求解即可．【解答】解：（1）∵一元二次方程有两个不相等实根，∴△＝16﹣4（m+1）＞0，12﹣4m＞0，∴m＜3；（2）∵当m＝﹣1时，x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4．【知识点】根的判别式21.【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四边形AEFD是矩形；（2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x在Rt△DCF中，∵x2＝（8﹣x）2+42 ，∴x＝5，∴CD＝5．【知识点】矩形的判定与性质、菱形的性质22.【分析】（1）将A点代入y＝x﹣2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．（2）根据题意求得B的横坐标，代入反比例函数的解析式求得纵坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，即可求得C点的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝2x﹣2过点A（2，m），∴m＝2×2﹣2＝2∴A（2，2），∵（x＞0）过点A（2，2），∴k＝2×2＝4；（2）∵AC＝2AB，∴B点的横坐标为1或3，把x＝1或3代入y＝得，y＝4或，∴B（1，4），或（3，），设直线AB为y＝ax+b，把A、B的坐标代入求得解析式为y＝﹣2x+6或y＝﹣x+，令x＝0，则C（0，6）或C（0，）．【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题23.【分析】（1）连接DC，根据圆周角定理得到∠DCA＝∠DOA，由于∠ADQ＝∠DOQ，得到∠DCA＝∠ADQ，根据余角的性质得到∠ADQ+∠ADO＝90°，于是得到结论；（2）根据切线的判定定理得到PC是⊙O切线，求得PD＝PC，连接OP，得到∠DPO＝∠CPO，根据平行线分线段长比例定理得到OP＝3，根据三角形的中位线的性质得到AB＝6，根据射影定理即可得到结论．【解答】解：（1）连接DC，∵，∴∠DCA＝∠DOA，∵∠ADQ＝∠DOQ，∴∠DCA＝∠ADQ，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°∴∠DCA+∠DAC＝90°，∵∠ADQ+∠DAC＝90°，∠ADO＝∠DAO，∴∠ADQ+∠ADO＝90°，∴DP是⊙O切线；（2）∵∠C＝90°，OC为半径．∴PC是⊙O切线，∴PD＝PC，连接OP，∴∠DPO＝∠CPO，∴OP⊥CD，∴OP∥AD，∵AQ＝AC＝2OA，∴，∵AD＝2，∴OP＝3，∵OP是△ACB的中位线，∴AB＝6，∵CD⊥AB，∠C＝90°，∴BC2＝BD•BA＝24，∴BC＝，∴BP＝．【知识点】圆周角定理、切线的判定与性质24.【分析】（1）频数4÷0.10×0.20＝8，频率1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0.30＝0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2＝82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．【解答】解：（1）频数4÷0.10×0.20＝8，频率1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0.30＝0.05，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80﹣90分∵80～90分段的具体成绩为：80 80 81.5 82 82.5 82.5 83 84.5 85 86.5 87 88 88.5 89，∴中位数为（82.5+83）÷2＝82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为故答案为270．【知识点】用样本估计总体、频数（率）分布表、中位数、频数（率）分布直方图25.【分析】（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC＝3≈4.24．（2）利用描点法画出函数图象即可解决问题．（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时AE的长度．【解答】解：（1）当x＝3时，点E是AB的中点，易证△ECF是等腰直角三角形，EF＝EC＝3≈4.24．（2）函数图象如图所示：（3）由直线y＝x与两个函数图象的交点A，B，以及函数y1与函数y2的交点C的横坐标可知，当△AEF为等腰三角形时，AE的长度约为3.50或5或6．故答案为：3.50或5或6．【知识点】三角形综合题26.【分析】（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，可得b＝4a，由对称轴x＝﹣＝﹣2；②设B（m，m+1），由m+1＝am2+4am+3a，得m＝﹣3，AB＝＝|m+1|＝|﹣2|，结合AB的取值范围即可求解；【解答】解：（1）令y＝0，x+1＝0，则A点坐标为（﹣1，0）；故答案为（﹣1，0）；（2）①将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a，∴a﹣b+3a＝4a﹣b＝0，∴b＝4a，∵x＝﹣＝﹣2；②设B（m，m+1），AB＝＝|m+1|，∵m+1＝am2+4am+3a，m+1＝a（m+1）（m+3），∵m≠﹣1，∴m＝﹣3，∴AB＝|﹣2|，∵≤AB≤，∴≤|﹣2|≤，∴或；【知识点】一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征27.【分析】（1）①补全图形即可：②连接BG，由SAS证明△BEG≌△FCG得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可；（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝，由直角三角形的性质得出FG＝DG＝2GH＝，得出DF＝DG＝，在Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝，即可得出结果．【解答】解：（1）①补全图形如图1所示：②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下：连接BG，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC＝90°，∴△CEG是等腰直角三角形，EG＝GC，∴∠GEC＝∠GCE＝45°，∴∠BEG＝∠GCF＝135°，由平移的性质得：BE＝CF，在△BEG和△FCG中，，∴△BEG≌△FCG（SAS），∴BG＝GF，∵G在正方形ABCD对角线上，∴BG＝DG，∴FG＝DG，∵∠CGF＝∠BGE，∠BGE+∠AGB＝90°，∴∠CGF+∠AGB＝90°，∴∠AGD+∠CGF＝90°，∴∠DGF＝90°，∴FG⊥DG；（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．如图3所示：在Rt△ADH中，∵∠DAC＝45°，∴DH＝AH＝，在Rt△DHG中，∵∠AGD＝60°，∴GH＝＝＝，∴DG＝2GH＝，∴DF＝DG＝，在Rt△DCF中，CF＝＝，∴BE＝CF＝．【知识点】四边形综合题28.【分析】（1）①点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ，即可求解；②由题意得：d（M﹣O）＝PQ；③P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，则∠P′DO＝30°，即可求解；（2）①分点为角的顶点O（P）、点P在射线OA两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）①如图1，点A（4，3），则OA＝5，d（M﹣O）＝AQ＝5﹣1＝4，故答案为4；②如图1，由题意得：d（M﹣O）＝PQ＝4﹣1＝3；③如图1，过点O作OP′⊥直线l于点P′，直线l与y轴交于点D，则d（M﹣O）＝P′Q′，当P′Q′＝2为临界点的情况，OD＝4，∴∠P′DO＝30°，∴k＝，故k；（2）①如图2，当点为角的顶点O（P）时，则PQ＝1，则OC＝2，即：t＝2；②如图3，当点P在射线OA时，tan∠AOC＝，则sin∠AOC＝，CP＝CQ+PQ＝1+1＝2，t＝OC＝＝；故：t＝2或．【知识点】圆的综合题。

北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x ax x =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭，所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.3．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C．2D．4【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=1<，解得k <<因此，所求概率为242P ⨯==. 故选：D. 【点睛】4．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2CD【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率ce a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.6．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A．B ．4C．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 8．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x =D ．2y x =【答案】C 【解析】试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 9．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 10．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.11．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线，则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。