2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科数学试题参考答案及评分标准（13） 1- （14）256 （15） y x 22= （16三、解答题 17.解：（Ⅰ）113436111113.812222242242234n n n n n n n n n n n n a a b b a a a a a a a a ++---=-=-=-==---------所以数列{}n b 为首项为111123b a ==-，公差为32的等差数列， ……………………………………4分故1397(1).326n n b n -=+-= ………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由于函数()f x 的周期2T πω=，所以224332T πππω===， ……………………………………8分 又1423[0,],[,][,]23322x x ππππϕϕϕ∈∴+∈+⊂， ……………………………………………………10分所以,223.32πϕππϕ⎧⎪⎪⎨⎪+⎪⎩≥≤所以5[,].26ππϕ∈ …………………………………………………………………12分 18. 解：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC ∆为正三角形.因为M 为BC 的中点，所以ABCDNMPOHSAM BC ⊥.…………………………………………………1分又BC ∥AD ，因此AM AD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PA AM ⊥. ………………3分 而PA AD A ⋂=，所以AM ⊥平面PAD .……………………………………4分 又PD ⊂平面PAD ，所以.AM PD ⊥…………………5分（Ⅱ）解法一：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH 、MH . 由（Ⅰ）可知：AM ⊥平面PAD .则MHA ∠为MH 与平面PAD 所成的角.…………………………………………6分 在Rt MAH ∆中，AM =所以当AH 最短时，MHA ∠最大，…………………………………… 7分即当AH PD ⊥时，MHA ∠最大，此时tan AM MHA AH ∠===因此AH=又2AD =，所以45ADH ∠=，于是2PA =.……………………………8分如图建立空间直角坐标系，则(0,0,2)P ，(0,2,0)D，M，1,0)B -，C ，1,0)2E .则1,1)2N 31(,1)2AN =，(3,0,0)AM =，设AC 的中点为E ，由（1）知BE 就是面PAC 的法向量，33(,0)2EB =-.设平面MAN 的法向量为(,,1)x y =n ，二面角MAN C --的平面角为θ.由0,0.AM AN ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩nn 0,0,2,1,(0,2,1).110.2x y z x y =⇒====++=n ………………………10分cos cos ,EB θ=<>=n二面角M AN C--的余弦值为………………………………………………………………12分 （Ⅱ）解法二：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH 、MH 由（Ⅰ）可知： AM ⊥平面PAD . 则MHA ∠为MH 与平面PAD 所成的角.……………………………………………………………6分在Rt MAH ∆中，AM= 所以当AH最短时，MHA∠最大，……………………………………………………………………7分即当AHPD ⊥时，MHA ∠最大，此时tan AM MHA AH ∠===因此AH =.又2AD =，所以45ADH ∠=，于是2PA =.………………………………8分因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABCD .……………………………………………………………………………9分过M 作MO AC ⊥于O ，则由面面垂直的性质定理可知：MO ⊥平面PAC ，所以MO AN ⊥，过M 作MS AN ⊥于S ，连接OS ，AN ⊥平面MSO ，所以AN SO ⊥则MSO ∠为二面角M AN C--的平面角. ……………………………………………………………………………………………………10分 在Rt AOM ∆中，3sin30OM AM ==3cos302OA AM == 又N 是PC 的中点，在Rt ASO ∆中，3sin 45SO AO ==又SM ==…………………………………………………………………………11分在Rt MSO ∆中，cos SO MSO SM ==即二面角M AN C--的余弦值为515.…………………………………………………………………12分 19．解:（Ⅰ）由已知条件得.…………………………………………3分即31p=，则.答：p的值为, 即走线路②堵车的概率为5分（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3 …………………………………………………………………………6分,.…………………………………8分ξ的分布列为：……………………10分答：三人中被堵的人数ξ的数学期望为分20.解：（Ⅰ）由已知得b=，12ca=，得2a=所以，椭圆22143x y+=.……………………3分椭圆的右焦点为(1,0)F，此时直线l的方程为y =+由223412.yx y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩解得1280,.5x x ==所以81655=.……………………………………………………6分（Ⅱ）当直线l 与x 轴垂直时与题意不符，所以直线l 与x 轴不垂直，即直线的斜率存在. 设直线l的方程为0y kx k k =+≠≠且…………………………………………………7分代入椭圆的方程，化简得2234)0k x ++=（，解得120,x x ==或代入直线l的方程，得12y ==或y所以，D的坐标为…………………………………………………………9分又直线AC的方程为12x+=，因(2,0)B -，2202BD y k x -==+所以直线BD的方程为2).y x =+联立解得2x y k ⎧=⎪⎨⎪=+⎩即(Q k +……………………………………………………10分 而P的坐标为(P所以(OP OQ ⋅=-(404k ⋅+=+=.所以OP OQ⋅为定值4. …………………………………………………………………………………12分21.解：（Ⅰ）由于函数()xf x e =为R 上的增函数，若()f x 在[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则必有(),(),f a ka f b kb ==所以,a b 为方程()f x kx =的两个不等根，……………………………………1分令()()()x v x f x kx e kx k *=-=-∈N ，则()x v x e k '=-，由()0xv x e k '=->知ln x k >，由()0xv x e k '=-<知0ln x k <<，所以函数()v x 在区间(,ln )k -∞单调递减，在区间(ln ,)k +∞上单调递增，所以()(ln )v x v k ≥，………………………………………………………………………3分由于()v x 在R 上有两个零点，所以ln (ln )ln (1ln )0kv k ek k k k =-=-<.所以k e >，又k 为正整数，所以k的最小值为3. ……………………………………………5分 （Ⅱ）由题意知函数()g x 的定义域为(0,)+∞，2222(1)(2)()2m mx x m x mx m g x mx x x x++---++'=-+==， 由于0,0x m >≥，所以20mx m x++>，由()0g x '>知函数()g x 在区间(1,)+∞上单调递增； 由()0g x '<知函数()g x 在区间(0,1)上单调递减. …………………………………………………7分由于函数()g x 存在“和谐2区间” [,]a b ，若[,](0,1]a b ⊂，则()2,()2.g a b g b a =⎧⎨=⎩即22()(2)ln 22,2()(2)ln 22.2m g a a m a a b m g b b m b b a ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-++=⎪⎩两式相加得22(2)ln (2)ln 022m m a b m a m b +-+-+=， 由于[,](0,1]a b ⊂及m ≥,易知上式不成立. …………………………………………………8分若[,][1,)a b ⊂+∞，由()g x 在区间[1,)+∞上单调递增知，,a b 为方程()2f x x =的两个不等根，令2()()2(2)ln 2m h x f x x x m x =-=-+，则22(2)().m mx m h x mx x x +-+'=-=若0m =，则()2ln h x x =-在[1,)+∞单调递减，不可能有两个不同零点；……………………10分若0m >，2(2)()0mx m h x x-+'=>知，()h x在)+∞上单调递增；同样，由()0h x '<知，()h x在上单调递减. 函数2()(2)ln 2m h x x m x =-+在[1,)+∞上有两个不同零点，又(1)02mh =>，故有2(2)ln 02m m h m m +=⋅-+<，解之得20.1m e <<- 综上，所求实数m的取值范围为20.1m e <<-…………………………………………………12分 22.解：（Ⅰ）如图，连接OC ，∵OA OB = ，CA CB =，∴OC AB ⊥，∴AB是⊙O的切线. ………………………………4分 （Ⅱ）∵ ED 是直径，∴90ECD ∠=，Rt BCD ∆中，1tan 2CED ∠=, 1.2CD EC ∴=∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠.又 ∵CBD EBC ∠=∠ ∴CBD ∆∽EBC ∆, ∴BD BC =CD EC =12. 设BD x =,2BC x =，又2BCBD BE =⋅， ∴ 2(2)x =x ·(12)x +.解得：120,4x x ==, ∵0BD x => , ∴4BD = .∴4610OA OB BD OD ==+=+=.…………………………………………………………6分23．解：（Ⅰ） 由2sin cos (0)a a ρθθ=>得22sin cos (0)a a ρθρθ=>,BC∴曲线C的直角坐标方程为2(0)y ax a =>.…………………………………………………………2分直线l的普通方程为2y x =-.…………………………………………………………………………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程2(0)y ax a =>中，得28)4(8)0t a t a +++=, 设A B 、两点对应的参数分别为12t t ,, 则有112(8),4(8)t t a t t a ++⋅=+.………………………………………………………………6分∵2PA PB AB ⋅=, ∴21212()t t t t -=⋅, 即21212()5t t t t +=⋅.………………………………………………………………8分∴22)]20(8),340a a a a +=+++-=. 解之得：2a =或8a =- (舍去),∴a的值为2.……………………………………………………10分24．解：（Ⅰ）当3a =时，()46f x x +≥可化为236x x --+≥，236x x --+≥或236x x --≤. 由此可得3x ≥或3x -≤.故不等式()46f x x +≥的解集为{33}x x x -≥或≤.………………………………………………5分（Ⅱ）法一：（从去绝对值的角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于,2250.a x x a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≤或,2(2)50.a x x a x ⎧<⎪⎨⎪--+⎩≤解之得,2.7a x a x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥≤或,2.3a x a x ⎧<⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……………………10分法二：（从等价转化角度考虑）由()0f x ≤,得25x a x --≤,此不等式化等价于525x x a x --≤≤,即为不等式组52,25.x x a x a x -⎧⎨--⎩≤≤ 解得,3.7a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≤因为0a >,所以不等式组的解集为3a x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤,由题设可得23a-=-,故6a =.……………………10分。
