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大学数学.三.级数、积分变换与数理方程(王传荣,朱玉灿,徐荣聪编著)PPT模板

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数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件

数理方程第三章行波法与积分变换法-PPT课件

t2



2019/3/8
3
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d x a t 2 2 a



4 解的物理意义
u (,) x t ( x a t ) ( x a t ) a. 只有初始位移时，
2 2 u u 2 1 1 a , x ,t 0 2 2 t x u ( x ,0 ) 1 u ( x ,0 ) ( x ) , ( x ) , x 1 t 2 2 u u 2 2 2 a f (xt ,) , x ,t 0 2 2 t x u x ,0 ) 2( u ( x ,0 ) 0 , 0 , x 2 t x a t 1 1 u ( x , t ) ( x a t ) ( x a t ) ( ) d 1 x a t 2 2 a
u u u u u y y y
2 2 2 2 u u u u u u u u 2 2 2 y y y 2
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围：

数学积分变换法PPT学习教案

数学积分变换法PPT学习教案

F1
1F
t
df( x,
)f *(
,
) 1( x )2 e 4(t )
x2
de4( t
)
d
2 0 t 2 (t )
*
1
x2
e 4t
2 t
t
f ( x, )*
1
x2
e d 4(t )
0
2 (t )
第9页/共40页
第16页/共40页
傅 立 叶 逆 变 换是一 种把分 析运算 化为代 数运算 的有效 方法,但 1.傅 立 叶 变 换 要求 原象函 数在R上 绝对可 积.,大 部分函 数不能 作傅立 叶变换
t
f ( )
1
e d
x2 4a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
第34页/共40页
例设
求 解 下面定 解问题
x 1, y 0
2u x2 y xy
解 对 进 行 拉普拉 斯变换 ,
y
u | y0 x 2
u | x1 cos y
ux, y Ux, p
则原方程
变为
x
u y
x2
y
d pU x, p x2 x2 1
2a t
gt
易证
g0 0
而
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p a
x
g 0
p
p x
e a
第33页/共40页
于是
L1[
p
1
e
p a
x

积分变换第1讲x

积分变换第1讲x




f ( u)e i u du
25
F ( ).
显而易见，位移公式的作用是：知道了一个函数 的变换，便可由此求出其位移函数的变换！ 同理可得
F 1[ F ( 0 )] f ( t )e i0 t .
推论 设F [ f ( t )] F ( ) ，则对于实常数 0 , 有
1 事实上，设 ( ) F ( ), 则 i
1 f (t ) 2
1 [ ( )]e i t d i
18

1 2
1 i t 1 e d ( )e i t d i 2

1 sin t 1 d ( )e i t d 2 2 1 sin t 1 d . (*) 0 2
2
第七章
傅立叶变换
主要内容：
1、 傅立叶积分公式 2、傅立叶变换及其性质 3、卷积
3
§1 傅立叶级数与积分
1、傅立叶级数的指数形式 在《高等数学》中有下列定理： 定理1 设fT ( t )是以T为周期的实函数，且在 T T [ , ]上满足狄氏条件，即在 一个周期上满足： 2 2 （1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有
1 f (t ) 2



[


f ( )e i d ]e i t d .
( 2)
公式（2）称为函数 f(t) 的傅氏积分公式.
6
定理2 若 f(t) 在(-, +)上满足条件: (1) f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 即

积分变换与微分方程PPT课件

积分变换与微分方程PPT课件
In[4]:=NDSolve[{y’[x]==y[x],y[1]==1},y,{x,0,1}]
Out[4]={{y→InterpolatingFunction[{{0.,1.}},<>]}} 利用图形观察
In[5]:= Plot[Evaluate[y[x]/.NDSolve[{y'[x]==y[x],
第七讲 积分变换与微分方程
• 积分变换
➢ 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换函数
函数名称
意义
LaplaceTransform[expr,t,s]
对expr的拉普拉斯变换
InverseLaplaceTransform[expr,s,t]
对expr的拉普拉斯逆变换
LaplaceTransform[expr,{t1,t2,…},{s1,s2,…}] 对expr的多维拉普拉斯变换
In[9]:=DSolve[{y՛՛[x]+y՛[x]-2y[x]==0,y[0]==4, y՛[0]==1},y[x],x]
Out[9]={{y[x] → e-2 x (1+3e3x)}}
• 求方程x2y՛՛-2xy՛+2y=3x满足条件y[1]=m, y՛[1]=n的特解
Mathematica命令为
1 F eitd
2
1 F eitd
2
F eitd
1 F e2itd
2
b
2 1n
F
eibt dt
例如 默认情况下的傅立叶变换为
In[4]:=FourierTransform[t^2 Exp[-t^2],t,s]
s2
e4
2 s2
Out[4]= 4 2
以下是纯数学的傅立叶变换

积分变换第一章

积分变换第一章

π
1
0 +∞
+∞ = ∫ ∫ ( f (τ )cos ωτ cos ωt + f (τ )sin ωτ sin ωt )dτ d ω −∞ π 0 τ的偶函数 τ的奇函数 2 +∞ +∞ = ∫ ∫ f (τ )sin ωτ sin ωt dτ d ω 0 π 0
+∞ f (τ )cos ω (t − τ )dτ d ω ∫−∞ ∫−∞
+∞
1 由f (t ) = 2π
可得 f (t ) =
(1.5)
π∫
1
+∞
0
+∞ f (τ )cos ω (t − τ )dτ d ω ∫−∞
(1.6)
此为Fourier积分公式的三角形式.
积分变换
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
F (α ) = ∫ f (t ) K (t ,α )dt.
称为积分变换的核. 其中,K (t ,α )是一个确定的二元函数,
a
b
A中的函数f (t )
当 K (t , α ) = e − jω t时 当K (t ,α ) = e − st时
−
cos nω t d t = ∫ T sin nω t d t = 0 ( n = 1, 2, 3,L),
− 2 T 2
T 2
T ∫−T2 sin nω t d t = ∫−T2 cos nω t d t = 2 ( n = 1, 2, 3,L),
2 2
T 2
∫ ∫ ∫
T 2
T − 2 T 2 T 2
an + jbn 1 T2 而 c− n = = cn = ∫ T fT (t )e j nωt dt 2 T −2

积分变换 ppt课件

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16
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,
这个线段的长度表示d-函数的积分值, 称为d-函数
的强度.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
d d (t)f(t)dtf(0)及 (tt0)f(t)dtf(t0).
（ ft为 连 续 函 数 ）
可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个
函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电
流强度, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记
成d-函数:
d
t
0
t 0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量,
例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技
பைடு நூலகம்
术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的
F() f(t)eitdt 1 eitdt eit 1
1
i
1
1 eiei 2sin
i
f(t)21
F()eitd1
F()costd
0
102s incostd20sin costd
9
例 2求 指 数 衰 减 函 数 f(t) e 0 ,t,
t0的 傅 氏 变 换 及 其 t0
积 分 表 达 式 ,其 中 0.
如果成立
F(w) f(t)ejwdt t
f(t)1 F(w)ejwdt w
2
并称F(ω)为f (t)的象函数
或付里叶变换，记为
F[f(t)]；称f (t)为F(ω)的象 原函数或付里叶逆变换，
记为F-1[F(ω)]
8
例1
求矩形脉冲函数

数学物理方法课件 第十章-积分变换法

第九章积分变换法引言：•无界区域：与系统的特征尺度相比，物理量变化的特征尺度是个小量如个点热源在个体积很大的物体尺度是一个小量。

如：一个点热源在一个体积很大的物体中产生的热传导现象。

“无界区域”是数学上一个理想化的名词，是对实际物理问题的一个近似。

的名词是对实际物问题的个近似•前面讨论的都是有界区域的问题，本征值和本征函数是由齐次边界条件(或周期性边界条件）确定的。

•对于无界问题，前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展对于无界问题前面介绍的分离变量法及傅里叶级数展开均不能使用。

本章的主要内容：1、傅里叶积分变换法无界或半无界空域的定解问题；—无界或半无界空域的定解问题；2、拉普拉斯积分变化法—半无界时域，并带有初始值的问题。

3、联合变换法：傅里叶积分变换+拉普拉斯积分变换；傅里叶积分变换+傅里叶级数展开。

，这些变换的目的：“化偏为常，甚至为代”。

特别是：傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换可以处理一些带有奇异性的问题，如点源的热传导。

些带有奇异性的问题如点源的热传导让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶:法国数学家、物理学家。

1768人物传纪巴普蒂斯约瑟夫傅叶法国数学家物理学家年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。

9岁父母双亡，被当地教堂收养。

12岁由一主教送入地方军事学校读书。

17岁（1785）回乡教数学1794到巴黎成为高等师范学校的17岁（1785）回乡教数学，1794到巴黎，成为高等师范学校的首批学员，次年到巴黎综合工科学校执教。

1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。

1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席主席。

主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。

1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出着名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数以由角函数构成的级数形式表示从而提出任函数都以展成角函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。

数学物理方法第十二章积分变换法课件


方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)

积分变换第一讲



T 2 T 2

f 2 (t ) d t

T 2 T 2

g 2 (t ) d t
[ f , g] 这样可令 cos 是f , g间的夹角余弦, f g 则如果[ f , g ] 0称为f与g正交.
而在区间[T/2,T/2]上的三角函数系 1, cost, sint, cos 2t, sin 2t, ..., cos nt, sin nt, ... 是两两正交的, 其中=2p/T, 这是因 为cos nt和sin nt都可以看作是复 j n t 指数函数e 的线性组合. 当nm时,
T 2

布在整个数轴上, 两个相邻的点的距离为 2p p n n n 1 , 或T , T n
2p 2p 2p T T T
2p 如图 T
O 1 2 3
f (t )又可写为 1 f (t ) lim T T 1 lim n 0 2p
{ { {

T
n-1n
2 j nt j n fT ( )e d e T n 2 j nt j n fT ( )e d e n T n 2
T 2
为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt cos nt d t
m 1
2
T 2
T an T cos nt d t an 2 2 T 2 2 即 an T fT (t ) cos nt d t T 2
T 2
2
a0 dt 2

《数理方程》积分变换法解析


x2

x2
1 p2
dU dx

2x p

x2 p3
.
而 u |x1 cos y
变为
U

x,
p
|x1

1
p p2
,
解常微分方程得
U x, p
1 3 p3
x3

1 p
x2

p 1 p2

1 3 p3

1 p
.
取拉普拉斯逆变换，得
L(t n )
n! pn1 , n 0,1,
u
|x
0

f
t.
思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？
对 t 进行拉普拉斯变换，设
u x,t U x, p, f t F p
于是方程变为
a2
d 2U x,
dx 2
p

pU
x,
p,
U x, p |x0 F p
这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为
根据傅里叶变换的微分性质，
方程转化为
dU ,

t
2U , t
dt
U , t |t0 F
于是 U ,t F e2t .
为了求出原方程的解,下面对 U ,t 关于 进行
傅立叶逆变换.
U ,t F e2t .
再由边值条件 U x, p |x0 F p 可知，C = F(p).
U

x,
p

F

pe
p a
x
.
为求出 u(x,t), 需要对 U(x,p) 进行拉普拉斯 逆变换。
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第12章 留数
12.2 留数与留数定理
12.2.1 留数的概念与 计算
12.2.3 外部区域的留 数定理
习题12.2
12.2.2 留数定理
*12.2.4 留数定理的 推广
第12章 留 数
12.3 留数在计算积分的应 用
1
12.3.1 计算围道 积分
2
12.3.2 计算形如 ∫<sup>2π</sup ><sub>0</sub> φ（cosθ，sinθ） dθ的积分
第12章 留数
12.4 幅角原理和Rouche定理
12.4.1
A
对数留数
12.4.2
B
幅角原理
12.4.3
C
Rouche
定理
习题
D
12.4
*第12章
E
综合练习
题
03 第13章 积分变换
第13章 积分变 换
13.1 Fourier变换 13.2 Fourier变换的性质 13.3 Laplace变换 13.4 Laplace变换的性质 13.5 Fourier变换与Laplace变换 的应用
习题11.5
11.5.2 幂级数的收敛 圆和收敛半径
11.5.4 幂级数的运算 性质
第11章 无穷级数
11.6 Taylor级数与函数的幂级数展开
1 1 . 6 . 1 Ta y l or 级 数
01
02
11.6.3 实函数的 幂级数展开与 Ta y l or 公 式
03
11.6.2 函数展开 为幂级数
03
11.8.3 函数展开为正弦 级数或余弦级数
02
11.8.2 函数展开为 Fourier级数
04
11.8.4 一般周期函数的 Fourier级数
05
*11.8.5 Fourier级数的 复数形式
06
习题11.8
第11章 无穷级数
11.8 Fourier级数
*第11章综合练习题
02 第12章 留数
11.3.2 绝 对收敛与条 件收敛
11.3.1 交 错级数及其 收敛判别法
习题11.3
第11章 无穷级数
11.4 函数项级数
11.4.1 函数项级 数和一致收敛
11.4.2 复函数项 级数的性质
习题11.4
第11章 无穷级数
11.5 幂级数
11.5.1 幂级数的概念 与Abel定理
11.5.3 实幂级数及其 收敛区间
04
习题11.6
第11章 无穷级数
11.7 Laurent级数
11.7.1 含负幂的 幂级数
01
02
11.7.3 把环形域 的解析函数展开为
Laurent级数
03
11.7.2 Laurent 级数
04
习题11.7
第11章 无穷级数
11.8 Fourier级数
01
11.8.1 三角函数系在空间 L<sup>2</sup>［-π，π］ 的正交性
第13章 积分变换
13.1 Fourier变换
01
1 3 . 1 . 1 F ou r i er 变 02
13.1.2 单位脉冲函
换的概念
数及其Fourier变换
03 * 1 3 . 1 . 3 F ou r i er 04 习 题 1 3 .1
余弦变换和正弦变换
第13章 积分变换
13.2 Fourier变换的性 质
0 4
14.4 极坐标系 下的分离变量法 （二维方程的分 离变量法）
0 5
第12章 留数
12.1 孤立奇点 12.2 留数与留数定理 12.3 留数在计算积分的应用 12.4 幅角原理和Rouche定理
第12章 留数
12.1 孤立奇点
12.1.1 孤立奇点及其 分类
12.1.3 解析函数的零 点与极点的关系
习题12.1
12.1.2 解析函数在孤 立奇点处的极限性态
12.1.4 函数在无穷远 点的性态
13.5 Fourier变换与Laplace变 换的应用
01
习题 13.5
02
*第13章 综合练
习题
04 第14章 数学物理方 程
第14章 数学物理 方程
0 1
14.1 基本方程 和定解条件的推 导
0 2
14.2 分离变量 法与特征函数
0 3
14.3 SturmLiouville理论介绍 Bessel函数和 Legendre多项式
大学数学.三.级数、积分变换与
数理方程(王传荣，朱玉灿，徐
荣
聪
编
著
)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01 第11章 无穷级数
第11章 无穷级数
11.1 常数项级数
11.3 交错级数与任 意项级数 11.5 幂级数
11.2 正项级数及其 审敛
11.4 函数项级数
11.6 Taylor级数与 函数的幂级数展开
4
习题13.3
第13章 积分变换
13.4 Laplace变换的性 质
0 1 13.4.1 Laplace变换的若干基本 性质
0 2 13.4.2 Laplace变换的微分性质 与积分性质
0 3 13.4.3 Laplace变换的卷积定理 0 4 习题13.4
第13章 积分 变换
13.5 Fourier变换与Laplace变 换的应用
01
02
13.2.1 Fourier变换的 若干基本性质
13.2.2 卷积 定理
03
13.2.3 微分 性质和积分性
质
04
习题13.2
第13章 积分变换
13.3 Laplace变换
1
13.3.1 Laplace变换的概念
2
13.3.2 Laplace变换存在定 理
3
13.3.3 Laplace逆变换
3
12.3.3 计算形如 ∫<sup>＋ ∞</sup><sub> －∞</sub>f（x） dx的积分
4
12.3.4 计算形如 ∫<sup>＋ ∞</sup><sub>－ ∞</sub>f（x） e<sup>iax</sup>d x（α＞0）的积分
5
*12.3.5 积分路径 上有极点的积分
6
习题12.3
0 1 13.5.1 求解微分方程的积分变换法
0 2 13.5.2 求解积分方程和卷积型方程
03
13.5.3 分
利用积分变换计算积
0 4 *13.5.4 Fourier变换在频谱分析 的应用
0 5 *13.5.5 线性系统的传递函数
0 6 *13.5.6 关于积分变换的若干注记
第13章 积分 变换
第11章 无穷级 数
11.7 Laurent级数 11.8 Fourier级数
第11章 无穷级数
11.1 常数项3 无穷级数 的性质
11.1.2 级数的概 念
习题11.1
第11章 无穷级数
11.2 正项级数及其审敛
习题11.2
第11章 无 穷级数
11.3 交错级数与任意项级 数