毕奥萨伐尔定律

• 我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比 较复杂, 略。为了给同学们一个较全面的印象，下左图显示 了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布图。可以看出， 磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线。
• 下右图给出另一个右手定则，用它可以判断载流线 圈的磁感应线方向。这右手定则是：用右手弯曲的 四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着 轴线上Ｂ的方向。
生的磁感应强度的大小 • 与电流元Idl的大小成正比， • 与电流元和从电流元到Ｐ点的位矢之间的夹
角θ的正弦成正比， • 与位矢r的大小的平方成反比。即：
一、毕奥－－－萨伐尔定律
dB的方向 垂直于dl和r所确定的平面，沿
dl×r的方向，用右手螺旋法 则来判定。
矢量表示为： d B 0 Id l r 4 r 3
• 其中：S=πR2为圆线圈的面积。
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 圆线圈轴线上各点的磁感应强度都沿着轴线方向， 与电流方向组成右手螺旋关系。
• 下面讨论两种特殊的情况： • 1、在圆心Ｏ处，即a=0处的磁感应强度为： •
• 2、在远离线圈处，即 a>>R，轴线上各点的磁感 应强度约为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由图
cos 1
x L 2
R2 (x L )2 2
cos 2
x L 2
R2 (x L)2 2
代入即得螺线管轴线上任一点P的磁感应强度。
B随x变化关系见上图中的曲线，由这曲线可以看出，当 L>>R时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近于均匀， 只在端点附近B值才显著下降。
• 其中 40为比例系数， • μ0 称 为 真 空 磁 导 率 ， ：
μ0=4π×10-7NA-2
一、毕奥－－萨伐尔定律
• ⑶磁感应强度的叠加原理
• 与点电荷的场强相似，毕奥－萨伐尔定律是求电流周 围磁感应强度的基本公式。磁感应强度Ｂ也遵从叠加 原理：
• 设有若干个电流元，它们中每一个都产生各自的磁场. 当这些电流元同时存在时，在空间某点的总磁感应强 度Ｂ等于所有电流元单独存在时在该点所产生的磁场 的磁感应强度的矢量和，即：
四、载流螺线管中的磁场
四、载流螺线管中的磁场
• 设螺线管的半径为R，总长度为L，单位长度内的匝 数为n。如果螺线管是密绕的，计算轴向磁场时，我 们可以忽略绕线的匝距，把它近似看成是一系列圆线 圈紧密地并排起来组成的。
• 取螺线管的轴线为x 轴，取其中点O为原点,则在长度 dl内有ndl匝,每匝在场点P产生的磁感应强度都沿轴线 方向,ndl匝产生的磁场为：
一样的，即每一半单独贡献是。
1 2

0
nI
四、载流螺线管中的磁场
• 一个螺线管的磁场在空间分布的全貌，整个空间的磁 感应线分布图。
• 除了端点附近，在一个长螺线管外部的空间里，磁感 应线很稀疏，这表示磁场在那里是很弱的。在L→∞ 的极限情况下，整个外部空间的磁感应强度趋于0。
• 无限长的密绕螺线管是这样一种理想的装置它产生一 个均匀磁场,并把它全部限制在自己内部。
二、载流直导线的磁场
• 方向 垂直纸面向里 • 由于直导线上所有电流元在Ｐ点的磁感应强度dB的
方向都相同，所以Ｐ点的磁感应强度Ｂ的大小等于各 电流元在Ｐ点dB的大小之和，即：
二、载流直导线的磁场
• 将上式中各量统一为一个变量， 以便积分，根据右图可有：
二、载流直导线的磁场
• 上式中θ1、θ2分别为直导线两端的电流元与它们到Ｐ 点位矢之间的夹角。
B

0 4
பைடு நூலகம்
L
Idl r r3
• 这个积分是矢量式，实际使用时，要化成标量积分进
行计算。
二、载流直导线的磁场
• 设有长Ｌ的直导线上通有电 流Ｉ，求距离此导线为a处一 点Ｐ的磁感应强度。
• 在直导线上任取一电流元 Idx ，它到Ｐ点位矢为r，Ｐ 点到直线的垂足为Ｏ，电流 元到Ｏ点的距离为x，Idx与r 的夹角为θ，则可得该电流元 在Ｐ点的磁感应强度dB的大 小为
• 若导线为无限长时，即Ｌ>>a，此时θ1≈0、θ2≈π， Ｐ点的磁感应强度为：
二、载流直导线的磁场
• 在实际中遇到的当然不可能真 正是无限长的直导线。然而若 在闭合回路中有一段长度为L的 直导线，在其附近a<<L的范围 内上式近似成立。(相对）
• 长直导线周围的磁感应线是沿 垂直于导线的平面内的同心圆。
sin
x l r cos
• 由此二式得 • 取微分得
x l cot
R
dl d

R sin 2
四、载流螺线管中的磁场
• 则有：
B 0 2 nI 4
2 1
sin
d

0 4
2 nI (cos 1
cos 2 )
• β1、β2分别是β角在螺线管两端即L/2处的数值，
• (2)在半无限长螺线管的一端，β1=0、β2=π/2
• 或β1=π/2、β2=π 无论哪种情况都有
B

1 2
0 nI
• 即在半无限长螺线管端点上的磁感应强度比中间减少 了一半。
• 这结果的理解：可以设想将一个无限长的螺线管从任
何地方截成两半，这两半在这里产生的磁场的方向相
同。根据对称性，它们对总磁感应强度的贡献应该是
毕奥--萨伐尔定律
一、毕奥-------萨伐尔定律
• ⑴电流元 • 把电流看成是无穷多小段
电流的集合，各小段电流 称为电流元，并用矢量 来表示 Idl • dl 在载流导线上沿电流 方向所取的线元，Ｉ为导 线中的电流。
一、毕奥－－－萨伐尔定律
• ⑵毕奥－－－萨伐尔定律 • 载流导线中任一电流元，在真空中某点Ｐ产
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 有一载流圆环导线，半 径为Ｒ，通过的电流强 度Ｉ，在圆环轴线上求 一点距离圆心为a的Ｐ点 的磁感应强度。
• 在环形导线上任取一电 流元，在Ｐ点处磁感应 强度dB为：
三、载流圆环导线轴线上的磁场
• 由于对称性，所有电流元在垂直轴线方向上的磁感 应强度之和为０；所以Ｐ点的磁感应强度为圆形线 圈上所有电流元的磁感应强度在轴线方向上的分量 的代数和，即：
四、载流螺线管中的磁场
• 下面我们考虑两个特殊情形：
• （1）无限长螺线管L→∞、β1=0、β2=π，
•
B大小与场点的坐标x无关。
• 这表明在密绕的无限长螺线管轴线上的磁场是均匀的。 其实这结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管
内部的空间里都是均匀的，其磁感应强度的大小为， 方向与轴线平行。
四、载流螺线管中的磁场
dB

0 4
[R2
2 R2I
(x l)2 ]3
2
ndl
四、载流螺线管中的磁场
• 其中x是P点的坐标。 • 整个螺线管在P点产生的总磁场为
B 0
4
L
2 L
2
2 R2Indl
[R2 (x l)2 ]3 2
四、载流螺线管中的磁场
• 令 r R2 (x l)2 R