安徽省合肥市高考数学二模试卷文科解析版

2022年安徽省合肥市高考数学第二次质检试卷（文科）（二模）1.设全集，集合，，则如图Venn图中阴影部分表示的集合是( )A. B. C. D.2.设复数z满足，则( )A. B. 4 C. D.3.已知双曲线的渐近线方程，则双曲线的离心率为( )A. B. 4 C. 2 D.4.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔考拉兹在20世纪30年代提出．其内容是：任意给定正整数s，如果s是奇数，则将其乘3加1；如果s是偶数，则将其除以2，所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到如图的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5，则输出i的值为( )5.若：与：是两条不同的直线，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.设等差数列的前n项和为，，则m的值为( )A. 10B. 12C. 13D. 147.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为( )A. B. C. D.8.已知函数是奇函数，当时，的值域为( )A. B. C. D.9.函数是自然对数的底数的图象关于( )A. 点对称B. 点对称C. 直线对称D. 直线对称10.抛物线C：的焦点为F，A为抛物线C上一点，以F为圆心，为半径的圆交抛物线C的准线l于M，N两点，，则直线AF的斜率为( )A. B. C. D.11.设，，，则( )A. B. C. D.12.在直三棱柱中，，，P为该三棱柱表面上一动点，若，则P点的轨迹长度为( )13.已知向量，，若A，B，C三点共线，则______.14.如图，圆柱的轴截面是正方形，AB是底面圆的直径，AD是母线，点C是的中点，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为______.15.已知数列前n项和，记，若数列中去掉数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，则数列的前50项和为______.16.过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，，切点为，不重合，设直线，分别与y轴交于点A，B，则______.17.《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．如图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量单位：千万辆折线图．注：年份代码分别对应年份由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；建立y关于t的线性回归方程系数精确到，并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：，，，，，参考公式：相关系数，线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，18.在中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，满足______.求A的大小；若AE是的角平分线，且，，求的面积．从①是b，2c的等差中项，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．19.如图，在矩形ABCD中，，点M为边AB的中点．以CM为折痕把ABCM折起，使点B到达点P的位置，使得，连结PA，PB，证明：平面平面AMCD；求点M到平面PAD的距离．20.已知函数，设函数，若是区间上的增函数，求a的取值范围；当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点．21.已知椭圆C：的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，面积的最大值为求椭圆C的标准方程；过点M的直线l：与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP与椭圆交于点点Q为直线OP上一动点，且，求证：点Q在定直线上．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；若直线与直线l交于点M，直线与曲线C交于点，且，求实数a的值．23.已知函数的最小值为求m；已知a，b，c为正数，且，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题可得图中阴影部分表示的集合为：，故选：由图中阴影部分表示的集合为：，可得正确选项．本题考查集合的韦恩图示法，属基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，故选：利用复数的四则运算求出z，再利用复数模长公式即可求出结果．本题主要考查了复数的运算，考查了复数的模长公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线的渐近线方程，可得，可得：，即，，所以故选：利用双曲线的渐近线方程，得到ab的关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．4.【答案】B【解析】解：，，不满足，，，不满足，执行循环体，满足，，，不满足，执行循环体，满足，，，不满足，执行循环体，满足，，，不满足，执行循环体，满足，，，此时，满足，退出循环，输出，故选：根据程序框图进行模拟运算即可得解．本题主要考查程序框图的识别和应用，利用模拟运算法是解决本题的关键，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：时，为，为，，所以，充分性成立；时，，解得或，当时，为，为，两条直线重合，所以，必要性成立；所以是充分必要条件．故选：分别判断充分性和必要性是否成立即可．本题利用直线方程考查了充分必要条件的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：等差数列的前n项和为，，，，，故选：由题意知，从而解得．本题考查了等差数列的前n项和公式及性质应用，是基础题．7.【答案】A【解析】解：安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，共有种不同的方案，甲乙两人安排在同一个舱内共有种不同的方案，故甲乙两人安排在同一个舱内的概率为，故选：先确定所有不同的方法数，再求甲乙两人安排在同一个舱内的方法数，从而求概率．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．8.【答案】D【解析】解：函数是奇函数，，；当时，，，；即当时，的值域为；故选：依题意，可求得，，继而可求得当时，的值域．本题考查三角函数的奇偶性及正弦函数性质的应用，考查运算求解能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：，所以，所以的图象关于对称．故选：先对已知函数进行分离变形，然后结合选项检验即可判断．本题主要考查了函数对称性的判断，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：由题意可知：，设准线与x轴交于H，因为，所以，且，所以，设，由抛物线定义可知，所以，代入抛物线中得，所以，且，所以直线AF的斜率为故选：根据题意求出点A坐标，即可求出直线AF的斜率．本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合运用，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，故选：利用对数函数和指数函数的性质，对数的换底公式求解即可．本题考查对数函数和指数函数的性质，对数的换底公式，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：取，的中点H，O，连接HO，易得，①取的4等分点靠近点，取BC的4等分点靠近点，连接MP，易得，②联立①②得面HMP，由，则点P在直线的中垂面HMP上，取中点N，AB中点Q，连接MN，HN，HQ，QP，则点P的轨迹为线段PM，MN，NH，HQ，QP，由，可得，，，则P点的轨迹长度为，故选：由线面垂直的判定定理确定直线的中垂面，再确定点P的轨迹，然后求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了面面关系，属中档题．13.【答案】【解析】解：向量，，若A，B，C三点共线，则，即，解得故答案为：根据A，B，C三点共线得出，列方程求出t的值．本题考查了平面向量共线定理的应用问题，是基础题．14.【答案】【解析】解：设圆柱底面半径为r，连接OC，以OA、OC为邻边作平移地四边形OAEC，连接DE，则，且，异面直线AB，CD所成角为，为的中点，且AB是圆O的一条直径，，，，平行四边形OAEC是正方形，，平面ABC，CE，平面ABC，，，，，，平面ADE，平面ADE，，，在中，异面直线AB与CD所成角的余弦值为故答案为：以OA，OC为邻边作平行四边形OAEC，连接DE，可知异面直线AB与CD所成角为，由此能求出的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线的定义、圆柱结构特征、线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】1485【解析】解：数列前n项和，可得：时，，时，，对于上式也满足，，由数列中去掉数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，则数列的前50项和，故答案为：数列前n项和，可得：时，，时，，可得可得，进而得出数列的前50项和．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：，设，，当时，，当时，，则由题意可知，，即直线：，直线：，取，分别得到，，则故答案为：写出分段函数解析式，设，，分别求出直线，的方程，得到A，B 的坐标，作差后利用两直线垂直与对数的运算性质求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的关系，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由题意可得，，则相关系数，由于相关系数人接近于1，说明y与t的线性相关准度比较高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．，又，故y关于t的线性回归方程为，当时，，故预测2022年我国私人汽车拥有量为千万辆【解析】根据已知条件，结合相关系数的公式，即可求解．根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解线性回归方程，将代入上式的线性回归方程中，即可求解．本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．18.【答案】解：若选①：是b，2c的等差中项，，即，由正弦定理得，即，，注意到，所以，即，，，，即；若选②：由题设及正弦定理得，，，，①，，①可化为，，，故，；是的角平分线，，即，即，，，【解析】选①：根据等差中项的性质以及正弦定理的边化角公式得出A的大小；选②：根据正弦定理的边化角公式结合三角恒等变换得出A的大小；由结合三角形面积公式得出，再由公式得出的面积．本题考查了这领域下定理在解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：证明：，，是等边三角形，，，取CM的中点O，连接BO，PO，则，，，，，，平面AMCD，，平面AMCD，平面PMC，平面平面由知，平面AMCD，且，连接DO，DM，则，且，，，，，，设点M到平面PAD的距离为d，则，即，解得，点M到平面PAD的距离为【解析】取CM的中点O，连接BO，PO，根据等腰三角形以及勾股定理证明，，再由面面垂直的判定定理能证明平面平面AMCD；设点M到平面PAD的距离为d，根据等体积法求出，由此能求出点M到平面PAD 的距离．本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的运算，考查线面垂直、面面垂直的判断、等体积法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：，又因为，，函数是区间上的增函数，在区间上恒成立，若，则恒成立，此时；若此时，恒成立，即恒成立；综合上：a的取值范围是；证明：当时，，，则，，在区间上单调递增．，，存在，使得当时，，单调递减；当时，，单调递增．又，，函数在区间上有且仅有一个零点．【解析】求导又因为，求导，根据函数是区间上的增函数，由在区间上恒成立求解；求导，利用导数法证明．本题考查了导数的综合运用及恒成立问题，关键点是确定确定函数的单调性，属于中档题．21.【答案】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的几何性质知，当点M位于椭圆的短轴端点时，的面积取得最大值，此时，，，由离心率得，，解得：，，，椭圆C的标准方程为；证明：设，，由得，点在这个椭圆内部，所以，，点P的坐标为，当时，直线OP的斜率为，直线OP的方程为，即，将直线OP的方程代入椭圆方程得，设点，由得，化简得，化简得，点Q在直线上，当直线l的斜率时，此时，，由得，也满足条件，点Q在直线上；综上，点Q在直线上．【解析】本题考查了椭圆的方程与性质，直线与椭圆的综合，属于难题．按照题目所给的条件即可求解；作图，联立方程，将M，N，P，Q，D的坐标用斜率h表示出来，按照向量数量积的运算规则即可．22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为；根据，转换为极坐标方程为；曲线C的极坐标方程为，转化为直角坐标方程为；直线与直线l交于点M，所以，故点M的极坐标为；将直线与曲线C交于点，故，；故；由于，则点O为AB的中点；所以，故，解得【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用极径的应用和关系式的转换求出a的值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：函数，，即由知，故当且仅当时等号成立，当且仅当，即，时等号成立，的最小值为6，【解析】根据参数去掉绝对值，成分段函数，分段函数的最小值为每一段函数的最小值中的最小值．有知，合理使用均值不等式，求最小值．本题考查绝对值不等式，基本不等式，注意合理构造，属于中等题．。

2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x∈R|x2﹣3x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}2．若i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．3．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481，720]的人数为（）A．10 B．11 C．12 D．134．已知实数x，y满足，若z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．1 C．3 D．65．已知不共线的两个向量满足，且，则=（）A．B．2 C． D．46．某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为（）A．B．C．D．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=12，a3•a5=4，则下列说法正确的是（）A．{a n}是单调递减数列B．{S n}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列8．执行如图的程序框图，则输入的n=8，则输出的S=（）A．B．C．D．9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．10．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．11．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为（）A．B．C．D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=，则f（5）=______．14．已知球O的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O的表面积为______．15．已知数列{a n}前n项和为S n，若S n=2a n﹣2n，则S n=______．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，∠C=60°，若D是边BC上一点且∠B=∠DAC，则AD=______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知（1）若，求tanx的值；（2）若函数，求f（x）的单调增区间．18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x 个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．19．如图，P为正方体ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2，E为PD中点（1）求证：PA⊥CE；（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．20．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．21．已知函数（1）当a=0时，记f（x）图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；（2）设函数（e为自然对数的底数），若对∀x＞0，f′（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．2019年安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x∈R|x2﹣3x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{x|0≤x≤3}B．{1，2}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）≤0，解得：0≤x≤3，即A={x|0≤x≤3}，∵B={0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：C．2．若i是虚数单位，复数的虚部为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的运算法则计算即可．【解答】解：复数===+i，∴复数的虚部为，故选：D．3．某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间[481，720]的人数为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】频率分布直方图．【分析】根据系统抽样的定义，求出对应的组距，再计算编号落在区间[481，720]的人数．【解答】解：900人中抽取样本容量为45的样本，则样本组距为：900÷45=20；则编号落在区间[481，720]的人数为÷20=12．故选：C．4．已知实数x，y满足，若z=2x﹣y的最小值为（）A．﹣6 B．1 C．3 D．6【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过A（﹣3，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣6．故选：A．5．已知不共线的两个向量满足，且，则=（）A．B．2 C． D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可由得到，从而对两边平方便可得到，这样便可得出的值．【解答】解：；∴；∴；∴．故选：B．6．某中学有3个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学均参加其中一个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由于每位同学参加各个社团的可能性相同，求出这两位同学同时参加同一个社团的概率，利用对立事件的概率即可求出结果．【解答】解：∵每位同学参加各个社团的可能性相同，∴这两位同学同时参加一个社团的概率为：P=3××=；那么这两位同学参加不同社团的概率为P′=1﹣P=1﹣=．故选：C．7．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2=12，a3•a5=4，则下列说法正确的是（）A．{a n}是单调递减数列B．{S n}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其前n项和公式、单调性即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2=12，a3•a5=4，∴a1q=12，=4，解得：，，∴a n=，或a n=﹣，S n=或S n=，S2n=．a2n=．因此数列{a2n}是单调递减数列．故选：C．8．执行如图的程序框图，则输入的n=8，则输出的S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当i=2时，满足进行循环的条件，S=，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，S=，i=4；当i=4时，满足进行循环的条件，S=，i=5；当i=5时，满足进行循环的条件，S=，i=6；当i=6时，满足进行循环的条件，S=，i=7；当i=7时，满足进行循环的条件，S=，i=8；当i=8时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为：，故选：B9．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（）A．B．C．±1 D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质可求出M的横坐标，带诶抛物线方程解出M的纵坐标，代入斜率公式计算斜率．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴x M=，代入抛物线方程解得y M=±p．∴k MF==．故选：D．10．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．14 B．C．22 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用三棱柱与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体的体积V=4+×2=14．故选：A．11．双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|=2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|=c+2，则P点的横坐标为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得圆O的方程，联立双曲线的方程，求得P的横坐标，再由双曲线的定义，和直角三角形的勾股定理，可得c，b，化简整理可得所求横坐标的值．【解答】解：坐标原点O为圆心，c为半径的圆的方程为x2+y2=c2，由，解得x2=，由|PF1|=c+2，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=c+2﹣2=c，在直角三角形PF1F2中，可得c2+（c+2）2=4c2，解得c=1+，由c2=a2+b2=1+b2，可得b2=3+2，可得P的横坐标为=．故选：A．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的实数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．【解答】解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）﹣2＜0可知：两边同乘以x得：2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0设：g（x）=x2f（x）﹣x2则g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）﹣2x＜0，恒成立：∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1即g（x）＜g（1）即x＞1；当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1综上可知：实数x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若函数f（x）=，则f（5）=1．【考点】函数的值．【分析】由函数f（x）=，将x=5代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f （5）=f （3）=f （1）=|12﹣2|=1，故答案为：1．14．已知球O 的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则球O 的表面积为 8π ． 【考点】球的体积和表面积． 【分析】圆柱底面直径为2，根据球O 的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，确定球的半径，进而可得球的表面积．【解答】解：由题意得，圆柱底面直径为2，球的半径为R ，由于球O 的内接圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的轴截面的对角线即为球的直径，即×2=2R ，∴R=∴球的表面积=4πR 2=8π，故答案为：8π．15．已知数列{a n }前n 项和为S n ，若S n =2a n ﹣2n ，则S n = n •2n ．【考点】数列的求和．【分析】由已知求出a 1=2，=，，从而得到a n =（n +1）•2n ﹣1，由此利用错位相减法能求出结果．【解答】解：∵数列{a n }前n 项和为S n ，， ∴n=1时，S 1=a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（）﹣（2a n ﹣1﹣2n ﹣1）， 整理，得： =2a n ﹣1﹣2n ﹣1， ∴﹣，∴=，，∴=1+（n ﹣1）×=，∴a n =（n +1）•2n ﹣1，∴S n =2×20+3×2+4×22+…+（n +1）•2n ﹣1，①∴2S n =2×2+3×22+4×23+…+（n +1）•2n ，②①﹣②，得：﹣S n =2+2+22+…+2n ﹣1﹣（n +1）•2n=2+﹣（n +1）•2n=2﹣2+2n ﹣（n +1）•2n=﹣n•2n．∴．故答案为：n•2n．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=1，c=2，∠C=60°，若D是边BC上一点且∠B=∠DAC，则AD=．【考点】解三角形．【分析】在△ABC中使用正弦定理解出B，得出sin∠ADC，在△ACD中使用正弦定理解出AD．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得，即，解得sinB=．∴cosB=．∴sin∠BAC=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．∵∠B=∠DAC，∴∠ADC=∠B+∠BAD=∠DAC+∠BAD=∠BAC．∴sin∠ADC=sin∠BAC=．在△ACD中，由正弦定理得，即，解得AD=．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知（1）若，求tanx的值；（2）若函数，求f（x）的单调增区间．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）根据平面向量的共线定理，列出方程求出tanx的值；（2）根据平面向量的数量积求出f（x），再利用正弦函数的单调性求出f（x）的单调增区间．【解答】解：（1）由∥得：sin（x﹣）﹣cosx=0，展开变形可得：sinx﹣cosx∴sinx=cosx，即tanx=；…（2）f（x）=•=sin（2x﹣）+，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z得：；又因为x∈[0，π]，所以x∈[0，π]时，f（x）的单调增区间为[0，]和[，π]．…18．某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x 个月）和市场占有率（y%）的几组相关对应数据；x 1 2 3 4 5y 0.02 0.05 0.1 0.15 0.18（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%（精确到月）附：．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据表中数据，计算、，求出和，写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果．【解答】解：（1）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.02+0.05+0.1+0.15+0.18）=0.1；∴==0.042，∴=0.1﹣0.042×3=﹣0.026，所以线性回归方程为；…（2）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.042个百分点；由，解得x≥13；预计上市13个月时，市场占有率能超过0.5%．…19．如图，P为正方体ABCD外一点，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2，E为PD中点（1）求证：PA⊥CE；（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】球的体积和表面积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取PA中点F，连接EF，BF，证明PA⊥平面EFBC，即可证明PA⊥CE；（2）求出侧面积与底面积，即可求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【解答】（1）证明：取PA中点F，连接EF，BF，则EF∥AD∥BC，即EF，BC共面因为PB⊥平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC且AB∩PB=B，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PA，由于PB=AB，所以BF⊥PA，又由于BC∩BF=B，所以PA⊥平面EFBC因为CE⊆平面EFBC，所以PA⊥CE…（2）解：设四棱锥P﹣ABCD的表面积为S，由于PB⊥平面ABCD，所以PB⊥CD，又CD⊥BC，PB∩BC=B所以CD⊥平面PAB，所以CD⊥PC，即△PCD为直角三角形，由（1）知BC⊥平面PAB，而AD∥BC，所以AD⊥平面PAB，故AD⊥PA，即△PAD也为直角三角形综上，…20．已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx+1与曲线C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为，求出a，b，c，由此能求出椭圆C的方程．（2）由，得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、导数性质，结合已知条件能求出△AOB面积的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，∵点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为，∴由条件得，所以椭圆C的方程…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（k2+4）x2+2kx﹣3=0，故①设△AOB的面积为S，由，知令k2+3=t，则t≥3，因此，，对函数，知因此函数在t∈[3，+∞）上单增，∴，∴，∴△AOB面积的取值范围j是（0，]．…21．已知函数（1）当a=0时，记f（x）图象上动点P处的切线斜率为k，求k的最小值；（2）设函数（e为自然对数的底数），若对∀x＞0，f′（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，得到k=x2﹣2x+1≥0，从而求出k的最小值即可；（2）设，得到函数的单调区间，得到g（x）≤g（1）=0，可得a≤0即可．【解答】解：（1）f'（x）=x2﹣（a+2）x+1设P（x，y），由于a=0，所以k=x2﹣2x+1≥0，即k min=0；（2）设，则，易知g（x）在（0，1）单调递增，（1，+∞）单调递减，所以g（x）≤g（1）=0，由条件知f'（1）≥g（1），可得a≤0当a≤0时，f'（x）=x2﹣（a+2）x+1=（x﹣1）2﹣ax≥（x﹣1）2≥0，∴f'（x）≥g（x）对∀x＞0成立，综上，a≤0．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．如图，PA为四边形ABCD外接圆的切线，CB的延长线交PA于点P，AC与BD相交于点M，PA∥BD（1）求证：∠ACB=∠ACD；（2）若PA=3，PC=6，AM=1，求AB的长．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理及平行线的性质，证明：∠ACB=∠ACD；（2）由切割线定理及△AMB～△ABC，求AB的长．【解答】（1）证明：∵PA为切线，∴∠PAB=∠ACB．∵PA∥BD，∴∠PAB=∠ABD=∠ACD，∴∠ACB=∠ACD…（2）解：已知PA=3，PC=6，AM=1，由切割线定理PA2=PB•PC得：，∵PA∥BD，得又知△AMB～△ABC，所以所以AB2=AM•AC=4，所以AB=2…23．在直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），在以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ+ρcosθ=m（1）若m=0，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在点P到直线l的距离为，求实数m的取值范围．【考点】摆线在刻画行星运动轨道中的作用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）求出曲线C的普通方程，直线的普通方程，利用圆的到直线的距离距离与半径比较，即可得到结果．（2）利用圆心到直线的距离与已知条件列出关系式，即可得到结果．【解答】解：（1）曲线（α为参数），曲线C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，是一个圆；圆心（1，1），半径为：．直线l：ρsinθ+ρcosθ=0，可得直线l的直角坐标方程为：x+y=0圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相切…（2）由已知可得：圆心C到直线lx+y=m的距离，解得﹣1≤m≤5…24．已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a（1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）根据绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，从而求出a的值即可；（2）求出f（x）的分段函数形式，从而求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|≥|4﹣a|=a，从而解得a=2…（2）由（1）知，f（x）=|x﹣4|+|x﹣2|=，综合函数y=f（x）的图象知，解集为…2019年9月16日。

2.若复数 z 满足 z - i = 1 - ，则 z = () 2 2 4 4.在 ∆ABC 中， BD = BC ，若 AB = a ，AC = b ，则 AD = ()A. a + bB. a + bC. a - bD. a - b则下列判断中不正确的是( )B. C.D.1 - 8.若将函数 f (x ) = 2sin ⎛ x + ⎪ - 1 的图象上各点横坐标缩短到原来的 2 (纵坐标不变 )得到函数 g (x ) 的图A.函数 g (x ) 的图象关于点 ⎛ - ，0 ⎪ 对称B.函数 g (x ) 的周期是C.函数 g (x ) 在 ⎛ 0，⎫⎪ 上单调递增 D.函数 g (x ) 在 ⎛ 0， ⎫⎪ 上最大值是 1 9.设函数 f (x ) = ⎨⎧⎪ ln x ， ⎪⎩e A. (1,+∞) B. ⎛ - ,0 ⎪C. (1,+∞) {0}D. (0，1] 合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学试题(文科)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A = {x 0 < x < 4}， B = {x - 4 < x ≤ 2}，则 A B = ( ) A. (0，4 )B. (-4， ]C. (0， ]D. (-4， )1 iA.1B. 3C.2D. 53.若双曲线 x 2 - y 2m 2= 1 ( m > 0 )的焦点到渐近线的距离是 2 ，则 m 的值是( )A. 2B. 2C.1D. 41 32 1 1 2 1 22 1333 333335.下表是某电器销售公司 2018 年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：空调类 冰箱类 小家电类 其它类营业收入占比净利润占比90.10%95.80%4.98%-0.48%3.82%3.82% 1.10%0.86%．．．A.该公司 2018 年度冰箱类电器销售亏损B.该公司 2018 年度小家电类电器营业收入和净利润相同C.该公司 2018 年度净利润主要由空调类电器销售提供D.剔除冰箱类销售数据后，该公司 2018 年度空调类电器销售净利润占比将会降低 6.若在 x 2 + y 2 ≤ 1 所围区域内随机取一点，则该点落在 x + y ≤ 1 所围区域内的概率是()A. 1 2 1 1 π π 2π π7.我国古代名著《张丘建算经》中记载：“今有方锥下广二丈，高三丈，欲斩末为方亭；令上方六尺；问 亭方几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈；现从上面截去一段，使之成为正四 棱台状方亭，且正四棱台的上底边长为六尺，则该正四棱台的体积是(注：1 丈 = 10 尺) ( ) A.1946 立方尺 B.3892 立方尺 C.7784 立方尺 D.11676 立方尺 π⎫ 1 ⎝6 ⎭象，则下列说法正确的是( )π ⎫ ⎝ 12 ⎭π2π π ⎝6 ⎭ ⎝ 6 ⎭x > 0x (x + 1)，x ≤ 0，若函数 g ( x ) = f (x )- b 有三个零点，则实数 b 的取值范围是( )1 ⎫ ⎝ e2 ⎭10.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图， 其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为( ) A. 17π + 12 B.12π + 12 C. 20π +12 D.16π + 1211.函数 f (x ) = x 2 + x sin x 的图象大致为()，则sin⎛ -2x⎪=.⎪=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，P为椭圆C上一点，且∠F PF=，若3在∆ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b sin⎛ C-⎪-c sin B=0.12.在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为()A.23B.3C.23D.433二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是.14.设等差数列{a}的前n项和为S，若3a-a=10，则S=.n n511315.若sin⎛x+⎝π⎫3π⎫=6⎭3⎝6⎭16.已知椭圆C:x2y2+a2b21212πF关于∠F PF平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为.112三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)π⎫⎝3⎭(Ⅰ)求角C的值；(Ⅱ)若a=4，c=27，求∆ABC的面积.18.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC-EFG的底面是正三角形，平面ABC⊥平面BCGF，CB=2GF，BF=CF.(Ⅰ)求证：AB⊥CG；(Ⅱ)若∆ABC和梯形BCGF的面积都等于3，求三棱锥G-ABE的体积.19.(本小题满分12分)∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x )2 ∑ ( y - y )2， ∑ (x - x )2 = 10 ， ∑ (y - y )2 = 1.3 ，∑ (x - x )(y - y )ˆ ，a ˆ = y - bx. ˆ n为了了解 A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份 x 2014 2015 2016 20172018足球特色学校 y (百个)0.30 0.60 1.00 1.401.70(Ⅰ)根据上表数据，计算 y 与 x 的相关系数 r ，并说明 y 与x 的线性相关性强弱(已知：0.75 ≤ r ≤ 1 ，则认为 y 与x 线性相关性很强；0.3 ≤ r < 0.75 ，则认为 y 与x 线性相关性一般；r ≤ 0.25 ， 则认为 y 与x 线性相关性较弱)；(Ⅱ)求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测 A 地区 2019 年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式： r =n ni =1n i =1i i i ii =1n n i ii =1 i =113 ≈ 3.6056 ， b= ni =1i i∑ (x - x )2ii =120.(本小题满分 12 分)已知直线 l : x - y + 1 = 0 与焦点为 F 的抛物线 C : y 2 = 2 px ( p > 0 )相切. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程；(Ⅱ)过点 F 的直线 m 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，求 A ， B 两点到直线 l 的距离之和的最小值.21.(本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨ ( θ 为参数).在以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴y = sin θ ⎩ (文已知函数 f (x ) = x 2 - 3ax + a 2 ln x ( a ∈ R ). (Ⅰ)求 f (x ) 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的 x ≥ e 2( e 为自然对数的底数)， f (x ) ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计 分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4：坐标系与参数方程⎧ x = 2cos θ 1建立极坐标系，曲线 C 极坐标方程为 ρ 2 = 4ρ sin θ - 3 .2(Ⅰ)写出曲线 C 和 C 的直角坐标方程；1 2(Ⅱ)若 P ，Q 分别为曲线 C 和 C 上的动点，求 PQ 的最大值.1223.(本小题满分 10 分)选修 4-5：不等式选讲 已知 f (x ) = 3x + 2 . (Ⅰ)求 f (x ) ≤ 1 的解集；(Ⅱ)若 f (x 2)≥ a x 恒成立，求实数 a 的最大值.合肥市2019 届高三第二次教学质量检测数学试题 科)12 54 5 13.m > 2 14.6515. 16. 解: (Ⅰ)∵b sin ⎛ C - ⎪ - c sin B = 0 ，∴sin B sin C - ⎝ 2cos C ⎪⎪ - sin C sin B = 0 ， ∴ sin C + cos C = 0 ，∴sin C + ⎪ =0 .∵C ∈ (0，π )，∴C = .………………………5…分∴ S = ab s in C = ⨯ 2 ⨯ 4 ⨯ = 2 3 .………………………1…2 分平 =CG 5 CB 2 2 (1 + 2)⋅ C G 2 参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，共60 分.题号1 2 3 4 5 6 答案 C D A A B B 7 B 8 C 9 D 10 C 11 A 12 D二、填空题：本大题共小题，每小题 分，共20 分.三、解答题：17.(本小题满分12 分)π⎫ ⎝3 ⎭1 333⎛ 13 2⎫ ⎭1 3 ⎛ π⎫ 22⎝3 ⎭2π 3(Ⅱ)∵c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C ，∴b 2 + 4b - 12 = 0 ， ∵b > 0 ，∴b = 2 ，1 1 3 22218.(本小题满分12 分)(Ⅰ)证明：取 BC 的中点为D ，连结DF . 由 ABC - EFG 是三棱台得， 面ABC // 平面EFG ，∴ BC // FG . ∵CB = 2GF ，∴CD //GF ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴ // DF .∵ BF = CF ， D 为 BC 的中点， ∴ DF ⊥ BC ，∴CG ⊥ BC .∵平面ABC ⊥ 平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂ 平面BCGF ， ∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂ 平面ABC ， ∴CG ⊥ AB . …………………………分 (Ⅱ)∵三棱台ABC -EFG 的底面是正三角形，且 = 2GF ，∴ AC = 2EG ，∴S ∆ACG = 2S∆AEG， ∴VG - ABE= V B - AEG 1 1= V = VB - ACG G - ABC .由(Ⅰ)知，CG ⊥ 平面ABC .∵正∆ABC 的面积等于 3 ，∴BC = 2 ，GF = 1 . ∵直角梯形BCGF 的面积等于 3 ， ∴ = 3 ，∴CG = 3 ，2 3⋅ C G = .………………………1…2 分2 G - ABC 23 3∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x ) ∑ (y 2 n- y )2. 5 ∑ (x - x )(y - y ) ∑ (x - x )2ˆ a ˆ = y - bx = 1 - 2016 ⨯ 0.36 = -724.76 ， y ˆ ˆ = 12 l ⎧ 5 0 m ⎧ ( l l d l d 2= 2 2 t 2 - t + 1 = 2 2 t - ⎪ 2 + ， 2 x - ⎪ (x - a )f ' (x ) = 2x - 3a + = = ⎝ . ⑵当a > 0 时，由f ' (x ) > 0 解得x ∈ ⎛ 0， ⎫⎪ (a ，+ ∞ )，由 f ' (x ) < 0 解得x ∈ ⎛ a ，a ⎫⎪ .∴ f (x ) 的单调递增区间为0， ⎫⎪ 和(a ，+ ∞ )，单调递减区间是 ，a ⎫⎪ .⎝2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 时，可使A 、 B 两点到直线l 的距离之和最小，距离的最小值为 12 ( ( 5∴VG - ABE 1 1 1 1 = V = ⋅ ⋅ S∆ABC19.(本小题满分12 分)解：(Ⅰ) x = 2016，y = 1 ， r =n n i =1i ii i=3.6 10 1.3 =3.63.6056> 0.75 ， i =1i =1∴ y 与x 线性相关性很强…………………………分(Ⅱ) b = 5i =1i i5i=(-2)⨯ (-0.7 )+ (-1)⨯ (-0.4)+ 1⨯ 0.4 + 2 ⨯ 0.7 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 0.36 ， i =1ˆ∴ y 关于x 的线性回归方程是 = 0.36 x - 724.76 .当 x = 2019 时，y = 0.36 x -724.76 2.08，即 A 地区2019年足球特色学校有208 个. ………………………… 分20.(本小题满分12 分) 解：(Ⅰ)∵直线 : x - y + 1 = 0 与抛物线C 相切.由 ⎨ x - y + 1 = 0 消去x 得，y 2 - 2py + 2p = 0 ，从而∆ = 4 p 2 - 8 p = 0 ，解得p = 2 . ⎩ y 2 = 2 px∴抛物线C 的方程为y 2 = 4 x . …………………………分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为 ，所以可设直线 的方程为ty = x - 1 ， A ( x ，y )， B ( x ，y ).1 12 2由 ⎨ty = x - 1 消去x 得，y 2 - 4ty - 4 = 0 ， ⎩ y 2 = 4 x∴ y + y = 4t ，从而x + x = 4t 2 + 2 ，1 2 1 2∴线段AB 的中点M 的坐标为2t 2 + 1，2t ). 设点A 到直线 的距离为d ，点B 到直线 的距离为 ，点M 到直线 的距离为 ，则ABd + d = 2d = 2 ⋅ 2t 2 - 2t + 2 A B ⎛ 1 ⎫ 3 ⎝ 2 ⎭ 4∴当t = 1 3 2.2 2………………………… 分21.(本小题满分12 分)解：(Ⅰ) f (x ) 的定义域为 0，+∞ ).⎛ a ⎫ a 2 2x 2 - 3ax + a 2 2 ⎭x x x⑴当a ≤ 0 时， f ' (x ) > 0 恒成立，f (x ) 的单调递增区间为0，+∞ )，无单调递减区间；a ⎝2 ⎭⎝ 2⎭⎛ a ⎛ a …………………………分(Ⅱ)②当a > 0 时，由(Ⅰ)知， f (x ) 在 ⎛ 0， ⎫⎪ 和(a ，+ ∞ )上单调递增，在⎛ ，a ⎫⎪ 上单调递减. ，即 a ≥ 2e 2 时，f (x ) 在 ⎡⎢e 2， ⎪⎫ 上单调递增， ⎡⎢ ，a ⎫⎪ 上单调递减， (a ，+ ∞ )上单调递增. (ⅰ)若0 < e 2 ≤ 在 在 (ⅱ)若 < e 2 ≤ a 时， f (x ) 在 ⎡⎣e 2，a )上单调递减，在[a ，+ ∞ ) 上单调递增. ∴0 < a ≤ 符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是-∞， ⎥ ⎡⎣e 2，+ ∞ ) . ………………………1…2 分 2 解：(Ⅰ)曲线C 的直角坐标方程为 + y 2 = 1 ，4 .x . x f a .⎣ + . x x 5 ( 当sin θ = - 时， PQ10 所以，f (x ) ≤ 1 的解集为⎡⎢-1，- ⎤⎥ .当 x ≠ 0 时，a ≤ .3. 5 ≥ 2 6 (当且仅当3 x = ，即 x =时等号成立)，2 10 ①当a ≤ 0 时， f ' (x ) > 0 恒成立，f (x ) 在( 0，+∞ )上单调递增， ∴ f ( x ) ≥ f (e 2 )= e 4 - 3ae 2 + 2a 2 ≥ 0 恒成立，符合题意a a ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭a a a 2 ⎣ 2 ⎭ ⎣ 2 ⎭∴对任意的实数 ≥ e 2 ， f (x ) ≥ 0 恒成立，只需 f (e 2 )≥ 0 ，且 f (a ) ≥ 0 .而当a ≥ 2e 2 时，f (e 2 )= 2a 2 - 3ae 2 + e 4 = (2a - e 2 )(a - e 2 ) ≥ 0 且 f (a ) = a 2 - 3a 2 + a 2 ln a = a 2 (ln a - 2) ≥ 0 成立.∴ a ≥ 2e 2 符合题意 a 2∴对任意的实数 ≥ e 2 ， f (x ) ≥ 0 恒成立，只需 (a ) ≥ 0 即可， 此时 f (a ) =a 2 - 3 2 +a 2 ln a =a 2 (ln a -2) ≥0 成立， ∴e 2 ≤ a < 2e 2 符合题意 (ⅲ)若e 2 > a ， f (x ) 在 ⎡e 2， ∞)上单调递增 ∴对任意的实数 ≥ e 2 ， f (x ) ≥ 0 恒成立，只需 f (e 2 )= e 4 - 3ae 2 + 2a 2 ≥ 0 ，即 f (e 2 )= e 4 - 3ae 2 + 2a 2 = (2a - e 2 )(a - e 2 )≥ 0 ， e 2 2⎛ e 2 ⎤ ⎝⎦22.(本小题满分10 分)x 2 1曲线C 的直角坐标方程为2 + y 2 = 4 y - 3 ，即x 2 + (y - 2)2 = 1 .…………………………分2(Ⅱ)设 P 点的坐标为2cos θ，sin θ ). PQ ≤ PC + 1 = 4cos 2 θ + (sin θ - 2 )2 + 1 = -3sin 2 θ - 4sin θ + 8 + 122 3max= 2 21 3+ 1 . ………………………… 分23.(本小题满分10 分)解：(Ⅰ)由 f (x ) ≤ 1 得，|3 x +2| ≤1 ， 所以，-1≤ 3 x + 2 ≤ 1 ，解得-1≤ x ≤ - 1 ，31 ⎣3 ⎦(Ⅱ) f (x 2 )≥ a x 恒成立，即 x 2 + 2 ≥ a x 恒成立当 x = 0 时，a ∈ R ；3x 2 + 2 2 = 3 x + x x…………………………分因为3 x + 2 2 6x x 3所以a ≤ 2 6 ，即a 的最大值是 6 .………………………… 分。

2020年安徽省合肥市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−1,0，1，2，3，4}，B ={y|y =x 2,x ∈A}，则A ∩B =( )A. {0,1，2}B. {0,1，4}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，1，4}2. 复数z 满足(1+i)z =√2(i 为虚数单位)，则|z|=( )A. 1B. √2C. 2D. 2√23. 设变量x,y 满足约束条件{x +y −3⩽0x −y +1⩾0y ⩾1，则目标函数z =2x +y 的最小值为( )A. −2B. 1C. 4D. 54. 在等差数列{a n }中，a 2=5，a 6=17，则a 14等于( )A. 45B. 41C. 39D. 375. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是BN 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( )A. 911B. 511C. 311D. 2116. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )A. 2，0B. 2，π4C. 2，−π3D. 2，π67. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)，则g(−1)=( )A. 32B. 2C. 52D. 48.已知log2(a+4b)=2log2(2√ab)，则a+b的最小值是()A. 2B. √2+1C. 94D. 529.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)且a<b，则不等式log a x+log b(2x−1)>0的解集为()A. (1,+∞)B. (0,1)C. (12,+∞) D. (12,1)10.已知点F1，F2是椭圆C：x24+y2=1的焦点，点M在椭圆C上且满足|MF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，则△MF1F2的面积为()A. √33B. √32C. 1D. 211.从甲、乙、丙、丁四个人中随机选取两人，则甲、乙二人中有且只有一人被选中的概率为()A. 16B. 13C. 12D. 2312.如图为一个圆柱中挖去两个相同的圆锥而形成的几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 13πB. 23πC. 43πD. 53π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知e为自然对数的底数，则曲线y=e x在点(1,e)处的切线方程为_______．14.已知数列{a n}满足a n+1=3a n+2，若首项a1=2，则数列{a n}的前n项和S n=______．15.已知双曲线C:x2−y24=1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一点，点N(0,3)，则周长的最小值为____．16.已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，则直线BD1与平面BCC1B1所成角的正弦值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.如图①，平面五边形ABCDE中，连接BE，AB=AE=√2，BA⊥AE，BC⊥CD，BE//CD，BE=2BC=2CD.以BE为折痕把△ABE折起，使得点A到达点P的位置，得到四棱锥P−BCDE，如图②，且平面PBE⊥平面BCDE，M为棱PE的中点．(1)证明：MD//平面PBC．(2)求三棱锥M−PCD的体积．19.已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点M(3,m)在抛物线E上，且|MF|=4．(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(−1,0)，过焦点F的直线AB交抛物线E于点A，B，证明：存在以F为圆心的圆同时与直线AG，BG相切．20.在对人们休闲方式的一次调查中，并调查120人，其中女性70人，男性50人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式,其中n=a+b+c+d为是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动。

合肥市2022年高三第二次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.1-15.1478 16.2三、解答题：17.(本小题满分12分) (1)由题意得，()()10160.10.9988160.3iitty y r --=≈≈∑. 相关系数0.9988r ≈，说明y 与t 的线性相关性很高，所以，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系. ………………………5分 (2)由 5.5t =，()1021=82.5i i t t =-∑，160.1ˆ 1.9482.5b=≈得，ˆˆ15.5 1.94 5.5 4.83ay b t =-⋅=-⨯=， 所以 1.94 4.83y t =+. 当12t =时， 1.9412 4.8328.11y =⨯+=.据此可以预测，2022年我国私人汽车拥有量将达到28.11千万辆. ………………………12分18.(本小题满分12分) 解：(1)若选①：∵sin 6a C π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是b c ，2的等差中项，∴2sin 26a C b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即cos sin 20a C C b c+--=.由正弦定理得sin cos sin sin 2sin 0A C A C BC --=， 即()sin cos sin sin 2sin A C A C A CC -+-sin cos sin sin cos cos sin 2sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin 2sin 0A C A C C --=，注意到sin 0C ≠cos 20A A --=，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∵()0A π∈，，∴5666A πππ-<-<，∴62A ππ-=，即23A π=.………………………5分若选②：由题设及正弦定理得sin cossin sin 2B CB A B +=. ∵0A π<<，sin 0B ≠，∴cos sin 2B CA +=①. ∵ABC π++=，∴cos sin 22B C A+=，∴①可化为sin 2sin cos 222A A A =.∵022A π<<，sin 02A≠，∴1cos 22A =，23A π=，∴23A π=.…………………………5分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B B C C ADCDCB(2)∵AE 是ABC ∆的角平分线，∴3BAE CAE π∠=∠=.∵ABC BAE CAE S S S ∆∆∆=+，即111sin sin sin 222bc BAC c AE BAE b AE CAE ∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠，即1211sinsin sin 232323bc c AE b AE πππ=⋅⋅+⋅⋅，∴326c c =+，6c =，∴121sin3623222ABC S bc π∆==⨯⨯⨯=. ……………………………………12分 19.(本小题满分12分) (1)证明:∵3PMB π∠=，PM BM =，∴PMB ∆为等边三角形，∴PB PM PC BM BC =====2CM =. 取CM 的中点O ，连结BO PO ，PO CM ⊥.又∵2CBM CPM π∠=∠=，∴112BO PO CM ===，∴222BO PO PB +=，∴PO BO ⊥.∵CM BO ⊂，平面AMCD ，CM BO O = ，∴PO ⊥平面AMCD .又∵PO ⊂平面PMC ，∴平面PMC ⊥平面AMCD .………………………5分 (2)由(1)知，PO ⊥平面AMCD ，且1PO =. 连结DO DM ，，则DM CM ⊥，且2DM =，∴DO ==，PD ==.∵12PM AB =，∴2BPA π∠=.∵PA ==，∴12PAD S ∆==. 设点M 到平面PAD 的距离为d ，则P MAD M PAD V V --=，即11113232d ⋅=⋅⋅，解得d =，∴点M 到平面PAD . ………………………12分 20.(本小题满分12分)解：(1)()2cos f x x a x '=-.设()2cos g x a x x =-，则()2sin g x a x '=+.∵函数()g x 是区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的增函数， ∴()s 02in x a x g '=+≥在区间0 2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立. 若0x =，则()20g x '=≥恒成立，此时a R ∈；若0,2x π⎛∈⎤⎥⎝⎦，此时0sin 1x <≤，∴()s 02in x a x g '=+≥恒成立，即2sin a x ≥-恒成立.∴2a ≥-. 综合上述得，a 的取值范围是[)2-+∞，. …………………………5分 (2)当2a =时，()()22sin 10f x x x x π=--∈，，，则()22cos f x x x '=-.∴()f x '在区间()0 π，上单调递增.∵06622f ππ⎛⎛⎫-< ⎪ ⎝⎭⎝⎭'=，20022f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=， ∴存在0 62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得()00f x '=. 当()00x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0x x π∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增.注意到()001f =-<，()201f ππ=->， ∴函数()f x 在区间()0 π，上有且仅有一个零点. …………………………12分21.(本小题满分12分)解：(1)设椭圆C 的半焦距为c .由椭圆的几何性质可知，当点M 位于椭圆短轴端点时，FAM ∆的面积取得最大值，此时()12FAM S a c b ∆=+，即()1=2a c b+，∴()a c b +=由离心率12c a =得2a c =.∴b =，解得12c a b ===，，，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………………………5分(2)设()11M x y ，，()22N x y ，.由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234880.k x kx ++-=∵点(0，1)在此椭圆C 的内部，∴0∆>，121222884343k x x x x k k +=-=-++，， ∴()212122286224343k y y k x x k k +=++=-+=++， ∴点P 的坐标为2243 4343k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，.当0k ≠时，直线OP 的斜率为34k -，∴直线OP 的方程为34y x k =-，即43kx y =-.将直线OP 的方程代入椭圆C 的方程得，22943D y k =+，2221643D k x k =+. 设点Q 43k y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，由2OP OQ OD ⋅= 得22222443169343434343k kk y y k k k k ⎛⎫-⋅-+⋅=+ ⎪++++⎝⎭.化简得()222216916943343k k y k k ++⋅=++，即3y =，∴点Q 在直线3y =上. 当直线l 的斜率0k =时，此时()01P ，，(0D . 由2OP OQ OD ⋅= 得()03Q ，，也满足条件. 综上所述，点Q 在直线3y =上. ………………………12分22.(本小题满分10分)解：(1)由11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)得2x y +=，∴直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=. 由2cos 2a ρθ=得2cos 2a ρθ=，∴()2222222cos sin cos sin a a ρθθρθρθ-=-=，， ∴22x y a -=，∴曲线C 的直角坐标方程为22x y a -=.……………………………5分(2)直线l 的极坐标方程为cos +sin 2ρθρθ=，将=4πθ代入直线l的极坐标方程得ρ=，∴点M 的极坐标为4π⎫⎪⎭，. 将6πθ=代入曲线C 的极坐标方程2cos 2aρθ=得12ρρ==∴12AB ρρ=-=.∵AM BM ⊥，且O 为线段AB 的中点，∴12OM AB ===，∴1a =.………………………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(1)依题意得，()34 221221341.x x f x x x x x x x --≤-⎧⎪=+++=--<<-⎨⎪+≥-⎩，，，，， 当且仅当1x =-时，()f x 取得最小值1，即()f x 的最小值1m =.………………………5分(2)由(1)知，abc ==，∴()2224a b c ab c ≥+++(当且仅当a b =时等号成立).∴22422ab c ab ab c +=++6≥===， 当且仅当22ab c =，即1a b c ===，时等号成立，∴()22a b c ++的最小值为6. …………………………10分。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项1．答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位．2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草纸上答题元效．第I 卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}82,7,5,3,1>==x x B A ，则B A I =（ ） A ．{}1 B ．{}31， C ．{}7,5 D ．{}7,5,3 2．欧拉公式θθθsin cos i e i +=把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数θcos 和θsin 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z 满足i z i ei =⋅+)(π，则z =（ ） A ．1 B ．22 C ．23 D ．2 3．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤-+032304042y x y x y x ，则y x z -=2的最小值是（ ）A ．16B ．7C ．4-D ．-54.已知数列{}n a 是等差数列，若39,252==S a ，则=7a （ ）A.18B.17C.15D.145.在平行四边形ABCD 中，若AE EC DE ,=交BD 于F 点，则AF =（ ） A.AD AB 3132+ B.AD AB 3132- C.AD AB 3231- D.AD AB 3231+ 6.函数)20,0,0)(sin()(πϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A ．函数)(x f 的图象可由x A y ωsin =的图像向左平移6π个单位得到 B ．函数)(x f 的图象关于直线3π=x 对称 C ．函数)(x f 在区间]3,3[ππ-上是单调递增 D ．函数)(x f 图象的对称中心为))(0,122(Z k k ∈-ππ 7．若函数42)()(x x f x F -=是奇函数，x x f x G )21()()(+=为偶函数，则)1(-f =（ ） A ．25- B ．45- C ．45 D ．25 8．《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱青），将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b ，宽为内接正接正方形的边长d ，由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列推理正确的是（ ）。

合肥市2020年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）第Ⅰ卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}{1,3,5,7},|28==>xA B x ，则A B =I ( ) A. {1} B. {1,3}C. {5,7}D. {3,5,7}【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{1，3，5，7}， B ＝{x |2x ＞8}＝{x |x ＞3}， ∴A ∩B ＝{5，7}． 故选：C ．【点睛】本题考查集合的基本运算，考查指数不等式、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，若复数z 满足()i i i e z π+⋅=，则z =（ ）A. 1B.2【答案】B 【解析】 【分析】由新定义化为复数的代数形式，然后由复数的除法运算求出z 后再求模． 【详解】由题意(1)cos sin 1(1)(1)i i i i i i z e ii i i i i πππ--====+++-+-+--111222i i -+==-，∴2z ==． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的新定义，考查复数的除法运算和求复数的模，解题关键是由新定义化i e π为代数形式，然后求解．3.若实数x ，y 满足约束条件240403230x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 5-B. 4-C. 7D. 16【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图射线BA ，线段BC ，射线CD 围成的阴影部分（含边界），作直线:20l x y -=，向上平移直线l 时2z x y =-减小，∴当l 过点(0,4)B 时，2z x y =-取得最小值－4． 故选：B ．【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，注意本题中可行域不是多边形内部，而是一个开放性区域．4.已知数列{}n a 是等差数列，若622,39==a S ，则7a =( ) A. 18 B. 17C. 15D. 14【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 7． 【详解】∵数列{a n }是等差数列，a 2＝2，S 6＝39，∴112656392a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得a 1＝﹣1，d ＝3， ∴a 7＝﹣1+6×3＝17． 故选：B ．【点睛】本题考查数列的某项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.在平行四边形ABCD 中，若,=u u u ru u u rDE EC AE 交BD 于F 点，则AF =u u u r( )A. 2133AB AD +u u ur u u u rB. 2133AB AD -u u ur u u u rC. 1323AB AD -u u ur u u u rD. 1233AB AD +u u ur u u u r【答案】D 【解析】 【分析】根据题意知，点E 为CD 的中点，并设AF AE λ=u u u r u u u r，根据向量加法、数乘的几何意义及向量的数乘运算即可得出2AF AB AD λλ=+u u u r u u u r u u u r ，而根据三点B ，F ，D 共线即可得出λ的值，从而用AB AD u u u r u u u r ，表示出AF u u u r ．【详解】如图，∵DE EC =u u u r u u u r，∴E 为CD 的中点，设11222AF AE AB BC CD AB AD AB AB AD λλλλλ⎛⎫⎛⎫==++=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ，且B ，F ，D 三点共线，∴12λλ+=，解得23λ=， ∴1233AF AB AD =+u u u r u u u r u u u r ．故选：D ．【点睛】本题考查了向量加法和数乘的几何意义，相等向量和相反向量的定义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．6.函数()sin()0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A. 函数()f x 的图象可由sin y A x ω=的图象向左平移6π个单位得到 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C. 函数()f x 在区间,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是单调递增的 D. 函数()f x 图象的对称中心为,0()212k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项. 【详解】由图象可知A ＝2，f （0）＝1， ∵f （0）＝2sinφ＝1，且02πϕ＜＜，∴6π=ϕ， ∴f （x ）＝2sin （ωx 6π+），∵f （512π）＝0且为单调递减时的零点， ∴52126k ππωππ⋅+=+，k ∈Z ， ∴2425kω=+，k ∈Z ，由图象知25212T ππω=⨯＞， ∴ω125＜，又∵ω＞0， ∴ω＝2，∴f （x ）＝2sin （2x 6π+）， ∵函数f （x ）的图象可由y ＝A sinωx 的图象向左平移12π个单位得，∴A 错， 令2x 62k πππ+=+，k ∈Z ，对称轴为x 62k ππ=+，则B 错， 令2x ,622k k πππππ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦,则x ,3262k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦，则C 错， 令2x 6π+=k π，k ∈Z ，则x ＝212k ππ-，则D 对， 故选：D ．【点睛】本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．7.若函数4()()2=-F x f x x 是奇函数，1()()2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭xG x f x 为偶函数，则(1)f -=( ) A. 52-B. 54-C.54D.52【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可得f （1）+f （﹣1）＝4，及()()3112f f --=，两式联立即可求得f （﹣1）． 【详解】∵函数F （x ）＝f （x ）﹣2x 4是奇函数，∴F （1）+F （﹣1）＝0，即f （1）﹣2+f （﹣1）﹣2＝0，则f （1）+f （﹣1）＝4①， ∵()()1()2xG x f x =+为偶函数，∴G （1）＝G （﹣1），即()()11122f f +=-+，则()()3112f f --=②， 由①②解得，()3452124f --==． 故选：C ．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f （1），f （﹣1）的方程组是解题关键，属于基础题．8.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为+a b ，宽为内接正方形的边长d ．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF BC ⊥于点F ，则下列推理正确的是（ ）①由图1和图2面积相等得abd a b=+； ②由AE AF ≥2222a b a b++； ③由AD AE ≥222112a b a b+≥+； ④由AD AF ≥可得222a b ab +≥． A. ①②③④ B. ①②④C. ②③④D. ①③【答案】A【解析】 【分析】根据图形进行计算．【详解】①由面积相等得()ab a b d =+，abd a b=+，正确； ②在图3中，由三角形面积得AF =，又AE a b==+， 由AE AF ≥得a b ≥+2a b +≥，正确；③AD =AD AE ≥a b≥+2211ab a b a b=++，正确； ④由由AD AF ≥≥222a b ab +≥，正确． 四个推理都正确． 故选：A ．【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．9.已知函数22log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()(1)f x f x <+的解集为( )A. (1,)-+∞B. (1,1)-C. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D. 1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的单调性，分类讨论求得x 的范围． 【详解】∵函数()22111log x x f x x x ⎧=⎨-≤⎩，＞，，则f （x ）＜f （x +1）， ∴当x ≤0时，则x +1≤1，则不等式f （x ）＜f （x +1），即x 2﹣1＜（x +1）2﹣1，求得12-＜x ≤0． 当0<x ≤1时，则x +1>1，则不等式f （x ）＜f （x +1）， 此时f （x ）=x 2﹣1＜0＜f （x +1）=log 2（x +1），∴0<x ≤1成立．当x ＞1时，不等式f （x ）＜f （x +1），即 log 2x ＜log 2（x +1），求得x ＞1． 综上可得，不等式的解集为（12-，+∞）， 故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数与不等式的综合，涉及到二次函数、对数函数的单调性及值域的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题．10.记1F ，2F 为椭圆22:1x C y m+=的两个焦点，若C 上存在点M 满足120MF MF ⋅=u u u r u u u r ，则实数m 取值范围是( ) A. 10,[2,)2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦B. 1,1[2,)2⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,(1,2]2⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦D. 1,1(1,2]2⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】椭圆上的点M 与焦点构成的角中，当点在短轴的顶点时角∠F 1MF 2最大，分焦点在x ，y 轴两种情况讨论可得实数m 的范围．【详解】当焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝1，m ＞1， 由对称性可知当M 为上下顶点时，∠F 1MF 2最大，因为120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，∴∠F 1MF 22π≥，∠F 1MO 4π≥， 所以tan ∠F 1MO 4c tan b π=≥=1，即11m -≥1，解得m ≥2； 当焦点在y 轴上时，a 2＝1，b 2＝m ，0＜m ＜1，当M 为左右顶点时，∠F 1MF 2最大，因为120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，∠F 1MF 22π≥，∠F 1MO 4π≥， 所以tan ∠F 1MO 4c tan b π=≥=11m m-≥1，解得0＜m 12≤， 故选：A ．【点睛】本题考查椭圆上的点于焦点构成的角当为短轴的顶点时角最大的性质，属于中档题．11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着,,A B C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶.经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择,,A B C 三个项目的意向如下： 扶贫项目 ABC贫困户 甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为( ) A. 38B.58C.516D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【详解】由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以． 由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法．（3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有()21122310A C C +=种方法．故基本事件共有2+4+10＝16种． 甲乙选同一种项目的共有2+4＝6种． 故甲乙选同一项目的概率P 63168==． 故选：A ．【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题，12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为6，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）A. 24πB. (1833+πC. 21πD. (1842+π【答案】D 【解析】 【分析】设设圆柱高为x (06)x <<，求圆柱底面半径，从而用x 表示出圆柱体积，由导数知识求得最大值，此时该几何体体积最小，再求其表面积即可． 【详解】设圆柱高为x (06)x <<，则圆柱底面半径为26r x =-，圆柱体积为223(6)(6)V r x x x x x πππ==-=-，2(63)V x π'=-，由0V '=得2x =2-舍去），当2)x ∈时，0V '>，函数3(6)V x x π=-递增，2,6)x ∈时，0V '<，函数3(6)V x x π=-递减，∴2x =3max [62(2)]42V ππ==，262r x =-=，圆柱体积最大时，此几何体体积最小．22222(18S ππππ=⨯+⨯⨯=+全．故选：D ．【点睛】本题考查几何体的体积与表面积，考查导数在体积最值中的应用．解题关键是用圆柱的高x 表示出圆柱的体积，由圆柱体积的最大值得几何体体积的最小值．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.曲线2()=-x f x ex e （e 是自然对数的底数）在1x =处的切线方程为_______. 【答案】y ＝ex ﹣e 【解析】 【分析】分别求出切点坐标和切点处的导数值，然后代入点斜式求切线方程． 【详解】∵f ′（x ）＝2ex ﹣e x ， ∴k ＝f ′（1）＝e ，又f （1）＝0 故切线方程为y ＝e （x ﹣1）， 即y ＝ex ﹣e ． 故答案为：y ＝ex ﹣e ．【点睛】本题考查了利用导数求切线方程的方法，要注意计算的准确性．属于基础题．14.已知数列{}n a 的首项为11,2+-⋅=-nn n a a ，则数列{}n a 的前10项之和等于_________.【答案】31 【解析】 【分析】将12nn n a a +⋅=-中的n 换为n ﹣1，n ≥2，n ∈N *，两式相除可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，求得a 2，计算可得所求和．【详解】数列{a n }的首项为﹣1，12nn n a a +⋅=-，可得a n ﹣1a n ＝﹣2n ﹣1，n ≥2，n ∈N *，相除可得11n n a a +-=2， 可得数列的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，由a 2＝2，可得前10项之和为（﹣1﹣2﹣4﹣8﹣16）+（2+4+8+16+32）＝32﹣1＝31． 故答案为：31．【点睛】本题考查数列递推式的运用，等比数列的定义和通项公式，考查运算能力，属于基础题．15.已知双曲线22:12x C y -=的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上的一个动点，则BPF △周长的最小值等于____________. 【答案】422+ 【解析】 【分析】先由双曲线的几何性质写出B 和F 的坐标，并求得|BF |的长，然后设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a ，而△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+2a +（|PE |+|PB |），求出|PE |+|PB |的最小值即可得△BPF 周长的最小值，当且仅当B 、P 、E 三点共线时，可得解．【详解】∵双曲线2212x C y -=：，∴F)3，，如图所示，不妨设B 为x 轴上方的虚轴端点，则B （0，1），|BF |＝2，设双曲线的左焦点为E ，由双曲线的定义可知，|PF |﹣|PE |＝2a 22=|PF |＝|PE |22+，∴△BPF 的周长为|BF |+|PF |+|PB |＝|BF |+（|PE |22+）+|PB |＝222+|PE |+|PB |≥222+|BE |＝422+， 当且仅当B 、P 、E 三点共线时，等号成立． 所以△BPF 周长的最小值等于422+． 故答案为：422+．【点睛】本题考查双曲线的定义、利用几何性质求最值，解题的关键是充分利用双曲线的定义，考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力，属于基础题．16.已知：在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB AD AA ===，点P 是线段1B C 上的一个动点，则①1AP D P +的最小值等于__________；②直线AP 与平面11AA D D 所成角的正切值的取值范围为____________.【答案】 (1). 17 (2). 1133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】①将△AB 1C 与△D 1B 1C 以公共边B 1C 为邻边展开成一个平行四边形，其对角线AD 1的长度即为所求． ②P 点在B 1C 上移动，它在平面ADD 1上的射影H 落在A 1D 上，此时PH 是定值A 1B 1，只需研究AH 的范围即可．【详解】长方体中，∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，点P 是线段B 1C 上的一个动点． ①由长方体的性质可知，1110AB CD ==，115AC D B ==，113B C =． 将△AB 1C 与△D 1CB 1以B 1C 为公共边展开成一平面四边形AB 1D 1C ，如图：易证四边形AB 1D 1C 是平行四边形，所以当APD 1三点共线时，即AP +D 1P ＝AD 1时最小． 根据平行四边形对角线和四条边的性质即：()22221112AD CB AC AB +=+，代入数据得：)221132510AD =+，解得117AD =∴AP +D 1P 17②由长方体的性质可知，对角面A 1B 1CD ⊥平面ADD 1A 1，交线为A 1D ． 所以由点P 向直线A 1D 作垂线PH ，则PH ⊥平面ADD 1A 1． 连接AH ，则∠P AH 即为直线P A 与平面AA 1D 1D 所成角． 显然PH ＝AB ＝1为定值．设Rt △A 1AD 斜边上的高为h ，则A 1D •h ＝AD •AA 1，求得h 13=，此时AH 最短．结合A 1A ＝3，所以313AH ≤≤， 所以tan ∠P AH 1133PH AH ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，． 故答案为：17，1133⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．【点睛】本题考查了利用展开图求空间折线长的最值问题以及线面角的求法．此题的第（2）问关键是抓住长方体的几何性质以及PH 为定值来分析．属于稍难的题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知tan (2cos sin )cos 2sin -=-A C A A C . （1）求角B 的大小；（2）若角B 为锐角，1,=V b ABC 3ABC V 的周长. 【答案】（1）6B π=或56B π=．（2）23． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得12sinB =．可求B 的值． （2）由B 是锐角，可求6B π=，利用三角形的面积公式可求ac 的值，进而根据余弦定理可求a +c 的值，进而可求三角形的周长．【详解】（1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ． 化简得12sinAcosC cosAsinC +=，即()12sin A C +=，∴()12sin B π-=，即12sinB =． ∴6B π=或56B π=．（2）∵B 是锐角， ∴6B π=，由132ABC S acsinB ==V ，得，3ac =． 在△ABC 中，由余弦定理得22222()23b a c accosB a c ac ac =+-=+--， ∴22()1233(13)a c +=++=+， ∴13a c +=+，∴△ABC 的周长为23+．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.如图（1），在矩形ABCD 中，,E F 在边CD 上，1====BC CE EF FD .沿,BE AF 将CBE △和DAF △折起，使平面CBE 和平面DAF 都与平面ABEF 垂直，连接DC ，如图（2）.（1）证明：//CD AB ； （2）求三棱锥D BCE -的体积. 【答案】（1）见解析；（2）26． 【解析】 【分析】（1）分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ．根据条件可证得平面ADF ⊥平面ABEF ，则DM ⊥平面ABEF ．同理CN ⊥平面ABEF ，从而DM ∥CN ．可得MN ∥AB ，则CD ∥AB ；（2）根据体积关系以及线段长度关系可得V 三棱锥B ﹣DCE ＝2V 三棱锥B ﹣EFC ＝2V 三棱锥C ﹣EFB ．由（1）知，CN ⊥平面BEF ，即可得所求【详解】（1）分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连结DM ，CN ，MN ．由图（1）可得，△ADF 与△BCE 都是等腰直角三角形且全等， ∴DM ⊥AF ，CN ⊥BE ，DM ＝CN ．∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM ⊥AF ， ∴DM ⊥平面ABEF ．同理，CN ⊥平面ABEF ，∴DM ∥CN ．又∵DM ＝CN ，∴四边形CDMN 为平行四边形，∴CD ∥MN ． ∵M ，N 分别是AF ，BE 的中点， ∴MN ∥AB ， ∴CD ∥AB ；（2）由图可知，V 三棱锥D ﹣BCE ＝V 三棱锥B ﹣DCE ， ∵EF ＝1，AB ＝3，∴CD ＝MN ＝2， ∴V 三棱锥B ﹣DCE ＝2V 三棱锥B ﹣EFC ＝2V 三棱锥C ﹣EFB ． 由（1）知，CN ⊥平面BEF ． ∵22CN =，12BEF S =V ，∴212C EFB V -=三棱锥，∴26D BCE V -=三棱锥．【点睛】本题考查线面垂直，面面垂直定理的应用，考查三棱锥的体积求解，属于中档题．19.已知圆22(4)(4)25x y -+-=经过抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F ，且与抛物线E 的准线l 相切. （1）求抛物线E 的标准方程；（2）设经过点F 的直线m 交抛物线E 于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为点C ，若ACF V 的面积为6，求直线m 的方程.【答案】（1）y 2＝4x ．（2）2x ±3y ﹣2＝0． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （x 2，﹣y 2），由抛物线的定义可知，|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1．设直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1），将其与抛物线的方程联立，消去y 可得关于x 的一元二次方程，写出韦达定理；设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ，且sin ∠AFC ＝|sin （π﹣2α）|＝|sin2α|＝2sinαcosα，将其转化为只含k 的代数式，再利用正弦面积公式得，12ACF S AF CF sin AFC =⋅⋅∠V ，结合韦达定理表达式，化简整理可得46k=，从而解出k 的值，进而求得直线m 的方程． 【详解】（1）由已知可得：圆心（4，4）到焦点F 的距离与到准线l 的距离相等，即点（4，4）在抛物线E 上，∴16＝8p ，解得p ＝2．∴抛物线E 的标准方程为y 2＝4x ．（2）由已知可得，直线m 斜率存在，否则点C 与点A 重合． 设直线m 的斜率为k （k ≠0），则直线AB 的方程为y ＝k （x ﹣1）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去y 得k 2x 2﹣2（k 2+2）x +k 2＝0．∴12242x x k+=+，x 1x 2＝1． 由对称性可知，C （x 2，﹣y 2），∴|AF |＝x 1+1，|CF |＝x 2+1． 设直线m （AB ）的倾斜角为α，则tanα＝k ， ∴()222222222211sin cos tan k sin AFC sin sin sin cos sin cos tan k αααπααααααα∠=-=====+++，∴()()()121212214112121AFCk S x x sin x x x x k k α⎡⎤=++=+++⋅=⎣⎦+V ． 由已知可得46k =，解得23k =±． ∴直线m 的方程为()213y x =±-，即2x ±3y ﹣2＝0． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及抛物线的定义、曲直联立、正弦面积公式等，考查学生分析问题的能力和运算能力，属于中档题．20.随着运动app 和手环的普及和应用，在朋友圈、运动圈中出现了每天1万步的健身打卡现象，“日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传.“健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共500人）的走路步数，并整理成下表：（1）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）；（2）若用A 表示事件“走路步数低于平均步数”，试估计事件A 发生的概率；（3）若称每天走路不少于8千步的人为“健步达人”，小王朋友圈中岁数在40岁以上的中老年人共有300人，其中健步达人恰有150人，请填写下面22⨯列联表.根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.【答案】（1）8.432；（2）0.6216；（3）见解析. 【解析】 【分析】（1）由数据和平均值的计算公式可得答案，（2）由频率估计概率可得答案，（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可，计算K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．【详解】（1）由题意可得这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数为：()12606240101001460182022183028.432500x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 所以这一天小王500名好友走路的平均步数约为8.432步． （2）由频率约等概率可得：()10.432602401000.62165004p A ⎛⎫=++⨯= ⎪⎝⎭， 所以事件A 的概率约为0.6216．（3）根据题目所给的数据填写2×2列联表如下：()()()()()()22250022500750031.2510.828200300300200n ad bc K a b c d a c b d --===++++⨯⨯⨯＞，∴有99.9%以上的把握认为，健步达人与年龄有关．【点睛】本题考查独立性检验，平均值的计算，统计概率的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是中档题目．21.已知函数()sin x f x e x =.（e 是自然对数的底数） （1）求()f x 的单调递减区间；（2）若函数()()2g x f x x =-，证明()g x 在(0,)π上只有两个零点.（参考数据：2 4.8e π≈） 【答案】（1）372244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．（2）见解析.【解析】 【分析】（1）由f '（x ）＜0得04sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭＜，利用正弦函数的单调性质可得f （x ）的单调递减区间； （2）依题意可得g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，分析其单调情况并作出图象，利用零点存在性定理可得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点，从而可证得结论成立．【详解】（1）f （x ）＝e x sin x ，定义域为R .()()'24xx f x esinx cosx e sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．由f '（x ）＜0得04sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭＜，解得372244k x k ππππ++＜＜（k ∈Z ）． ∴f （x ）的单调递减区间为372244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）．（2）∵g '（x ）＝e x （sin x +cos x ）﹣2，∴g ''（x ）＝2e x cos x ． ∵x ∈（0，π），∴当02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，g ''（x ）＞0；当2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，时，g ''（x ）＜0． ∴g '（x ）在02π⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减， 又∵g '（0）＝1﹣2＜0，2'202g e ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，g '（π）＝﹣e π﹣2＜0，∴g '（x ）在（0，π）上图象大致如右图．∴102x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，，22x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，，使得g '（x 1）＝0，g '（x 2）＝0， 且当x ∈（0，x 1）或x ∈（x 2，π）时，g '（x ）＜0；当x ∈（x 1，x 2）时，g '（x ）＞0． ∴g （x ）在（0，x 1）和（x 2，π）上单调递减，在（x 1，x 2）上单调递增． ∵g （0）＝0，∴g （x 1）＜0．∵202g e πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，∴g （x 2）＞0，又∵g （π）＝﹣2π＜0，由零点存在性定理得，g （x ）在（x 1，x 2）和（x 2，π）内各有一个零点， ∴函数g （x ）在（0，π）上有两个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与数形结合思想的应用，考查推理证明及综合运算能力，该题属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ （1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，()2,0M ，求MP MQ +的值．【答案】（1）221259x y +=．0y +-=．（2）7【解析】【分析】（1）由22cos sin 1ϕϕ+=消去参数可得曲线C 的普通方程，由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得直线l 的直角坐标方程；（2）写出直线l 以M为起点的标准参数方程122x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，由利用参数的几何意义，由韦达定理及弦长公式可得弦长．【详解】（1）曲线C 的参数方程3cos 4sin 129cos sin 55x y ϕϕϕϕ=-⎧⎪⎨=+⎪⎩消去参数ϕ得， 曲线C 的普通方程为221259x y +=．∵πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 0θρθ+-=， ∴直线l0y +-=．（2）设直线l的参数方程为1222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630t t --=，∴1267t t +=，129t t =-． ∵M 点在直线l 上， ∴127MP MQ t t +=-===． 【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线标准参数方程的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23.已知不等式135x x m -+-<的解集为3,2n ⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求n 的值；（2）若三个正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=．证明：2222222b c c a a b a b c +++++≥． 【答案】（1）74n =（2）见解析 【解析】【分析】 （1）根据不等式的解集与方程根的关系求出m ，然后解绝对值不等式得n ． （2）首先利用基本不等式得222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++，通分后，再凑配成()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤+++++⎣⎦，再利用基本不等式可得． 【详解】（1）由题意知，32为方程135x x m -+-=的根， ∴391522m -+-=，解得1m =． 由1351x x -+-<1x <时，1531x x -+-<，54x >，x ∈∅， 513x ≤≤时，1531x x -+-<，32x >，∴3523x <≤，53x >时，1351x x -+-<，74x <，∴5734x <<， 综上不等式解为3724x <<，∴74n =． （2）由（1）知1a b c ++=， ∴222222222b c c a a b bc ac ab a b c a b c+++++≥++． ()2222222a b b c c a abc=++ ()()()2222222222221a b b c b c c a c a a b abc ⎡⎤=+++++⎣⎦， ()()222122222abc ab c bc a ca b a b c abc abc ≥++=++=， ∴2222222b c c a a b a b c+++++≥成立． 【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式的证明．考查推理能力与运算求解能力．证明不等式时应用基本不等式不需要考虑等号成立的条件，即使等号取不到，不等式仍然成立．更多优质资料可登陆https:///shop/d93e87c24028915f804dc201。

安徽省合肥市高考数学二模试卷（文科）姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·榕城月考) 已知集合 于（ ），，则等A.B.C.D.2. （2 分） 设复数 z 满足 i3=z（1﹣i）（i 为虚数单位），则复数 z 在复平面内对应的点位于（ ）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2 分） (2019 高一上·山东月考) 下列说法中，正确的是（ ）A . 任意两个单位向量都是相等的向量B . 若 A，B 是平面内的两个不同的点，则C . 若向量，，则D . 零向量与任意向量平行4. （2 分） (2018 高二上·吉林期末) 某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动.参 选的志愿者回答三个问题，其中二个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设 为回答正确的题数，则第 1 页 共 13 页随机变量 的数学期望 A.1 B. C. D.2（）5. （2 分） (2016 高一下·揭阳开学考) 设变量 x，y 满足约束条件 是（ ）A . ﹣4B.2目标函数 z=x﹣2y 的最大值C.D. 6. （2 分） (2016 高三上·巨野期中) 若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件， 则实数 a 的取值范围是（ ） A . （0，2） B . [0，2] C . [﹣2，0] D . （﹣2，0） 7. （2 分） 名著《算学启蒙》中有如下题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”．这 段话的意思是：“松有五尺长，竹有两尺长，松每天增长前一天长度的一半，竹每天增长前一天长度的两倍．”．为 了研究这个问题，以 a 代表松长，以 b 代表竹长，设计了如图所示的程序框图，输入的 a，b 的值分别为 5，2，则 输出的 n 的值为（ ）第 2 页 共 13 页A.3 B.4 C.5 D.6 8. （2 分） (2020 高一下·宁波期中) 已知，则的值为（ ）A. B . -3 C. D.39. （2 分） 已知双曲线的左、右焦点分别为线渐近线的一个交点为， 则此双曲线的方程为（ ），以为直径的圆与双曲A. B. C. D.第 3 页 共 13 页10. （2 分） (2020·江西模拟) 已知函数函数的四个零点从小到大依次为 ， ， ， ，对满足条件的任意一组零点，下列判断中一定成立的是（ ）A.B.C.D.11. （2 分） (2019 高一下·黄山期中) 在中，角，已知，，则的值为（ ）的对边分别为，的面积为A.B.C.D.12. （2 分） (2020 高一下·温州期中) 设 为两个非零向量的夹角，已知对任意实数 t，的最小值为 1，则（ ）A . 若 确定，则 唯一确定B . 若 确定，则 唯一确定 C . 若 确定，则 唯一确定D . 若 确定，则 唯一确定二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 13 页13. （1 分） (2019 高一上·泉港月考) 已知，则=________．14. （1 分） 如图，过抛物线 y2=8x 的焦点 F 的直线交抛物线与圆（x﹣2）2+y2=4 于 A，B，C，D 四点，则 |AB|•|CD|=________．15. （1 分） 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为 ________．16. （1 分） (2014·天津理) 已知函数 f（x）=|x2+3x|，x∈R，若方程 f（x）﹣a|x﹣1|=0 恰有 4 个互异的 实数根，则实数 a 的取值范围为________．三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17. （10 分） (2017 高二下·呼伦贝尔开学考) 在数列{an}中，已知 a1=2，an+1=4an﹣3n+1，n∈N• ． （1） 设 bn=an﹣n，求证：数列{bn}是等比数列； （2） 求数列{an}的前 n 项和 Sn ． 18. （5 分） (2017 高一下·拉萨期末) 为了考查某厂 2000 名工人的生产技能情况，随机抽查了该厂 n 名工 人某天的产量（单位：件），整理后得到如下的频率分布直方图（产品数量的分组区间为[10，15），[15，20），[20， 25），[25，30），[30，35]），其中产量在[20，25）的工人有 6 名． （Ⅰ）求这一天产量不小于 25 的工人人数； （Ⅱ）工厂规定从产量低于 20 件的工人中随机的选取 2 名工人进行培训，求这 2 名工人不在同一组的概率．第 5 页 共 13 页19. （10 分） (2017 高一下·牡丹江期末) 如图， ， 是 的中点，求证：是正方形，是正方形的中心，底面（1） （2）平面；平面.20. （5 分） 一动圆过定点，且与定圆内切，求动圆圆心 的轨迹方程．21. （15 分） (2017·葫芦岛模拟) 已知函数 f（x）=ax2+（x﹣1）ex ．（1） 当 a=﹣时，求 f（x）在点 P（1，f（1））处的切线方程；（2） 讨论 f（x）的单调性；（3） 当﹣ ＜a＜﹣ 时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．22. （10 分） (2020·平顶山模拟) 在直角坐标系中，已知圆 的参数方程是参数）.以 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是：与圆 C 的交点为 O、P 两点，与直线 l 的交点为 Q.（1） 求圆 C 的极坐标方程；（为 ，射线第 6 页 共 13 页（2） 求线段 的长. 23. （5 分） (2015 高二下·九江期中) 已知函数 f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当 a=﹣2 时，求不等式 f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设 a＞﹣1，且当时，f（x）≤g（x），求 a 的取值范围．第 7 页 共 13 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案15-1、第 8 页 共 13 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 60 分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、第 9 页 共 13 页20-1、 21-1、第 10 页 共 13 页21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、。

2020年安徽合肥高三二模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.若集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则（ ）．A. B. C. D.3.若实数，满足约束条件，则的最小值是（ ）．A. B. C. D.4.已知数列是等差数列，若，，则（ ）．A. B. C. D.5.在平行四边形中，若，交于点，则（ ）．A.B.C.D.6.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）．A.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上是单调递增的D.函数图象的对称中心为7.若函数 是奇函数， 为偶函数，则 （ ）．A.B.C.D.8.《九章算术》中”勾股容方”问题：”今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数黄学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图图所示的矩形，该矩形长为．宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点作于点．则下列推理正确的是①由图和图面积相等得； ②由可得 ；③由可得， ；④由可得 ．贾朱朱贾青青图朱朱贾贾青青图图朱贾青A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③9.已知函数，则的解集为（ ）．A.B.C.D.，，10.记，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数取值范围是（ ）．A.B.C.D.11.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择，，三个项目的意向如下：扶贫项目贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为（ ）．A. B. C.D.12.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 .则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）．A. B. C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.曲线（是自然对数的底数）在处的切线方程为 ．14.已知数列的首项为，，则数列的前项之和等于 ．15.已知双曲线的右焦点为点．点是虚轴的一个端点，点为双曲线左支上的一个动点，则周长最小值等于 ．（1）16.已知：在长方体中，，，，点是线段上的一个动点．则：的最小值等于 ．（2）直线与平面所成角的正切值的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.的内角，，的对边分别为，，，已知．求角的大小．若角为锐角，，的面积为，求的周长．（1）（2）18.如图（），在矩形中，，在边上，，沿，将和折起，使平面和平面都与平面垂直，连接，如图（）．图图证明：．求三棱锥的体积．（1）（2）19.已知圆经过抛物线的焦点，且与抛物线的准线相切．求抛物线的标准方程．设经过点的直线交抛物线于，两点，点关于轴的对称点为点，若的面积为，求直线的方程．（1）20.随着运动和手环的普及和应用，在朋友圈．运动圈中出现了每天万步的健身打卡现象，”日行一万步，健康一辈子”的观念广泛流传．”健步达人”小王某天统计了他朋友圈中所有好友（共人）的走路步数，并整理成下表：分组（单位：千步）频数（2）（3）请估算这一天小王朋友圈中好友走路步数的平均数（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．若用表示事件”走路步数低于平均步数”，试估计事件发生的概率．若称每天走路不少于千步的人为”健步达人”，小王朋友圈中岁数在岁以上的中老年人共有人，其中健步达人恰有人，请填写下面列联表．根据列联表判断，有多大把握认为，健步达人与年龄有关？健步达人非健步达人合计岁以上 不超过岁合计附：（1）（2）21.已知函数（是自然对数的底数）．求的单调递减区间．若函数，证明在上只有两个零点．（参考数据：）四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程．若直线与曲线交于，两点，，求的值．（1）（2）23.已知不等式的解集为．求的值．若三个正实数，，满足，证明：．【答案】解析:∵，，∴．故选．解析:，∴，∴，∴，∴．故选．解析:实数，满足约束条件，作出二元一次不等式所表示的平面区域，即可行域，如图所示所在区域为可行域，x–7–6–5–4–3–2–1123456789y–8–6–4–2246OCC 1.B 2.D 3.目标函数变形为斜率为，随变化的一族平行直线，当直线经过可行域点时有最小值．解方程组，解得点坐标为，所以最小值为．故正确．解析:∵数列为等差数列，，，∴，解得，，所以数列的通项为，，．故选．解析:∵，∴为中点，如图所示，∵，∴，即即，∴点为三等分点，∴B 4.D 5.．故选．解析:如图知：，∵，∴，易知，即，∴，∴，．向左平移个单位，得，故错；．当时，，即，错；．当时，，由图易知，错；．函数对称点为，，即，．∴函数对称中心为，正确．故选．解析:若函数是奇函数，则若为偶函数，则，∴，∴．故选．D 6.C 7.解析:①重组后图形面积不发生改变．故有∴．①正确②由图得．故图中正方形的边长为为正方形对角线∴∴∴在图中，即有即．故②正确③由于为中点，∴在图中，∴即故③不正确④在图中．∴即故④正确综上选．解析:B 8.C 9.先求来观察，∵若和都在，又∵在上递减，∴时，在，在，或者和都在上，我们来寻找极限点，设，，时，，时，，故选．解析:∵，∴，①假设椭圆的焦点在轴上，则，易知位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，A 10.则，即，∵，∴，解得：．②当椭圆的焦点在轴上时，，易知位于短轴端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，即，，，即，，综上，，故选．解析:由题意可分为两种情况．①四个贫困户选择了两个项目，每个项目都有两位选择，若项目为，则情况有（甲丁，乙丙），（乙丁，甲丙），（丙丁，甲乙），共种；若项目为，则情况有（甲乙，丙丁）；若项目为，则情况有（甲乙，丙丁）．A 11.②四个贫困户总共选择三个项目，一个项目有两位选择，剩下两个项目各有一位选择（以下括号内排序均按，，顺序），若项目有两户选择，则有（甲，乙，丙丁），（乙，甲，丙丁）；若项目有两户选择，则有（丙，甲乙，丁），（丁，甲乙，丙），（乙，甲丙，丁），（甲，乙丙，丁），共种情况；若项目有两户选择，则情况有（甲乙，丙，丁），（甲丙，乙，丁），（甲丁，乙，丙），（乙丙，甲，丁），（乙丁，甲，丙），共种．∴总情况有种，符合条件的有种，故所求概率．故选：．解析:该几何体的图形如图所示，由题意可知，设圆柱底面半径为，，所以，令，则．令，则，令，则，即，所以或，则可知，当时，．当时，．所以当时，取得最大值，此时，此时，则，．D 12.圆柱底所以．所以该几何体的表面积等于．故选．解析:∵曲线，当时，，，，∴曲线在处切线方程为，即．故答案为：．解析:∵数列的首项为，，，∴，，，，，，，，，表半球球底面体侧13.14.（1）∴，所以数列的前项之和为．解析:图，由题意知，设，，，周长，∵，∴，∴周长，∴当经过点时，有最小值，∵，∴周长最小值为：．解析:将问题平面化，连接，15.（1）（2）16.（2）则有：，由于四边形为平行四边形，则有：，即．如图，作平面交于点，连接，图则直线与平面，所成角即，．故只需求的取值范围，将问题平面化：如图，图记边上的高为，则，故,（1）（2）（1），故直线与平面所成角的正切值取值范围：．解析:∵，∴．化简得，即，∴，即，∴或．∵是锐角，∴，由得，，在中，由余弦定理得，∴，∴，∴的周长为．解析:分别取，的中点，，连结，，，图由图（）可得，与都是等腰直角三角形且全等，∴，，，∵平面平面，交线为，（1）或．（2）．17.（1）证明见解析．（2）．18.（2）（1）（2）平面，，∴平面，同理，平面，∴，又∵，∴四边形为平行四边形，∴，∵，分别是，的中点，∴，∴．由图可知，，∵，，∴，∴，由（）知，平面，∵，，∴，∴．解析:由已知可得：圆心到焦点的距离与到准线的距离相等，即点在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的标准方程为．由已知可得，直线斜率存在，否则点与点重合，设直线的斜率，则，由消去得，设，，∴，，由对称性可知，，三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥三棱锥（1）抛物线的标准方程为．（2）直线的方程为．19.（1）（2）（3）（1）∴，，设直线的倾斜角为，则，∴，∴，由已知可得，解得，∴直线的方程为，即．解析:，所以这一天小王名好友走路的平均步数约为步．，所以事件的概率约为．健步达人非健步达人合计岁以上不超过岁合计，∴有以上的把握认为，健步达人与年龄有关．解析:，定义域为．，（1）步．（2）．（3）有以上的把握认为，健步达人与年龄有关．20.（1）．（2）证明见解析．21.（2）（1）（2）由得，解得．∴的单调递减区间为．∵，∴，∵，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，又∵，，，∴，，使得，，且当或时，；当时，，∴在和上单调递减，在上单调递增，∵，∴，∵，∴，又∵，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，∴函数在上有两个零点．解析:曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．∵，∴，∴直线的直角坐标方程为．（1），．（2）．22.21（1）（2）设直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，∴，．∵点在直线上，∴．解析:由题意知，为方程的根，∴，解得，由解得，，∴．由知，∴，∴成立．（1）．（2）证明见解析．23.。

2021年安徽省合肥市高考数学第二次教学质量检测试卷（文科）1.复数是虚数单位的模等于A. B. C. D.2.已知，，则A. B. C. D.3.下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线互相垂直的是A. B. C. D.4.声强级单位：由公式给出，其中I为声强单位：某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过现已知4位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，，则这4人中达到班级要求的有A. 1人B. 2人C. 3人D. 4人5.设正项等比数列的前n项和为，若，，则A. B. 2 C. D. 46.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的多项式求值算法，至今仍是比较先进的算法.如图是秦九韶算法的一个程序框图，执行该程序框图，若输入，，输出，则输入的实数a的值为A. 或B. 或4C. 或3D. 3或47.设抛物线C：的焦点为F，点A是抛物线C的准线与x轴的交点.若抛物线C上的点M满足，则A. B. 2 C. D. 48.函数的图象大致是A. B.C. D.9.在文明城市创建过程中，某市创建办公室对市区内从事小吃、衣帽、果蔬、玩具等6类商户数进行了统计并绘成如图所示的条形统计图，对商户进行了文明城市知识教育培训年初，该市创建办公室计划从2000户商户中，按照商户类型进行分层抽样，随机抽取100户进行文明城市知识教育培训效果调查，则衣帽类和果蔬类商户抽取的户数分别为A. 50，15B. 50，30C. 30，25D. 25，1510.若a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则11.如图，在中，D，E是AB边上两点，，且，，，的面积成等差数列.若在内随机取一点，则该点取自的概率是A. B. C. D.12.在《通用技术》课上，某小组同学准备用一个棱长为6的正四面体坯料制作一个正三棱柱模型其底面在正四面体一个面上，要求削去的材料尽可能少，则所制作的正三棱柱模型的高为A. B. C. 4 D.13.已知向量，，且，则______ .14.若直线l：与圆C：相交，则实数k的取值范围是______ .15.已知函数，若当时，恒成立，则实数的值等于______ .16.如图数表，它的第一行数由正整数从小到大排列得到，此后下一行数由前一行每两个相邻的数的和写在这两个数正中间下方得到.依此类推，则该数表中，第n行第1个数是______ .17.已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求c的值；若，，求的面积.18.如图，在三棱锥中，，，，D为棱AB上一点，，棱AC的中点E在平面PAB上的射影F在线段PD上.证明：平面PDE；求三棱锥的体积.19.人类已经进入大数据时代.目前，数据量级已经从级别跃升到，乃至级别.国际数据公司研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2009年数据量为，2010年增长到，2011年数据量更是高达如表是国际数据公司研究的全球近6年每年产生的数据量单位：及相关统计量的值：年份201420152016201720182019序号x123456年数据量y表中，根据上表数据信息判断，方程是自然对数的底数更适宜作为该公司统计的年数据量y关于年份序号x的回归方程类型，试求此回归方程精确到有人预计2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍.根据中的回归方程，说明这种判断是否准确，并说明理由.参考数据：，，回归方程中，斜率最小二乘法公式为，20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆C与y轴交于点A，点B在x轴下方，，直径为BD的圆过点求椭圆C的标准方程；过D点且不与y轴重合的直线与椭圆C交于点M，N，设直线AN与BM交于点T，证明：点T在直线上.21.已知函数为自然对数的底数当时，求函数的零点；若对，恒成立，求实数a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为求曲线和曲线的直角坐标方程；若曲线与曲线交于点A，B，，求的值.23.已知a，b，c为正数，且满足证明：；证明：答案和解析【答案】1. C2. D3. A4. C5. A6. C7. B8. B9. D10. C11. A12. A13.14.15. 216.17. 解：因为，由正弦定理可得，可得，因为，所以因为，，所以由余弦定理可得，解得，所以的面积18. 证明：如图，取AB的中点H，连接CH，，为AH的中点，则，，，则，又点E在平面PAB上的射影F在线段PD上，平面PAB，而平面PAB，，，EF、平面PDE，平面PDE；解：平面PDE，平面PDE，，点E为棱AC的中点，，，又，AC、平面ABC，平面ABC，而平面ABC，，，，，，，，在中，由∽，得，，即，又，，三棱锥的体积为19. 解：因为，可得，即，所以，又因为，所以，所以，所以，即为所求的回归方程；根据的回归方程为，当时，，又，据此可以判断2021年全世界产生的数据规模将超过2011年的50倍，因此，这种判断是准确的．20. 解：由已知可得，又直径为BD的圆过点，，，所以，即，又，联立解得，，所以椭圆的方程为；证明：由题意可知，直线MN的斜率存在，设其方程为：，，，联立方程，消去y整理可得：，所以，解得，且，因为，，所以直线AN的方程为，直线BM的方程为，联立方程，消去x整理可得：，解得，所以，所以，即点T在直线上．21. 解：因为，所以的定义域为R，，，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以最小值为，于是，所以在R上单调递增，又，所以，在R上有且仅有一个零点，时，，，即，即，①，，令，，函数在上单调递减，②函数在上单调递减，实数a的取值范围为22. 解：曲线的参数方程为为参数整理得，两式相减得：；曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为：，由于点满足直线的方程，故转换为参数方程为为参数，把直线的参数式代入，得到：，所以，，故23. 证明：，b，c为正数，，可得，即为，所以，当且仅当时，等号成立，故原不等式成立；因为a，b，，所以，同理可得，，所以，当且仅当时，取得等号，所以原不等式成立．【解析】1. 解：复数是虚数单位的模等于故选：利用复数模的运算性质进行求解即可．本题考查了复数模的求解，主要考查了复数模的性质的理解和应用，属于基础题．2. 解：，，故选：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3. 解：对于A：因为，则，所以焦点在y轴上，渐近线的方程为，所以渐近线互相垂直，故A正确；对于B：因为，所以焦点在x轴上，故B不正确；对于C：因为，所以焦点在y轴上，渐近线的方程为，所以渐近线不垂直，故C不正确；对于D：因为，所以焦点在x轴上，故D不正确．由双曲线的性质，对于四个选项逐个判断焦点所在的轴，及双曲线的渐近线方程，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，属于基础题．4. 解：依题意，当时，；当时，；当时，；当时，这4人中达到班级要求的有3人．故选：由题意分别求出四位同学的声强级，即可求得这4人中达到班级要求的人数．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题．5. 解：设正项等比数列的公比为，由，，可得：，，即，，，则，故选：利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6. 解：由题意，模拟程序的运行，可得，；，；执行循环体，，；不满足退出循环的条件，执行循环体，，；不满足退出循环的条件，执行循环体，，；此时，满足退出循环的条件，退出循环，输出s的值为，整理可得，解得或由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题．7. 解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程为：，所以由题意可得1，，设垂直于准线于，因为，则由抛物线的性质可得，所以，所以，所以直线AM的方程为，与抛物线联立，整理得，所以，即M的横坐标为1，再由抛物线的性质可得，故选：由抛物线的方程可得焦点及准线的方程，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，然后求出直线MA的方程，与抛物线联立求出M的横坐标，再由抛物线的性质得到的值．本题考查抛物线的性质，考查了转化思想，属于中档题．8. 解：根据题意，，有，则的图像关于点对称，排除C，，排除AD，故选：根据题意，由函数的解析式可得的图像关于点对称，排除C，求出的值，排除AD，即可得答案．本题考查函数的图象分析，一般用排除法分析，属于基础题．9. 解：共有2000户，需要抽取100户，故抽取的比例为，由统计图可知，衣帽类有500户，果蔬类有300户，则衣帽类抽样户，果蔬类抽取户．故选：先求出分层抽样的比例，由统计图求出衣帽类有500户，果蔬类有300户，然后根据比例求解即可．本题考查了统计图的理解和应用，考查了分层抽样的性质，解题的关键是正确读取图表中的数据信息，考查了识图能力，属于基础题．10. 解：若，，则或，又，或或a与相交，相交也不一定垂直，故A错误；若，，则或，又，则a与b的位置关系是平行、相交或异面，相交或异面时也不一定垂直，故B错误；若，，，则，正确，证明如下：，过a作平面，则，又，，而，，则，可得；若，，则，又，，故D错误．故选：由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系直观分析A、B、D错误；直接证明C正确．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，考查推理论证能力，是中档题．11. 解：因为，①，因为，，，的面积成等差数列，设，公差为d，所以，，，代入①式可得，，所以，故，，，，，所以该点取自的概率是故选：利用向量的关系和已知的面积成等差数列的关系，设，公差为d，则，求出总面积为18d，然后利用几何概型的计算公式求解即可．本题主要考查了几何概型的求解，几何概型问题一般会转化为长度、面积、体积之比进行求解，考查了转化化归能力，属于中档题．12. 解：如图：正四面体ABCD的内接正三棱柱，首先D、E、F三个顶点必在四个全的三棱柱棱上，才能使得三棱柱体积体积最大值，正四面体ABCD棱长为6，则高为，设正三棱柱高为h，底面边长为a，因为平面平面BCD，所以，，，，，当且仅当，即时等式成立，故选：正四面体ABCD的内接正三棱柱，D、E、F三个顶点必在四个全的三棱柱棱上，才能使得三棱柱体积体积最大值，求出高，AM，然后求解体积的表达式，利用基本不等式求解最值即可．本题考查几何体的体积的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13. 解：根据题意，向量，，若，则，则，故，则，故，故答案为：根据题意，由向量垂直的判断方法可得x的值，即可得的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断方法，属于基础题．14. 解：由题意可得圆C：，圆心半径为，圆的圆心到直线l：的距离小于等于半径，即，解得故答案为：根据题意可得圆心到直线l：的距离小于等于半径，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．15. 解：因为，所以当时，，所以，所以，若要使得当时，恒成立，则当时，恒成立，即为函数在处与的公切线，所以，所以，所以，故答案为：当时，，推出，若要使得当时，恒成立，则为函数在处与的公切线，由导数的几何意义求出k，即可得出答案．本题考查恒成立问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．16. 解：由数表可得，每一行的数都构成等差数列，且第n行的公差是，记第n行的第m个数为，则有，所以，故数列构成一个首项为，公差为等差数列，所以，故，所以第n行第1个数是故答案为：分析数表中每一行的规律，得到每一行的数都构成等差数列，且第n行的公差是，第n行的第m个数为，则可以得到，利用构造法求出，即可得到答案．本题考查了归纳推理的理解和应用，主要考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，属于中档题．17. 由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合，可得c的值．由已知利用余弦定理可得ab的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18. 取AB的中点H，连接CH，由已知可得，由，得，则，再由已知得到平面PAB，即，由直线与平面垂直的判定可得平面PDE；由已知证明平面ABC，可得，求解三角形得到，则，再由等体积法求三棱锥的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．19. 将函数两边同时取自然对数，变形为，即，利用题中的数据以及公式进行求解即可得到答案；由中的回归方程，令，求出y的值，然后进行判断即可．本题考查了回归方程的求解，要掌握回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．20. 利用已知得出，利用向量坐标运算性质以及椭圆的离心率联立即可求解；设出直线MN的方程以及点M，N的坐标，然后与椭圆方程联立，利用斜率公式求出直线AN的方程以及直线BM的方程，联立求出点T的纵坐标，利用韦达定理化简求出T的纵坐标为1，由此即可证明．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到韦达定理的应用，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．21. ，的定义域为R，利用导数研究函数与的单调性即可得出结论．时，，，即，即，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22. 直接利用转换关系，在直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23. 运用三元均值不等式推得，再由不等式的性质，即可得证；首先由二元均值不等式推得，，，再由不等式的性质和三元均值不等式，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，考查转化思想和推理能力，属于中档题．。

合肥市2022年高三第二次教学质量检测数学试题（文科）（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位。

2.答第1卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第11卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将答题卡和答题卷一并上交。

第I卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集U=R,集合M={-1,0,1,2,3},N={x∈R|x>1},则下面Venn图中阴影部分表示的集合是A.（-∞,1）B.（-∞,1]C.{-1,0}D.{-1,0,1}2.设复数z满足iz+4+i=z,则|z|=A.17B.4C.7D.53.已知双曲线2222x ya b＝1（a>0,b>0）的渐近线方程15x±y=0,则双曲线的离心率为A.15 B.4C.2D.415 154.考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪30年代提出．其内容是：任意给定正整数s,如果s是奇数，则将其乘3加1;如果s是偶数，则将其除以2,所得的数再次重复上面步骤，最终都能够得到1.右边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入s的值为5,则输出i的值为A.4B.5C.6D.75.若l1:3x-my-1=0与l2:3（m+2）x-3y+1=0是两条不同的直线，则“m=1”是“l1//l2”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.设等差数列{a n}的前n项和为S n,S15=5（a3+a8+a m）,则m的值为A.10B.12C.13D.147.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人，则甲乙两人安排在同一个舱内的概率为A.16 B.14 C.13 D.128.已知函数f （x ）=cos （2x-φ）（-π<φ<0）是奇函数，当x ∈[-3π,6π]时，f （x ）的值域为 A.33,22⎡-⎢⎣⎦ B.31,2⎡-⎢⎣⎦ C.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.函数f （x ）=241x x e e ++（e 是自然对数的底数）的图象关于A.点（－e,0）对称 B.点（2,0）对称 C.直线x=-2对称 D.直线x=e 对称10.抛物线C:y 2=2px （p>0）的焦点为C 上一点，以F 为圆心，|FA|为半径的圆交抛物线C 的准线l 于M,N 两点，则直线AF 的斜率为A.±1 C.11.设a=log 515,b=log 721,c=252,则A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b 12.在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ⊥AC,AB=AC=AA 1=2,P 为该三棱柱表面上一动点，若CP=B 1P,则P 点的轨迹长度为第II 卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡上的相应位置．13.已知向量AB =（-1,2）,BC =（2t,t+5）.若A.B.C 三点共线，则t =.14.如图，圆柱OO 1的轴截面是正方形，AB 是底面圆的直径，AD 是母线，点C 是的中点，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为.15.已知数列{a n }前n 项和22n n n S +=,记2n a n b =,若数列{a n }中去掉数列{b n }中的项后，余下的项按原来顺序组成数列{c n },则数列{c n }的前50项和为.16.过平面内一点P 作曲线y=|lnx|两条互相垂直的切线l l ,l 2,切点为P 1,P 2（P 1,P 2不重合），设直线l l ,l 2分别与y 轴交于点A,B,则|AB|=.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到2020年底，我国私人汽车拥有量超过24千万辆．下图是2011年至2020年十年间我国私人汽车拥有量y （单位：千万辆）折线图．（注：年份代码1-10分别对应年份2011-2020）（1）由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01）,并预测2022年我国私人汽车拥有量．参考数据：参考公式：相关系数r=,线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为18.（本小题满分12分）在ΔABC 中，内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,满足.（1）求A 的大小；（2）若AE 是AABC 的角平分线，且b=3,AE=2,求ΔABC 的面积．从①asin （C+6π）是b,2c 的等差中项，②bcos 2B C +=asinB 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答。