(新课标)2020年高考数学二轮复习 专题能力训练11 等差数列与等比数列 理

第1讲 等差数列与等比数列「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.核心知识回顾1.等差数列(1)通项公式：□01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 2．等比数列(1)等比数列的通项公式：□01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)等比中项公式：□02a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．(3)等比数列的前n 项和公式：□03S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1).3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□02a m ＋a n ＝2a p .(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□03等差数列． (3)等差数列“依次每m 项的和”即S m ，□04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列． (4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝□06nd ，S 奇S 偶＝□07a n a n ＋1，项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝□08a 中＝□09a n ，S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇S 偶＝□10n n －1.(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ·a n ＝a l ·a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□02a m ·a n ＝a 2p .(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇＝□03q (公比)．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m ，□04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．热点考向探究考向1 等差数列、等比数列的运算例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且满足若a 3＋S 5＝12，a 4＋S 7＝24，则a 5＋S 9＝( )A ．24B ．32C ．40D ．72答案 C解析 ∵a 3＋S 5＝6a 3＝12，a 4＋S 7＝8a 4＝24，∴a 3＝2，a 4＝3，∴a 5＝4，∴a 5＋S 9＝10a 5＝40.故选C.(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( )A ．15B ．20C ．25D ．15或25答案 D解析 设公差为d ，∵a 3为a 2，a 6的等比中项，∴a 23＝a 2·a 6，即(a 4－d )2＝(a 4－2d )(a 4＋2d )，∴5d (d －2)＝0，∴d ＝0或d ＝2.∴5－d ＝5或3，即a 3＝5或3，∴S 5＝5a 3＝25或15.故选D.(3)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 3n－1解析 ∵a 2n ＋1－6a 2n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n ＝3n－1.利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．1．在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148答案 A解析 由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2)＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－23，a 1＝27(舍去)．∴a 5＋a 6＝a 1q 4(1＋q )＝144.故选A.2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )A.13 B.76C.73D.67答案 C解析 设a n 为第n 等人的得金数，则{a n }为等差数列，由题设可知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 8＋a 9＋a 10＝3，故a 2＝43，a 9＝1，而a 5＋a 6＝a 2＋a 9＝73.故选C.3．(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2022a 2020＝( )A ．4×20202－1 B ．4×20192－1 C ．4×20222－1D ．4×20192答案 A解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴a n ＋1a n＝2n －1， ∴a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a 2020＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202－1.故选A. 考向2 等差数列、等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n 2S n －1(n≥2，n∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <12.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)·2＝2n －1，所以S n ＝12n －1.13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明a 1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．(2019·江西八所重点中学4月联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)设b n ＝a 2na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)证明：∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n－2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝2－a n2a n －4＝－12为常数，又a 1＝1，∴1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是以－1为首项，－12为公差的等差数列．(2)由(1)知，1a n －2＝－1＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n ＋12， ∴a n ＝2－2n ＋1＝2n n ＋1， ∴b n ＝a 2n a 2n －1＝4n2n ＋12(2n －1)2n ＝4n2(2n －1)(2n ＋1)＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n ＋n 2n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋n2n ＋1.考向3 数列中a n 与S n 的关系问题例3 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1a n＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n.(2)由(1)，得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n. ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1，②①－②，得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)×3n ＋1＝－6－(2n －2)×3n ＋1.∴T n ＝(n －1)×3n ＋1＋3.由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1成立的前提是n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).(2019·福建泉州5月质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)， 所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得a n ＝2n，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn (n ＋1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1， 因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10(n ＋1)n， 因为10(n ＋1)n＝10⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞)．真题押题『真题模拟』1．(2019·湖南六校高三联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题意，知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30.故选C.2．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．(2019·安徽宣城高三第二次调研)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得________白米( )A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石答案 C解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石．设此等差数列为{a n }，公差为d ，其前n 项和为S n ，∴d ＝a 3－a 13－1＝－362＝－18，S 3＝3a 1＋3×22×(－18)＝180，解得a 1＝78.∴a 2＝a 1＋d ＝78－18＝60.∴乙应该分得60石．故选C.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n (n －1)2×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·新疆高三第一次诊断)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n >m 16，则m 能取到的最大正整数是________．答案 7解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，6a 1＋15d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝n ，且1a n ＝1n ，∴S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，令T n ＝S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n， 则T n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2， 即T n ＋1－T n ＝12n ＋2＋12n ＋1－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，∴T n ＋1>T n ，则T n 随着n 的增大而增大， 即T n 在n ＝1处取最小值，∴T 1＝S 2－S 1＝12，∵对一切n ∈N *，恒有S 2n －S n >m16成立，∴12>m16即可，解得m <8， 故m 能取到的最大正整数是7.『金版押题』6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝12S n ＋1S n ，则数列{S n }的通项公式为________．答案 －2n ＋1解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝12S n ＋1S n ，所以1S n ＋1－1S n ＝－12，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－12为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－12(n －1)＝－12n －12.故S n ＝－2n ＋1.7．给出一个直角三角形数阵(如下)，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *)，则a n 4＝________.14 12，14 34，38，316 … 答案n32解析 因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为12－14＝14，所以a i 1＝14＋(i －1)14＝i4，因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为3834＝12，所以a ij ＝a i 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12j －1＝i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12j －1(i ≥3)，因此a n 4＝n 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124－1＝n 32. 8．已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝32，则1m ＋4n的最小值为________．答案 34解析 因为数列{a n }是正项等比数列，a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，所以a 2a 8＝a 25＝16a 5，a 5＝16，a 3＝4.由a 5＝a 3q 2，得q ＝2(q ＝－2舍去)，由a 5＝a 1q 4，得a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，因为a m a n ＝32，所以2m －12n －1＝210，m ＋n ＝12，1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝34(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34.配套作业一、选择题1．(2019·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，则a 6的值为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则a 6＝25＝32.故选D.2．已知等比数列{a n }满足a 1a 2＝1，a 5a 6＝4，则a 3a 4＝( ) A ．2 B ．±2 C. 2 D ．± 2答案 A解析 ∵a 1a 2，a 3a 4，a 5a 6成等比数列，即(a 3a 4)2＝(a 1a 2)(a 5a 6)，∴(a 3a 4)2＝4，a 3a 4与a 1a 2符号相同，故a 3a 4＝2，故选A.3．(2019·安徽蚌埠高三下学期第二次检测)等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析 将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3d a 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋da 1＋1＝d ，得2dd＝2＝d ，故选A.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27答案 B解析 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝9，S 6＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＝9，6a 1＋6×52d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋5d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×(1＋7×2)＝45.解法二：由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，S 9－S 6成等差数列，所以S 9－S 6＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.5．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－12S 3C ．S 6＝12S 3D ．S 6＝2S 3答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6＝(1＋q 3)S 3，S 9＝(1＋q 3＋q 6)S 3，因为S 3，S 9，S 6成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，解得q 3＝－12，故S 6＝12S 3.6．(2019·陕西西安高三第一次质检)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的前21项之和为( )A ．0 B.252C ．21D ．42答案 C解析 函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)2＝21.故选C.二、填空题7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3n －1解析 由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即S n ＋1S n＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.8．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 答案 －8解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ①a 1(1－q 2)＝－3. ②∵a 1＋a 2＝－1≠0，∴q ≠－1，即1＋q ≠0.②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.9．(2019·山西太原第五中学高三阶段检测)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝n (n ＋1)2解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由已知得b 2＝a 22b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22，所以b n ＝2＋(n －1)22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n ＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n 2，则a n ＝b n b n －1＝n (n ＋1)2，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2.10．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋2－32，n ≥2解析 由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n－1＝3n －2，所以13n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1不成立，所以a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2－32.三、解答题11．(2019·广东茂名五大联盟学校高三3月联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)，可知当n ＝1时，a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12S n －1＝0(n ∈N *)．可得a n ＋1－12S n ＋1－1＝0，两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0， 即12a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n . 所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 故a n ＝2n(n ∈N *)．(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2(2n－1)，所以S n ＋(n ＋2n )λ＝2(2n －1)＋(n ＋2n)λ 若数列{S n ＋(n ＋2n)λ}为等差数列，则S 1＋(1＋2)λ，S 2＋(2＋22)λ，S 3＋(3＋23)λ成等差数列， 即有2[S 2＋(2＋22)λ]＝[S 1＋(1＋2)λ]＋[S 3＋(3＋23)λ]， 即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.经检验λ＝－2时，{S n ＋(n ＋2n)λ}成等差数列，故λ的值为－2.12．(2019·江西上饶市高三二模)已知首项为1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，等差数列{b n }满足b 1＝a 2，b 4＝a 3，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n a n＝S n ，求{c n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1，∴a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，∴q ＝3.∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1，∴a 2＝3，a 3＝9，∴b 1＝3，b 4＝9. 设{b n }的公差为d ，∴d ＝b 4－b 13＝2，∴b n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝2n ＋1，∴S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ，当n ＝1，c 1a 1＝3，c 1＝3，当n ≥2，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n a n＝n 2＋2n ，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2＋2(n －1)， 两式相减，得c na n＝2n ＋1，∴c n ＝(2n ＋1)·3n －1，经检验，n ＝1时上式也成立．综上，c n ＝(2n ＋1)·3n －1，n ∈N *.T n ＝3×30＋5×31＋…＋(2n ＋1)·3n －1，∴3T n ＝3×31＋5×32＋…＋(2n ＋1)·3n，两式相减－2T n ＝3－(2n ＋1)·3n ＋2×31＋2×32＋…＋2×3n －1＝3－(2n ＋1)·3n＋6(1－3n －1)1－3＝－2n ·3n.∴T n ＝n ·3n.13．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1，即3a 2n ＋1＝(S n ＋a n ＋1)2－S 2n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0， 所以a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④④－③，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)， 即a 22－2a 2＝0.因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.14．(2019·河北省中原名校联盟高三联考)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝12，且a 2，a 3，a 4－1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2log 2a n ＋4，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列．所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2＝a 1q ＋a 1q 3－1.又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12q 3－1，即q 2＝12q ＋12q 3－1.所以2q 2＝q ＋q 3－2，所以2q 2＋2＝q ＋q 3， 所以2(q 2＋1)＝q (q 2＋1)．所以(q 2＋1)(2－q )＝0. 显然q 2＋1≠0，所以2－q ＝0，解得q ＝2. 故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1·q n －1＝12·2n －1＝2n －2. (2)由(1)知，b n ＝2log 22n －2＋4＝2(n －2)＋4＝2n .所以1b n b n ＋1＝12n ·2(n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1.则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).。

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一等差、等比数列的基本运算【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a1、d(或q)、n、an与Sn这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a1和d(或q)是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝2a3，且a4与2a7的等差中项为54，则S5等于()A．29B．31C．33 D．36【例2】．an是公差不为0的等差数列，满足a24＋a25＝a26＋a27，则该数列的前10项和S10等于()A．－10B．－5C．0D．5【例3】．已知递增数列{an}对任意n∈N*均满足an∈N*，aan＝3n，记bn＝a2•3n－1(n ∈N*)，则数列{bn}的前n项和等于()A．2n＋n B．2n＋1－1C.3n＋1－3n2D.3n＋1－32题组训练一等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a5＝4，S15＝60则a20等于()A．4B．6C．10D．122．在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a8＋a10)＝36，则a6等于()A．8 B．6 C．4 D．33．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝30，S4＝120，设bn＝1＋log3an，那么数列{bn}的前15项和为()A．152 B．135 C．80 D．16题型二等差、等比数列的性质及应用【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{an}，{bn}满足bn＝log2an，n∈N*，其中{bn}是等差数列，且a8•a2 008＝14，则b1＋b2＋b3＋…＋b2 015等于()A．log22 015 B．2 015 C．－2 015 D．1 0082．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝10，S12＝130，则S8等于()A．－30 B．40C．40或－30 D．40或－503．等比数列{an}的首项为32，公比为－12，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－1Sn 的最大值与最小值之和为()A．－23 B．－712C.14D.56题组训练二等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2－7x＋12＝0的两根，则a1a17a9的值为()A．23 B．4 C．±22 D．±42．设公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，－217<d<－19，则当Sn 取最大值时n的值为________．3．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 016＋a2 017＞0，a2 016•a2 017＜0，则使前n 项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2 016B．2 017 C．4 032 D．4 033题型三等差、等比数列的综合问题【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N*，使对任意n∈N*，总有Sn<Tm＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三等差、等比数列的综合问题已知数列{an}中，a1＝1，an•an＋1＝，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n －1，n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.题型四数列与其他知识的交汇【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a2 016OC→，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 016等于()A．1 007B．1 008C．2 015D．2 016题组训练四数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{an}中，若a3a4a5＝3π，则sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值为()A.12B.32C．1 D．－322．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，存在两项am，an使得am•an ＝4a1，则1m＋4n的最小值为()A.32B.53C.256D.433．艾萨克•牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)的零点时给出一个数列xn满足xn＋1＝xn－′，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)有两个零点1,2，数列xn为牛顿数列，设an＝ln xn－2xn－1，已知a1＝2，xn>2，则an的通项公式an＝________.【专题训练】一、选择题1．等比数列{an}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg an}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．52．在正项等比数列{an}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．104．在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn等于()A．n(3n－1) ＋C．n(n＋1) ＋5．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若S12－S6S6－7•S6－S3S3－8＝0，且正整数m，n满足a1ama2n＝2a35，则1m＋8n的最小值是()A.157B.95C.53D.756．数列an是以a为首项，b为公比的等比数列，数列bn满足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n ＝1,2，…)，数列cn满足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1,2，…)，若cn为等比数列，则a＋b 等于()A.2 B．3 C.5 D．6二、填空题7．数列{an}的通项an＝n2•，其前n项和为Sn，则S30＝________.8．已知数列{an}满足a1＝2，且an＝2nan－1an－1＋n－1(n≥2，n∈N*)，则an＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？()A．8日B．9日C．12日D．16日10．数列{logkan}是首项为4，公差为2的等差数列，其中k>0，且k≠1.设cn＝anlg an，若{cn}中的每一项恒小于它后面的项，则实数k的取值范围为________．三、解答题11．已知数列an的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由．12.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足an＋1＝an•bn，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范围．2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∵a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∴a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∴a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∵数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∴数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∴a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1 009＝a 21 008＝14，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∵数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∴(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∵S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∴(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∴S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∵a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∴a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∵{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∴a 9＞0，∴a 9＝a 3a 15＝23，∴a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∵m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∵a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∴a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∵a 1＝1，a 1·a 2＝12，∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32.∴b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∵A 、B 、C 三点共线∴AB →＝λAC →∴OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∵OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∴a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∴a 1＋a 2 016＝1∴S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∴选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∵ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∴f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∴x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n －3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∵a 1＝2 ，∴ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∵等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∴a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∴数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】 D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∵a3a5＝64，∴a3a5＝a1a7＝64，∴a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∴a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】 C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∵T n＝a1a2…a n，∴T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∴n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∵{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∴S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∴q 6－7q 3－8＝0， 解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∴a 31·2m＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∴m ＋2n ＝15，∴1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∴1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∴a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∴S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∵数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∴a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∵n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∴当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∴k 2＜23，且0<k <1，∴0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∪(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3. 由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ⇒a n ＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。

2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【解析】 法一：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1qa 1q 4＝2a 1q 2a 1q 3＋2a 1q 6＝2×54，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝31，故选B.法二：由a 2a 5＝2a 3，得a 4＝2.又a 4＋2a 7＝52，所以a 7＝14，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝a 2(1－q 5)1－q＝31，故选B.【答案】 B【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【解析】 由题意，得a 24－a 27＝a 26－a 25，即()a 4－a 7()a 4＋a 7＝()a 6－a 5()a 6＋a 5，即－3d ()a 4＋a 7＝d ()a 6＋a 5，又因为d ≠0，所以a 4＋a 7＝a 6＋a 5＝0，则该数列的前10项和S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5()a 6＋a 5＝0.故选C.【答案】 C【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n 2D.3n ＋1－32【解析】 因为aa n ＝3n ，所以a 1≤3，若a 1＝1，那么a 1＝aa 1＝3×1＝3≠1矛盾，若a 1＝2，那么a 2＝aa 1＝3×1＝3成立，若a 1＝3，那么a 3＝aa 1＝3×1＝3＝a 1矛盾，所以a 2＝b 1＝2，当aa an ＝3a n ＝a 3n ，所以b n ＝a 2·3n －1＝a 3·2·3n －2＝3a 2·3n －2＝3b n －1，即b n b n －1＝3，数列{b n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以前n 项和为b 1(1－q n )1－q ＝3(1－33)1－3＝3n ＋1－32，故选D.【答案】 D题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．12 【解析】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∈a 3＋a 5＝4，S 15＝60，∈⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝415a 1＋15×142d ＝60， 解得a 1＝12，d ＝12，∈a 20＝a 1＋19d ＝12＋19×12＝10.故选C.【答案】 C2．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4D ．3【解析】 由等差数列的性质可知，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝2×3a 3＋3×2a 9＝6(a 3＋a 9)＝6×2a 6＝12a 6＝36，∈a 6＝3.故选D.【答案】 D3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝30，a 2＋a 4＝S 4－(a 1＋a 3)＝90，所以公比q ＝a 2＋a 4a 1＋a 3＝3，首项a 1＝301＋q 2＝3，所以a n ＝3n ，b n ＝1＋log 33n ＝1＋n ，则数列{b n }是等差数列，前15项的和为15×(2＋16)2＝135，故选B. 【答案】 B题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 008【解析】 ∈数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，∈数列{a n }是等比数列，由a 8·a 2 008＝14，可得a 21 008＝14，即a 1 008＝12，∈a 1·a 2 015＝a 2·a 2 014＝…＝a 1 007·a 1009＝a 21 008＝14，∈b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015＝log 2(a 1·a 2·…·a 2 015)＝log 2201521⎪⎭⎫ ⎝⎛＝－2 015.【答案】C2．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－50【解析】 ∈数列{a n }为等比数列且数列{a n }的前n 项和为S n ，∈S 4，S 8－S 4，S 12－S 8也构成等比数列．∈(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，∈S 4＝10，S 12＝130，各项均为正数的等比数列{a n }， ∈(S 8－10)2＝10·(130－S 8)，∈S 8＝40.故选B. 【答案】 B3．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56【解析】 依题意得，S n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21121123n＝1－n⎪⎭⎫⎝⎛-21.当n 为奇数时，S n ＝1＋12n 随着n 的增大而减小，1＜S n ＝1＋12n ≤S 1＝32，S n－1S n 随着S n 的增大而增大，0＜S n －1S n ≤56；当n 为偶数时，S n ＝1－12n 随着n 的增大而增大，34＝S 2≤S n ＝1－12n ＜1，S n －1S n 随着S n 的增大而增大，－712≤S n －1S n ＜0.因此S n －1S n 的最大值与最小值分别为56、－712，其最大值与最小值之和为56－712＝312＝14，选C.【答案】 C题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4【解析】 ∈a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，∈a 3a 15＝12，a 3＋a 15＝7，∈{a n }为等比数列，又a 3，a 9，a 15同号，∈a 9＞0，∈a 9＝a 3a 15＝23，∈a 1a 17a 9＝a 29a 9＝a 9＝2 3.故选A.【答案】 A2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．【解析】 因为等差数列{a n }的公差d 为负值，所以{a n }是递减数列．又a 1＝1，所以由a n ＝a 1＋(n －1)d >0得n <d －a 1d ，即n <1－1d ，因为－217<d <－19，所以192<1－1d <10，所以n ≤9，即当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0.所以当S n 取得最大值时n 的值为9.【答案】 93．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033【解析】 因为a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，所以d ＜0，a 2 016＞0，a 2 017＜0，所以S 4 032＝4 032(a 1＋a 4 032)2＝4 032(a 2 016＋a 2 017)2＞0，S 4 033＝4 033(a 1＋a 4 033)2＝4 033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.【答案】 C题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∈a 1＝4， ∈a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∈T m ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-m ＝8⎪⎭⎫ ⎝⎛-m )21(1， ∈m⎪⎭⎫⎝⎛21随m 增加而递减， ∈{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-481292n ，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<8＋λ，得λ>2.即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫ ⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .【解析】 (1)∈a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，∈a n ＋1·a n ＋2＝121+⎪⎭⎫⎝⎛n ，∈a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .∈b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∈b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12所以{b n }是公比为12的等比数列．∈a 1＝1，a 1·a 2＝12，∈a 2＝12∈b 1＝a 1＋a 2＝32.∈b n ＝32×121-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝32n . (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列． ∈T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝[]21121121211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫⎝⎛-nn ＝3－32n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016 【解析】 ∈A 、B 、C 三点共线∈AB →＝λAC →∈OB →－OA →＝λ(OC →－OA →)，OB →＝(1－λ)OA →＋λOC → 又∈OB →＝a 1·OA →＋a 2 016OC →，∈a 1＝1－λ，a 2 016＝λ ∈a 1＋a 2 016＝1∈S 2 016＝2 016(a 1＋a 2 016)2＝1 008，∈选B.【答案】 B题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－32【解析】 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，即log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 【答案】 B2．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.43【解析】 由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q＝－1(不合题意，舍去)，又由a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m＋n －2＝16a 21，即有m ＋n－2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎪⎭⎫⎝⎛+n m 41＝16⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++5426154m n n m m n n m ＝32，当且仅当4m n ＝n m ，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.【答案】 A3．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【解析】 ∈ 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，∈⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2a ，b ＝－3a . ∈f (x )＝ax 2－3ax ＋2a ，则f ′(x )＝2ax －3a .则x n ＋1＝x n －ax 2n －3ax n ＋2a 2ax n －3a ＝x n －x 2n －3x n ＋22x n －3＝x 2n －22x n －3，∈x n ＋1－2x n ＋1－1＝x 2n －22x n－3－2x 2n －22x n －3－1＝x 2n －2－2(2x n －3)x 2n －2－(2x n －3)＝212⎪⎪⎭⎫⎝⎛--n n x x ， 则数列a n 是以2为公比的等比数列，又∈a 1＝2 ，∈ 数列{}a n 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a n＝2·2n－1＝2n.【答案】2n【专题训练】一、选择题1．等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，则数列{lg a n}的前10项和等于()A．2B．lg 50C．10D．5【解析】∈等比数列{a n}中，a4＝2，a7＝5，∈a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝10，∈数列{lg a n}的前10项和S＝lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg a1a2…a10＝lg 105＝5，故选D【答案】D2．在正项等比数列{a n}中，已知a3a5＝64，则a1＋a7的最小值为()A．64 B．32C．16 D．8【解析】在正项等比数列{a n}中，∈a3a5＝64，∈a3a5＝a1a7＝64，∈a1＋a7≥2a1a7＝264＝2×8＝16，当且仅当a1＝a7＝8时取等号，∈a1＋a7的最小值为16，故选C.【答案】C3．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是()A．13 B．12C．11 D．10【解析】设等比数列为{a n}，其前n项积为T n，由已知得a1a2a3＝2，a n a n－1a n－2＝4，可得(a1a n)3＝2×4，a1a n＝2，∈T n＝a1a2…a n，∈T2n＝(a1a2…a n)2＝(a1a n)(a2a n－1)…(a n a1)＝(a1a n)n ＝2n＝642＝212，∈n＝12.【答案】 B4．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)2【解析】 依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.【答案】 C5．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.75【解析】 ∈{a n }是等比数列，设{a n }的公比为q ， ∈S 12－S 6S 6＝q 6，S 6－S 3S 3＝q 3，∈q 6－7q 3－8＝0，解得q ＝2(负值舍去)．又a 1a m a 2n ＝2a 35，∈a 31·2m ＋2n －2＝2(a 124)3＝a 31213，∈m ＋2n ＝15，∈1m ＋8n ＝115⎪⎭⎫⎝⎛+n m 81(m ＋2n )＝17＋2n m ＋8m n 15≥17＋22n m ×8m n 15＝53，当且仅当2n m ＝8mn，即m ＝3，n ＝6时等号成立，∈1m ＋8n 的最小值是53，故选C. 【答案】 C6．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5D ．6【解析】 由题意知，当b ＝1时，{c n }不是等比数列，所以b ≠1.由a n ＝ab n －1，则b n ＝1＋a (1－b n )1－b ＝1＋a 1－b －ab n 1－b ，得c n ＝2＋nb a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11－a 1－b ·b (1－b n )1－b ＝2－ab (1－b )2＋1－b ＋a 1－b n ＋abn ＋1(1－b )2，要使{}c n为等比数列，必有⎩⎪⎨⎪⎧2－ab(1－b )2＝0，1－b ＋a1－b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，a ＋b ＝3，故选B.【答案】 B 二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 【解析】 由题意可知，a n ＝n 2·cos 2n π3，若n ＝3k －2，则a n ＝(3k －2)2·⎪⎭⎫⎝⎛-21＝－9k 2＋12k －42(k ∈N *)；若n ＝3k －1，则a n ＝(3k －1)2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-21＝－9k 2＋6k －12(k ∈N *)；若n ＝3k ，则a n ＝(3k )2·1＝9k 2(k ∈N *)，∈a 3k －2＋a 3k －1＋a 3k ＝9k －52，k ∈N *，∈S 30＝9－52＋90－522×10＝470.【答案】 4708．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.【解析】 由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---111n a n (n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∈数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-1nan 是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n －1＝－12n ，∈a n ＝n ·2n2n －1(n ∈N *)．【答案】 n ·2n2n －19．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日【解析】由题可知，良马每日行程a n 构成一个首项为103，公差13的等差数列，驽马每日行程b n 构成一个首项为97，公差为－0.5的等差数列，则a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，b n ＝97－0.5(n －1)＝97.5－0.5n ，则数列{a n }与数列{b n }的前n 项和为1125×2＝2250，又∈数列{a n }的前n 项和为n 2×(103＋13n ＋90)，数列{b n }的前n 项和为n 2×(97＋97.5－0.5n )，n 2(103＋3n ＋90)＋n2(97＋97.5－0.5n )＝2250，整理得：25n 2＋775n －9 000＝0，即n 2＋31n －360＝0，解得：n ＝9或n ＝－40(舍)，即九日相逢．故选B.【答案】B10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．【解析】 由题意得log k a n ＝2n ＋2，则a n ＝k2n ＋2，∈a n ＋1a n ＝k 2(n ＋1)＋2k2n ＋2＝k 2，即数列{a n }是以k 4为首项，k 2为公比的等比数列，c n ＝a n lg a n ＝(2n ＋2)·k 2n ＋2lg k ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *恒成立，即(n ＋1)lg k <(n ＋2)·k 2·lg k 对一切n ∈N *恒成立；当k >1时，lg k >0，n ＋1<(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立；当0<k <1时，lg k <0，n ＋1>(n ＋2)k 2对一切n ∈N *恒成立，只需k 2<⎪⎭⎫ ⎝⎛++21n n min .∈n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2单调递增，∈当n ＝1时，n ＋1n ＋2取得最小值，即⎪⎭⎫⎝⎛++21n n min ＝23，∈k 2＜23，且0<k <1，∈0<k <63.综上，k ∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36,0∈(1，＋∞)．【答案】 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛36,0∈(1，＋∞) 三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．【解】 (1)当n ＝1时，由S 1＝2a 1－3×1，得a 1＝3； 当n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，可得a 2＝9； 当n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)令(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)·(21＋λ)，解得λ＝3. 由S n ＝2a n －3n 及S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3.由以上结论得a n ＋1＋3＝(2a n ＋3)＋3＝2(a n ＋3)，所以数列{a n ＋3}是首项为6，公比为2的等比数列，因此存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}为等比数列，所以a n ＋3＝(a 1＋3)×2n －1，a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．【解】 (1)由已知得S n ＝3a n －2，令n ＝1，得a 1＝1，又a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝3a n ＋1－3a n ∈a n＋1＝32a n ，所以数列{a n }是以1为首项，32为公比的等比数列，所以a n ＝123-⎪⎭⎫⎝⎛n .(2)由a n ＋1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛23a n ·b n ，得b n ＝1a n log 32a n ＋1＝(23)n －1log 32(32)n ＝n ·123-⎪⎭⎫⎝⎛n ，所以b n ＋1－b n ＝(n ＋1)·n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32－n ·132-⎪⎭⎫⎝⎛n ＝2n －13n (2－n )，所以(b n )max ＝b 2＝b 3＝43，所以t ≥43.。

一.选择题1. （2017 -苏州模拟）设，为等差数列&｝的前刀项和,&=仏，少=一2,则少=（）A. —6C ・一2解析：选A 根据等差数列的立义和性质可得， 0=4（站 + 念）=4（型+&6）,又 &=4亦所以头=0.又比=—2,所以as=—4, <29=—6.2. （2017 -全国卷III ）等差数列&｝的首项为1,公差不为0.若豪,比，灰成等比数列,则UJ 前6项的和为（）A. —24B. —3 C ・3 D ・8解析：选A 设等差数列｛站｝的公差为d,因为卞，②，念成等比数列，所以比46 =玉，即（a 】 + 0 （a 】 + 50 =（比+ 2刃又 a ： = l,所以 d +2</=0.又狞0,则d=_2、6X5所以｛去｝前6项的和3=6X1+「^X （-2） =-24・3. 已知等比数列&｝中，a ： + a 尸一2,则决&+2戲+靳）的值为（）A ・4B ・6C ・8D ・一 94. （2017 •宝鸡质检）设等差数列&｝的前n 项和为S“且S=18,,=30（n>9）,若9=336,则力的值为（） A. 18C. 20 解析：选D 因为&｝是等差数列，所以$=9比= 18,夷=2, SM 叮弘=—十 —=^X 32 = 16n=336,解得 n=21.5. （2016 •浙江髙考）如图，点列U ）, ｛&｝分别在某锐角的两边上,且|丛（=|右血B. —4 D. 2B. 19 D. 21儿工凡口 nGN\ B 占…\= 5餾』，表示点尸与Q 不重合）.若也=佔， ，为△ SB 小的而枳，则（）A. ｛$｝是等差数列C ・｛也｝是等差数列 ft ｝ B t 虬…5. KrB. ｛£｝是等差数列 D ・｛旳是等差数列解析：选A 由题意，过点血£…，凡，从…分别作直线B 际的垂线，髙分别记 为厶，hif hz>…，h 环A,»i,…，根据平行线的性质，得力“ hz, hz 、…，hny h,\“…成等差数 列，又$=£x Bb&Xk, 磁』为定值，所以｛S,｝是等差数列.故选A.ay • ag.. a.q ___ □ «T ：A 1) • rliJ -1) ♦ 1 ♦ ••• x(fl -l) I r-1 —二、填空题7. （2017 •全国卷III ）设等比数列｛/满足业+色=一1,创一念=一3,则克= ______________ . 解析：设等比数列｛^｝的公比为G则业 + 比=& （1 + q ） = —1,比—比=由（1 —q 「）= —3,两式相除，得出=4,解得q=-2,厶=1,所以a 】 = a&= —&A •数列UJ 为等差数列, B.数列仏｝为等比数列, 公差为q公比为『C.数列｛胡为等比数列, 公比为严D •数列｛小为等比数列， 公比为6・己知等比数列｛a 』的公比为 q 、记 b n = a a <^~D 41 + 4： + • • • + a,Sfl -1）1-l>+2 .......................... ArOi-l ）+>（/»,刀WN*）,则以F 结论一定正确的是（ ）解析：选C 等比数列｛韵的通项公式所以 6=-41 因为如丄=Cn 2 | ; ■« 5 即q", •-，’/n 2fn —1)4 (m-1)(1+m-l) in"(n —1)所以数列｛為为等比数列，公比为^015- 1M 2 =£q因为 $=4站一3,则 3c=4a“一3SM2),所以当 n^2 时，^=5,—5, !=4^-4^ 1,4整理得禺=尹“ “又a ： = lH0,4所以｛/是首项为1，公比为扌的等比数列.可得 bn =th-\- (b ：— bd + (厶一厶)+ •••+ {bn —bn 1) =21—1 n^N*).当72=1时上式也满足条件.所以数列⑹的通项公式为人=3x(#)' '— 1 (心).12. (2017 •全国卷I)记，为等比数列｛山的前c 项和.已知$=2, &=一6.(1) 求&｝的通项公式；(2) 求9，并判断S,“，S”弘七是否成等差数列.解：⑴设UJ 的公比为GE 1 + q = 2, 由题设可得L 】+卄孑=-6.故UJ 的通项公式为/=(一2)：=(~t + T v]=2^故5m S’ 成等差数列.(2)由(1)知比 由 £^+i =a.o+2^(n£N*), (2)由(1)可得$= -2 X[1 — 一 2 11- -24 由于 —§+ (―1) 严_2川 3解得。

高考数学二轮复习之等差等比数列一、等差、等比数列基本量求法及运用二、数列通项公式求法：累加、累乘、倒数、构造、取对、迭代、分类讨论注意：(1)若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.(2)在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩⎨⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1.若a n 最小，则⎩⎨⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.例题：1、(2018·广州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为____________．2、(2018·全国卷Ⅰ改编)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则a n ＝________.3、设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________.4、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1×a n ＝2n (n∈N *)，则a 10＝________．5、已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k a k ＋1<0，则正整数k ＝________．6、设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为___________．7、(累乘法)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则通项公式a n ＝________.8、(构造法)在数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．9、(2018·百校联盟联考)已知数列{a n }满足2S n ＝4a n －1，当n ∈N *时，{(log 2a n )2＋λlog 2a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．10、数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n≤12，2a n－1，12<a n<1，a 1＝35，则数列的第2 019项为________．11、设数列{a n }，a n ＝nanb ＋c，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增后减D ．先减后增12、已知数列{an}满足a1＝2,2anan ＋1＝a2n ＋1，设bn ＝an －1an ＋1，则数列{bn}是( ) A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列D ．递减数列13、已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．14、已知数列{a n }满足a n ＝(n －λ)2n (n ∈N *)，若{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围为________．15、在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1011n (n ∈N *)．(1)讨论数列{a n }的增减性； (2)求数列{a n }的最大项．16、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n(n∈N *)．若p －q ＝5，则a p －a q ＝________． 17、已知数列{an}满足a2＝2a1＝2，nan ＋2是(2n ＋4)an ，3(2n2＋4n)的等差中项，则数列{an}的前n 项和为________．18、在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .若S 7＝21，则a 4的值为________． 19、若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 4＋a 10＝20，则S 13＝________．20、(2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )21、已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1S n 是等差数列．(2)求a n 的表达式．22、已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，设b n ＝1a n －1(n ∈N *)．求证：数列{b n }是等差数列．23、已知在等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )24、(2019·福建模拟)设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，若a 5＝2b 5，则S 9T 9＝( ) 25、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，则数列{a n }的项数为________．26、(2019·山西五校联考)在数列{a n }中，a n ＝28－5n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，当S n 最大时，n ＝( )27、在等差数列{an}中，a1＝－2 015，其前n 项和为Sn ，若S1212－S1010＝2，则S2 019的值等于( )28、已知函数y ＝f(x)的定义域为R ，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x ，y ∈R ，等式f(x)f(y)＝f(x ＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an ＋1)＝1f (－2－an )(n ∈N*)，则a2 016的值为________．29、(2019·广东中山一中统测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 的前11项和为( )30、(2019·广州高中综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n .若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( )31、(2018·辽宁五校协作体模考)已知数列{a n }是等差数列，且a 1，a 2(a 1<a 2)分别为方程x 2－6x ＋5＝0的两个实根．(1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)在(1)中，设b n ＝S nn ＋c ，求证：当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列． 32、(2017·江苏卷)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________．33、数列{a n }的前n 项和为S n ＝2a n －2n ，证明：{a n ＋1－2a n }是等比数列．34、(2019·西宁月考)已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上．在数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．35、(2018·河南四校联考)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2…a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )36、(2019·辽宁五校协作体联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )37、(2018·贵阳适应性考试)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝12，a 2a 6＝8(a 4－2)，则S 2 019＝( )38、已知首项与公比相等的等比数列{a n }满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N *)，则2m ＋1n的最小值为( ) 39、在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )40、(2019·郑州一测)已知数列{a n }满足log 2a n ＋1＝1＋log 2a n (n ∈N *)，且a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1，则log 2(a 101＋a 102＋…＋a 110)＝________.41、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .42、(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．43、(2017·北京卷)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.44、(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2＝2，S 3＝－6. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．45、(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4. (1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式． 46、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：a 1a n ＝S 1＋S n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a n ＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2 a n 32的前n 项和为T n ，试问当n 为何值时，T n 取得最小值？并求出最小值．47、设数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎨⎧12a n ，n 为偶数，a n＋14，n 为奇数，记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…，(1)求a 2，a 3与b 1，b 2，b 3(用a 表示)．(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．48、已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )49、设S n ，T n 分别是数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知对于任意n ∈N *，都有3a n ＝2S n ＋3，数列{b n }是等差数列，且T 5＝25，b 10＝19.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b nn (n ＋1)，求数列{c n }的前n 项和R n ，并求R n 的最小值．50、已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .。

专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.已知数列{a n}为等比数列,且a8a9a10=-a132=-1 000,则a10a12=()A.100B.-100C.100√10D.-100√102.在等差数列{a n}中,a1+a2+a3=3,a18+a19+a20=87,则此数列前20项的和等于()A.290B.300C.580D.6003.设{a n}是等比数列,S n是{a n}的前n项和.若对任意正整数n,有a n+2a n+1+a n+2=0,a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.04.已知{a n}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S n.若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>05.在等比数列{a n}中,满足a1+a2+a3+a4+a5=3,a12+a22+a32+a42+a52=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.√5C.-√5D.56.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .7.(2019四川内江等六市二诊,14)中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1 260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1a ,1a,1a成等差数列,则aa+aa= .9.(2018全国Ⅲ,文17)在等比数列{a n}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{a n}的通项公式;(2)记S n为{a n}的前n项和,若S m=63,求m.10.(2019全国Ⅰ,文18)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9=-a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.11.(2019山东潍坊四市联考,17)已知数列{a n},{b n}满足:a n+1+1=2a n+n,b n-a n=n,b1=2.(1)证明数列{b n}是等比数列,并求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.二、思维提升训练12.已知数列{a n },{b n }满足a 1=b 1=1,a n+1-a n =a a +1a a=2,n ∈N *,则数列{a a a }的前10项的和为( )A.43(49-1) B.43(410-1) C.13(49-1)D.13(410-1)13.若数列{a n }为等比数列,且a 1=1,q=2,则T n =1a 1a 2+1a 2a3+…+1aa a a +1等于( )A.1-14aB.23(1-14a ) C.1-12aD.23(1-12a ) 14.如图,点列{A n },{B n }分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ≠A n+2,n ∈N *,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n ≠B n+2,n ∈N *.(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)若d n =|A n B n |,S n 为△A n B n B n+1的面积,则( )A .{S n }是等差数列B .{a a 2}是等差数列C .{d n }是等差数列D .{a a 2}是等差数列15.(2019河北武邑中学调研,15)若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ,T n ,a a a a=5aa +5,则a 10a 9+a 12+a 11a8+a 13= .16.(2019江苏常州高三期末,19)在数列{a n}中,a1=1,且a n+1+3a n+4=0,n∈N*.(1)求证:{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列?若存在,求满足条件的项;若不存在,请说明理由.17.若数列{a n}是公差为正数的等差数列,且对任意n∈N*有a n·S n=2n3-n2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在数列{b n},使得数列{a n b n}的前n项和为A n=5+(2n-3)2n-1(n∈N*)?若存在,求出数列{b n}的通项公式及其前n项和T n;若不存在,请说明理由.专题能力训练11 等差数列与等比数列一、能力突破训练1.C 解析∵{a n }为等比数列,∴a 8a 9a 10=-a 132=a 93=-1000,∴a 9=-10,a 132=1000.又a 10a 12=a 102q 2>0,∴a 10a 12=|a 9a 13|=100√10.2.B 解析由a 1+a 2+a 3=3,a 18+a 19+a 20=87,得a 1+a 20=30,故S 20=20×(a 1+a 20)2=300.3.A 解析设公比为q ,∵a n +2a n+1+a n+2=0,∴a 1+2a 2+a 3=0,∴a 1+2a 1q+a 1q 2=0,∴q 2+2q+1=0,∴q=-1.又a 1=2,∴S 101=a 1(1-a 101)1-a=2[1-(-1)101]1+1=2.4.B 解析设{a n }的首项为a 1,公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 4=a 1+3d ,a 8=a 1+7d.∵a 3,a 4,a 8成等比数列,∴(a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d ),即3a 1d+5d 2=0. ∵d ≠0,∴a 1d=-53d 2<0,且a 1=-53d. ∵dS 4=4a (a 1+a 4)2=2d (2a 1+3d )=-23d 2<0,故选B .5.D解析由条件知{a 1(1-a 5)1-a=3,a 12(1-a 10)1-a 2=15,则a 1(1+a 5)1+a =5,故a 1-a 2+a 3-a 4+a 5=a 1[1-(-a )5]1-(-a )=a 1(1+a 5)1+a=5. 6.6 解析∵a n+1=2a n ,即a a +1a a=2, ∴{a n }是以2为公比的等比数列.又a 1=2,∴S n =2(1-2a )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.7.120 解析男子每天走的里数构成等差数列,设为{a n },其公差为d ,前n 项和为S n .根据题意可知,S 9=1260,a 1+a 4+a 7=390, (方法一)∵S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=1260,∴a 5=140.又a 1+a 4+a 7=3a 4=390,∴a 4=130,∴d=a 5-a 4=10,∴a 3=a 4-d=120.(方法二)由题意,得{a 9=1260,a 1+a 4+a 7=390,{9a 1+9×82a =1260,a 1+a 1+3a +a 1+6a =390,解得{a 1=100,a =10,所以a 3=a 1+2d=120.8.3415 解析由题意知{(12a )2=9a ×15a ,2a =1a +1a,解得xz=1229×15y 2=1615y 2,x+z=3215y ,从而a a +a a=a 2+a 2aa=(a +a )2-2aaaa=(a +a )2aa-2=(3215)2a 21615a 2-2=3415.9.解(1)设{a n }的公比为q ,由题设得a n =q n-1. 由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2. 故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188,此方程没有正整数解.若a n =2n-1,则S n =2n -1.由S m =63得2m=64,解得m=6. 综上,m=6.10.解(1)设{a n }的公差为d. 由S 9=-a 5,得a 1+4d=0. 由a 3=4,得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d ,故a n =(n-5)d ,S n =a (a -9)a2.由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N }. 11.解(1)因为b n -a n =n ,所以b n =a n +n.因为a n+1=2a n +n-1,所以a n+1+(n+1)=2(a n +n ),即b n+1=2b n .又b 1=2,所以{b n }是首项为2,公比为2的等比数列,b n =2×2n-1=2n. (2)由(1)可得a n =b n -n=2n-n ,所以S n =(21+22+23+ (2))-(1+2+3+…+n )=2(1-2a )1-2−a (1+a )2=2n+1-2-a 2+a 2.二、思维提升训练12.D 解析由a 1=1,a n+1-a n =2,得a n =2n-1. 由a a +1a a=2,b 1=1得b n =2n-1.则a a a =2a a -1=22(n-1)=4n-1,故数列{a a a }的前10项和为1-4101-4=13(410-1). 13.B 解析因为a n =1×2n-1=2n-1,所以a n a n+1=2n-1·2n=22n-1=2×4n-1,所以1aa a a +1=12×(14)a -1.所以{1aa a a +1}是等比数列.故T n =1a1a 2+1a2a3+…+1a a a a +1=12×1×(1-14a )1-14=23(1-14a ).14.A 解析如图,延长A n A 1,B n B 1交于P ,过A n 作对边B n B n+1的垂线,其长度记为h 1,过A n+1作对边B n+1B n+2的垂线,其长度记为h 2,则S n =12|B n B n+1|h 1,S n+1=12|B n+1B n+2|h 2.∴S n+1-S n =12|B n+1B n+2|h 2-12|B n B n+1|h 1. ∵|B n B n+1|=|B n+1B n+2|, ∴S n+1-S n =12|B n B n+1|(h 2-h 1).设此锐角为θ,则h 2=|PA n+1|sin θ,h 1=|PA n |sin θ,∴h 2-h 1=sin θ(|PA n+1|-|PA n |)=|A n A n+1|sin θ. ∴S n+1-S n =12|B n B n+1||A n A n+1|sin θ.∵|B n B n+1|,|A n A n+1|,sin θ均为定值,∴S n+1-S n 为定值. ∴{S n }是等差数列.故选A .15.4 解析由等差数列的性质可得a 10a 9+a 12+a 11a 8+a 13=a 10a 1+a 20+a 11a 1+a 20=a 1+a 20a 1+a 20=20(a 1+a 20)220(a 1+a 20)2=a 20a 20=5×2020+5=4.16.解(1)因为a n+1+3a n +4=0,所以a a +1+1a a +1=-3a a -3a a +1=-3.因为a 1+1=2≠0,所以数列{a n +1}是以2为首项,以-3为公比的等比数列, 所以a n +1=2×(-3)n-1,即a n =2×(-3)n-1-1.(2)假设存在三项a r ,a s ,a t (r<s<t )按一定顺序重新排列后成等差数列.①若a r +a s =2a t ,则2×(-3)r-1-1+2×(-3)s-1-1=4×(-3)t-1-2,整理得(-3)r+(-3)s=2×(-3)t.两边同除以(-3)r,得1+(-3)s-r=2×(-3)t-r,等式的右边是-3的整数倍,左边不是-3的整数倍,故等式不成立.②若a r +a t =2a s ,则2×(-3)r-1-1+2×(-3)t-1-1=4×(-3)s-1-2,整理得(-3)r+(-3)t=2×(-3)s,两边同除以(-3)r, 得1+(-3)t-r=2×(-3)s-r,等式的右边是-3的整数倍,左边不是-3的整数倍,故等式不成立.③若a s +a t =2a r ,则2×(-3)s-1-1+2×(-3)t-1-1=4×(-3)r-1-2,整理得(-3)s+(-3)t=2×(-3)r,两边同除以(-3)r, 可得(-3)s-r+(-3)t-r=2,等式的左边是-3的整数倍,右边不是-3的整数倍,故等式不成立. 综上,数列{a n }中不存在不同的三项符合题意. 17.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则d>0,a n =dn+(a 1-d ),S n =12dn 2+(a 1-12a )n.对任意n ∈N *,恒有a n ·S n =2n 3-n 2,则[dn+(a 1-d )]·[12aa 2+(a 1-12a )a ]=2n 3-n 2,即[dn+(a 1-d )]·[12aa +(a 1-12a )]=2n 2-n. ∴{12a 2=2,12a (a 1-a )+a (a 1-12a )=-1,(a 1-a )(a 1-12a )=0.∵d>0,∴{a 1=1,a =2,∴a n =2n-1.(2)∵数列{a n b n }的前n 项和为A n =5+(2n-3)·2n-1(n ∈N *),∴当n=1时,a 1b 1=A 1=4, ∴b 1=4,当n ≥2时,a n b n =A n -A n-1=5+(2n-3)2n-1-[5+(2n-5)2n-2]=(2n-1)2n-2.∴b n =2n-2.假设存在数列{b n }满足题设,且数列{b n }的通项公式b n ={4,a =1,2a -2,a ≥2,∴T 1=4,当n ≥2时,T n =4+1-2a -11-2=2n-1+3,当n=1时也适合,∴数列{b n }的前n 项和为T n =2n-1+3.。

2020版新高考数学大二轮复习：等差数列与等比数列（真题及考点精讲）[做真题]题型一 等差数列1．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ； 选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.3．(2017·高考全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2，又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0，又d ≠0，则d ＝－2，所以a 6＝a 1＋5d ＝－9，所以{a n }前6项的和S 6＝1－92×6＝－24，故选A.4．(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.答案：4题型二 等比数列1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏解析：选B.每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 1（1－27）1－2＝381，解得a 1＝3，故选B.3．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12134．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n－1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.题型三 等差、等比数列的判定与证明(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.[学习指导意见]1．数列的概念和简单表示法了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数．2．等差数列、等比数列(1)理解等差数列、等比数列的概念．(2)掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和的公式．考点1：等差、等比数列的基本运算[典型例题](1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 10S 5＝3332，则数列{a n }的公比q 为( )A ．4B ．2C ．12D ．34(2)(2019·开封模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝3.①若a 3＋b 3＝7，求{b n }的通项公式； ②若T 3＝13，求S n .【解】 (1)选C.因为S 10S 5＝3332≠2，所以q ≠1.所以S 10S 5＝a 1（1－q 10）1－q a 1（1－q 5）1－q ＝1＋q 5，所以1＋q 5＝3332，所以q ＝12. (2)①设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.由a 2＋b 2＝3，得d ＋q ＝4，(*) 由a 3＋b 3＝7，得2d ＋q 2＝8，(**)联立(*)(**)，解得q ＝2或q ＝0(舍去)， 因此数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.②因为T 3＝1＋q ＋q 2，所以1＋q ＋q 2＝13， 解得q ＝3或q ＝－4，由a 2＋b 2＝3，得d ＝4－q ，所以d ＝1或d ＝8. 由S n ＝na 1＋12n (n －1)d ，得S n ＝12n 2－32n 或S n ＝4n 2－5n .等差、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q ；(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn(a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p·q n －1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列；(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．[对点训练]1．(多选)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n>1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A ．a 9＝17B ．a 10＝18C ．S 9＝81D ．S 10＝91解析：选BD.因为对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，所以S n －1－S n ＝S n－S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝2.所以数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2，又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选BD.2．(一题多题)(2019·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选B.通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n >0，所以q >0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.3．(2019·武昌区调研考试)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________．解析：设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，因为{a n }是等差数列，S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(a 1＋a 2)2＝a 1(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，因为a 3＝5，所以(5－2d ＋5－d )2＝(5－2d )(5－2d ＋15)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以5＝a 1＋(3－1)×2，即a 1＝1，所以a n ＝2n －1.答案：a n ＝2n －1考点2：等差(比)数列的性质[典型例题](1)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2C ． 2D ．－2或 2(2)(2019·长春质量检测)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，则λ＝( )A ．13B ．12C ．2D ．3(3)(2019·福建漳州质检改编)若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且a 2＋a 9＋a 19＝6，则a 10＝________，S 19＝________．【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.(2)因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和， 若S 4≠0，且S 8＝3S 4，S 12＝λS 8，所以由等差数列的性质得：S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列， 所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)， 所以2(3S 4－S 4)＝S 4＋(λ·3S 4－3S 4)， 解得λ＝2.(3)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由等差数列的通项公式可得a 2＋a 9＋a 19＝3(a 1＋9d )＝3a 10＝6，所以a 10＝2，由等差数列前n 项和公式可得S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19a 10＝38.【答案】 (1)B (2)C (3)2 38等差、等比数列性质问题的求解策略[对点训练]1．(一题多解)(2019·福建省质量检查)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，则a 33＝( )A ．82B ．97C ．100D ．115解析：选 C.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 8－a 5＝9，S 8－S 5＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧（a 1＋7d ）－（a 1＋4d ）＝9，（8a 1＋28d ）－（5a 1＋10d ）＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝4，所以a 33＝a 1＋32d ＝4＋32×3＝100，故选C.优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 8－a 5＝9，得3d ＝9，即d ＝3.由S 8－S 5＝66，得a 6＋a 7＋a 8＝66，结合等差数列的性质知3a 7＝66，即a 7＝22，所以a 33＝a 7＋(33－7)×d ＝22＋26×3＝100，故选C.2．(一题多解)(2019·广东省七校联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 6＋a 8＝6，S 9－S 6＝3，则S n 取得最大值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.法一：设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.所以a n ＝－2n ＋17，由于a 8>0，a 9<0，所以S n 取得最大值时n 的值是8，故选D. 法二：设{a n }的公差为d ，则由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＋a 1＋7d ＝6，a 1＋6d ＋a 1＋7d ＋a 1＋8d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝15，d ＝－2.则S n ＝15n ＋n （n －1）2×(－2)＝－(n －8)2＋64，所以当n ＝8时，S n 取得最大值，故选D.3．(一题多解)已知数列{a n }满足a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12－λn ＋1（n <6），λn －5（n ≥6），若对于任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，则实数λ的取值范围是________．解析：法一：因为a n >a n ＋1，所以数列{a n}是递减数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－λ<0，0<λ<1，λ<⎝⎛⎭⎫12－λ×5＋1，解得12<λ<712.所以实数λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，712. 法二：因为a n >a n ＋1恒成立，所以0<λ<1.若0<λ≤12，则当n <6时，数列{a n }为递增数列或常数列，不满足对任意的n ∈N *都有a n >a n＋1；若12<λ<1，则当n <6时，数列{a n }为递减数列，当n ≥6时，数列{a n }为递减数列，又对任意的n ∈N *都有a n >a n ＋1，所以a 6<a 5，即λ<⎝⎛⎭⎫12－λ×5＋1，解得λ<712， 所以12<λ<712.综上，实数λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，712. 答案：⎝⎛⎭⎫12，712考点3：等差(比)数列的判定与证明[典型例题](2019·广州市调研测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝7，a n ＝2a n －1＋a 2－2(n ≥2)．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式，并判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？ 【解】 (1)证明：因为a 3＝7，a 3＝3a 2－2，所以a 2＝3， 所以a n ＝2a n －1＋1， 所以a 1＝1，a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2(n ≥2)，所以数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列． (2)由(1)知，a n ＋1＝2n ， 所以a n ＝2n －1，所以S n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2，所以n ＋S n －2a n ＝n ＋(2n ＋1－n －2)－2(2n －1)＝0，所以n ＋S n ＝2a n ， 即n ，a n ，S n 成等差数列．判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明a 1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后判定数列{a n }为等比数列．[对点训练]1．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)且a 1＝1. (1)设b n ＝a n3n －1，证明数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝na n，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知得a n ＋1＝3a n ＋3n，得b n ＋1＝a n ＋13n ＝3a n ＋3n 3n ＝a n3n －1＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，所以b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知，b n ＝a n 3n －1＝n ，所以a n ＝n ·3n －1，c n ＝13n －1，所以S n ＝1×⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝32⎝⎛⎭⎫1－13n ＝32－12·3n －1.2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列{1b n }是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *)．所以数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2.因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2)． 所以数列{1b n }是首项为12，公差为1的等差数列． 所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1. 考点4：数列与新定义相交汇问题[典型例题]对任一实数序列A ＝(a 1，a 2，a 3，…)，定义新序列ΔA ＝(a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…)，它的第n 项为a n ＋1－a n .假定序列Δ(ΔA )的所有项都是1，且a 12＝a 22＝0，则a 2＝________．【解析】 令b n ＝a n ＋1－a n ，依题意知数列{b n }为等差数列，且公差为1，所以b n ＝b 1＋(n －1)×1，a 1＝a 1， a 2－a 1＝b 1， a 3－a 2＝b 2， …a n －a n －1＝b n －1，累加得a n ＝a 1＋b 1＋…＋b n －1＝a 1＋(n －1)b 1＋（n －1）（n －2）2＝(n －1)a 2－(n －2)a 1＋（n －1）（n －2）2，分别令n ＝12，n ＝22，得⎩⎪⎨⎪⎧11a 2－10a 1＋55＝0，21a 2－20a 1＋210＝0， 解得a 1＝2312，a 2＝100.【答案】 100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”．(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识．(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．[对点训练]1．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2B ．2nC ．2n ＋1－2D ．2n －1－2解析：选C.因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n－1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n，所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.2．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N ＋，且b n＝13＋a n.记P n ＝b 1×b 2×…×b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________． 解析：因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3）＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），所以b n ＝13＋a n ＝a n 3a n ＋1，所以P n ＝b 1×b 2×…×b n ＝a 13a 2×a 23a 3×…×a n 3a n ＋1＝a 13n a n ＋1.又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n ＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1＝3.答案：3一、选择题1．(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A ．12B ．54C ．45D ．－45解析：选C.因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C.2．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 3＝－6，则S 5＝( ) A ．18B ．10C ．－14D ．－22解析：选 D.法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2q ＝－2，所以S 5＝－2×[1－（－2）5]1－（－2）＝－22，故选D.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，令A ＝a 1q －1，则S n ＝Aq n －A ，⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝Aq 2－A ＝2S 3＝Aq 3－A ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝23q ＝－2，所以S n ＝23[(－2)n －1]，所以S 5＝23×[(－2)5－1]＝－22，故选D.3．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tanb 3＋b 91－a 4·a 8的值是 ( )A ．－ 3B ．－1C ．－33D ． 3解析：选A.依题意得，a 36＝(－3)3，3b 6＝7π，所以a 6＝－3，b 6＝7π3，所以b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝⎛⎭⎫－7π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π－π3＝－tan π3＝－3，故选A. 4．(一题多解)(2019·合肥市第一次质量检测)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 26＝0，则S 11的值为( )A ．11B ．12C ．20D ．22解析：选 D.通解：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，则由(a 1＋4d )＋(a 1＋6d )－(a 1＋5d )2＝0，得(a 1＋5d )(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1>0，所以a 1＋5d >0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×2＝22，故选D.优解：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 26＝0，得2a 6－a 26＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22，故选D. 5．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．9解析：选C.由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.6．(多选)已知数列{a n }是等比数列，则下列命题正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列 B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D ．数列{lg a 2n }是等比数列解析：选ABC.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n ，不一定是常数，所以D 错误．二、填空题7．(2019·贵阳市第一学期监测)已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7.当n ∈N *时，a n ＋2是乘积a n ·a n ＋1的个位数，则a 2 019＝________．解析：a 1＝3，a 2＝7，a 1a 2＝21，a 3＝1，a 2a 3＝7，a 4＝7，a 3a 4＝7，a 5＝7，a 4a 5＝49，a 6＝9，a 5a 6＝63，a 7＝3，a 6a 7＝27，a 8＝7，a 7a 8＝21，a 9＝1，a 8a 9＝7，所以数列{a n }是周期为6的数列，又2 019＝6×336＋3，所以a 2 019＝a 3＝1.答案：18．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k 不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a n }是等比数列，且公比q ＝1时，{a n }不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④9．(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，g (x )＝f (x －1)＋1，则g (x )的图象关于________对称，若a n ＝g ⎝⎛⎭⎫1n ＋g ⎝⎛⎭⎫2n ＋g ⎝⎛⎭⎫3n ＋…＋g ⎝⎛⎭⎫2n －1n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．解析：因为f (x )＝e x －1e x ＋1，所以f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1－e xe x ＋1＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．因为g (x )＝f (x －1)＋1，所以g (x )的图象关于点(1，1)对称，若x 1＋x 2＝2，则有g (x 1)＋g (x 2)＝2，所以a n ＝g ⎝⎛⎭⎫1n ＋g ⎝⎛⎭⎫2n ＋g ⎝⎛⎭⎫3n ＋…＋g ⎝⎛⎭⎫2n －1n ＝2(n －1)＋g (1)＝2n －2＋f (0)＋1＝2n －1，即a n ＝2n －1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.答案：(1，1) a n ＝2n －1 三、解答题10．(2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，若a 2＝2，a 1＋a 2＋a 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2(舍去)．所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1＝23－n .(2)因为b n ＝log 2a n ＝log 223－n ＝3－n ，所以数列{b n }是首项为2，公差为－1的等差数列． 设数列{b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝n （2＋3－n ）2＝n （5－n ）2.11．(2019·武汉调研)已知等差数列{a n }前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.12．(2019·长沙市统一模拟考试)已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n >2 018成立的最小正整数n 的值． 解：(1)令n ＝1得，a 1－2a 2＋a 3＝0，解得a 2＝5.又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1＝2， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列， 于是a n ＝2n ＋1，b n ＝a 2n －1＝2n ＋1. (2)由(1)知，b n ＝2n ＋1.于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝(21＋22＋ (2))＋n ＝2（1－2n ）1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2.令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的单调递增函数，又f (9)＝210＋9－2＝1 031，f (10)＝211＋10－2＝2 056， 故使b 1＋b 2＋…＋b n >2 018成立的最小正整数n 的值是10.。

等差数列：S n ＝＝na 1＋ n （a 1＋a n ） n （n －1）d ；等比数列：S n ＝a 1（1－q n ） a 1－a n q ＝ (q ≠1)．年份卷别 专题三 数 列第 1 讲 等差数列与等比数列考查内容及考题位置命题分析2018卷Ⅰ卷Ⅱ 等差数列基本量的计算·T4 a n与 S n 关系的 等差数列、等比数列应用·T 14 的判定及其通项公式在考等差数列基本量的计算、和的最值问题·T 17 查基本运算、基本概念的2017卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ等比数列基本量的计算·T 17等差数列的通项公式、前 n 项和公式·T 4等比数列的概念、前 n 项和公式、数学文 化·T 3等差数列的前 n 项和公式、通项公式及等比中项·T 9同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项等比数列的通项公式·T 14 2016 卷Ⅰ等差数列的基本运算·T 3等比数列的运算·T 15等差、等比数列的基本运算(基础型)通项公式等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n －1.求和公式2 21－q 1－q性质公式和前 n 项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题.等差数列若 m ，n ，p ，q ∈N *，且 m ＋n ＝p ＋q ，则 a m性质＋a n ＝a p ＋a qa n ＝a m ＋(n －m )dS m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列等比数列若 m ，n ，p ，q ∈N *，且 m ＋n ＝p ＋q ，则 a m ·a n ＝a p ·a q a n ＝a m q n －mS m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等比1．(2018· 贵阳模拟)设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 6＝2a 3，则11＝( )52210 5解析：选 D. 11＝＝11a 6＝22.故选 D. 解析：选 B.设等差数列{a n }的公差为 d ，因为 3S 3＝S 2＋S 4，所以 3(3a 1＋ d )＝2a 1＋d＋4a ＋ d ，解得 d ＝－ a1，因为 a 1＝2，所以 d ＝－3，所以 a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)2 2＝4S ＋3 得，(n ＋2)a ＝4na ＋3，即 3a n ＝2a －3，若对任意的正整数 n ，3a n ＝2a －3 恒n ＋2＝ 11－q 1－q＝4S＋3 并化简得 a (4－q 2)q n ＝3＋3a －3q ，若对任意的正整数 n 该等式恒成 ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩ 4．(2018· 南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则20＝________．数列(S n ≠0)[考法全练]S S 511 A.11 C. 5 B.22 D.11（a ＋a ）S 2 1 11 S 5 5（a ＋a ） 5a 3 52 1 52．(2018· 高考全国卷Ⅰ)记 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和．若 3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则 a 5＝()A ．－12C ．10B ．－10D ．123×2 24×3 3 1 2＝－10.故选 B.3．(2018· 郑州模拟)等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若对任意的正整数 n ，S n ＋＝4S n ＋3恒成立，则 a 1 的值为 ()A ．－3C ．－3 或 1B ．1D ．1 或 3解析：选 C.设等比数列{a n }的公比为 q ，当 q ＝1 时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由 S n ＋2n 1 1 1 1 1 1成立，则 a ＝0 且 2a －3＝0，矛盾，所以 q ≠1，1 1a （1－q n ）a （1－q n ＋2）所以 S ＝ 1 ，S n，代入 Sn ＋2n 1 1⎧4－q 2＝0， ⎧a ＝1， ⎧⎪a ＝－3， 立，则有⎨ 解得⎨ 1 或⎨ 1⎪3＋3a 1－3q ＝0， ⎪q ＝2 ⎪q ＝－2， 故 a ＝1 或－3，故选 C. 1a a 10a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1.于是20＝q10＝1.所以⎨或⎨因为a2＝a a>0，所以⎨4则公比q满足q4＝1，q2＝1，⎪⎩a8＝4⎪⎩a8＝12.⎪⎩a8＝4，故a＝(－2)n－1或a＝2n－1.1⎪⎪3an解析：法一：设等比数列{an}的公比为q，由a2a6＝16得a2q6＝16，所以a1q3＝±4.由aa10法二：由等比数列的性质，得a24＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8，⎧a＝4，⎧⎪a＝－4，⎧a＝4，44648所以a20＝q10＝1.a10答案：15．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝q n－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.n n(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝1－（－2）n.由S＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．m若a＝2n－1，则S＝2n－1.n n由S＝63得2m＝64，解得m＝6.m综上，m＝6.等差、等比数列的判定与证明(综合型)证明数列{an}是等差数列或等比数列的方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n＝a n－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明{an}是等比数列的两种基本方法：a①利用定义，证明n＋1(n∈N*)为一常数；b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)．(2)判断数列{}是等差数列还是等比数列，并求数列{bn}的通项公式．nan－12所以数列{a}是首项为1，公比为1的等比数列，故数列{a}的通项公式为a＝⎛⎫⎝2⎭.bn－11＋bn－1bn bbn b所以1＝1＋(n－1)·1＝，故数列{b}的通项公式为b＝2.bn222n－1②利用等比中项，即证明a2＝a n－1an＋1(n≥2)．[典型例题]设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n＝2－a n，数列{b n}满足bn－11＋bn－1(1)求证：数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；1bn【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1；当n≥2时，a＝S－Sn n n－1＝a－a，即a n＝1(n≥2，n∈N*)．n－1nn21n－1n n(2)因为a1＝1，所以b＝2a＝2.11因为b＝，n所以1＝1＋1，n－1即1－1＝1(n≥2)．n－1所以数列{1}是首项为1，公差为1的等差数列．bn22n－1n n判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．(2)证明数列{an}为等比数列时，不能仅仅证明an＋1＝qan，还要说明a1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{an}为等比数列．故{a }的通项公式为 a ＝(－2)n .＝－2＋(－1)n . (2)由(1)可得 S n ＝ 1 3 3 ⎩ ＝2[－2＋(－1)n a n ＝⎨ 1(3)在已知数列{a n }中，满足 n ＋1＝f(n )，且 f (1)· f (2)· …· f(n )可求，则可用累乘法求数列的 C ．⎝2⎭2 D ．⎝3⎭3[对点训练]记 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，已知 S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求 S n ，并判断 S n ＋1，S n ，S n ＋2 是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为 q .由题设可得⎧⎪a （1＋q ）＝2， ⎨ 1⎪a 1（1＋q ＋q 2）＝－6.解得 q ＝－2，a ＝－2.1n na （1－q n ） 2n ＋1 1－q由于 S n ＋2 ＋Sn ＋1 ＝－4＋(－1)n 32n ＋3－2n ＋2 2n ＋1 3 3 3 ]＝2S n ，故 S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．S n ，a n 关系的应用(综合型)数列{a n }中，a n 与 S n 的关系⎧⎪S ，n ＝1，⎪⎩S n －S n －1，n ≥2.求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．(2)在已知数列{a n }中，满足 a n ＋1－a n ＝f(n )，且 f(1)＋f(2)＋…＋f(n )可求，则可用累加法 求数列的通项 a n .a a n 通项 a n .(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．[典型例题](1)(2018· 合肥第一次质量检测)已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 3S n ＝2a n －3n ，则 a 2 018＝()A ．22 018－1B ．32 018－6⎛1⎫2 018 7 ⎛1⎫2 018 10②设c n＝，求数列{c n}的前n项和S n.（4n2－1）2nbn＋1an＋2－an＋1（3an＋1－2an）－an＋12（an＋1－an）nanabn a n＋1－an＋1－an＋1－a所以数列{b}是以1为首项，以2为公比的等比数列．（4n2－1）2n所以c＝＝1 ⎪，2（2n＋1）（2n－1）4⎝2n－12n＋1⎭1－1⎫⎛＝1 1－3＋3－5＋…＋2n－12n＋1⎭4⎝bn＝1 1－1⎫n2n＋1⎭4n＋2.(2)(2018·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn ＝an＋1－an.①证明：数列{bn}是等比数列；bn【解】(1)选A.因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3a1＝－3.当n≥2时，3S＝2a－3n，3Sn n n－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．所以a＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n，n则a2018＝22018－1.(2)①证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an，所以＝＝＝＝2，n又b＝a－a＝2－1＝1，121n②由①知b＝1×2n－1＝2n－1，n因为c＝，n1⎛1－1⎫n所以S＝c＋c＋…＋cn12n111⎪⎛4⎝⎪＝(1)给出Sn与a n的递推关系求a n的常用思路：一是利用S n－S n－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求an.(2)形如an＋1＝p an＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列．[对点训练]log3an＋1·log3an＋2解：(1)由已知S n＝a n－①，2＝3a－1(n≥2)②，①－②得a＝3a－3a又a＝1，所以数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列，故a＝3n－1.(2)由(1)知bn＝＝1－1，n＋1n＋1n＋1所以T＝n.n＋1n－1＝a＋(n－1)b＋31(2018·贵阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足S n＝2a n－2，a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式；1(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.312得Sn－12n－12n2n2n－1，即a＝3an n－1(n≥2)，1n n1n（n＋1）n n＋1所以T＝1－1＋1－1＋…＋1－1＝1－1＝n，n1223nn数列与新定义相交汇问题(创新型)[典型例题](2018·武汉调研)对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为a n＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．【解析】令b n＝a n＋1－a n，依题意知数列{b n}为等差数列，且公差为1，所以b＝b＋(n－1)×1，n1a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…an－an－1＝bn－1，累加得a＝a＋b＋…＋bn1111（n－1）（n－2）＝(n－1)a－(n－2)a221－an＋1an＋1－an等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{a}是等比数列，且公比（n－1）（n－2）＋，2分别令n＝12，n＝22，⎧⎪11a2－10a1＋55＝0，得⎨⎪⎩21a2－20a1＋210＝0，解得a＝231，a＝100.122【答案】100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”．(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识．(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论．[对点训练]a在数列{an}中，n∈N*，若n＋2＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是________．解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即nq＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．答案：①④一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，则S20＝() A．420C．－420B．340D．－340×(－2．(2018· 益阳、湘潭调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则 7 a －a 9 a 5－a 7 a 5 a 2＝9q ＝45，所以 q ＝5，a 7－a 9＝ 解析：选 D.设等比数列{a n }的公比为 q ，则 a 4a 7＝ q 5 a －a a 5q 2－a 7q 25 －aa 1列，又 a ＋a ＝23＝2a ＋7d ＝2a ＋21，所以 a ＝1，S ＝8a ＋ d ＝92.8（a 1＋a 8）8（a 4＋a 5） C ．－ 3解析：选 A.依题意得，a 36＝(－ 3)3，3b 6＝7π，所以 a 6＝－ 3，b 6＝ 7π b 3＋b 94 a1－a 1－a 26 1－a 4 a 8⎪＝tan ⎪解析：选 D.设数列{a n }的公差为 d ，则 a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由 a 3 a 5＝12 得d ＝±2，由 a 1>0，a 2＝0，可知 d <0，所以 d ＝－2，所以 a 1＝2，故 S 20＝20×2＋ 20×1922)＝－340，故选 D.的值为( )A ．3C ．9B ．5D ．25q5 7＝q 2＝25.故选 D.7 3．(一题多解)已知 S n 是数列{a n }的前 n 项和，且 S n ＋＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则 S 8＝()A ．72C ．92B ．88D ．98解析：选 C.法一：由 S n ＋1＝S n ＋a n ＋3 得 a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为 3 的等差数8×74 5 1 1 1 8 1 2法二：由 S n ＋1＝S n ＋a n ＋3 得 a n ＋1－a n ＝3，则数列{a n }是公差为 3 的等差数列，S 8＝＝ ＝92.224．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若 a 1·a 6·a 11＝－3 3，b 1＋b 6＋b 11＝7π ，则 tan b 3＋b 9 1－a 4·a 8的值是 ( )A ．－ 33B ．－1D. 3，所以 ＝3 82b 6 ＝－7π，故 tan b 3＋b 9 ＝tan ⎛－7π⎫ ⎛－2π－π⎫＝－tan π＝－ 3，故选 A. 3 ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 ⎭35．(2018· 长春质量检测(一))等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差 d >0，则其前 n 项－5d ＝a ＋10d ，所以 a ＝－15d ，则 a ＝－d <0，a ＝d>0，所以前 8 项和为前 n 项和的最小8 9 1－2 1－2 n －1＝2a ＋1－(2a n －1＋1)，所以 a ＝2a，所以数列{a }是以－1 为首项，2 为公比1－2和取最小值时 n 的值为()A ．6C ．8B ．7D ．9解析：选 C.由 d >0 可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 11 12 2 2值，故选 C.6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若 a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项公式为 a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前 n 项和 S n ＝()A ．2C ．2n ＋1－2B ．2nD ．2n －1－2解析：选 C.因为 a n ＋1－a n ＝2n ，所以 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n ＋2＝2n －2＋2＝2n ，所以 S ＝2－2n ＋1＝2n ＋1－2. n二、填空题7．(一题多解)(2018· 高考全国卷Ⅰ)记 S n 为数列{a n }的前 n 项和．若 S n ＝2a n ＋1，则 S 6 ＝________．解析：法一：因为 S n ＝2a n ＋1，所以当 n ＝1 时，a 1＝2a 1＋1，解得 a 1＝－1；当 n ＝2 时，a ＋a ＝2a ＋1，解得 a ＝－2； 1 222当 n ＝3 时，a ＋a ＋a ＝2a ＋1，解得 a ＝－4； 1 2333当 n ＝4 时，a ＋a ＋a ＋a ＝2a ＋1，解得 a ＝－8； 1 23444当 n ＝5 时，a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝2a ＋1，解得 a ＝－16； 1 234555当 n ＝6 时，a ＋a ＋a ＋a ＋a ＋a ＝2a ＋1，解得 a ＝－32； 1 2345666所以 S ＝－1－2－4－8－16－32＝－63.6法二：因为 S n ＝2a n ＋1，所以当 n ＝1 时，a 1＝2a 1＋1，解得 a 1＝－1，当 n ≥2 时，a n＝S －Snn n n －1 n－1×（1－26）的等比数列，所以 a ＝－2n －1，所以 S ＝ ＝－63.n 6答案：－638．(2018· 惠州第二次调研)已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }n 12 1 a n 1 1 n 为首项， 为公差的等差数列，所以 ＝ ＋(n －1)× ＝ ，所以 a ＝n·n －1. S 2nn 2n ＋ ×2n （2n －1）d ，即 2解析：由 ＝k(k 为常数)，且 a 1＝1，得 n ＋ n(n －1)d ＝k 2 d （4k －1）＝0，1 所以数列{a }的公差为 2.n ＋1 1因为{a }的各项都为正数，所以＝. 1 1故{a }是首项为 1，公比为 的等比数列，因此 a ＝ . n12 解析：a n ＋1－2a n ＝2 两边同除以nn1 n 1 n n ＋12，可得 － n ＝ ，又 ＝ ，所以数列 2n 是以2 （2k －1）（2－d ）＝0， k ＝ . 解：(1)由题意可得 a 2＝ ，a 3＝ .2 a n 2 n 11．(2018· 考全国卷Ⅰ)已知数列{a n }满足 a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设 b n ＝ .n2的通项公式 a n ＝________．a ＋ a 1 a 1a 12 2 2 22 2n 2 2 2n答案：n· －1S9．设某数列的前 n 项和为 S n ，若 n 为常数，则称该数列为“和谐数列”．若一个首项为 1，公差为 d(d≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差 d ＝________．S 1 1 S 2n2＋(n －1)d ＝4k ＋2k(2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d)＝0，因为对任意正整数 n ，上式恒成立，d ＝2， 所以得4n答案：2三、解答题10．已知各项都为正数的数列{a n }满足 a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0. (1)求 a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．1 1 4(2)由 a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)，a nn 2na 高(1)求 b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．11由条件可得 n ＋1 ＝2a n，即 b n ＋1 n＝2b，又 b ＝1，所以{b }是首项为 1，公比为 2 的等比 (3)由(2)可得 n＝2n －1，所以 a n ＝n ·2n －1.n⎩ ⎩＝1b .当 n ＝1 时，b ＋b ＝3，所以 b ＝3.所以数列{b }为等比数列，且首项是3，公比是1，2（n ＋1）解：(1)由条件可得 a n ＋1＝ n a n .将 n ＝1 代入得，a ＝4a ，而 a ＝1，所以，a ＝4. 2 112将 n ＝2 代入得，a ＝3a ，所以，a ＝12. 3 23从而 b ＝1，b ＝2，b ＝4.123(2){b n }是首项为 1，公比为 2 的等比数列．a n ＋1 n 1 n数列．a12．已知数列{a n }是等差数列，满足 a 2＝5，a 4＝13，数列{b n }的前 n 项和是 T n ，且 T n ＋b n ＝3.(1)求数列{a n }及数列{b n }的通项公式； (2)设 c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }中的最大项． 解：(1)设等差数列{a n }的首项为 a 1，公差为 d ，⎧⎪a ＋d ＝5，由题意，得⎨ 1⎪a 1＋3d ＝13，⎧⎪a ＝1，解得⎨ 1⎪d ＝4，所以 a ＝4n －3. n 又 T ＋b ＝3，n n所以 T n ＋1＋b n ＋1＝3，两式相减得，2b n ＋1－b n ＝0，所以 bn ＋1 2 n1 1 1 2n 2 212所以 b ＝3×⎛ ⎫ ⎝2⎭ ＝ 3 .所以 c 3（4n ＋1）2 n ＋1 ，所以 c 3（4n ＋1） 3（4n －3） 3（7－4n ）2n ＋1 － 2n ＋1 .所以当 n ＝1 时，c －c >0； －c <0，所以 c <c >c >c >…，所以(c )＝c ＝15.1 n －1n 2 2n3（4n －3）(2)因为 c n ＝a n b n ＝ 2n，n ＋1 ＝n ＋1 －c n ＝ 2n ＝2 1当 n ≥2 时，cn ＋1n1 23 4n max 2 413。

第1讲 等差数列与等比数列A 级 基础通关一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 解析：设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n . 答案：A2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2＝2，则{a n }前10项的和等于( )A.1－2103B ．－1－2103C ．210－1D ．1－210 解析：由题意得，a n ＋1＋2a n ＝0，则a n ＋1a n＝－2，即数列是公比为－2的等比数列，又a 2＝2，所以a 1＝－1，所以{a n }前10项的和等于S 10＝a 1（1－q 10）1－q ＝－1－2103. 答案：B3．(2019·惠州一中月考)如果等差数列 a 1，a 2，…，a 8的各项都大于零，公差d ≠0，则( )A ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5B ．a 1a 8＜a 4a 5C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5D ．a 1a 8＞a 4a 5解析：由a 1＋a 8＝a 4＋a 5，所以排除A 、C.又a 1·a 8＝a 1(a 1＋7d )＝a 21＋7a 1d ，所以a 4·a 5＝(a 1＋3d )(a 1＋4d )＝a 21＋7a 1d ＋12d 2＞a 1·a 8.答案：B4．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析：由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6，可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)．所以S 6＝6×1＋6×5×（－2）2＝－24. 答案：A5．(2019·佛山一中检测)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．30B ．20C ．10D ．5或40解析：由题设得(a 4－2)2＝a 2a 6.因为{a n }是等差数列，且a 1＝1，d ≠0，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝3.从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30.答案：A二、填空题6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________．解析：因为a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，所以a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ＜0，则n ＜5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正，所以S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.答案：0 －10 7．数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 3＝15，则a 1＝________． 解析：易知a n ≠0，且a n ＋1＝a n 2a n ＋1， 所以1a n ＋1－1a n ＝2，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为2的等差数列． 由a 3＝15，知1a 3＝5，所以1a 1＋2×2＝5，则a 1＝1. 答案：18．(2019·雅礼中学调研)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝________．解析：由a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)可知a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝3n ，a n ＝3n －1.所以b n ＝log 3(a n ＋1)＝n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝100（1＋100）2＝5 050. 答案：5 050三、解答题9．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．解：(1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ， S n ＝n （n －9）d 2. 由a 1＞0知d ＜0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N *}．10．已知数列{a n }是等比数列，并且a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n ，记S n 为数列{b n }的前n 项和，证明： S n ＜163.(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1，a 2＋1，a 3是公差为－3的等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1＝a 1－3，a 3＝（a 2＋1）－3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝－4，a 1q 2－a 1q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12. 所以a n ＝a 1q n －1＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)证明：因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2a 2n ＝14， 所以数列{b n }是以b 1＝a 2＝4为首项，14为公比的等比数列． 所以S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14＝163·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＜163. B 级 能力提升11．(2019·广州调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4B ．3C ．23－2D.92 解析：依题意a 23＝a 1a 13，即(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2.因此a n ＝2n －1，S n ＝n 2.则2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1＝（n ＋1）2－2（n ＋1）＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥2（n ＋1）×9n ＋1－2＝4，当且仅当n ＝2时取得最小值4. 答案：A12．(2019·河北名校联考)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n .解：(1)因为数列{a n }是等差数列，a 2＝6，所以S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，所以b 1＝1.因为b 2＝2，数列{b n }是等比数列，所以b n ＝2n －1.所以b 3＝4，因为a 1b 3＝12，所以a 1＝3，因为a 2＝6，数列{a n }是等差数列，所以a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1， 所以C n ＋1＝(－1)n ＋12n ，所以C n ＋1C n＝－2. 又C 1＝－1，所以数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列，所以T n ＝－1×[1－（－2）n ]1＋2＝－13[1－(－2)n ]＝13[(－2)n －1]．。

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12答案：B解析：设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22×d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32×d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B.2．(2017·江西省五市联考)已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．18 答案：C解析：法一 因为等差数列{a n }的前10项和为30，所以a 1＋a 10＝6，即a 5＋a 6＝6，因为a 6＝8，所以a 5＝－2，公差d ＝10，所以－2＝a 1＋4×10，即a 1＝－42，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C. 3．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案：D解析：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9. 所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20， 所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.4．(2019·吉林模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1a 1＋1a 2＋1a 3＝2，a 2＝2，则S 3＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．4答案：A解析：1a 1＋1a 2＋1a 3＝a 1＋a 3a 1a 3＋1a 2＝a 1＋a 2＋a 3a 22＝S 34＝2，则S 3＝8.故选A.5．(2019·怀化三模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为m ，n ，一等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝m ，S 6＝n ，则a 5为( ) A ．18 B ．81 C ．234 D ．243 答案：C解析：∵a 2＝9，S 6＝93， ∴729＝6(a 2＋a 5)2＝3(a 5＋9)，∴a 5＝234.故选C.6．(2018·昆明市调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．－2nB ．2nC ．2n －1D ．2n ＋1答案：B解析：由题意，得a 2a 8＝a 24.又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.7．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案：A解析：{a n }为等差数列，所以a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4，则a 1＋(k －1)d ＝7(a 1＋3d )．因为a 1＝0，所以(k －1)d ＝21d ，d ≠0，解得k ＝22，故选A.8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 037是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 019＝()A ．1B ．2 C. 2 D ．－1答案：A解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 037是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 037＝a 22 019＝6，即a 2 019＝6，所以log6a 2 019＝1，故选A.9．(2018·湖北八校联考)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝( ) A ．36 B ．33 C ．32 D ．31答案：D解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选D.10．(2018·大连模拟)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (3n －1) B ．n (n ＋3)2 C ．n (n ＋1) D ．n (3n ＋1)2答案：C解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.11．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B ．53 C.256 D ．不存在答案：A解析：∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2.∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，∴a m a n ＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，而q ＝2，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当m ＝2，n ＝4时，等号成立，∴1m ＋4n 的最小值为32.故选A.12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510答案：A解析：由于cos 2n π3－sin 2n π3＝cos 2n π3以3为周期，故S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋2922＋302＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2 ＝∑k ＝110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝9×10×112－25＝470.二、填空题13．(2019·北京四中热身卷)若等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5，则a 2 019＝________. 答案：2 0192解析：∵等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5， ∴12＋3d ＋12＋5d ＝5， 解得d ＝12，∴a 2 019＝12＋2 018×12＝2 0192.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q ＝__________. 答案：－12解析：由题意得，2S 3＝S 1＋S 2，∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(a 1＋a 2)，整理得a 2＋2a 3＝0，∴a 3a 2＝－12，即公比q ＝－12.15．(2017·石家庄市高三质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝__________.答案：78解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2， 所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.16．(2018·云南师大附中月考)已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.答案：n ·2n2n －1解析：由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)． 又1a 1－1＝－12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n－1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n 2n－1(n ∈N *)． 专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．(2019·河北模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1， 可得a n ＋1＋n ＋1＝3a n ＋3n ＝3(a n ＋n )，可得数列{a n ＋n }是首项为3，公比为3的等比数列． (2)a n ＋n ＝3n ，即a n ＝3n －n (n ∈N *)． (3)S n ＝(3＋9＋…＋3n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3(1－3n )1－3－12n (n ＋1)＝32(3n －1)－12n (n ＋1)．2．(2017·山西省八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2. 又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ， 即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2， 因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1， ② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.3．(2017·福建省高中毕业班质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n . (1)求a n ；(2)求数列{1a nb n}的前n 项和．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，S 5＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋10d ＝15，解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝n .(2)由(1)得，a n ＝n ，所以T n ＝n (n ＋5)．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4， 当n ＝1时，b 1＝T 1＝6也满足上式， 所以b n ＝2n ＋4(n ∈N *)．所以1a n b n ＝1n (2n ＋4)＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 设{1a nb n }的前n 项和为P n ，则当n ≥2时，P n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).当n ＝1时，P 1＝1a 1b 1＝16也满足上式．综上，P n ＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)若b n ＝a nn ＋1，试证明数列{b n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n .解析：(1)证明：由na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)得a n ＋1n ＋1＝2a nn ＋1，得a n ＋1n ＋1＋1＝2a n n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋1，即b n ＋1＝2b n .又b 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝2n ，得a nn ＋1＝2n ，即a n ＝n (2n －1)，∴S n ＝1×(2－1)＋2×(22－1)＋3×(23－1)＋…＋n (2n －1) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n －(1＋2＋3＋…＋n ) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n－n (n ＋1)2.令T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， 则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， 两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2，n(n＋1)∴S n＝(n－1)·2n＋1＋2－2.。

专题11高中数学等差数列与等比数列问题专题训练【知识总结】1．等差数列、等比数列的基本运算等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *)(1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1·q n －1.(3)等差数列的求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d ； (4)等比数列的求和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.2．等差数列、等比数列的性质1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列有a m a n ＝a p a q ＝a 2k .2．前n 项和的性质：对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数情况除外)．【高考真题】1．(2022·全国乙理) 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =( )A ．14B ．12C ．6D ．32．(2022·全国乙文) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．【题型突破】题型一 等差数列基本量的计算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．82．(2018·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．123．(2014·福建)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( )A ．8B ．10C ．12D ．144．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．975．设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a 18＝( )A ．259B ．269C ．3D ．2896．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．7．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________．8．(2020·新高考Ⅱ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为 ________．9．(2013·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．610．(2019·全国Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 题型二 等差数列性质的应用11．在等差数列{a n }中，a 4＋a 5＝15，a 7＝12，则a 2等于( )A ．3B ．－3C ．32D ．－3212．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 1＋a 101<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝5113．已知数列{a n }是等差数列，若a 1－a 9＋a 17＝7，则a 3＋a 15等于( )A ．7B ．14C ．21D ．7(n －1)14．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( )A ．6B ．12C ．24D ．4815．已知等差数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝21，则a 2＋a 5＋a 8＋a 11＝________．16．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．3517．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( ) A ．14 B ．15 C ．16 D ．1718．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( ) A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204119．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．9020．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A ．13B ．12C ．11D ．10题型三 等比数列基本量的计算21．(2017·全国Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________．22．(2020·全国Ⅱ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．3223．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．224．(2019·全国Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 25．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a 2n ＋1a n＝4(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则其前9项的和S 9＝________． 26．(多选题)已知正项等比数列{a n }满足a 1＝2，a 4＝2a 2＋a 3，若设其公比为q ，前n 项和为S n ，则( )A ．q ＝2B ．a n ＝2nC ．S 10＝2047D ．a n ＋a n ＋1＜a n ＋227．(2015·全国Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．28．(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( ) A ．2n －1 B ．2－21－n C ．2－2n －1 D ．21－n －129．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( ) A ．1 B ．4 C ．4或0 D ．830．(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ．若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 题型四 等比数列性质的应用31．在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( )A ．－2B ．－2C ．±2D ．232．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．1133．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4234．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A ．6B ．5C ．4D ．335．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 3536．已知数列{a n }的各项都为正数，对任意的m ，n ∈N *，a m ·a n ＝a m ＋n 恒成立，且a 3·a 5＋a 4＝72，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 7＝________．37．在等比数列{a n }中，a n ＞0，a 1＋a 2＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1638．已知数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＋2a 24＝π，则tan(a 3·a 5)等于( )A ．3B ．－3C ．－33D ．±3 39．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．22D ．440．已知函数f (x )＝21＋x 2(x ∈R )，若等比数列{a n }满足a 1a 2020＝1，则f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋…＋f (a 2 020)等于 ( )A ．2 020B ．1 010C ．2D ．12题型五 等差与等比数列的综合计算41．已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．－33D ．3 42．各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．43．(2020·江苏)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．44．(2017·全国Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．845．设S n 为公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和，且3a 1，2a 2，a 3成等差数列，则q ＝_____，S 4S 2＝______． 46．公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a 3，a 2成等差数列，mS 2，S 3，S 4成等比数列，则m ＝( )A ．78B ．85C ．1D ．9547．在公差d ＜0的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝________．48．已知等差数列{a n }和等比数列{b n }的各项都是正数，且a 1＝b 1，a 11＝b 11．那么一定有( )A ．a 6≤b 6B ．a 6≥b 6C ．a 12≤b 12D ．a 12≥b 1249．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( ) A ．n B ．n (n －1)2 C ．n (n ＋1)2 D ．(n ＋1)(n ＋2)250．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列．若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( )A ．4B ．3C ．23－2D ．92。

考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．(2020·山东淄博二模)在正项等比数列{a n }中，若a 3a 7＝4，则(－2)a 5＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2答案 C解析 在正项等比数列{a n }中，a 5>0，由等比中项的性质可得a 25＝a 3a 7＝4，∴a 5＝2，因此，(－2)a 5＝(－2)2＝4.故选C.2．(2020·湖南郴州一模)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1是等差数列，且a 1＝1，a 3＝－13，那么a 5＝( )A.35 B ．－35 C ．5 D ．－5答案 B解析 2a 1＋1＝1，2a 3＋1＝3，∵数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2a n ＋1是等差数列，设公差为d ，∴3＝1＋2d ，解得d ＝1.∴2a 5＋1＝1＋1×4＝5，解得a 5＝－35.故选B. 3．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24可得⎩⎨⎧ a 1q 4－a 1q 2＝12，a 1q 5－a 1q 3＝24，解得⎩⎨⎧q ＝2，a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n－1.因此S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n .故选B.4．(2020·海南中学高三摸底)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝10，S 10＝40，则S 15＝( )A ．80B ．90C ．100D ．110答案 B解析 根据等差数列前n 项和的片段和的性质，可知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也是等差数列，又S 5＝10，S 10＝40，故可得10,30,50成等差数列，故S 15－S 10＝50，解得S 15＝90.故选B.5．(2020·山西大同市高三模拟)已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0，{a n }的前n 项和为S n ，则S 5a 3＝( )A.314 B ．312 C ．154 D ．152答案 A解析 由a 2n ＋1－a n ＋1a n －2a 2n ＝0，得(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0，又{a n }为正项数列，所以a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是等比数列，且公比q ＝2，设首项为a 1，则S 5＝a 1(1－25)1－2＝31a 1，a 3＝a 1×22＝4a 1，则S 5a 3＝314.故选A.6．(2020·全国卷Ⅰ)设{a n }是等比数列，且a 1＋a 2＋a 3＝1，a 2＋a 3＋a 4＝2，则a 6＋a 7＋a 8＝( )A ．12B ．24C ．30D ．32答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝1，a 2＋a 3＋a 4＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝a 1q (1＋q ＋q 2)＝q ＝2，因此，a 6＋a 7＋a 8＝a 1q 5＋a 1q 6＋a 1q 7＝a 1q 5(1＋q ＋q 2)＝q 5＝32.故选D.7．(多选)(2020·山东威海三模)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法正确的是()A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短答案ABC解析由题意可知，夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10(寸)，同理可知，冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)，故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，所以B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，C正确；∵立春的晷长、立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选ABC.8．(多选)(2020·山东潍坊高密二模)设正项等差数列{a n}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，则()A ．a 2a 9的最大值为10B ．a 2＋a 9的最大值为210C.1a 22＋1a 29的最大值为15 D ．a 42＋a 49的最小值为200答案 ABD解析 因为正项等差数列{a n }满足(a 1＋a 10)2＝2a 2a 9＋20，所以(a 2＋a 9)2＝2a 2a 9＋20，即a 22＋a 29＝20.所以a 2a 9≤a 22＋a 292＝202＝10，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故A 正确；因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a 922≤a 22＋a 292＝10，所以a 2＋a 92≤10，a 2＋a 9≤210，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故B 正确；因为1a 22＋1a 29＝a 22＋a 29a 22·a 29＝20a 22·a 29≥20⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2922＝20102＝15，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，所以1a 22＋1a 29的最小值为15，故C 错误；D 项结合A 项的结论，有a 42＋a 49＝(a 22＋a 29)2－2a 22·a 29＝400－2a 22·a 29≥400－2×102＝200，当且仅当a 2＝a 9＝10时等号成立，故D 正确．故选ABD.二、填空题9．(2020·四川成都石室中学一诊)若等差数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＋a 3＝5，则a n ＝________.答案 n解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 1＝1，a 2＋a 3＝5，即2a 1＋3d ＝5， ∴d ＝1，∴a n ＝n .10．(2020·江苏南京金陵中学、南通海安高级中学、南京外国语学校第四次模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 20－S 10S 30－S 20＝1310，则数列{a n }的公比为________．答案 3解析 设正项等比数列{a n }的公比为q .因为S 20－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 20，S 30－S 20＝a 21＋a 22＋…＋a 30＝q 10(a 11＋a 12＋…＋a 20)，故S 20－S 10S 30－S 20＝1q 10，即1q 10＝1310，因为等比数列{a n}为正项数列，故q>0，所以q＝3.11．(2020·新高考卷Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a n}，则{a n}的前n项和为________．答案3n2－2n解析因为数列{2n－1}是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n－2}是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n}是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以{a n}的前n项和为n·1＋n(n－1)2－2n.2·6＝3n12．(2020·海南中学高三第六次月考)已知等差数列{a n}的首项及公差均为正数，令b n＝a n＋a2020－n(n∈N*，n<2020)，当b k是数列{b n}的最大项时，k＝________.答案1010解析设a n＝x，a2020－n＝y，根据基本不等式(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤x2＋y2＋x2＋y2＝2(x2＋y2)，又由等差数列{a n}的首项及公差均为正数，得a n＋a2020－n ＝2a1010，所以b2n＝(a n＋a2020－n)2≤2(a n＋a2020－n)＝2(2a1010)＝4a1010，当且仅当a n＝a2020－n时，b n取得最大值，此时n＝1010，所以k＝1010.三、解答题13．(2020·全国卷Ⅰ)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．解(1)设等比数列{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3，即2a1＝a1q＋a1q2.∵a1≠0，∴q2＋q－2＝0.∵q≠1，∴q＝－2.(2)设数列{na n}的前n项和为S n，∵a1＝1，a n＝(－2)n－1，∴S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2S n ＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n －1)(－2)n －1＋n (－2)n ，② ①－②，得3S n ＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n －1－n (－2)n ＝1－(－2)n1－(－2)－n (－2)n ＝1－(1＋3n )(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9.14．(2020·山东威海三模)从条件①2S n ＝(n ＋1)a n ，② S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)，③a n >0，a 2n ＋a n ＝2S n 中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，________.若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求k 的值．解 若选择①，因为2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，所以2S n ＋1＝(n ＋2)·a n ＋1，n ∈N *， 两式相减，得2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ， 整理，得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，即a n ＋1n ＋1＝a n n ，n ∈N *.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列．a n n ＝a 11＝1，所以a n＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫或由a n ＋1a n ＝n ＋1n ，利用累乘相消法，求得a n ＝n . 所以a k ＝k ，S k ＋2＝(k ＋2)(1＋k ＋2)2＝(k ＋2)(k ＋3)2，又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2，所以k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，所以k ＝6. 若选择②，由S n ＋S n －1＝a n (n ≥2)变形，得 S n ＋S n －1＝S n －S n －1，所以 S n ＋S n －1＝( S n ＋S n －1)( S n －S n －1)， 易知S n >0，所以 S n －S n －1＝1， 所以{S n }是公差为1的等差数列，又S 1＝a 1＝1，所以 S n ＝n ，S n ＝n 2， 所以a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，又n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n －1. 因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以(k ＋2)2＝(2k －1)2， 解得k ＝3或k ＝－13，又k ∈N *，所以k ＝3. 若选择③，因为a 2n ＋a n ＝2S n (n ∈N *)，所以a 2n －1＋a n －1＝2S n －1(n ≥2)，两式相减，得a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n (n ≥2)，整理，得(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＝a n ＋a n －1(n ≥2)， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2)， 所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， 所以a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S k ＋2＝(k ＋2)(1＋k ＋2)2＝(k ＋2)(k ＋3)2，又a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以(k ＋2)(k ＋3)＝2k 2， 所以k ＝6或k ＝－1，又k ∈N *，所以k ＝6.一、选择题1．(2020·山东省实验中学高三4月高考预测)在正项等比数列{a n }中，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝( )A ．2B ．4C ．12 D ．8答案 B解析 由a 5－a 1＝a 1q 4－a 1＝15，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12(舍去)．故a 3＝a 1q 2＝4.故选B.2．(2020·吉林长春质量监测二)在等差数列{a n }中，若3a 5＝2a 7，则此数列中一定为0的是( )A ．a 1B ．a 3C ．a 8D ．a 10答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d .由于等差数列{a n }中3a 5＝2a 7，所以3(a 1＋4d )＝2(a 1＋6d )，化简得a 1＝0，所以a 1为0.故选A.3．若等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．(2020·海南中学高三第七次月考)已知正项等比数列{a n }，满足a 2·a 27·a 2020＝16，则a 1·a 2·…·a 1017＝( )A ．41017B ．21017C ．41018D ．21018答案 B解析 由a 2·a 27·a 2020＝16，可得(a 7·a 1011)2＝16，所以a 7·a 1011＝4，a 509＝2，所以a 1·a 2·…·a 1017＝a 1017509＝21017.故选B. 5．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块答案 C解析 设第n 环扇面形石板块数为a n ，第一层共有n 环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，a n ＝9＋(n －1)×9＝9n .设S n 为{a n }的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，因为下层比中层多729块，所以S 3n －S 2n ＝S 2n －S n ＋729，即3n (9＋27n )2－2n (9＋18n )2＝2n (9＋18n )2－n (9＋9n )2＋729，即9n 2＝729，解得n ＝9，所以S 3n ＝S 27＝27×(9＋9×27)2＝3402.故选C.6．(2020·福建厦门高三毕业班5月质量检查)已知S n 是正项等比数列{a n }的前n 项和，S 10＝20，则S 30－2S 20＋S 10的最小值为( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10 答案 C解析 ∵{a n }是正项等比数列，∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍然成等比数列，设公比为q ，∵S 10＝20，∴S 20－S 10＝20q ，S 30－S 20＝20q 2，∴S 30－2S 20＋S 10＝(20＋20q ＋20q 2)－2(20＋20q )＋20＝20(q 2－q )，当q ＝12时，S 30－2S 20＋S 10取得最小值－5，故选C.7．(多选)(2020·山东青岛三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193答案 BD解析 由题意可知，数列{a n }为等差数列，且a 1＝5，设数列{a n }的公差为d ，由题意可得30a 1＋30×29d 2＝390，解得d ＝1629，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝16n ＋12929，∵b n ＝2an ，∴b n ＋1b n ＝2an ＋12an ＝2an ＋1－an ＝2d (非零常数)，则数列{b n }是等比数列，B 正确；∵5d ＝5×1629＝8029≠3，b 10b 5＝(2d )5＝25d ≠23，∴b 10≠8b 5，A 错误；∵a 30＝a 1＋29d ＝5＋16＝21，∴a 1b 30＝5×221>105，C 错误；a 4＝a 1＋3d ＝5＋3×1629＝19329，a 5＝a 1＋4d ＝5＋4×1629＝20929，∴a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝3a 53a 4＝a 5a 4＝209193，D 正确．故选BD.8．(多选)(2020·山东省实验中学高三6月模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N *，都有|S n |<H ，则称数列{a n }为“和有界数列”．下列说法正确的是( )A ．若{a n }是等差数列，且公差d ＝0，则{a n }是“和有界数列”B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d ＝0C ．若{a n }是等比数列，且公比|q |<1，则{a n }是“和有界数列”D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比|q |<1答案 BC解析 若{a n }是等差数列，则S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .对于A ，当d ＝0时，S n ＝na 1，若a 1≠0，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的H ，所以A 错误；对于B ，{a n }是“和有界数列”，而S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，则⎩⎪⎨⎪⎧ d 2＝0，a 1－d 2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝0，a 1＝0，所以B 正确；若{a n }是等比数列，则S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q .对于C ，若|q |<1，则当n →＋∞时，S n →a 11－q，故存在实数H ，使得对任意的n ∈N *，都有|S n |<H ，即{a n }是“和有界数列”，所以C 正确；对于D ，若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，q 的取值可能为－1，此时|S n |≤|a 1|，所以存在实数H ，使得对任意的n ∈N *，都有|S n |<H ，所以D 错误．故选BC.二、填空题9．(2020·大同一中一模)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q 是________．答案 ±1解析 当q ＝1时，S 3＋S 6＝3a 1＋6a 1＝9a 1＝S 9.当q ≠1时，∵S 3＋S 6＝S 9，∴a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q，∴2－q 3－q 6＝1－q 9，∴(q 3－1)2(q 3＋1)＝0，∴q ＝－1，∴q ＝±1.10．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，则S 10＝________.答案 25解析 设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝－2，a 2＋a 6＝2，可得a 1＋d ＋a 1＋5d ＝2，即－2＋d ＋(－2)＋5d ＝2，解得d ＝1.所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×1＝－20＋45＝25.11．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案 2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴(n ＋1)S n ＋1nS n＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n .12．(2020·江苏高考)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2－n ＋2n －1(n ∈N *)，则d ＋q 的值是________．答案 4解析 等差数列{a n }的前n 项和公式为P n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，等比数列{b n }的前n 项和公式为Q n ＝b 1(1－q n )1－q ＝－b 11－q q n ＋b 11－q，依题意S n ＝P n ＋Q n ，即n 2－n ＋2n－1＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n －b 11－q q n ＋b 11－q ， 通过对比系数可知⎩⎪⎨⎪⎧ d 2＝1，a 1－d 2＝－1，q ＝2，b 11－q ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝2，a 1＝0，q ＝2，b 1＝1，故d ＋q ＝4.三、解答题13．(2020·山东日照二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，设b n ＝a n n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝2bn －n ，求数列{c n }的前n 项和．解 (1)解法一：因为b n ＝a n n ，且na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n ·(n ＋1)，所以b n ＋1－b n＝a n ＋1n ＋1－a n n＝2， 又因为b 1＝a 1＝2，所以{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以b n ＝2＋2(n －1)＝2n .解法二：因为b n ＝a n n ，所以a n ＝nb n ，又因为na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)，所以n (n ＋1)b n ＋1－(n ＋1)nb n ＝2n (n ＋1)，即b n ＋1－b n ＝2，又因为b 1＝a 1＝2，所以{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列． 所以b n ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)由(1)及题设，得c n ＝22n －n ＝4n －n ，所以数列{c n }的前n 项和S n ＝(41－1)＋(42－2)＋…＋(4n －n )＝(41＋42＋…＋4n )－(1＋2＋…＋n )＝4－4n ×41－4－n (1＋n )2＝4n ＋13－n 2＋n 2－43. 14．(2020·云南昆明三模)已知数列{a n }为正项等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 3＝21，a 2＋a 3＝6a 1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)从三个条件：①b n ＝a n 3n ；②b n ＝a n ＋2n ；③b n ＝log 2a n 3中任选一个作为已知条件，求数列{b n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＋a 3＝6a 1， 所以a 1q ＋a 1q 2＝6a 1，故q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，故q ＝2.由S 3＝21，得a 1(1＋q ＋q 2)＝21，将q ＝2代入，得a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3×2n －1.(2)选择①b n ＝a n 3n ：b n ＝a n 3n ＝3×2n －13n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1， 数列{b n }是首项为b 1＝1，公比为23的等比数列，所以T n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 1－23＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n . 选择②b n ＝a n ＋2n ： b n ＝a n ＋2n ＝3×2n －1＋2n ，所以T n ＝3(1－2n )1－2＋n (2＋2n )2＝3×(2n －1)＋n 2＋n . 选择③b n ＝log 2a n 3：b n ＝log 2a n 3＝log 23×2n －13＝log 22n －1＝n －1，数列{b n }是首项为0，公差为1的等差数列．所以T n ＝n (n －1)2.。

考点十一 等差数列与等比数列一、选择题1．已知数列{a n }为等比数列，且a 3＝－4，a 7＝－16，则a 5＝( ) A ．－8 B ．8 C ．±8 D ．±4 2答案 A解析 由a 7a 3＝q 4得q 4＝4，则q 2＝2，所以a 5＝a 3·q 2＝－4×2＝－8，故选A. 2．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n ，则a 6＝( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2答案 C解析 由2a 2n ＋1＝a 2n ＋2＋a 2n 知，数列{a 2n }是等差数列，前两项为1,4，所以公差d ＝3，故a 26＝1＋5×3＝16，所以a 6＝4，故选C.3．在数列{a n }中，“a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…”是“{a n }是公比为2的等比数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 若a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，…，则此数列可以为0,0,0,0,0，…，此时{a n }不是等比数列；若{a n }是公比为2的等比数列，则由等比数列的定义可知a n ＝2a n －1，n ＝2,3,4，….故选B.4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2－8n D ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n n －12×2＝n 2－4n .故选A.5．(2019·湖南六校联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )A ．10B ．20C ．30D ．5或40答案 C解析 由题知(a 4－2)2＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30，故选C.6．(2019·河南百校联盟仿真试卷)已知等差数列{a n }满足a 1＝32，a 2＋a 3＝40，则{|a n |}的前12项和为( )A ．－144B ．80C ．144D ．304答案 D解析 a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝64＋3d ＝40⇒d ＝－8，所以a n ＝40－8n .所以|a n |＝|40－8n |＝⎩⎪⎨⎪⎧40－8n ，n ≤5，8n －40，n >5，所以前12项和为5×32＋02＋7×8＋562＝80＋224＝304.7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．49 C ．35 D ．63答案 B解析 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R )可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7a 1＋a 72＝7a 2＋a 62＝7×142＝49.选B. 8．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 A解析 由a 4＋a 6＝2a 5＝－6得a 5＝－3，则公差为－3＋115－1＝2，所以由a n ＝－11＋(n －1)×2＝2n －13≤0得n ≤132，所以前6项和最小，选A.二、填空题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6a 3＝2，则S 6S 3＝________. 答案 72解析 设等差数列{a n }的公差为d ，a 6a 3＝2，即a 3＋3d ＝2a 3，a 3＝3d ，S 6S 3＝3a 3＋a 43a 2＝a 3＋a 3＋d a 3－d ＝3d ＋3d ＋d 3d －d ＝72.10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则公比q ＝________.答案 1或－12解析因为⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＋a 3＝92，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝32，a 1＋a 2＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＝3，即1＋qq 2＝2，所以2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.11．(2019·广东广州天河区综合测试一)在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则m ＝________.答案 191解析 等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，a m ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20，则a m ＝d ＋2d ＋…＋19d ＝19×1＋192d ＝190d ＝a 191，m ＝191.12．(2019·河南新乡第一次模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，则S n ＝________.答案2n －1n解析 ∵(n ＋1)a n ＋1＝(n －1)S n ，∴na n ＋1＋S n ＋1＝nS n ，∴n (S n ＋1－S n )＋S n ＋1＝nS n ，∴n ＋1S n ＋1nS n ＝2，∴{nS n }是首项为1，公比为2的等比数列，则nS n ＝2n －1，∴S n ＝2n －1n.三、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧9a 1＋9×82d ＝－a 1＋4d ，a 1＋2d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2，所以a n ＝8＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋10.(2)由(1)知a 5＝0，即a 5＝a 1＋4d ＝0，即a 1＝－4d ， 又a 1>0，所以d <0， 由S n ≥a n 得na 1＋n n －12d ≥a 1＋(n －1)d ，整理得(n 2－9n )d ≥(2n －10)d ， 因为d <0，所以n 2－9n ≤2n －10， 即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值范围是1≤n ≤10(n ∈N *)．14．已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，b 2＝2，a 1b 3＝12，S 3＋b 1＝19.(1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 解 (1)∵数列{a n }是等差数列，a 2＝6， ∴S 3＋b 1＝3a 2＋b 1＝18＋b 1＝19，∴b 1＝1， ∵b 2＝2，数列{b n }是等比数列，∴b n ＝2n －1.∴b 3＝4，∵a 1b 3＝12，∴a 1＝3， ∵a 2＝6，数列{a n }是等差数列， ∴a n ＝3n .(2)由(1)得，令C n ＝b n cos(a n π)＝(－1)n 2n －1，∴C n ＋1＝(－1)n ＋12n，∴C n ＋1C n＝－2，又C 1＝－1， ∴数列{b n cos(a n π)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列， ∴T n ＝－1×[1－－2n]1＋2＝－13[1－(－2)n]＝－2n－13.一、选择题1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 解法一：a 2＝S 2－S 1＝23－22＝4，a 3＝S 3－S 2＝24－23＝8，所以a 1＝a 22a 3＝2，所以S 1＝22＋λ＝2，故λ＝－2.解法二：S n ＝2n ＋1＋λ＝2·2n＋λ，根据等比数列前n 项和公式的结构知λ＝－2.2．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？( )A ．18B ．20C ．21D ．25答案 C解析 依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有305＋a 302＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺布，选C.3．若等比数列的前n 项和，前2n 项和，前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 3D ．A 2＋B 2＝A (B ＋C )答案 D解析 由等比数列的性质可知，当公比q ≠－1时，A ，B －A ，C －B 成等比数列，所以(B －A )2＝A (C －B )，所以A 2＋B 2＝AC ＋AB ＝A (B ＋C )，当q ＝－1时，易验证此等式成立，故选D.4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝4，S 5≥S 4≥S 6，则公差d 的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－89 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－45C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，－45D ．[]－1，0答案 A解析 因为S 5≥S 4≥S 6，所以S 4＋a 5≥S 4≥S 4＋a 5＋a 6，所以a 5≥0≥a 5＋a 6，又a 1＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4d ≥0，8＋9d ≤0，解得－1≤d ≤－89.5．数列{a n }中，已知对任意自然数n ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( ) A ．(2n－1)2B ．13(2n－1) C ．4n－1 D ．13(4n－1) 答案 D解析 当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1，n ＝1时也符合，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．所以a 2n ＝4n －1(n ∈N *)也是等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n1－4＝4n－13，故选D.6．已知数列{a n }是等差数列，r ，s ，t 为正整数，则“r ＋t ＝2s ”是“a r ＋a t ＝2a s ”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 设{a n }的公差为d ，由a r ＋a t ＝2a s 得(r ＋t －2)d ＝(2s －2)d ，即r ＋t ＝2s 或d ＝0，则“r ＋t ＝2s ”是“r ＋t ＝2s 或d ＝0”的充分不必要条件．故选C.7．已知在公比不为1的等比数列{a n }中，a 2a 4＝9，且2a 3为3a 2和a 4的等差中项，设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T 8＝( )A ．12×37－16 B ．310C ．318D ．320答案 D解析 由题意，得a 23＝9，设等比数列的公比为q ，由2a 3为3a 2和a 4的等差中项，得3·a 3q＋a 3q ＝4·a 3，由公比不为1，解得q ＝3，所以T 8＝a 1·a 2·…·a 8＝a 81q 28＝a 81q 16·q 12＝(a 1q 2)8·q 12＝(a 23)4q 12＝94×312＝320.8．已知正项数列{a n }满足a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，设b n ＝log 2a n ＋1a 1，则数列{b n }的前n 项和为( )A ．nB ．n n －12C ．n n ＋12D ．n ＋1n ＋22答案 C解析 因为a 2n ＋1－2a 2n －a n ＋1a n ＝0，所以(a n ＋1＋a n )·(2a n －a n ＋1)＝0，又因为a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即a n ＋1a n ＝2，所以数列{a n }是公比为2的等比数列，a n ＋1a 1＝a 1q n a 1＝2n ，所以b n ＝log 2a n ＋1a 1＝log 22n＝n ，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.二、填空题9．(2019·江西抚州七校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝30，则S 20＝________.答案 20解析 因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，因为S 10＝10，S 30＝30，所以(S 20－10)2＝10×(30－S 20)，解得S 20＝20或S 20＝－10，因为S 20－S 10＝q 10S 10>0，所以S 20>0，则S 20＝20.10．(2019·广东深圳适应性考试)等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，数列{a n }的前20项和S 20＝________.答案 200或330解析 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，又a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是，S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330. 11．(2019·河北唐山质检)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝________.答案 －1n解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，两边同时除以S n ＋1S n ，得1S n ＋1－1S n＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，则1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n.12．(2019·山东德州第一次考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ≠0,3S n ＝a n a n＋1＋1，则a 2019＝________. 答案 3028解析 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1,3S n ＝a n a n ＋1＋1 ①，当n ＝1时，整理得3S 1＝3a 1＝a 1·a 2＋1，解得a 2＝2，当n ≥2时，3S n －1＝a n －1·a n ＋1 ②，①－②得，3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，由于a n ≠0，故a n ＋1－a n －1＝3(常数)，故数列{a n }的奇数项为首项为1，公差为3的等差数列，则a n ＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫n ＋12－1.数列{a n }的偶数项为首项为2，公差为3的等差数列，a n＝2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫n2－1，所以a 2019＝1＋3⎝⎛⎭⎪⎫2019＋12－1＝3028. 三、解答题13．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.14．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0,4a n ＋1＝3a n －b n ＋4,4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．解 (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )， 即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.。