电磁学13-涡旋电场-自感

• 互感系数可正可负，取决于两线圈之间的位置和 电流环绕的正方向
– 一般的，对每个载流线圈，其磁通的正方向规定为和 线圈中电流的正方向成右手螺旋关系。若来自其他线 圈的磁场的正方向与此正向相符，则M>0;反之，M<0
图中标示的 是正方向
Ψ 1
Ψ2
Ψ 1Βιβλιοθήκη Ψ2i1 线圈1 i2 线圈2 M >0
i1 线圈1
电感的充放电过程(1)
• 考虑电阻和电感串联的电路，如图
(1)开关拨向1，开始充电过程（电能转化成线圈的磁场能）
ε
2 1 R L
u L (t ) + u R (t ) = ε iR (t ) = iL (t )
微分方程的解 考虑初条件
ε
R
t
iL (t ) =
di (t ) + R ⋅ i (t ) = ε L dt R − t ε L
线圈2 i2
M <0
互感器的电路方程
• 互感器：用于电路中的互感元件。
– 理想互感器模型：只有自感和互感效应而没 有电阻、电容效应的互感器。只考虑互感器 中线圈之间的互感，而不考虑电路其他部分 对互感器的电磁感应。
• 在电路中，互感器是四端元件，其电路 方程为
i1
u1
L1
L2
i2
u2
di2 (t ) di1 (t ) +M u1 (t ) = L1 dt dt di1 (t ) di2 (t ) +M u 2 (t ) = L2 dt dt
ε
R
ε
R
e
−
t
τ
u L (t ) = −ε e
u L (t )
−
τ
L ; 称RL电路的 R 时间常数) (τ =
0
t
t
0
−ε
互
感
• 互感现象：另一个电路、线圈的磁场在本 电路回路、线圈中激发感生电动势的现象。
– 另一个电路、线圈电流的磁场对本回路、线 圈中的磁通或磁链称为互感磁通或互感磁链。 – 线圈1中由线圈2激发的互感磁链，表示为线 圈2的电流的线性函数：
∂B ∫ Ev ⋅ dl = −∫∫ ∂t ⋅ ds L s
Ev R
r
ˆ r Ev = − ⎢ ⎥ϕ； < R 2 ⎣ dt ⎦ R2 ⎡ dB(t ) ⎤ ˆ r Ev = − ⎢ ⎥ϕ； ≥ R 2r ⎣ dt ⎦
导体上的动生电动势和感生电动 势的分布
• 动生电动势分布于在磁场中运动的导体 上。（或着说切割磁力线的导体上）
涡旋电场和静电场的对比
相同点 对电荷的
作用 作用力 公式 矢量场 有叠加原理
静电场 有作用于 F = qEs 电荷的力 涡旋 有作用于 F = qEv 电场 电荷的力 不同点
起源 是否有 源场
是 是
是否有旋场
是 是
是否形成保 守力场
静电场 静止电荷 是 ρ ∇ ⋅ Es = 产生 ε0 涡旋 变化的磁 否 场产生 ∇ ⋅ Ev = 0 电场
– 静止的导体上没有动生电动势 ε m = ∫ (v × B )⋅ dl
• 感生电动势分布在处于变化磁场中的导 体上，进一步说，感生电动势分布在处 于感应电场中的导体上： ε i = ∫ Ev ⋅ dl
L
L
例:变化的柱形均匀磁场中线圈上 的感应电动势的分布
t • 如图柱形均匀磁场 B = B0，t为时间，分别求 两个等边三角形回路 中各段导体上的感应电动 势。三角形边长l，O为圆截面的圆心，O’M’N’ 的中心在O点。
O′
– 两个线圈中的总感应电动势相等：
εi = −
N′
N
M′
M
O
dΦ 3 2 = l B0 正方向如图示 dt 4
– 显然在O’M’N’中每段上的电动势相 等，故：O′M ′ = ε M ′N ′ = ε N ′O′ = 3 l 2 B0 ε
12
• 涡旋电场是以O为圆心的同心圆，根据：ε i = ∫ Ev ⋅ dl L ε OM = ε NO = 0 因此必有 ε = 3 l 2 B 知
∂B – 涡旋电场和感生电动势：∇× Ev = − ∂t • 比如，若选择参考系转换到运动的磁铁上，则变 化的磁场成为不变的磁场。
L
• 惯性系变换下各种物理量的变换遵循洛 伦兹变换，属于相对论的内容。
§4.6 电感器件
• 自感和互感基本特性 • 自感和互感电路方程
自
感
• 自感现象：自感磁通发生变化，在自身回路中 激发感生电动势的现象。
产生感生电动势的原因 感生电场(涡旋电场)
• 对于感生电动势，麦克斯韦在理论分析的基础 上提出的“感生电场”的设想，后为试验所证实。
• “感生电场”(或称“涡旋电场”)的指变化的磁场在空 间“感应”出了电场，感生电场可以驱动电荷，这 就是产生感生电动势的原因。
–感生电场对电荷有作用力。 –感生电场存在于任何磁场变化的空间，不依赖于线 圈是否存在。
考虑线 圈不变
又 ε i = ∫ Ev ⋅ dl
L
∂B ∫ Ev ⋅ dl = −∫∫ ∂t ⋅ dS L
• 涡旋电场是由磁场的变化产生 的；但上式决不意味着环路上的 涡旋电场只是环路内的磁场变化 产生的！ •涡旋电场是由“场”产生出来的 “场”，不同于电荷产生的电场， 是一种新的电场。
涡旋电场的电场线：
• 涡旋电场的环量非零，是有旋场，所以静电场 的电势概念不能用于涡旋电场！ • 涡旋电场旋度定理即环路定理的微分形式，两 者是等价的。
– 根据矢量分析的斯托克斯定理，考虑积分对任意曲 面成立，可证明旋度定理。
涡旋电场的高斯定理和散度定理
• 涡旋电场对任何闭合曲面的通量为零
– 考虑涡旋电场线成闭合线 – 与电流产生的磁场线的性质类比
ε和I参考的
正方向相同！
例：密绕螺线管的自感系数
• 设密绕螺线管长为l，截面积为S，单位长度线 匝数为n
– 假定螺线管长度比宽度大很多， 近似用无限长螺线管模型分析其磁场， 则内部存在沿轴线的均匀磁场，磁感应强度大小为 B = μ 0 nI – 穿过每匝线圈的磁通量相等，所以，线圈的总磁链 为 2
– 自感磁通：回路电流的磁场在自身回路中的磁通量 – 根据毕萨定律，在线圈不变的情况下，线圈中的磁 场决定于线圈电流，自感磁通量应和导线中电流大 小成正比。
• 自感系数：将回路自感磁通量表示为电流的线性 函数，系数L称自感系数，简称自感。
Φ = LI
– L取决于回路大小形状和线圈匝数，是回路的特性。 – 单位:亨利(亨)(H) (1H=1Wb/A)，毫亨(mH)微亨(μH) – 该式中的磁通和电流的正方向满足右手螺旋法则。
B
l0
l
o
x
•如图建立直角坐标系。由磁场安培环 μ0I 路定理可得长直电流产生磁场 B ( x ) = 2π x •取导体上ｘ处的小段导体dx,其上的 动生电动势为： μ0 I dε = (v × B ) ⋅ dl = −vB ⋅ dx = − v dx 2πx •导体上的Ａ指向Ｂ的动生电动势为：
μ0 I μ 0 vI l0 + l ε = ∫ dε = − ∫ v dx = − ln A A 2πx 2π l0
R + Ke
L ; 称RL电路的 R 时间常数) (τ =
t = 0; i (0) = 0
iL (t ) =
(1 − e τ )
−
u L (t ) = ε e
u L (t )
−
t
τ
iL (t )
ε
R
ε
0
t
0
t
电感的充放电过程(2)
(2)待电路稳定后将开关从1拨向2，开始放电过程 （线圈中存储的磁场能转化成电能）:
MN
4
0
* §4.5电磁场与惯性参考系
• 教材P.130，§4.3.2
*电磁场与参考系
• 和运动有关的物理量会受到参考系的选 择的影响，如何理解？
– 磁场力（洛伦兹力）：F = q ⋅ (v × B )
• 参看课本P.26，P.134
– 运动电荷（电流）产生磁场。 – 动生电动势 ε m = ∫ (v × B )⋅ dl
dΦ ε =− = Blwω ⋅ Cosωt dt
例:柱形均匀磁场产生的涡旋电场
• 在半径为R无限长圆柱形空间内有随时间变 ˆ 化的均匀磁场，B = B (t ) k ，求涡旋电场 z
R
B
– 取如图示柱坐标系 – 根据对称性，涡旋电场应是绕z轴的同 心圆，且在圆上大小相等，即： Ev ˆ E = Eϕ (r)ϕ L – 根据涡旋电场环路定理，选择如图绕z 轴的圆形环路， r ⎡ dB(t ) ⎤
否,电力线不 是（可以 闭合 ∇ × E s = 0 定义电势） 是,电力线闭 否（不可 合 ∇ × E v = − ∂B 定义电势）
∂t
例: 长直电流磁场中的运动导体
• 如图所示，在长直电流旁有导体AB长l，垂 直电流放置，Ａ端距离电流l0，平行于电流 运动，速度ｖ，求导体中的感应电动势。
v
I
A
u L (t ) + u R (t ) = 0
ε
2 1
R L
iR (t ) = iL (t )
di (t ) L + R ⋅ i (t ) = 0 dt
R − t L
微分方程的解 i (t ) = Ke L 考虑初条件 t = 0; i(0) = i0
(本例中，i0 =
t
ε
R
)
iL (t ) =
iL (t )
B B
即实际电动势的方向是从Ｂ指向Ａ
例:均匀磁场中旋转的线圈
• 如图示，方形线圈在均匀磁场中匀速旋 转，设线圈电阻无限大。求线圈中的感 应电动势。