三个正数的均值不等式

均值不等式教案2（共5篇）第一篇：均值不等式教案2课题：第02课时三个正数的算术-几何平均不等式(第二课时）教学目标：1．能利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题； 2．了解基本不等式的推广形式。

教学重点：三个正数的算术-几何平均不等式教学难点：利用三个正数的算术-几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最值问题教学过程：一、知识学习：定理3：如果a,b,c∈R+，那么推广：a+b+c3≥abc。

当且仅当a=b=c时，等号成立。

3a1+a2+Λ+ann≥a1a2Λan。

当且仅当a1=a2=Λ=an时，等号成立。

n语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考：类比基本不等式，是否存在：如果a,b,c∈R+，那么a+b+c≥3abc（当且仅当a=b=c时，等号成立）呢？试证明。

二、例题分析：例1：求函数y=2x+223333(x>0)的最小值。

x解一：y=2x+31112=2x2++≥332x2⋅⋅=334∴ymin=334 xxxxx33312223解二：y=2x+≥22x⋅=26x当2x=即x=时x2xx23 ∴ymin=26⋅12=23312=26324 21的最小值。

(a-b)b上述两种做法哪种是错的？错误的原因是什么？变式训练1 若a,b∈R+且a>b,求a+由此题，你觉得在利用不等式解决这类题目时关键是要_____________________ 例2 ：如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿名着虚线折转成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？变式训练2 已知：长方体的全面积为定值Ｓ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．由例题，我们应该更牢记一 ____ 二 _____ 三 ________，三者缺一不可。

另外，由不等号的方向也可以知道：积定____________，和定______________.三、巩固练习 1.函数y=3x+12(x>0)的最小值是（）2xA.6B.66C.9D.12 2．函数y=x4(2-x2)(0<x<2)的最大值是（）D.2727A.0B.1C.四、课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式及求函数的最值，但是在应用时，应注意定理的适用条件。

三个正数的均值不等式的证明三个正数的均值不等式是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们理解数值之间的关系。

在这篇文章中，我将向大家介绍关于三个正数的均值不等式，并给出其证明。

三个正数的均值不等式是指对于任意三个正数a、b和c，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数，并且大于等于它们的谐波平均数。

具体来说，我们有以下不等式：(a+b+c)/3 ≥ √(abc) ≥ 3/(1/a + 1/b + 1/c)我们来证明不等式的第一部分：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)。

假设a、b 和c是任意三个正数，我们可以将(a+b+c)/3的平方展开得到：(a+b+c)/3 ≥ √(abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc接下来，我们考虑右侧的abc。

根据算术平均-几何平均不等式，我们有：(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2b^2c^2)(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ abc现在，我们将前两个不等式相加，得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ abc + abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc通过简化不等式，我们可以得到：(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ 2abc(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(3abc)(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)由于(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc)是(a+b+c)^2的展开式，我们可以将不等式进一步简化为：(a+b+c)^2/9 ≥ (2/3)(a+b+c)(abc)接下来，我们可以将等式两边的(a+b+c)约去，得到：(a+b+c)/3 ≥ (2/3)(abc)(a+b+c)/3 ≥ 2abc/3由于abc是正数，不等式仍然成立。

均值不等式及其应用一、 均值不等式的含义及成立的条件（一） 原型： ;2:22ab b a R b a ≥+∈，都有、对于任意的实数 .3,333abc c b a R c b a ≥++∈+都有：、、对于任意的正数（二） 均值不等式：任意n 个正数的算术平均值不小于这n 个正数的几何平均值两个数的均值不等式：若,a b R +∈，则2a b+a b =时成立）三个数的均值不等式：若,,a b c R +∈，则a b c ++≥a b c ==时成立） （等号仅当a b c ===d 时成立） （三）均值不等式常见的变形时取得最小值）为常数，则若时取得最小值）（注意当且仅当的最小值为，则常数若、、、对于任意的正数b a ((b a .22,122=≤=+=+≥+=∈+mm ab m b a m b a m b a m ab R c b a注意当且仅当若（注意当且仅当则常数、若c b a (c b a ,2===++==+=m c b a b a m abc3、几个常用不等式：① ab 2 ⎪⎝⎭233b c ++⎫⎪⎝⎭；③如果,a b R ∈≥2a b +2a b+（可以推广到n 的情形）【均值不等式的几何证明------用几何意义加深对不等式的理解】 （1）的几何意义ab b a 222≥+：如右图，不妨设0>>a b ，两个正方体的体积 之和为22b a +，两个矩形的面积之和为：ab 2 显然，这两部分面积之差ab b a 2-22+为图中 阴影部分面积..4,4abcd d c b a R d c b a ≥+++∈+都有：、、、对于任意 b(2)的几何意义ab ba ≥+2： 【其一】分析：设ab x =，其意义是什么？联想到圆幂定理：ab x =2如右图：设a AB =，b AC =，则a b BC -=，以BC 为直径作圆，切线AD 与圆相切于D 点，则有：AD=ab ，AO=2ba +（为什么？）. 显然，AD AO ≥ 【其二】原式即的几何意义）（ab b a ≥+22： 如右图，设a AC =，b AB =，中点为BC D ，则，2b a AD +=，正方形ADEF 的面积=22）（b a + 矩形ACHG 的面积= ab ，这两面积的差= MHNE S 矩形，（为什么？）即22）（b a +=ab +S 矩形（注意：CD EN S S 矩形=（3）如右图：设a AC =，则，2ba AD +=， 则222b a +而b a ）（22+这两个面积的差等于MNG S ∆即222b a +=22）（b a ++MNG S ∆（为什么？）ABCODFA BC D二、均值不等式的应用【适应性预备练习】1、课本P11练习1、2、32、课本P11习题1、2、3、4、6;2(4);(3);411)2( ;2211 ,322ab ba abab abb a )ba b)((a abb a R b a >+>+>++>++∈+）（）成立的是（则下列不等式中一定不、、设 zxyz xy z y x R z y x cba b a c a c b R c b a ++≥++∈≥+++++∈+222,2614求证：、、）已知：（，证明：、、）已知：、（ 【方法三种：均值不等式、构造函数的方法、配方法】（一）应用于证明不等式--------值不等式证之.1、 证明：log 5lg 42<(2)12222222444c b b a b a c b a R c b a ++++≥++∈）（、、、已知;(2) 4;))((13222c b a ac c b b a c b a c b a R a 、、b、c ++≥++≥++++∈+），求证：（、设9)111)(( (3)≥++++cb ac b a .8)1-1)(1-1)(1-1231,14≥≤++=++∈+cb ac b a c b a R a 、、b、）（；（）（求证：，若、设 9111 (3)≥++c b a ； ;31)4(222≥++c b a )(2,,5222zx yz xy z cb a y b ac x a c b R c b a R z y x ++≥+++++∈∈+求证：、、、、、若4171(4).225)b 1(b )1(3)( ;425)b 1)(b 1)(2( ;811111,0,0622≥+≥+++≥++≥++=+>>ab ab a a a a ab b a b a b a ）（，求证：、设【第（1）题方法：具有代表性，五种方法。

⑦向量形式的柯西不等式：,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k αβ=时，等号成⑧排序不等式（排序原理）：()22b c a b R ++≥∈，（当且仅当a b c ==...a ≤≤≤,...,c 是b知识点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：(2)12,33y x x x =+>-。

变式练习：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值12sin ,(0,)sin y x x xπ=+∈。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。

技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t-+-++==++） 当,即t=时,4259y t t≥⨯+=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。

评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为()(0,0)()A y mg xB A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

变式练习(1) 231,(0)x x y x x++=>技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。

例：求函数2254x y x +=+的值域。

解：令24(2)x t t +=≥，则2254x y x +=+22114(2)4x t t t x =++=+≥+ 因10,1t t t >⋅=，但1t t=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

三个正数的均值不等式的证明（实用版）目录1.引言2.三个正数的均值不等式的定义和表述3.证明过程a.使用柯西不等式进行证明b.使用权和均值不等式进行证明4.结论5.总结正文1.引言在数学中，均值不等式是一种常见的不等式，它应用于各种实际问题中，如求解最值问题、概率论等。

在本文中，我们将讨论如何证明三个正数的均值不等式。

在开始证明之前，我们需要先了解均值不等式的定义和表述。

2.三个正数的均值不等式的定义和表述三个正数的均值不等式是指：对于任意三个正数 a、b、c，有(a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。

换句话说，三个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。

3.证明过程为了证明这个不等式，我们可以使用两种方法：柯西不等式和权和均值不等式。

a.使用柯西不等式进行证明根据柯西不等式，对于任意实数 a1、a2、a3 和 b1、b2、b3，有 (a1b1 + a2b2 + a3b3)^2 <= (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)。

取a1 = a2 = a3 = 1，b1 = b2 = b3 = 1，我们可以得到 (1+1+1)(1+1+1) <= (1^2 + 1^2 + 1^2)(1^2 + 1^2 + 1^2)，即 9 <= 9，这个不等式显然成立。

然后我们考虑将不等式中的 a、b、c 替换为 1/a、1/b、1/c，得到 (1/a + 1/b + 1/c)^2 <= (1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)(1 + 1 + 1)，即 (a+b+c)/3 >= (abc)^(1/3)。

因此，我们证明了三个正数的均值不等式。

b.使用权和均值不等式进行证明根据权和均值不等式，对于任意正数 a、b、c 和正实数 x、y、z，有 (ax+by+cz)/(x+y+z) >= (a^x + b^y + c^z)^(1/(x+y+z))。

三次均值不等式证明三次均值不等式证明是一种数学证明方法，它用来证明一个特定的关系或函数的最小值。

该证明以三次均值作为其中心思想，将这一表达式的最小值的证明分解为三个部分。

首先，我们介绍三次均值不等式的定义：对于任意的整数n>=2，任意的整数a1，a2，…，an，以及任意的正数c1，c2，…，cn，当存在一个c使得c1 + c2 + … + cn = c时，有：c(a1 + a2 + … + an) >= (c1a1 + c2a2 + … + cnan)简单来说，就是如果c1+c2+…+cn=c，则有：c*(a1+a2+…+an) >= (c1*a1+c2*a2+…+cn*an)。

也就是说，c1*a1+c2*a2+…+cn*an 的最小值是c*(a1+a2+…+an)。

其次，我们来看看如何用三次均值不等式证明函数f(x)的最小值。

假设f(x)是一个定义在区间[a,b]上的函数，要求证明在[a,b]内，f(x)的最小值是M。

首先，我们令f(x)=c1*a1+c2*a2+...+cn*an，其中c1,c2,...,cn是常数，a1,a2,...,an是函数f(x)在区间[a,b]上的不同值。

根据三次均值不等式，我们有：M <= c1*a1+c2*a2+...+cn*an （1）然后，我们考虑将函数f(x)在区间[a,b]上的不同值用一些中间值代替，比如t0，t1，t2，…，tn-1，tn，令：f(x) = t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn令c1=c2=…=cn=1，则有：M <= t0 + t1 + t2 + … + tn-1 + tn （2）最后，我们用三次均值不等式对（2）进行处理，令：t0 = (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n由此，我们有：M <= (t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n + t1 + t2+ … + tn-1 + tn根据三次均值不等式，我们有：M <= [(t1 + t2 + … + tn-1 + tn)/n] * n即：M <= t1 + t2 + … + tn-1 + tn此时，我们已经证明了函数f(x)在区间[a,b]上的最小值是M。

均值不等式不等式知识清单如果a ,b ∈{x |x 是正实数}，那么2b a +≥ab （当且仅当a =b 时取“=”号）.注：该不等式可推出:当a 、b 为正数时,2112a b a b++≥（当且仅当a = b 时取“=”号）即:平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数 2.含立方的几个重要不等式（a 、b 、c 为正数）： ⑴3322a b a b ab ++≥⑵由3332223()()a b c abc a b c a b c ab ac bc ++-=++++--- 可推出3333a b c abc ++≥(0a b c ++>等式即可成立,0a b c a b c ==++=或时取等); ⑶如果a ,b ,c ∈{x |x（当且仅当a =b =c 3.绝对值不等式：1231a b a b a a a a a --+++⑴≤≤⑵≤例1、已知x,y (1)如果xy 是定值；(2)如果x+y 是定值S ，那么当x=y 时，和xy 有最小值214S ；例2、已知a,b,c,d 都是正数，求证(4a a abcd ≥b+cd)(c+bd)例3、若a,b,c 都是正数，求证：222a b c ab bc ca ++≥++练习：若a,b,c 都是正数，a+b+c=1,求证：1119abc++≥作 业:1、若,a R ∈下列不等式恒成立的是（ ） A ．21a a +> B ．111a +< C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2、若,x R -∈则1y xx=+（ ）A. 有最大值-2B. 有最小值2C. 有最小值-2D. 无最值 3、1sin ,(0,]y x x π=+∈最小值是（ ）A ．4、若x>0,5、当0,4x >6、若lg lg x +21y+x的最小值是______,此时x=________7、若x,y,z xyz8、若a,b,c 都是正数，a+b+c=1,求证：6b c c a a b abc+++++≥9、直角三角形的周长为定值c,求它的面积的最大值；（2）例1、 如图：用篱笆围一块面积为502m 的一边靠墙的矩形篱笆墙，问篱笆墙三边分别长多少时，所用篱笆最省？此时篱笆墙长多少米？例2、(1)求11(0)x y x x +=+≥的最小值，并求相应的x 的值，(2) 24(0)y x x x=+>的最小值，并求相应的x 的值，例33m ，池两边每平方造价150元，练习：(1) 求函数y =(2) 求函数y =(3) 求函数52)y x x =<<的最大值；作业：1、若,,xy R ∈且x+y=5,则33x y +的最小值（ ） A ．4 B ． ． D ．50250m xm x m2、已知m+n=1,m>n>0,则m,n,2mn,22m n +中最大的一个是（ ） A ． n B ．m C ． 2mn D ．22m n +3、若lo g 1,01,01,x y aa x y ⋅=<<<≤<且log a则xy 的最值情况（ ）A ．无最大值也无最小值B ．有最大值但无最小值C ．有最小值但无最大值D ．有最大值也有最小值4、如果圆柱轴截面的周长为定值1，那么圆柱体积最大值为_________5、若x>6时，函数1,6y x x =++当x=____时，函数有___值是_____6、若a,b 都是正数，a+b =1,求证：1125()4a b ab++≥；7、求2y =的最小值；8、交通部门规定：在此地段内的车距d (m)正比于车速且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长为s(m),9、若,(0,),x y ∈+∞。