2019年上海高考数学·第一轮复习讲义 第26讲 排列组合

2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

解题技巧：（1）对附有限制条件的排列组合，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置。

（2）对下列附有限制条件的排列组合，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻——插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位。

（3）对附有限制条件的排列组合要掌握正向思考问题的方法——直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法。

3、二项式定理二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，它一共有1+n 项，其中各项的系数rn C （n r ,2,1,0=）叫做二项式系数。

式子中的r r n r n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项为展开式的第1+r 项：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=. 注：二项式系数是指二项展开式中出现的组合数),2,1,0( =r C r n ；系数是指每一项前的系数，注意它们的区别。

二项式系数具有下列性质：（1）等距性：与首末两端等距离的二项式系数相等；（2）最值性：若n 为偶数，中间一项（第2n ＋1项）的二项式系数最大；若n 为奇数，中间两项（第21+n 和21+n ＋1项）的二项式系数最大； 在二项式定理中，如果设＝1，＝，则得到公式(公式可以直接利用)：（3）0122;n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312;n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=二项式定理的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算。

当|x|充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①(1+x)n≈1+nx ；②(1+x)n≈1+nx+2)1(-n n x2； （5）证明不等式。

二、例题解析排列组合1、若425225+=x x C C ，则x 的值是 （ ） A.4 B.7C.4或7D.无解 2、210242322C C C C ++++ 的值（ ） A.990B.165C.120D.55 3、31984-=m m P P ，则.__________=m4、5名同学报名参加4项体育活动（每人限报一项），则不同的报名方式共有___________种。

5、安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是 .(用数字作答)6、12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是_________.7、如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为_______8、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于8分的取法有_____________种 (用数字作答).9、10个相同的球放入6个盒中，每个盒中至少一个的放法有________种。

10、某校需要在8名男生和8名女生中选出4名参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同选人方式有___________种。

11、从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有__________种。

12、用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．13、某班30名同学，一年按365天计算，至少有两人生日在同一天的概率是 （ ）A ．30303653651A -B ．3030365365AC ．3036511- D ．30365114、3名男生与3名女生站在一排，如果要求男女生相间站，那么站法有（ ）A ．36种B ．72种C ．108种D ．144种15、若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值，则这些方程表示不同的直线条数A ． 22B ． 30C ． 12D ． 1516、类题：}7,4,3,2{},9,8,5,2{∈∈b a ，方程12222=+by a x 表示中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆，则这样的椭圆有______个。

17、平面内有两组方向不同的平行线，一组有m 条，另一组有n 条，则它们相交可构成的平行四边形的个数有（ ）A.mn 个B.4m n C + 个C.22n m A A ⋅ 个D.22nm C C ⋅ 个18、从小于50的自然数中，取两个不同的数，使两数之和恰好是3 的倍数，不同的取法有几种？从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？19、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？（1）甲排头:（2）甲不排头，也不排尾:（3）甲、乙、丙三人必须在一起:（4）甲、乙之间有且只有两人:（5）甲、乙、丙三人两两不相邻:（6）甲在乙的左边（不一定相邻）:（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序:（8）甲不排头，乙不排当中:20、用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中（1）能被5整除的数有多少个？（2）能被3整除的数有多少个？（3）能被6整除的数有多少个？二项式定理1、46100被5除所得余数为________2、210(1)x -的展开式中2x 的系数是______________，如果展开式中第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r 等于____________．3、1010)11()1(xx ++展开式中常数项为_____________。

4、的系数为的展开式中，10210)1()2(x x x -+5、在2n x ⎫⎪⎭的二项展开式中，若常数项为60，则n 等于___________6、)13)(12)(11(+++x x x …)20(+x 的展开式中含9x 项的系数是_______.7、+++=-22106)21(x a x a a x …66x a +，则++21a a …=+6a _______,_______,510=+⋅⋅⋅++a a a ______||||||||6210=+⋅⋅⋅+++a a a a __________6420=+++a a a a8、已知n xx )1(3+的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是________.（把“只有第6项”改为“第6项”，此时n=_____）9、设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C ___________. 10、类题：若*N n ∈，则-n n C 30+-113n n C …… +n n n n C )1(3)1(11-+---03C n n 的值是 ． 11、若)(13N n x x n ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第____。

12、已知23132n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．313、由100)233(+x 展开所得的x 的多项式中系数为有理数共有 ( )A ．51项B ．17项C ．16项D ．15项14、24222222k n n n n n C C C C +++++的值为 （ ） A.2n B.212n - C.21n - D.2121n --15、如果(3n x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是 （ ） A.7 B.7- C.21 D.21-16、若,)1()1()1()21(1001002210100-++-+-+=+x a x a x a a x 则10021a a a +++ ＝（ ）A 10010035-B 1005C 1003D 13100-17、设（4x －1）200＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 200x 200，求：（1）展开式中二项式系数之和；（2）展开式中各项系数之和；（3）|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 200|；（4）展开式中所有偶数项系数之和；（5）展开式中所有奇数项系数之和．。