四边形竞赛试题(一)

初二几何竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是直角三角形的判定条件？A. 两边之和大于第三边B. 两边之差小于第三边C. 两边之和等于第三边D. 两边之和小于第三边答案：A2. 一个等腰三角形的底角是40°，那么顶角是多少度？A. 100°B. 80°C. 60°D. 120°答案：A3. 如果一个三角形的三个内角都是60°，那么这个三角形是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形答案：B4. 一个圆的半径是5cm，那么它的周长是多少厘米？A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π答案：C5. 一个矩形的长是宽的两倍，如果宽是3cm，那么矩形的面积是多少平方厘米？A. 9B. 12C. 18D. 24答案：C6. 下列哪个选项是平行四边形的性质？A. 对角线相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对边互相垂直答案：B7. 一个正方形的对角线长度是5cm，那么它的边长是多少厘米？A. 2.5B. 3.5C. 4D. 5答案：C8. 一个圆的直径是10cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：C9. 一个等腰梯形的上底是6cm，下底是10cm，高是4cm，那么它的面积是多少平方厘米？A. 12B. 24C. 36D. 48答案：B10. 如果一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，那么第三边的长度可能是：A. 1cmB. 2cmC. 5cmD. 7cm答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别是3cm和4cm，那么斜边的长度是_________cm。

答案：52. 一个等腰三角形的顶角是30°，那么它的底角是_________°。

答案：753. 一个圆的半径是7cm，那么它的面积是_________平方厘米。

八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

初中数学竞赛专项训练(1)1、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 1111 2、若2001119811198011⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________3、设有编号为1、2、3……100的100盏电灯，各有接线开关控制着，开始时，它们都是关闭状态，现有100个学生，第1个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，由号码是2的倍数的开关拉一下，第n 个（n ≤100）学生进来，凡号码是n 的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把编号能被100整除的电灯上的开关拉了一下，这样做过之后，请问哪些灯还亮着。

4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是 （ ）A. m(1+a%)(1-b%)元B. m·a%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元5、如果a 、b 、c 是非零实数，且a+b+c=0，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为（ ）A. 0B. 1或-1C. 2或-2D. 0或-26、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B ＝60°，则b c a b a c +++的值为（ ） A. 21 B.22 C. 1 D. 2 7、设a ＜b ＜0，a 2+b 2=4ab ，则b a b a -+的值为（ ） A. 3 B. 6C. 2D. 3 8.已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 9、已知abc ≠0，且a+b+c ＝0，则代数式ab c ca b bc a 222++的值是 （ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 10、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可用p 表示为＿＿＿＿＿11、已知实数x 、y 、z 满足x+y=5及z 2=xy+y-9，则x+2y+3z=_______________12.气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。

第10章 四边形§10.1 平行四边形与梯形10.1.1★如图(a)，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，已知ABC △是等边三角形，30ADC ∠=︒，3AD =，5BD =，求边CD 的长．DABC DAB CE(a)(b)解析 如图(b)，以CD 为边向四边形ABCD 外作等边CDE △，连结AE ．由于AC BC =，CD CE =， BCD BCA ACD ∠=∠+∠DCE ACD =∠+∠ACE ∠． 所以BCD △≌ACE △，从而BD AE =．又因为30ADC ∠=︒，5BD =，3AD =，于是90ADE ∠=︒，从而在Rt ADE △中，4DE =．所以4CD =．10.1.2★在ABCD 中，2AB AD =，F 为AB 中点，CE AD ⊥D 交AD (或延长线)于E ．求证：3BFE AEF ∠=∠．解析 如图，取CD 中点G ，连结FG 、CF ．A FBE DGC易知四边形ADGF 与FGCB 均为菱形，FG 垂直平分CE ，于是EFG ∠CFG CFB =∠=∠，于是33BFE EFG AEF ∠=∠∠=∠．10.1.3★AD 、BE 、CF 是ABC △的三条中线，FG BE ∥，EG AB ∥,四边形ADCG 是平行四边形． 解析 如图，连结EF ，则EF 是中位线．AGFEB D C由条件知EG BF ∥，故EG AF ∥，于是AG EF CD ∥∥，故结论成立． 10.1.4★延长矩形ABCD 的边CB 到E ，使CE CA =，F 是AE 的中点，求证：BF FD ⊥．解析 如图，取BD 中点G ，连结FG ，则()11112222FG AD BE CE CA BD =+===，于是BF FD ⊥． ADBCADFGEBC题10.1.4题10.1.510.1.5★菱形ABCD中，2BD AC -=120BAD ∠=︒，求菱形的面积． 解析 如图，易知ABC △与ACD △均为正三角形．设菱形边长为x ，则由120BAD ∠=︒，得BD ，AC x =，所以)12x =x =此菱形面积为212BD AC ⋅=． 10.1.6★在梯形ABCD 中，AD BC ∥，中位线MN 分别交AB 、CD 、AC 、BD 于M 、N 、P 、Q ，若延长AQ 、DP 的交点正好位于BC 上，求BCAD． ADMQPNB RC解析 设AQ 、DP 延长后交于R ，且R 在BC 上，则由中位线知2AD PQ =，2AD PN =，2BC QN =，故2BCAD=． 10.1.7★★四边形ABCD 中，135ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，AB =5BC =6CD =，求AD ． 解析 如图所示，作AF BC ⊥，DE BC ⊥分别交BC 所在直线于F 、E ，作FG AD ∥交DE 于G ，则AFB △为等腰直角三角形，90AFB ∠=︒，AB =故FB A F =；90DEC ∠=︒，60DCE ∠=︒，6CD =，故3CE =，DE =．F BCEADG所以EF FB BC CE =++538+=，GE DE DG DE AF =-=-==从而AD FG ==10.1.8★★★已知ABC △中，90A ∠=︒，D 是BC 上一点，D 关于AB 、AC 的对称点分别为F 、E ，若BE CF =,12AD BC =．解析 如图，连结AF 、AE 、BF 、CE ．FAEBDC由对称，有22180FAD EAD BAD CAD ∠+∠=∠+∠=︒，故F 、A 、E 共线．又180BFE FEC ADB ADC ∠+∠=∠+∠=︒，故FB ∥EC ，而BE CF =，所以梯ECBF 为等腰梯形．又AF AD AE ==，于是1122AD EF BC ==．10.1.9★★将梯形的各个顶点均作关于不包含该顶点的对角线的对称点，证明：如果所得到的四个像点也形成四边形，则必为一个梯形．B'C'ADBCA'D'O解析 如图，AD BC ∥，A 、B 、C 、D 关于对应对角线的对称点分别为A ′、B ′、C ′、D ′． 设AC 、BD 交于O ，连结A ′O 、B ′O 、C ′O 、D ′O ．则A ∠′OB =AOB COD C ∠=∠=∠′OD ，故A ′、O 、C ′共线，且A O AO C O CO '='，同理B ′、O 、D ′共线，B O D O ''BO DO =，所以由1BO CODO AO=≠得1B O C OD O A O''=≠''． 故如A ′、B ′、C ′、D ′不位于同一直线上，则A ′D ′∥B ′C ′，即A ′B ′C ′D ′成梯形．10.1.10★已知：直角梯形ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，AB BC =，E 是AB 上一点，AE AD =，75CEB ∠=︒，求ECD ∠．A DE BC解析 如图，连结AC ，则由AB BC =，AB BC ⊥，得45BAC DAC ∠=︒=∠． 又AE AD =，故AEC △≌ADC ，EC CD =．又180754560DEC ∠=︒-︒-︒=︒，故DEC △为正三角形，于是60ECD ∠=︒．10.1.11★★在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90B D ∠=∠=︒，2AB =，1CD =，求BC 、AD 和BD 的长．ACED解析 如图，延长AD 、BC 至E ，则60DCE ∠=︒，22CE CD ==．又60A ∠=︒，故BE =2BC =，又4AE =，CE，故4AD =．至于求BD ，有多种方法，如勾股定理或余弦定理，也可用A 、B 、C 、D 四点共圆的性质：AC，sin 60BD AC =⋅︒=§10.2 正方形10.2.1★在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为CD 上的点，且AF BC CF =+．求证：2BAF BAE ∠=∠．ADBECFP解析 如图，延长AE 、DC ，设交于P ，则B E C E =得CP AB BC ==，FP FC CP FC BC AF =+++=．于是BAE P FAP ∠=∠=∠，即2BAF BAE ∠=∠．10.2.2★正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，求正方形的四个顶点到这条直线的距离平方和的取值范围．AMDONBCl解析 如图，设O 是正方形ABCD 的中心，l 通过O ，AM 、DN 分别与l 垂直于M 、N ． 由于90MAO AOM DON ∠=︒-∠=∠，AO OD =，故AMO △≌OND △，2222212AM DN AM MO AO +=+==．对B 、C 的垂线也有类似结论，因此所求距离的平方和是常数1．10.2.3★正方形ABCD 的对角线交于O ，BAC ∠的平分线交BD 于G ，交BC 于F ，求证：2CFOG =． 解析 如图，作OE FC ∥，交AF 于E ，OE 为ACF △中位线，2CF EO =． 问题变为证明EO GO =．因为么4545GEO OAF FAF OGE ∠=︒+∠=∠+︒=∠，于是结论成立．ADE OG BFC10.2.4★设M 、N 分别为正方形ABCD 的边AD 、CD 的中点，且CM 与BN 交于P ，求证：PA AB =． 解析 如图，由MD CN =知BNC △≌CMD △，故90PBC PCB NCM PCB ∠+∠=∠+∠=︒，故C M B N ⊥．延长CM 、BA ，设交于Q ，则QA CD AD ==，A 为直角三角形QPB 斜边BQ 之中点，于是AP AB =．QADMBCN P题10.2.410.2.5★已知两个正方形ABCD 、AKLM (顶点均按照顺时针方向排列)，求证：这两个正方形的中心和BM 、DK 的中点组成一个正方形．题10.2.5MAQBP CDRSLK解析 如图，设DB 、BM 、MK 、KD 的中点分别为P 、Q 、R 、S ．由于DA AB =，AK AM =，90DAM BAM BAK ∠=︒+∠=∠，于是DAM △≌BAK △，由此得KB 与DM 垂直且相等．由于12SR DM PQ ∥∥，12SP KB RQ ∥∥，故四边形PQRS 为正方形．10.2.6★★M 是正方形ABCD 内一点，若2222AB MA MB -=，90CMB ∠=︒，求MCD ∠．解析 如图，作MN AB ⊥于N ，则22222,2,AB AN BN AM BM AN BN AB ⎧-=-=⎪⎨⎪+=⎩ADBLCMN解得34AN AB =，14BN AB =． 不妨设3AN =，3BN =，MN x =，则 ()22229(4)DM AN AD MN x =+-=+-， ()2222()14CM BN CM MN x =+-=+-，由条件90CMD ∠=︒，知222DM CM CD +=，即()2102416x +-=，解得4x = 又作ML BC ⊥于L，于是4LC x =-1ML NB ==，故60MCD LMC ∠=∠=︒．10.2.7★O 是正方形ABCD 的两对角线的交点，P 是BD 上异于O 的任一点，PE AD ⊥于E ，PF AB⊥于F ，G 是EO 的延长线和BC 的交点，求OFG ∠．CGB OPFDEA解析 如图，易知AF EP ED ==，AO DO =，45FAO EDO ∠=︒=∠，于是AFO △≌DEO △≌BGO △，于是OF OG =，90AOB FOG ∠=︒-∠，故OFG △为等腰直角三角形，45OFG ∠=︒．10.2.8★★K 是正方形ABCD 的边AB 的中点，点L 分对角线AC 的比为:3AL LC =，证明：90KLD ∠=︒．解析 连结BL ，由正方形关于AC 对称，知BL DL =． 又作LJ AB ⊥于J ，由3AL LC =，易知1142JB AB KB ==，故J 为KB 中点，JL 垂直平分KB ，于是LK LB =，LKB LBK ADL ∠=∠=∠，或180AKL ADL ∠+∠=︒,故90KLD ∠=︒．A EDFPOB GC10.2.9★已知ABC △，向外作正方形ABEF 和ACGH ．直线AK 垂直BC 于K ，反向延长交FH 于M ，求证：M 是FH 的中点．解析 如图，作FQ 、HP 分别与直线KA 垂直，垂足为Q 、P ．P HMFQ AEBKC G易见，90QFA QAF BAK ∠=︒-∠=∠，又90FQA AKB ∠=︒=∠，FA AB =，故有AQF △≌BKA △，FQ AK =，同理PH AK =，于是FQ PH =，FM MH =．10.2.10★已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，AG EF ⊥于G ．若45EAF ∠=︒，求证：AG AB =．反之，若AG AB =，则45EAF ∠=︒．解析 如图，延长CB 至H ，使BH DF =，连结AH ，则AHB △≌AFD △，90HAF BAD ∠=∠=︒，904545HAE EAF ∠=︒-︒=︒=∠，又AH AF =，AE AE =，故AHE △≌AFE △，AB 、AG 为其对应 边上的高，于是AG AB =．A D F GH B E C反之，若AG AB =，则Rt ABE △≌Rt AGE △，EAG BAE ∠=∠，同理，FAG DAF ∠=∠，于是1452EAF BAD ∠=∠=︒．10.2.11★★在梯形ABCD 中，AD BC ∥(BC >AD )，90D ∠=︒，12BC CD ==，E 在边CD 上，45ABE ∠=︒，若10AE =，求CE 的长．解析 延长DA 至M ，使BM BE ⊥过B 作BG AM ⊥，G 为垂足．易知四边形BCDG 为正方形，所以BC BG =．又CBE GBM ∠=∠，Rt BEC △≌Rt BMG △，故BM BE =． 又45ABE ABM ∠=∠=︒，故ABE △≌ABM △，10AM AE ==． 设CE x =，则10AG x =-，()12102AD x x =--=+，12DE x =-．在Rt ADE △中，222AE AD DE =+，故()()22100212x x =++-，即210240x x -+=，解之，得14x =，26x =．故CE 的长为4或6．DEC BAGM10.2.12★★在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过C 作CQ DM ⊥于Q ，且延长交AB 于N ，设正方形对角线的交点为O ，连结OM 、ON ，求证：OM ON ⊥．解析 如图，易知MDC NCB ∠=∠，故DMC △≌CNB △，故NB MC =，又45NBO OCM ∠=︒=∠，BO CO =，于是ONB △≌OMC △，90NOM BOC ∠=∠=︒．\ADBCMQON10.2.13★★四边形ABCD 是正方形，四边形ACEF 是菱形，E 、F 、B 在一直线上．求证：AE 、AF 三等分CAB ∠．解析 如图，作BM 、FN 与AC 垂直，垂足为M 、N ，于是由AB BF ∥知1122FN BM AC AF ===，于是30FAC ∠=︒．又45CAB ∠=︒，于是15BAF ∠=︒，15FAE CAE ∠=∠=︒，AE 、AF 三等分CAB ∠． ADBCMNFE。

初中奥林匹克数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 若实数a，b满足 a + 2 +(b - 4)² = 0，则a + b的值为（）。

A. - 2B. 2C. 6D. - 6答案：B。

解析：因为绝对值是非负的，一个数的平方也是非负的，要使 a + 2 +(b - 4)² = 0，那么a+2 = 0且b - 4 = 0，解得a=-2，b = 4，所以a + b=2。

2. 把多项式x² - 4x+4分解因式，结果正确的是（）。

A. (x - 2)²B. (x+2)²C. (x - 4)²D. (x+4)²答案：A。

解析：x²- 4x + 4符合完全平方公式a²- 2ab+b²=(a - b)²的形式，这里a=x，b = 2，所以分解因式结果为(x - 2)²。

3. 已知一元二次方程x² - 3x - 2 = 0的两个实数根为x1，x2，则(x1 - 1)(x2 - 1)的值是（）。

A. - 4B. - 2C. 0D. 2答案：C。

解析：根据韦达定理，对于一元二次方程ax²+bx + c = 0（a≠0），x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

在方程x² - 3x - 2 = 0中，a = 1，b=-3，c = - 2，所以x1+x2 = 3，x1x2=-2。

(x1 - 1)(x2 - 1)=x1x2-(x1+x2)+1=-2 - 3+1 = 0。

4. 一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形是（）。

A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案：B。

解析：设三个内角分别为x，2x，3x，因为三角形内角和为180°，所以x+2x+3x = 180°，解得x = 30°，那么三个角分别为30°，60°，90°，所以是直角三角形。

第九章完全四边形的性质及应用【基础知识】我们把两两相交又没有三线共点的四条直线及它们的六个交点所构成的图形,叫做完全四边形．六个点可分成三对相对的顶点,它们的连线是三条对角线．如图91-,直线ABC 、BDE 、CDF 、AFE 两两相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点,即为完全四边形ABCDEF ．线段AD 、BF 、CE 为其三条对角线．完全四边形中既有凸四边形、凹四边形,还有折四边形以及四个三角形．如图91-中有凸四形ABDF ,凹四边形ACDE ,折四边形BCFE ,四个三角形ACF △、BCD △、DEF △、ABE △．在完全四边形ABCDEF 中,对四个三角可以写出梅涅劳斯定理的4个式子（见图11-后说明）；若直线AD 交BF 于H ,交CE 于G ,则可以写出塞瓦定理的7个式子（见图23-）；利用空全四边形及其对角线的相交可以讨论梅涅劳斯定理与塞瓦定理的互推（图22-）；完全四边形的四个三角形的外接圆共点（即完全四边形的密克尔点及西姆松线（见图67-））等．这是我们已介绍的完全四边形的性质,完全四边形还有一系列有趣的性质,下面我们介绍其中的几条： 性质1设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点．（1）若B 、C 、E 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线AD 所在直线上,且OM AD ⊥； （2）若A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,则M 点在对角线CE 上,且OM CE ⊥． 注此性质还可参见例10（9）,例11（3）、（5）．O B KC(a)MD FEOBMC F 图9-2(b)D证明（1）如图92- （a ）．设过B 、C 、D 三点的圆交直线于点M ',则AD AM AB AC AE AF '⋅=⋅=⋅,即知点M '在DEF △的外接圆上,亦即知点M '就是完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．设K 为AM 延长线上一点,由2CME CMK KME CBE CFE CFE COE ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠,知C 、E 、O 、M 四点共圆．于是1902OMK OME EMK OCE COE ∠=∠+∠=∠+∠=︒,即证．（2）如图92- （b ）．同（1）可证过B 、C 、D 三点的圆与CE 的交点即为完全四边形ABCDEF 的密克尔点M ．由圆幂定理（即点对O 的幂）有 222CO CD CF R CM CE R =⋅+=⋅+,222ED ED ED R EM EC R =⋅+=⋅+（其中R 为O 半径）．上述两式相减,有()2222CO EO CE CM ME CM ME -=-=-．由定差幂线定理,知OM CE ⊥．推论1在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ,则CDB 、CFA 、EFD 、EAB 、OAD 、OBF 六圆共点；CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD 、 OFA 六圆共点；EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点．事实上,可设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则由性质1（2）,知M 在CE 上,且OM CE ⊥．于是,知C 、M 、D 、B 及M 、E 、F 、D 分别四点共圆,有9090BMO BMC BDC ∠=︒-∠=︒-∠()9018090BDF BDF =︒-︒-∠=∠-︒=11(180)909022BOF BOF BFO ︒-∠-︒=︒-∠=∠．从而知,点M 在OBF 上．同理,知点M 在OAD 上．由密克尔点的性质知,CDB 、CFA 、EFD 、EAB 四圆共点于M ．故以上六圆共点M ．同理,设N 为完全四边形CDFGAB 的密克尔点,则CFB 、CDA 、GAB 、GDF 、OBD ,OFA 六圆共点于N ．设L 为完全四边形EFAGBD 的密克尔点,则EFB 、EAD 、GBD 、GFA 、OAB 、ODF 六圆共点于L ．图9-3l 6l 5l 4l 1BDCGMFE N L推论2如图93-,在完全四边形ABCDEF 中,凸四边形ABDF 内接于O ,AD 与BF 交于点G ．CDB 与CFA 、CDA 与CFB 、OBD 与OFA 、ODA 与OBF 、EAB 与EFD 、EAD 与EFB 、OAB 与ODF 、GAB 与GDF 、GBD 与GFA 共九对圆的连心线分别记为1l ,2l ,3l ,⋯,9l ,则1l 、2l 、3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点；4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点；3l 、7l 、 8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．事实上,可设M 、L 、N 分别为完全四边形ABCDEF 、EFAGBD 、CDFGAB 的密克尔点,则OM CE ⊥于M ,OL EG ⊥于L ,ON CG ⊥于N ．注意到OM 是ODA 与OBF 的公共弦,则4l 是OM 的中垂线,从而知4l 过OC 的中点,4l 也过OE 的中点．因CN 是CDA 与CFB 的公共弦,则2l 是CN 的中垂线,而ON CN ⊥,从而2l 过OC 的中点；又注意到CM 是CDB 与CFA 的公共弦,则1l 是CM 的中垂线,又OM CM ⊥,则1l 过OC 的中点,ON 是OBD与OFA 的公共弦,则3l 是ON 的中垂线．而ON CN ⊥,3l 过OC 的中点．故1l 、2l ,3l 、4l 、OC 五线共点于OC 的中点．同理,注意到LE 、ME 、OL 分别是EAD 与EFB ．EFD 与EAB 、OAB 与ODF 的公共弦,推知4l 、5l 、6l 、7l 、OE 五线共点于OE 的中点．注意到GN 、LG 、OL 、ON 分别是GAB 与GDF 、GBD 与GFA 、OAB 与ODF 、OBD 与OFA 的公共弦,推知,3l 、7l 、8l 、9l 、OG 五线共点于OG 的中点．注 由上述推论,即知下列竞赛题即为其特殊情形： （1）（1990年全国高中联赛题）四边形ABCD 内接于圆,对角线AC 与BD 交于点P ,PAB △、PBC △、PCD △、PDA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．（2）（2006年国家集训队测试题）四边形ABCD 内接于O ,且圆心O 不在四边形的边上,对角线AC 与BD 交于点P ,OAB △、DBC △、OCD △、ODA △的外心分别为1O 、2O 、3O 、4O ．求证：13O O 、24O O 与OP 三线共点．性质2完全四边形ABCDEF 的三条对角线AD 、BF 、CE 的中点M 、N 、P 共线（即牛顿线）．图9-4证明如图94-,分别取CD 、BD 、BC 的中点Q 、R 、S ,于是,在ACD △中,M 、R 、Q 三点共线；在BCF △中,S 、R 、N 三点共线；在BCE △中,S 、Q 、P 三点共线．由平行线性质,有MQ AC MR AB =,HR FD NS FC =,PS EBPQ ED =． 对BCD △及截线AFE 应用梅涅劳斯定理,有1CA BE DEAB ED EC⋅⋅=,即有1QM RN SP MR NS PQ ⋅⋅=． 再对QRS △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知M 、N 、P 三点共线．注此性质中的线称为牛顿线,其证明还有10多种．性质3完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割（两点内分与外分同一线段成同一比值,称这两点调和分割这一线段）． 证明如图95- （a ）、（b ）,在完全四边形ABCDEF 中,对角线AD 所在直线交BF 于M ,交CE 于N ,需证AM MDAN ND=（此式表明点M 、N 调和分割AD ）． NPBDCFAEBDCFANE (b)(a)图9-5MM若BF CE ∥,如图95- （a ）,则由AM BF MDAN CE ND==,即证． 若BF CE ≠,可设直线BF 与CE 交于点P ． 对ADF △及点B 应用塞瓦定理,有1AM DC FEMD CF EA⋅⋅=． 对ADF △及截线CNE 应用梅涅劳斯定理,有1AN DC FEND CF EA⋅⋅=． 上述两式相除,即得AM MDAN ND=． 对于图95- （b ）,类似地可证明有BM MF BP NF =（M 、P 调和分割BF ）,CN NECP PE=（N 、P 调和分割CE ）；对于图95- （a ）,也可看作直线BF 、CE 相交于无穷远点,也有这两式．性质4完全四边形的三条对角线为直径的圆共轴,且完全四边形的四个三角形的垂心在这条轴上．C图9-6证明如图96-,在完全四边形ABCDEF 中,分别以对角线AD 、BF 、CE 为直径作圆,这三个圆 的圆心就是三条对角线的中点M 、N 、P ．设1H 、2H 、3H 、4H 分别为DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的垂心,注意到三角形垂心的性质：三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心（见根轴的性质3及垂心的性质4）． 在完全四边形ABCDEF 中,显然1H 、2H 、3H 、4H 不重合,由于DEF △的垂心1H 是三个圆两 两根轴的根心,而对于DEF △,在它的边所在直线上的高C 、B 、A ,点1H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,即点1H 在这三个圆两两的根轴上．同样,对于ACF △,在它的边所在直线上的点B 、D 、E ,其垂心2H 关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等,以及点3H 、4H 均关于以CE 、BF 、AD 为直径的圆的幂相等．故1H 、2H 、3H 、4H 均在这三个圆的两两的根轴上,即这三个圆两两的根轴重合,亦即共轴,且四个三角形的垂心在这条根轴上．注 证明1H 、2H 、3H 、4H 四点共线,也可以这样证：由于完全四边形ABCDEF 的四个DEF △、ACF △、ABE △、BCD △的外接圆交于一点M ,且点M 关于这四个三角形的西姆松线为同一条直线l ,根据西姆松线的性质：点P 的西姆松线平分点P 与三角形垂心的连线（西姆松定理及应用中例5）,则知l 过1MH 、2MH 、3MH 、4MH 的中点,从而点1H 、2H 、3H 、4H 共线．推论3完全四边形的垂足线与牛顿线垂直（两圆连心线垂直于公共弦）．性质5完全四边形的四个三角形的外接圆圆心共圆,这四个圆心每三个构成的三角形的垂心分别在构成完全四边形的四条直线上,且这四个垂心为顶点构成的四边形与四个圆心为顶点构成的四边形全等． 上述性质即指在完全四边形ABCDEF 中,1O 、2O 、3O 、4O 分别为ACF △、BCD △、DEF △、ABE △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为423O O O △、413O O O △、241O O O △、123O O O △的垂心,则 （1）1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆（斯坦纳圆）；（2）423O O O ACF △∽△,123O O O ABE △∽△,241O O O DEF △∽△,413O O O BCD △∽△；（3）1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上,且四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ． 证明设M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,连接BM 、2CO 、2O M 、3MO 、DM ,则（l ）12211801802O O M CO M CDM ∠=︒-∠=︒-∠．同理,13180O O M FDM ∠=︒-∠．从而()1213360180O O M O O M CDM FDM ∠+∠=︒-∠+∠=︒．因此,1O 、2O 、3O 、M 四点共圆．同理,3O 、4O 、2O 、M 四点共圆．故1O 、2O 、3O 、4O 四点共圆．图9-7(a)（2）由BM 为2O 与4O 的公共弦,则知24O O BM ⊥．同理23O O DM ⊥． 于是423O O O BMD BCD ACF ∠=∠=∠=∠．同理,24323180O O O O MO BAF CAF ∠=︒-∠=∠=∠,故423O O O ACF △∽△． 同理,123O O O ABE △△∽． 于是241O O O BEA DEF ∠=∠=∠．又214213314213324O O O O O O O O O O O O O O O ∠=∠+∠=∠+∠ CAF ACF DFE =∠+∠=∠．从而241O O O DEF △∽△． 同理,413O O O BCD △∽△．（3）自2O 作34O O 的垂线交BE 于1H '点,连4BO 、2BO 、41O H ',由4O 为ABE △的外心,有1490H BO BAE '=︒-∠及1242439090H O O O O O BAE '∠=︒-∠=︒-∠,知14124H BO H O O ''∠=∠,从而1H '、2O 、B 、4O 四点共圆,于是14212H O O H BO ''∠=∠．又2O 为BCD △的外心,知12290H BO O BE BCD '∠=∠=︒-∠． 于是1424239090H O O BCD O O O '∠=︒-∠=︒-∠,即14242390H O O O O O '∠+∠=︒．这表明41O H '也垂直于23O O ,即知1H '为423O O O △的垂心,故1H '与1H 重合．过3O 过14O O 的垂线交AE 于2H ',连4O E 、3O E 、42O H ',则4290O EF ABE '∠=︒-∠,()4321431439018090=18090=90O O H OO O OO O CBD ABE ABE '∠=︒-︒-∠=∠-︒=∠-90︒︒-∠-︒︒-∠,从而2H '、4O 、3O 、E 四点共圆,则有42343O H O O EO '∠=∠．又132134432429090OO H OO O O O H BDC O EH BDC ABE ACF '''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒-∠=︒-∠, ()()42343334290O H O O FO DEO DEO DEF DEF O EH ''∠=∠=∠+∠=∠-︒+∠-∠()()9090180180DEF DEF ABE ABE EDF ACF =∠-︒+∠-︒-∠=∠+︒-∠-︒=∠,即13242390OO H O H O ''∠+∠=︒,这说明2H '为134O O O △的垂心,故2H '与2H 重合． 过点2O 作14O O 的垂线交AC 与点3H ',连1CO 、2CO 、31H O ',则()32121432132118018090H O O O OO H O O DEF H O O AFC '''∠+︒-∠=∠+︒-∠=∠+∠=︒,3190H CO AFC '∠=︒-∠．于是32131H O O H CO ''∠=∠,即知3H '、C 、2O 、1O 四点共圆,有23121O H O O CO '∠=∠．又3243211243112490H O O H O O OO O H CO OO O AFC FDE '''∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠-∠ ()9090FDE FED FDE FED=︒-∠++∠=︒-∠,()231121290O H O OCO ACF ACO FCO ACF AFC '∠=∠=∠-∠+∠=∠-︒-∠()90180180CBD CAF CBD CAF FED CAF FED +∠-︒=︒-∠+∠-︒=∠+∠-∠=∠．即32423190H O O O H O ''∠+∠=︒,由此知3H '为124O O O △的垂心,故3H '与3H 重合．OMH 1H 2H 3H 4O 4O 1O 3O 2图9-8过点3O 作12O O 的垂线交CF 于点4H ',连1O F 、14O H '、3O F ,由1O 为ACF △的外心,有490H FQ FAC '∠=︒-∠及4312139090H O O O OO FAC '∠=︒-∠=︒-∠,知41431H FO H O O ''∠=∠,从而4H '、3O 、F 、1O 四点共圆,于是41343H O O H FO ''∠=∠．又3O 为DEF △的外心,知43390H FO DFO FED '∠=∠=︒-∠ 于是4131329090H OO FED OO O '∠=︒-∠=︒-∠,即41313290H O O O O O '∠+∠=︒．这表明14O H '也垂直于23O O ,即知4H '为123O O O △的垂心,故4H '与4H 重合． 综上可知,1H 、2H 、3H 、4H 分别在BE 、AE 、AC 、CF 上． 下面,我们证明四边形1234H H H H ≌四边形2143O O O O ．由于1O 、2O ．3O ．4O 共圆,设该圆圆心为O ,设M 为23O O 的中点．由垂心的性质（即Servois 定理）：三角形任一顶点至该三角形垂心的距离,等于外心至其对边的距离的两倍．于是412O H OM =且41O H OM ∥,142O H OM =且14O H OM ∥,故1441O H O H ∥,即1414O H H O 为平行四边形,从而有4114H H O O ∥．同理1221H H O O ∥,2332H H O O ∥,3443H H O O ∥． 从而四边形12342143H H H H O O O O ≌．推论4在完全四边形ABCDEF 中,A 、B 、D 、F 四点共圆于O ,1O 、2O ．3O ．4O 分别为BCD △、DEF △、ABE △、ACF △的外心,1H 、2H 、3H 、4H 分别为234O O O △、134O O O △、124O O O △、123O O O △的垂心,M 为完全四边形ABCDEF 的密克尔点,1K ,2K ,3K ,4K ,5K ,6K 分别34AO O △、13BO O △、14CO O △、12DO O △、23EO O △、24FO O △的外心,24O O 与13O O 所在直线交于点1P ,直线21O O 与43O O 交于点2P ,1J 、2J 分别为14O O 、23O O 的中点,直线12I H 与34H H 交于点1Q ,直线13H H 与24H H 交于点2Q ,直线12O O 与34H H 交于点L ,直线43O O 与12H H 交于点N ,124O O O △的外心为X ,123H H H △的外心为Y ,X 与Y 交于点S 、T 则（1）O 在X ,且12ACE OO O △∽△；（2）14231423O O O O OM ST H H H H ∥∥∥∥∥； （3）14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥；（4）1243OO O MO O △△≌；（5）点1J 、2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上；（6）点1K 、2K 、4K 、6K 在直线ST 上,3K 、5K 在直线XY 上且它们关于直线XY 对称； （7）1J 、2J 分别OMC △、OME △的外心； （8）1P 、2P 分别BOF △、AOD △的外心．证明如图99-,（1）联结1OO 、2OO 、1O M 、2O M 、AD 、MD 、DO 、OB 、OF 、1O D 、2O D ,则()1111180902O MD O DM DO M DCM ∠=∠=︒-∠=︒-∠． P 2K 5L J 2J 1Q 2Q 1P 1XY K K 1K 2K 3K 4N H 1H 2H 3H 4S OO 4O 1O 3O 2B D M F AT图9-9同理,290O MD DEM ∠=︒-∠．从而()12180180180O MO DCM DEM BDC BAF ∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒-∠．① 又1O 为BDC △的外心,知1OO 为BD 的中垂线,于是,112O OD BOD BAD ∠=∠=∠,212O OD FOD FAD ∠=∠=∠,则1212O OO O OD O OD BAD FAD BAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠．② 由①、②知,点O 在X 上,注意到12121OO O OO D O O D BCD MCD BCE ∠=∠+∠=∠+∠=∠．③ 由②、③知,12OO O ACE △∽△．（2）注意到14O O 是公共弦CM 的中垂线,23O O 是EK 的中垂线,以及OM CE ⊥,则知1423O O O O OM ∥∥．设此三线段的中垂线为l ,则知点X 在l 上．由性质5（3）知,1414H H O O ∥,2323H H O O ∥,故1423H H H H OM ∥∥．又注意到四边形1414H H O O 为平行四边形,则由1H 为234O O O △的垂心,知四边形1414H H O O 为矩形,即知14H H 与14O O 的中垂线共线,即知点Y 也在直线l 上,亦即知l 为ST 的中垂线,故为ST OM ∥．（3）由性知5（3）知,X 与Y 为等圆,知ST 垂直平分XY ,且41XO YH =,即知四边形14XYH O 为等腰梯形,亦知ST 为14H O 的中垂线,同理ST 为23O H 的中垂线．于是14231423H O H O O H O H XY CE ∥∥∥∥∥,且其前五条线段的中垂线为ST ．（4）由上即知1243OO O MO O △≌．（5）由（2）、（3）即知,1J ．2J 、1P 、2P 、1Q 、2Q 均在直线XY 上,N 、L 在直线ST 上．（6）由性质5（3）知,12H H 在1K 上,即知1K 在14H O 的中垂线ST 上,同理,2K 、4K 、6K 亦在ST 所在的直线上．又3K 在14O O 的中垂线上,则3K 在XY 所在的直线上． 同理,5K 也在直线XY 上．注意到1K X 垂直平分34O O ,4K Y 垂直平分34H H ,则有14K X K Y ∥． 同理41K X K Y ∥由此知1K 与4K 关于XY 对称． 同理5K 与3K 、2K 与6K 也关于XY 对称．（7）注意到四边形14O O OM 为等腰梯形,1J 为14O O 的中点,14O O 为CM 的中垂线,则111OJ J M J C ==,即1J ,为OMC △的外心,由此知1J 在OC 上,且1J 为OC 的中点．同理,2J 在OE 上,且2J 为OE 的中点．（8）注意到1802180BMF BAF BOF ∠=︒-∠=︒-∠,知M 在OBF △的外接圆上,又1O 、3O 分别是四边形BCMD 、ABM E 的外接圆圆心,知13O O 为公共弦BM 的中垂线,同理,42O O 为FM 的中垂线．于是13O O 与42O O 的交点1P 为BOF △的外心． 同理,43O O 与12O O 的交点2P 为AOD △的外心 注以上推论由山东济南刘世军给出．性质6在完全四边形ABCDEF 中,点G 是对角线AD 所在直线上异于点A 的任意一点,则cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠证明如图910-,点G 可以在对角线AD 上或其延长线上,连CE 与直线AD 相交于点K ．在ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1AB CK EF BC KE FA⋅⋅=．① AED KBCGAFE D KBCGBDCFAK GE图9-10(c)(b)(a)注意到sin sin GAB GBC S AB AG AGBBC S CG BGC⋅∠==⋅∠△△, sin sin GCK GKE S CK CG AGCKE S EG AGE ⋅∠==⋅∠△△, sin sin GEF GFA S EF EG EGAFA S AG AGF⋅∠==⋅∠△△ 将上述三式代入①式,得sin sin sin sin sin sin BGC EGFAGC AGB AEG AGF∠∠=∠⋅∠∠⋅∠．② 而()sin sin ?sin cos cos sin BGC AGC AGB AGC AGB AGC AGB ∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠, ()sin sin cos EGF AGE AGF ∠=∠-∠=sin cos cos sin AGE AGF AGE AGF ∠⋅∠-∠⋅∠．将上述两式代入②式,得cot cot cot cot AGB AGC AGF AGE ∠-∠=∠-∠．故cot cot cot cot AGC AGF AGB AGE ∠+∠=∠+∠．性质7在完全四边形ABCDEF 中,过B 、F 作与对角线AD 平行的直线分别交对角线CE 于G 、H ,连结BH 、FG 相交于点P ,则点P 在直线AD 上．GQHBDCFAPE图9-11证明延长AD 交CE 于点Q ．对ACE △及点D 应用塞瓦定理,有1CQ EF ABQE FA BC⋅⋅=．()* 由BG AD FH ∥∥,有AB GQ BC CG =,AQCQ CG BG=⋅,FH EF EA AQ =⋅． 将上述三式代入()*式得1GQ EA EHQE AF BG⋅⋅= 又由BG FH ∥,有FH FPBG PG=．于是上式变为1GQ EA EP QE AF PG ⋅⋅=． 对EFG △应用梅涅劳斯定理的逆定理,知A 、P 、Q 共线,故点P 在直线AD 上．性质8在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF 有内切圆的充分必要条件是下述三条件之一：（1）BC BE FC FE +=+；（2）AC DE AE CD +=+: （3）AB DF BD AF +=+．证明（1）充分性：如图912-,在CF 上截取CG CB =,在EA 上截取EH EB =,连BG 、GH 、BH ,则FH EH EF EB EF =-==．又BC BE FC FE +=+,则BE FE FC BC -=-． 故FH FC BC FC CG GF =-=-=．分别作BCG ∠、BEH ∠、GFH ∠的平分线．由CB CG =、EB EH =、FG FH =,知上述三个角的平分线所在直线是BGH △三边的垂直平分线,从而这三个角平分线交于一点．设该点为I ,由角平分线的性质,知I 到CB 与CF 、到EB 与EF ,到FC 与EA 的距离均相等,即I 到四边形ABDF 四边的距离相等,所以,四边形ABDF 有内切圆．必要性：设内切圆分别交AB 、BD 、DF 、FA 于点P 、Q 、R 、S ,则CP CR =、BP BQ =, EQ ES =,RF FS =．于是()()BC BE CP BP BQ QE +=-++=CP QE CR ES CR +=+=+()()RF FS ES CR RF ES FS FC FE -+=++-=+．（2）充分性：在AC 上截取CM CD =,在AE 上截取EN ED =,则AM AC CM AC CD AE D E =-=-=- （已知条件）AE EN AN =-=,则DCM ∠、DEN ∠、MAN ∠的平分线就是MDN △的三边的中垂线,由此即知四边形ABDF 有内切圆． 必要性：同（1）可证（略）． （3）由切线长定理即证．性质9在完全四边形ABCDEF 中,四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆（或折四边形BCFE 有下切圆）的充分必要条件是下述三条件之一：图9-13A（1）AB BD AF FD +=+；（2）AC CD AE ED +=+；（3）BC CF BE EF +=+．证明（1）充分性：在射线AB 上取点K ,使BK BD =,在射线AF 上取点L ,使得FL FD =,连DK 、DL 、KL ．由AB BK AB BD AF FD AF FL AL +=+=+=+=,知BDK △、FDL △、DLK △均为等腰三角形,设点A I 为DKL △的外心,易知A I B 、A I F 、A I A 分别为DKL △的三边DK 、DL 、KL 的中垂线,即它们分别是DBC ∠、DFE ∠、EAC ∠的平分线,则点A I 到四边形ABDF 各边的距离相等,即知四边形ABDF （在BAF ∠内）有旁切圆,圆心即为A I ．必要性：（略）．（2）必要性：设旁切圆与四边形分别相切于点M 、P 、Q 、N ,则AM AN =、CP CM =、EQ EN =、DP DQ =,从而AC CD AC CP PD AM PD AN DQ AE EN +=++=+=+=++ DQ AE EQ QD AE ED =++=+．充分性：（略）．（3）类似（2）而证．【典型例题与基本方法】例1在凸四边形ABCD 中,对角线AC 平分BAD ∠,E 是CD 边上一点,BE 交AC 于G ,DG 交BC 于F ．求证FAC EAC ∠=∠．（1999年全国高中联赛题）证明如图914-,在完全四边形CFBGDE 中,点A 为对角线CG 所在直线上一点,由题设知BAC CAD ∠=∠．由性质6,即知FAC EAC ∠=∠．例2已知圆1S 与圆2S 交于P 、Q 两点,1A 、1B 为圆1S 上不同于P 、Q 的两个点,直线1A P 、1B P 分别交圆2S 于2A 、2B ,直线11A B 和22A B 交于点C ．证明：当点1A 和1B 变化时,12A A C △的外心总在一个定圆上．（IMO 43-预选题,2003年国家队集训测试题）B S 2S 1QO 1O 2PA 2B 1CA 1O 图9-15证明如图915-,当点1A 和1B 变化时,点C 、1B 、1A 、P 、2B 、2A 组成完全四边形的六个顶点．由性质5知点Q 恰为全四边形的密克尔点,由此即知12A A C △的外心O 在完全四边形四个三角形的外接圆圆心所在的圆（即斯坦纳圆）上,例3如图916-,四边形ABCD 的两条对角线交于点O ,两组对边的延长线分别相交于E 、F ,过O 作EF 的平行线交BC 、AD 于I 、J ．求证：OI OJ =．（《数学教学》2006年第10期问题681号）IOB DMCFANGEJ 图9-16证明延长AC 交EF 于点G ,在完全四边形ABECFD 中,由性质3,有AO OCAG GC=． 又IJ EF ∥,则OI OC AO OJAG GC AG GF===． 故OI OJ =．注类似地,在完全四边形ABECFD 中,直线IJ 交AE 于M ,交直线ED 于N ,则有ON OC AO OMEG GC AG EG ===,故OM ON =． 由此,我们可推证得：过完全四边形对角线的交点作另一条对角线的平行线,所作直线与平行对角线的同一端点所在边（或延长线）相交,所得线段被对角线交点平分． 【解题思维策略分析】1．灵活应用完全四边形的优美性质解题例4以ABC △的边BC 为直径作半圆,与AB 、AC 分别交于点D 、E ．过D 、E 作BC 的垂线,垂足分别是F 、G ．线段DE 、EF 交于点M ．求证：AM BC ⊥．（1996年第37届IMO 中国国家队选拔赛试题）A 图9-17证明如图917-,连结BE 与CD ,设它们相交于点O ,因BE AC ⊥,CD AB ⊥, 则O 为ABC △的垂心,于是AO BC ⊥．又DF BC ⊥,EG BC ⊥,则DF AO EG ∥∥． 由性质7,得点M 在AO 上,于是AM BC ⊥．例5如图918-,在ABC △中,90BAC ∠=︒,G 为AB 上给定的一点(G 不是线段AB 的中点),设D 为直线CG 上与C 、G 都不相同的任意一点,并且直线AD 、BC 交于E ,直线BD 、AC 交于F ,直线EF 、AB 交于H ．试证明交点H 与D 在直线CG 上的位置无关．（1990年苏州市高中竞赛题）GP N BDMCFAHE图9-18证明作BM CG AN ∥∥,点M 、N 均在直线EF 上．连结AM 、BN ．对CEF △,由性质7,知AM 与BN的交点P 在CG 上．则HB BM PB GBHA AN PN GA===． 这说明点H 由G 唯一确定．即点H 与D 在直线CG 上的位置无关． 注 例5中条件90BAC ∠=︒是多余的．例6如图919-,任意五角星形12345A A A A A 12345C C C C C 的五个小三角形的外接圆分别交于星形外的五个点1B 、2B 、3B 、4B 、5B ．求证：1B 、2B 、3B 、4B 、5B 五点共圆．DA 5A 1A 2A 3A 4B 5B 1B 2B 3B 4C 5C 1C 2C 3C 4图9-19证明由于五角星可看做是由五个完全四边形所组成,由密克尔性质知每一个完全四边形有一个密克尔点,此题即证五个密克尔点1B 、2B 、3B 、4B 、5B 共圆． 设22B A 的延长线与14C B 的延长线交于点D ,令141B B D ∠=∠,1432B C A ∠=∠,1253B B A ∠=∠,4D ∠=∠,2335B B A ∠=∠,3346A B B ∠=∠,523 7A A A ∠=∠,314 8A C B ∠=∠．注意到对完全四边形124135C A C AC A 及完全四边形452413C A C A C A 分别应用密克尔点性质知514A C C △的外接圆要过1B 及4B ,因此1B 、4B 、1C 、4C 四点共圆．又2A 、2B 、4C 、1B 共圆,则123∠=∠=∠,从而1B 、2B 、4B 、D 共圆．再由2A 、2B 、3A 、3B 共圆,知57∠=∠．又由3A 、3B 、1C 、4B 共圆,知68∠=∠．因此3456478180D B ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒,故2B 、3B 、4B 、D 共圆,即1B 、2B 、3B 、4B 、D 五点共圆．同样可证2B 、3B 、4B 、5B 共圆,故五个密克尔点共圆．例7如图920-,设H 是锐角ABC △的高线CP 上的任一点,直线AH 、BH 分别交BC 、AC 于点M 、N ,MN 与CP 交点O ,过O 的直线交CM 于D ,交NH 于点E ．求证：EPC DPC ∠=∠．(2003年保加利亚奥林匹克试题)EHG O BD CLAM NPQ 图9-20证明如图917-,连结PM 、PN ,则由完全四边形的性质5,知MPC NPC ∠=,并令其大小为ϕ,再令EPC x ∠=,DPC y ∠=．欲证x y =,只须证明cot cot cos sin sin cos sin cos sin sin sin cos x y x y x y x y x y ϕϕ=⇔=⇔=⇔ ()()sin sin sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin sin sin x y x y x y x y x y xyϕϕϕϕϕϕ---=-⇔=．由()sin sin NEP EHP NP x S NE EH S PH x ϕ+==△△, 有()sin sin x NE PHxEH NPϕ-=⋅． 同理()sin sin y DM CPyCD PMϕ-=⋅． 注意到PM MO PN NO =,只须证1NE CD PH MOEH DM CP NO⋅⋅⋅=．设MOD δ∠=,EOP ϕ∠=,又因sin sin NEO EHO S NE HO EH S OH δϕ==△,sin sin CDO DMO S CD CO DM S OM ϕδ==△△． 于是,又只须证1OC PHOH PC⋅=, 即OC PCOH PH=． 而此式,由完全四边形CNAHBM 应用其对角线调和分割性质即证,故EPC DPC ∠=∠． 2．发掘有约束条件的完全四边形问题制作竞赛题的背景 例8如图921-,在完全四边形ABCDEF 中,AB AE =．图9-21(1)若BC EF =,则CD DF =,反之若CD DF =,则BC EF =．(2)若BC EF = (或CD DF =),M 为完全四边形的密克尔点,则MD CF ⊥或ACF △的外心1O ,在直线MD 上．(3)若BC EF = (或CD DF =),点A 在CF 上的射影为H ,ABE △的外心为2O ,则2O 为AM 的中点,且22O D O H =．(4)若BC EF =（或CD DF =）,M 为完全四边形的密克尔点,则MB ME =,且MB AC ⊥,ME AE ⊥． 证明(1)可由完全四边形中含有的比例乘积式（或对ACF △及截线BDE 应用梅涅劳斯定理）有1AB CD FE BC DF EA⋅⋅= 因AB AE =,则由上式,知CD DF BC EF =⇔=．(2)由(1)知,BCD △和DEF △的外接圆是等圆（或由正弦定理计算推证得）．又由A 、B 、M 、E 四点共圆,有CBM AEM FEM ∠=∠=∠,从而CM MF =,于是DCM DFM △△≌,有CDM FDM ∠=∠．故MD CF ⊥．由于DM 是CF 的中垂线,而1O 在CF 的中垂线上,故ACF △的外心1O 在直线MD 上．(3)由(2)知,BCD △和DEF △外接圆是等圆,从而BCM EFM △△≌,即有BM EM =,即知点M 在BAE ∠的平分线上,亦即A 、2O 、M 共线,从而知2O 为AM 的中点． 或者直接计算得2O 为AM 的中点,在ABE △中,由正弦定理,知 22211sin 2cos 2sin 9022ABAB AC AEAO AEBAA +⋅===∠⎛⎫︒- ⎪⎝⎭． 设圆1O 的半径为1R ,流意到1O 、D 、M 共线,则 11112cos 2sin 2sin 2A AM R O MA R MCA R C ⎛⎫=∠=∠=+ ⎪⎝⎭．于是122cos 2sin cos2222sin sin 2cos2A A A R C C AM AC AE AO AFC CA ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==+⋅∠+ 而22sin cos 2sin cos cos sin cos sin 2cos 222222A A A A A A C C C C ⎛⎫⎛⎫+=+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()cos sin sin 1cos cos sin sin sin cos cos sin sin sin C A C A C A C C A C A C AFC =++=++=+∠．故22AM AO =,即2O 为AM 的中点．注意到MD CF ⊥,AH CF ⊥,所以2O 在线段DH 的中垂线上,故22O D O H =．(4)由(3)知,BE EM =．又2O 为AM 的中点,而2O 为圆心即AM 为直径,则MB AC ⊥,ME AE ⊥．或注意到AB AE =,从而MB ME =．以例8为背景,则可得到如下竞赛题．试题1已知锐角ABC △,CD 是过点C 的高线,M 是边AB 的中点,过M 的直线分别交射线CA 、CB 于点K 、L ,且CK CL =．若CKL △的外心为S ．证明：SD SM =．（2003年第54届波兰奥林匹克题）证明事实上,如图922-,此题即为在完全四边形CKAMLB 中,C ∠为锐角,顶点在边AB 上的射影为D ,且CK CL =,AM M B =,S 为CKL △的外心,此即为例8中的(3),过M 与AB 垂直的线与CS 延长线交为M ．图9-22BDMCAGEKS试题2设AM 、AN 分别是ABC △的中线和内角平分线,过点N 作AN 的垂线分别交AM 、AB 于点Q 、P ,过P 作AB 的垂线交AN 于O ．求证：QO BC ⊥．（2000年亚太地区奥林匹克题）O 'P'N 'BO CMAQ N EP图9-23证明事实上,如图923-,过M 作PQ 的平行线交AB 于P ',交AN 于N ',过P '与AB 垂直的直线交直线AN 于O ',则由Rt P O N '''△与Rt PON △是以A 为位似中心的位似形,知MO QO '∥．设P N ''的延长线与AC 的延长线交于点E ,则为完全四边形AP BMEC '的密克尔点,于是由例8中的(2),知O M BC '⊥．从而OQ BC ⊥．以具有相等的边（含边上的线段）的完全四边形为背景的竞赛题还有如下的2003年日本奥林匹克题． 试题3 P 是ABC △内的一点,直线AC 、BP 相交于Q ,直线AB 、CP 相交于R ,已知 AR RB CP ==,CQ PQ =．求BRC ∠．事实上,可在CR 上取点S ,使RS CP =,则由ACS QPC BPR ∠=∠=∠,可推证得SC RP =．由完全四边形中的比例乘积式（即对ABQ △及截线RPC 应用梅涅劳斯定理）知AC BP =． 又由ACS BRP △△≌,得AD BR =．由此推得AS AR RS ==,即60ARS ∠=︒,从而120BRC ∠=︒． 例9如图924-,完全四边形ABCDEF 中,AC BE ⊥,AE CF ⊥．图9-24A(1)若顶点C 、E 在对角线BF 所在直线上的射影分别为G 、H ,则GB FH =．(2)若对角线AD 的延长线交对角线CE 于P ,BPF △的外接圆交AD 于1A ,交CD 于1C ,交DE 于1E ,则111=2ACE A BC PE F S S △,且4ACE BPF S S △△≥．证明(1)由题设知C 、E 、F 、B 、四点共圆,且CE 的中点为其圆心,过O 作OM BF ⊥于M ,则由弦心距性质知BM M F =．又CG OM EH ∥∥,CO OE =,从而GM MH =．故 GB GM BM MH MF FH =-=-=．(2)在ACE △中,由题设知BPF △的外接圆为ACE △的九点圆,从而知1A 、1C 、1E 分别为AD 、CD 、ED 的中点．于是1112BCC PCC BCPD S S S +=△△1112PEE FEE DPEF S S s +=△△1112BAA FAA ABDF S S S +=△△从而1112ACE A BC PE F S S =．由完全四边形的性质,即知4ACE BPE S S △△≥．以例9为背景,则可得到如下竞赛题．试题4锐角ABC △中,BD 和CE 是其相应边上的高．分别过顶点B 和C 引直线ED 的垂线BF 和CG ,垂足为F 、G ．求证：EF DG =． （1998年第22届独联体奥林匹克题） 试题5锐角ABC △中,A ∠的平分线与三角形外接圆交于另一点1A ．点1B 、1C 与此类似．直线1AA 与B ∠、C ∠两角的外角平分线相交于点0A ,点0B 、0C 与此类似,求证：(1)000A B C △的面积是六边形111AC BACB 面积的两倍．(2) 000A B C △的面积至少是ABC △面积的四倍．（1989年第30届IMO 试题）试题6已知圆1O 与圆2O 交于A 、B 两点,过点A 作12O O 的平行线,分别与圆1O 、圆2O 交于C 、D 两点,以CD 为直径的圆3O 分别与圆1O 、圆2O 交于P 、Q 两点．证明：CP 、DQ 、AB 三线共点．（2004年第54届白俄罗斯奥林匹克题）事实上,由12CD O O ∥,且12AB O O ⊥,知CD AB ⊥．又可推得CP 、DQ 、AB 是BCD △的三条高线,故共点．例10在完全四边形ABCDEF 中,顶点A 、B 、D 、F 四点共圆O ,其对角线AD 与BF 交于点G ．A图9-25(1)若顶点角C ∠、E ∠的平分线相交于点K ,则CK EK ⊥．(2)BGD ∠的角平分线与CK 平行,DGF ∠的角平分线与EK 平行．(3)从C 、E 分别引圆O 的切线,若记切点分别为P 、Q ．则222CE CP EQ =+；此题设条件下的完全四边形ABCDEF 的密克尔点在对角线CE 上；若分别以C 、E 为圆心,以CP 、EQ 为半径作圆弧交于点T ,则CT ET ⊥．(4)若从C (或E )引圆O 的两条切线,切点为R 、Q ,则E (或C )、R 、G 、Q 四点共圆． (5)过C 、E 、G 三点中任意两点的直线,分别是另一点关于圆O 的极线． (6)点O 是GCE △的垂心．(7)过对角线BF (或BF ∥CE 时的AD )两端点处的圆O 的切线的交点在对角线CE 所在直线上． (8)设1O 、2O 分别是ACF △、ABE △的外心,则12OO O DCE △△∽．(9)设点M 是完全四边形ABCDEF 的密克尔点,则OM CE ⊥,且O 、G 、M 共线,OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠．(10)过点E (或C )的圆的割线交圆O 于R 、P ,直线PC (或PE )交圆O 于点S ,则R 、G , S 三点共线． (ii)设对角线AD 的延长线交对角线CE 于W ,则WC WE =的充要条件是2WA WD WC ⋅=．(12)设对角线CF 的中点为Z ,连结AZ 交圆O 于N ,则C 、D 、N 、E 四点共圆． 证明(1)如图925-,连结CE ,令1DEC ∠=∠,2DCE ∠=∠,则 ()1221)180BCD DEF ABD AFD ∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒（, 即知1()12902BCD DEF ∠+∠+∠+∠=︒,从而()1180[12]902CKE BCD DEF ∠=︒-∠+∠+∠+∠=︒, 故CK EK ⊥．(2)设DGF ∠的平分线交DE 于X ,KE 交GF 于l ,则()1122FGX DGF GFA GAF ∠=∠=∠+∠,()111()222FIE GFA AED GFA ADB GAF GFA GAF ∠=∠-∠=∠-∠-∠=∠+∠．故CX KE∥．同理,BGD ∠的平分线与CK 平行．(3)设过点B 、C 、D 的圆交CE 于点M ,连结DM ,则AFD CBD DME ∠=∠=∠,从而D 、M 、E 、F 四点共圆,于是CM CE CD CF ⋅=⋅,EM EC ED EB ⋅=⋅． 此两式相加,得2CE CD CF ED EB =⋅+⋅．又CP 、EQ 分别是圆O 的切线,有2CD CF CP ⋅=,2ED EB EQ ⋅=． 放223CE CP EQ =+．显然,M 是圆BCD 与圆DEF 的另一个交点,此即为密克尔点,即题设条件下的完全四边形的密克尔点在CE 上．由于CT CP =,ET EQ =,故222CT ET CE +=,即CT ET ⊥． (4)如图926-,连结CQ 交圆O 于R ',过E 作EH CQ ⊥于H ,X DR'R YZ H C MEAP QO B FG图9-26过点C 作圆的切线CP ,切点为P ,则()222CE EQ CP CR CQ CH HR CQ ''-===-． 又()()222222CE EQ CH HE HE HQ -=+-+()()22CH HQ CH HQ CH QH =-=-+ ()CH Ho CO =-．从而HR HQ '=,由此即可证 Rt Rt EHR EHQ '△△≌．于是EQ ER '=,而EQ ER =,则ER ER '=．又R '、R 均在圆O 上,故R '与R 重合,即C 、R 、Q 三点共线． 或者,设CE 上的点M 是密克尔点,则2EQ ED EB EM EC =⋅=⋅． 从而222CE EQ CE EM EC CE CM CD CF -=-⋅=⋅=⋅()()22CO OQ CO OQ CO OQ =-+=-由此,知CQ OE ⊥．而RQ OE ⊥,故C 、R 、Q 三点共线．为证R 、G 、Q 共线,连结AR 交BF 于点X ,连结RF 交AD 于点Y ,设RQ 与AF 交于点Z ,连结AQ 、QF ．于是sin sin QAZ QZF S AZ QA AQZZF S QF ZQF∠==∠△△． 同理sin sin FY DF FDY YR DR YDR ∠=∠,sin sin RX BR RBXXA BA XBA∠=∠． 由EAQ EQF △△≌,有RX EBQF ER =． 同理,有DF DE DR DB =,RX EBXA ER=． 而AQZ YDR ∠=∠,ZQF RBX ∠=∠,FDY XBA ∠=∠,EQ ER =． 于是1AZ FY RX ZF YE XA⋅⋅=对ARF △应用塞瓦定理的逆定理,知AY 、FX 、RZ 共点于G ,故R 、G 、Q 共线． 综上可知,C 、R 、G 、Q 四点共线．(5)由(4)即证．(6)由于OE RQ ⊥,即OE CG ⊥．同样OC EG ⊥．由此即知,O 为GCE △的垂心,亦可知OG CE ⊥． (7)由(5)知,直线CE 是点G 关于圆O 的极线,从而过点G 的弦的两端点处的切线的交点在直线CE 上． (8)若点O 在AD 上,则1O 、2O 分别为AC 、AE 的中点,此时,显然12OO O DCE △∽△． 若点O 不在AD 上,如图927-所示,则1O 、2O 不在AC 、AE 上．O O 1O 2BDCFAE图9-27连结1AO 、1CO 、AD 、AO 、OD 、2AO 、2O E 、BF ． 由22(180)2AO E ABE AFD AOD ∠=︒-∠=∠=∠, 及22O A O E =．OA OD =, 知2AO E AOD △△∽． 即有2AO AEAO AD=． 又2O AE OAD ∠=∠, 则2AOO ADE △△≌．同理1AO C AOD △∽△,1AOO ACD △△≌． 于是12O O OO AO CD AD DE==． 由12AO C AO E △∽△,知12O O AC AOCE AE AD==, 从而12OO O DCE △∽△．(9)如图928-,过点D 和M 作圆O 的割线MD 交圆O 于点T ,连结AM 、AO 、TO ．由A 、B 、D 、F及A 、B 、M 、E 分别共圆,知EFD ABE AM E ∠=∠=∠．TOBD C FAME图9-28又由D 、F 、A 、T 共圆,知EFD ATD ATM ∠=∠=∠,因AE 、TM 是过两相交圆交点F 、D 的割线,从而EM AT ∥．于是TAM AM E ATM ∠=∠=∠,即知MA MT =．又OA OT =,从而MO AT ⊥,故OM ME ⊥．而M 在CE 上,故OM CE ⊥,又由(6)知,OG CM ⊥,故O 、G 、M 三点共线． (此题为2002年中国国家队选拔赛题的特殊情形,故OM 平分AMD ∠,OM 平分BMF ∠) (10)如图929-,连结PA 、PB 、SD 、DR 、RF 、PF ．S BDCFARG EP 图9-29由EFR FPA △∽△,CPA CSB △∽△,有FR FE PA PE =,AP CPSB CB=． 从而FR FE CPSB PE CB=⋅． 由ERD EBP △∽△,CBP CSA △∽△,亦有 RD ED CPAS EP CA=⋅． 由上述两式相除,得 ER AS FE CASB RD ED CB ⋅=⋅． 用BDAF乘上式两边,应用完全四边形性质1中式①（即对ABE △及截线CDF 应用梅涅劳斯定理）．知 1EF AC BDFA CB DE ⋅⋅= 从而1FR DB SARD BS AF⋅⋅=．。

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

××学校八年级数学《平行四边形》竞赛试题总分120分，时间120分钟一、填空题（共9小题，每题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D旳任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF= _________ ．2．（•宁波）如图，BD是平行四边形ABCD旳对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增长旳一种条件是_________ ．（填一种即可）3．如图，已知矩形ABCD，对角线AC、BD相交于O，AE⊥BD于E，若AB=6，AD=8，则AE= ____ ．4．如图，以△ABC旳三边为边在BC旳同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF．（1）四边形ADEF是_________ ；（2）当△ABC满足条件_________ 时，四边形ADEF为菱形；（3）当△ABC满足条件_________ 时，四边形ADEF不存在．1题2题3题4题5．已知一种三角形旳一边长为2，这边上旳中线为1，另两边之和为1+，则这两边之积为________ ．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH旳交点P在BD上，图中有_________ 对四边形面积相等；它们是_________ ．7．如图，菱形ABCD旳对角线AC、BD相交于O，△AOB旳周长为3+，∠ABC=60°，则菱形ABCD旳面积为_________ ．8．如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BA D，交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE旳度数为_________ 度．9．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC旳面积为_________ ．6题7题8题9题二、选择题（共9小题，每题5分，满分45分）10．如图，▱ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED旳大小是（）A．60°B．65°C．70°D．75°10题11题12题13题11．如图，正△AEF旳边长与菱形ABCD旳边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B旳度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°12．如图，正方形ABCD外有一点P，P在BC外侧，并在平行线AB与CD之间，若PA=，PB=，PC=，则PD=（）A．2B．C．3D．13．如图，平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD旳中点，若∠AEF=54°，则∠B=（）A．54°B．60°C．66°D．72°14．四边形ABCD旳四边分别为a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是（）A．两组角分别相等旳四边形B．平行四边形C．对角线互相垂直旳四边形D．对角线相等旳四边形15．周长为68旳长方形ABCD被提成7个全等旳长方形，如图所示，则长方形ABCD 旳面积为（）A．98 B．196 C．280 D．28415题16题16．（•吉林）如图，菱形花坛ABCD旳边长为6m，∠A=120°，其中由两个正六边形构成旳图形部分种花，则种花部分图形旳周长为（）A．12m B．20m C．22m D．24m17．在凸四边形ABCD中，AB∥CD，且AB+BC=CD+DA，则（）A．A D＞BC B．A D＜BCC．A D=BC D．A D与BC旳大小关系不能确定18．已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论旳状况有（）A．4种B．9种C．13种D．15种三、解答题（共11小题，满分0分）19．如图，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC旳平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．20．设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE垂直AC于点E，PF垂直BC 于点F，PG垂直EF于点G，延长GP并在其延长线上取一点D，使得PD=PC，试证：BC⊥BD，且BC=BD．21．如图，在等腰三角形ABC中，延长AB到点D，延长CA到点E，且AE=BD，连接DE．假如AD=BC=CE=DE，求∠BAC旳度数．22．如图，△ABC为等边三角形，D、F分别为BC、AB上旳点，且CD=BF，以AD为边作等边△ADE．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）点D在线段BC上何处时，四边形CDEF是平行四边形且∠DEF=30°．23．（•河南）如图所示，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC旳中点，试判断△MEF是什么形状旳三角形，并证明你旳结论．24．（•咸宁）如图，在△ABC中，点O是AC边上旳一种动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA旳角平分线于点E，交∠BCA旳外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你旳结论．25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2，D是AC旳中点，以D 作DE⊥AC与CB旳延长线交于E，以AB、BE为邻边作长方形ABEF，连接DF，求DF 旳长．26．（•陕西）阅读下面短文：如图①，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC旳两个顶点为矩形一边旳两个端点，第三个顶点落在矩形这一边旳对边上，那么符合规定旳矩形可以画出两个矩形ACBD和矩形AEFB（如图②）解答问题：（1）设图②中矩形ACBD和矩形AEFB旳面积分别为S1、S2，则S1_________ S2（填“＞”“=”或“＜”）．（2）如图③，△ABC是钝角三角形，按短文中旳规定把它补成矩形，那么符合规定旳矩形可以画_________ 个，运用图③把它画出来．（3）如图④，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中旳规定把它补成矩形，那么符合规定旳矩形可以画出_________ 个，运用图④把它画出来．（4）在（3）中所画出旳矩形中，哪一种旳周长最小？为何？27．如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，N在AC上，且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°．28．如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上旳高，AD、CE相交于F，BF旳中点为P，AC旳中点为Q，连接PQ、DE．（1）求证：直线PQ是线段DE旳垂直平分线；（2）假如△ABC是钝角三角形，∠BAC＞90°，那么上述结论与否成立？请按钝角三角形改写原题，画出对应旳图形，并予以必要旳阐明．新课标八年级数学竞赛培训第15讲：平行四边形参照答案与试题解析一、填空题（共9小题，每题4分，满分36分）1．在矩形ABCD中，已知两邻边AD=12，AB=5，P是AD边上异于A和D旳任意一点，且PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，那么PE+PF= ．考点：矩形旳性质；等腰三角形旳性质。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）试题（含参考答案）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 设复数910i z （i 为虚数单位），若正整数n 满足2023n z ，则n 的最大值为 ． 答案：2．解：22910181nnnnz z．因21812023z ，而当3n 时，181132023nn n z，故n 的最大值为2．2. 若正实数,a b 满足lg 2b a ，lg lg 5a b a b ，则lg ()ab ab 的值为 ． 答案：20．解：因为lg lg lg lg 102a a b b b a ，所以lg lg lg lg lg lg lg ()()()52220ab a b a b b a ab ab a b a b ．3. 将一枚均匀的骰子独立投掷三次，所得的点数依次记为,,x y z ，则事件“777C C C x y z”发生的概率为 ． 答案：127．解：由于162534777777C C C C C C ，因此当,,{1,2,3,4,5,6}x y z 时，事件“777C C C x y z”发生当且仅当“{1,6},{2,5},{3,4}x y z ”成立，相应的概率为321627． 4. 若平面上非零向量,, 满足 ，2|| ，3|| ，则||的最小值为 ．答案：23．解：由 ，不妨设(,0),(0,)a b ，其中,0a b ，并设(,)x y，则由2||得2by a ，由3|| 得3ax b ．所以2232||2223b ax y xy a b． 取3,2a b ，此时6x y ，||取到最小值23．5. 方程sin cos2x x 的最小的20个正实数解之和为 ． 答案：130 ．解：将2cos212sin x x 代入方程，整理得(2sin 1)(sin 1)0x x ，解得532,2,2()662Z x k k k k．上述解亦可写成2()36Z k x k，其中0,1,,19k 对应最小的20个正实数解，它们的和为192219202013036326k k． 6. 设,,a b c 为正数，a b ．若,a b 为一元二次方程20ax bx c 的两个根，且,,a b c 是一个三角形的三边长，则a b c 的取值范围是 ．答案：7,518． 解：由条件知2222()()()ax bx c a x a x b ax a ab x a b ，比较系数得22,b a ab c a b ，故24,11a a b c a a，从而 24231a a a b c a a a a a ．由于201a a b a，故112a ．此时显然0b c ．因此，,,a b c 是一个三角形的三边长当且仅当a c b ，即4211a a a a a，即2(1)0a a a ，结合112a ，解得15122a ．令23()f x x x x ，则()a b c f a ．显然当0x 时()f x 连续且严格递增，故a b c 的取值范围是151,22f f，即7,518 ． 7. 平面直角坐标系xOy 中，已知圆 与x 轴、y 轴均相切，圆心在椭圆2222:1(0)x y a b a b内，且 与 有唯一的公共点(8,9)．则 的焦距为 ．答案：10．解：根据条件，可设圆心为(,)P r r ，则有222(8)(9)r r r ，解得5r 或29r ．因为P 在 内，故5r ．椭圆 在点(8,9)A 处的切线为2289:1x y l a b ，其法向量可取为2289,n a b． 由条件，l 也是圆 的切线，故n 与PA 平行，而(3,4)PA ，所以223227a b．又2264811a b ，解得22160,135a b ．从而 的焦距为22210a b ．8. 八张标有,,,,,,,A B C D E F G H 的正方形卡片构成下图．现逐一取走这些卡片，要求每次取走一张卡片时，该卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边（例如可按,,,,,,,D A B E C F G H 的次序取走卡片，但不可按,,,,,,,D B A E C F G H 的次序取走卡片），则取走这八张卡片的不同次序的数目为 ．AB C D EFGH答案：392．解：如左下图重新标记原图中的八张卡片．现将每张卡片视为顶点，有公共边的两张卡片所对应的顶点之间连一条边，得到一个八阶图，该图可视为右下图中的2m n 阶图(,)G m n 在3,3m n 时的特殊情况．231-3-20P-1 G (m , n )Pn...210-1-2-m ...取卡片（顶点）的规则可解释为：(i) 若顶点P 已取走，则以下每步取当前标号最小或最大的顶点，直至取完； (ii) 若顶点P 未取走，则必为某个(,)(,0)G m n m n 的情形，此时若0m ，则将P 视为1 号顶点，归结为(i)的情形；若0,0m n ，则将P 视为1号顶点，归结为(i)的情形；若,1m n ，则当前可取P 或m 号顶点或n 号顶点，分别归结为(i)或(1,)G m n 或(,1)G m n 的情形．设(,)G m n 的符合要求的顶点选取次序数为(,)f m n ，本题所求即为(3,3)f ．由(i)、(ii)知1(,0)2(0)m f m m ，1(0,)2(0)n f n n ，且(,)2(1,)(,1)(,1)m n f m n f m n f m n m n ．由此可依次计算得(1,1)12f ，(1,2)(2,1)28f f ，(1,3)(3,1)60f f ，(2,2)72f ，(2,3)(3,2)164f f ，(3,3)392f ，即所求数目为392．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分）平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:4y x ，F 为 的焦点，,A B 为 上的两个不重合的动点，使得线段AB 的一个三等分点P 位于线段OF 上（含端点），记Q 为线段AB 的另一个三等分点．求点Q 的轨迹方程．解：设1122(,),(,)A x y B x y ．不妨设AP PQ QB ，则121222,33x x y y P． 易知(1,0)F ．由于点P 位于线段OF 上，故122[0,1]3x x ，12203y y ． ……………4分可设12,2y t y t ，则2212,4t x x t ．此时有2122[0,1]32x x t ，且由,A B 不重合知0t ，所以2(0,2]t ． ……………8分设(,)Q Q Q x y ，则21212232,343Q Q x x y y x t y t，有243Q Q y x ． 注意到2330,42Q x t ，故点Q 的轨迹方程为243(0)32y x x ．……………16分10.（本题满分20分）已知三棱柱111:ABC A B C 的9条棱长均相等．记底面ABC 所在平面为 ．若 的另外四个面（即面111111111,,,A B C ABB A ACC A BCC B ）在 上投影的面积从小到大重排后依次为23,33,43,53，求 的体积．解：设点111,,A B C 在平面 上的投影分别为,,D E F ，则面11111,,A B C ABB A 1111,ACC A BCC B 在 上的投影面积分别为,,,DEF ABED ACFD BCFE S S S S ．由已知及三棱柱的性质，DEF 为正三角形，且,,ABED ACFD BCFE 均为平行四边形．由对称性，仅需考虑点D 位于BAC 内的情形（如图所示）． 显然此时有ABED ACFD BCFE S S S ． ……………5分XFEB DCA由于,,,23,33,43,53DEF ABED ACFD BCFE S S S S ，故,ABED ACFD S S 必为23,33的排列，53BCFE S ，进而43DEF S ，得DEF 的边长为4，即正三棱柱 的各棱长均为4． ……………10分不妨设23,33ABED ACFD S S ，则333,2ABD ACD S S ．取射线AD 与线段BC 的交点X ，则23ABD ACD BX S CX S ，故85BX ．因此2242cos60195AX AB BX AB BX ， 而58ABD ACD ABC AD S S AX S ，故192AD． ……………15分 于是 的高221352h AA AD． 又43ABC S ，故 的体积615ABC V S h ． ……………20分11.（本题满分20分）求出所有满足下面要求的不小于1的实数t ：对任意,[1,]a b t ，总存在,[1,]c d t ，使得()()1a c b d ．解：记[1,]t I t ，()()S a c b d ．假如2t ，则当a b t 时，对任意,t c d I ，均有2(1)1S t ，不满足要求．假如312t，则当1,2a b t 时，对任意,t c d I ，均有 21a c t ，12t b d ．若,a c b d 同正或同负，则2(1)1S t ，其余情况下总有01S ，不满足要求． ……………5分以下考虑322t 的情形．为便于讨论，先指出如下引理．引理：若1,2u v ，且52u v ，则1uv ．事实上，当32u v 时，22225312244u v u v uv ． 当32u v 时，1131222uv ．引理得证． 下证对任意,t a b I ，可取11,t c d I ，使得111()()1S a c b d ．① 若12a b ，则取111c d ，此时1(1)(1)(1)(1)S a b a b ，其中31311,12222a b b a ，且5(1)(1)2()2a b a b ，故由引理知11S ．若12a b ，则取1132t c d I ，此时13322S a b， 其中331,222a b ，且3353222a b a b ，故由引理知11S ． ……………15分 注意到，当,t a b I 时，可取2t c I ，使得21a c （例如，当[1,1]a 时取20c ，当(1,]a t 时取21c ），同理，可取2t d I ，使得21b d ．此时22222()()1S a c b d a c b d ．②根据①、②，存在一个介于12,c c 之间的实数c ，及一个介于12,d d 之间的实数d ，使得()()1a c b d ，满足要求．综上，实数t 满足要求当且仅当322t ． ……………20分。

数学竞赛试卷试题及答案试题一：代数问题1. 解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)2. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a+b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。

2. 证明：圆的内接四边形的对角和为180度。

试题三：数列问题1. 给定数列：\( a_n = 2n - 1 \)，求前10项的和。

2. 证明：数列 \( b_n = n^2 \) 是一个严格递增数列。

试题四：组合问题1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，求有多少种不同的放法。

2. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 - n \) 总是能被6整除。

试题五：概率问题1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。

2. 证明：如果一个事件的概率为 \( p \)，则其补事件的概率为\( 1-p \)。

答案：试题一：1. 解：\( (x-2)(x-3) = 0 \)，所以 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。

2. 证明：\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)，由于 \( 2ab \leqa^2 + b^2 \)，所以 \( (a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。

试题二：1. 解：根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \)。

2. 证明：设圆内接四边形为ABCD，连接对角线AC和BD，由于圆周角定理，\( \angle{AOC} + \angle{BOC} = 180^\circ \)，同理\( \angle{AOD} + \angle{BOD} = 180^\circ \)，所以\( \angle{AOC} + \angle{AOD} + \angle{BOD} + \angle{BOC} = 360^\circ \)。