四边形(竞赛题)

八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

人教版 初三数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案）【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点.求证：PA PC PB为定值.【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变C.等分DB⌒ D.随C 点的移动而移动【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值.P AB CDAPB【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律.（图1）（图2）【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点.求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.【能力训练】1.如图，点A ，B 是双曲线xy 3上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段.若S 阴影=1，则BOACE HG D A=+21S S _______.（第1题图） （第3题图） （第4题图）2.从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.3.如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A.30°B.40°C.50°D.60°5.如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP .连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ） A ．在平分AB 的某直线上移动 B.在垂直AB 的某直线上移动 C.在弧AMB 上移动 D.保持固定不移动（第5题图） （第6题图） 6.如图，A ，B 是函数xky =图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形.若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A.3 B.6 C.9 D.127.（1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况.在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来.请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.A ABCDEFAB'（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.8.在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.⑥⑤④③②①P(B )A PB9.如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB .在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等.指出这两条相等的线段，并予证明.（第9题图） （第10题图）（第11题图）10.如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O 的半径为R .求证： （1）2222DK CK BK AK +++是定值； （2）2222DA CD BC AB +++是定值.11.如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心.当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2.已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.P D CB A A折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋ ）A. ∠1＋∠2＝900°－2α B. ∠1＋∠2＝1080°－2α C. ∠1＋∠2＝720°－α D. ∠1＋∠2＝360°－21α（第3题图） （第4题图）4.如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则弧MTN （ ）A.在0°到30°变化B.在30°到60°变化C.保持30°不变D.保持60°不变5.如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8.若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A.5B.6C.7D.8（第5题图） 12GF EDCHBAB6.如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F .试证明：FC （AC +EC ）为定值.7.如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M .设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N .证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（第7题图） （第8题图）8.如图，设H 是等腰三角形ABC 两条高的交点，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.9.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B .过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC .现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动.点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动.线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F .设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程.NKMB AC HCBA（第9题图） （第10题图） 10.已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11.已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG .求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变. 参考答案例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 .DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN ＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = .∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM ＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP ＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OFPF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •P A ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴P A ＝PB ＋PC ，从而P A 2＋ PB 2＋ PC 2＝ (PB ＋PC )2＋ PB 2＋ PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×()23＝6．故P A 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273 提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝x B •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22.5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP •2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP •2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a ＋2a )，从而21AP BPCP DP+=-+为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设F A 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD ＝2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD ＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1 ⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PMEC PC=，即()2112x x EC--=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989)⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥P A ，故只要QC ＝P A 185． ⑶即可，而P A ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4.5．说明P在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝P A ＋AF ＝P A ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4.5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6.5，∴t ＋2＝244414255=．∴t ＝ 4145－2． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4.5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝224．由于224≈15，又0≤5t ≤22.5，∴－8≤5t －8≤14.5，14.52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4.5)满足此方程．综上所述，当t ＝4145－2时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB 的垂线CH ，EM ，G N ，垂足分别是H ，M ，N ．容易证明△AEM ≌△ACH ，△B G N ≌△BCH ．从而有AM ＝CH ＝BN ，EM ＝AH ，G N ＝BH ．这样，线段AB 的中点O 也是线段MN 的中点，连接OP ，则OP 是梯形EMN G 的中位线，从而OP ⊥AB ，OP ＝12(EM ＋G N )＝ 12(AH ＋BH )＝12AB ．∴无论点C 在AB 同一侧的位置如何，E G 中点P 的位置不变．。

第10章 四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析 如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠． 所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析 如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析 如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积． 解析 如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析 设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =6CD =，求AD ． 解析 如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB A F =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析 如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析 如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析 如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠． 又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析 如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析 如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B E C E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析 如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ． 由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =． 解析 如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =． 问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =． 解析 如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析 如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析 如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =． 不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析 如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =． 又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析 如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证：AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析 如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应 边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析 延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =． 又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==． 设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析 如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析 如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。

这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。

同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。

考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。

同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。

考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。

这个问题也是几何学中的基础问题之一。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。

这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

4.证明线与圆相切在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。

这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。

我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。

5.证明垂直在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9 平面几何（50题竞赛真题强化训练）一、填空题1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x y a b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．8．（2018·河北·高三竞赛）在△ABC 中，3AC =，sin sin (k 2)C k A =≥，则△ABC 的面积最大值为_____.9．（2021·全国·高三竞赛）已知直角梯形ABCD 中，//AB CD ，对角线AC 、BD 相交于O ，90DAB ∠=︒，P 、Q 分别是腰AD 、BC 上的点，且,BPA DPC AQB DQC ∠=∠∠=∠，若23AB CD =，则OP OQ=_________．10．（2019·山东·高三竞赛）△ABC 中，16,9AB BC CA ===.在△ABC 外部，到点B 、C 的距离小于6的点组成的集合，所覆盖平面区域的面积是______ .二、解答题11．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足60A ∠=︒，E 、F 分别为AB AC 、延长线上的点，且,BE CF BC ACE ==的外接圆与EF 交于不同于E 的点K ．证明：点K 在BAC ∠的角平分线上．12．（2021·全国·高三竞赛）如图，在平行四边形ABCD 中，1A ､1C 分别是边AB BC 、上的点，线段1AC ､1CA 交于点P ，1AA P 和1CC P △的外接圆的第二个交点Q 位于ACD △的内部.证明：PDA QBA ∠=∠.13．（2021·全国·高三竞赛）如图，设O 、H 分别为ABC 的外心与垂心，M 、N 分别为BH 、CH 的中点．BB '是ABC 的外接圆的一条直径，如果HONM 是一个圆的内接四边形，证明：12B N AC '=． 14．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知锐角ABC 的外接圆为Γ，过B 、C 分别作圆Γ的切线交于点P ，P 在直线BC 、AC 、AB 上的投影分别为D 、E 、F ，DEF 的外接圆与BC 交于点N （不同于点D ），A 在BC 上的投影为M ．求证：BN CM =． 15．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，M 为BC 的中点．D 为线段BM 上一点，E 、F 分别为AC AB 、上的点，且四边形AEDF 为平行四边形.BO 交DE 于点P ，CO 的延长线交DF 的延长线于点Q ，ABC 的外接圆O 交ADM △的外接圆于A 、K 两点．求证：K 、Q 、P 、O 四点共圆．16．（2021·全国·高三竞赛）如图，AE 、AF 为圆的两切线，ABC 为圆的一条割线，EF 为切点连线，D 为过C 、B 关于圆的切线的交点，证明：D 、E 、F 共线． 17．（2021·全国·高三竞赛）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，G 为重心，P 为射线AG 上一点，满足CPA CAB ∠=∠，Q 为射线BG 上一点，满足CQB ABC ∠=∠，证明：AQG 、BPG 的外接圆的另一个交点在AB 上．18．（2021·全国·高三竞赛）如图，设圆内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点P ，并且DA 与CB 交于Q ．若PQ AC ⊥，且E 是AB 的中点．求证：PE BC ⊥． 19．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，BC 最短，D 、E 分别在AB AC 、上满足BD CE BC ==，设I 是ABC 内心，O 是ADE 外心，求证：OI BC ⊥. 20．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 中，D 为边BC 中点，ABD △内切圆与边AB 切一点,E ACD 的内切圆与边AC 切于点F ，若四边形EDFG 为平行四边形，求证：G 在BAC ∠的平分线上.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，已知圆O 是ABC 的外接圆，切线、BP CP 交于点P ，D 是BC 的中点，K 、L 分别在线段AB AC 、上，且满足KD LD ⊥，连结KP LP 、，求证：2BPC KPL ∠=∠．22．（2021·全国·高三竞赛）点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点，过P 作椭圆两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，连结AB ，点M 、N 分别为PA 、AB 中点，连结MN 并延长交椭圆于点C ，连结PC 交椭圆于另一点D ，连结ND 并延长交PB 于Q ，证明：Q 为PB 的中点．23．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，AB AC >，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，ADE 的外接圆与BCE 的外接圆交于点P （异于E ），ADE 的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q （异于D ），证明：AP AQ =．24．（2019·江西·高三竞赛）如图所示，BE 、CF 分别是锐角三角形△ABC 的两条高，以AB 为直径的圆与直线CF 相交于点M 、N ，以AC 为直径的圆与直线BE 相交于点P 、Q .证明：M 、N 、P 、Q 四点共圆.25．（2019·山东·高三竞赛）已知：正方形ABCD 的边长为1点M 是边AD 的中点以M 为圆心AD 为直径作圆，点E 在线段AB 上，且直线CE 与圆相切.求△CBE 的面积. 26．（2018·江西·高三竞赛）如图，ABC 的内心为I ，D 、E 、F 分别是边BC 、CA 、AB 的中点，证明：直线DI 平分DEF 的周长．27．（2018·福建·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，E 、E 是边BC 上的点，ABC 、ABD △、ADC 的外心分别为O 、P 、Q ．证明：（1）APQ △ABC ；（2）若EO PQ ⊥，则QO PE ⊥．28．（2019·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，设△C=90°，CD AB ⊥，垂足为D ，P 、Q 分别为ADC ∆、BDC ∆的内心，PQ 与CD 交于点K ，记ABC ∆的面积为S.证明：22111CK CD S-=. 29．（2018·全国·高三竞赛）如图，1O 与2O 的半径相等，交于X 、Y 两点. ABC ∆内接于1O ，且其垂心H 在2O 上，点Z 使得四边形CXZY 为平行四边形.证明：AB 、XY 、HZ 三线共点.30．（2021·全国·高三竞赛）如图，以AB 为直径的圆上有C 、D 两点，AC 、BD 两点的中点为E 、F ，直线EF 与直线AD 、BC 分别交于G 、H ，求证：以FG 为直径的圆和以EH 为直径的圆有一交点在CD 上．31．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，在等腰ABC 中，AB AC =，设点D 是边AC 上一点，点E 是线段BD 的中点，延长AE 与底边BC 交于点F ，证明：若BF EF =，求证：2AE AB AD =⋅.32．（2021·全国·高三竞赛）如图，在锐角ABC 中，已知点D ､E ､F 分别是点A ､B ､C在边BC ､CA ､AB 上的投影，AEF ､BDF 的内心分别为1I ､2I ，1ACI ､2BCI 的外心分别为1O ､2O ，证明：1212//I I O O .33．（2021·全国·高三竞赛）如图，AB 是O 的一条弦，AB 的垂直平分线交O 于M N 、两点，交AB 于点D ．P 为O 内一点，DMP 外接圆交PN 于点,E ABE 的外接圆交MP 于点F ，且点M P E F 、、、在直线AB 同侧．证明：EF PN ⊥． 34．（2021·全国·高三竞赛）如图，锐角ABC 的外接圆为Γ，D 是A 在BC 上的射影，假设AD BC =，点M 为DC 中点，ADC ∠的角平分线与AC 交于点N ，Γ上一点P 满足//BP AC ．直线DN 与AM 交于点F ，直线PF 与圆Γ再交于点Q ．直线AC 与PNQ 的外接圆再交于点E ．证明：90DQE ∠=︒．35．（2021·浙江·高三竞赛）如图，O 是ABC 的外接圆，D 是弧BC （不含A ）上一点，S 为弧BAC 的中点.P 为线段SD 上一点，过P 作DB 的平行线交AB 于点E ，过P 作DC 的平行线交AC 于点F ，过O 作SD 的平行线交弧BDC 于点T .已知O 上的点Q 满足QAP ∠被AT 平分.证明：QE QF =.36．（2021·全国·高三竞赛）在锐角ABC 中，D 为边BC 上一定点，P 为AD 边上一动点，直线CP 交AB 于点Q ，DQ 交BP 于点X ．BCX 、CAX 、ABX 的三个外接圆分别交DQ 于X 外的另三点1Y 、2Y 、3Y ，过1Y 、2Y 、3Y 分别作DQ 垂线1l 、2l 、3l ，证明：1l 、2l 、3l 均过定点．37．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，点P 、Q 、R 分别位于边BC 、CA 、AB 上，A ω、B ω、C ω分别是AQR 、BRP △、CPQ 的外接圆，线段AP 与A ω、B ω、C ω分别相交于点X 、Y 、Z .证明：YX BP XZ PC=． 38．（2021·全国·高三竞赛）点O 是ABC 的外接圆圆心，含点A 的BC 的中点为S ，点T 在不包含点A 的BC 上.点M 在圆O 上且//SM OT .点P 在线段SM 上.过点P 作MB 的平行线交AB 于点F ，过点P 作MC 的平行线交AC 于点E .点Q 在圆O 上，使得AT 是PAQ ∠的角平分线.证明：QE QF =.39．（2021·全国·高三竞赛）如图，在ABC 中，A B C ∠≥∠≥∠，且AD 为BC 边上的高，BE 为AC 边上的中线，CF 为C ∠的平分线，AD 与CF BE 、分别交于P R 、两点，BE 与CF 交于Q 点，令PQR ABC Sx S =．求证：16x <，且16是最好的界（即可以无限接近于16）． 40．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的内心为点I ，内切圆分别切BC CA AB 、、于D E F 、、．直线DF 与EI 交于点N ．连结并延长BN ，交AC 于点M ．求证：M 是AC 中点．41．（2021·全国·高三竞赛）已知O 上依次四点A ､B ､C ､D ，射线AB DC 、交于点P .射线AD BC 、交于点Q ，弦AC BD 、交于点R ，点M 为线段PQ 的中点.过点O 作MR 的垂线，分别PQ MR 、于点U ､V .过点U 作O 的切线UK ，与O 切于点K . 证明：（1）P ､Q ､V ､O 四点共圆；（2）K ､M ､R 三点共线.42．（2020·全国·高三竞赛）如图，在等腰ABC 中，AB BC =，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上一点，满足3AP PC =，PI 延长线上一点H 满足MH PH ⊥，Q 为ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点．证明：BH QH ⊥．43．（2020·全国·高三竞赛）如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分△BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .44．（2019·江苏·高三竞赛）如图所示，D 是△ABC 中，边BC 的中点，K 为AC 与△ABD 的外接圆O 的交点，EK 平行于AB 且与圆O 交于E ，若AD =DE ，求证：AB AK KC +=.45．（2019·广西·高三竞赛）如图所示，AD 、AH 分别是△ABC （其中AB >AC ）的角平分线、高线，点M 是AD 的中点，△MDH 的外接圆交CM 于点E .求证：△AEB =90°. 46．（2019·福建·高三竞赛）如图，O ､H 分别为锐角△ABC 的外心垂心，AD △BC 于D ，G 为AH 的中点点K 在线段GH 上，且满足GK =HD ，连结KO 并延长交AB 于点E .（1） 证明：//EK BC ；（2） 证明：GE GC ⊥.47．（2019·全国·高三竞赛）如图，点A ､B ､C ､D ､E 在一条直线上顺次排列，满足BC =CD P 在该直线外，满足PB =PD .点K ､L 分别在线段PB ､PD 上，满足KC 平分△BKE ，LC 平分△ALD .证明：A ､K ､L ､E 四点共圆.48．（2021·全国·高三竞赛）如图，给定两个相交的圆1O 与2O ，A 、B 为1O 、2O 的交点，一动直线经过B 与1O 交于点C ，与2O 交于点D ，且B 在线段CD 内，过C的1O 的切线与过D 的2O 的切线相交于点M ，连结AM 交CD 于点E ，过点E 作DM 的平行线交AD 于点K ，求点K 的轨迹.（2021·全国·高三竞赛）ABC 的外接圆与内切圆分别为Γ、Ω，ΩA 为A -旁切圆． 49．证明：存在唯一圆1ω，1ω与Ω内切、与ΩA 外切，并且与Γ内切于点A ． 50．设圆1ω与ΩA 、Ω的切点分别为P 、Q ．如果BAQ CAP ∠=∠，求证：AB AC =．。

四边形竞赛试题一、选择题：1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC , BD 交于点0 .已知/ AOB=60 ° AC = 16,则图中长度为8的线段有（ ）A. 2条B . 4条C . 5条D . 6条2如图，形ABCD 中，AB = 6，点E 在边CD 上，且CD = 3DE .将△ ADE 沿AE对折至△ AFE,延长EF 交边BC 于点G ,连结AG 、CF .下列结论： ①厶ABG ^A AFG ；②BG = GC ；③AG //CF ；④S ^FGC = 3.其中正确结论的 个数是（）3.如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合, 点B 落在点F处，折A . 1B. 2C . 3DC痕为AE,且EF=3,则AB的长为（）4. 已知一个菱形的周长是 20cm ，两条对角线的比是4： 3，则这个菱形的面积是( )2 2 2 2A . 12cm B. 24cm C . 48cm D . 96cm5. 四边形的四条边长分别是 a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且满足a 2b 2c 2d 2 2ab 2cd ，则这个四边形一定是( )A .平行四边形B .两组对角分别相等的四边形C .对角线互相垂直的四边形D .对角线相等的四边形 &如图，形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并在平 AB 与 CD 之间，若 PA 二一 \ PB= :■:, PC=-，则 ( ) A . 2、 B. 彳 C . 3： D .7、如图，以Rt A ABC 的斜边BC 为一边在△ ABC 的同侧作形BCEF 设形的中心 为O ，连结AO ，如果AB=4，AO= 6、2，那么AC 的长等于( )(A) 12(B) 16(C) 4、3 (D) 8,2AB // DC ，AB 丄 BC, E 是 AD 的中点, 则梯形ABCD 的面积等于( ).A . 3B. 4C. 5D. 6B(A ) 13(B ) 8 (C )13(D ) 4D行线 :PD=C8、如图，在梯形7軀BCD 中, , ，（第 9 题） （第 10 题）9、 如图，在菱形 ABCD 中，/ A=110 ° , E , F 分别是边AB 和BC 的中点，EP丄CD 于点P ,则/ FPC=（ ） A . 35° B . 45° C . 50° D . 55° 10、 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF.若AB = 3,则BC 的长为（ ） A . 1 B . 2 C . 2 D . ,3二、填空题：1、如图，△ ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5,A ABD 、A ACE 、A BCF 都是等边 三角形，则四边形AEFD 的面积为 __________2、 在矩形 ABCD 中，已知两邻边 AD=12，AB=5，P 是AD 边上异于A 和D 的 任意一点，且PE 丄BD ，PF 丄AC ，E 、F 分别是垂足，那么 PE+PF= ______ .3、 长方形 ABCD 的面积为8，E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=FD=2，贝AEF 的面积= ____________ .4、 在梯形 ABCD 中AD//BC ，AD=2，AC=4，BC=6，那么梯形 ABCD 的面积为 5•在四边形ABCD 中，AB=DC , AD=BC.请再添加一个条件，使四边形 ABCD 是 矩形你添加的条件是 _______________ .(写出一种即可)6. 如图，矩形纸片 ABCD 中，AB = 2cm ，点E 在BC 上，且AE = EC.若将纸片沿 AE 折叠，点B 恰好与AC 上的点B'重合，则AC = ______________ c m.wBEL7. 平行四边形ABCD 中，AB = 6，BC = 4，/ ABC = 60 ° •要用一块矩形铝板E BP C切割出这样的平行四边形并使废料最少，则矩形的面积最小为___________ . 8. 阅读下面短文：如图〔，△ ABC是直角三角形，/ C=90。

第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线．如图91-,直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形．如图91-中有凸四形ABDF ,凹四边形ACDE ,折四边形BCFE ,四个三角形ACF △、BCD △、DEF △、ABE △．在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图11-后说明）；若直线AD 交BF 于H ,交CE 于G ,则可以写出塞瓦定理的7个式子（见图23-）；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22-）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67-））等．这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条： 性质1设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点．（1）若B 、C 、E 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线AD 所在直线上,且OM AD ⊥； （2）若A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线CE 上,且OM CE ⊥． 注此性质还可参见例10（9）,例11（3）、（5）．O B KC(a)MD FEOBMC F 图9-2(b)D证明（1）如图92- （a ）．设过B 、C 、D 三点的圆交直线于点M ',则AD AM AB AC AE AF '⋅=⋅=⋅,即知点M '在DEF △的外接圆上,亦即知点M '就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．设K 为AM 延长线上一点,由2CME CMK KME CBE CFE CFE COE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,知C 、E 、O 、M 四点共圆．于是1902OMK OME EMK OCE COE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,即证．（2）如图92- （b ）．同（1）可证过B 、C 、D 三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．由圆幂定理（即点对O 的幂）有 222CO CD CF R CM CE R =⋅+=⋅+,222ED ED ED R EM EC R =⋅+=⋅+（其中R 为O 半径）．上述两式相减,有()2222CO EO CE CM ME CM ME -=-=-．由定差幂线定理,知OM CE ⊥．推论1在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、 OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点．事实上,可设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则由性质1（2）,知M 在CE 上,且OM CE ⊥．于是,知C 、M 、D 、B 及M 、E 、F 、D 分别四点共圆,有9090BMO BMC BDC ∠=︒-∠=︒-∠()9018090BDF BDF =︒-︒-∠=∠-︒=11(180)909022BOF BOF BFO ︒-∠-︒=︒-∠=∠．从而知,点M 在OBF 上．同理,知点M 在OAD 上．由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M ．故以上六圆共点M ．同理,设N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于N ．设L 为完全四边形EFAGBD 的密克尔点,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L ．图9-3l 6l 5l 4l 1BDCGMFE N L推论2如图93-,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ．CDB 与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,⋯,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、 8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．事实上,可设M 、L 、N 分别为完全四边形ABCDEF 、EFAGBD 、CDFGAB 的密克尔点,则OM CE ⊥于M ,OL EG ⊥于L ,ON CG ⊥于N ．注意到OM 是ODA 与OBF 的公共弦,则4l 是OM 的中垂线,从而知4l 过OC 的中点,4l 也过OE 的中点．因CN 是CDA 与CFB 的公共弦,则2l 是CN 的中垂线,而ON CN ⊥,从而2l 过OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦,则1l 是CM 的中垂线,又OM CM ⊥,则1l 过OC 的中点,ON 是OBD与OFA 的公共弦,则3l 是ON 的中垂线．而ON CN ⊥,3l 过OC 的中点．故1l 、2l ,3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点．同理,注意到LE 、ME 、OL 分别是EAD 与EFB ．EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦,推知4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点．注意到GN 、LG 、OL 、ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦,推知,3l 、7l 、8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．注 由上述推论,即知下列竞赛题即为其特殊情形： （1）（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆,对角线AC 与BD 交于点P ,PAB △、PBC △、PCD △、PDA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．（2）（2006年国家集训队测试题）四边形ABCD 内接于O ,且圆心O 不在四边形的边上,对角线AC 与BD 交于点P ,OAB △、DBC △、OCD △、ODA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．性质2完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF 、CE 的中点M 、N 、P 共线（即牛顿线）．图9-4证明如图94-,分别取CD 、BD 、BC 的中点Q 、R 、S ,于是,在ACD △中,M 、R 、Q 三点共线；在BCF △中,S 、R 、N 三点共线；在BCE △中,S 、Q 、P 三点共线．由平行线性质,有MQ AC MR AB =,HR FD NS FC =,PS EBPQ ED =． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理,有1CA BE DEAB ED EC⋅⋅=,即有1QM RN SP MR NS PQ ⋅⋅=． 再对QRS △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M 、N 、P 三点共线．注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10多种．性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）． 证明如图95- （a ）、（b ）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD 所在直线交BF 于M ,交CE 于N ,需证AM MDAN ND=（此式表明点M 、N 调和分割AD ）． NPBDCFAEBDCFANE (b)(a)图9-5MM若BF CE ∥,如图95- （a ）,则由AM BF MDAN CE ND==,即证． 若BF CE ≠,可设直线BF 与CE 交于点P ． 对ADF △及点B 应用塞瓦定理,有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=． 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理,有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=． 上述两式相除,即得AM MDAN ND=． 对于图95- （b ）,类似地可证明有BM MF BP NF =（M 、P 调和分割BF ）,CN NECP PE=（N 、P 调和分割CE ）；对于图95- （a ）,也可看作直线BF 、CE 相交于无穷远点,也有这两式．性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上．C图9-6证明如图96-,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD 、BF 、CE 为直径作圆,这三个圆 的圆心就是三条对角线的中点M 、N 、P ．设1H 、2H 、3H 、4H 分别为DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的垂心,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）． 在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H 、3H 、4H 不重合,由于DEF △的垂心1H 是三个圆两 两根轴的根心,而对于DEF △,在它的边所在直线上的高C 、B 、A ,点1H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上．同样,对于ACF △,在它的边所在直线上的点B 、D 、E ,其垂心2H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,以及点3H 、4H 均关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等．故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴,且四个三角形的垂心在这条根轴上．注 证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线,也可以这样证：由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的外接圆交于一点M ,且点M 关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质：点P 的西姆松线平分点P 与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH 的中点,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线．推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）．性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等． 上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF △、BCD △、DEF △、ABE △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为423O O O △、413O O O △、241O O O △、123O O O △的垂心,则 （1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆）；（2）423O O O ACF △∽△,123O O O ABE △∽△,241O O O DEF △∽△,413O O O BCD △∽△；（3）1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上,且四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ． 证明设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,连接BM 、2CO 、2O M 、3MO 、DM ,则（l ）12211801802O O M CO M CDM ∠=︒-∠=︒-∠．同理,13180O O M FDM ∠=︒-∠．从而()1213360180O O M O O M CDM FDM ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此,1O 、2O 、3O 、M 四点共圆．同理,3O 、4O 、2O 、M 四点共圆．故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．图9-7(a)（2）由BM 为2O 与4O 的公共弦,则知24O O BM ⊥．同理23O O DM ⊥． 于是423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．同理,24323180O O O O MO BAF CAF ∠=︒-∠=∠=∠,故423O O O ACF △∽△． 同理,123O O O ABE △△∽． 于是241O O O BEA DEF ∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O ∠=∠+∠=∠+∠ CAF ACF DFE =∠+∠=∠．从而241O O O DEF △∽△． 同理,413O O O BCD △∽△．（3）自2O 作34O O 的垂线交BE 于1H '点,连4BO 、2BO 、41O H ',由4O 为ABE △的外心,有1490H BO BAE '=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠,知14124H BO H O O ''∠=∠,从而1H '、2O 、B 、4O 四点共圆,于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心,知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424239090H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠,即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这表明41O H '也垂直于23O O ,即知1H '为423O O O △的垂心,故1H '与1H 重合．过3O 过14O O 的垂线交AE 于2H ',连4O E 、3O E 、42O H ',则4290O EF ABE '∠=︒-∠,()4321431439018090=18090=90O O H OO O OO O CBD ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=∠-90︒︒-∠-︒︒-∠,从而2H '、4O 、3O 、E 四点共圆,则有42343O H O O EO '∠=∠．又132134432429090OO H OO O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠, ()()42343334290O H O O FO DEO DEO DEF DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠-∠()()9090180180DEF DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠,即13242390OO H O H O ''∠+∠=︒,这说明2H '为134O O O △的垂心,故2H '与2H 重合． 过点2O 作14O O 的垂线交AC 与点3H ',连1CO 、2CO 、31H O ',则()32121432132118018090H O O O OO H O O DEF H O O AFC '''∠+︒-∠=∠+︒-∠=∠+∠=︒,3190H CO AFC '∠=︒-∠．于是32131H O O H CO ''∠=∠,即知3H '、C 、2O 、1O 四点共圆,有23121O H O O CO '∠=∠．又3243211243112490H O O H O O OO O H CO OO O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ ()9090FDE FED FDE FED=︒-∠++∠=︒-∠,()231121290O H O OCO ACF ACO FCO ACF AFC '∠=∠=∠-∠+∠=∠-︒-∠()90180180CBD CAF CBD CAF FED CAF FED +∠-︒=︒-∠+∠-︒=∠+∠-∠=∠．即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒,由此知3H '为124O O O △的垂心,故3H '与3H 重合．OMH 1H 2H 3H 4O 4O 1O 3O 2图9-8过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H ',连1O F 、14O H '、3O F ,由1O 为ACF △的外心,有490H FQ FAC '∠=︒-∠及4312139090H O O O OO FAC '∠=︒-∠=︒-∠,知41431H FO H O O ''∠=∠,从而4H '、3O 、F 、1O 四点共圆,于是41343H O O H FO ''∠=∠．又3O 为DEF △的外心,知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠ 于是4131329090H OO FED OO O '∠=︒-∠=︒-∠,即41313290H O O O O O '∠+∠=︒．这表明14O H '也垂直于23O O ,即知4H '为123O O O △的垂心,故4H '与4H 重合． 综上可知,1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上． 下面,我们证明四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．由于1O 、2O ．3O ．4O 共圆,设该圆圆心为O ,设M 为23O O 的中点．由垂心的性质（即Servois 定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离,等于外心至其对边的距离的两倍．于是412O H OM =且41O H OM ∥,142O H OM =且14O H OM ∥,故1441O H O H ∥,即1414O H H O 为平行四边形,从而有4114H H O O ∥．同理1221H H O O ∥,2332H H O O ∥,3443H H O O ∥． 从而四边形12342143H H H H O O O O ≌．推论4在完全四边形ABCDEF 中,A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,1O 、2O ．3O ．4O 分别为BCD △、DEF △、ABE △、ACF △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为234O O O △、134O O O △、124O O O △、123O O O △的垂心,M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,1K ,2K ,3K ,4K ,5K ,6K 分别34AO O △、13BO O △、14CO O △、12DO O △、23EO O △、24FO O △的外心,24O O 与13O O 所在直线交于点1P ,直线21O O 与43O O 交于点2P ,1J 、2J 分别为14O O 、23O O 的中点,直线12I H 与34H H 交于点1Q ,直线13H H 与24H H 交于点2Q ,直线12O O 与34H H 交于点L ,直线43O O 与12H H 交于点N ,124O O O △的外心为X ,123H H H △的外心为Y ,X 与Y 交于点S 、T 则（1）O 在X ,且12ACE OO O △∽△；（2）14231423O O O O OM ST H H H H ∥∥∥∥∥； （3）14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥；（4）1243OO O MO O △△≌；（5）点1J 、2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上；（6）点1K 、2K 、4K 、6K 在直线ST 上,3K 、5K 在直线XY 上且它们关于直线XY 对称； （7）1J 、2J 分别OMC △、OME △的外心； （8）1P 、2P 分别BOF △、AOD △的外心．证明如图99-,（1）联结1OO 、2OO 、1O M 、2O M 、AD 、MD 、DO 、OB 、OF 、1O D 、2O D ,则()1111180902O MD O DM DO M DCM ∠=∠=︒-∠=︒-∠． P 2K 5L J 2J 1Q 2Q 1P 1XY K K 1K 2K 3K 4N H 1H 2H 3H 4S OO 4O 1O 3O 2B D M F AT图9-9同理,290O MD DEM ∠=︒-∠．从而()12180180180O MO DCM DEM BDC BAF ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒-∠．① 又1O 为BDC △的外心,知1OO 为BD 的中垂线,于是,112O OD BOD BAD ∠=∠=∠,212O OD FOD FAD ∠=∠=∠,则1212O OO O OD O OD BAD FAD BAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 由①、②知,点O 在X 上,注意到12121OO O OO D O O D BCD MCD BCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．③ 由②、③知,12OO O ACE △∽△．（2）注意到14O O 是公共弦CM 的中垂线,23O O 是EK 的中垂线,以及OM CE ⊥,则知1423O O O O OM ∥∥．设此三线段的中垂线为l ,则知点X 在l 上．由性质5（3）知,1414H H O O ∥,2323H H O O ∥,故1423H H H H OM ∥∥．又注意到四边形1414H H O O 为平行四边形,则由1H 为234O O O △的垂心,知四边形1414H H O O 为矩形,即知14H H 与14O O 的中垂线共线,即知点Y 也在直线l 上,亦即知l 为ST 的中垂线,故为ST OM ∥．（3）由性知5（3）知,X 与Y 为等圆,知ST 垂直平分XY ,且41XO YH =,即知四边形14XYH O 为等腰梯形,亦知ST 为14H O 的中垂线,同理ST 为23O H 的中垂线．于是14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥,且其前五条线段的中垂线为ST ．（4）由上即知1243OO O MO O △≌．（5）由（2）、（3）即知,1J ．2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 均在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上．（6）由性质5（3）知,12H H 在1K 上,即知1K 在14H O 的中垂线ST 上,同理,2K 、4K 、6K 亦在ST 所在的直线上．又3K 在14O O 的中垂线上,则3K 在XY 所在的直线上． 同理,5K 也在直线XY 上．注意到1K X 垂直平分34O O ,4K Y 垂直平分34H H ,则有14K X K Y ∥． 同理41K X K Y ∥由此知1K 与4K 关于XY 对称． 同理5K 与3K 、2K 与6K 也关于XY 对称．（7）注意到四边形14O O OM 为等腰梯形,1J 为14O O 的中点,14O O 为CM 的中垂线,则111OJ J M J C ==,即1J ,为OMC △的外心,由此知1J 在OC 上,且1J 为OC 的中点．同理,2J 在OE 上,且2J 为OE 的中点．（8）注意到1802180BMF BAF BOF ∠=︒-∠=︒-∠,知M 在OBF △的外接圆上,又1O 、3O 分别是四边形BCMD 、ABM E 的外接圆圆心,知13O O 为公共弦BM 的中垂线,同理,42O O 为FM 的中垂线．于是13O O 与42O O 的交点1P 为BOF △的外心． 同理,43O O 与12O O 的交点2P 为AOD △的外心 注以上推论由山东济南刘世军给出．性质6在完全四边形ABCDEF 中,点G 是对角线AD 所在直线上异于点A 的任意一点,则cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠证明如图910-,点G 可以在对角线AD 上或其延长线上,连CE 与直线AD 相交于点K ．在ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=．① AED KBCGAFE D KBCGBDCFAK GE图9-10(c)(b)(a)注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S CG BGC⋅∠==⋅∠△△, sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△, sin sin GEF GFA S EF EG EGAFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△ 将上述三式代入①式,得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AEG AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠．② 而()sin sin ?sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠, ()sin sin cos EGF AGE AGF ∠=∠-∠=sin cos cos sin AGE AGF AGE AGF ∠⋅∠-∠⋅∠．将上述两式代入②式,得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠．故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．性质7在完全四边形ABCDEF 中,过B 、F 作与对角线AD 平行的直线分别交对角线CE 于G 、H ,连结BH 、FG 相交于点P ,则点P 在直线AD 上．GQHBDCFAPE图9-11证明延长AD 交CE 于点Q ．对ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1CQ EF ABQE FA BC⋅⋅=．()* 由BG AD FH ∥∥,有AB GQ BC CG =,AQCQ CG BG=⋅,FH EF EA AQ =⋅． 将上述三式代入()*式得1GQ EA EHQE AF BG⋅⋅= 又由BG FH ∥,有FH FPBG PG=．于是上式变为1GQ EA EP QE AF PG ⋅⋅=． 对EFG △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知A 、P 、Q 共线,故点P 在直线AD 上．性质8在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF 有内切圆的充分必要条件是下述三条件之一：（1）BC BE FC FE +=+；（2）AC DE AE CD +=+: （3）AB DF BD AF +=+．证明（1）充分性：如图912-,在CF 上截取CG CB =,在EA 上截取EH EB =,连BG 、GH 、BH ,则FH EH EF EB EF =-==．又BC BE FC FE +=+,则BE FE FC BC -=-． 故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠、BEH ∠、GFH ∠的平分线．由CB CG =、EB EH =、FG FH =,知上述三个角的平分线所在直线是BGH △三边的垂直平分线,从而这三个角平分线交于一点．设该点为I ,由角平分线的性质,知I 到CB 与CF 、到EB 与EF ,到FC 与EA 的距离均相等,即I 到四边形ABDF 四边的距离相等,所以,四边形ABDF 有内切圆．必要性：设内切圆分别交AB 、BD 、DF 、FA 于点P 、Q 、R 、S ,则CP CR =、BP BQ =, EQ ES =,RF FS =．于是()()BC BE CP BP BQ QE +=-++=CP QE CR ES CR +=+=+()()RF FS ES CR RF ES FS FC FE -+=++-=+．（2）充分性：在AC 上截取CM CD =,在AE 上截取EN ED =,则AM AC CM AC CD AE D E =-=-=- （已知条件）AE EN AN =-=,则DCM ∠、DEN ∠、MAN ∠的平分线就是MDN △的三边的中垂线,由此即知四边形ABDF 有内切圆． 必要性：同（1）可证（略）． （3）由切线长定理即证．性质9在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆（或折四边形BCFE 有下切圆）的充分必要条件是下述三条件之一：图9-13A（1）AB BD AF FD +=+；（2）AC CD AE ED +=+；（3）BC CF BE EF +=+．证明（1）充分性：在射线AB 上取点K ,使BK BD =,在射线AF 上取点L ,使得FL FD =,连DK 、DL 、KL ．由AB BK AB BD AF FD AF FL AL +=+=+=+=,知BDK △、FDL △、DLK △均为等腰三角形,设点A I 为DKL △的外心,易知A I B 、A I F 、A I A 分别为DKL △的三边DK 、DL 、KL 的中垂线,即它们分别是DBC ∠、DFE ∠、EAC ∠的平分线,则点A I 到四边形ABDF 各边的距离相等,即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆,圆心即为A I ．必要性：（略）．（2）必要性：设旁切圆与四边形分别相切于点M 、P 、Q 、N ,则AM AN =、CP CM =、EQ EN =、DP DQ =,从而AC CD AC CP PD AM PD AN DQ AE EN +=++=+=+=++ DQ AE EQ QD AE ED =++=+．充分性：（略）．（3）类似（2）而证．【典型例题与基本方法】例1在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,E 是CD 边上一点,BE 交AC 于G ,DG 交BC 于F ．求证FAC EAC ∠=∠．（1999年全国高中联赛题）证明如图914-,在完全四边形CFBGDE 中,点A 为对角线CG 所在直线上一点,由题设知BAC CAD ∠=∠．由性质6,即知FAC EAC ∠=∠．例2已知圆1S 与圆2S 交于P 、Q 两点,1A 、1B 为圆1S 上不同于P 、Q 的两个点,直线1A P 、1B P 分别交圆2S 于2A 、2B ,直线11A B 和22A B 交于点C ．证明：当点1A 和1B 变化时,12A A C △的外心总在一个定圆上．（IMO 43-预选题,2003年国家队集训测试题）B S 2S 1QO 1O 2PA 2B 1CA 1O 图9-15证明如图915-,当点1A 和1B 变化时,点C 、1B 、1A 、P 、2B 、2A 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点Q 恰为全四边形的密克尔点,由此即知12A A C △的外心O 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上,例3如图916-,四边形ABCD 的两条对角线交于点O ,两组对边的延长线分别相交于E 、F ,过O 作EF 的平行线交BC 、AD 于I 、J ．求证：OI OJ =．（《数学教学》2006年第10期问题681号）IOB DMCFANGEJ 图9-16证明延长AC 交EF 于点G ,在完全四边形ABECFD 中,由性质3,有AO OCAG GC=． 又IJ EF ∥,则OI OC AO OJAG GC AG GF===． 故OI OJ =．注类似地,在完全四边形ABECFD 中,直线IJ 交AE 于M ,交直线ED 于N ,则有ON OC AO OMEG GC AG EG ===,故OM ON =． 由此,我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交,所得线段被对角线交点平分． 【解题思维策略分析】1．灵活应用完全四边形的优美性质解题例4以ABC △的边BC 为直径作半圆,与AB 、AC 分别交于点D 、E ．过D 、E 作BC 的垂线,垂足分别是F 、G ．线段DE 、EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（1996年第37届IMO 中国国家队选拔赛试题）A 图9-17证明如图917-,连结BE 与CD ,设它们相交于点O ,因BE AC ⊥,CD AB ⊥, 则O 为ABC △的垂心,于是AO BC ⊥．又DF BC ⊥,EG BC ⊥,则DF AO EG ∥∥． 由性质7,得点M 在AO 上,于是AM BC ⊥．例5如图918-,在ABC △中,90BAC ∠=︒,G 为AB 上给定的一点(G 不是线段AB 的中点),设D 为直线CG 上与C 、G 都不相同的任意一点,并且直线AD 、BC 交于E ,直线BD 、AC 交于F ,直线EF 、AB 交于H ．试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）GP N BDMCFAHE图9-18证明作BM CG AN ∥∥,点M 、N 均在直线EF 上．连结AM 、BN ．对CEF △,由性质7,知AM 与BN的交点P 在CG 上．则HB BM PB GBHA AN PN GA===． 这说明点H 由G 唯一确定．即点H 与D 在直线CG 上的位置无关． 注 例5中条件90BAC ∠=︒是多余的．例6如图919-,任意五角星形12345A A A A A 12345C C C C C 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点1B 、2B 、3B 、4B 、5B ．求证：1B 、2B 、3B 、4B 、5B 五点共圆．DA 5A 1A 2A 3A 4B 5B 1B 2B 3B 4C 5C 1C 2C 3C 4图9-19证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成,由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点,此题即证五个密克尔点1B 、2B 、3B 、4B 、5B 共圆． 设22B A 的延长线与14C B 的延长线交于点D ,令141B B D ∠=∠,1432B C A ∠=∠,1253B B A ∠=∠,4D ∠=∠,2335B B A ∠=∠,3346A B B ∠=∠,523 7A A A ∠=∠,314 8A C B ∠=∠．注意到对完全四边形124135C A C AC A 及完全四边形452413C A C A C A 分别应用密克尔点性质知514A C C △的外接圆要过1B 及4B ,因此1B 、4B 、1C 、4C 四点共圆．又2A 、2B 、4C 、1B 共圆,则123∠=∠=∠,从而1B 、2B 、4B 、D 共圆．再由2A 、2B 、3A 、3B 共圆,知57∠=∠．又由3A 、3B 、1C 、4B 共圆,知68∠=∠．因此3456478180D B ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,故2B 、3B 、4B 、D 共圆,即1B 、2B 、3B 、4B 、D 五点共圆．同样可证2B 、3B 、4B 、5B 共圆,故五个密克尔点共圆．例7如图920-,设H 是锐角ABC △的高线CP 上的任一点,直线AH 、BH 分别交BC 、AC 于点M 、N ,MN 与CP 交点O ,过O 的直线交CM 于D ,交NH 于点E ．求证：EPC DPC ∠=∠．(2003年保加利亚奥林匹克试题)EHG O BD CLAM NPQ 图9-20证明如图917-,连结PM 、PN ,则由完全四边形的性质5,知MPC NPC ∠=,并令其大小为ϕ,再令EPC x ∠=,DPC y ∠=．欲证x y =,只须证明cot cot cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos x y x y x y x y x y ϕϕ=⇔=⇔=⇔ ()()sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin x y x y x y x y x y xyϕϕϕϕϕϕ---=-⇔=．由()sin sin NEP EHP NP x S NE EH S PH x ϕ+==△△, 有()sin sin x NE PHxEH NPϕ-=⋅． 同理()sin sin y DM CPyCD PMϕ-=⋅． 注意到PM MO PN NO =,只须证1NE CD PH MOEH DM CP NO⋅⋅⋅=．设MOD δ∠=,EOP ϕ∠=,又因sin sin NEO EHO S NE HO EH S OH δϕ==△,sin sin CDO DMO S CD CO DM S OM ϕδ==△△． 于是,又只须证1OC PHOH PC⋅=, 即OC PCOH PH=． 而此式,由完全四边形CNAHBM 应用其对角线调和分割性质即证,故EPC DPC ∠=∠． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景 例8如图921-,在完全四边形ABCDEF 中,AB AE =．图9-21(1)若BC EF =,则CD DF =,反之若CD DF =,则BC EF =．(2)若BC EF = (或CD DF =),M 为完全四边形的密克尔点,则MD CF ⊥或ACF △的外心1O ,在直线MD 上．(3)若BC EF = (或CD DF =),点A 在CF 上的射影为H ,ABE △的外心为2O ,则2O 为AM 的中点,且22O D O H =．(4)若BC EF =（或CD DF =）,M 为完全四边形的密克尔点,则MB ME =,且MB AC ⊥,ME AE ⊥． 证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对ACF △及截线BDE 应用梅涅劳斯定理）有1AB CD FE BC DF EA⋅⋅= 因AB AE =,则由上式,知CD DF BC EF =⇔=．(2)由(1)知,BCD △和DEF △的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由A 、B 、M 、E 四点共圆,有CBM AEM FEM ∠=∠=∠,从而CM MF =,于是DCM DFM △△≌,有CDM FDM ∠=∠．故MD CF ⊥．由于DM 是CF 的中垂线,而1O 在CF 的中垂线上,故ACF △的外心1O 在直线MD 上．(3)由(2)知,BCD △和DEF △外接圆是等圆,从而BCM EFM △△≌,即有BM EM =,即知点M 在BAE ∠的平分线上,亦即A 、2O 、M 共线,从而知2O 为AM 的中点． 或者直接计算得2O 为AM 的中点,在ABE △中,由正弦定理,知 22211sin 2cos 2sin 9022ABAB AC AEAO AEBAA +⋅===∠⎛⎫︒- ⎪⎝⎭． 设圆1O 的半径为1R ,流意到1O 、D 、M 共线,则 11112cos 2sin 2sin 2A AM R O MA R MCA R C ⎛⎫=∠=∠=+ ⎪⎝⎭．于是122cos 2sin cos2222sin sin 2cos2A A A R C C AM AC AE AO AFC CA ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⋅∠+ 而22sin cos 2sin cos cos sin cos sin 2cos 222222A A A A A A C C C C ⎛⎫⎛⎫+=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin sin 1cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin C A C A C A C C A C A C AFC =++=++=+∠．故22AM AO =,即2O 为AM 的中点．注意到MD CF ⊥,AH CF ⊥,所以2O 在线段DH 的中垂线上,故22O D O H =．(4)由(3)知,BE EM =．又2O 为AM 的中点,而2O 为圆心即AM 为直径,则MB AC ⊥,ME AE ⊥．或注意到AB AE =,从而MB ME =．以例8为背景,则可得到如下竞赛题．试题1已知锐角ABC △,CD 是过点C 的高线,M 是边AB 的中点,过M 的直线分别交射线CA 、CB 于点K 、L ,且CK CL =．若CKL △的外心为S ．证明：SD SM =．（2003年第54届波兰奥林匹克题）证明事实上,如图922-,此题即为在完全四边形CKAMLB 中,C ∠为锐角,顶点在边AB 上的射影为D ,且CK CL =,AM M B =,S 为CKL △的外心,此即为例8中的(3),过M 与AB 垂直的线与CS 延长线交为M ．图9-22BDMCAGEKS试题2设AM 、AN 分别是ABC △的中线和内角平分线,过点N 作AN 的垂线分别交AM 、AB 于点Q 、P ,过P 作AB 的垂线交AN 于O ．求证：QO BC ⊥．（2000年亚太地区奥林匹克题）O 'P'N 'BO CMAQ N EP图9-23证明事实上,如图923-,过M 作PQ 的平行线交AB 于P ',交AN 于N ',过P '与AB 垂直的直线交直线AN 于O ',则由Rt P O N '''△与Rt PON △是以A 为位似中心的位似形,知MO QO '∥．设P N ''的延长线与AC 的延长线交于点E ,则为完全四边形AP BMEC '的密克尔点,于是由例8中的(2),知O M BC '⊥．从而OQ BC ⊥．以具有相等的边（含边上的线段）的完全四边形为背景的竞赛题还有如下的2003年日本奥林匹克题． 试题3 P 是ABC △内的一点,直线AC 、BP 相交于Q ,直线AB 、CP 相交于R ,已知 AR RB CP ==,CQ PQ =．求BRC ∠．事实上,可在CR 上取点S ,使RS CP =,则由ACS QPC BPR ∠=∠=∠,可推证得SC RP =．由完全四边形中的比例乘积式（即对ABQ △及截线RPC 应用梅涅劳斯定理）知AC BP =． 又由ACS BRP △△≌,得AD BR =．由此推得AS AR RS ==,即60ARS ∠=︒,从而120BRC ∠=︒． 例9如图924-,完全四边形ABCDEF 中,AC BE ⊥,AE CF ⊥．图9-24A(1)若顶点C 、E 在对角线BF 所在直线上的射影分别为G 、H ,则GB FH =．(2)若对角线AD 的延长线交对角线CE 于P ,BPF △的外接圆交AD 于1A ,交CD 于1C ,交DE 于1E ,则111=2ACE A BC PE F S S △,且4ACE BPF S S △△≥．证明(1)由题设知C 、E 、F 、B 、四点共圆,且CE 的中点为其圆心,过O 作OM BF ⊥于M ,则由弦心距性质知BM M F =．又CG OM EH ∥∥,CO OE =,从而GM MH =．故 GB GM BM MH MF FH =-=-=．(2)在ACE △中,由题设知BPF △的外接圆为ACE △的九点圆,从而知1A 、1C 、1E 分别为AD 、CD 、ED 的中点．于是1112BCC PCC BCPD S S S +=△△1112PEE FEE DPEF S S s +=△△1112BAA FAA ABDF S S S +=△△从而1112ACE A BC PE F S S =．由完全四边形的性质,即知4ACE BPE S S △△≥．以例9为背景,则可得到如下竞赛题．试题4锐角ABC △中,BD 和CE 是其相应边上的高．分别过顶点B 和C 引直线ED 的垂线BF 和CG ,垂足为F 、G ．求证：EF DG =． （1998年第22届独联体奥林匹克题） 试题5锐角ABC △中,A ∠的平分线与三角形外接圆交于另一点1A ．点1B 、1C 与此类似．直线1AA 与B ∠、C ∠两角的外角平分线相交于点0A ,点0B 、0C 与此类似,求证：(1)000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的两倍．(2) 000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍．（1989年第30届IMO 试题）试题6已知圆1O 与圆2O 交于A 、B 两点,过点A 作12O O 的平行线,分别与圆1O 、圆2O 交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆3O 分别与圆1O 、圆2O 交于P 、Q 两点．证明：CP 、DQ 、AB 三线共点．（2004年第54届白俄罗斯奥林匹克题）事实上,由12CD O O ∥,且12AB O O ⊥,知CD AB ⊥．又可推得CP 、DQ 、AB 是BCD △的三条高线,故共点．例10在完全四边形ABCDEF 中,顶点A 、B 、D 、F 四点共圆O ,其对角线AD 与BF 交于点G ．A图9-25(1)若顶点角C ∠、E ∠的平分线相交于点K ,则CK EK ⊥．(2)BGD ∠的角平分线与CK 平行,DGF ∠的角平分线与EK 平行．(3)从C 、E 分别引圆O 的切线,若记切点分别为P 、Q ．则222CE CP EQ =+；此题设条件下的完全四边形ABCDEF 的密克尔点在对角线CE 上；若分别以C 、E 为圆心,以CP 、EQ 为半径作圆弧交于点T ,则CT ET ⊥．(4)若从C (或E )引圆O 的两条切线,切点为R 、Q ,则E (或C )、R 、G 、Q 四点共圆． (5)过C 、E 、G 三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆O 的极线． (6)点O 是GCE △的垂心．(7)过对角线BF (或BF ∥CE 时的AD )两端点处的圆O 的切线的交点在对角线CE 所在直线上． (8)设1O 、2O 分别是ACF △、ABE △的外心,则12OO O DCE △△∽．(9)设点M 是完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则OM CE ⊥,且O 、G 、M 共线,OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠．(10)过点E (或C )的圆的割线交圆O 于R 、P ,直线PC (或PE )交圆O 于点S ,则R 、G , S 三点共线． (ii)设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W ,则WC WE =的充要条件是2WA WD WC ⋅=．(12)设对角线CF 的中点为Z ,连结AZ 交圆O 于N ,则C 、D 、N 、E 四点共圆． 证明(1)如图925-,连结CE ,令1DEC ∠=∠,2DCE ∠=∠,则 ()1221)180BCD DEF ABD AFD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒（, 即知1()12902BCD DEF ∠+∠+∠+∠=︒,从而()1180[12]902CKE BCD DEF ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒, 故CK EK ⊥．(2)设DGF ∠的平分线交DE 于X ,KE 交GF 于l ,则()1122FGX DGF GFA GAF ∠=∠=∠+∠,()111()222FIE GFA AED GFA ADB GAF GFA GAF ∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠+∠．故CX KE∥．同理,BGD ∠的平分线与CK 平行．(3)设过点B 、C 、D 的圆交CE 于点M ,连结DM ,则AFD CBD DME ∠=∠=∠,从而D 、M 、E 、F 四点共圆,于是CM CE CD CF ⋅=⋅,EM EC ED EB ⋅=⋅． 此两式相加,得2CE CD CF ED EB =⋅+⋅．又CP 、EQ 分别是圆O 的切线,有2CD CF CP ⋅=,2ED EB EQ ⋅=． 放223CE CP EQ =+．显然,M 是圆BCD 与圆DEF 的另一个交点,此即为密克尔点,即题设条件下的完全四边形的密克尔点在CE 上．由于CT CP =,ET EQ =,故222CT ET CE +=,即CT ET ⊥． (4)如图926-,连结CQ 交圆O 于R ',过E 作EH CQ ⊥于H ,X DR'R YZ H C MEAP QO B FG图9-26过点C 作圆的切线CP ,切点为P ,则()222CE EQ CP CR CQ CH HR CQ ''-===-． 又()()222222CE EQ CH HE HE HQ -=+-+()()22CH HQ CH HQ CH QH =-=-+ ()CH Ho CO =-．从而HR HQ '=,由此即可证 Rt Rt EHR EHQ '△△≌．于是EQ ER '=,而EQ ER =,则ER ER '=．又R '、R 均在圆O 上,故R '与R 重合,即C 、R 、Q 三点共线． 或者,设CE 上的点M 是密克尔点,则2EQ ED EB EM EC =⋅=⋅． 从而222CE EQ CE EM EC CE CM CD CF -=-⋅=⋅=⋅()()22CO OQ CO OQ CO OQ =-+=-由此,知CQ OE ⊥．而RQ OE ⊥,故C 、R 、Q 三点共线．为证R 、G 、Q 共线,连结AR 交BF 于点X ,连结RF 交AD 于点Y ,设RQ 与AF 交于点Z ,连结AQ 、QF ．于是sin sin QAZ QZF S AZ QA AQZZF S QF ZQF∠==∠△△． 同理sin sin FY DF FDY YR DR YDR ∠=∠,sin sin RX BR RBXXA BA XBA∠=∠． 由EAQ EQF △△≌,有RX EBQF ER =． 同理,有DF DE DR DB =,RX EBXA ER=． 而AQZ YDR ∠=∠,ZQF RBX ∠=∠,FDY XBA ∠=∠,EQ ER =． 于是1AZ FY RX ZF YE XA⋅⋅=对ARF △应用塞瓦定理的逆定理,知AY 、FX 、RZ 共点于G ,故R 、G 、Q 共线． 综上可知,C 、R 、G 、Q 四点共线．(5)由(4)即证．(6)由于OE RQ ⊥,即OE CG ⊥．同样OC EG ⊥．由此即知,O 为GCE △的垂心,亦可知OG CE ⊥． (7)由(5)知,直线CE 是点G 关于圆O 的极线,从而过点G 的弦的两端点处的切线的交点在直线CE 上． (8)若点O 在AD 上,则1O 、2O 分别为AC 、AE 的中点,此时,显然12OO O DCE △∽△． 若点O 不在AD 上,如图927-所示,则1O 、2O 不在AC 、AE 上．O O 1O 2BDCFAE图9-27连结1AO 、1CO 、AD 、AO 、OD 、2AO 、2O E 、BF ． 由22(180)2AO E ABE AFD AOD ∠=︒-∠=∠=∠, 及22O A O E =．OA OD =, 知2AO E AOD △△∽． 即有2AO AEAO AD=． 又2O AE OAD ∠=∠, 则2AOO ADE △△≌．同理1AO C AOD △∽△,1AOO ACD △△≌． 于是12O O OO AO CD AD DE==． 由12AO C AO E △∽△,知12O O AC AOCE AE AD==, 从而12OO O DCE △∽△．(9)如图928-,过点D 和M 作圆O 的割线MD 交圆O 于点T ,连结AM 、AO 、TO ．由A 、B 、D 、F及A 、B 、M 、E 分别共圆,知EFD ABE AM E ∠=∠=∠．TOBD C FAME图9-28又由D 、F 、A 、T 共圆,知EFD ATD ATM ∠=∠=∠,因AE 、TM 是过两相交圆交点F 、D 的割线,从而EM AT ∥．于是TAM AM E ATM ∠=∠=∠,即知MA MT =．又OA OT =,从而MO AT ⊥,故OM ME ⊥．而M 在CE 上,故OM CE ⊥,又由(6)知,OG CM ⊥,故O 、G 、M 三点共线． (此题为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形,故OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠) (10)如图929-,连结PA 、PB 、SD 、DR 、RF 、PF ．S BDCFARG EP 图9-29由EFR FPA △∽△,CPA CSB △∽△,有FR FE PA PE =,AP CPSB CB=． 从而FR FE CPSB PE CB=⋅． 由ERD EBP △∽△,CBP CSA △∽△,亦有 RD ED CPAS EP CA=⋅． 由上述两式相除,得 ER AS FE CASB RD ED CB ⋅=⋅． 用BDAF乘上式两边,应用完全四边形性质1中式①（即对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理）．知 1EF AC BDFA CB DE ⋅⋅= 从而1FR DB SARD BS AF⋅⋅=．。

××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中,已知两邻边AD=12,AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=_________．2．（2003•宁波）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是_________．（填一个即可）3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O,AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE=____．4．如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________；(2）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF为菱形;（3）当△ABC满足条件_________时,四边形ADEF不存在．1题2题3题4题5．已知一个三角形的一边长为2，这边上的中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上，图中有_________对四边形面积相等;它们是_________．7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，△AOB的周长为3+，∠ABC=60°,则菱形ABCD的面积为_________．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于E，若∠EAO=15°,则∠BOE的度数为_________度．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠,点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为_________．6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°10题11题12题13题11．如图,正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧,并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=,PC=，则PD=(）A．2B．C．3D．13．如图,平行四边形ABCD中,BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点,若∠AEF=54°，则∠B=（)A．54°B．60°C．66°D．72°14．四边形ABCD的四边分别为a、b、c、d,其中a、c为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等的四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形15．周长为68的长方形ABCD被分成7个全等的长方形,如图所示,则长方形ABCD的面积为()A．98 B．196 C．280 D．284 15题16题16．（2003•吉林）如图,菱形花坛ABCD的边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花,则种花部分图形的周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（)A．A D＞BC B．A D＜BCC．A D=BC D．A D与BC的大小关系不能确定18．已知四边形ABCD,从下列条件中：（1）AB∥CD;(2）BC∥AD;(3）AB=CD；（4）BC=AD;（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有(）A．4种B．9种C．13种D．15种三、解答题（共11小题,满分0分）20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点,PE垂直AC于点E,PF垂直BC于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC,试证:BC⊥BD，且BC=BD．21．如图,在等腰三角形ABC中,延长AB到点D,延长CA到点E，且AE=BD,连接DE．如果AD=BC=CE=DE,求∠BAC 的度数．22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上的点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2)点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．23．（2002•河南)如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点,DF⊥AB于F,DE⊥AC于E,M 为BC的中点，试判断△MEF是什么形状的三角形，并证明你的结论．24．（2008•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1)求证：EO=FO;(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形？并证明你的结论．25．如图，在Rt△ABC中,∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2,D是AC的中点，以D作DE⊥AC与CB的延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF,连接DF，求DF的长．26．（2002•陕西）阅读下面短文:如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形,使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上,那么符合要求的矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②)解答问题:（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB的面积分别为S1、S2，则S1_________S2（填“＞"“="或“＜"）．（2)如图③，△ABC是钝角三角形,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画_________个,利用图③把它画出来．（3)如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB,按短文中的要求把它补成矩形,那么符合要求的矩形可以画出_________个，利用图④把它画出来．（4）在(3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？为什么？27．如图,在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC,N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．28．如图,在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相交于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线；（2）如果△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论是否成立？请按钝角三角形改写原题，画出相应的图形,并给予必要的说明．新课标八年级数学竞赛培训第15讲:平行四边形参考答案与试题解析一、填空题（共9小题，每小题4分,满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D的任意一点,且PE⊥BD,PF⊥AC，E、F分别是垂足,那么PE+PF=．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质。

数学竞赛专题训练精选100题及答案题目1：整数方程设a和b是满足以下方程的整数：5a+3b=25。

求a和b的所有整数解。

题目2：几何题在直角三角形XYZ中，∠Z为直角，XY=10，XZ=6。

点W是边XZ上的一个点，使得ZW=8。

求∠XWY的大小。

题目3：排列组合有8个不同的水果和4个不同的盘子，你打算将这些水果放在这些盘子中。

每个盘子至少有一个水果，一共有多少种不同的分配方式？题目4：函数问题考虑函数g(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1。

求g(x)的最小值以及对应的x值。

题目5：概率题一枚硬币被抛掷3次。

计算至少2次出现正面的概率。

题目6：代数方程解方程：2x^2-5x-12=0。

题目7：几何问题在平面上，有一个正方形ABCD，边长为6。

点E在边AB上，离点A的距离为2。

点F在边BC上，离点B的距离为3。

求线段EF的长度。

题目8：概率问题一副扑克牌中随机抽取5张牌，计算至少有一对的概率。

题目9：代数方程解方程：3(x-2)=5(x+1)。

题目10：几何问题在直角三角形PQR中，∠R为直角，PQ=12，PR=15。

点S是边PQ上的一个点，使得QS= 8。

求∠PSR的大小。

题目11：整数方程设m和n是满足以下方程的整数：4m+7n=38。

求m和n的所有整数解。

题目12：几何题在平行四边形ABCD中，AB=8，BC=6，∠A=120°。

求BD的长度。

题目13：排列组合有10个不同的音乐家，其中有5位小提琴手和5位钢琴家。

你打算在一排座位上让他们坐下，要求相邻的座位上不能坐同一种乐器的音乐家。

一共有多少不同的座位安排方式？题目14：函数问题考虑函数h(x)=x^2-6x+9。

求h(x)的最小值以及对应的x值。

题目15：概率题一副扑克牌中随机抽取7张牌，计算至少有两张牌相同点数的概率。

题目16：代数方程解方程：2(x+3)=4(x-1)。

题目17：几何问题在等腰三角形MNO中，∠N=∠O，NO=10，MN=6。

2018-2019学年上学期四年级数学竞赛试题考试时间：90分钟满分：100分一、单选题（共10题；共10分）1.如图中有（）个平行四边形．A. 4B. 6C. 92.由“四川出版集团、四川教育出版社”出版的《2005走进“实外”》一书共230页，那么编页码时需要的数码总数是（）A. 230B. 582C. 5773.狗追兔子，开始追时，狗与兔子相距30米，追了48米后，与兔子的距离还有6米，狗还需要追（）米才能追上兔子．A. 6B. 12C. 24D. 304.与1+3+5+7+9+5+3+1表示相同结果的算式是（）A. 5+3B.C.D.5.有3个小朋友一起玩握手游戏，每2人握手1次，一共要握几次手。

A. 6次B. 4次C. 3次6.一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟。

求桥的长度是多少米？正确的算式是（）A. 1200×2+200B. 1200×2-200C. （1200+200）×2D. （1200-200）×2－292＝359－300＋( )A. 8B. 7C. 68.“△”表示一种运算符号，其意义是：a△b=2a﹣b，如果x△（2△3）=3，则x=（）A. 2B. 3C. 4D. 59.下面的钟哪个坏了？请你找一找。

（）A. B. C. D.+340+350+360+370=（）A. 330×5B. 340×5C. 350×5D. 360×5二、计算题（共4题；共34分）11.直接写得数12.计算下面各题，能用简便方法的要用简便方法算。

①+++②（+）③7600÷25÷4④17×62-62×7⑤83×99+83⑥120+880÷40+60⑦900÷5×（48-30）⑧900÷[5×（48-30）]13.用简便方法计算：25×125×32 =________ 27×28＋27×2 =________ （40＋8）×125 =________573＋428＋27 =________ 35×101 =________ 44×25 = ________14.计算(2+4+6+…+996+998+1000)－(1+3+5+…+995+997+999)三、作图题（共1题；共8分）15.画出下列各角。