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最新的初中数学竞赛专项训练(3)及答案

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初中数学竞赛专项训练（3）（方 程）一、选择题：1、方程018)8(2=-++-a x a x 有两个整数根，试求整数a 的值 （ ）A. -8B. 8C. 7D. 9 2、方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是 （ ）A. 2B. 3C. 4D. 53、若0x 是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根，则判别式ac b 42-=∆与平方式20)2(b ax M +=的大小关系是（ ） A. △＞MB. △=MC. △＜MD. 不能确定4、已知ac b 42-是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ）A. ab ≥81 B. ab ≤81 C. ab ≥41 D. ab ≤41 5、已知1x 、2x 是方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实根，则2221x x +的最大值是（ ） A. 19B. 18C. 955D. 以上答案都不对6、已知z y x 、、为三个非负实数，且满足132523=-+=++z y x z y x ，　，z y x u 73-+=若，则u 的最大值与最小值之和为 （ ）A. 7762-B. 7764-C. 7768-D. 7774-7、若m 、n 都是正实数，方程022=++n mx x 和方程022=++m nx x 都有实数根，则m+n 的最小值是 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 108、气象爱好者孔宗明同学在x （x 为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。

则x 等于（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题1、已知两个方程0022=++=++a bx x b ax x 与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若)(016110161122b a b b a a ≠=++=++，　，则=-baa b ＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x 的方程012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，则整数n 是＿＿＿＿＿4、设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实数根，且8)1)(1(21=++x x ，则k 的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a 、b 是方程042=+-m x x 的两个根，b 、c 是方程0582=+-m x x 的两个根，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 三、解答题1、关于x 的方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，求整数k 的值。

2、设方程0120012003200222=-⋅-x x 的较大根是r ，方程01200220012=+-x x 的较小根是s ，求r －s 的值。

3、确定自然数n 的值，使关于x 的一元二次方程07635108222=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，并求出此两根。

4、已知关于x 的一元二次方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k 的值。

5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v 、2v 、3v 、4v 千米，且满足1v ＞2v ＞3v ＞4v ＞0，其中，水v 为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。

（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？参考答案一、选择题1、选B 。

原方程变为⎩⎨⎧-=--=-⎩⎨⎧=-=-∴=--1811811)8)((x a x x a x x a x 或，， 解得x=9或7，a ＝8。

2、选C 。

原方程有整数解的条件有且只有以下3种：仅有一个整数解。

为偶数。

故原方程此时时。

显然仅当或得为偶数。

解而③解；，即原方程有两个整数或，解之得②是方程的一个整数解；，此时而①23110113111211301032222=+-=-=-=-++-=-+-=-==-+-=≠-+=+x x x x x x x x x x x x x x x x综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。

应选。

即的根，所以是 因 、解：令B ,00)(4444)4()(2ax -m d 320020220202220M d c bx ax x c bx ax a ac b b b ax x a ac b b =∆==++++=+-++=--+=∆=4、应选B 。

因为方程有实数解，故042≥-ac b 。

由题意有。

，即的判别式非负，即是其解，所以方程，因为或则得。

令或者8108140202442442422222222≤≥--==++=+--=-=----=-+-ab ab ac b u b u au b u au acb u ac b a ac b b ac b a ac b b 5、选B 。

由方程有实根，得△≥0，即184)5(19610)53(2)2(2)(5323440)4)(43(0161630)53(4)2(2221222221221222122121222取最大值时，当，得，。

又由x x k k k k k k k x x x x x x k k x x k x x k k k k k k k k +-=+-=---=++--=-+=+++=⋅-=+-≤≤-⇒≤++⇒≤++⇒≥++--6、选A 。

237)711()37(371137132523-=-+-+-=⇒⎩⎨⎧+-=-=⇒⎩⎨⎧=-+=++z z z z u z y z x z y x z y x由x ≥0，y ≥0得21173232733117730711037-⨯≤-≤-⨯⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥+-≥-z z z z 即11175-≤≤-u 7762)111(7511175-=-+-=+∴-=-=∴最大最小最大最小 ，u u u u 7、选B 。

因方程有实根，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0440822m n n m ，因此有m n m 646424≥≥，则46400)64(33≥≥>≥-m m m m m ，，则，因，得m 最小值是4。

又。

的最小值为，故的最小值为即，得622824n m n n n m n +≥≥≥8、选C 。

设全天下雨a 天，上午晴下午雨b 天，上午雨下午晴c 天，全天晴d 天。

由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d ＝2，故b=4，c=3，于x ＝a+b+c+d=9。

二、填空题ax a b x b a x b a x b a a bx x b ax x x x x x =--==++=≠=--=++=++∴3211121121312110110)1)((001，。

解方程得＝ 。

代入任一方程可得，故，而 两式相减得，，。

、和、为、设两个方程的根分别 2、由已知a 、b 是方程016112=++x x 的两根。

001611<<∴⎩⎨⎧=-=+∴b a ab b a ， ，而574164121414)(41)(412±=-±=-+±=-=-=-ab b a b a ab b a b a a b 3、012)1(2=-+++n x n x 的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设22)12(4)1(k n n =--+=∆（k 为非负整数），即4)3(22=--k n 满足上式的n 、k 只能是下列情况之一： ⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-∴2323232343131343k n k n k n k n k n k n k n k n 或或或 解得n ＝1、5。

4、解：由题意得： ①，得210)2(4])1(2[222≥≥+-+=∆k k k 又2)1(222121+=+=+k x x k x x ，521)1(221)()1)(1(22212121++=++++=+++=++k k k k x x x x x x 所以由已知得 ②，，解得138522=-==++k k k k由①②得k ＝1。

5、解：由已知b 2-4b+m=0 ① b 2-8b+5m=0 ② ①－②得：4b-4m=0 ∴b ＝m ③将③代入①得：m 2-4m+m=0 ∴m=0或m=3。

6、解：04)2(84)2(4222>+-=+-=--=∆a a a a a∴对于任意实数a ，原方程总有两个实数根。

由根与系数的关系得：863)49(218929)(2)2)(2(2222122112212121---=-+-=++-=--∴-=-=+a a a x x x x x x x x a x x a x x ∴当a=49时原式有最大值－863三、解答题1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。

②当k ≠0时，因方程有有理根，所以若k 是整数，则k k 4)1(2--=∆＝162+-k k 必为完全平方数，即存在非负整数m ，使2216m k k =+-配方得：8)3)(3(8)3(22=--+-=--m k m k m k 由，其积为是奇偶性相同的整数，与833m k m k --+-所以它们均为偶数，又m k m k －－＞＋－33，从而有⎩⎨⎧-=---=+-⎩⎨⎧=--=+-43232343m k m k m k m k 或 ∴k=6或k=0（舍去）综合①②可知，方程01)1(2=+--x k kx 有有理根，整数k 的值为k=0或k=6。

2、解：由前一方程得：0200212002120022222=---x x 即020021)200211(222=---x x 设方程两根为1x 、2x ，且1x ＞2x 由根与系数的关系得：22122120021200211-=-=+x x x x 则1x ＝1，2x ＝-220021同理由后一方程得：020011)200111(2=++-x x设方程两根为'1x 、'2x ，且'1x ＞'2x ，则'1x ＝1，'2x ＝20011由上述可知：r=1，s ＝20011， 所以r －s ＝1－20011＝200120003、解：设方程两根为1x 、2x ，则1x +2x ＝4n －5 ∵4n －5是奇数，即1x +2x 是奇数∴1x 与2x 必定一奇一偶，而1x 与2x 都是质数。

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初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专项训练（1）（实 数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（ ） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为 （ ） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（ ）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （ ） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（ ）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（ ）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

数学竞赛试题及答案初中

数学竞赛试题及答案初中

数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。

解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。

根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。

由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。

代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。

解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。

已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。

代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。

2024全国初中数学竞赛试题

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1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。

江苏数学竞赛初中试题及答案

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江苏数学竞赛初中试题及答案试题一：代数基础题题目：已知 \( a \) 和 \( b \) 是两个正整数，且 \( a^2 - b^2 = 21 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。

答案：根据差平方公式，\( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)。

已知\( a^2 - b^2 = 21 \)，我们可以将21分解为两个因数的乘积，即\( 21 = 3 \times 7 \)。

考虑到 \( a \) 和 \( b \) 是正整数，我们可以得出 \( a = 7 \)，\( b = 3 \)。

试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角是另一个锐角的两倍，求这个三角形的三个角度数。

答案：设较小的锐角为 \( x \) 度，则较大的锐角为 \( 2x \) 度。

根据直角三角形的性质，三个角的和为180度，因此有 \( x + 2x + 90 = 180 \)。

解这个方程，我们得到 \( 3x = 90 \)，所以 \( x = 30 \)。

因此，较小的锐角是30度，较大的锐角是60度，直角是90度。

试题三：数列题题目：一个数列的前三项为 \( 2, 4, 7 \)，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

求第10项的值。

答案：根据题意，数列的前几项为：2, 4, 7, (2+4+7), (4+7+13), ...即：2, 4, 7, 13, 24, 41, 75, 130, 231, ...第10项的值为 \( 231 \)。

试题四：逻辑推理题题目：有5个盒子，每个盒子里都装有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个和5个。

现在有5个人，每个人从每个盒子里都拿了一个球，但没有人拿到两个相同数量的球。

每个人拿的球的总数都是6个。

问每个人分别从哪些盒子里拿球？答案：设5个人分别为A、B、C、D、E。

根据题意，每个人拿的球的总数都是6个，且没有人拿到两个相同数量的球。

我们可以列出以下可能的组合：- A: 1, 2, 3- B: 1, 3, 4- C: 1, 4, 5- D: 2, 3, 5- E: 2, 4由于每个人拿的球的总数都是6个，我们可以排除E的组合，因为2+4=6，没有第三个球。