七年级数学竞赛专题训练试卷(一)新定义运算

专题21 人教七下精选新定义题型（解析版）类型一 实数中的新定义题型1．（2022秋•辉县市校级月考）对于任意两个实数a ，b 定义两种运算：aΔb =a(a ≥b)b(a ＜b)，a∇b =b(a ≥b)a(a ＜b)，并且定义运算顺序任然是先做括号内的，例如（﹣2）Δ3＝3，（﹣2）∇3＝2，[（﹣2）Δ3]∇2＝2，那么A B ．3C ．6D 思路引领：直接利用已知运算规律分别化简，进而得出答案．解：原式＝2Δ3＝3．故选：B ．总结提升：此题主要考查了实数的运算，正确理解题意是解题关键．2．（2022•台山市校级一模）定义：求乘方运算中的指数运算叫做对数，如果N ＝a x ，则log a N ＝x ．例如log 28＝3，那么log 3127× ．思路引领：根据已知新定义计算即可确定出结果；解：∵log 3127=log 33﹣3＝﹣3，=3＝3，∴log 3127×−3×3＝﹣9．故答案为：﹣9．总结提升：本题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．（2022•南京模拟）新定义一种运算@，其运算法则是x @y =2@（6@8）＝ ．思路引领：先根据新定义求出6@8＝7，然后计算2@7即可得到答案．解：由题意得：6@87，∴2@(6@8)=2@7=总结提升：本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．4．（2022秋•永兴县期末）定义[x ]为不大于x 的最大整数，如[2]＝2，=1，[4.1]＝4，则满足=5，则n 的最大整数为 ．思路引领：由题意得：5≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．解：由题意得：∵56，∴25≤n＜36，∴n的最大整数为35．故答案为：35．总结提升：本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．5．（2022秋•隆回县期末）对于正实数a，b作新定义：a⊙b＝25⊙x2＝4，则x的值为 ．思路引领：直接利用已知得出关于x的方程，进而得出答案．解：由题意可得：=4，则10﹣|x|＝4，解得：x＝±6．故答案为：±6．总结提升：此题主要考查了实数运算，正确理解题意是解题关键．6．（2022秋•朝阳区校级期末）用⊗定义一种新运算：对于任意实数a和b，规定a⊗b＝a2﹣ab+1．（1（2⊗⊗= ．思路引领：（1）利用新运算的规定列式计算即可；（2）利用新运算的规定列式计算即可．解：（1）∵a⊗b＝a2﹣ab+1，∴原式=2×1＝2﹣1＝3﹣（2）原式=[2+1]=（3﹣+1）=（4﹣=2×（4﹣+1＝2﹣6+1＝9﹣故答案为：9﹣总结提升：本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义的规定是解题的关键．7．（2022•苏州模拟）对实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=a≥b，例如4◆3，因为4＞3，所以4◆3=5，若x，y满足方程组4x−y=8x+2y=20，则x◆y＝　32　．思路引领：求出方程组的解得到x与y的值，再利用新定义求出所求即可．解：4x−y=8①x+2y=20②，①×2+②得：9x＝36，解得：x＝4，把x＝4代入②得：y＝8，则x◆y＝4◆8＝4×8＝32，故答案为：32．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．8．（2018秋•阳山县期末）对于实数x，y，定义一种新的运算“★”，规定x★y＝ax+by，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．如果3★5＝12，1★2＝3= ．思路引领：已知等式利用题中的新定义化简得到方程组，求出方程组的解得到a与b的值，代入原式计算即可求出值．解：已知等式利用题中的新定义化简得：3a+5b=12①a+2b=3②，②×3﹣①得：b＝﹣3，把b＝﹣3代入①得：a＝9，则原式==−3．故答案为：﹣3．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，立方根以及实数的运算，解二元一次方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．9．（2022秋•屯留区期末）对于任意的正实数a和b，我们定义新运算：a∗b=≥b)＜b)．如：27∗12=求：（5*2）×（18*45）的值．思路引领：根据定义确定好所用计算方法，再进行代入计算．解：∵5＞2，18＜45，∴（5*2）×（18*45）×（+＝3＝3[22]＝3（5﹣2）＝3×3＝9，即（5*2）×（18*45）的值是9．总结提升：此题考查了运用新定义进行实数运算的能力，关键是能准确理解并运用新定义，并进行正确地计算．类型二平面直角坐标系中的新定义题型10．（2022春•晋安区期末）定义：f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），例如：f（1，2）＝（﹣1，﹣2），g（2，3）＝（3，2），则g（f（5，﹣2））＝（ ）A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（﹣5，2）D．（﹣2，﹣5）思路引领：直接利用已知f（x，y）＝（﹣x，﹣y），g（a，b）＝（b，a），进而分析得出答案．解：由题意可得：g（f（5，﹣2））＝g（﹣5，2）＝（2，﹣5）．故选：A．总结提升：此题主要考查了点的坐标，正确运用已知条件分析是解题关键．11．（2022春•景县期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，把从点P出发沿纵或横方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”．如图，若P（2，﹣1），Q（﹣1，0），则P，Q的“实际距离”为4，即PS+SQ＝4或PT+TQ＝4．图中点A（3，2），B（5，﹣3）为共享单车停放点，嘉淇在点P处，则（ ）A．他与A处的“实际距离”更近B．他与B处的“实际距离”更近C．他与A处和B处的“实际距离”一样近D．无法判断思路引领：根据实际距离的概念得出距离解答即可．解：P到A处的“实际距离”＝|3﹣2|+|2﹣（﹣1）|＝1+3＝4，P到B处的“实际距离”＝|5﹣2|+|﹣3﹣（﹣1）|＝3+2＝5，故选：A．总结提升：此题主要考查了坐标确定位置，正确理解实际距离的定义是解题关键．12．（2022春•思明区校级期末）给出一个新定义：若平面直角坐标系中的点（a，b）的横、纵坐标满足方程x﹣2y＝4，则称点（a，b）是方程x﹣2y＝4的坐标点，比如：点（6，1）就是方程x﹣2y＝4的坐标点．（1）写出方程x﹣2y＝4的另一个坐标点　；（2）若有一个点（3a，a+2）是方程x﹣2y＝4的坐标点，则a的值为 ．思路引领：（1）给出x的一个值，代入求y的值；（2）把点的坐标代入方程求解．解：（1）当x＝4时，y＝0，故答案为：（4，0）．（2）由题意得：3a﹣2（a+2）＝4，解得：a＝8．故答案为：8．总结提升：本题考查了方程的解，理解新定义是解题的关键．13．（2022春•天河区期末）在平面直角坐标系中取任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义新运算“*”，得到新的C的坐标为（x1y2，x2y1），即（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若点A在第一象限，点B 在第四象限，根据上述规则计算得到的点C的坐标在第 象限．思路引领：根据每一象限内点的坐标特点进行分析解答．解：∵点A （x 1，y 1）在第一象限，点B （x 2，y 2）在第四象限，∴x 1＞0，y 1＞0．x 2＞0，y 2＜0．∴x 1y 2＜0，x 2y 1＞0，∴点C 的坐标（x 1y 2，x 2y 1）位于第二象限．故选答案为：二．总结提升：本题主要考查了点的坐标，解题的关键的理解新定义的运算法则以及每一象限内点的坐标符号特征．14．（2022春•海淀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”给出如下定义：若|x 1﹣x 2|≥|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1﹣x 2|；若|x 1﹣x 2|＜|y 1﹣y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|y 1﹣y 2|，例如：点P 1（1，2），点P 2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）．已知点A(−12，0)，B 为y 轴上的一个动点．（1）若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标 ；（2）直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值 ．思路引领：（1）根据点B 位于y 轴上，可以设点B 的坐标为（0，y ）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y |＝2，据此可以求得y 的值；（2）设点B 的坐标为（0，y ）．因为|−12−0|≥|0﹣y |，所以点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12．解：（1）∵B 为y 轴上的一个动点，∴设点B 的坐标为（0，y ）．∵|−12−0|=12≠4，∴|0﹣y |＝2，解得y ＝2或y ＝﹣2；∴点B 的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|−12−0|≥|0﹣y |，∴点A 与点B 的“非常距离”最小值为|−12−0|=12；∴点A 与点B 的“非常距离”的最小值为12．故答案为：12．总结提升：本题考查新定义问题，阅读并理解题意是解题关键．15．（2022春•青山区校级月考）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点A ，B ，C 的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a 指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h 指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”S ＝ah ．例如：A （1，2），B （﹣3，1），C （2，﹣2）则“水平底”a ＝5，“铅垂高”h ＝4，“矩面积”S ＝ah ＝20．若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”为18，则t 的值为 ．思路引领：根据“矩面积”的定义，得出若D （1，2），E （﹣2，1），F （0，t ）三点的“矩面积”的“水平底”a ＝3，由矩面积”S ＝ah ＝18，得出“铅垂高”h ＝18÷3＝6，则D 、E 、F 三点的纵坐标差的最大值为2﹣t ＝6或t ﹣1＝6，从而求得t 的值．解：由题意知，D 、E 、F 三点的“矩面积”的“水平底”a ＝1﹣（﹣2）＝3，∵D 、E 、F 三点的“矩面积”S ＝ah ＝18，∴D 、E 、F 三点的“铅垂直”h ＝18÷3＝6，当点F 在点D 下方时，2﹣t ＝6，解得t ＝﹣4．当点F 在点D 上方时，t ﹣1＝6解得：t ＝7，故答案为：﹣4或，7．总结提升：本题考查坐标确定位置，掌握“矩面积”的定义是解题的关键．16．（2022秋•霍邱县校级月考）在平面直角坐标系中，对于点P 、Q 两点给出如下定义：若点P 到x ，y 轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点P（﹣2，5）和点Q（﹣5，﹣1）就是等距点．（1）已知点B的坐标是（﹣4，2），点C的坐标是（m﹣1，m），若点B与点C是“等距点”，求点C 的坐标；（2）若点D（3，4+k）与点E（2k﹣5，6）是“等距点”，求k的值．思路引领：（1）根据“等距点”的定义解答即可；（2）根据“等距点”的定义分情况讨论即可．解：（1）由题意，可分两种情况：①|m﹣1|＝|﹣4|，解得m＝﹣3或5（不合题意，舍去）；②|m|＝|﹣4|，解得m＝﹣4（不合题意，舍去）或m＝4，综上所述，点C的坐标为（﹣4，﹣3）或（3，4）；（2）由题意，可分两种情况：①当|2k﹣5|≥6时，|4+k|＝|2k﹣5|，∴4+k＝2k﹣5或4+k＝﹣（2k﹣5），解得k＝9或k=13（不合题意，舍去）；②当|2k﹣5|＜6时，|4+k|＝6，∴4+k＝6或4+k＝﹣6，解得k＝2或k＝﹣10（不合题意，舍去）；综上所述，k＝2或k＝9．总结提升：本题主要考查了点的坐标，掌握“等距点”的定义是解答本题的关键．17．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．思路引领：（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；（2）利用割补法求四边形的面积．解：（1）①A （﹣1，2）“1型平移”后得到A '（0，1），B （2，3）“1型平移”后得到B '（3，2）；②S 四边形ABB ′A ′＝S △ABB '+S △AB 'A '=12×4×1+12×4×1＝4，故答案为：4；（2）A （2﹣a ，a +1）“2型平移”后得到A '（4﹣a ，a ﹣1），B （a +1，a +2）“2型平移”后得到B '（a +3，a ），如图，在四边形外作矩形CDEF ，∴C （2﹣a ，a +2），D （2﹣a ，a ﹣1），E （a +3，a ﹣1），F （a +3，a +2），∴BC ＝2a ﹣1，AC ＝1，BF ＝2，B 'F ＝2，AD ＝2，A 'D ＝2，AE ＝2a ﹣1，BE '＝1，∴CF ＝2a +1，CD ＝3，∴S 四边形ABB ′A ′＝3（2a +1）−12×（2a ﹣1）×1×2−12×2×2×2＝4a ，∵四边形ABB ′A ′的面积为8平方单位，∴4a ＝8，∴a ＝2．总结提升：本题考查坐标与图形变化，熟练掌握平面内点的坐标特点，利用割补法求四边形的面积是解题的关键．类型三二元一次方程组中的新定义题型18．（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（ ）A．18B．19C．20D．21思路引领：已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．解：根据题中的新定义得：2a+5b+1=10 4a+7b+1=28，解得a=12b=−3，∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．故选：B．总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（2022春•万州区校级期中）把y＝ax+b（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当y＝x时，“雅系二元一次方程y＝ax+b”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当y＝x时，“雅系二元一次方程”y＝3x﹣4化为x＝3x﹣4，其“完美值”为x＝2．（1）x＝3是“雅系二元一次方程”y＝3x+m的“完美值”，求m的值；（2）类比“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”y＞kx+1（k≠0，k是常数）的“完美解集”为x＞2，请求出k的值．思路引领：（1）由已知可得x＝3x+m，将x＝3代入即可求m；（2）假设存在，得到x＝kx+1，所以（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”x=11−k．解：（1）由已知得：x＝3x+m，把x＝3代入x＝3x+m得：3＝9+m，∴m＝﹣6；（2）若“雅系二元一次方程”y＝kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”，则有x＝kx+1，∴（1﹣k）x＝1，当k＝1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”，∵y＞kx+1（k≠0，k是常数），则有x＞kx+1，∴（1﹣k）x＞1，∵完美解集为x＞2，∴x＞11−k=2，解得k＝0.5．总结提升：本题考查二元一次方程的解，新定义；能够理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是关键．20．（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算φ可以得到数对（x'，y'），记作φ（x，y）＝（x'，y'），其中x′=ax+byy′=ax−by（a，b为常数）．如，当a＝1，b＝1时，φ（﹣2，3）＝（1，﹣5）．（1）当a＝2，b＝1时，φ（1，0）＝ ；（2）若φ（2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），求a和b的值．思路引领：（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；（3）根据对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），得到ax+by=xax−by=y，，根据x﹣2y＝0，得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．解：（1）当a＝2，b＝1时，x′＝2×1+1×0＝2，y′＝2×1﹣1×0＝2，故答案为：（2，2）；（2）根据题意得：2a+b=0 2a−b=4，解得：a=1b=−2，故答案为：1，﹣2；（3）∵对任意数对（x，y）经过运算φ又得到数对（x，y），∴ax+by=x ax−by=y，∵x﹣2y＝0，∴x＝2y，代入方程组解得：a=34 b=12．总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．21．（2022春•兴化市月考）对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知1&1＝1，3⊗2＝8．（1）求a，b的值；（2）若关于x，y的方程组x&y=4−mx⊗y=5m的解也满足方程x+y＝5，求m的值；（3）若关于x，y的方程组a1x&b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=4y=5，求关于x，y的方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2的解．思路引领：（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程x+y＝3求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．解：（1）由题意得a+b=13a−2b=8，解得a=2b=−1；（2）依题意得2x−y=4−m2x+5=5m，解得x=m+1y=3m−2，∵x+y＝5，∴m+1+3m﹣2＝5，解得m=3 2；（3）由题意得2a1+b1y=c12a2+b2y=c2的解为x=4y=5，由方程组3a1(x+y)&4b1(x−y)=5c13a2(x+y)⊗4b2(x−y)=5c2得6a1(x+y)−4b1(x−y)=5c16a2(x+y)+4b2(x−y)=5c2，整理，得2a1⋅35(x+y)−b2⋅45(x−y)=c12a2⋅35(x+y)+b2⋅45(x−y)=c2，(x+y)=4 (x−y)=5，解得x=15524y=524．总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．22．（2022春•江阴市期中）对整数x、y定义一种新运算T，规定T（x，y）＝ax y﹣by x（其中a、b是常数），如：T（2，1）＝a×21﹣b×12＝2a﹣b．（1）填空：T（2，﹣1）＝ （用含a，b的代数式表示）；（2）若T（3，2）＝10，T（8，﹣1）=−3 4．①求a与b的值；②若T（x，1）＝T（1，x），求出此时x的值．思路引领：（1）根据新运算的运算顺序计算即可；（2）①由题意列出二元一次方程组，再解方程组即可；②由题意得2x﹣1＝2﹣x，解方程可得x的值．解：（1）由题意得，T（2，﹣1）＝a×2﹣1﹣b×（﹣1）2=12a﹣b，故答案为：12a﹣b；（2）①=10a−b=−34，解得a=2，b=1答：a的值是2，b的值是1；（3）由题意得，2x﹣1＝2﹣x，解得x＝1．总结提升：本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．类型四一元一次不等式中的新定义问题23．（2022•南谯区开学）定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果[x12]=3，则x的取值范围是（ ）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7思路引领：根据题意可得：3≤x12＜4，然后进行计算即可解答．解：由题意得：3≤x12＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故选：A．总结提升：本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，理解定义的新运算是解题的关键．24．定义一种法则“？”如下：a？b=a(a＞b)b(a≤b)，例如：1？2＝2，若（﹣2m﹣5）？3＝3，则m的取值范围是 ．思路引领：根据题中新定义的运算可得出关于m的不等式﹣2m﹣5≤3；接下来求解即可得到m的取值范围．解：∵1⊕2＝2，若（﹣2m﹣5）⊕3＝3，∴﹣2m﹣5≤3，解得m≥﹣4．故答案为：m≥﹣4．总结提升：本题考查了不等式的解和解集，解答此题的关键是掌握不等式的解及解集的意义．25．（2022秋•临湘市期末）现定义一种新的运算：a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，则不等式（﹣2）*x≥0的解集为 ．思路引领：直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．解：∵a*b＝a2﹣2b，例如：3*4＝32﹣2×4＝1，∴不等式（﹣2）*x≥0可变形为：4﹣2x≥0，解得：x≤2．故答案为：x≤2．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．26．（2022春•舒城县校级月考）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　；（2）解不等式x⊕6＞3；（3）求不等式x⊕2＞（﹣2）⊕（x+4）的负整数解．思路引领：（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可；（3）根据所给的运算列出关于x的一元一次不等式，求出x的取值范围即可．解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x−6，∵x⊕4＝0，∴12x−6=0，解得x＝12，故答案为：12；（2）由x ⊕6＞3，可得2x −32（x +6）＞3，解得x ＞12．（3）∵a ⊕b ＝2a −32（a +b ），∴x ⊕2＝2x −32（x +2）=12x−3，﹣2⊕（x +4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x +4）＝﹣4+3−32x ﹣6=−32x ﹣7∵x ⊕2＞（﹣2）⊕（x +4），∴12x−3＞−32x ﹣7，解得x ＞﹣2，∴不等式的负整数解为﹣1．总结提升：本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，根据所给的新运算列出关于x 的一元一次（方程）不等式是解答此题的关键．27．（2022秋•西湖区校级月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．（1）在不等式①3x ﹣5＜0，②x ≥1，③x ﹣（3x ﹣1）＜﹣5④3x 12＞x 中，不等式x 12−1≥x 的“云不等式”是 .（填序号）（2）若a ≠﹣2，若关于x 的不等式x +2≥a 与不等式（a +2）x ＜a +2互为“云不等式”，求a 的取值范围．思路引领：（1）分别求出各不等式的解，再根据“云不等式”的定义即可得出结论；（2）先求出不等式x +2≥a 的取值范围，再分a +2＞0和a +2＜0两种情况进行讨论．解：（1）①解不等式3x ﹣5＜0得，x ＜53；②x ≥1；③不等式的解集为：x ＞3；④不等式的解集为x ＞﹣1．解不等式x 12−1≥x 得，x ≤﹣1．∵只有不等式3x ﹣5＜0的解集与不等式x 12−1≥x 有公共部分，∴不等式x12−1≥x的“云不等式”是不等式3x﹣5＜0．故答案为：①；（2）不等式x+2≥a的解集为x≥a﹣2，①当a+2＞0时，即a＞﹣2，可得x＜1，根据题意a﹣2＜1，即a＜3，a的取值范围为a＜3；②当a+2＜0时，即a＜﹣2，可得x＞1，此时不论a为小于﹣2的何值均符合题意．故a＜3且a≠﹣2．总结提升：本题考查了解一元一次不等式，解出不等式、根据解集判断系数的取值范围是解题的关键．28．（2022春•永春县期中）一个四位数，记千位数字与个位数字之和为x，十位数字与百位数字之和为y，如果x＝y，那么称这个四位数为“对称数”．（1）最大的“对称数”为 ，最小的“对称数”为 ．（2）若上述定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有 个．（3）一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，且个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，求出所有满足条件的“对称数”M的值．思路引领：（1）根据题意，可以写出最小的“对称数”和最大的“对称数”；（2）根据个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，可以求得b的值，然后根据题意，可以得到所有满足条件的“对称数”M的值．解：（1）由题意可得，最大的“对称数”是9999，最小的“对称数”为1010，故答案为：9999；1010；（2）∵|x+1|＜4，1≤x≤9，x为整数，∴x＝1或2，∴当x＝1时，对称数有1010，1100，当x＝2时，对称数有1111，1201，1021，2110，2200，2020，故定义中的x满足不等式|x+1|＜4，则这样的对称数有8个，故答案为：8；（3−1≤x−22b，得b18＜x≤4，∵个位数字b −1≤x−22b有3个整数解，∴1≤b18＜2，解得7≤b＜15，∵b为个位数字，∴b＝7，8，9，∵一个四位的“对称数”M，它的百位数字是千位数字a的3倍，个位数字与十位数字之和为10，∴百位数字为3a，十位数字是10﹣b，∴a+b＝3a+（10﹣b），∴a＝b﹣5，∴当b＝7时，a＝2，此时对称数”M的值是2637，当b＝8时，a＝3，此时对称数”M的值是3928，当b＝9时，a＝4，此时百位数字3a＝12不存在，舍去，由上可得，对称数”M的值是2637，3928．总结提升：本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出M的值．29．（2022春•如东县期中）对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝（mx+ny）（x+2y）（其中m，n 均为非零常数）．例如T（1，1）＝3m+2n．（1）已知T（1，﹣1）＝0，T（0，2）＝8．①求m，n的值；②若关于P的不等式组T(2p，2−p)＞4T(4p，3−2p)≤a恰好有3个整数解，求a的取值范围．（2）当x2≠y2时，T（x，y）＝T（y，x）对于任何有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．思路引领：（1）①构建方程组即可解决问题；②根据不等式即可解决问题；（2）利用恒等式的性质，根据关系式即可解决问题；解：（1）①由题意，得−(m−n)=0 8n=8，∴m=1 n=1；②由题意，得(2p+2−p)(2p+4−2p)＞4①(4p+3−2p)(4p+6−4p)≤a②，解不等式①，得p＞﹣1．解不等式②，得p≤a−18 12．∴﹣1＜p≤a−18 12．∵恰好有3个整数解，∴2≤a−1812＜3．∴42≤a＜54．（2）由题意得：（mx+ny）（x+2y）＝（my+nx）（y+2x），∴mx2+（2m+n）xy+2ny2＝2nx2+（2m+n）xy+my2，∵对任意有理数x，y都成立，∴m＝2n．总结提升：本题考查一元一次不等式、二元一次方程组、恒等式等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．30．（2022春•长沙县期末）定义：对于任意实数a，b，如果满足a+b＝ab，那么称a，b互为“朋友数”，点（a，b）为“朋友点”．（1）判断下列命题的真假，真命题在括号内打“√”，假命题在括号内打“×”；①1.5与3是互为“朋友数”的； ②若点（a，b）为“朋友点”，则点（b，a）也一定为“朋友点”； ③若点a与b互为相反数，则（a，b）一定不是“朋友点”； ④存在与1互为“朋友数”的实数． （2）填空：若（a，3）为“朋友点”，则a＝ ．（3）已知P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是关于x，y的二元一次方程组x−2y=m2−92x+y=2m2+7的解，请判断点P（x，y）是否为“朋友点”？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）①由1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，可得①是真命题；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，有b+a＝ba，可知②是真命题；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，故③是假命题；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，可知④是假命题；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2；（3）由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，可解得m＝±12，即可得答案．解：（1）①∵1.5+3＝4.5，1.5×3＝4.5，∴1.5与3是互为“朋友数”的，①是真命题，故答案为：√；②若点（a，b）为“朋友点”，则a+b＝ab，∴b+a＝ba，∴点（b，a）也一定为“朋友点”；②是真命题，故答案为：√；③若a＝b＝0，则a+b＝ab，∴此时（a，b）是“朋友点”，③是假命题，故答案为：×；④设1与x互为“朋友数”，则x+1＝x×1，方程无解，∴不存在与1互为“朋友数”的实数，④是假命题，故答案为：×；（2）若（a，3）为“朋友点”，则a+3＝a×3，解得a=3 2，故答案为：3 2；（3）当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点“，理由如下：由x−2y=m2−92x+y=2m2+7得：x=m2+1y=5，∴P（m2+1，5），若P（m2+1，5）是“朋友点”，则m2+1+5＝（m2+1）×5，解得m＝±1 2，∴当m＝±12时，P（m2+1，5）是“朋友点”题意，理解“朋友数”和“朋友点”的定义．31．（2022春•灌云县期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x﹣1＝3的解为x＝4，而不等式组x−1＞1x−2＜3的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x﹣1＝3是不等式组x−1＞1x−2＜3的“相依方程”．（1）在方程①x﹣3＝0；②3x+2＝x；③2x﹣10＝0中，不等式组x＞2x≤5的“相依方程”是　①　；（填序号）（2）若关于x的方程2x+k＝6＞x2x13−1的“相依方程”，求k的取值范围．思路引领：（1）求出不等式组的解集，以及各方程的解，判断即可；（2）求出已知不等式组的解集，根据方程为不等式组的“相依方程”，确定出k的范围即可．解：（1）方程①x﹣3＝0，解得：x＝3；②3x+2＝x，解得：x＝﹣1；③2x﹣10＝0，解得：x＝5，不等式组x＞2x≤5，解得：2＜x≤5，则方程①x﹣3＝0是不等式组x＞2x≤5的“相依方程”；故答案为：①；（2＞x2x13−1，解得：﹣1＜x≤1，方程2x+k＝6，解得：x=6−k 2，代入得：﹣1＜6−k2≤1，解得：4≤k＜8．总结提升：此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．32．（2022春•蜀山区校级期中）阅读理解：我们把|a b c d |称为二阶行列式，规定它的运算法则为|a b c d |=ad ﹣bc ，例如：|2345|=2×5﹣3×4＝﹣2．（1）填空：若|−12x−10.5x |=0，则x ＝　14　，|213−x x |＞0，则x 的取值范围 ；（2）若对于正整数m ，n 满足，1＜|1n m 4|＜3，求m +n 的值；（3）若对于两个非负数x ，y ，|x−1y 23|=|x −y 2−1|=k ，求实数k 的取值范围．思路引领：（1）根据法则得到﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0、2x ﹣（3﹣x ）＞0，然后解得即可．（2）根据法则得到1＜4﹣mn ＜3，解不等式求得1＜mn ＜3，由m 、n 是正整数，则可求得m +n ＝3；（3）根据法则得到3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，解方程组求得x ，y 的值，然后根据题意得关于k 的不等式组，解得即可．解：（1）由题意可得﹣x ﹣0.5（2x ﹣1）＝0，整理可得﹣x ﹣x +0.5＝0，解得x =14；由题意可得2x ﹣（3﹣x ）＞0，解得x ＞1，故答案为14，x ＞1；（2）由题意可得，1＜4﹣mn ＜3，∴1＜mn ＜3，∵m 、n 是正整数，∴m ＝1，n ＝2，或m ＝2，n ＝1，∴m +n ＝3；（3）由题意可得3（x ﹣1）﹣2y ＝﹣x +2y ＝k ，∴3x−2y =k +3①−x +2y =k ②，①+②得：2x ＝2k +3，解得：x =2k 32，将x =2k 32代入②，得：−2k 32+2y ＝k ，解得y=4k3 4，∵x、均为非负数，≥0≥0，解得k≥−3 4．总结提升：此题主要考查了解一元一次不等式和解一元二次方程组，关键是看懂题目所给的运算法则，根据题意列出等式或不等式．。

专题2.5 新定义问题【典例1】小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f （3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f （4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，12）＝ ，f （5，3）＝ ；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算：f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）．【思路点拨】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解题过程】解：（1）f （4，12）=12÷12÷12÷12=4，f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为：4；127．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误；②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为：②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（1a）n ﹣2（n 为正整数，a ≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，13）×f （5，﹣2）×f （6，12）=127×9×（−18）×16 =−23．1．（2022•长安区模拟）用“☆”定义一种新运算：对于任何不为零的整数a 和b ，规定a ☆b ＝a b ﹣b 2．如（﹣1）☆2＝（﹣1）2﹣22＝﹣3，则（﹣2）☆（﹣1）的值为（ ） A ．﹣3B ．1C ．32D ．−322．（2023秋•东港区期末）已知a 、b 皆为正有理数，定义运算符号为※：当a ＞b 时，a ※b ＝2a ；当a ＜b 时，a ※b ＝2b ﹣a ，则3※2﹣（﹣2※3）等于（ ） A ．﹣2B ．5C ．﹣6D ．103．（2022•武威模拟）用“*”定义新运算，对于任意有理数a 、b ，都有a *b ＝b 3﹣1，则12*[3*（﹣1）]的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣9C ．−12D ．04．（2023秋•洪山区期末）定义：如果a 4＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：因为72＝49，所以log 749＝2；因为53＝125，所以log 5125＝3．则下列说法中正确的有（ ）个．①log 66＝36；②log 381＝4；③若log 4（a +14）＝4，则a ＝50；④log 2128＝log 216+log 28； A ．4B ．3C ．2D ．15．（2023秋•顺城区期末）观察下列两个等式：1−23=2×1×23−1，2−35=2×2×35−1，给出定义如下：我们称使等式a ﹣b ＝2ab ﹣1成立的一对有理数a ，b 为“同心有理数对”，记为（a ，b ），如：数对（1，23），（2，35）都是“同心有理数对”下列数对是“同心有理数对”的是（ ）A ．（﹣3，47）B ．（4，49）C ．（﹣5，611） D ．（6，713）6．（2023秋•旌阳区期末）定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为3n +5；②当n 为偶数时，结果为n 2k；（其中k 是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n ＝26．则：若n ＝49，则第2021次“F ”运算的结果是（ ） A ．68B ．78C ．88D ．987．（2023秋•大连月考）我们对任意四个有理数a ，b ，c ，d 定义一种新的运算：|abcd|=ad ﹣bc ．则|−4−231|的值为 ．8．（2023秋•郧西县月考）我们定义一种新运算，规定：图表示a ﹣b +c ，图形表示﹣x +y ﹣z ，则+的值为 ．9．（2023秋•青浦区期中）若定义新的运算符号“*”为a *b =a+1b ，则（13*12）*2＝ ． 10．（2023秋•西城区校级期中）用“△”定义新运算：对于任意有理数a 、b ，当a ≤b 时，都有a △b ＝a 2b ；当a ＞b 时，都有a △b ＝ab 2，那么，2△6＝ ；(−23)△(−3)= ．11．（2023秋•绵阳期中）定义一种新的运算：x ⨂y ={x 2−2y ，x ＞y1，x =y−2xy ，x ＜y，例如2⨂1＝22﹣2×1＝2，2⨂3＝﹣2×2×3＝﹣12，1⨂1＝1．计算：[（﹣3）⨂（﹣1）]+[4⨂（﹣2）]﹣（2021⨂2021）＝ ．12．（2023•越秀区校级开学）定义两种新运算，观察下列式子：（1）x Θy ＝4x +y ，例如，1Θ3＝4×1+3＝7；3Θ（﹣1）＝4×3+（﹣1）＝11； （2）[x ]表示不超过x 的最大整数，例如，[2.2]＝2；[﹣3.24]＝﹣4； 根据以上规则，计算[1Θ(−12)]+[(−2)Θ194]= ．13．（2023秋•西城区校级期中）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b= a+b+|a−b|2．（1）计算：（﹣6）☆5＝．（2）从﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选两个有理数做a，b（a≠b）的值，并计算a☆b，那么所有运算结果中的最大值是．14．（2023秋•封丘县期末）对于有理数a，b，定义一种新运算“⨂”，规定a⨂b＝|a+b|﹣|a ﹣b|．如3⨂5＝|3+5|﹣|3﹣5|＝8﹣2＝6．（1）计算3⨂（﹣5）的值．（2）若（a+2）2+|b﹣1|＝0，求a⨂b．15．（2023秋•茂名期中）已知a、b均为有理数，现定义一种新的运算，规定：a⨂b＝a2+ab ﹣5，例如1⨂1＝12+1×1﹣5．求：（1）（﹣3）⨂6的值；（2）[2⨂（−32）]﹣[（﹣5）⨂9]的值．16．（2023秋•沁阳市期中）同学们刚学完有理数相关运算后，老师又定义了一种新的“※（加乘）”运算，以下算式就是按照“※（加乘）”运算法则进行的运算：（+3）※（+4）＝+7；（﹣6）※（﹣3）＝+9；（+4）※（﹣3）＝﹣7；（﹣1）※（+1）＝﹣2；0※（+8）＝+8；（﹣9）※0＝+9；0※0＝0．（1）综合以上情形，有如下有理数“※（加乘）”运算法则：两数进行“※（加乘）”运算，同号，异号，并把绝对值；特别地，一个数与0进行“※（加乘）”运算，都得．（2）计算：（﹣7）※（﹣4）＝．（3）若（1﹣a）※（b﹣3）＝0．计算：1a×b +1(a+2)×(b+2)+1(a+4)×(b+4)+1(a+6)×(b+6)+1(a+8)×(b+8)的值．17．（2023秋•晋江市期中）给出如下定义：如果两个不相等的有理数a ，b 满足等式a ﹣b ＝ab ．那么称a ，b 是“关联有理数对”，记作（a ，b ）．如：因为3−34=124−34=94，3×34=94．所以数对（3，34）是“关联有理数对”．（1）在数对①（1，12）、②（﹣1，0）、③（52，57）中，是“关联有理数对”的是 （只填序号）；（2）若（m ，n ）是“关联有理数对”，则（﹣m ，﹣n ） “关联有理数对”（填“是”或“不是”）；（3）如果两个有理数是一对“关联有理数对”，其中一个有理数是5，求另一个有理数．18．（2022春•邗江区校级期中）阅读材料：如果10b ＝n ，那么b 为n 的“劳格数”，记为b ＝d （n ）．由定义可知：10b ＝n 与b ＝d （n ）表示b 、n 两个量之间的同一关系．如：102＝100，则d （100）＝2． 理解运用：（1）根据“劳格数”的定义，填空：d （10﹣3）＝ ，d （1）＝ ；（2）“劳格数”有如下运算性质：若m 、n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ），d （mn ）＝d （m ）﹣d （n ）；根据运算性质，填空：d(a 3)d(a)= ；（a 为正数）（3）若d （2）＝0.3010，计算：d （4）、d （5）；（4）若d （2）＝2m +n ，d （4）＝3m +2n +p ，d （8）＝6m +2n +p ，请证明m ＝n ＝p ．19．（2022春•衡阳县期末）定义：对于确定位置的三个数：a ，b ，c ，计算a ﹣b ，a−c 2，b−c 3，将这三个数的最小值称为a ，b ，c 的“分差”，例如，对于1，﹣2，3，因为1﹣（﹣2）＝3，1−32=−1，−2−33=−53，所以1，﹣2，3的“分差”为−53．（1）﹣2，﹣4，1的“分差”为 ；（2）调整“﹣2，﹣4，1”这三个数的位置，得到不同的“分差”，那么这些不同“分差”中的最大值是 ；（3）调整﹣1，6，x 这三个数的位置，得到不同的“分差”，若其中的一个“分差”为2，求x 的值．20.（2022春•房山区期中）现将偶数个互不相等的有理数分成个数相同的两排，需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4”进行如下分组：第一列第二列第一排 1 2第二排4 3然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M值”．例如，以上分组方式的“M值”为M＝|1﹣4|+|2﹣3|＝4．（1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M值”；（2）将4个自然数“a，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M值”为6，则a的值为．（3）已知有理数c，d满足c+d＝2，且c＜d．将6个有理数“c，d，﹣5，﹣2，2，4”按照题目要求分为两排，使其“M值”为18，求d的值．。

2022~2023学年北京市七年级第一学期期末数学试卷分类汇编——新定义参考答案与试题解析一．数轴（共3小题）1．已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有AC+BC＝5，则称点C为点A，B的“5和距离点”．（1）如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m 的值是7；（2）如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为 2.5或﹣3.5；（3）如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足BE＝AE，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值．【分析】（1）读懂题意，利用“m和距离点”计算；（2）先判断D点的可能位置，再分情况计算；（3）根据题意可判断E点的位置有可能在线段AB上，也可能在点A左边，再分情况计算m的值．【解答】解：（1）∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，∴AN＝1，BN＝6，∴m＝AN+BN＝1+6＝7；故答案为：7；（2）设D点表示的数为x，∵AD＝|x﹣（﹣3）|，BD＝|x﹣2|，∴|x+3|+|x﹣2|＝6，D点不会在线段AB上（AB＝5），∴当D点在A点左边时，﹣x﹣3+（﹣x+2）＝6，x＝﹣3.5，当D点在B点右边时，x+3+x﹣2＝6，x＝2.5，∴点D表示的数为：2.5或﹣3.5；故答案为：2.5或﹣3.5；（3）设E点表示的数为x，∵BE＝AE，∴E的位置有两种可能，当E点在线段AB上时（不与A，B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝2﹣x，∴2﹣x＝（x+3），解得：x＝，此时m＝AE+BE＝+3+2﹣＝5，当E点在线段AB延长线上时（不与B重合），AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝x﹣2，x﹣2＝（x+3），解得：x＝7，此时m＝AE+BE＝7﹣2+7+3＝15，综上所述，m的值为5或15．【点评】本题考查数轴知识的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题．2．在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝﹣1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为2；②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；（2）在该数轴上，点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．【分析】（1）①认真读懂题意，按照“闭距离”的定义计算；②读懂题意，已知“闭距离”的值，求出m的取值；（2）按照m的正负值分情况讨论，计算出最大值、最小值．【解答】解：（1）①根据题意可知，m＝1时，A到OM的最大值为AM的长，，∵AM＝|﹣1|+1＝2，∴点A与线段OM的“闭距离”为2，故答案为：2；②∵B点到OM的“闭距离”为3，∴当m＜0时，m＝2﹣3＝﹣1，当m＞0时，m﹣2＝3，m＝5，∴m的值为﹣1或5；（2）∵点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，在线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，∴当m＜0时，可得不等式组，解得：﹣2≤m≤﹣1，当m＞0时，可得不等式组，解得：2≤m≤3，综上所述，﹣2≤m≤﹣1或2≤m≤3，∴m的最大值为3，最小值为﹣2．【点评】本题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴知识．3．对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到原点的距离为m（m≠0），点Q到P 的距离为n，如果n＝m+2，那么称点Q是点P的关联点．（1）点A表示的数是1．若点B1，B2，B3表示的数分别是﹣2，2，4，则点B1，B2，B3中，是点A关联点的是B1和B3；（2）若点C，D位于原点两侧，D是点C的关联点，则点D表示的数是±2；（3）点E表示的数为a，点F表示的数为3a﹣5．若点F是点E的关联点，则a的值是1或7．【分析】（1）根据已知的定义即可判断出答案；（2）根据定义分两种情况讨论，分别计算即可；（3）根据定义计算即可．【解答】解：（1）∵点A表示的数是1，∴点A到原点的距离为1，∵B1与A的距离为3，∴3＝1+2，∴B1是A的关联点，∵B2与A的距离为1，∴1≠1+2，∴B2不是A的关联点，∵B3与A的距离为3，∴3＝1+2，∴B3是A的关联点，故答案为：B1和B3；（2）设点D表示的数是x，点C表示的数是m，当点D位于原点左侧，点C位于原点右侧时，根据定义得m﹣x＝m+2，解得x＝﹣2，∴点D表示的数是﹣2，当点D位于原点右侧，点C位于原点左侧时，根据定义得x﹣m＝﹣m+2，解得x＝2，∴点D表示的数是2，∴点D表示的数是±2；故答案为：±2；（3）根据定义得|3a﹣5﹣a|＝|a|+2，解得a＝1或7．故答案为：1或7．【点评】本题考查了数轴和新定义问题，解题的关键是正确理解新的定义和熟练利用数轴的性质．二．有理数的混合运算（共3小题）4．小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”（1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．（2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，①用“乘减法”计算：[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]＝+8；②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⊗b＝b⊗a．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）不成立．【分析】（1）根据题中给出的例子即可得出结论；（2）①根据（1）中的“乘减法”进行计算即可；②设a＝2，b＝﹣3，c＝4代入式子进行计算，看结果是否相同即可．【解答】解：（1）∵（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并把绝对值相减；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．故答案为：正，负，把绝对值相减；（2）①[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]＝（﹣1）⊗9＝﹣8．故答案为：﹣8；②设a＝2，b＝﹣3，c＝4，左边＝（a⊗b）⊗c＝[2⊗（﹣3）]⊗4＝（﹣1）⊗4＝﹣3，右边＝a⊗（b⊗c）＝2⊗[（﹣3）⊗4]＝2⊗（﹣1）＝﹣1，左边≠右边，∴结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，根据题中给出的例子读懂题意是解题的关键．5．阅读材料，并回答问题对于某种满足乘法交换律的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元．由上述材料可知：（1）有理数在加法运算下的单位元是0，在乘法运算下的单位元是1；在加法运算下，3的逆元是﹣3，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是0；（2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y＝x+y﹣xy，例如3*2＝3+2﹣3×2＝﹣1．①求在这种新的运算下的单位元；②在这种新的运算下，求任意有理数m的逆元（用含m的代数式表示）．【分析】（1）根据阅读材料中的定义解答问题；（2）①根据新定义，列出等式，解出即可；②在①的基础上求出有理数m的逆元．【解答】解：（1）∵0加任何数都等与它本身，∴有理数在加法运算下的单位元是0，∵1乘任何数都等与它本身，∴乘法运算下的单位元是1，∴在加法运算下，3的逆元是﹣3，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是0，故答案为：0、1、﹣3、0；（2）①设a是新的运算下的单位元，根据题意，得x*a＝x+a﹣ax＝x，解得a＝0，∴在这种新的运算下的单位元是0；②设m的逆元是n，m*n＝m+n﹣mn＝0，解得n＝（m≠1），∴任意有理数m的逆元是n＝（m≠1）．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，掌握新定义的应用是解题关键．6．如图表示3×3的数表：我们规定：a*b表示数表中第a行第b列的数．例如：数表中第2行第1列的数为4，记作2*1＝4．请根据以上规定回答下列问题：（1）3*2＝6．（2）若3*3＝1*2，则a＝2．（3）若2*3＝（2x+1）*1，求x的值．【分析】（1）根据新规定的意义进行求解即可；（2）对照数表可得：a＝2；（3）结合数表进行运算即可．【解答】解：（1）由题意得：3*2＝6，故答案为：6；（2）∵3*3＝a，1*2＝2，且3*3＝1*2，∴a＝2，故答案为：2；（3）∵2*3＝8，2*3＝（2x+1）*1，∴2x+1＝1或2x+1＝3，解得：x＝0或x＝1．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．三．列代数式（共1小题）7．如图，点A，B，C是同一直线上互不重合的三个点，在线段AB，BC，CA中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称A，B，C三点存在“半分关系”．（1）当点C是线段AB的中点时，A，B，C三点存在（填“存在”或“不存在”）“半分关系”；（2）已知AB＝6cm，点C在线段AB上，若A，B，C三点存在“半分关系”，则AC的长为3或4或2cm；（3）已知点D，O，E是数轴上互不重合的三个点，点O为原点，点D表示的数是t（t 是正数），且D，O，E三点存在“半分关系”，直接写出点E表示的数的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）根据半分关系”的定义即可解答；（2）分三种情况：①AB＝2AC＝2BC，②AC＝2BC，③BC＝2AC，分别列式计算即可解答；（3）当点E在点D右侧，且DE＝2OD时取最大值，当点E在点O左侧时，且OE＝2OD 时取最小值，以此列出代数式求解即可．【解答】解：（1）∵点C是线段AB的中点时，∴，∴A，B，C三点存在半分关系”；故答案为：存在；（2）①当AB＝2AC＝2BC时，A，B，C三点存在“半分关系”，∵AB＝6cm，∴＝3cm，②当AC＝2BC时，A，B，C三点存在“半分关系”，此时AC＝，∵AB＝6cm，∴AC＝4cm，③当BC＝2AC时，A，B，C三点存在“半分关系”，此时AC＝，∵AB＝6cm，∴AC＝2cm，综上，AC的长为3cm或4cm或2cm；故答案为：3或4或2；（3）当点E在点D右侧，且DE＝2OD时取最大值，∵点D表示的数是t，∴DE＝2OD＝2t，∴OE＝OD+DE＝3t，即点E表示的数为3t，当点E在点O左侧时，且OE＝2OD时取最小值，∵点D表示的数是t，∴OE＝2OD＝2t，即点E表示的数为﹣2t，∴点E表示的数的最大值与最小值的差为3t﹣（﹣2t）＝5t．【点评】本题主要考查数轴、列代数式，理解“半分关系”的定义，利用分类讨论的思想答题是解题关键．四．规律型：数字的变化类（共1小题）8．对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数．例如，对于数组P：1，2，3，因为：＝，＝，，取A为原点，B为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数．已知k是数组P的收纳系数，此时线段AB的端点A，B表示的数分别为a，b（a＜b）．（1）对数组P：1，2，﹣3，在1，，这三个数中，k可能是﹣；（2）对数组P：1，2，x，若k的最大值为，求x的值；（3）已知100个连续整数中第一个整数为x，从中选择n个数，组成数组P．①当x＝﹣80，且a＝3时，直接写出n的最大值；②当n＝100时，直接写出k的最大值和相应的|a+b|的最小值．【分析】（1）利用收纳系数的定义解答即可；（2）根据分类讨论的思想方法，利用收纳系数的定义列出方程解答即可；（3）①利用收纳系数的定义求出k的最小值，进而求得数组P中的最大值，利用最小值为﹣80即可求得n的最大值；②利用收纳系数的定义列出不等式，解不等式即可得出k的最大值，再依据k值和收纳系数的定义解答即可．【解答】解：（1）∵1×1＝1，2×1＝2，﹣3×1＝﹣3，1﹣（﹣3）＝1+3＝4＞1，∴k不可能为1；∵1×＝，2×，﹣3×＝﹣，＝＞1，∴k不可能为；∵1×＝﹣，2×＝﹣，﹣3×＝，＝1，∴k不可能为﹣．故答案为：﹣；（2）∵对数组P：1，2，x，若k的最大值为，∴将各数乘以k得：，，，∵AB是一条长为1个单位长度的线段，且这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，∴﹣＝1或＝1，解得：x＝4或x＝﹣1．∴x的值为4或﹣1；（3）①∵a＝3，∴b＝4．∵100个连续整数中第一个整数为x＝﹣80，∴﹣80k≤4，∴k≥﹣，∴k的最小值﹣．设数组P中的最大的数为m，∴﹣m＝3，∴m＝﹣60，∴n的最大值为﹣60﹣（﹣80）+1＝21，∴n的最大值为21；②当n＝100时，∵这100个数是连续整数，∴数组P中的最大的数与最小数之差为99，∴|k|的最大值．∴k的最大值为；当中间的数字为0时，|a+b|的值最小．∵n＝100，∴第50个或第51个数字为0时，|a+b|的值最小．当50个数字为0时，a＝﹣，b＝，∴|a+b|＝||＝；当51个数字为0时，a＝﹣，b＝，∴|a+b|＝||＝．综上，k的最大值为，相应的|a+b|的最小值．【点评】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值，本题是新定义型，准确理解新定义并熟练应用是解题的关键．五．一元一次方程的解（共1小题）9．如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：方程x−3＝0的解是x＝3，方程x−1＝0的解是x＝1．所以：方程x−3＝0是方程x−1＝0的“2—后移方程”．（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k—后移方程是（填“是”或“否”）；（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，求n的值；（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”求代数式6a+2b ﹣2（c+3）的值．【分析】（1）求出两个方程的解，利用“后移方程”的定义判断即可；（2）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；（3）分别表示出两个方程的解，根据“后移方程”的定义列出关系式即可．【解答】解：（1）解方程2x﹣3＝0，得x＝，解方程2x+1＝0，得x＝﹣，∵﹣（﹣）＝2，∴方程2x﹣3＝0是方程2x﹣1＝0的k—后移方程；故答案为：是；（2）解方程2x+m+n＝0，，解方程2x+m＝0，，∵关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，∴，∴n＝﹣4；（3）解方程ax+b＝1得，解方程ax+c＝1得，∵方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”，∴，∴c＝3a+b，把c＝3a+b代入6a+2b﹣2（c+3），原式＝2c﹣2c﹣6＝﹣6．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中“后移方程”的定义是解本题的关键．六．一元一次方程的应用（共3小题）10．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x p．（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数x p＝1；（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数x p 的值；（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．【分析】（1）根据点P到点A、点B的距离相等，结合数轴可得答案；（2）此题要分两种情况：①当P在AB左侧时，②当P在AB右侧时，再列出方程求解即可；（3）由点P恰好是点A，B的“2倍点”，列出方程可求解．【解答】解：（1）P为AB的中点，BP＝PA．依题意得4﹣x p＝x p﹣（﹣2），解得：x p＝1．故答案为：1；（2）由AB＝6，若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧．①P在点A左侧，PA＝﹣2﹣x p，PB＝4﹣x p，依题意得（﹣2﹣x p）+（4﹣x p）＝8，解得：x p＝﹣3；②P在点B右侧，PA＝x p﹣（﹣2）＝x p+2，PB＝x p﹣4，依题意得（x p+2）+（x p﹣4）＝8，解得：x p＝5．故P点对应的数是﹣3或5；（3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为﹣2+4t，点B对应的数为4+t，点P对应的数为5﹣3t，∵点P恰好是点A，B的“2倍点”，∴|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝2|（5﹣3t）﹣（4+t）|或2|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5﹣3t）﹣（4+t）|，解得：t＝﹣5（舍去）或t＝或t＝1.3或t＝，∴t的值或1.3或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离，利用数形结合法列出方程．11．阅读理解：若数轴上点A，B，C所表示的数分别是a，b，c，规定A，C两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，如AC＝|c﹣a|（或AC＝|a﹣c|）．若AC＝2BC，即|c﹣a|＝2|c﹣b|，我们称点C是[A，B]的“2倍关联点”．若BC＝2AC，即|c﹣b|＝2|c﹣a|，我们称点C是[B，A]的“2倍关联点”．例如：在图1中，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4．点C表示的数为2，因为AC ＝|2﹣（﹣2）|＝4，CB＝|4﹣2|＝2，所以AC＝2BC，我们称点C是[A，B]的“2倍关联点”；又如，点D表示的数0，因为AD＝|0﹣（﹣2）|＝2，DB＝|4﹣0|＝4，所以DB＝2AD，我们称点D是[B，A]的“2倍关联点”．（1）若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为6．①在数﹣3和6之间，数3所表示的点是[M，N]的“2倍关联点”；②在数轴上，数0或﹣12所表示的点是[N，M]的“2倍关联点”；（2）如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣30，点B所表示的数为50．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，运动时间为t秒；同时另一只电子蚂蚁Q从A点的位置开始，以3个单位每秒的速度向右运动，并与P同时停止．若P是[A，Q]的“2倍关联点”，求t的值；（3）在（2）的条件下，若P，A，B中恰有一个点为其余两个点的“2倍关联点”，直接写出t的值．【分析】（1）①设所求数为x，根据“2倍关联点”的定义列出方程x﹣（﹣3）＝2（6﹣x），解方程即可；②设所求数为用y，根据“2倍关联点”的定义分情况列出方程，解方程即可；（2）P点到A点的距离为80﹣5t，P点到Q点的距离为3t+5t﹣80或80﹣5t﹣3t，根据“2倍关联点”定义列出方程80﹣5t＝2（3t+5t﹣80）或80﹣5t＝2（80﹣5t﹣3t），解方程即可；（3）根据“2倍关联点”的定义可知分四种情况：①P为[A，B]的“2倍关联点”；②P 为[B，A]的“2倍关联点”，③B为[A，P]的“2倍关联点”，④A为[B，P]的“2倍关联点”．根据“2倍关联点”的定义列出方程，进而得出t的值．【解答】解：（1）①设所求数为x，由题意得x﹣（﹣3）＝2（6﹣x），解得x＝3，故答案为：3；②设所求的数为y，由题意得2（y+3）＝6﹣y或2（﹣3﹣y）＝6﹣y，解得y＝0或﹣12；故答案为：0或﹣12；（2）P表示的数是50﹣5t，Q表示的数﹣30+3t，根据“2倍关联点”的定义得：50﹣5t﹣（﹣30）＝2（3t+5t﹣80）或50﹣5t﹣（﹣30）＝2（80﹣5t﹣3t），解得t＝或，因此，当P是[A，Q]的“2倍关联点”时，t的值为或；（3）设点P表示的数为m，分以下几种情况：①P为[A，B]的“2倍关联点”，由题意，得m﹣（﹣30）＝2（50﹣m），解得m＝，∴t＝（50﹣）÷5＝；②P为[B，A]的“2倍关联点”，由题意，得50﹣m＝2[m﹣（﹣30）]，解得m＝﹣，∴t＝（50+）÷5＝；③B为[A，P]的“2倍关联点”，由题意，得50﹣（﹣30）＝2（50﹣m），解得m＝10，∴t＝（50﹣10）÷5＝8；④A为[B，P]的“2倍关联点”，由题意，得50﹣（﹣30）＝2[m﹣（﹣30）]，解得m＝10，∴t＝（50﹣10）÷5＝8；综上可知，当t为或或8时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的“2倍关联点”．【点评】本题考查了一元一次方程，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程＝时间×速度，认真理解新定义，由定义列出方程是本题的关键．12．已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2．（1）如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题：①P[B，A]＝4；②若点C在数轴上且C[A，B]＝1，则点C表示的数为2；③点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D所表示的数．（2）数轴上，点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（t ＞0）当M[E，F]＝3时，请直接写出t的值．【分析】（1）①根据新定义可解答；②根据新定义可解答；③根据新定义分两种情况：D在AB上或C在AB的延长线上，可得结论；（2）根据点M运动的速度可得M运动t秒表示的数为5t，分点M在F的左边和右边，根据新定义列方程可解答．【解答】解：（1）①∵点P表示﹣3，点A表示﹣1，点B表示5，∴PA＝﹣1﹣（﹣3）＝2，PB＝5﹣（﹣3）＝8，则P是[B，A]的“4倍点”，记作：P[B，A]＝4；故答案为：4；②∵点C在数轴上且C[A，B]＝1，∴点C表示的数为＝（﹣1+5）÷2＝2；故答案为：2；③∵D[A，B]＝2，∴DA＝2DB，∵点A表示﹣1，点B表示5，∴BD＝2或6，∴点D所表示的数为3或11；故答案为：3或11；（2）设点M在数轴上表示的数为a，∵M[E，F]＝3，∴EM＝3FM，∵点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，∴a+10＝3|50﹣a|，∴a＝35或80，当点M运动到点F的左边时，5t＝35，解得：t＝7；当点M运动到点F的右边时，5t＝80，解得：t＝16；综上所述，t的值为7或16．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离、动点问题，动点问题中熟练应用公式：路程＝速度×时间，认真理解新定义是解题的关键．七．角的计算（共1小题）13．给出如下定义：如果∠AOC+∠BOC＝90°，且∠AOC＝k∠BOC（k为正整数），那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”．（1）下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是①③（填写序号）；①∠BOC＝15°；②∠AOC＝70°；③OC是∠AOB的角平分线；（2）如图1，当∠BOC＝30°时，在图中画出∠BOC的一个“倍锐角”∠AOC；（3）如图2，当∠BOC＝60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”∠AOC＝80°或60°；（4）当∠BOC＝m°且存在它的“倍锐角”∠AOC时，则∠AOB＝90°或（90﹣2m）°．【分析】（1）根据给出的倍锐角的定义依次进行判断即可；（2）根据给出的倍锐角的定义求解即可；（3）根据给出的倍锐角的定义求解即可；（4）根据给出的倍锐角的定义分类讨论，画出图形，再求解即可得出结论．【解答】解：（1）①∠BOC＝15°，若∠AOC+∠BOC＝90°，那么∠AOC＝75°＝5∠BOC，∴∠AOC是∠BOC的倍锐角；②∠AOC＝70°，若∠AOC+∠BOC＝90°，那么∠BOC＝20°，两个角不是整数倍关系，∴∠AOC不是∠BOC的倍锐角；③∵OC平分∠AOB，若∠AOC+∠BOC＝90°，那么∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOC是∠BOC的倍锐角；∴能判断∠AOC是∠BOC的倍锐角的是①③；故答案为：①③；（2）∠BOC＝30°，若∠AOC+∠BOC＝90°，那么∠AOC＝60°＝2∠BOC，有以下两种情况：（3）∵∠BOC＝60°，且射线OB绕O点每次旋转10°，∴∠BOC的取值有0°，10°，20°，30°，40°，50°，60°，70°，80°，90°这几种，对每个可能的值进行分析可知，只有两种情况下，∠AOC是∠BOC的倍锐角：①当∠BOC＝10°时，∠AOC＝80°＝8∠BOC；②当∠BOC＝30°时，∠AOC＝60°＝2∠BOC；∴∠AOC可能的取值有80°和60°这两种情况；故答案为：80°或60；（4）若∠BOC存在它的倍锐角∠AOC，其几何图示有图中画出的的两种情况：①如图，当OA在OC的上方时，∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝90°；②如图，当OA在OC的上方时，∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝90°﹣∠BOC﹣∠BOC＝（90﹣2m）°；∴∠AOB的取值有90°和（90﹣2m）°这两种情况．故答案为：90°或（90﹣2m）．【点评】本题在角的背景下的新定义问题，主要考查角的和差倍分关系，分类讨论思想等相关知识，解题关键是根据题意进行正确的分类讨论．。

2022~2023学年北京市七年级第一学期期末数学试卷分类汇编——新定义一．数轴（共3小题）1．（2022秋•延庆区期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m 和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有AC+BC＝5，则称点C为点A，B的“5和距离点”．（1）如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m 的值是；（2）如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为；（3）如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足BE＝AE，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值．2．（2022秋•丰台区期末）在数轴上，点O表示的数为0，点M表示的数为m（m≠0）．给出如下定义：对于该数轴上的一点P与线段OM上一点Q，如果线段PQ的长度有最大值，那么称这个最大值为点P与线段OM的“闭距离”．如图1，若m＝﹣1，点P表示的数为3，当点Q与点M重合时，线段PQ的长最大，值是4，则点P与线段OM的“闭距离”为4．（1）如图2，在该数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．①当m＝1时，点A与线段OM的“闭距离”为；②若点B与线段OM的“闭距离”为3，求m的值；（2）在该数轴上，点C表示的数为﹣m，点D表示的数为﹣m+2，若线段CD上存在点G，使得点G与线段OM的“闭距离”为4，直接写出m的最大值与最小值．3．（2022秋•石景山区期末）对于数轴上的点P，Q，给出如下定义：记点P到原点的距离为m（m≠0），点Q到P的距离为n，如果n＝m+2，那么称点Q是点P的关联点．（1）点A表示的数是1．若点B1，B2，B3表示的数分别是﹣2，2，4，则点B1，B2，B3中，是点A关联点的是；（2）若点C，D位于原点两侧，D是点C的关联点，则点D表示的数是；（3）点E表示的数为a，点F表示的数为3a﹣5．若点F是点E的关联点，则a的值是．二．有理数的混合运算（共3小题）4．（2022秋•西城区期末）小东对有理数a，b定义了一种新的运算，叫做“乘减法”，记作“a⊗b”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：（+3）⊗（+2）＝+1，（+11）⊗（﹣3）＝﹣8，（﹣2）⊗（+5）＝﹣3，（﹣6）⊗（﹣1）＝+5，（）⊗（+1）＝，（﹣4）⊗（+0.5）＝﹣3.5，（﹣8）⊗（﹣8）＝0，（+2.4）⊗（﹣2.4）＝0，（+23）⊗0＝+23，0⊗（﹣）＝+．小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的‘乘减法’法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．”（1）请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整：绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得，异号得，并；绝对值相等的两数相“乘减”，都得0；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值．（2）若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，①用“乘减法”计算：[（+3）⊗（﹣2）]⊗[（﹣9）⊗0]＝；②小东发现交换律在有理数的“乘减法”中仍然成立，即a⊗b＝b⊗a．但是结合律在有理数的“乘减法”中不一定成立，请你举一个例子说明（a⊗b）⊗c＝a⊗（b⊗c）不成立．5．（2022秋•朝阳区期末）阅读材料，并回答问题对于某种满足乘法交换律的运算，如果存在一个确定的有理数n，使得任意有理数a和它进行这种运算后的结果都等于a本身，那么n叫做这种运算下的单位元．如果两个有理数进行这种运算后的结果等于单位元，那么这两个有理数互为逆元．由上述材料可知：（1）有理数在加法运算下的单位元是，在乘法运算下的单位元是；在加法运算下，3的逆元是，在乘法运算下，某个数没有逆元，这个数是；（2）在有理数范围内，我们定义一种新的运算：x*y＝x+y﹣xy，例如3*2＝3+2﹣3×2＝﹣1．①求在这种新的运算下的单位元；②在这种新的运算下，求任意有理数m的逆元（用含m的代数式表示）．6．（2022秋•顺义区期末）如图表示3×3的数表：我们规定：a*b表示数表中第a行第b列的数．例如：数表中第2行第1列的数为4，记作2*1＝4．请根据以上规定回答下列问题：（1）3*2＝．（2）若3*3＝1*2，则a＝．（3）若2*3＝（2x+1）*1，求x的值．三．列代数式（共1小题）7．（2022秋•大兴区期末）如图，点A，B，C是同一直线上互不重合的三个点，在线段AB，BC，CA中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称A，B，C三点存在“半分关系”．（1）当点C是线段AB的中点时，A，B，C三点（填“存在”或“不存在”）“半分关系”；（2）已知AB＝6cm，点C在线段AB上，若A，B，C三点存在“半分关系”，则AC的长为cm；（3）已知点D，O，E是数轴上互不重合的三个点，点O为原点，点D表示的数是t（t 是正数），且D，O，E三点存在“半分关系”，直接写出点E表示的数的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．四．规律型：数字的变化类（共1小题）8．（2022秋•海淀区期末）对于由若干不相等的整数组成的数组P和有理数k给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段AB，使得将数组P中的每一个数乘以k 之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称k为数组P的收纳系数．例如，对于数组P：1，2，3，因为：＝，＝，，取A为原点，B为表示数1的点，那么这三个数都可以用线段AB上的某个点来表示，可以判断是P的收纳系数．已知k是数组P的收纳系数，此时线段AB的端点A，B表示的数分别为a，b（a＜b）．（1）对数组P：1，2，﹣3，在1，，这三个数中，k可能是；（2）对数组P：1，2，x，若k的最大值为，求x的值；（3）已知100个连续整数中第一个整数为x，从中选择n个数，组成数组P．①当x＝﹣80，且a＝3时，直接写出n的最大值；②当n＝100时，直接写出k的最大值和相应的|a+b|的最小值．五．一元一次方程的解（共1小题）9．（2022秋•平谷区期末）如果两个方程的解相差k，且k为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“k—后移方程”．例如：方程x−3＝0的解是x＝3，方程x−1＝0的解是x＝1．所以：方程x−3＝0是方程x−1＝0的“2—后移方程”．（1）判断方程2x﹣3＝0是否为方程2x﹣1＝0的k—后移方程（填“是”或“否”）；（2）若关于x的方程2x+m+n＝0是关于x的方程2x+m＝0的“2—后移方程”，求n的值；（3）当a≠0时，如果方程ax+b＝1是方程ax+c＝1的“3—后移方程”求代数式6a+2b ﹣2（c+3）的值．六．一元一次方程的应用（共3小题）10．（2022秋•东城区期末）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x p．（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数x p＝；（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数x p 的值；（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．11．（2022秋•怀柔区期末）阅读理解：若数轴上点A，B，C所表示的数分别是a，b，c，规定A，C两点之间的距离可表示为两点所表示的数的差的绝对值，如AC＝|c﹣a|（或AC＝|a﹣c|）．若AC＝2BC，即|c﹣a|＝2|c﹣b|，我们称点C是[A，B]的“2倍关联点”．若BC＝2AC，即|c﹣b|＝2|c﹣a|，我们称点C是[B，A]的“2倍关联点”．例如：在图1中，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4．点C表示的数为2，因为AC ＝|2﹣（﹣2）|＝4，CB＝|4﹣2|＝2，所以AC＝2BC，我们称点C是[A，B]的“2倍关联点”；又如，点D表示的数0，因为AD＝|0﹣（﹣2）|＝2，DB＝|4﹣0|＝4，所以DB＝2AD，我们称点D是[B，A]的“2倍关联点”．（1）若M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为6．①在数﹣3和6之间，数所表示的点是[M，N]的“2倍关联点”；②在数轴上，数所表示的点是[N，M]的“2倍关联点”；（2）如图2，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣30，点B所表示的数为50．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止，运动时间为t秒；同时另一只电子蚂蚁Q从A点的位置开始，以3个单位每秒的速度向右运动，并与P同时停止．若P是[A，Q]的“2倍关联点”，求t的值；（3）在（2）的条件下，若P，A，B中恰有一个点为其余两个点的“2倍关联点”，直接写出t的值．12．（2022秋•通州区期末）已知：点A、B、P为数轴上三点，我们规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的k倍，则称P是[A，B]的“k倍点”，记作：P[A，B]＝k．例如：若点P表示的数为0，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作：P[A，B]＝2．（1）如图，A、B、P为数轴上三点，回答下面问题：①P[B，A]＝；②若点C在数轴上且C[A，B]＝1，则点C表示的数为；③点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D所表示的数．（2）数轴上，点E表示的数为﹣10，点F表示的数为50，从某时刻开始，若点M从原点O出发向右在数轴上做匀速直线运动，且M的速度为5单位/秒，设运动时间为t秒（t ＞0）当M[E，F]＝3时，请直接写出t的值．七．角的计算（共1小题）13．（2022秋•昌平区期末）给出如下定义：如果∠AOC+∠BOC＝90°，且∠AOC＝k∠BOC （k为正整数），那么称∠AOC是∠BOC的“倍锐角”．（1）下列三个条件中，能判断∠AOC是∠BOC的“倍锐角”的是（填写序号）；①∠BOC＝15°；②∠AOC＝70°；③OC是∠AOB的角平分线；（2）如图1，当∠BOC＝30°时，在图中画出∠BOC的一个“倍锐角”∠AOC；（3）如图2，当∠BOC＝60°时，射线OB绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”∠AOC＝°；（4）当∠BOC＝m°且存在它的“倍锐角”∠AOC时，则∠AOB＝°．。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！【拔尖特训】2022-2023学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题9.8不等式（组）的新定义问题大题专练（重难点培优30题）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题（共30小题）1．（2022春•庐阳区校级期中）对于任意实数m、n，定义一种新运算：m*n＝m﹣3n+7，等式右边是通常的加减运算，例如：2*3＝2﹣3×3+7＝0．（1）（8*2）的平方根为　±3　；（2）若关于x的不等式组3t＜2*x＜7解集中恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，求出平方根即可；（2）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：8*2＝8﹣3×2+7＝8﹣6+7＝9，则9的平方根是±3；故答案为：±3；（2）根据题中的新定义化简得：3t＜2﹣3x+7＜7，解得：23＜x＜﹣t+3，∵该不等式的解集有3个整数解，∴该整数解为1，2，3，∴3＜﹣t+3≤4，解得：﹣1≤t＜0．2．（2021春•嘉鱼县期末）定义一种新运算“a△b”：当a≥b时，a△b＝a+2b；当a＜b时，a△b＝a﹣2b．例如：3△（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5，1△2＝1﹣2×2＝﹣3．（1）填空：（﹣4）△3＝　﹣10　；（直接写结果）（2）若（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），求m的取值范围；（3）已知（3x﹣7）△（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）根据新定义结合已知条件知3m﹣4≥m+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3m﹣4）△（m+6）＝（3m﹣4）+2（m+6），∴3m﹣4≥m+6，解得：m≥5；（3）由题意知，3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．3．阅读下面材料：对于实数p，q，我们定义符号max{p，q}的意义为：当p≤q时，max{p，q}＝q；当p＞q时，max{p，q}＝p，如：max{2．﹣1}＝2；max{3，3}＝3．根据上面的材料回答下列问题：（1）max{﹣1，3}＝　3　；（2）当max{3x−12，2x13}=2x13时，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义即可求得；（2）根据题意得出3x−12≤2x13，解不等式即可求得结论．【解答】解：（1）max{﹣1，3}＝3，故答案为3；（2）由定义得，3x−12≤2x13，9x﹣3≤4x+2，5x≤5，x≤1，故的取值范围是x≤1．4．（2020春•朝阳区校级期中）请你根据右框内所给的内容，完成下列各小题．（1）若m⊕n＝1，m⊕2n＝﹣2，分别求出m和n的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．【分析】（1）根据新定义列出关于m、n的方程组，解之可得；（2）根据新定义列出关于m、n的不等式组，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：4m−3n=14m−6n=−2，解得：m=1 n=1；（2）根据题意，得：4m−6≤012m+24＞0，解得：﹣2＜m≤3 2．故m的取值范围是﹣2＜m≤3 2．5．（2022春•如皋市期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算：m◎n＝m+n﹣5，其中，等式右边是通常的加减运算．如：2◎3＝2+3﹣5＝0．若关于x的不等式组t＜2◎x＜7恰有3个整数解，求t的取值范围．【分析】已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出t的范围即可．【解答】解：由题意得：t＜2+x﹣5＜7．即t＜x﹣3＜7，∴t+3＜x＜10，∵该不等式组恰有3个整数解，即整数解x＝7，8，9，∴6≤t+3＜7，解得3≤t＜4．故t的取值范围是3≤t＜4．6．（2022春•新郑市期末）对于任意实数x，y定义一种新运算“#”：x#y＝xy+x﹣y．例如，3#5＝3×5+3﹣5＝13．（1）解不等式：3#x＜4；（2）若m＜2#x＜9，且该不等式组的解集中恰有两个整数解，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据新定义列出不等式3x+3﹣x＜4，解之即可；（2）由新定义得出2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解之得出x＞m﹣2且x＜7，结合不等式组的整数解个数得出4≤m﹣2＜5，解之即可．【解答】解：（1）∵3#x＜4，∴3x+3﹣x＜4，解得x＜0.5；（2）∵m＜2#x＜9，∴2x+2−x＞m①2x+2−x＜9②，解不等式①，得：x＞m﹣2，解不等式②，得：x＜7，∵不等式组有2个整数解，∴4≤m﹣2＜5，∴6≤m＜7．7．（2018春•房山区期中）定义：对于任何有理数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣1.5]＝﹣2．（1）[﹣π]＝　﹣4　；（2）如果[x−12]＝﹣5，求满足条件的所有整数x；（3）直接写出方程6x﹣3[x]+7＝0的解　x=−83或x=−196　．【分析】（1）由定义直接得出即可；（2）根据题意得出﹣5≤x−12＜−4，求出x的取值范围，从而得出满足条件的所有正整数的解；（3）整理得出[x]=76x3，方程右边式子为整数，表示出x只能为负数，得出x﹣1＜76x3＜x，求出x的取值范围，确定出方程的解即可．【解答】解：（1）由题可得，[﹣π]＝﹣4；故答案为：﹣4；（2）﹣5≤x−12＜−4，解得﹣9≤x＜﹣7整数解为﹣9，﹣8；（3）由6x﹣3[x]+7＝0，得[x]=76x 3，所以76x3为整数，则（7+6x）为3的倍数，即x=3n−76（n为整数），又x﹣1＜76x3＜x，解得−206＜x＜−146；易知n＝﹣3时，3n﹣7＝﹣16符合要求，n＝﹣4时，3n﹣7＝﹣19符合要求，所以x=−83或x=−196．故答案为：x=−83或x=−196．8．（2022春•唐县期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}＝﹣1，min=（1）min{﹣2，﹣3}＝　﹣3　；（2）若min{3x﹣1，2}＝2，求x的取值范围；【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；故答案为：﹣3；（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，∴3x﹣1≥2，解得：x≥1．9．（2022春•大观区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“⊕”其运算规则为：a⊕b＝2a−32（a+b），如1⊕5＝2×1−32（1+5）＝﹣7．（1）若x⊕4＝0，则x＝　12　．（2）若关于x的方程x⊕m＝﹣2⊕（x+4）的解为非负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据所给的运算列出关于x的方程，解方程即可．（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：（1）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕4＝2x−32（x+4）=12x﹣6，∵x⊕4＝0，∴12x﹣6＝0，解得x＝12，故答案为：12；（2）∵a⊕b＝2a−32（a+b），∴x⊕m＝2x−32（x+m）=12x−32m，﹣2⊕（x+4）＝2×（﹣2）−32（﹣2+x+4）＝﹣4+3−32x﹣6=−32x﹣7，∴12x−32m=−32x﹣7，解得x=34m−72，∵关于x的方程（x⊕m）＝[﹣2⊕（x+4）]的解为非负数，∴34m−72≥0，∴m≥14 3，∴m的取值范围为m≥14 3．10．（2022春•三水区校级期中）定义一种新运算“a※b”：当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a ﹣b．例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．（1）填空；（﹣3）※2＝　﹣8　；（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝　5x2+4x　；（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），则x的取值范围为　x≥7　．（3）已知（2x﹣6）※（9﹣3x）＜7，求x的取值范围．【分析】（1）根据新运算公式计算可得；（2）结合新运算公式知3x﹣4≥2x+3，解之可得；（3）分两种情况得到关于x的不等式组，分别求解可得．【解答】解：（1）（﹣3）※2＝2×（﹣3）﹣2＝﹣8；∵（2x2+2x+2）﹣（x2﹣4）＝x2+2x+6＝（x+1）2+5＞0，∴（2x2+2x+2）※（x2﹣4）＝2（2x2+2x+2）+（x2﹣4）＝5x2+4x；故答案为：﹣8，5x2+4x；（2）∵（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），∴3x﹣4≥2x+3，解得：x≥7，故答案为：x≥7．（3）当2x﹣6≥9﹣3x时，则2（2x﹣6）+（9﹣3x）＜7，解得3≤x＜10；当2x﹣6＜9﹣3x时，则2（2x﹣6）﹣（9﹣3x）＜7，解得x＜3；综上，x的取值范围为：x＜10．11．（2018•余姚市模拟）请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题．（1）若x⊕y＝1，x⊕2y＝﹣2，分别求出x和y的值；（2）若x满足x⊕2≤0，且3x⊕（﹣8）＞0，求x的取值范围．【分析】（1）根据定义新运算得到二元一次方程组，再解方程组即可求解；（2）根据定义新运算得到一元一次不等式组，再解不等式组即可求解．【解答】解：（1）根据题意得4x−3y=14x−3×2y=−2，解得x=1 y=1；（2）根据题意得4x−3×2≤04×3x−3×(−8)＞0，解得﹣2＜x≤3 2．故x的取值范围是﹣2＜x≤3 2．12．（2022•南京模拟）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　；（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围；（4）计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）．【分析】（1）根据新定义计算可得；（2）结合新定义知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）由题意可得3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；（4）先利用作差法判断出2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，再根据新定义计算（2x2+4x+8）*（x2+4x﹣2）即可求解．【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣8﹣6＝﹣10．故答案为：﹣10；（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），∴3x﹣4≥x+6，解得：x≥5．故答案为：x≥5；（3）由题意知3x−7≥3−2x3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x＞5或x＜1．故x的取值范围是x＞5或x＜1；（4）∵2x2+4x+8﹣（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8﹣x2﹣4x+2＝x2+10＞0；∴2x2+4x+8＞x2+4x﹣2，原式＝2x2+4x+8+2（x2+4x﹣2）＝2x2+4x+8+2x2+8x﹣4＝4x2+12x+4．13．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a，b，我们定义符号min{a，b}的意义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a≥b时，min{a，b}＝b，如：min{4，﹣2}＝﹣2，min{5，5}＝5．根据上面的材料回答下列问题：（1）min{﹣1，3}＝　﹣1　；（2）当min{2x−32，x23}=x23时，求x的取值范围．【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出2x−32≥x23，解不等式即可判断x的取值范围．【解答】解：（1）由题意得min{﹣1，3}＝﹣1；故答案为：﹣1；（2）由题意得：2x−32≥x233（2x﹣3）≥2（x+2）6x﹣9≥2x+44x≥13x≥13 4，∴x的取值范围为x≥13 4．14．（2021春•罗湖区校级期末）已知关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m．（1）当m＝2时，请解关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m；（2）若关于x、y的方程组x−y=11−mx+y=7−3m中，x为非负数、y为负数，①试求m的取值范围；②当m取何整数时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．【分析】（1）把m＝2代入原方程组，再利用加减法解方程组即可；（2）①把m看作常数，解方程组，根据x为非负数、y为负数，列不等式组解出即可；②根据不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，求出m的取值范围，综合①即可解答．【解答】解：（1）把m＝2代入方程组x−y=11−mx+y=7−3m中得：x−y=9①x+y=1②，①+②得：2x＝10，x＝5，①﹣②得：﹣2y＝8，y＝﹣4，∴方程组的解为：x=5y=−4；（2）①x−y=11−m①x+y=7−3m②，①+②得：2x＝18﹣4m，x＝9﹣2m，①﹣②得：﹣2y＝4+2m，y＝﹣2﹣m，∵x为非负数、y为负数，∴9−2m≥0−2−m＜0，解得：﹣2＜m≤92；②3mx+2x＞3m+2，（3m+2）x＞3m+2，∵不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1，∴3m+2＜0，∴m＜−2 3，由①得：﹣2＜m≤9 2，∴﹣2＜m＜−2 3，∵m整数，∴m＝﹣1；即当m＝﹣1时，不等式3mx+2x＞3m+2的解为x＜1．15．（2020春•海淀区校级期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2关联方程是　③　（填序号）．（2）若不等式组x−12＜11+x＞−3x+2的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是　2x﹣2＝0　（写出一个即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，试求出m的取值范围．【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其整数解，根据关联方程的定义写出一个解为1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1 3，②解方程23x+1＝0得：x=−32，③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2得：34＜x＜72，所以不等式组−x+2＞x−53x−1＞−x+2的关联方程是③，故答案为：③；（2）解不等式x−12＜1得：x＜1.5，解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，则不等式组的解集为0.25＜x＜1.5，∴其整数解为1，则该不等式组的关联方程为2x﹣2＝0．故答案为：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得x＝2，解不等式组x＜2x−mx−2≤m得m＜x≤m+2，∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是关于x的不等式组x＜2x−mx−2≤m的关联方程，∴1≤m ＜2．16．（2019春•宜宾期末）定义：对于任何有理数m ，符号[m ]表示不大于m 的最大整数．例如：[4.5]＝4，[8]＝8，[﹣3.2]＝﹣4．（1）填空：[π]＝　3　，[﹣2.1]+5＝　2　；（2）如果[5−2x 3]＝﹣4，求满足条件的x 的取值范围；（3）求方程4x ﹣3[x ]+5＝0的整数解．【分析】（1）根据题目所给信息求解；（2）根据题意得出：﹣4≤5−2x 3＜−3，求出x 的取值范围；（3）整理方程得[x ]=4x 53，根据定义得出x ﹣1＜4x 53≤x ，解不等式组求得x 的取值范围，即可求得整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，由[x ]是整数，则满足4x 53为整数，即可求得x ＝﹣5．【解答】解：（1）由题意得：[π]＝3，[﹣2.1]+5＝﹣3+5＝2，故答案为3，2；（2）根据题意得：﹣4≤5−2x 3＜−3，解得：7＜x ≤172，则满足条件的x 的取值范围为7＜x ≤172；（3）整理得：[x ]=4x 53，∴x ﹣1＜4x 53≤x 解得不等式组的解集为：﹣8＜x ≤﹣5，∴整数x 为﹣7，﹣6，﹣5，∵[x ]是整数，∴4x 53为整数，∴x ＝﹣5，∴方程的整数解为x ＝﹣5．17．（2020春•西城区校级期中）阅读理解：我们把对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为《x 》，即当n为非负整数时，若n −12≤x ＜n +12，则《x 》＝n ．例如：《0.67》＝1，《2.49》＝2，…．请解决下列问题：（1）》＝　1　；（2）若《2x ﹣1》＝5，则实数x 的取值范围是　114≤x ＜134　；（3）①《2x 》＝2《x 》；②当m 为非负整数时，《m +2x 》＝m +《2x 》；③满足《x 》=32x 的非负实数x 只有两个，其中结论正确的是　②③　．（填序号）【分析】（1）根据题意判断即可；（2）我们可以根据题意所述利用不等式解答；（3）根据题意可以判断题目中各个结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：（1）1．（2）若《2x ﹣1》＝5，则5−12≤2x ﹣1＜5+12，解得114≤x ＜134．（3）《2x 》＝2《x 》，例如当x ＝0.3时，《2x 》＝1，2《x 》＝0，故①错误；当m 为非负整数时，不影响“四舍五入”，故《m +2x 》＝m +《2x 》，故②正确；《x 》=32x ，则32x −12≤x ＜32x +12，解得﹣1＜x ≤1，∵32x 为非负整数，∴x ＝0或23，故③正确．故答案为：1；114≤x ＜134；②③．18．（2022春•定远县期末）阅读材料：如果x 是一个有理数，我们把不超过x 的最大整数记作[x ]．例如，[3.2]＝3，[5]＝5，[﹣2.1]＝﹣3，那么，x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1．例如，3.2＝[3.2]+0.2，5＝[5]+0，﹣2.1＝[﹣2.1]+0.9．请你解决下列问题：（1）[4.8]＝　4　，[﹣6.5]＝　﹣7　；（2）如果[x ]＝5，那么x 的取值范围是 5≤x ＜6　；（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么x 的值是 53　；（4）如果x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，且4a ＝[x ]+1，求x 的值．【分析】（1）根据新定义直接求解；（2）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义即可求解；（3）根据[x ]表示不超过x 的最大整数的定义得：3x +1≤5x ﹣2＜3x +2，且3x +1是整数，计算可得结论；（4）根据4a ＝[x ]+1，表示a ，再根据a 的范围建立不等式x 值．【解答】解：（1）[4.8]＝4，[﹣6.5]＝﹣7．故答案为：4，﹣7．（2）如果[x ]＝5．那么x 的取值范围是5≤x ＜6．故答案为：5≤x ＜6．（3）如果[5x ﹣2]＝3x +1，那么3x +1≤5x ﹣2＜3x +2．解得：32≤x ＜2，∵3x +1是整数．∴x =53．故答案为：53．（4）∵x ＝[x ]+a ，其中0≤a ＜1，∴[x ]＝x ﹣a ，∵4a ＝[x ]+1，∴a =[x]14．∵0≤a ＜1，∴0≤[x]14＜1，∴﹣1≤[x ]＜3，∴[x ]＝﹣1，0，1，2．当[x ]＝﹣1时，a ＝0，x ＝﹣1；当[x ]＝0时，a =14，x =14；当[x ]＝1时，a =12，x =112；当[x ]＝2时，a =34，x =234；∴x ＝﹣1或14或112或234．19．（2021春•镇江期末）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即当n为非负整数时，若n−1 2≤x＜n+12，则＜x＞＝n．如：＜3.2＞＝3，＜3.5＞＝4，＜3.8＞＝4．根据以上材料，解决下列问题：（1）填空：＜3.45＞＝　3　；（2）若＜2x+1＞＝3，求x满足的条件；（3）下面两个命题：①如果x≥0，m为非负整数，那么＜x+m＞＝m+＜x＞；②如果x≥0，k为非负整数，那么＜kx＞＝k＜x＞；请判断在这两个命题中属于假命题的是　②　，并举反例说明；（4）满足＜x＞=23x+1的所有非负实数x的值为　32或3　．【分析】（1）根据定义即可求解；（2）根据定义列出不等式即可求解；（3）通过举反例即可判断；（4）根据定义列出不等式即可求解．【解答】解：（1）∵3−12＜3.45＜3+12，∴＜3.45＞＝3，故答案为：3；（2）∵＜2x+1＞＝3，∴52≤2x+1＜72，解得：34≤x＜54；（3）②是假命题；反例为：x＝1.4，k＝2，＜kx＞＝＜2.8＞＝3，而k＜x＞＝2×＜1.4＞＝2×1＝2，＜kx＞≠k＜x＞；故答案为：②；（4）设23x+1=m，m为整数，则x=3m−32，∴[x]＝[3m−32]＝m，∴m−12≤3m−32＜m+12，∴2≤m＜4，∵m为整数，∴m＝2，或m＝3，∴x=32或x＝3．20．（2020春•崇川区校级期末）若x为实数，定义：[x]表示不大于x的最大整数．（1）例如[1.6]＝1，[π]＝　3　，[﹣2.82]＝　﹣3　．（请填空）（2）[x]+1是大于x的最小整数，对于任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，利用这个不等式，求出满足[x]＝2x﹣1的所有解．【分析】（1）根据[x]表示不大于x的最大整数即可求解；（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得x的取值范围，本题得以解决．【解答】解：（1）[π]＝3，[﹣2.82]＝﹣3．故答案为：3，﹣3．（2）∵对任意的实数x都满足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得0＜x≤1，∵2x﹣1是整数，∴x＝0.5或x＝1，21．（2018春•开州区期末）设x是实数，现在我们用{x}表示不小于x的最小整数，如{3.2}＝4，{﹣2.6}＝﹣2，{4}＝4，{﹣5}＝5．在此规定下任一实数都能写出如下形式：x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1．（1）直接写出{x}与x，x+1的大小关系是　x≤{x}＜x+1　（由小到大）；（2）根据（1）中的关系式解决下列问题：①求满足{3x+11}＝6的x的取值范围；②解方程：{3.5x+2}＝2x−1 4．【分析】（1）x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，即可判断三者的大小关系，（2）根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，解之即可，②根据（1）中的关系得到关于x的一元一次不等式组，且2x−14为整数，即可求解．【解答】解：（1）∵x＝{x}﹣b，其中0≤b＜1，∴b＝{x}﹣x，即0≤{x}﹣x＜1，∴x≤{x}＜x+1，故答案为：x≤{x}＜x+1，（2）①∵{3x+11}＝6，∴3x+11≤6＜（3x+11）+1，解得：﹣2＜x≤−5 3，即满足{3x+11}＝6的x的取值范围为：﹣2＜x≤−5 3，②∵{3.5x+2}＝2x−1 4，∴3.5x+2≤2x−14＜（3.5x+2）+1，且2x−14为整数，解不等式组得：−136＜x≤−32，∴−5512＜2x−14≤−314，整数2x−14为﹣4，解得：x=−15 8，即原方程的解为：x=−15 8．22．（2022•南京模拟）阅读材料：我们定义一个关于有理数a，b的新运算，规定：a⊕b＝4a﹣3b．例如：5⊕6＝4×5﹣3×6＝2．完成下列各小题．（1）若a⊕b＝1，a⊕2b＝﹣5，分别求出a和b的值；（2）若m满足m⊕2≤0，且3m⊕（﹣8）＞0，求m的取值范围．【分析】（1）根据新运算，得到方程组，解方程组即可求解；（2）根据新运算，得到不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）根据题意，得4a−3b=14a−3×2b=−5，解得：a=74 b=2，∴a和b的值分别为a=74，b＝2；（2）根据题意，得4m−3×2≤04×3m−3×(−8)＞0，解得：−2＜m≤3 2．∴m的取值范围−2＜m≤3 2．23．（2020春•长沙期末）对x、y定义一种新运算F，规定：F（x，y）＝ax+by（其中a，b均为非零常数）．例如：F （2，3）＝2a +3b ．（1）已知F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3．①求a ，b 的值．②已知关于p 的不等式组F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1求p 的取值范围；（2）若运算F 满足−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5，请你求出F （k ，k ）的取值范围（用含k 的代数式表示，这里k 为常数且k ＞0）．【分析】（1）①根据F （2，﹣1）＝﹣1，F （3，0）＝3列出关于a 、b 的方程组，解之可得；②由F(3−2p ，3)≥4F(2，2−3p)＜−1列出关于p 的不等式组，解之可得；（2）根据−2＜F(1，2)≤4−1＜F(2，1)≤5列出关于a 、b 的不等式组，相加得出a +b 的取值范围，再进一步求解可得．【解答】解：（1）①由题意知2a−b =−13a =3，解得a =1b =3；②由题意知3−2p +9≥42+6−9p ＜−1，解得1＜p ≤4；（2）由题意知−2＜a +2b ≤4−1＜2a+b ≤5，∴﹣3＜3a +3b ≤9，∴﹣1＜a +b ≤3，∵F （k ，k ）＝ka +kb ，且﹣k ＜k （a +b ）≤3k ，∴﹣k ＜F （k ，k ）≤3k ．24．（2021春•朝阳区校级期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整．问题：在关于x ，y 的二元一次方程组x−y =2x +y =a 中，x ＞1，y ＜0，求a 的取值范围．分析：在关于x 、y 的二元一次方程组中，利用参数a 的代数式表示x ，y ，然后根据x ＞1，y ＜0列出关于参数a 的不等式组即可求得a 的取值范围．解：由x−y =2x +y =a 解得x =a 22y =a−22，又因为x ＞1，y ＜010解得 0＜a ＜2　．（2）请你按照上述方法，完成下列问题：①已知x ﹣y ＝4，且x ＞3，y ＜1，求x +y 的取值范围；②已知a ﹣b ＝m ，在关于x ，y 的二元一次方程组2x−y =−1x +2y =5a−8中，x ＜0，y ＞0，请直接写出a +b 的取值范围 3﹣m ＜a +b ＜4﹣m （结果用含m 的式子表示）．【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）①根据（1）阅读中的方法解题即可求解；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，根据x ＜0，y ＞0可得1.5＜a ＜2，进一步得到a +b 的取值范围．【解答】解：（11①＜0②，∵解不等式①得：a ＞0，解不等式②得：a ＜2，∴不等式组的解集为0＜a ＜2，故答案为：0＜a ＜2；（2）①设x +y ＝a ，则x−y =4x +y =a ，解得：x =y =a−42，∵x ＞3，y ＜1，＞3＜1，解得：2＜a ＜6，即2＜x +y ＜6；②解方程组2x−y =−1x +2y =5a−8得：x =a−2y =2a−3，∵x ＜0，y ＞0，∴a−2＜02a−3＞0，解得：1.5＜a ＜2，∵a ﹣b ＝m ，∴b ＝a ﹣m ，a +b ＝a +a ﹣m ，∵1.5＜a＜2，∴3﹣m＜a+a﹣m＜4﹣m，∴3﹣m＜a+b＜4﹣m．故答案为：3﹣m＜a+b＜4﹣m．25．（2021•椒江区校级开学）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a⊕b＝a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算，例如：3⊕5＝3﹣3×5+7＝﹣5．（1）7⊕4＝　2　；⊕10　．（2）若2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，求xy的平方根；（3）若3m＜2⊕x＜7，且解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．【分析】（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算求出x与y的值，计算出xy的值，求出平方根即可；（3）已知不等式利用题中的新定义化简，根据解集中恰有3个整数解，确定出m的范围即可．【解答】解：（1）根据题中的新定义得：7⊕4＝7﹣3×4+7＝2；1）31）+7=+3+7＝﹣10；故答案为：2；﹣10；（2）∵2x⊕y＝12，x⊕3＝2y，∴2x−3y+7=12 x−9+7=2y，解得：x=4 y=1，则xy＝4，4的平方根是±2；（3）由题意得：2−3x+7＜7①2−3x+7＞3m②，由①得：x＞2 3，由②得：x＜3﹣m，∴不等式组的解集为23＜x＜3﹣m，∵该不等式组有3个整数解，整数解为1，2，3，∴3＜3﹣m≤4，解得：﹣1≤m＜0．26．（2020春•微山县期末）阅读新知现对x，y进行定义一种运算，规定f（x，y）=mx ny2（其中m，n为常数且mn≠0），等式的右边就是加、减、乘、除四则运算．例如：f（2，0）=m×2n×02=m应用新知（1）若f（1，1）＝5，f（2，1）＝8，求m，n的值；拓展应用（2）已知f（﹣3，0）＞﹣3，f（3，0）＞−92，且m+n＝16，请你求出符合条件的m，n的整数值．【分析】（1）根据题中的新定义列出关于m与n的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，求得不等式组的解，根据m+n＝16确定出m、n的整数值．【解答】解：（15=8，解得：m=6 n=4；（2＞−3−92，解得：﹣3＜m＜2，∵m、n是整数，且m+n＝16，∴m=−2n=18或m=−1n=17或m=1n=15．27．（2020春•邗江区期末）定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．（1）填空：（﹣4）*3＝　﹣10　．（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为　x≥5　．（3）计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）＝　4x2+3　．（4）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．【分析】（1）根据公式计算可得；（2）结合公式知3x﹣4≥x+6，解之可得；（3）先利用作差法判断出2x2﹣4x+7＞x2+2x﹣2，再根据公式计算（2x2﹣4x+7）*（x2+2x﹣2）即可得；（4）由题意可得3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，分别求解可得；【解答】解：（1）（﹣4）*3＝﹣4﹣2×3＝﹣10，故答案为：﹣10；（2）∵（3x ﹣4）*（x +6）＝（3x ﹣4）+2（x +6），∴3x ﹣4≥x +6，解得：x ≥5，故答案为：x ≥5．（3）∵2x 2﹣4x +7﹣（x 2+2x ﹣2）＝x 2﹣6x +9＝（x ﹣3）2≥0；∴2x 2﹣4x +7≥x 2+2x ﹣2，原式＝2x 2﹣4x +7+2（x 2+2x ﹣2）＝2x 2﹣4x +7+2x 2+4x ﹣4＝4x 2+3；（4）由题意知3x−7≥3−2x 3x−7+2(3−2x)＜−6或3x−7＜3−2x 3x−7−2(3−2x)＜−6，解得：x ＞5或x ＜1；28．（2020•河北模拟）定义新运算：对于任意实数m 、n 都有m ☆n ＝mn ﹣3n ．例如4☆2＝4×2﹣3×2＝8﹣6＝2，请根据上述知识解决下列问题：（1）x ☆12＞4，求x 取值范围；（2）若|x ☆（−14）|＝3，求x 的值；（3）若方程x ☆□x ＝6，□中是一个常数，且此方程的一个解为x ＝1，求□中的常数．【分析】（1）根据已知公式得出12x −32＞4，解之可得答案；（2）根据公式得出|−14x +34|＝3，即可得出−14x +34=3或−14x +34=−3，解之可得答案；（3）根据公式得到□x 2﹣3•□x ＝6，把x ＝1代入得到□﹣3□＝6，即可求得□＝﹣3．【解答】解：（1）∵x ☆12＞4，∴12x −32＞4，解得：x ＞11；（2）∵|x ☆（−14）|＝3，∴|−14x +34|＝3，∴−14x +34=3或−14x +34=−3，解得：x ＝﹣9或x ＝15；（3）∵方程x ☆□x ＝6，∴□x 2﹣3•□x ＝6，∵方程的一个解为x ＝1，∴□﹣3□＝6，∴□＝﹣3．29．（2021春•海州区期末）对x ，y 定义一种新运算F ，规定：F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ）（其中m ，n 均为非零常数）．例如：F （1，1）＝2m +2n ，F （﹣1，0）＝3m ．（1）已知F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13．①求m ，n 的值；②关于a 的不等式组F(a ，3a +1)＞−95F(5a ，2−3a)≥340，求a 的取值范围；（2）当x 2≠y 2时，F （x ，y ）＝F （y ，x ）对任意有理数x ，y 都成立，请直接写出m ，n 满足的关系式．【分析】（1）①根据定义的新运算F ，将F （1，﹣1）＝﹣8，F （1，2）＝13代入F （x ，y ）＝（mx +ny ）（3x ﹣y ），得到关于m 、n 的二元一次方程组，求解即可；②根据题中新定义化简已知不等式组，再求出不等式组的解集即可；（2）由F （x ，y ）＝F （y ，x ）列出关系式，整理后即可确定出m 与n 的关系式．【解答】解：（1）①根据题意得：F （1，﹣1）＝（m ﹣n ）（3×1+1）＝﹣8，即m ﹣n ＝﹣2；F （1，2）＝（m +2n ）（3×1﹣2）＝13，即m +2n ＝13，解得：m ＝3，n ＝5；②根据题意得：F （x ，y ）＝（3x +5y ）（3x ﹣y ），F（a，3a+1）＝（3a+15a+5）（3a﹣3a﹣1）＝﹣18a﹣5，F（5a，2﹣3a）＝（15a+10﹣15a）（15a﹣2+3a）＝180a﹣20．由−18a−5＞−95①180a−20≥340②，解不等式①得：a＜5，解不等式②得：a≥2，故原不等式组的解集为2≤a＜5；（2）由F（x，y）＝F（y，x），得（mx+ny）（3x﹣y）＝（my+nx）（3y﹣x），整理得：（x2﹣y2）（3m+n）＝0，∵当x2≠y2时，F（x，y）＝F（y，x）对任意有理数x，y都成立，∴3m+n＝0，即n＝﹣3m．30．（2021春•大连期末）对x，y定义一种新的运算P，规定：P（x，y）=mx+ny，(x≥y)nx+my，(x＜y)（其中mn≠0）．已知P（2，1）＝7，P（﹣1，1）＝﹣1．（1）求m、n的值；（2）若a＞0，解不等式组P(2a，a−1)＜4P(−12a−1，−13a)≤−5．【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于m、n的方程组，再解之即可；（2）由a＞0得出2a＞a﹣1，−12a﹣1＜−13a，根据新定义列出关于a的不等式组，解之即可．【解答】解：（1）由题意，得：2m+n=7−n+m=−1，解得m=2 n=3；（2）∵a＞0，∴2a＞a，∴2a＞a﹣1，−12a＜−13a，∴−12a﹣1＜−13a，∴2×2a+3(a−1)＜4①3(−12a−1)+2×(−13a)≤−5②，解不等式①，得：a＜1，解不等式②，得：a≥12 13，12 13≤a＜1．∴不等式组的解集为。

七年级数学-上册有理数定义新运算学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题。

1．定义一种新运算()2ab a b =+⨯，计算()35-的值为（ ） A ．7 B ．4- C ．1 D ．42．定义a b ∨表示a 、b 两数中较大的一个，a b ∧表示a 、b 两数中较小的一个，则(5052)(4951)-∨-∨-∧的结果是（ ）A ．50-B ．52-C ．49-D ．513．对于整数a ，b ，c ，d 定义运算a a d cb bcd =-，则2354的值等于（ ） A ．7 B ．7- C ．2 D ．2-4．对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b =|a +b |+|a -b |，则（2-）⊙3的值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．25．现定义运算“⊙”对于任意两个整数，a ⊙b =a +b -1，则1⊙(3⊙5)的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．若a ，b 都是有理数，定义一种新运算“☆”，规定()()a b a b -+-☆＝，则()24-☆ 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．6D ．﹣67．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：2a b ab a ⊕=+．则1(3)42⎛⎫-⊕-⊕= ⎪⎝⎭（ ）． A ．13- B ．6 C ．24 D ．308．现定义运算：对于任意有理数a 、b ，都有23a b a b ⊗=-，如：2131338⊗=-⨯=-，则()523-⊗-⊗的值为（ ）A ．20B ．25C ．38D ．40 9．定义运算11b a b a ⊗=+，比如11523236⊗=+=，下面给出了关于这种运算的几个结论：⊙()1236⊗-=；⊙此运算中的字母均不能取零；⊙a b b a ⊗=⊗；⊙()a b c a c b c ⊗+=⊗+⊗，其中正确是（ ）A ．⊙⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙⊙D ．⊙⊙⊙二、填空题10．定义一种新运算：*a b a b b+=，请你根据这一运算规则计算：2*(3)-=___________； 11．定义一种新运算⊙，即(2)3m n m n ∆=+⨯-，根据规定求6(3)∆-=_____．12．对有理数,a b ，定义运算★如下，+a b b a a b=★，则48-=★________． 13．定义一种新运算“K 运算”，对有理数a ，b ，规定：()2(1)12(1)a b ab a aKb ab ba b ab ⎧-+>⎪⎪=-=⎨⎪-<⎪⎩，其中“K 运算”的运算顺序为：同级运算，依次从左至右进行（可类比有理数的四则运算顺序），则()()231129353K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的运算结果是_________． 14．新定义一种运算：22a b a b =-，例如：2(1)3(1)23165-=--⨯=-=-，则(2)(1)--=_______．三、解答题15．现定义一种新运算：a b ab a b ⊗=+-，如13=13+131⊗⨯-=．(1)求()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗；(2)新定义的运算满足交换律吗？试以()43-⊗和()34⊗-举例说明．16．对于任意有理数a 、b ，定义一种新运算“⊕”，规则如下：()a b ab a b ⊕=+-，例如()3232327⊕=⨯+-=，求()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦．17．用“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定22a b b ab =+★，如：214421424=+⨯⨯=★．求(4)3-★的值．18．定义新运算：对于任意有理数a ，b ．都有()a b a a b b ⊕=--．等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：()353(35)5=325=11⊕=⨯--⨯---(1)求()32⊕-的值；(2)求2(1)4⊕-⊕的值．19．在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当0b ≥时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当0b <时，将点A 向左移动b 个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为1-．(1)在图中画出当6b =时，点A 关于点B 的“伴侣点”P ；(2)当点P 表示的数为6-，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ；(3)点A 从数轴上表示1-的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．⊙点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；⊙是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．20．在有理数的范围内，定义三个数之间的新运算“⊗”：2a b c a b c a b c --+++⊗⊗=，例如()()-123-123-12352--+++⊗⊗==． (1)计算：()()4-28⊗⊗+；(2)计算：()113-73⎛⎫⊗⊗+ ⎪⎝⎭； (3)已知 67-，57-，，17-，0，19，29，，89这十五个数中．从中任取三个数作为 a ，b ，c 的值，进行“a b c ⊗⊗”运算，直接写出所有计算结果中的最小值是 ．参考答案：1．D【分析】根据新定义运算的运算法则列式进行计算即可．【详解】解：⊙()2a b a b =+⨯，⊙()()3535222 4.-=-+⨯=⨯=故选D ．【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，理解新定义的含义是解本题的关键．2．C【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【详解】解：根据题中的新定义得：(5052)(4951)-∨-∨-∧(50)(49)=-∨-49=-．故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的比较大小，弄清题中的新定义是解本题的关键．3．B【分析】根据a bd c =ac ﹣bd ，可以计算出所求式子的值．【详解】解：⊙a bd c =ac ﹣bd ， ⊙2354＝2×4﹣3×5＝8﹣15＝﹣7，故选：B ．【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．4．A【分析】利用题中的新定义的运算法则、有理数的加减运算法则、化简绝对值的知识即可解答．【详解】解：由题意得：（-2）⊙3=|（-2）+3|+|（-2）-3|=1+5=6．故选A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，理解新定义运算则和有理数混合运算法则是解本题的关键．5．A【分析】根据新定义运算代入，即可求解．【详解】解：根据题意得：3⊙5=3+5-1=7，⊙1⊙(3⊙5)= 1⊙7=1+7-1=7．故选：A ．【点睛】本题主要考查了有理数的加减运算，理解新定义运算是解题的关键．6．B【分析】把相应的值代入新运算中，然后根据有理数的加减运算法则进行求解即可．【详解】解：()24-☆＝()()24+---＝24-＝﹣2．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算法则、新定义运算法则等知识点，正确理解新定义的运算是解答本题的关键．7．C 【分析】根据新定义先计算142-⊕，再计算()(3)10-⊕-即可求解． 【详解】解：⊙2a b ab a ⊕=+． ⊙11442(4)281022-⊕=-⨯+⨯-=--=- ⊙1(3)42⎛⎫-⊕-⊕ ⎪⎝⎭ ()(3)10=-⊕-3(10)2(3)=-⨯-+⨯-306=-=24．故选：C ．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．8．D【分析】根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算；【详解】解：()523-⊗-⊗，()2=5233⎡⎤-⊗--⨯⎣⎦， ()=55-⊗-，()()2=535--⨯-， =40，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键．9．B【分析】根据题目中的新定义计算各项得到结果，即可做出判断．【详解】⊙()23⊗-=1123-=16，⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，⊙0a ≠且0b ≠，⊙⊙正确； ⊙⊙11b a b a ⊗=+，11b a b a⊗=+， ⊙a b b a ⊗=⊗，⊙⊙正确；⊙⊙()a b c ⊗+=11a b c++ ，a c b c ⊗+⊗= 1111121a c b c a c b +++=++， ⊙a b c a c b c ⊗+≠⊗+⊗（），⊙⊙错误．综上，正确的结论为⊙⊙⊙，故选B ．【点睛】本题考查了新定义运算，熟练利用新定义运算的运算法则计算各项是解决问题的关键．10．13【分析】代入新定义运算，即可求解．【详解】解：根据题意得：()2312*333--==-． 故答案为：13 【点睛】本题考查了新定义下的有理数混合运算，理解新运算的定义是解题关键．11．27【分析】根据新定义列出算式6(3)(62)3(3)∆-=+⨯--，再进一步计算即可．【详解】解：6(3)∆-(62)3(3)=+⨯--833=⨯+243=+27=，故答案为：27．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算法则．12．8- 【分析】根据新定义运算的法则先列式4848,48-⨯-=-+★再计算即可． 【详解】解：⊙+a b b a a b =★， ⊙4832488,484-⨯--===--+★ 故答案为：8.-【点睛】本题考查的是新定义运算，掌握“有理数的加减乘除混合运算的运算顺序”是解本题的关键． 13．2059##7229【分析】根据()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再由2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭，可得2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，然后根据629626219-⨯=-=>，即可求解．【详解】解：⊙()231211,213533⎛⎫⎛⎫-⨯=-⨯-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙21235525313353539K -⎛⎫-=-=⨯= ⎪⎝⎭，()112422223333K ⎛⎫⎛⎫--=--⨯-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⊙()()231254129935393K K K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⊙2541001001932727⎛⎫⨯-=-=> ⎪⎝⎭， ⊙25425450126229393999K ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ⊙2546299939K K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ⊙629626219-⨯=-=>， ⊙626212420592999999K ⎛⎫-=-⨯-+=+= ⎪⎝⎭， 即()()2312051293539K K K K ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 故答案为：2059【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新运算是解题的关键．14．6【分析】根据新定义的运算求解即可．【详解】解：根据新定义，可得2(2)(1)(2)2(1)426--=--⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了新定义下的有理数运算，理解新定义下运算是解题关键．15．(1)125-(2)不满足交换律，举例见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得答案；（2）不满足，分别计算()43-⊗和()34⊗-说明即可．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()256⎡⎤⎣-⎦⊗⊗()25256=-⨯--⊗()176=-⊗176176=-⨯--125=-；（2）新定义的运算不满足交换律，例如：()43434319-⊗=-⨯--=-；()()()34343412345⊗-=⨯-+--=-++=-，⊙195-≠-，⊙()()4334-⊗≠⊗-，则不满足交换律．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．16．119-【分析】根据公式直接计算即可．【详解】解：()543-⊕⊕⎡⎤⎣⎦()()54543=-⨯+--⊕⎡⎤⎣⎦293=-⊕()293293=-⨯+--119=-【点睛】此题考查新定义运算，有理数的混合运算，正确理解公式及所求式子中对应的a 与b 的值是解题的关键．17．−15【分析】根据新定义列式计算即可．【详解】解：2(4)332(4)3-=+⨯-⨯★924=-15=-【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解答本题的关键．18．(1)17；(2)17．【分析】（1）利用题中的新定义化简，计算即可求出值；（2）利用题中的新定义化简，计算即可求出值．【详解】（1）解：由题意可知：()323(32)217⊕-=⨯++=．（2）解：()2(1)=221+1=7-⨯+⊕，()74=7744=17⨯--⊕．【点睛】本题考查新定义问题，掌握有理数的混合运算法则，读懂题目中定义的运算法则是解题的关键．19．(1)画图见解析(2)5-(3)⊙82t -；⊙存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合【分析】（1）当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，由此求出点P 表示的数，并作图即可；（2）根据点A 和点P 表示的数可知，点P 是由点A 向左平移5个单位得到的，据此求解即可；（3）⊙根据点B 的运动方向和运动速度即可求解；⊙运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分为点B 在原点右侧和原点左侧两种情况讨论即可．【详解】（1）解：当6b =时，0b ≥，将点A 向右移动2个单位长度，此时点P 表示的数为：121-+=，作图如下：（2）解：⊙点P 表示的数为6-，点A 表示的数为1-，第11页，共12页⊙点P 是点A 向左移动5个单位长度得到的， ⊙5b =且0b <，⊙=5b -，⊙点B 表示的数为5-，故答案为：5-；（3）解：⊙点B 从数轴上表示8的位置出发，以每秒2个单位的速度向左运动t 秒，则点B 表示的数为82t -， 故答案为：82t -；⊙解：存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合，理由如下：运动的时间为t 秒时，点A 表示的数为1t -+，点B 表示的数为82t -，分两种情况：当04t <≤时，820t -≥，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：121t t -++=+，由于0t >，故10t +>，不可能与原点重合；当4t >时，820t -<，此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 表示的数为：()1821281287t t t t t t t -+--=-+--=-+-+=-，⊙当7t =时，点P 与原点重合，综上，存在7t =，使得点A 关于点B 的“伴侣点”P 与原点重合．【点睛】本题考查了绝对值的化简，用数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题以及有理数的加减法，注意分类讨论．20．(1)6(2)3 (3)67-【分析】（1）直接代入公式计算即可；（2）直接代入公式计算即可；（3）分析a b c --为负数与非负数两种情况下的最小值，最后综合考虑即可．【详解】（1）原式=()()4284282---++-+=6；（2）原式=()()11113737332---++-+第12页，共12页 =()19113-7332+++=3；（3）当a b c --为非负数时，a b c ⊗⊗=2a b c a b c a --+++=， ⊙当6-7a =时，abc ⊗⊗的最小值为6-7； 当a b c --为负数时，a b c ⊗⊗=-2a b c a b c b c +++++=+， ⊙当b c +的值最小时，a b c ⊗⊗的值最小；⊙a b c --为负数，⊙＜a b c +，由于a 最小取6-7， ⊙67b c +-＞， 综上可得，a b c ⊗⊗的最小值为6-7． 【点睛】本题考查了正负数的运算、绝对值运算、代数式的求值等，解题关键是正确代入数值计算，求最小值时应进行分类讨论。

数学专题1——新定义问题【专题诠释】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．【经典例题】类型一：规律题型中的新定义例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ．【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+， 321143114a a ===-- 431111143a a ===---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律．类型二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b a b +=+（＞）﹣，如：323*2532+==﹣， 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bc cd=-，例如错误!未指定书签。

期末新定义题型复习（解析版）类型一有理数中的新定义1．（2022秋•尤溪县）七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b＝ab+2a．则(−3)⊕(−4⊕12)=（）A．﹣13B．6C．24D．30思路引领：根据新定义先计算−4⊕12，再计算（﹣3）⊕（﹣10）即可求解．解：由题意得：(−3)⊕(−4⊕12)＝（﹣3）⊕[﹣4×12+2×（﹣4）]＝（﹣3）⊕（﹣2﹣8）＝（﹣3）⊕（﹣10）＝﹣3×（﹣10）+2×（﹣3）＝30﹣6＝24．故选：C．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．2．（2022秋•新吴区期中）现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝a b﹣ab，则﹣1※2022的值（）A．2023B．2022C．﹣2023D．﹣2021思路引领：根据新运算得出﹣1※2022＝﹣（12022﹣1×2022），再根据有理数的运算法则进行计算即可．解：﹣1※2022＝（﹣1）2022﹣（﹣1）×2022＝1+2022＝2023，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．3．（2022秋•海陵区校级期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为n2k （其中k是使n2k为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取n＝26，则：若n＝49，则第2022次“F运算”的结果是（）A．31B．49C．62D．98思路引领：根据运行的框图依次计算，发现其运算结果的循环规律：6次一循环，再计算求解即可．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝49为奇数应先进行F①运算，即3×49+5＝152（偶数），需再进行F②运算，即152÷23＝19（奇数），再进行F①运算，得到3×19+5＝62（偶数），再进行F②运算，即62÷21＝31（奇数），再进行F①运算，得到3×31+5＝98（偶数），再进行F②运算，即98÷21＝49，再进行F①运算，得到3×49+5＝152（偶数），…，即第1次运算结果为152，…，第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，则6次一循环，2022÷6＝337，则第2022次“F运算”的结果是49．故选：B．总结提升：本题主要考查有理数的混合运算和数字的变化规律，解题的关键是经过运算发现其数字的变化规律．4．（2022秋•越秀区校级月考）已知a、b皆为有理数，定义运算符号为※：当a＞b时，a ※b＝2a；当a＜b时，a※b＝2b﹣a，则3※2﹣[（﹣2）※3]等于（）A．﹣2B．5C．﹣6D．10思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得：3※2＝2×3＝6，（﹣2）※3＝2×3﹣（﹣2）＝6+2＝8，则原式＝6﹣8＝﹣2．故选：A．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．5．（2022秋•靖江市校级月考）对于有理数a 、b 定义一种新运算“⊙”，规定a ⊙b ＝|a +b |+|a ﹣b |，则（﹣2）⊙3的值是（ ） A ．6B ．5C ．4D ．2思路引领：原式利用题中的新定义计算即可求出值．解：根据题中的新定义得： 原式＝|﹣2+3|+|﹣2﹣3| ＝1+5 ＝6． 故选：A ．总结提升：此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 6．（2022秋•鄞州区校级期中）正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”．例如153，13+53+33＝153，因此“153”为“水仙花数”，则下列各数中：①370，②371，③407，④502，“水仙花数”的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4思路引领：根据正整数中各位数字的立方和与其本身相等的数称为“水仙花数”，分别判断得出答案即可． 解：①∵33+73+03＝370，∴370为“水仙花数”，故此选项正确； ②∵33+73+13＝371，∴371为“水仙花数”，故此选项正确； ③∵43+03+73＝407，∴407为“水仙花数”，故此选项正确； ④∵53+03+23≠502，∴546不是“水仙花数”，故此选项错误． 故选：C ．总结提升：此题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘方以及新定义，根据“水仙花数”的定义得出是解题关键．7．（2022秋•江阴市期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a ，b 满足a *b ={2a −b ，a ≥b a −2b ，a ＜b ．如5*3＝2×5﹣3＝7，12*1=12−2×1=−32，若x *3＝5，则有理数x 的值为（ ） A ．4 B ．11 C ．4或11 D ．1或11思路引领：分x ≥3与x ＜3两种情况求解． 解：当x ≥3，则x *3＝2x ﹣3＝5，x ＝4； 当x ＜3，则x *3＝x ﹣2×3＝5，x ＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去．即：若x*3＝5，则有理数x的值为4，故选：A．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题目所给的定义中包含的运算及运算顺序．类型二整式加减中的新定义8．（2022秋•黄浦区期中）定义：对于一个数x，我们把[x]称作x的相伴数；若x≥0，则[x]＝x﹣1；若x＜0，则[x]＝x+1．例[32]=12，[﹣2]＝﹣1；已知当a＞0，b＜0时有[a]＝[b]+1，则代数式（b﹣a）3﹣3a+3b的值为．思路引领：根据定义的新运算可得a﹣1＝b+1+1，从而可得a﹣b＝3，然后利用整体的思想进行计算即可解答．解：当a＞0，b＜0时，[a]＝[b]+1，∴a﹣1＝b+1+1，∴a﹣b＝3，∴（b﹣a）3﹣3a+3b＝﹣（a﹣b）3﹣3（a﹣b）＝﹣33﹣3×3＝﹣27﹣9＝﹣36，故答案为：﹣36．总结提升：本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．9．（2022秋•浦东新区期中）定义a﹣b＝0，则称a、b互容，若2x2﹣2与x+4互容，则6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：先根据新定义求出2x2﹣x＝6，再把6x2﹣3x﹣9化为3（2x2﹣x）﹣9的形式，整体代入计算即可．解：∵2x2﹣2与x+4互容，∴2x2﹣2﹣（x+4）＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x﹣9＝3（2x2﹣x）﹣9＝3×6﹣9＝9，故答案为：9．总结提升：本题考查了代数式的求值，掌握乘法分配律的逆运算，把（2x2﹣x）看做一个整体进行计算是解题关键．10．（2022秋•涪城区期中）定义如下运算程序，则输入a＝4，b＝﹣2时，输出的结果为．思路引领：由程序框图将a＝4，b＝﹣2代入a+b计算可得答案．解：∵a＝4，b＝﹣2，a＞b，∴输出结果为代入a+b＝4+（﹣2）＝2．故答案为：2．总结提升：此题考查了代数式的求值与有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．（2022•三水区校级三模）定义：若a﹣b＝0，则称a与b互为平衡数，若2x2﹣2与x+4互为平衡数，则代数式6x2﹣3x﹣9＝．思路引领：根据题意，2x2﹣2与x+4互为平衡数，得2x2﹣2﹣x﹣4＝0，得到2x2﹣x＝6，即可求出答案．解：∵2x2﹣2与x+4互为平衡数，∴2x2﹣2﹣x﹣4＝0，∴2x2﹣x＝6，∴6x2﹣3x＝18，∴6x2﹣3x﹣9＝18﹣9＝9．故答案为：9．总结提升：本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．12．（2022秋•古田县期中）（1）先化简，后求值：−13x−2(x−13y2)+(−23x+13y2)：（其中x＝﹣2，y=2 3）．（2）定义一种新运算：观察下列各式：1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．①请你想想：a*b＝；②若a≠b，那么a*b b*a（填“＝”或“≠”）；③先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝1，b＝﹣7．思路引领：（1）先利用去括号的法则去掉括号后，合并同类项，再将x，y值代入运算即可；（2）①利用题干中各式中的规律解答即可；②利用①中的规律解答即可；③利用①中的规律得到关于a，b的关系式，化简后将a，b的值代入运算即可．解：（1）原式=−13x﹣2x+23y2−23x+13y2＝（−13−2−23）x+（23+13）y2＝﹣3x+y2，当x＝﹣2，y=23时，原式＝﹣3×（﹣2）+(2 3 )2＝6+4 9=589；（2）①a*b＝3a+b，故答案为：3a+b；②∵a*b＝3a+b，b*a＝3b+a，又∵a≠b，∴3a+b≠3b+a，∴a*b≠b*a，故答案为：≠；③（a﹣b）*（a+2b）＝3（a﹣b）+（a+2b）＝3a﹣3b+a+2b＝4a﹣b．当a＝1，b＝﹣7时，原式＝4×1﹣（﹣7）＝4+7＝11．总结提升：本题主要考查了整式的加减，化简求值，本题是阅读型题目，寻找题干中各式的规律并熟练应用是解题的关键．类型四一元一次方程中的新定义13．（2021秋•河口区期末）如果规定“*”的意义为：a*b=a+2b2（其中a，b为有理数），那么方程3*x =52的解是x ＝ ．思路引领：分析题意，运用定义的新运算法则，可得3*x =3+2x2；不难得出3+2x 2=52，解方程即可解答本题． 解：由题意得： 3*x =3+2x2， ∵3*x =52， ∴3+2x 2=52，解得x ＝1． 故答案为：1．总结提升：本题考查的是一道定义新运算的题目，需结合题中定义的新运算法则进行求解．14．（2021秋•如皋市期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程3x +9＝0中，3﹣9＝﹣6，方程的解为x ＝﹣3，则方程3x +9＝0为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0是妙解方程，则b ﹣a ＝ ． 思路引领：利用题中的新定义解答即可．解：解关于x 的一元一次方程3x +a ﹣b ＝0，得x =b−a3， ∵关于x 的一元一次方程3x +a ＝0是妙解方程， 3﹣（a ﹣b ）＝2×b−a3， 9+3（b ﹣a ）＝2（b ﹣a ）， ∴b ﹣a ＝﹣9． 故答案为：﹣9．总结提升：此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 15．（2022秋•隆安县期中）我们将|a b c d |这样的式子称为二阶行列式，它的运算法则公式表示就是|a bc d|=ad ﹣bc ，例如|1234|=1×4﹣2×3＝4﹣6＝﹣2．（1）请你依此法则计算二阶行列式|3−243|．（2）请化简二阶行列式|2x −3x +224|，并求当x ＝4时二阶行列式的值．思路引领：（1）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以求得所求式子的值；（2）根据|a bc d|=ad ﹣bc ，可以将题目中的式子化简，然后将x ＝4代入化简后的式子即可．解：（1）由题意可得， |3−243| ＝3×3﹣（﹣2）×4 ＝9+8 ＝17； （2）|2x −3x +224|＝4（2x ﹣3）﹣2（x +2） ＝8x ﹣12﹣2x ﹣4 ＝6x ﹣16，当x ＝4时，原式＝6×4﹣16＝24﹣16＝8．总结提升：本题考查整式的加减、有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义，会用新定义解答问题．16．（2022秋•西城区校级期中）定义如下：存在数a ，b ，使得等式a2+b 4=a+b 2+4成立，则称数a ，b 为一对“互助数”，记为（a ，b ）．比如：（0，0）是一对“互助数”． （1）若（1，b ）是一对“互助数”，则b 的值为 ；（2）若（﹣2，x ）是一对“互助数”，求代数式（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15）的值；（3）若（m ，n ）是一对“互助数”，满足等式m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0，求m 和n 的值．思路引领：（1）根据“互助数”的定义即可求得b 的值；（2）根据“互助数”的定义求出x 的值，再对所求代数式进行去括号，合并同类项，最后把x 的值代入化简后的代数式中即可求解；（3）根据“互助数”的定义求得n ＝﹣4m ①，再将所求等式化简得−5m −94n +2=0②，将①代入②中即可求解．解：（1）∵（1，b ）是一对“互助数”， ∴12+b 4=1+b 2+4，解得：b ＝﹣4， 故答案为：﹣4；（2）∵（﹣2，x ）是一对“互助数”， ∴﹣1+x4=−2+x2+4，解得：x ＝8，（﹣x 2+3x ﹣1）−15（−52x 2+5x ﹣15） =−x 2+3x −1+12x 2−x +3 =−12x 2+2x +2， 当x ＝8时，原式=−12×64+16+2＝﹣14； （3）∵（m ，n ）是一对“互助数”， ∴m 2+n 4=m+n 2+4，化简得：n ＝﹣4m ①，由m −14n ﹣（6m +2n ﹣2）＝0化简得， −5m −94n +2=0②， 把①代入②中得，−5m −94×(−4m)+2=0， 解得：m =−12， 则n =−4×(−12)=2， ∴m =−12，n ＝2．总结提升：此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（2022秋•邗江区期中）定义：若a +b ＝6，则称a 与b 是关于6的实验数．（1）4与 是关于6的实验数； 与5﹣2x 是关于6的实验数．（用含x 的代数式表示）．（2）若a ＝x 2﹣4x +2，b ＝x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2），判断a 与b 是否是关于6的实验数，并说明理由．（3）若c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ），且c 与d 是关于6的实验数，求k 的值． 思路引领：（1）由4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）可得答案；（2）列出算式a +b ＝a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ）去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于3即可；（3）由c 与d 是关于6的实验数知c +d ＝6，据此可得6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6，进一步求解可得答案．解：（1）∵4+2＝6，6﹣（5﹣2x ）＝1+2x ，∴4与2是关于6的实验数，1+2x 与5﹣2x 是关于6的实验数，故答案为：1+2x ；（2）a 与b 是关于6 的实验数，理由：∵a +b ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2（x 2﹣2x ﹣2 ） ＝x 2﹣4x +2+x 2﹣2x 2+4x +4 ＝6，∴a 与b 是关于6的实验数；（3）∵c 与d 是关于6的实验数，c ＝6x 2﹣8x +4，d ＝﹣2（3x 2﹣4x +k ）， ∴c +d ＝6x 2﹣8x +4﹣2（3x 2﹣4x +k ）＝6， 解得k ＝﹣1． ∴k 的值为﹣1．总结提升：本题主要考查整式的加减，解题的关键是理解并掌握实验数的定义及整式加减运算顺序和法则．18．（2022秋•丰泽区校级期中）定义：对于一个有理数x ，我们把[x ]称作x 的“⻘一值”．若x ≥0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x ﹣2；若x ＜0，则有理数x 的“⻘一值”[x ]＝x +2．例：[1]＝1﹣2＝﹣1；[﹣1]＝﹣1+2＝1． （1）求有理数﹣2和32的“⻘一值”；（2）已知有理数a ＞0，b ＜0，且它们的“⻘一值”相等，则[a ]＝[b ]，试求代数式（b ﹣a ）2﹣2a +2b 的值；（3）对于一个有理数x ，满⻘⻘程：[2x ]+[x +1]＝4，请直接写出满⻘⻘程的解x 的值． 思路引领：（1）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，进行计算即可解答；（2）根据定义：若x ≥0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x +1；若x ＜0，则有理数x 的“青一值”[x ]＝x ﹣1，可得a ﹣b ＝﹣2，然后代入式子中，进行计算即可解答；（3）分三种情况：当x ≥0时，当﹣1≤x ＜0时，当x ＜﹣1时，然后分别进行计算即可解答．解：（1）[﹣2]＝﹣2﹣1＝﹣3； [32]=32+1=52，∴[﹣2]＝﹣3；[32]=52；（2）∵a ＞0，b ＜0， ∴[a ]＝a +1， [b ]＝b ﹣1， ∵[a ]＝[b ]，∴a+1＝b﹣1，∴a﹣b＝﹣2，∴（b﹣a）2﹣2a+2b＝（a﹣b）2﹣2（a﹣b）＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）＝4+4＝8；（3）分三种情况：当x≥0时，[2x]＝2x+1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x+1+x+2＝4，解得：x=1 3；当﹣1≤x＜0时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1+1＝x+2，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x+2＝4，解得：x＝1（舍去）；当x＜﹣1时，[2x]＝2x﹣1，[x+1]＝x+1﹣1＝x，∵[2x]+[x+1]＝4，∴2x﹣1+x＝4，解得：x=53（舍去）；综上所述：x=1 3．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算﹣化简求值，解一元一次方程，理解定义中的[x]称作x的“青一值”是解题的关键．19．（2021秋•桃江县期末）阅读材料：在数轴上，如果把表示数1的点称为基准点，记作点P．对于两个不同的点M和N，若点M、N到点P的距离相等，则称点M与点N互为基准变换点．如图7中，点M表示数﹣1，点N表示数3，它们与表示数1的点P的距离都是2个单位长度，则点M与点N 互为基准变换点．解决问题：（1）若点A表示数a，点B表示数b，且点A与点B互为基准变换点．利用上述规定解决下列问题：①画图说明，当a＝0、4、﹣3时，b的值分别是多少？②利用（1）中的结论，探索a与b的关系，并用含a的式子表示b；③当a ＝2021时，求b 的值．（2）对点A 进行如下操作：先把点A 表示的数乘以52，再把所得的数表示的点沿数轴向左移动3个单位长度得到点B ，若点A 与点B 互为基准变换点，求点A 表示的数．思路引领：（1）①根据互为基准变换点的定义画图，即可得到答案； ②观察①可得a 与b 的关系； ③结合②，把a ＝2021代入即可；（2）表示出B 表示的数，再由点A 与点B 互为基准变换点列方程可得答案． 解：（1）①由图可得：a ＝0时，b ＝2，a ＝4时，b ＝﹣2，a ＝﹣3时，b ＝5； ②a 与b 的关系为a +b ＝2， ∴b ＝2﹣a ；③a ＝2021时，b ＝2﹣2021＝﹣2019； （2）设点A 表示的数为x ，根据题意得：52a ﹣3＝2﹣x ，解得：x =107， ∴点A 表示的数是107．总结提升：本题考查数轴及列代数式，解题的关键是读懂题意，理解互为基准变换点的定义．20．（2022秋•西城区校级期中）阅读下列材料：定义：已知点A ，B ，C 为数轴上任意三点，若CB =12CA ，则称点C 是[A ，B ]的相关点． 例如：如图1，点C 是[A ，B ]的相关点，点D 不是[A ，B ]的相关点，但点D 是[B ，A ]的相关点．根据这个定义解决下面问题：（1）如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 表示的数是﹣2，点N 表示的数是4，若点G 是[M ，N ]的相关点，则点G 表示的数是 ；（2）数轴上点E 所表示的数为﹣10，点F 所表示的数为20．一动点P 从点F 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，另一个动点Q 从点E 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t 秒．问当t 为何值时，P 为[F ，Q ]的相关点？思路引领：（1）根据新定义列方程可得答案；（2）表示出P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ，再根据新定义列方程可得答案． 解：（1）设点G 表示的数是x ，根据题意得：GN =12GM ，即|x ﹣4|=12[x ﹣（﹣2）]， 解得x ＝10或x ＝2， 故答案为：10或2；（2）P 表示的数是20﹣2t ，Q 表示的数是﹣10+t ， ∵P 为[F ，Q ]的相关点，∴PQ =12PF ，即|（20﹣2t ）﹣（﹣10+t ）|=12×2t ， 解得t ＝10或t ＝30，∴当t 为10或30时，P 为[F ，的相关点．总结提升：本题考查一元一次方程的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，能根据新定义列出方程解决问题．21．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x ﹣1＝3和x +1＝0为“美好方程”．（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”吗？请说明理由； （2）若关于x 的方程x2+m =0与方程3x ﹣2＝x +4是“美好方程”，求m 的值；（3）若关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”，求n 的值．思路引领：（1）分别求得两个方程的解，再利用“美好方程”的定义进行判断即可； （2）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于m 的方程解答即可； （3）分别求得两个方程的解，利用“美好方程”的定义列出关于n 的方程解答即可． 解：（1）方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”，理由如下： 由4x ﹣（x +5）＝1，解得x ＝2； 由﹣2y ﹣y ＝3，解得y ＝﹣1．∵﹣1+2＝1，∴方程4x ﹣（x +5）＝1与方程﹣2y ﹣y ＝3是“美好方程”． （2）由3x ﹣2＝x +4，解得x ＝3； 由x2+m =0解得x ＝﹣2m ．∵方程3x ﹣2＝x +4与方程x2+m =0是“美好方程”，∴﹣2m +3＝1， 解得m ＝1．（3）由2x ﹣n +3＝0，解得x =n−32； 由x +5n ﹣1＝0，解得x ＝1﹣5n ；∵关于x 方程2x ﹣n +3＝0与x +5n ﹣1＝0是“美好方程”， ∴n−32+1﹣5n ＝1，解得n =−13．总结提升：本题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，利用同解方程的意义解答是解题的关键，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 22．（2022秋•大丰区期中）在数轴上有A 、B 两点，点B 表示的数为b ．对点A 给出如下定义：当b ≥0时，将点A 向右移动2个单位长度，得到点P ；当b ＜0时，将点A 向左移动|b |个单位长度，得到点P ．称点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”．如图，点A 表示的数为﹣1．（1）在图中画出当b ＝6关于点B 的“伴侣点”P ；（2）当点P 表示的数为﹣6，若点P 为点A 关于点B 的“伴侣点”，则点B 表示的数 ； （3）点A 从数轴上表示﹣1的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动，点B 从数轴上表示8的位置同时出发，以每秒2个单位的速度向左运动，两个点运动的时间为t 秒．①点B 表示的数为 （用含t 的式子表示）；②是否存在t ，使得此时点A 关于点B 的“伴侣点”P 恰好与原点重合？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．思路引领：（1）求出P 表示的数，再画图即可； （2）根据已知可得B 运动后表示的数； （3）①根据左减右加即可解答；②分两种情况：当8﹣2t ≥0，P 表示的数是﹣1+t +2＝t +1＝0，当8﹣2t ＜0时，P 表示的数是：﹣1+t ﹣（2t ﹣8）＝7﹣t ＝0，即可得到答案． 解：（1）∵b ＝6＞0，∴将点A向右移动2个单位得到点p：﹣1+2＝1，∴点P表示的数为1，数轴表示如图：；（2）∵点P表示的数为﹣6，点P为点A关于点B的“伴侣点”P在点A的左边5个单位，∴|b|＝5，又∵b＜0，∴b＝﹣5，即点B表示的数为﹣5，故答案为：﹣5；（3）①点B表示的数为：8﹣2t，故答案为：8﹣2t；②存在，理由如下：根据题意得：点A表示的数为﹣1+t，当8﹣2t≥0时，解得t≤4，即将点A向右平移2个单位长度，得到点P，表示的数为：t+1，此时t+1＝0，解得：t＝﹣1，与t＞0不符，舍去；当8﹣2t＜0时，解得t＞4，即将A向左平移|b|个单位长度得点p为：﹣1+t﹣（2t﹣8）＝7﹣t，与原点重合，∴7﹣t＝0，解得：t＝7，即当t＝7时，点P与原点重合．总结提升：本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．23．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝；（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n ＝；（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．思路引领：（1）根据“立信方程”的定义解答即可；（2）先求出x2+3x﹣4＝0的解，再把其中的解代入求解即可求n的解；（3）利用“立信方程”以及a和k为正整数求解．（1）∵2x+1＝1，解得x＝0；把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：1﹣2（0﹣m）＝3，∴1+2m＝3，解得：m＝1；（2）解方程x2+3x﹣4＝0，（x﹣1）（x+4）＝0，解得：x1＝1或x2＝﹣4，把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×1+2×12﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，解得：n＝5；故满足条件的n的值为5．（3）因a为正整数，则a≠0，又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，∴x=2a2−3a−5+4 a，∵两方程均为立信方程，∴x的值为整数，∴4a为整数，∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，同理9x﹣3＝kx+14，∴（9﹣k）x＝17，显然，此时k≠9，则x=179−k，∴9﹣k可取8，﹣810，26，∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．总结提升：本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解立信方程的意义是解此题的关键．类型四几何图形初步中的新定义24．（2020秋•上城区期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值，记作d C※AB＝n．甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC＝2BC；则d C※AB=2 3．乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则d C※AB=1 3．关于甲，乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．两人都正确D．两人都不正确思路引领：根据题意，由点C在线段AB上，若AC＝2BC，可得AC=23AB，故可判断甲；点C是线段AB的三等分点，则AC=13AB或AC=23AB，故可判断乙．解：∵点C在线段AB上，若AC＝2BC，∴AC=23AB，即n=23，∴d C※AB=23．故甲的猜想正确；∵点C是线段AB的三等分点，∴AC=13AB或AC=23AB，∴d C※AB=13或23．故乙的猜想不正确．故选：A．总结提升：25．定义：如果两个角的差的绝对值等于90°，就可以称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角（本题所有角都是指大于0°且小于180°的角）．如果有一个角的垂角等于这个角的补角的45，那么这个角的度数为（）A．150°B．130°C．30°或130°D．30°或150°思路引领：根据题意需分类讨论，根据题意中数量关系列出方程，从而解决此题．解：设这个角度数为x．当这个角大于它的垂角，则这个角的垂角为x﹣90°．∴x﹣90°=45(180°−x)．∴x＝130°．当这个角小于它的垂角，则这个角的垂角为90°+x．∴90°+x=45(180°−x)．∴x＝30°．综上：这个角的度数为130°或30°．故选：C．总结提升：本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握解一元一次方程是解决本题的关键．26．（2021春•长宁区校级期末）同一直线上有A、B、C三点，若点C、A之间的距离与点C、B之间的距离之比是1：2，则称点C为点A和点B的牛点．如果点P是点M和点N的牛点，且PM＝1，则MN＝．思路引领：根据两点间的距离分两种情况求解即可．解：（1）如图，∵PM：PN＝1：2，∴PM＝MN，∵PM＝1，∴MN＝1；（2）如图，∵PM：PN＝1：2且PM＝1，∴PN＝1×2＝2，∴MN＝PM+PN＝2+1＝3．故MN的长为3或1．故答案为：1或3．总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意分两种情况求解是解题的关键．27．（2021秋•兰山区期末）我们定义：若两个角差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：∠1＝110°，∠2＝50°，|∠1﹣∠2|＝60°，则∠1和∠2互为“正角”．如图，已知∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∠EOF在∠AOB的内部，若∠EOF＝60°，则图中互为“正角”的共有对．思路引领：根据“正角”的定义解答即可．解：∵∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC ＝∠BOC =12∠AOB =60°，∴∠AOB ﹣∠AOC ＝60°，∠AOB ﹣∠BOC ＝60°， 又∵∠EOF ＝60°， ∴∠AOB ﹣∠EOF ＝60°， ∵∠EOF ＝∠AOC ＝60°，∴∠AOF ﹣∠AOE ＝60°，∠AOF ﹣∠COF ＝60°， ∠BOE ﹣∠EOC ＝60°，∠BOE ﹣∠BOF ＝60°，∴图中互为“正角”的共有∠AOB 与∠AOC ，∠AOB 与∠BOC ，∠AOB 与∠EOF ，∠AOF 与∠AOE ，∠AOF 与∠COF ，∠BOE 与∠EOC ，∠BOE 与∠BOF 共7对． 故答案为：7总结提升：本题考查了角平分线的定义，理清题意是解答本题的关键．28．（2019秋•莆田期末）定义：若α﹣β＝90°，且90°＜α＜180°，则我们称β是α的差余角．例如：若α＝110°，则α的差余角β＝20°．（1）如图1，点O 在直线AB 上，射线OE 是∠BOC 的角平分线，若∠COE 是∠AOC 的差余角，求∠BOE 的度数；（2）如图2，点O 在直线AB 上，若∠BOC 是∠AOE 的差余角，那么∠BOC 与∠BOE 有什么数量关系；（3）如图3，点O 在直线AB 上，若∠COE 是∠AOC 的差余角，且OE 与OC 在直线AB 的同侧，∠AOC−∠BOC∠COE请你探究是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．思路引领：（1）根据角平分线的定义得到∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ，根据题意得到∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°，于是得到结论；α （2）根据角的和差即可得到结论；（3）如图3，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ，如图4，由∠COE 是∠AOC 的差余角，得到∠AOC ＝90°+∠COE ，于是得到结论．解：（1）∵OE 是∠BOC 的角平分线， ∴∠COE ＝∠BOE =12∠BOC ， ∵∠COE 是∠AOC 的差余角，∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOC −12∠BOC ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC ＝60°， ∴∠BOE ＝30°；（2）∵∠BOC 是∠AOE 的差余角，∴∠AOE ﹣∠BOC ＝∠AOC +∠COE ﹣∠COE ﹣∠BOE ＝∠AOC ﹣∠BOE ＝90°， ∵∠AOC +∠BOC ＝180°， ∴∠BOC +∠BOE ＝90°；（3）答：是，理由：如图3，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝∠AOE ＝90°，∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∠BOC ＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值）；如图4，∵∠COE 是∠AOC 的差余角， ∴∠AOC ﹣∠COE ＝90°， ∴∠AOC ＝90°+∠COE ，∵∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝180°﹣（90°+∠COE ）＝90°﹣∠COE ， ∴∠AOC−∠BOC∠COE=90°+∠COE−90°+∠COE∠COE=2（定值），综上所述，∠AOC−∠BOC∠COE为定值．总结提升：本题考查了余角和补角，角的和差的计算，正确的理解题意是解题的关键． 29．（2021秋•松滋市期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若∠COD=12∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．（1）如图①所示，已知∠AOB＝70°，∠AOC＝15°，∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝．（2）如图②，已知∠AOB＝63°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜63°）至∠COD，当旋转的角度α为何值时，∠COB是∠AOD的内半角？（3）已知∠AOB＝30°，把一块含有30°角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点O 以3°/秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线OD始终在∠AOB的外部，射线OA，OB，OC，OD能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由．思路引领：（1）根据“内半角”的定义，可求出∠COD的度数，再根据∠BOD＝∠AOB ﹣∠AOC﹣∠COD，可得出结论；（2）由旋转可分别求出∠BOC和∠AOD的度数，再根据“内半角”的定义，可列出等式60−α=60+α2，即可求出α的值；（3）由旋转可知，分四种情况，分别进行讨论，根据“内半角”的定义，可求出对应的时间．解：（1）如图1，∵∠AOB＝70°，∠COD是∠AOB的内半角，∴∠COD=12∠AOB＝35°，∵∠AOC＝15°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣15°﹣35°＝20°；故答案为：20°．（2）如图2，由旋转可知，∠AOC＝∠BOD＝α，∴∠BOC＝63°﹣α，∠AOC＝63°+α，∵∠COB是∠AOD的内半角，∴∠COB=12∠AOD，即63″﹣α=63°+α2，解得α＝21°，当旋转的角度α为21°时，∠COB是∠AOD的内半角；（3）能，理由如下，由旋转可知，∠AOC ＝∠BOD ＝3°t ；根据题意可分以下四种情况： ①当射线OC 在∠AOB 内，如图4，此时，∠BOC ＝30°﹣3°t ，∠AOC ＝30°+3°t ， 则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即30°﹣3°t =12（30°+3°t ）， 解得t =103（秒）； ②当射线OC 在∠AOB 外部，有以下两种情况，如图5，图6， 如图5，此时，∠BOC ＝3°t ﹣30°，∠AOC ＝30°+3°t ， 则∠COB 是∠AOD 的内半角，∴∠COB =12∠AOD ，即3°t ﹣30°=12（30°+3°t ）， 解得t ＝30（秒）；如图6，此时，∠BOC ＝360°﹣3°t +30°，∠AOC ＝360°﹣3°t ﹣30°， 则∠AOD 是∠BOC 的内半角，∴∠AOD =12∠BOC ，即360°﹣3°t ﹣30°=12（360°﹣3°t +30°）， 解得t ＝90（秒）；综上，在旋转一周的过程中，射线OA 、OB 、OC 、OD 构成内半角时，旋转的时间分别为：103秒；30秒；90秒．总结提升：本题属于新定义类问题，主要考查旋转中角度的表示，及角度的和差运算；由旋转正确表达对应的角是本题解题关键．30．（2021秋•武侯区期末）【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．【迁移运用】（1）如图1，射线PS（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD 的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．思路引领：（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．解：（1）∵PS平分∠RPT，∴∠RPS＝∠TPS，∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；∵PS平分∠RPT，∴∠TPR＝2∠TPS．∴射线PT 是射线PS ，PR 的“双倍和谐线”． 故答案为：不是；是；（2）①由题意得：∠AOC ＝90°﹣4°t ，∠AOB ＝40°． ∵射线OA 是射线OB ，OC 的“双倍和谐线”， ∴∠AOC ＝2∠AOB 或∠AOB ＝2∠AOC ． 当∠AOC ＝2∠AOB 时，如图，则：90﹣4t ＝2×40． 解得：t =52．当∠AOB ＝2∠AOC 时，如图，则：40＝2（90﹣4t ）． 解得：t =352． 综上，当射线OA 是射线OB ，的“双倍和谐线”时，t 的值为52或352．②由题意得：∠CON ＝4°t ，∠AON ＝90°+2°t ，∠AOD ＝20°，∠DON ＝∠AON ﹣∠AOD ＝70°+2°t ．∵当射线OC 与射线OA 重合时，运动停止， ∴此时∠AON ＝∠CON ． ∴90+2t ＝4t ． ∴t ＝45．∴当t ＝45秒时，运动停止，此时∠AON ＝180°．∵射线OC 位于射线OD 左侧且射线OC 是射线OM ，OD 的“双倍和谐线”， ∴∠COM ＝2∠COD 或∠COD ＝2∠COM ． 当∠COM ＝2∠COD 时，如图，即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．解得：t＝40．∴∠CON＝4°×40＝160°．当∠COD＝2∠COM时，如图，即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON）．则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．解得：t＝43．∴∠CON＝4°×43＝172°．综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．总结提升：本题主要考查了角的计算，角平分线的定义，本题是新定义型，理解并熟练应用新定义是解题的关键．配套作业1．（2022秋•西城区校级期中）用“☆“定义一种新运算：对于任意有理数x和y，x☆y＝a2x+ay﹣2（a为常数）．例如：4☆3＝a2×4+a•3﹣2＝4a2+3a﹣2．若1☆2＝3，则2☆4的值为（）A．6B．10C．8D．12思路引领：根据x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，可以得到a2+2a的值，然后将所求式子变形，再将a2+2a的值代入计算即可．解：∵x☆y＝a2x+ay﹣2，1☆2＝3，∴a2×1+a×2﹣2＝3，∴a2+2a﹣2＝3，∴a2+2a＝5，∴2☆4。

七年级奥赛练习题:定义新运算班级 姓名规定新的代数运算是一类较新颖的数学问题，它是以近世代数为背景的。

近年来，多次出现在国内外的数学竞赛题中。

解这类问题的关键在于认识新运算的含义。

在计算时严格遵照规定的法则代入数值。

值得注意的是，这样规定的新运算未必满足通常的结合律及交换律。

一、填空题:1．对任意有理数A 、B ，规定A*B=2B A +，则1*9= 。

2．A ～B=1++⨯B A B A ，则2002～2003= 。

3．“*”表示一个运算符号，它的一个意思是：a*b=ab b a 22-，则5* (3*2)= 。

4．对于正有理数，运算“*”定义为a*b=b a ab +，则4* (4*4)= 。

5．规定f(a)=a 2＋2a ＋3, 则f(2)= 。

6．定义a △b=b a ＋ab ，则4△50= 。

7．若规定运算a*b=2(a ＋b)，则(a*b)*2= 。

8．若规定A △B=3A ＋4B ，则(4△5)△6= ，若7△B=45，则B= 。

9．对有理数a 、b ，规定a*b=ab －a －b ＋1，如果(x*x)*2=0，则 。

10．如果定义运算“*”，使得3*2=32＋42=25，4*3=42＋52＋62=77，则6*5= 。

二、解答题:11．“*”表示一种运算符号，它的含义是：x*y=xy 1＋))(1(1A y x ++。

已知2*3=31，求2002*2003。

12． a 、b 为有理数，当a ≥b 时，a*b=b a ，当a ＜b 时，a*b=b －a 。

若2*x=36,求x 的值。

13．x 是实数，﹤x ﹥表示不超过x 的素数的个数，如﹤5﹥=3，即不超过5的素数有2，3，5三个。

求﹤﹤19﹥×﹤9﹥＋﹤1﹥﹥的值。

14．对于有理数x 、y 定义一种运算“*”，规定x*y=ax ＋by －cxy ，其中a ，b ，c 为已知数，等式右边是加、减、乘法运算，又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x(m ≠0)。