人教A版必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》练习卷(1)

第八章 立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(基础练）一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）1．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．()4833+B ．()48323+C ．()2462+D ．1442．若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a ，棱台的高为336a ，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292aD ．232a 3．底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A ．3B ．1C ．32D ．134．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长5a =丈，上底边长4b =丈．高5h =丈．问它的体积是多少立方丈？（ ）A ．75B ．3053C ．3203D ．40035.已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥的表面积与正方体的表面积之比为（ ）A ．1:2B ．1:3C ．22D ．6二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）6．如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,侧面AA 1C 1C 的中心为O,点E 是侧棱BB 1上的一个动点,则三棱锥E-AA 1O 的体积不可能为 ( )A.1B.31C.61D.21 7．已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中22AB =，112A B =，1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A ．该四棱台的高为3B ．11AA CC ⊥ C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台体积为438．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的动点，则三棱锥E −BCD 的体积可能为（ ）A.10B.30C.60D.20三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分）9．已知正四棱锥的底面边长是25__________10．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.正四棱锥P EFGH -的高为3，2EF =，1AE =，则正四棱锥P EFGH -的斜高为__________,该组合体的表面积为_____________四、解答题：（本题共3小题，共45分。

必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积一、单选题1．如图，位于贵州黔南的“中国天眼”是具有我国自主知识产权､世界最大单口径､最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠所在球的半径为R ，球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，球冠底面圆的周长为C .已知球冠的表面积公式为2S Rh π=，若65000,500S C ππ==，则球冠所在球的表面积为（ ）A ．1620000πB ．1690000πC ．1720000πD ．1790000π 2．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）A ．)41B 1C ．)41D ．)813．已知ABC O 的球面上，若球O 的体积为32π3，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 4．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ）A ．36πB ．64πC ．128πD ．144π5．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 在线段1BD 上，且12BP PD =，M 为线段11B C 上的动点，则三棱锥M PBC -的体积为（ ）A ．319aB ．332aC ．313aD ．与点M 的位置有关6．已知正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，且正四棱锥P ABCD -的底面面积为6，侧面积为，则球O 的表面积为（ ）A ．323πBC ．16πD ．32π 7．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）AB C D 8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）A B C ．1 D ．149．阿基米德（Archimedes ，公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球（如图所示），该球与圆柱的两个底面及侧面均相切，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.若该球的体积为36π，则圆柱的体积为 （ ）A ．36πB ．45πC ．54πD ．63π 10．平行四边形ABCD 中，AB BD ⊥，且2224AB BD +=，沿BD 将四边形折起成平面ABD ⊥平面BDC ，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为（ ）A ．2πB ．2πC ．4πD ．16π 11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．122ππ+B ．144ππ+C ．12ππ+ D ．142ππ+ 12．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（ ）A B ．C D ．二、填空题13．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．14．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为2，底面边长为2，则该球的表面积为______.15．已知圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面）是一个边长为2的正方形，则此圆柱的体积为________．16．若球的大圆的面积为9π，则该球的体积为________17．若五棱台11111ABCDE A B C D E -的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．三、解答题18．圆台的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面的半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和.19．将棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -截去三棱锥1D ACD -后得到如图所示几何体，O 为11A C 的中点．（1）求证：//OB 平面1ACD ；（2）求几何体111ACB A D 的体积．20．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm ，高为30cm ，杯内有20cm 深的溶液．如图①，现将水杯倾斜，且倾斜时点B 始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图①中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．21．“圆锥的两条母线所作的一切截面中，以轴截面的面积最大”是否成立？答案第1页，共1页 参考答案：1．B2．D3．C4．D5．A6．C7．C8．D9．C10．C11．A12．A13．114．9π15．2π16．36π17．518．圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为25a π. 19．（1）见解析；（2）4.20．(1)2πα-；(2)45°﹒21．答案见解析。

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步精练【考点梳理】考点一棱柱、棱锥、棱台的表面积图形表面积多面体多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和，也就是展开图的面积考点二棱柱、棱锥、棱台的体积几何体体积说明棱柱V 棱柱＝Sh S 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高棱锥V 棱锥＝13ShS 为棱锥的底面积，h 为棱锥的高棱台V 棱台＝13(S ′＋S ′S ＋S )hS ′，S 分别为棱台的上、下底面面积，h 为棱台的高【题型归纳】题型一：棱柱侧面积和表面积1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（）A ．12B ．48C ．64D ．722．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是35cm ，则这个正四棱柱的表面积为A ．290cm B ．2365cm C ．272cm D ．254cm 3．已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（）A ．3034B ．6034C ．3034135+D ．135题型二：棱锥的侧面积和表面积4．已知四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，则该四面体的表面积为（）A ．3B ．23C ．33D ．435．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为6，点P 到底面ABC 的距离为3，则三棱锥的表面积是（）A ．93B ．183C ．273D ．3636．已知正四棱锥P ABCD -的底面正方形的中心为O ，若高2PO =，45PAO ∠=︒，则该四棱锥的表面积是（）A ．422+B ．442+C ．423+D ．443+题型三：棱台的侧面积和表面积7．正四棱台上、下底面边长分别为2cm ，4cm ，侧棱长2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．26cm B ．224cm C ．233cm D ．2123cm 8．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积.9．已知正四棱台1111ABCD A B C D -上､下底面的边长分别为4､10，侧棱长为6.求正四棱台的表面积.题型四：棱柱的体积10．已知圆柱1OO 及其展开图如图所示，则其体积为（）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．如图，棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为（）A ．13B ．14C ．16D ．11212．如下图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面三角形ABC 的边长为2cm ，侧棱14cm AA =，若侧面11AA B B 水平放置时（如下图2），水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点．（1）求容器中水的体积；（2）当容器底面ABC 水平放置时（如图1），求容器内水面的高度．题型五：棱锥的体积13．三棱锥的侧棱两两垂直，三个侧面三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，则三棱锥的体积是（）A ．123S S S B ．1233S S S C ．12323S S S D ．123223S S S14．设四棱锥的底面是对角线长分别为2和4的菱形，四棱锥的高为3，则该四棱锥的体积为（）A ．12B ．24C ．4D ．3015．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖､三角攒尖､四角攒尖､六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，某园林建筑为四角攒尖，它主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，若这个正四棱锥的棱长均为2，则该正四棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．423D ．42题型六：棱台的体积16.若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为（）A ．8B ．4C ．2D ．2217．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积等于（）A ．62+B ．322+C ．622+D ．618．已知正四棱台两底面边长分别为2和4，若侧棱与底面所成的角为45，（1）求棱台的高.（2）求棱台的表面积.【双基达标】一、单选题16．若正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14，则棱台的高度为19．若正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°，则此三棱柱的体积为（）A ．32B ．3C ．62D ．620．若正四棱台的上，下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为（）A ．103B ．73C ．143D ．1421．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上､下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，其高为3，1AA ⊥底面，底面扇环所对的圆心角为2π，弧AD 长度为弧BC 长度的3倍，且2CD =，则该曲池的体积为（）A ．92πB ．6πC ．112πD ．5π22．如图所示，在长方体ABCD A B C D ''''-中，用截面截下一个棱锥C A DD '''-则棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为（）A ．1：5B ．1：4C ．1：3D ．1：223．正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则它的表面积为（）A ．4(334)+B ．12(32)+C ．12(231)+D ．3(38)+24．如图，一个直三棱柱形状的容器中盛有水，侧棱14AA =，若侧面11AA B B 水平放置时，水面恰好过AC ，BC ，11AC ，11B C 的中点，当底面ABC 水平放置时，则水面的高为（）A ．2B ．52C ．3D ．7225．河北定州中学数学建模社团开展劳动实习，学习加工制作糖果包装盒.现有一张边长为10cm 的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）3cm A ．648B ．324C ．162D ．108【高分突破】一：单选题26．正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，则棱台的侧面积为（）A ．24cmB ．28cmC ．243cm D ．283cm 27．已知正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，侧棱长为3，则该正四棱锥的体积等于（）A ．43B ．433C ．43D ．428．刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的地方来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与立方体内切球的体积之比应为4π.后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =-牟方盖差，r 为球的半径，也即正方体的棱长均为2r ，从而计算出343V r π=球，记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2r 的正方形的方盖差为V 方盖差，则V V 方盖差正等于（）A ．2B ．22C ．12D ．2429．已知一个正三棱锥的高为2，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O B O C ''''=，32O A ''=，则此正三棱锥的体积为（）A ．233B ．23C ．36D ．3230．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（）A ．12.5尺､10833立方尺B ．12.5尺､32500立方尺C ．3.125尺､10833立方尺D ．3.125尺､32500立方尺二、多选题31．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为23，则下列叙述正确的是（）A ．正三棱锥高为3B ．正三棱锥的斜高为392C ．正三棱锥的体积为2734D ．正三棱锥的侧面积为939432．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，侧面11AAC C 的对角线交点O ，点E 是侧棱1BB 上的一个动点，下列结论正确的是（）A ．直三棱柱的侧面积是423+B ．直三棱柱的外接球表面积是8πC ．三棱锥1E AAO -的体积与点E 的位置有关D ．1AE EC +的最小值为2233．已知正四棱台1111ABCD A B C D -，上底面1111D C B A 边长为2，下底面ABCD 边长为4，高为1，则（）A ．该四棱台的侧棱长为3B ．二面角1A BC B --的大小为4πC ．该四棱台的体积为1423D ．1AA 与BC 所成角的余弦值为1334．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则（）A ．该截角四面体一共有12条棱B ．该截角四面体一共有8个面C ．该截角四面体的表面积为73D ．该截角四面体的体积为23212三、填空题35．如图，一个正四棱锥（底面为正方形且侧棱均相等的四棱锥）的底面的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积为___________.36．如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的体积是12，点P 为棱1AA 上任意一点，则四棱锥11P BB C C -的体积为______．37．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为3cm ，高为2cm ，内孔直径为1cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是__________3cm ．38．如图，三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，记三棱锥111C A B B -体积为1V ，三棱台111ABC A B C -的体积为2V ，则12V V =______．四、解答题39．如图，设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m ，底的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（保留两位有效数字）？40．如图，某展览馆外墙为正四棱锥的侧面，四个侧面均为底边长为35.4m ，高为27.9m的等腰三角形．试求：(1)展览馆的高度；(2)外墙的面积；(3)该四棱锥的体积．41．如图，正三棱锥（底面是正三角形，侧棱长都相等）P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3．（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积．42．如图，四棱台1111ABCD A B C D -，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，且AB =5，11A B =4，110AA =.（1）求四棱台1111ABCD A B C D -的侧面积；（2）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积.(台体体积公式()13V S S S S h =++⋅⋅下下上上)43．正棱锥S ﹣ABCD 的底面边长为4，高为1.求：（1）棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）棱锥的表面积与体积.44．某人买了一罐容积为V L ，高为a m 的直三棱柱形罐装进口液体车油，由于不小心摔落地上，结果有两处破损并发生渗漏，它们的位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为b m ，c m 的地方（如图）．为了减少罐内液体车油的损失，该人采用破口朝上，倾斜罐口的方式拿回家．试问罐内液体车油最多还能剩多少？45．一块边长为12cm的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．（1）请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积V表示为关于x的函数，并标明其定义域；（2）若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．请指出此时x的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积S．【答案详解】1．D 【详解】解：六棱柱的底面是边长为3的正六边形，故底面周长6318C =⨯=，又侧面是矩形，侧棱长为4，故棱柱的高4h =，∴棱柱的侧面积72S Ch ==，故选：D 2．A 【解析】求出侧棱长，再求出侧面积和两个底面积，即可得表面积．【详解】由题意侧棱长为22(35)36-=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．故选：A.【点睛】本题考查棱柱的表面积，解题关键是求出侧棱长．3．A由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为22915334222骣骣鼢珑+=鼢珑鼢珑桫桫，则这个直棱柱的侧面积为3434530342创=.4．D 【详解】因为四面体ABCD 的各面均为等边三角形，且棱长为2，所以1322322BCDS=⨯⨯⨯=，所以该四面体的表面积443BCDS S ==.故选：D.5．C 【解析】【分析】利用已知条件求解斜高，然后求解正三棱锥的表面积．【详解】解：由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：136332⨯⨯=，所以正三棱锥的斜高为：()223323+=，所以这个正三棱锥的侧面积为：136231832⨯⨯⨯=，正三棱锥的底面积为：216sin 60932⨯︒=．所以正三棱锥的表面积为18393273+=故选：C ．6．D 【解析】【分析】先在正四棱锥中由高2PO =，45PAO ∠=︒，求出底面边长和侧棱的长，然后再求表面积.【详解】依题意，正四棱锥的高PO ⊥底面ABCD ，且45PAO ∠=︒，知PAO 为等腰直角三角形，则侧棱22sin sin 45PO PA PAO ===∠︒，且2AO PO ==，则底面正方形ABCD 的对角线2222AC AO AB ===，得正方形的边长2AB =，从而知正四棱锥的4个侧面均是边长为2的正三角形；所以底面积为：24AB =；侧面积为：14422sin 60432PABS =⨯⨯⨯⨯︒=故正四棱锥的表面积为：443+．故选：D7．D 【解析】【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．【详解】解：设2a cm =，4b cm =，2=l cm ，可得正四棱台的斜高为22()413()2b a h l cm -'=-=-=，所以棱台的侧面积为21(44)2(24)3123()2S a b h cm '=+=⨯+⨯=．故选：D ．8．棱台的高为439，体积为289.【解析】【分析】根据题意分析该三棱锥为正三棱锥，作出该棱锥的高和斜高，先利用侧面面积等于上、下底面面积之和求出斜高，再利用直角梯形11DOO D 求出高，进而利用体积公式求其体积.【详解】如图所示，在三棱锥111ABC A B C -中，1O 、O 分别是上、下底面的中心，1D 、D 分别是11B C 、BC 的中点，连接1OO 、11A D 、AD 、1DD ，则1O 、O 分别在11A D 、AD 上，则1OO 是三棱锥的高，记为h ，1DD 是等腰梯形11BCC B 的高，也是三棱锥的斜高，记为0h ，所以()001=32+492S h h ⨯⨯=侧；上、下底面面积之和为()221+=2+4sin 60532S S ⨯=下上，由+S S S =下侧上得：09=53h ，即0539h =，又111332323O D =⨯⨯=，13234323OD =⨯⨯=，在直角梯形11DOO D 中，2222111153343()()()939h OO D D OD O D ==--=-=，则三棱锥的体积14328(343343)399V =⨯++⨯⨯=.9．116843+【解析】【分析】首先在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，从而得到33AE =，再计算表面积即可.【详解】如图所示：正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,10,6AB A B AA ===，在等腰梯形11ABB A 中，过A 作11AE B A ⊥于E ，则110432A E -==，所以2222116333=-=-=AE AA A E ，所以正四棱台的表面积为2214104(410)331168432++⨯⨯+⨯=+.【点睛】本题主要考查几何体的表面积，属于简单题.10．D 【解析】【分析】结合展开图求出圆柱的底面半径与高，进而结合体积公式即可求出结果.【详解】设底面半径为r ，高为h ，根据展开图得422h r ππ=⎧⎨=⎩，则41h r =⎧⎨=⎩，所以圆柱的体积为22144r h πππ=⨯⨯=，故选：D.11．C 【解析】【分析】设',,AB a AD b AA c ===，然后表示出棱锥D A CD ''-体积和长方体的体积，再进行相除可得答案【详解】解：设',,AB a AD b AA c ===，因为''A D ⊥平面'D DC ，所以''111326D A CD A D DC V V abc abc ''--==⨯=，因为ABCD A B C D V abc ''''-=，所以棱锥D A CD ''-体积与长方体ABCD A B C D ''''-体积的比值为16，故选：C12．（1）()333cm ；（2）3cm ．【解析】【分析】（1）在图2中，根据四棱柱的体积公式计算可得；（2）设图1中水高度为cm h ，根据水的体积相等得到方程，解得即可；【详解】解：（1）在图2中，水所占部分为四棱柱．四棱柱底面积为()22211332sin 601sin 60224S cm =⨯⨯︒-⨯⨯︒=，又高为4cm 所以水的体积为()3334334V cm =⨯=，（2）设图1中水高度为cm h ，则212sin 60332V h =⨯⨯︒⨯=，解得3h =．所以当容器底面ABC 水平放置时，容器内水面的高度为3cm ．13．C 【解析】【分析】根据三棱锥的侧棱两两垂直，推出三个侧面都是直角三角形，根据直角三角形的面积公式和三棱锥的体积公式可求出结果.【详解】因为三棱锥的侧棱两两垂直，所以三个侧面都是直角三角形，设三条侧棱长分别为,,a b c ，则123111222S S S ab bc ac =⋅⋅，所以1238abc S S S =，所以三棱锥的体积1231118326V a bc S S S =⋅=⨯12323S S S =.故选：C 14．C 【解析】【分析】求出菱形的面积后可求四棱锥的体积.【详解】所求的体积为11324432⨯⨯⨯⨯=，故选：C.15．C 【解析】【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得AO 、PO 的长，根据椎体体积公式，即可得答案.【详解】如图所示，正四棱锥P ABCD -棱长均为2，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO 根据正四棱锥的性质，可得PO ⊥平面ABCD .所以22122AO AB BC =+=，222PO PA AO =-=，所以正四棱锥P ABCD -的体积14222233V =⨯⨯⨯=.故选：C 16．C 【解析】【分析】根据给定条件结合正四棱台的结构特征列出棱台的相关量的表达式，再借助棱台体积公式列式计算即得.【详解】如图，设棱台的上、下底面边长分别为2x ，8x ，斜高h '为5x ，则棱台的高h =22(5)(3)x x -=4x ，由棱台的体积公式1()3V S SS S h ''=++得：2224161)31(6444++x x x x ⋅=，解得12x =，棱台的高为h =4x =2.故选：C 17．C 【解析】【分析】依题意直接利用台体体积的计算公式即得结果.【详解】依题意，棱台的上底面面积2S '=，下底面面积4S =，高为3h =，故由公式可知，棱台的体积是()()11284362233V S S S S h ''=++=⨯++⨯=+，故选：C.18．（1）2；（2）12320+.【解析】【分析】（1）设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，过E 作EF BC ⊥于F ，可得145C CO ∠=，根据各线段的长利用勾股定理即可求高；（2）由棱台的高求出斜高，由梯形的面积公式求出侧面积，与上下底面积求和即可.【详解】（1）因为棱台是正四棱台，所以上下底面都是正方形，因为两底面边长分别为2和4，所以1122AC =，42AC =，如图，设1O ､O 分别为上､下底面的中心，连接1OO ,因为棱台是正四棱台，所以1OO ⊥面ABCD ，过1C 作1C E AC ⊥于E ，则11//C E O O ，过E 作EF BC ⊥于F ，连接1C F ，则1C F 为正四棱台的斜高，由题意知145C CO ∠=，因为正四棱台两底面边长分别为2和4，所以1112222C E CE CO EO CO C O ==-=-=-=，所以棱台的高为2，（2）因为正四棱台的高为2，又2sin 45212EF CE =⋅=⨯=，所以斜高222211(2)13C F C E EF =+=+=，所以侧面积为：()124341232⨯+⨯⨯=，底面积为224420⨯+⨯=，所以表面积为：12320+.19．C 【解析】【分析】根据题意得该三棱柱底面棱长为2，高为2，再结合体积公式计算即可.【详解】解：因为正三棱柱一个侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成角为45°,所以该三棱柱底面棱长为2，高为2，所以该正三棱柱的体积为：1622sin 60222V Sh ==⨯⨯⨯⨯=故选：C 20．C 【解析】【分析】根据棱台的体积公式即可直接求出答案.【详解】()()111414142333V S S SS h ''=++=++⨯⨯=台.故选：C.21．B 【解析】【分析】利用柱体体积公式求体积.【详解】不妨设弧AD 所在圆的半径为R ，弧BC 所在圆的半径为r ，由弧AD 长度为弧BC 长度的3倍可知3R r =，22CD R r r =-==，即1r =.故该曲池的体积22()364V R r ππ=⨯-⨯=.故选：B 22．A 【解析】【分析】由长方体的性质，结合三棱锥的体积公式、长方体的体积公式求C A DD '''-及剩余部分的体积，进而求其比例即可.【详解】由图知：13C A DD A DD V C D S'''''-''=⋅⋅，ABCD A B C D A D DA V C D S ''''''-''=⋅，而2A D DA A DD S S''''=，∴剩余部分的体积为53ABCD A B C D C A DD A DD V V C D S '''''''''--''-=⋅，∴棱锥C A DD '''-的体积与剩余部分的体积之比为1：5.故选：A 23．B 【解析】【分析】根据正六棱柱的结构特征，求出棱柱的高，再计算它的表面积.【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为25，则高为()()22125222BB -⨯==，它的表面积为()16=2622sin 62212324123223S S S π=+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+=+表面积底面积矩形.故选:B.24．C 【解析】【分析】根据题意，当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，利用等体积法可得解.【详解】当侧面11AA B B 水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形面积为S ，此时水的体积14V S AA S=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h ，此时水的体积ABC V S h =⋅V 又34ABC S S =V ，43ABC S h S ∴==V 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，等体积法时解题的关键，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．25．B 【解析】【分析】利用正六边形的性质求出正六棱柱的高，再根据棱柱的体积：V S h =⋅底即可求解.【详解】如图：由正六边形的每个内角为23π，按虚线处折成底面边长为6cm 的正六棱柱，即6AB =，所以1062,tan 60232BE BF BE -====，即正六棱柱的高为23所以正六棱柱体积：136662332422V =⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：B 26．D 【解析】【分析】利用已知条件求出斜高，然后求解棱台的侧面积即可.【详解】正四棱台的上、下底面边长分别为1cm ，3cm ，侧棱长为2cm ，所以棱台的斜高为:22312()32--=.所以棱台的侧面积是:1343832+⨯⨯=.故选：D.27．A 【解析】【分析】首先计算正四棱锥的高，再计算体积.【详解】如图，正四棱锥S ABCD -，3SB =，2OB =，则1SO =，则该正四棱锥的体积1422133V =⨯⨯⨯=.故选：A 28．A 【解析】【分析】根据已知条件计算出V 方盖差、V 正，即可得解.【详解】由题意可得3333114418833V r V r r r ππ=-=-⨯⨯=方盖差牟，所有棱长都为r 的正四棱锥的底面对角线长为2r ，高为222222h r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，23122326V r r r =⨯=正，因此，16232V V =⨯=方盖差正.故选：A.29．A 【解析】【分析】根据32O A ''=的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，再结合题中给出三棱锥的高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】因为直观图中O B O C ''''=，32O A ''=，所以在原图中OA 为底面正三角形的高，3OA =，则正三角形边长为2，面积为12332⨯⨯=，又因为正三棱锥高为2，所以其体积为1233233⨯⨯=.故选：A.30．A 【解析】【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．【详解】解：如图所示，正四棱锥P ABCD -的下底边长为三丈，即30AB =尺，高二丈五，即25OO '=尺；截去一段后，得正四棱台ABCD A B C D -''''，且上底边长为10A B ''=尺，所以1102125302POPO⨯'=+'⨯，解得25'12.52PO==，所以该正四棱台的体积是22125(30301010)108333V=⨯⨯+⨯+=（立方尺）．故选：A．31．ABD【解析】【分析】先求出正三棱锥的高和斜高，从而可判断AB的正误，再计算出体积和侧面积，从而可判断CD的正误.【详解】设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接,,PF EF PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又9391242PF =-=，333232EF =⨯=，故393344PE =-=,故AB 正确.而正三棱锥的体积为139339344⨯⨯⨯=，侧面积为13993933224⨯⨯⨯=，故C 错误，D 正确.故选：ABD.32．ABD 【解析】【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A ；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式即可判断B ；由棱锥底面积与高为定值判断C ；将侧面展开即可求出最小值判断D ．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，1AB BC ==，120ABC ︒∠=,则3AC =，底面ABC 和111A B C 是等腰三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+32423⨯=+，故A 正确；设底面外接圆半径为r ，即32sin120r =，即1r =，所以直棱柱的外接球半径22112R =+=，直三棱柱的外接球表面积为248S R ππ==，故B 正确；由BB 1∥平面AA 1C 1C ，且点E 是侧棱1BB 上的一个动点，∴三棱锥1E AAO -的高为定值12，114AA OS=×3×2＝32，∴1E AA O V -=13×32×12＝312，故C 错误；把侧面11AAC C 和侧面11CC B B 展开在一个平面上，当E 为1BB 的中点时，1AE EC +取最小值，()()22min121122AE EC =++=+，故D 正确．故选：ABD ．33．AB 【解析】【分析】结合正四棱台中的直角梯形、直角三角形根据二面角的定义、体积公式、异面直线所成的角的定义计算．【详解】如图，1B F ⊥平面ABCD 于F ，1B E BC ⊥于E ，则1B F 是的高，1B E 是斜高，显然F 在对角线BD 中，11B F =，114,2AB A B ==，则1(4222)22BF =-=，所以22113BB BF B F =+=，A 正确，直角1B EF 中1B EF ∠是二面角1A BC B --的平面角，1(42)12EF =⨯-=1B F =，所以14B EF π∠=，B 正确；221281(2244)33V =⨯⨯+⨯+=，C 错；//BC AD ，所以BC 与1AA 所成的角为1A AD ∠或其补角．又12B E =，113cos 33B BC ∠==，正四棱台中11A AD B BC ∠=∠，D 错．故选：AB ．34．BCD 【解析】【分析】确定截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，然后分别求解四面体的表面积，体积即可判断选项.【详解】对于AB ，可知截角四面体是由4个边长为1的正三角形，4个边长为1的正六边形构成，故该截角四面体一共有8个面，18条棱，故A 错误，B 正确；对于C ，边长为1的正三角形的面积13311224S =⨯⨯⨯=，边长为1的正六边形的面积1333611222S =⨯⨯⨯⨯=，故该截角四面体的表面积为33344=7342S =⨯+⨯，故C 正确；对于D ，棱长为1的正四面体的高22361323h ⎛⎫=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，利用等体积法可得该截角四面体的体积为13613633311232=4331122322312V ⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯，故D 正确.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的表面积及体积求法，解题的关键是审清题意，清楚截角四面体的定义及构成，考查学生的空间想象能力与运算求解能力，属于较难题.35．32【解析】【分析】根据正棱锥中高与斜高的夹角求出斜高的长，即可求出侧面积.【详解】在正四面体中易知，PO 是正棱锥的高，PE 是正棱锥的斜高，2OE =,30OPE ∠=︒,4PE ∴=,1444322侧==S ∴⨯⨯⨯，故答案为：3236．8【解析】【分析】利用等体积法证明四棱锥11P BB C C -的体积与斜三棱柱111ABC A B C -的体积的关系，即可得解.【详解】11111111111111111111233ABC A B C A B C ABC A B C ABC A B C ABC A B C P BB C C A BB C C A V V V V V V V -------==-=-=21283=⨯=故答案为：837．932π-【解析】【分析】利用柱体体积公式分别计算六棱柱和中间空圆柱的体积，相减即得.【详解】六棱柱的体积为：()1633sin 602932⎧⎫⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，圆柱的体积为：2(0.5)22ππ⨯⨯=，所以此六角螺帽毛坯的体积是：393cm 2π⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：932π-.38．17【解析】【分析】利用相似关系确定上下底面面积的比值，将棱锥转换顶点，结合体积公式求得两个几何体的体积，即可求解.【详解】由三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，可得上、下底面的面积比为1:4，设棱台的高为h ，则点B 到111A B C △的距离也为h ，上底面面积为S ，则下底面面积为4S ，则11111111111111317(44)3C A B B B A B C ABC A B C ABC A B C Sh V V V V S S S S ----===++⨯.故答案为：17.39．3.4【解析】【分析】先利用勾股定理求出正四棱锥的斜高，再利用正棱锥的侧面积公式即可求出结果．【详解】如图，连接SE：S 表示塔的顶点，O 表示底面的中心，则SO 是高，设SE 是斜高，在Rt SOE △中，根据勾股定理得22221.5()0.85=1.285(m)2SE SO OE =+=+，所以()()21 1.54 1.285 3.4m 2S =⨯⨯⨯≈正四棱锥侧，答：制造这种塔顶需要铁板约23.4m ．40．(1)21.6m (2)21975.32m (3)39022.752m 【解析】【分析】（1）根据勾股定理计算棱锥的高；（2）每个侧面均为等腰三角形，从而可得出侧面积；（3）代入棱锥的体积公式计算体积．(1)解：（1）设正四棱锥为P ABCD -，连接,AC BD 交与点O ，连接OP ，则OP 即为正四棱锥为P ABCD -的高，设AB 的中点为M ，连接OM ，PM ，117.7m 2OM AB ∴==，27.9m PM =，2221.6m PO PM OM ∴=-≈，即展览馆的高度为21.6m ；(2)21135.427.9493.83m 22PAB S AB PM ==⨯⨯=，∴展览馆的外墙面积为24493.831975.32m ⨯=；(3)四棱锥的体积231135.421.69022.752m 33ABCD V S PO ==⨯⨯=．41．（1）623+；（2）233【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．求解PO ，再由棱锥体积公式求解．【详解】解：（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD 中，可得22223122PD PB BD =-=-=．∴1222PBC S BC PD ==．正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是233622PBC S =⨯=．正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032ABC S =⨯⨯⨯︒=△．则正三棱锥P ABC -的表面积为623+；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ⊥底面ABC ．且1333OD AD ==．在Rt POD 中，()22223692233PO PD OD ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭．∴正三棱锥P ABC -的体积为11692333333ABC S PO ⋅=⨯⨯=．42．（1）9399；（2）613986.【解析】【分析】（1）求出梯形11A B BA 的面积后可得四棱台的侧面积.（2）求出四棱台的高后利用公式可求其体积.【详解】（1）在梯形11A B BA 中，过11,A B 作AB 的垂线，垂足分别为,E F ，则54122AE -==，故1139910042A E =-=，故梯形11AB BA 的面积为()1399939945224+⨯=，故四棱台的侧面积为9399493994⨯=.（2）如图，过1A 作1A O ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接EO .因为侧面是全等的等腰梯形，故11A AD A AB ∠=∠，所以O 在DAB ∠的平分线上，故45EAO ∠=︒，因为AB Ì平面ABCD ，故1A O AB ⊥，而1111,A E AB A EAO A ⊥=，故AB ⊥平面1A EO ，而EO ⊂平面1A EO ，故AB EO ⊥.由（1）可得12AE =，故12EO =，所以139913983984442AO =-==，故四棱台的体积为()139861398251645326++⨯⨯=.43．（1）侧棱长为3，侧面的高为5；（2）表面积1685+，体积为163.【解析】【分析】（1）设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，连结,OM OB ，分别在Rt SOD 和Rt SOM ，即可求得棱锥的侧棱长和侧面的高；（2）由（1）利用棱锥的侧面积公式和体积公式，即可求解.【详解】（1）如图所示，设SO 为正四棱锥S ABCD -的高，则1SO =，作OM BC ⊥，则M 为BC 中点，连结,OM OB ，则,SO OB SO OM ⊥⊥，因为4,2BC BM ==，可得2,22OM OB ==，在Rt SOD 中，22183SB SO OB =+=+=，在Rt SOM 中，225SM SO OM =+=，所以棱锥的侧棱长为3，侧面的高为5.（2）棱锥的表面积为4SBC ABCD S S S =+正方形=1444(45)16852⨯+⨯⨯⨯=+，几何体的体积为1116441333ABCD V S SO =⨯=⨯⨯⨯=正方形.44．3a b c V a++L.【解析】【分析】由题可知当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，然后利用椎体体积公式及条件即求.【详解】如图所示，设直三棱柱的底面面积为S ，则V =aS ,当平面1A DE 与水平面平行时，容器内的油是最理想的剩余量，连接11,A B AC ，则。

8.3 简单几何体的表面积与体积8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后·训练提升1.长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是( )A.6√3B.3√6C.11D.12答案:A解析:设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则ab=2,bc=6,ac=9.∴a2b2c2=108,abc=6√3,即V=6√3.2.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是( )A.√3B.√2C.√3D.√32答案:A解析:如图,正方体的A',C',D,B的四个顶点可构成一个正四面体,设正方体棱长为a,则正四面体棱长为√2a.∴正方体表面积S1=6a2,正四面体表面积为S2=4×√34×(√2a)2=2√3a2,∴S 1S 2=22√3a 2=√3.3.如图,直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V,点P,Q 分别在侧棱AA'和CC'上,AP=C'Q,则四棱锥B-APQC 的体积为( )A.V 2B.V3C.V4 D.V5答案:B4.正三棱锥的底面边长为a,高为√66a,则此棱锥的侧面积等于( ) A.34a 2B.32a 2C.3√34a 2D.3√32a 2 答案:A解析:侧棱长为√(√66a)2+(√33a)2=√22a,斜高为√(√22a)2-(a 2)2=a2,故S 侧=3×12×a×a2=34a 2.5.如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1,则四棱锥C-AA'B'B 的体积是( )A.13B.12C.23D.34答案:C解析:因为V C-A'B'C'=13V 三棱柱=13,所以V C-AA'B'B =1-13=23.6.已知棱长为1,各面均为等边三角形的四面体,则它的表面积是 ,体积是 . 答案:√3 √212解析:S表=4×√34×12=√3,V 体=13×√34×12×√12-(√33)2=√212. 7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,若E,F 分别为AC,AB 的中点,平面EC'B'F 将三棱柱分成体积为V 1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V 2的两部分,则V 1∶V 2= .答案:7∶5解析:设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=V 1+V 2=Sh.因为E,F 分别为AC,AB 的中点,所以S △AEF =14S.所以V 1=13h (S +14S +√S ·S 4)=712Sh,V 2=V-V 1=512Sh.所以V 1∶V 2=7∶5.8.如图,正三棱锥P-ABC 的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A 1B 1C 1-A 0B 0C 0的顶点A 1,B 1,C 1分别在三条棱上,A 0,B 0,C 0分别在底面△ABC 上,求此三棱柱的侧面积的最大值.解:设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略),则PO 为三棱锥的高, 设A 1,B 1,C 1所在的平面与PO 交于O 1点,则A 1B 1AB=PO 1PO,令A 1B 1=x,而PO=h,则PO 1=h ax,于是OO 1=h-PO 1=h-h ax=h(1-x a). 所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h (1-xa)=3ha (a-x)x=3h a[a 24-(x-a2]2].当x=a 2时,S 有最大值为34ah,此时O 1为PO 的中点.。

精英同步卷：8.3简单几何体的表面积与体积1、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（）A.32413+ B.32213+C.22221413++ D.22221213++2、如图,网格纸上的小正方形的边长为1,粗线(实线、虚线)画出的是某几何体的三视图,其中的曲线都是半径为1的圆周的四分之一,则该几何体的表面积为( )A.20B.π204+ C.3π204+ D.5π204+3、若圆锥的侧面展开图的圆心角为90︒，半径为r，则该圆锥的全面积为（）A．2π16rB．23π16rC．2π4rD．25π16r4、如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 2843122++B. 3643122++C. 3642123++D. 44122+5、下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )A. 20πB. 24πC. 28πD. 32π6、若某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是( )A. 32cmB.33cmC. 333cmD. 33cm7、已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，3BC =．若球心O 在三棱锥的高AQ 的三等分点处，则球O 的半径为（ ）A ．364B ．2C ．3D ．48、已知正方体的体积是64,则其外接球的表面积是( ) A. 323π B. 192πC. 48πD.无法确定9、已知SC 是球 O 的直径, ,?A B 是球 O 球面上的两点,且1,3CA CB AB ==,若三棱锥S ABC -的体积为1,则球 O 的表面积为( ) A. 4π B. 13π C. 16π D. 52π10、某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的表面积为（ ）A.16B.206π+C.142π+D.16π+11、如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。

人教A版（2019）必修第二册《8.3 简单几何体的表面积与体积》同步练习一、单选题（本大题共15小题，共75分）1.（5分）三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上.棱锥P−ABC的各棱长为：PA=2，PB=3，PC=4，AB=√13，BC=5，AC=2√5，则球O的表面积为()A. 28πB. 29πC. 30πD. 31π2.（5分）点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=1，∠ABC=120°，若四面体ABCD体积的最大值为√34，则这个球的表面积为()A. 500π81B. 4π C. 25π9D. 100π93.（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中《商功》有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？“，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多少？”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2700立方寸(单位换算：1立方丈=106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1000钱，则主人卖后可得银子()A. 200两B. 240两C. 360两D. 400两4.（5分）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，ΔBCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为()A. 8πB. 12πC. 16πD. 32π5.（5分）若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆，则该圆锥的体积为()A. 2√3π3B. 2√6π3C. 2√6πD. 4√3π6.（5分）一个三棱锥P−ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直，且长度分别为1，√5，2，则这个三棱锥的外接球的表面积为()A. 10πB. 15πC. 25πD. 40π7.（5分）设三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱垂直于底面，AB=AC=2，∠BAC=120°，AA1=3√3，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A. 46πB. 35πC. 43πD. 39π8.（5分）RtΔABC中，AB=3，BC=4，AC=5，将三角形绕直角边AB旋转一周所成的几何体的侧面积为A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π9.（5分）已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB =BC =AC =OO 1，则球O 的体积为()A.2563π B. 64π C. 643π D. 323π10.（5分）已知SC 是球O 的直径，A ，B 是球O 球面上的两点，且CA =CB =1，AB =√3.若三棱锥S −ABC 的体积为1，则球O 的表面积为( )A. 52πB. 16πC. 13πD. 4π11.（5分）已知体积公式V =kD 3中的常数k 称为“立圆率”．对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)、正方体也可利用公式V =kD 3求体积(在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长).假设运用此体积公式求得等边圆柱(底面圆的直径为a)、正方体(棱长为a)、球(直径为a)的“立圆率”分别为k 1、k 2、k 3，那么k 1；k 2；k 3=()A. π4：1：π6 B. π4：2：π6 C. 3：2π：2D. 16：1π：1412.（5分）长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2，BC =1，AA 1=2，M 为侧面CC 1D 1D 内(含边界)的动点，且满足tan ∠MAD +tan ∠MBC =2√3，则四棱锥M −ABCD 体积的最小值为( )A.2√23B.2√33C.2√39D.4√3913.（5分）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．如图所示是一个棱数为24的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的．若被截正方体的棱长为0.5m ，则该半正多面体的表面积为( )A. 6m 2B. 3√3m 2C. (3+√3)m 2D.3+√34m 214.（5分）正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =3，BB 1=4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R −PQMN 的体积是( )A. 6B. 10C. 12D. 不确定15.（5分）古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形是阿基米德最引以为自豪的发现．现有一底面半径与高的比值为1:2的圆柱，则该圆柱的体积与其内切球的体积之比为()A. 43B. 32C. 2D. 83二、填空题（本大题共5小题，共25分）16.（5分）若正四棱锥的底面边长为2√2，体积为8，则它侧面积为______.17.（5分）已知三棱锥P−ABC内接于表面积为36π的球中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=√3，PB⊥BC，∠APB=120°，则三棱锥P−ABC体积为 ______.18.（5分）如图所示，已知三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1−AB C1的体积为________.19.（5分）已知ΔABC内接于球O的一个截面圆中，AB=6，AC=8，cos∠CBA=35，且球面上的点到面ABC的距离的最大值为7+2√6，则球O的表面积为______．20.（5分）已知三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，AB=2√3，AC=2，则三棱锥P−ABC的体积为______．三、多选题（本大题共5小题，共20分）21.（4分）如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 是平面A 1BC 1内一个动点，且满足PD +PB 1=2+√13，则下列结论正确的是()A. B 1D ⊥PBB. 点P 的轨迹是一个半径为√2的圆C. 直线B 1P 与平面A 1BC 1所成角为π3D. 三棱锥P −BB 1C 1体积的最大值为32+√6222.（4分）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上、所有面均与内球相切，则A. 该正方体的棱长为2B. 该正方体的体对角线长为3+√3C. 空心球的内球半径为√3−1D. 空心球的外球表面积为(12+6√3)π23.（4分）三棱锥A −BCD 各顶点均在表面积为20π的球体表面上，AB =CB =2，∠ABC =120°，∠BCD =90°，则()A. 若CD ⊥AB ，则CD =2B. 若CD =2，则CD ⊥ABC. 线段AD 长度的最小值为√10D. 三棱锥A −BCD 体积的最大值为√324.（4分）已知正四面体ABCD 的棱长为2√2，其外接球的球心为O.点E 满足AE →=λAB →(0<λ<1)，CF →=μCD →(0<μ<1)，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，平面α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，AD 相交于点M ，G ，H ，则()A. 四边形EMGH 的周长为定值B. 当入=14时，平面α截球O 所得截面的周长为√472π C. 四棱锥A −EMGH 的体积的最大值为6481D. 当λ=μ=12时，将正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后与原四面体的公共部分体积为4325.（4分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，其中正确的说法是()A. 有水的部分始终呈棱柱状B. 水面四边形EFGH的面积不改变C. 棱A1D1始终与水面EFGH平行D. 当E∈AA1时，AE+BF是定值四、解答题（本大题共6小题，共30分）26.（5分）如图，在四棱锥S−ABCD中，正ΔSBD所在平面与矩形ABCD所在平面垂直．(1)证明：S在底面ABCD的射影为线段BD的中点；(2)已知AB=4，AD=2，E为线段BD上一点，且CE⊥BD，求三棱锥E−SAD的体积．27.（5分）(1)一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是2cm，求球的表面积；(2)已知各面均为等边三角形的四面体S−ABC的棱长为1，求它的体积.28.（5分）三棱锥S−ABC中，侧面SBC⊥底面ABC，BC是等腰直角三角形ABC的斜边，且BC=2,SA=SB=√2．(1)求证：SA⊥BC；(2)已知平面α//平面SBC，平面α∩平面ABC=l，A∈α，D∈l，且C、D到平面SAB的距离相等，试确定直线l及点D的位置(说明作法及理由)，并求三棱锥S−ABD的体积．29.（5分）如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为√3的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积．30.（5分）正三棱锥的高为1，底面边长为2√6，内有一个球与它的四个面都相切，求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的半径.31.（5分）已知直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=4，且侧棱AA1=6.(Ⅰ)在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图(不要求写出画法，但要标上字母，并注意：先用铅笔作出草图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，以保证扫描效果)(Ⅰ)求该三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：三棱锥P−ABC的所有顶点都在球O的球面上．棱锥P−ABC的各棱长为：PA=2，PB=3，PC=4，AB=√13，BC=5，AC=2√5，可知：PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，所以三棱锥P−ABC是长方体的一个角，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，所以r=12√22+32+42=√292∴球O的表面积S=4πr2=4π×294=29π．故选：B．判断三棱锥的形状，可知三棱锥可知为长方体，利用长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，求解外接球的半径，由此能求出球O的表面积．此题主要考查球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．2.【答案】D;【解析】解：根据题意知，A、B、C三点均在球心O的表面上，且|AB|=|AC|=1，∠ABC=120°，∴BC=√3，∴ΔABC外接圆半径2r=2，即r=1，∴SΔABC=12×1×1×sin120°=√34，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积SΔABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为13SΔABC×DQ=√34，∴DQ=3，设球的半径为R，则在直角ΔAQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=12+(3−R)2，∴R=53，∴球的表面积为4π.259=100π9，故选：D．根据几何体的特征，小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积SΔABC不变，高最大时体积最大，可得DQ与面ABC垂直时体积最大，从而求出球的半径，即可求出球的表面积．该题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键．3.【答案】D;【解析】解：∵有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，∴底面半径r=122π=2(丈)，∴体积V=13×πr2×ℎ=13×3×22×1=4(立方丈)=4×106(立方寸)，∴主人卖后可得银子：4×1062700×2701000=400(两).故选：D.先求出底面半径r=122π=2(丈)，再求出体积V=13×πr2×ℎ=4(立方丈)=4×106(立方寸)，由此能求出主人卖后可得银子数量．此题主要考查圆锥体积的求法及应用，考查圆锥的体积公式、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．4.【答案】C;【解析】解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，ΔBCD是边长为3的等边三角形．∴RtΔABC≌RtΔABD，ΔACD是等腰三角形，ΔBCD的中心为G，作OG//AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=3√32，BG=√3，R=√BG2+(12AB)2=√3+1=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．该题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解答该题的关键．5.【答案】B;【解析】解：设圆锥的母线和底面圆的半径分别为l，r，根据侧面展开图是一个面积为4π的半圆，可得：12πl2=4π,2πr=12⋅2πl，解得：l=2√2,r=√2，进而可得圆锥的高ℎ=√l2−r2=√6，所以体积为：13πr2ℎ=13π×2×√6=2√6π3.故选：B.根据圆锥侧面展开图的面积以及弧长与圆锥底面以及母线长之间的关系，可求母线和底面圆半径的大小，进而根据勾股定理求高，根据体积公式即可求解．此题主要考查了圆锥体积的计算，属于基础题．6.【答案】A;【解析】解：此三棱锥的外接球即棱长分别为1，√5，2的长方体的外接球，而长方体的体对角线即为球的直径，球的直径2R=√1+5+4=√10，∴R=√102，故外接球的表面积S=4πR2=4π×104=10π，故选：A．先将三棱锥的外接球问题转化为长方体的外接球问题，再利用长方体的对角线计算公式，求得其外接球的直径，进而利用球的表面积计算公式计算即可．这道题主要考查了球与锥的接切问题，利用三条侧棱两两垂直的三棱锥的外接球即为对应长方体的外接球，可提高效率，减少运算量．7.【答案】C;【解析】解：由题意知底面△ABC外接圆的圆心为点O，设外接圆的半径为r，三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，AB=AC=2，∠BAC=120°，由余弦定理得BC=√AB2+AC2−2AB×ACcos∠BAC=2√3，由正弦定理得BCsin∠BAC =2√3√32=4=2r，所以r=2，过O′做垂直于底面的直线交中截面与O点，则O为外接球的球心，由题意得：R2=r2+(AA12)2=4+274=434，所以外接球的表面积S=4πR2=43π，故选：C.直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，底面外接圆的半径、球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，可得答案．此题主要考查了三棱柱的外接球表面积，属于基础题．8.【答案】B;【解析】该几何体为圆锥，则侧面积即为一个扇形的面积.根据扇形面积公式可以解答.解：该几何体为圆锥，则侧面积即为一个扇形的面积.扇形面积公式：S=12lr其中l为扇形的弧长，即圆锥底面周长2π×4=8π，r为扇形母线长，即AC，所以r=5，所以S=12×8π×5=20π.故选B.9.【答案】A;【解析】解：设圆O1半径为r，球的半径为R，依题意得，πr2=4π，∴r=2，∵△ABC为等边三角形，由正弦定理可得AB=2rsin60°=2√3，∴OO1=AB=2√3，根据球的截面性质OO1⊥平面ABC，∴OO1⊥O1A,R=OA=√OO12+O1A2=√OO12+r2=4，∴球O的体积V=4π3R3=256π3，故选：A.由已知可得等边△ABC的外接圆半径，进而求出其边长，得出OO1的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论．此题主要考查了球的截面圆的性质以及球的体积的计算，属于基础题．10.【答案】A;【解析】此题主要考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解答该题的关键是确定点S到面ABC的距离．根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．解：根据题意作出图形，设球心为O ，球的半径r ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ， 延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ，在三角形ABC 中，CA =CB =1，AB =√3，易知CO 1=1， ∴OO 1=√r 2−1，∴高SD =2O O 1=2√r 2−1， ∵三棱锥S −ABC 的体积为1， S ΔABC =√34， ∴V 三棱锥S −ABC =13×√34×2√r 2−1=1，∴r =√13，则球O 的表面积为52π. 故选：A.11.【答案】A;【解析】解：∵V 1=πR 2a =π(a2)2a =π4a 3，∴k 1=π4，∵V 2=a 3，∴k 2=1， ∵V 3=43πR 3=43π(a2)3=π6a 3，∴k 3=π6，∴k 1：k 2：k 3=π4：1：π6，故选：A.分别计算三个几何体的“立圆率”即可求得结果．此题主要考查立体几何中几何体体积的计算，属于基础题．12.【答案】D;【解析】解：取CD 的中点O ，以点O 为坐标原点，DA →、DC →、D →D 1的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设点M(0,y,z)，其中−1⩽y ⩽1，0⩽z ⩽1，则D(0,−1,0)、C(0,1,0)，因为AD ⊥平面CC 1D 1D ，DM ⊂平面CC 1D 1D ，则AD ⊥DM ， 所以tan ∠MAD =|DM ||AD |=|DM |，同理可得tan ∠MBC =|CM ||BC |=|CM |，所以tan ∠MAD +tan ∠MBC =|DM |+|CM |=2√3>|CD |=2， 所以点M 的轨迹是以点C 、D 为焦点，且长轴长为2√3的椭圆的一部分， 则a =√3，c =1，b =√a 2−c 2=√2， 所以点M 的轨迹方程为y 23+z 22=1(x =0,−1⩽y ⩽1,0⩽z ⩽1)，点M 到平面ABCD 的距离为z ，当点M 为曲线y 23+z 22=1(x =0,−1⩽y ⩽1,0⩽z ⩽1)与棱CC 1或棱DD 1的交点时，点M 到平面ABCD 的距离取最小值， 将y =±1代入方程y 23+z 22=1(x =0,−1⩽y ⩽1,0⩽z ⩽1)，得z =2√33，因此，四棱锥M −ABCD 体积的最小值为13×2×2√33=4√39. 故选：D.取CD 的中点O ，以点O 为坐标原点，DA →、DC →、D →D 1的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点M 的轨迹是以点C 、D 为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点M 为椭圆与棱CC 1或DD 1的交点时，点M 到平面ABCD 的距离取最小值，由此可求得四棱锥M −ABCD 体积的最小值．此题主要考查锥体体积的计算，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．13.【答案】D;【解析】解：由图形可得，该半正多面体共有6个全等的正方形和8个全等的正三角形， 且正方形和正三角形的边长都是0.5×12×√2=√24m ， 所以该半正多面体的表面积为S =6×(√24)2+8×12×(√24)2×sin 60°=3+√34m 2.故选：D.先求出半正多面体的棱长，再求解其表面积即可．此题主要考查了空间几何体的结构特征的理解与应用，空间几何体表面积的计算问题，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于基础题．14.【答案】A;【解析】该题考查棱锥的体积计算，考查计算能力，属于基础题．先求出底面PQMN的面积，再求R到底面PQMN的距离，然后求四棱锥R−PQMN的体积．解：由题意可知底面PQMN的面积是1+32×3√2=6√2，R到PQMN的距离为3√22，四棱锥R−PQMN的体积是：13×6√2×3√22=6．故选：A．15.【答案】B;【解析】此题主要考查球和圆柱的体积的计算，属于基础题．设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此利用公式即可求出结果．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱=πR2×2R=2πR3，V球=43πR3 .∴V圆柱V球=2πR343πR3=32，故选B.16.【答案】4√22;【解析】本题目主要考查正四棱锥的侧面积，属于一般题.【解析】解：正四棱锥的底面边长为2√2，体积为8，所以高为3，斜高为√11，则侧面积为S= 4×12×2√2×√11=4√22，故答案为4√22.17.【答案】3√22;【解析】解：如图，取AB 的中点D ，连接PD ，取AC 的中点F ，连接DF ， ∵PA =PB ，∴AB ⊥PD ，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC =AB ， ∴PD ⊥平面ABC ，则PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB =P ，∴BC ⊥平面PAB ，得BC ⊥AB ， ∴F 为ΔABC 的外心，又ΔPAB 的外心E 在PD 的延长线上， 球心O 满足OF ⊥平面ABC ，OE ⊥平面PAB ， ∵PA =PB =√3，∠APB =120°，可得PD =√32，AB =32，在ΔPAB 中，由正弦定理ABsin ∠APB =32√32=√3，则PE =√3，∵三棱锥P −ABC 内接于表面积为36π的球，∴OP =3， 求得EO =DF =√6，则BC =2√6， ∴三棱锥P −ABC 体积为V =13×12×3×√32×2√6=3√22， 故答案为：3√22. 由题意画出图形，证明BC ⊥平面PAB ，由已知球的表面积求得球的半径，然后求解三角形求得PD 与BC ，再由棱锥体积公式求三棱锥P −ABC 体积．此题主要考查球内接多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】√312; 【解析】此题主要考查棱锥的体积，属于基础题.根据图形特点三棱锥A −B 1BC 1的高为√32，底面积为12，求棱锥的体积.解：三棱锥B 1−AB C 1的体积等于三棱锥A −B 1BC 1的体积，三棱锥A −B 1BC 1的高为√32，底面积为12， 故其体积为13×12×√32=√312.故答案为：√312.19.【答案】196π;【解析】解：设截面ABC 的外接圆的圆心为O 1，连接O 1B ，OB ，做直线OO 1交球于P ，O 在线段PO 1上时，球面上的点到面ABC 的距离的最大，即PO 1=7+2√6， 设ΔABC 的外接圆的半径为r ，球的半径为R ，则r =O 1B ，R =OB ，在ΔABC 中AB =6，AC =8，cos ∠CBA =35，所以sin ∠CBA =√1−cos 2∠CBA =45， 由正弦定理可得2r =ACsin ∠CBA =845=10，所以r =5，在ΔOO 1B 中，R 2=r 2+OO 12=52+(7+2√6−R)2，解得R =7，所以求O 的表面积S =4πR 2=196π． 故答案为：196π．由∠CBA 的余弦值求出其正弦值，在三角形中由正弦定理求出三角形ABC 的外接圆的半径，当P ，O ，O 1三点共线时，球面上的点P 到面ABC 的距离的最大，在三角形中由勾股定理可得外接球的半径R ，进而求出球的表面积．该题考查正弦定理及余弦定理的应用和球的表面积公式，属于中档题．20.【答案】2√63;【解析】此题主要考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由于三棱锥P −ABC 的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，可得PO 是三棱锥P −ABC 的高，AC ⊥BC .求出BC ，利用三棱锥的体积计算公式可得结论．解：如图所示，∵三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P−ABC的高，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵AB=2√3，AC=2，∴BC=2√2，PO=√3，∴V P−ABC=13×12×2×2√2×√3=2√63，故答案为：2√63．21.【答案】ACD;【解析】解：如图，建立空间直接坐标系，连结\(B_{1}D\)，交平面\(A_{1}BC_{1}\)于点\(O\)，所以\(D(0,0,0)\)，\(B_{1}(3,3,3)\)，\(A_{1}(3,0,3)\)，\(B(3,3,0)\)，\(C_{1}(0,3,3)\)，\(\overrightarrow {DB_{1}}=(3,3,3),\overrightarrow {A_{1}B}=(0,3,-3),\overrightarrow {BC_{1}}=(-3,0,3)\)，所以\(\overrightarrow {DB_{1}}_{}_{}⋅\overrightarrow {A_{1}B}=0,\overrightarrow {DB_{1}}_{}⋅\overrightarrow {BC_{1}}=0\)，\(∴DB_{1}⊥A_{1}B\)，\(DB_{1}⊥BC_{1}\)，又\(A_{1}B∩BC_{1}=B\)，\(∴DB_{1}⊥\)平面\(A_{1}BC_{1}\)，\(∵P\in\)平面\(A_{1}BC_{1}\)，\(∴PB⊥DB_{1}\)，故\(A\)正确；设\(DB_{1}\)与平面\(A_{1}BC_{1}\)的交点为\(O\)，并设\(O(x,y,z)\)，由于\(O\)在\(DB_{1}\)上，设\(\overrightarrow {DO}=λ\overrightarrow {DB_{1}}\)，得\(x=y=z=3λ,\overrightarrow {A_{1}O}=(x-3,y,z-3)\)，由空间向量基本定理可知：\(\overrightarrow {A_{1}O}=m\overrightarrow{A_{1}B}+n\overrightarrow {A_{1}C_{1}}=(-3n,3m+3n,-3m)\)，得方程：\(\begin{cases}3λ=-3n+3\\ 3λ=3m+3n\\ 3λ=-3m+3\end{cases}\)，解得：\(m=n=\dfrac{1}{3},λ=\dfrac{2}{3}\)，故\(O(2,2,2)∴DB_{1}=\sqrt{3^{2}+3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{3}\)，\(∴DO=\dfrac{2}{3}DB_{1}=2\sqrt{3}\)，\(OB_{1}=\sqrt{3}\)，将平面\(A_{1}BC_{1}\)的直观图分离出来如下：依题意，\(DP+PB_{1}=2+\sqrt{13}\)，\(OB_{1}=\sqrt{3},OD=2\sqrt{3},DB_{1}⊥OP\)，\(∴\begin{cases}{OB_{1}^{2}+OP^{2}=PB_{1}^{2}}\\{OD^{2}+OP^{2}=PD^{2}}\end{cases}\)，解得\(OP=1\)，\(PB_{1}=2\)，\(PD=\sqrt{13}\)，故\(P\)点的轨迹是以\(O\)为圆心，半径为\(1\)的圆，故\(B\)错误；\(B_{1}P\)与平面\(A_{1}BC_{1}\)的夹角就是\(∠B_{1}PO,\sin∠B_{1}PO=\dfrac{OB_{1}}{PB_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，所以\(∠B_{1}PO=\dfrac{π}{3}\)，故\(C\)正确；三棱锥\(P-BB_{1}C_{1}\)底面为三角形\(BB_{1}C\)，其面积为\(\dfrac{1}{2}×3×3=\dfrac{9}{2}\)，是定值，故当\(P\)到底面三角形\(BB_{1}C\)的距离\(h\)最大时，三棱锥的体积取得最大值，因为\(P\)在以\(O\)为圆心，半径为\(1\)的圆上，而球心\(O\)到平面\(BB_{1}C\)距离为\(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，故\(P\)到\(P\)到底面三角形\(BB_{1}C\)的距离\(h\)的最大值为\(1+\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)，所以三棱锥\(P-BB_{1}C_{1}\)体积的最大值为\(\dfrac{1}{3}×\dfrac{9}{2}×(1+\dfrac{\sqrt{6}}{3})=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)，故\(D\)正确；故选：\(ACD.\)建立空间直角坐标系，结合向量法和综合法对各个选项进行逐一计算验证．此题主要考查了立体几何的综合，属于难题．22.【答案】BD; 【解析】此题主要考查了球的表面积，考查学生的计算和推理能力，属于中档题.设出内外球半径分别为r ，R ，从而结合题意即可知R 和r 的关系，进而求得R 和r ，从而求解.解：设内外球半径分别为r ，R ，则正方体的棱长为2r ，体对角线长为2R ， ∴R =√3r ，又由题知R −r =1， ∴r =√3+12，R =√3+32，正方体棱长为√3+1，体对角线长为3+√3，外球表面积为π(3+√3)2=(12+6√3)π，故B 、D 正确． 故选BD .23.【答案】ACD;【解析】解：因为S =4πR 2=20π，所以R 2=5；对于A ，若CD ⊥AB ，则平面BCD ⊥平面ABC ，过BD 的中点F 作与平面BCD 垂直的直线l ，设球心为O ，则l//平面ABC ，作FH ⊥BC ，垂足为H ， 则FH 即为球心O 到平面ABC 的距离d ，对于△ABC ， 设其外接圆半径为r ，则AB sin120∘=2√32=2r,r =2，所以d =HF =√R 2−r 2=1，因此CD =2HF =2，故A 正确；对于B ，因为始终满足CB ⊥CD ，所以点D 的轨迹是与BC 垂直的球内某截面圆，如图所示：因为BC =2为定值，作AH ⊥D 点所在截面圆O ′，取BC 得中点M ，连接OM ，OO ′，OM=√R2−(BC2)2=2，因为OO′和BC同时满足垂直于D点所在截面圆，所以OM即为D点所在截面圆的半径，所以D点在以2为半径的圆上，C为定点，所以满足CD=2时的点D有两个点，作A点在截面圆的投影，垂足设为H，所以当H，O′，D共线时满足CD⊥AB，所以必定有另外一个符合CD=2的D点不满足，因此B选项错误；对于C，因为平面ABC(ABCH)与圆O′垂直，所以OO′与平面ABC平行，作OO1⊥AH，又因为OO1⊥BC，所以OO1⊥平面ABC，因此O1为△ABC外接圆的圆心，而△ABC外接圆半径r为2，又因为O1H=MC=1，所以AH=r+1=3，若求AD的最小值，在直角三角形ADH中，只需确定出DH的最小值即可，如图所示，点D在D′位置时，DH最小，AD也最小，即AD=√AH2+DH2=√9+DH2，由A的分析可知球心O到平面ABC的距离为1，即OO1=1，则O′H=1，而DH的最小值为D′H=O′D′−O′H=2−1=1，所以AD的最小值为√10，故C正确；对于D，△ABC的面积为定值，且D点在与△ABC垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时，三棱锥A−BCD体积也最大，又因为O′H⊥平面ABC，因此当D点位于HO′与截面圆的交点处时(如图示位置)即H，O′，D共线时，高即DH最大，最大值OH′+DO′=1+2=3，故此时三棱锥A−BCD体积的最大值为13×12×2×2×sin120°×3=√3，故D正确，故选：ACD.对于A，计算出△ABC的外接圆半径，明确球心到平面ABC的距离，可求得CD=2；对于B，要明确D的轨迹是与BC垂直的球内某截面圆，由此判断满足CD=2时的点D有两个点，其中有一个不满足；对于C，借助于图示，确定点D在D′位置时，线段AD长度才可取到最小值，由此计算即可；对于D，由于△ABC的面积为定值，且D点在与△ABC垂直的截面圆上，只需当D点到平面ABC距离最大时，三棱锥A−BCD体积也最大，由此可以求先求得三棱锥的高的最大值，可求得结果．此题主要考查锥体体积导数计算，立体几何中的最值问题，空间中的垂直关系等知识，属于中等题．24.【答案】ACD;【解析】解：如图1，由AC//平面EMGH ，AC ⊂平面ABC ，平面ABC⋂平面EMGH =EM ，得AC//EM ，同理AC//HG ，所以EM//HG ，同理EH//MG ，所以EMGH 是平行四边形， AE AB =λ，则EH AD =λ，EM AC =1−λ，正四面体ABCD 的棱长为2√2，则EH =2√2λ，EM =2√2(1−λ)，所以EMGH 的周长为2(EH +EM)=4√2，为定值，A 正确；如图2，把正四面体ABCD 放置在一个正方体中，正四面体的棱是正方体的面对角线， 如图，正方体的外接球就是正四面体ABCD 的外接球，由正四面体棱长为2√2得正方体的棱长为2，正方体的对角线是外接球的直径，所以外接球半径为R =2√32=√3，由于平面EMGH 与AC ，BD 平行，因此易得平面ENGH 与正方体的上下底面平行， λ=14时，AE AB =14，平面EMGH 到正方体上底面的距离为正方体棱长的14，而外接球球心O 到正方体上底面的距离为正方体棱长的12，所以O 到平面EMGH 的距离为d =(12−14)×2=12， 平面α截球O 所得截面圆半径为r =√R 2−d 2=√3−14=√112， 截面圆周长为2πr =2π×√112=√11π，B 错；如图3，取BD 中点N ，连接AN ，CN ，则AN ⊥BD ，CN ⊥BD ，又AN⋂CN =N ，AN ，CN ⊂平面ACN ，所以BD ⊥平面ACN ，而AC ⊂平面ACN ，所以BD ⊥AC ，所以EM ⊥MG ，所以S EMGH =2√2λ⋅2√2(1−λ)=8(λ−λ2)，由图2知A 点到平面EMGH 的距离为2λ，所以V A−EMGH =13×8(λ−λ2)×2λ=163(λ2−λ3)，设f(x)=x 2−x 3(0<x <1)，则f ′(x)=2x −3x 2=−3x(x −23)，0<x <23时，f ′(x)>0，f(x)递增，23<x <1时，f ′(x)<0，f(x)递减， x =23时，f(x)取得最大值f(23)=427，所以V A−EMGH 的最大值为163×427=6481，C 正确；如图4，还是如图2一样把正四面体ABCD 放置在一个正方体中，λ=μ=12时，E ，F 是正方体前后两个面的中心(对角线交点)，由正方体性质，正四面体ABCD 绕EF 旋转90°后得下四面体A ′B ′C ′D ′，A ′，B ′，C ′，D ′是正方体的另外四个顶点，这两个正四面体的公共部分正好是一个正八面体，正八面体的六个顶点是正方体六个面的中心， S EMFH =√2×√2=2，正八面体的体积为V=2×13×2×1=43，D正确．故选：ACD.利用线面平行得平行四边形EMGH，由平行线性质得边长，从而可得四边形周长，判断A，把正四面体放置在一个正方体中，正四面体的棱是正方体的面对角线，由正方体的性质可求得平面α截球O所得截面圆的半径，从而得周长，判断B，证明EMGH是矩形后，由正方体的性质易得A到平面EMGH的距离，求出棱锥体积后，利用导数求得最大值判断C，在正方体中旋转正四面体，易得放置后的四面体的位置，并确定两个正四面体的公共部分，从而得体积判断D.此题主要考查正四面体的截面，考查空间几何的体积等问题，解题关键是把正四面体放置在正方体中，利用正方体的性质确定与正四面体有关的图形的性质，求解结论．对学生的空间想象能力、逻辑思维能力，运算求解能力要求较高，本题属于难题．25.【答案】ACD;【解析】解：在A中，水的部分始终呈棱柱状，从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断A正确，故A正确；在B中，水面四边形EFGH的面积不改变，EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，故B不正确的；在C中，棱A1D1始终与水面EFGH平行，由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1//EH，故C正确；在D中，当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，故D正确．故选：ACD.在A中，水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；在B中，水面四边形EFGH的面积不改变；可以通过EF的变化EH不变判断正误；在C中，棱A1D1始终与水面EFGH平行；利用直线与平面平行的判断定理，推出结论；在D中，当E∈AA1时，AE+BF是定值．通过水的体积判断即可．此题主要考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题．26.【答案】证明：（1）取DB 的中点为O ，连接SO ，∵SB=SD ，∴SO ⊥BD∵平面SBD ⊥面ABCD ．平面SBD∩面ABCD=BD ．∴SO ⊥面ABCD ，∴S 在底面ABCD 的射影为线段BD 的中点．（2）∵AB=4，AD=2，CE ⊥BD ，∴BO BC =BC DB ⇒BO=2√5 ∴S △ADE =45S △ADB =45×12×2×4=165，SO=SD×sin60°=√15 三棱锥E-SAD 的体积V=V S-ADE =13.S △ADE .SO =16√1515．;【解析】(1)取DB 的中点为O ，连接SO ，只需证明SO ⊥面ABCD ，即可得S 在底面ABCD 的射影为线段BD 的中点．(2)利用三棱锥E −SAD 的体积V =V S−ADE =13.S ΔADE .SO =16√1515.即可．该题考查面面垂直的性质，考查三棱锥体积计算，考查运算求解能力，是中档题．27.【答案】解：(1)正方体的棱长为：2cm ，正方体的体对角线的长为：2√3cm ，就是球的直径，∴球的表面积为：S 2=4π(√3)2=12πc m 2.(2)解：如图，四面体S −ABC 的各棱长为1，则其四个面均为边长为1的等边三角形， 过S 作底面垂线，垂足为O ，则O 为底面三角形的中心，连接BO 并延长，交AC 于D. 显然BD =√32， 则BO =23×√32×1=√33， ∴SO =√1−(√33)2=√63，。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课后训练巩固提升1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为( )A.27 cm3B.60 cm3C.64 cm3D.125 cm3,其体积为底面积×高,即为3×4×5=60(cm3).2.已知正四棱锥,其底面边长为8,侧棱长为√41,则正四棱锥的表面积为( )A.48B.64C.80D.144,正四棱锥P-ABCD,取AB的中点E,连接PE,则PE⊥AB.在△PAB中,PA=PB=√41,AE=4,PE=√PA2-AE2=5.×8×5=20.故S△PAB=12即正四棱锥的表面积S=4S△PAB+S四边形ABCD=4×20+82=144.3.已知正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为( )A.√2∶1B.√3∶1C.√6∶2D.2∶√3a,则S正方体=6a2,正四面体的棱长为√2a,则S正四面体×(√2a)2=2√3a2,故正方体的表面积与正四面体的表面积之比为6a2∶=4×√342√3a2=√3∶1.4.已知长方体三个面的面积分别为2,6和9,则长方体的体积是( )A.6√3B.3√6C.11D.12a,b,c,则(abc)2=2×6×9=108.故体积V=abc=6√3.5.如图所示,在三棱台ABC-A1B1C1中,A1B1∶AB=1∶2,则三棱锥B-A1B1C1与三棱锥A1-ABC的体积比为( )A.1∶2B.1∶3C.1∶√2D.1∶4B-A 1B 1C 1与三棱锥A 1-ABC 的高相等,故其体积之比等于△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比,而△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比等于A 1B 1与AB 之比的平方,即1∶4,故选D.6.一个正四棱台,其上、下底面均为正方形,边长分别为8 cm 和18 cm,侧棱长为13 cm,则其表面积为 .h=√132-(18-82)2=12(cm),故S 侧=4×12×(8+18)×12=624(cm 2),S 上底=8×8=64(cm 2),S 下底=18×18=324(cm 2),于是表面积S=624+64+324=1012(cm 2).27.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,E,F 分别为线段AA 1,B 1C 上的点,则三棱锥D 1-EDF 的体积为 .E 在线段AA 1上,所以S △DED 1=12×1×1=12.又因为点F 在线段B 1C 上,所以点F 到平面DED 1的距离为1,即h=1,所以V D 1-EDF =V F -DED 1=13×S △DED 1×h=13×12×1=16.8.如图①,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图②,这时水面恰好为中截面,则图①中容器内水面的高度是 .①②h,水的体积为V,则V=S △ABC h.又题图②中水组成了一个直四棱柱,其底面积为34S △ABC ,高度为2a,则V=34S △ABC ·2a,故h=34S △ABC·2a S △ABC=32a.9.已知正四棱锥底面正方形的边长为4,高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的表面积和体积.,正四棱锥P-ABCD,其中PE 为斜高,PO 为高,则在Rt △POE 中,OE=2,∠OPE=30°, 所以PE=2OE=4,OP=2√3.因此S 侧=4×12PE·BC=4×12×4×4=32,S 表面=S 侧+S 底=32+16=48.V=13S 底·PO=13×16×2√3=323√3.10.已知正三棱锥S-ABC,一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在棱锥的三条侧棱上,另一底面在正三棱锥的底面上,若正三棱锥的高为15 cm,底面边长为12 cm,内接正三棱柱的侧面积为120 cm 2. (1)求正三棱柱的高;(2)求三棱柱上底面截得的棱锥与原棱锥侧面积之比.如图,设正三棱柱的高为hcm,底面边长为xcm, 则15-h 15=x12,得x=45(15-h).①因为S 三棱柱侧=3x·h=120,所以xh=40.②解①②,得{x =4,h =10或{x =8,h =5.故正三棱柱的高为10cm 或5cm.(2)由棱锥的性质,得S S -A 1B 1C 1侧S S -ABC 侧=(15-1015)2=19或S S -A 1B 1C 1侧S S -ABC 侧=(15-515)2=49.。

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积一、选择题1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．160【答案】D【解析】 设直四棱柱1111ABCD A B C D -中，对角线119,15AC BD ==， 因为1A A ⊥平面,ABCD AC ⊂,平面ABCD ，所以1A A AC ⊥，在1Rt A AC ∆中，15A A =，可得AC ==同理可得BD ===，因为四边形ABCD 为菱形，可得,AC BD 互相垂直平分，所以8AB ===，即菱形ABCD 的边长为8， 因此，这个棱柱的侧面积为1()485160S AB BC CD DA AA =+++⨯=⨯⨯=， 故选D.2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ ）A ．6B ．3C ．3D ．23【答案】B【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为2， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V 1=11326⨯⨯=，故八面体体积V=2V 1=3，故选B ． 3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【答案】D 【解析】∵长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，∴设三条棱长分别为k ，2k ，3k∴k=2长方体的长宽高为6，4，2∴这个长方体的体积为6×4×2=48故答案为48应选D4．三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC a ==，111160∠=∠=AA B AA C ，1190∠=BB C ，侧棱长为b ，则其侧面积为（ ）A ．4B ．22abC ．abD ．2ab 【答案】C【解析】如图，由已知条件可知，侧面11AA B B 和侧面11AAC C 为一般的平行四边形，侧面11BB C C 为矩形. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC a ==，∴BC =，∴11BCC B S b =⋅=矩形.∵111160AA B AAC ∠=∠=︒，AB AC a ==，∴点B 到直线1AA 的距离为sin 602a a ︒=.∴1111AA C C AA B B S S ==四边形四边形.∴2S ab =+=侧.故选C5．（多选题）下列结论中，正确的是（ ）A. 仅适用于正棱柱。

人教版高中数学必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.棱长为3的正方体的表面积为()A.27B.64C.54D.362.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图L8-3-1),则三棱锥B1-ABC的体积V=()图L8-3-1A.1B.12C D3.如图L8-3-2,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V1,E为棱CC1上的点,且CE=13CC1,三棱锥E-BCD 的体积为V2,则 2 1=()图L8-3-2A.13B.16C.19D.1184.已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为5,则该正四棱锥的体积为()A.43B.23C.43D5.已知正三棱柱的高为4,体积为43,则底面三角形的边长为()A.1B.2C.3D.46.如图L8-3-3,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比是()图L8-3-3.2B.3C.3D.27.如图L8-3-4,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则V1∶V2=()图L8-3-4A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.1∶58.如图L8-3-5,一个直三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8.若侧面AA1B1B水平放置时,水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点,则当底面ABC水平放置时,水面的高为()图L8-3-5A.6B.7C.2D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.有一个正四棱台形的油槽,可以装油190L,假如它的两底面边长分别为60cm和40cm,则它的高为cm.10.已知正四棱柱的底面边长为22,体积为32,则此四棱柱的表面积为.11.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四棱锥A1-EFGH的体积为.12.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB,AC,AA1两两成60°角,点E,F,G分别为AB,AC,AA1上的点,且AE=12AB,AF=13AC,AG=23AA1,则三棱锥G-AEF的体积与三棱柱ABC-A1B1C1的体积之比为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2,3,6.(1)求这个长方体的体对角线长;(2)求这个长方体的体积.14.(10分)正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,求正四棱台的表面积.15.(5分)在《九章算术》中,堑堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图L8-3-6,在堑堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AB=2,则当阳马B-A1ACC1的体积最大时,堑堵ABC-A1B1C1的体积为.图L8-3-616.(15分)如图L8-3-7是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体,截面为ABC,已知A1B1=B1C1=2,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=3,CC1=2.(1)求该几何体的体积;(2)求截面ABC的面积.图L8-3-7参考答案与解析1.C[解析]所求表面积为6×32=54.2.D[解析]V=13×33.D[解析]由题意得,V1=S长方形ABCD·CC1,V2=13S△BCD·CE=13×12S长方形ABCD×13CC1=118S长方形ABCD·CC1,则 2 1=118.故选D.4.D[解析]由题知该正四棱锥底面的对角线的长度为22,故该正四棱锥的高h=5−2=3,所以其体积V=13×4×3=D.5.B[解析]设正三棱柱底面三角形的边长为a,则底面三角形的面积2,由正三棱柱的体积2×4=43,得a=2,故选B.6.B[解析]设正方体的棱长为1,则正方体的表面积为6,正三棱锥D-A1BC1的棱长均为2,其表面积为4×12×2sin60°×2=23,∴正三棱锥D-A1BC1的表面积与正方体的表面积之比B.7.C[解析]∵E是PC的中点,∴P,C到平面ABE的距离相等,∴V三棱锥P-ABE=V三棱锥C-ABE,又D是PB的中点,∴D到平面ABE的距离等于P到平面ABE的距离的12,∴V三棱锥D-ABE=12V三棱锥P-ABE=14V三棱锥P-ABC ,∴ 1 2= 三棱锥 - ૸三棱锥 - ૸=14.故选C.8.A[解析]根据题意,当侧面AA1B1B水平放置时,有水的部分为四棱柱,其底面是梯形,设△ABC的面积为S,则S梯形=34S,水的体积V水=34S×A1A=6S.当底面ABC水平放置时,有水的部分为三棱柱,设水面的高为h,则V水=Sh=6S,故h=6,故选A.9.75[解析]设正四棱台的体积为V mL,上、下底面的面积分别为S'cm2,S cm2,高为h cm,则V=13(S+ '+S')h,即h=3×1900003600+2400+1600=75,故高为75cm.10.16+322[解析]设正四棱柱的高为h,则4,所以此四棱柱的表面积为4×4×22+2×22×22=322+16.11.43[解析]∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,∴四边形EFGH是边长为2的正方形,又点A1到平面EFGH的距离d=AA1=2,∴四棱锥A1-EFGH的体积V=13×d×S正方形EFGH=13×2×2×2=43.12.127[解析]设三棱柱ABC-A1B1C1的高为H,三棱锥G-AEF的高为H',则三棱锥G-AEF的体积V=13×S△AEF×H'=13×S△AEF×23H.设△AEF的边AF上的高为h',则根据点E为AB的中点得,△ABC=12×AF×h'=12×13AC×h'=16AC×h',S△ABC=12×AC×2h'=AC×h',则三棱锥G 的边AC上的高为2h',所以S△AEF-AEF的体积V1=127AC×H×h',三棱柱ABC-A1B1C1的体积V2=AC×h'×H,故所求体积之比为127. 13.解:(1)设此长方体共顶点的三条棱的长分别为a,b,c,则ab=2,bc=3,ac=6,解得c=3,a=2,b=1.故这个长方体的体对角线长为(2)2+(3)2+12=6.(2)由(1)可知这个长方体的体积V=abc=6.14.解:∵正四棱台的上底面是边长为2的正方形,下底面是边长为4的正方形,∴上底面、下底面的面积分别是4,16.∵侧棱长为2,侧面是全等的等腰梯形,∴=3,∴一个侧面的面积为12×(2+4)×3=33,∴正四棱台的表面积为4+16+33×4=20+123.15.2[解析]设AC=x,BC=y,则由题意得x>0,y>0,x2+y2=4.阳马B-A1ACC1的体积V1=13×2x×y=23xy,∵xy≤ 2+ 22=2,当且仅当x=y=2时取等号,∴当阳马B-A1ACC1的体积最大时,AC=BC=2,此时堑堵ABC-A1B1C1的体积V2=S△ABC·AA1=12×2×2×2=2.16.解:(1)如图,过C作平行于△A1B1C1的截面A2B2C,分别交AA1,BB1于点A2,B2.由题知,该几何体的体积V=三棱柱 1 1૸1- 2 2૸+ 四棱锥૸- 2 2=12×2×2×2+13×12×(1+2)×2×2=6.(2)在△ABC中,AB=22+(4−3)2=5,BC=22+(3−2)2=5,AC=(22)2+(4−2)2=23,则S=12×23×(5)2-(3)2=6.△ABC。

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积一、选择题（共40小题；共200分）1. 一个四面体的所有棱长都为 √2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( ) A. 3πB. 4πC. 3√3πD. 6π2. 有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm ），该几何体的表面积和体积为 ( )A. 24π,12πB. 15π,12πC. 24π,36πD. 以上都不正确3. 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的 12，则其体积缩小到原来的 18； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线 x +y +1=0 与圆 x 2+y 2=12 相切．其中真命题的序号是 ( ) A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③4. 如图，是一个几何体的三视图，其主视图、左视图是直角边长为 2 的等腰直角三角形，俯视图为边长为 2 的正方形，则此几何体的表面积为 ( )A. 8+4√2B. 8+4√3C. 6+6√2D. 8+2√2+2√35. 一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于 ( )A. 8√3B. 16√3C. 24√3D. 48√36. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC，A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=V AEA1−DFD1，V2=V EBE1A1−FCF1D1，V3=V B1E1B−C1F1C．若V1:V2:V3=1:4:1，则截面A1EFD1的面积为( )A. 4√10B. 8√3C. 4√13D. 167. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）为( )A. π+√33B. 2π+√33C. 2π+√3D. π+√38. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 64B. 72C. 80D. 1129. 在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘，若使该三角形绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )A. 32π B. 52π C. 72π D. 92π10. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 180B. 240C. 276D. 30011. 已知某四棱锥的三视图，如图所示．则此四棱锥的体积为( )A. 6B. 5C. 4D. 312. 正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )A. π3a B. π2a C. 2πa D. 3πa13. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为( )A. √3+√6B. √3+√5C. √2+√6D. √2+√514. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 8−2πB. 8−πC. 8−π2D. 8−π415. 直三棱柱ABC−A1B1C1的直观图及三视图如下图所示，D为AC的中点，则下列命题是假命题的是( )A. AB1∥平面BDC1B. A1C⊥平面BDC1C. 直三棱柱的体积V=4D. 直三棱柱的外接球的表面积为4π16. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A. 9πB. 10πC. 11πD. 12π17. 一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( )A. 1+2π2πB. 1+4π4πC. 1+2ππD. 1+4π2π18. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. 23π+4 B. 2π+4 C. π+4 D. π+219. 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. 2π3B. 4π3C. 5π3D. 2π20. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为( )A. √23B. √33C. 43D. 3221. 小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则小明绘制的建筑物的体积为( )A. 16+8πB. 64+8πC. 64+8π3D. 16+8π322. 正三棱锥的底面边长为a，高为√66a，则此棱锥的侧面积为( )A. 34a2 B. 32a2 C. 3√34a2 D. 3√32a223. 已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足∣MA∣+∣MB∣=10，则三棱锥A−BCM的体积的最大值是( )A. 48B. 36C. 30D. 2424. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A. 18B. 17C. 16D. 1525. 棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )A. a33B. a34C. a36D. a31226. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A. 2√23π B. 4√2π3C. 2√2πD. 4√2π27. 已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90∘，C为该球面上的动点，若三棱锥O−ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π28. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是( )A. 2B. 92C. 32D. 329. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A. 500π3cm3 B. 866π3cm3 C. 1372π3cm3 D. 2048π3cm330. 一个棱锥三个侧面两两互相垂直，它们的面积分别为12cm2，8cm2，6cm2，那么这个三棱锥的体积为( )A. 8√2πB. 8√23C. 24√2D. 8√231. E，F分别是边长为1的正方形ABCD边BC，CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为( )A. 13B. 16C. 112D. 12432. 如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，D是棱AA1的中点，平面BDC1分此棱柱为上下两部分，则这上下两部分体积的比为( )A. 2:3B. 1:1C. 3:2D. 3:433. 正方体的全面积为a2，它的顶点都在同一个球面上，这个球的半径是( )A. √36a B. √24a C. √22a D. √32a34. 如图，△ABC为正三角形，AA1∥BB1∥CC1，CC1⊥底面△ABC，若BB1=2AA1=2，AB=CC1=3AA1，则多面体ABC−A1B1C1在平面A1ABB1上的投影的面积为( )A. 274B. 92C. 9D. 27235. 如图，已知直三棱柱ABC−A1B1C1，点P，Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为( )A. 2:1B. 3:1C. 3:2D. 4:336. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=( )A. 1B. 2C. 4D. 837. 如图所示，正方体ABCD−AʹBʹCʹDʹ的棱长为1，E，F分别是棱AAʹ，CCʹ的中点，过直线E F的平面分别与棱BBʹ，DDʹ交于M，N，设BM=x，x∈[0,1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDDʹBʹ；②当且仅当x=12时，四边形MENF的面积最小；③四边形MENF周长L=f(x)，x∈[0,1]是单调函数；④四棱锥Cʹ−MENF的体积V=ℎ(x)为常函数．以上命题中假命题的序号为( )A. ①④B. ②C. ③D. ③④38. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段AC1上有两个动点E，F，且EF=√33．给出下列四个结论：①CE⊥BD；②三棱锥E−BCF的体积为定值；③△BEF在底面ABCD内的正投影是面积为定值的三角形；④在平面ABCD内存在无数条与平面DEA1平行的直线．其中，正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 439. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，点P在线段BD1上，当∠APC最大时，三棱锥P−ABC的体积为( )A. 124B. 118C. 19D. 11240. 一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分，余下的几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A. √5+3√3π2+3π2+1 B. 2√5+3√3π+3π2+1C. √5+3√3π2+3π2D. √5+3√3π2+π2+1二、填空题（共40小题；共200分）41. 已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为．42. 若一个球的体积为4√3π，则它的表面积为．43. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为．44. 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为4√3π，则该正方体的表面积为．45. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．46. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．47. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．48. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π，则正方体的棱长为．249. 如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3√3，则a=．50. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．51. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是．52. 用一张长为12米，宽为8米的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为．53. 有一个几何体的三视图及其尺寸（单位cm）如下图所示，则该几何体的表面积为：．54. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．55. 底面是正方形，容积为256的无盖水箱，它的高为时最省材料．56. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．57. 一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．58. 已知一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为．59. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为．60. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．61. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．62. 几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是．63. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．64. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为．65. 已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．66. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为．，则正视图与侧视图中x的值67. 一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为12π+8√53为．68. 如图是—个几何体的三视图，则该几何体的表面积为．69. 一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积为．70. 如图所示，一款冰淇淋甜筒的三视图中俯视图是以3为半径的圆，则该甜筒的表面积为．71. ―个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．72. 正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2√3，则四面体A−B1CD1的外接球的体积为．73. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M−EFGH的体积为．74. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1−BB1D1D的体积为．75. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为．76. 如图是一个几何体的三视图，已知侧视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：cm）可知该几何体的表面积为．77. 图中的三个直角三角形是一个体积为20cm3的几何体的三视图，该几何体的外接球表面积为cm278. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．79. 一个圆锥体被过其顶点的平面截去一部分，余下的几何体的三视图如图所示（单位：cm），则余下的几何体的体积为cm3．80. 棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1+d2+d3+d4的值为．三、解答题（共20小题；共260分）81. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．82. 三棱锥S−ABC的三条侧棱两两垂直，SA=5，SB=4，SC=3，D为AB中点，E为AC中点，求四棱锥S−BCED的体积．83. 在单位正方体AC1中，点E，F分别是棱BC，CD的中点．（1）求证：D1E⊥平面AB1F；（2）求三棱锥E−AB1F的体积；（3）设直线B1E，B1D1与平面AB1F所成的角分别为α，β，求cos(α+β)的值．84. 如图，三棱锥S−ABC内接于一个圆锥（有公共顶点和底面，侧棱与圆锥母线重合）．已知AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，SA=SB=SC=10cm，（1）求圆锥的侧面积及侧面展开图的中心角；（2）求A经过圆锥的侧面到B点的最短距离．85. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，BC=AP=5，AB=3，AC=4，M，N分别在线段AD，CP上，且AMMD =PNNC=4．（1）求证：MN∥平面PAB；（2）求三棱锥P−AMN的体积．86. 如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE=∠GAD=45∘，AB=2AD=2，∠BAD=60∘．（1）求证：BD⊥平面ADG；（2）求此多面体的全面积．87. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为12(m)，高4(m)，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4(m)（高不变）；二是高度增加4(m)（底面直径不变）．（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；（3）哪个方案更经济些?88. 如图，ABCD是边长为2的正方形，直线l与平面ABCD平行，E和F是l上的两个不同点，且EA=ED，FB=FC，Eʹ和Fʹ是平面ABCD内的两点，EʹE和FʹF都与平面ABCD垂直．（1）证明：直线EʹFʹ垂直且平分线段AD．（2）若∠EAD=∠EAB=60∘，EF=2，求多面体ABCDEF的体积．89. 如图，三棱锥A−BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（1）求证：CD⊥平面ABD；（2）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A−MBC的体积．90. 如图，四棱锥 P −ABCD 中，底面是以 O 为中心的菱形，PO ⊥ 底面 ABCD ，AB =2，∠BAD =π3，M 为 BC 上一点，且 BM =12．（1）证明：BC ⊥ 平面 POM ； （2）若 MP ⊥AP ，求四棱锥 P −ABMO 的体积．91. 如图，平行四边形 ABCD 中，∠DAB =60∘，AB =2，AD =4，将 △CBD 沿 BD 折起到 △EBD的位置，使平面 EBD ⊥ 平面 ABD ．（1）求证：AB ⊥DE ； （2）求三棱锥 E −ABD 的侧面积．92. 养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），已建的仓库的底面直径为 12 m ，高 4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m （高不变）；二是高度增加 4 m （底面直径不变）． （1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2）分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积； （3）哪个方案更经济些?93. 如图所示，三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中，AA 1⊥平面ABC ，D ，E 分别为 A 1B 1，AA 1 的中点，点 F在棱 AB 上，且 AF =14AB ．（1）求证：EF ∥平面BC 1D ；（2）在棱 AC 上是否存在一个点 G ，使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1:15，若存在，指出点 G 的位置；若不存在，请说明理由．94. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求四面体N−BCM的体积．95. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；，求该三棱锥的侧面积．（2）若∠ABC=120∘，AE⊥EC，三棱锥E−ACD的体积为√6396. 如图，在斜三棱柱ABC−A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120∘，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点．（1）求A1A与底面ABC所成的角；（2）证明A1E∥平面B1FC；（3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．97. 如图1，∠ACB=45∘，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90∘（如图2所示）．（1）当BD的长为多少时，三棱锥A−BCD的体积最大；（2）当三棱锥A−BCD的体积最大时，设点E,M分别为棱BC,AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．98. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB∥平面AEC；（2）设二面角D−AE−C为60∘，AP=1，AD=√3，求三棱锥E−ACD的体积．99. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．（1）证明：BD⊥PC；（2）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30∘，求四棱锥P−ABCD的体积．100. 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AM= AN=1．（1）证明：M，N，C，D1四点共面；（2）平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比．答案第一部分1. A2. A3. C4. A 【解析】由三视图知，该几何体是底面为正方形的四棱锥，其直观图如下图．所以其表面积为2×2+2×(12×2×2)+2×(12×2×2√2)=8+4√2．5. A【解析】由三视图可以看出，该几何体为四棱锥，所以V=13×12(2+4)×4×2√3=8√3．6. C7. A8. C 【解析】该几何体是由一个正方体和一个四棱锥组合而成，V=4×4×4+13×4×4×3=80．9. A 【解析】如图：△ABC中，绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体是以ACD为轴截面的圆锥中挖去了一个以ABD为轴截面的小圆锥后剩余的部分．因为AB=2，BC=1.5，∠ABC=120∘，所以AE=ABsin60∘=√3，BE=ABcos60∘=1，设V1是以ACD为轴截面的圆锥的体积，V2是以ABD为轴截面的圆锥的体积．V1=13π⋅AE2⋅CE=52π，V2=13π⋅AE2⋅BE=π，所以V=V1−V2=32π．10. B【解析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个正方体组成，所以表面积=4×12×6×5+ 5×62=240．11. C 【解析】V=13×12×(2+4)×2×2=412. B 【解析】设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，依题意知43R2=16a，即R2=18a，所以S球=4πR2=4π⋅18a=π2a．13. C 【解析】由三视图可得：该几何体是四棱锥（如图所示），所以BA=BC=√2，BP=1，PA=PC=√3，PD=√5，可得PA⊥AD；S△PBC=S△PBA=1 2×√2×1=√22，S△PDC=S△PDA=12×√2×√3=√62，所以该几何体的侧面积S=2S△PBC+2S△PDC=√2+√6．14. B 【解析】该几何体为一个棱长为2的正方体在两端各削去一个14圆柱，V=2×2×2−2×14×(π×12×2)=8−π．15. D16. D17. A18. C19. C 【解析】提示：分析知，围成的几何体为如图所示一个圆柱挖去一个圆锥．20. A【解析】提示：如图，作AM⊥EF于点M，BN⊥EF于点N，则可将原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥，然后去求其体积．21. C 【解析】由三视图可知，该建筑物由一个圆锥、一个圆柱以及一个正方体拼接而成，故所求几何体的体积V=13×π×12×2+π×12×2+4×4×4=64+8π3.22. A 【解析】利用高、底面正三角形的边心距和斜高组成的直角三角形可得斜高为√(√66a)2+(13×√32a)2=12a，于是侧面积S=3×12×a×12a=34a2．23. D24. D25. C【解析】提示：算出一个正四棱锥的体积再乘2即可．26. B27. C 【解析】在三棱锥O−ABC中，底面OAB的面积确定，所以要使O−ABC的体积最大，则C到平面OAB的距离最大，即为球的半径．设球半径为R，则三棱锥O−ABC的体积V max=13×12×R2×R=36，解得R=6，此时球的表面积S=4πR2=144π．28. D29. A30. D31. D 【解析】设AF，AE，EF折起交于点P，因为AP⊥PF，AP⊥PE，所以AP⊥面PEF，所以V P−AEF=V A−PEF=13×1×12×12×12=124．32. B【解析】不妨设此三棱柱为正三棱柱，AB=1，AA1=2，则正三棱柱的体积V=√34×2=√32，V下面部分=13×√32×32=√34，所以V上面部分=√34，所以上下两部分的体积的比为1:133. B 【解析】由正方体外接球的直径2R等于正方体的体对角线的长，得2R=√3⋅√a26，所以R=√24a．34. A35. A【解析】设B到AC的距离为m，AC=x，棱柱的高为ℎ，可得V四棱锥B−ACQP =16xℎm，V三棱柱ABC−A1B1C1=12xℎm，V四棱锥B−ACQPV三棱柱ABC−A1B1C1=13，所以平面BPQ把三棱柱分成两部分的体积比为1:2．36. B 【解析】提示：此组合体是过圆柱对称轴的平面截圆柱所得的半个圆柱和一个半球组成的组合体．37. C 【解析】因为EF⊥BD，EF⊥面BDDʹBʹ，EF⊂面EMFN，所以平面MENF⊥平面BDDʹBʹ成立；又因为四边形EMFN为菱形，∣MN∣2=(1−2x)2+2，所以S MENF=12∣EF∣×∣MN∣=1 2×√2×√4x2−4x+3，当x=12时，面积最小，所以②成立；四边形MENF的周长L=f(x)=4√4x 2−4x +3，在 (0,12) 上是单调递减函数，在 (12,1) 上是单调递增函数，所以命题③不正确；V Cʹ−MENF =2V Cʹ−MNF =2V M−CʹNF =16，所以 V =ℎ(x ) 为常函数．38. D 【解析】因为在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，BD ⊥平面AA 1CC 1，CE ⊂平面AA 1CC 1，所以 BD ⊥CE ，①正确；EF =√33，而 C 到 EF 的距离即为 C 到 AC 1 的距离，所以 △EFC 面积为定值，又 B点到 平面EFC 的距离为定值，所以三棱锥 E −BCF 的体积为定值，②正确；因为 EF 为定值，且在体对角线 AC 1 上，所以 EF 在底面上的投影为定值，而点 B 到 AC 的距离为定值，所以 △BEF 在底面 ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形，③正确；因为平面 ABCD 与平面 DEA 1 不重合，显然在平面 ABCD 内存在无数条与平面 DEA 1 平行的直线，④正确．39. B 【解析】设 AP =CP =a ，在 △PAC 中，利用余弦定理有 cos∠APC =a 2+a 2−22a 2=1−1a 2，又因为当 AP ⊥BD 1 时，AP 最小，当 P 与点 D 1 重合时最大，所以 a ∈[√63,√2]，所以当 AP ⊥BD 1 时，∠APC 最大，在 △BDD 1 中，BP =√33，则 P 到面 ABC 的距离为 √33√3=13．所以 V P−ABC =12×1×1×13×13=118．40. A【解析】圆锥母线为 l =√(√5)2+1=√6，高为 ℎ=√(√5)2−1=2，圆锥底面半径为 r =√l 2−ℎ2=√2，截去的底面弧的圆心角为直角，截去的弧长是底面圆周的 14，圆锥侧面剩余 34，即为 S 1=34⋅π⋅rl =34π⋅√2×√6=3√32π，截面三角形的面积为 S 2=12×2×√5=√5，底面剩余部分为S 3=34πr 2+12×√2×√2=1+3π2，所以被截后该几何体的表面积为 S =3π2+3√3π2+√5+1．第二部分 41. 3 42. 12π【解析】提示：球的半径为 √3． 43. 14π 44. 24【解析】球的半径为 √3 ，则正方体的体对角线长为 2√3 ，从而正方体的棱长为 2 ，表面积为 6×22=24 ． 45. 16π−16 46. 12π【解析】提示：由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成．47. 12+π【解析】该几何体是一个长方体和一个圆柱的组合体．由三视图可知长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面半径为1，高为1，故该组合体的体积为V=4×3×1+π×1×1=12+π．48. √349. √3【解析】三视图对应的空间几何体是以2为底、高为a的三角形作为底面，以3为高的卧放的一个三棱柱．50. 2π+2√3351. 9√3π52. 288πcm3或192πcm3．53. 24πcm2【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其母线长是5cm，底面直径是6cm．所以该三棱锥的表面积S=π×32+12×6π×5=24πcm2．54. 6+π【解析】如图：该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体．所以V=3×2×1+13π×12×3=6+π.55. 456. 108+3π【解析】由三视图可知，该几何体由两个长方体和一个圆柱组成．所以V=2×6×6×32+π×12×3=108+3π．57. 48【解析】由三视图可知，该几何体为四棱锥，所以V=13×62×4=48．58. 5359. 9π260. 13【解析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A−BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则V=13×1×1×1=13．61. 20π3【解析】三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2m、高为2m的圆锥，下面是底面圆的半径为1m、高为4m的圆柱，所以该几何体的体积是13×4π×2+4π=20π3(m3)．62. 8√3+4√3π3【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组成，所以体积为12×13×π×22×2√3+13×3×4×2√3=8√3+4√33π．63. 16+8π【解析】由三视图可知，该几何体是由一个长方体和半个圆柱形成，所以体积为V=2×2×4+ 12π×22×4=16+8π．64. 9√3π【解析】如下图所示：PO=√62−32=3√3，所以体积为13⋅3√3⋅π⋅32=9√3π．65. 20π3【解析】该几何体的体积为π⋅4+13π⋅22⋅2=20π3m3．66. 3【解析】由三视图可知，该几何体为上面一个三棱柱，下方一个四棱柱．故V上＝12×1×1×2=1，V下＝2×1×1=2，所以V=1+2=3．67. 3【解析】由三视图可以看出，该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱组成．体积为13×(2√2)2×√5+π×22x=12π+8√53，所以x=3．68. 9π【解析】由三视图可知，该几何体的侧面积为2π×1×3=6π，下底面面积为π×12=π，顶部为半个球的表面积12×4π×12=2π，所以该几何体的表面积为9π．69. 7π【解析】由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个球组成，所以表面积为π×12+2π×1×2+12×4π×12=7π．70. 33π【解析】上半部分为半个球，表面积为12×4πr2=18π．下半部分为圆锥，侧面积为12×2πr×母线=15π．所以表面积为33π．71. 18+9π【解析】由三视图可知，该几何体为两个相切的球上方加了一个长方体组成的组合体，所以其体积为V=3×6×1+2×43π×(32)3=18+9π(m3).72. 36π．73. 11274. 1375. 43π【解析】由俯视图可知，直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，根据射影定理，球心为斜边中点，半径为1，所以球的体积为43πr3=43π．76. (18+2√3)cm2．77. 77π【解析】提示：依题意得20=13×12×5×6×ℎ，解出ℎ=4．可算出外接球半径为√772，所以外接球表面积为77π．78. 83π【解析】由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成．其中，圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1m，圆锥的高均为1m，圆柱的高为2m．因此该几何体的体积为V=2×13π×12×1+π×12×2=83πm3．79. 16π9+2√33【解析】由三视图可知，该几何体由23个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为23×13π×22×2+13×12×2√3×1×2=16π9+2√33．80. √63【解析】提示：设这个棱长为1的正四面体的四个顶点分别为A、B、C、D，可求得其高为ℎ=√63，设每个面面积为S，则V A−BCD =V P−ABC +V P−ACD +V P−ABD +V P−BCD ,所以13ℎS =13d 1S +13d 2S +13d 3S +13d 4S, 得 d 1+d 2+d 3+d 4=ℎ=√63． 第三部分81. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图．（2） 作 EM ⊥AB ，垂足为 M ，则 AM =A 1E =4，EB 1=12，EM =AA 1=8． 因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH =EF =BC =10． 于是 MH =√EH 2−EM 2=6，AH =10，HB =6．故 S 四边形A 1EHA =12×(4+10)×8=56，S 四边形EB 1BH =12×(12+6)×8=72． 因为长方体被平面 α 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79 也正确）． 82. ∵ D ，E 分别是 AB ，AC 中点， ∴ S △ADE =14S △ABC ，∴ V 三棱锥S−ADE =14V 三棱锥S−ABC ，∴ V 四棱锥S−BCED =V 三棱锥S−ABC −V 三棱锥S−ADE =34V 三棱锥S−ABC ．∵ 三棱锥 S −ABC 的三条侧棱两两垂直，∴ V 三棱锥S−ABC =16⋅SA ⋅SB ⋅SC =16×5×4×3=10，∴ V 四棱锥S−BCED =34V 三棱锥S−ABC =34×10=152．83. （1） 因为点 E ，F 分别是棱 BC ，CD 的中点，所以AF ⊥DE又AF ⊥DD 1DE ∩DD 1=D}⇒AF ⊥面EDD 1⇒AF ⊥D 1E 又C 1D ∥B 1A C 1D ⊥面BCD 1}⇒D 1E ⊥B 1AB 1A ∩AF =A }}⇒D 1E ⊥面AB 1F.（2） V E−AB 1F =V B 1−AEF =13⋅1⋅38=18．（3） 由⑴可知：D 1E ⊥ 平面 AB 1F ，直线 B 1E ，B 1D 1 与平面 AB 1F 所成的角分别为 α，β，即 α+β=∠EB 1D 1，所以cos(α+β)=cos∠EB1D1=54+2−(14+1+1)2×√52×√2=√1010．84. （1）因为AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，所以∠ACB=90∘⇒AB为底面圆的直径⇒S侧=12⋅10⋅π⋅5=25π．圆锥的侧面展开图是一个扇形，设此扇形的中心角为θ，弧长为l，则l=10θ，所以2π×52=10θ，所以θ=π2．（2）沿着圆锥的侧棱SA展开，在展开图△ABS中，∠ASB=45∘，SA=SB=10，⇒AB2= SA2+SB2−2SA⋅SB⋅cos∠ASB⇒AB=10√2−√2．85. （1）在AC上取一点Q，使得AQQC=4，连接MQ，QN，则AMMD =AQQC=PNNC，所以QN∥AP，MQ∥CD，又CD∥AB，所以MQ∥AB．又因为AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，MQ⊂平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以平面PAB∥平面MNQ，又因为MN⊂平面MNQ，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．过C作CH⊥AD，垂足为H，则CH=3×45=125，因为PA⊥平面ABCD，CH⊂平面ABCD，所以PA⊥CH，又CH⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CH⊥平面PAD，因为PC=√PA2+AC2=√41，PNNC=4，所以N到平面PAD的距离ℎ=45CH=4825，所以V P−AMN=V N−PAM=13S△PAM⋅ℎ=13×12×5×4×4825=325.86. （1）在△BAD中，因为AB=2AD=2，∠BAD=60∘，所以由余弦定理可得BD=√3．AB2=AD2+BD2，所以AD⊥BD．又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以GD⊥BD．又AD∩GD=D，所以BD⊥平面ADG．（2）由已知可得AG∥EF，AE∥GF，四边形AEFG是平行四边形．GD=AD=1，所以EF=AG=√2．EB=AB=2，所以GF=AE=2√2．过G作GM∥DC交CF于H，得FH=2，所以FC=3．过G作GM∥DB交BE于M，得GM=DB=√3，ME=1，所以GE=2．cos∠GAE=2×2√2×√2=34，所以sin∠GAE=√74．S AEFG=2×12×√2×2√2×√74=√7．该几何体的全面积S=√7+2×12×1×√3+12×1×1+12×2×2+12×(1+3)×2+12×(2+3)×1=√7+√3+9.87. （1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1=13Sℎ=13×π×(162)2×4=2563π(m3),如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2=13Sℎ=13×π×(122)2×8=2883π(m3).（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m．棱锥的母线长为l=√82+42=4√5，则仓库的表面积S1=π×8×4√5=32√5π(m2),如果按方案二，仓库的高变成8m．棱锥的母线长为l=√82+62=10，则仓库的表面积S2=π×6×10=60π(m2).（3）∵V2>V1，S2<S1，∴方案二比方案一更加经济．88. （1）因为EA=ED且EEʹ⊥平面ABCD，所以EʹD=EʹA，所以点Eʹ在线段AD的垂直平分线上，同理点Fʹ在线段BC的垂直平分线上．又ABCD是正方形，所以线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线即点EʹFʹ都居线段AD的垂直平分线上，所以直线E′F′垂直平分线段AD．（2）连接EB，EC，设AD中点为M，由题意知，AB=2，∠EAD=∠EAB=60∘，EF=2，所以ME=√3，BE=FC=2，则多面体ABCDEF可分割成正四棱锥E−ABCD和正四面体E−BCF两部分，在Rt△MEEʹ中，由于MEʹ=1，ME=√3，所以EEʹ=√2，所以V E−ABCD=13S正方形ABCD⋅EEʹ=13×4×√2=4√23．V E−BCF=V C−BEF=V C−BEA=V E−ABC=13S△ABC⋅EEʹ=13×12×4×√2=23√2,所以多面体ABCDEF的体积为V E−BCF+V E−ABCD=2√2．89. （1）在三棱锥A−BCD中，∵AB⊥平面BCD，又∵CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．又∵BD⊥CD，且BD∩AB=B，∴CD⊥平面ABD．（2）法一：由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD，∵AB=BD=1，∴S△ABD=12．∵M是AD中点，∴S△ABM=12S△ABD=14．由（1）知，CD⊥平面ABD，∴三棱锥C−ABM的高ℎ=CD=1，因此三棱锥A−MBC的体积为V A−MBC=V C−ABM=13S△ABM⋅ℎ=112.法二：由AB⊥平面BCD知，平面ABD⊥平面BCD，又平面ABD∩平面BCD=BD，如图，过点M作MN⊥BD交BD于点N，则MN⊥平面BCD，且MN=12AB=12,又CD⊥BD,BD=CD=1，所以S△BCD=1 2 ,∴三棱锥A−MBC的体积V A−MBC=V A−BCD −V M−BCD =13AB ⋅S △BCD −13MN ⋅S △BCD=112.90. （1） 如图，因 ABCD 为菱形，O 为菱形中心，连接 OB ，则 AO ⊥OB ，因为 ∠BAD =π3，故OB =AB ⋅sin∠OAB =2sinπ6=1. 又因为 BM =12，且 ∠OBM =π3，在 △OBM 中OM 2=OB 2+BM 2−2OB ⋅BM ⋅cos∠OBM=12+(12)2−2×1×12×cos π3=34,所以OB 2=OM 2+BM 2,故 OM ⊥BM ．又 PO ⊥ 底面 ABCD ，所以 PO ⊥BC ，从而 BC 与平面 POM 内两条相交直线 OM ，PO 都垂直， 所以 BC ⊥ 平面 POM ．（2）由（1）可知，OA =AB ⋅cos∠OAB =2⋅cosπ6=√3, 设 PO =a ，由 PO ⊥ 底面 ABCD 知，△POA 为直角三角形，故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3,由 △POM 也是直角三角形，故PM 2=PO 2+OM 2=a 2+34,连接 AM ，在 △ABM 中，AM 2=AB 2+BM 2−2AB ⋅BM ⋅cos∠ABM=22+(12)2−2⋅2⋅12⋅cos 2π3=214,由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+34=214,得a=√32,a=−√32(舍去),即PO=√32，此时S ABMO=S△AOB+S△OMB=12⋅AO⋅OB+12⋅BM⋅OM=12⋅√3⋅1+12⋅12⋅√32=5√3 8,所以四棱锥P−ABMO的体积V P−ABMO=13⋅S ABMO⋅PO=13⋅5√38⋅√32=5 16.91. （1）在△ABD中，因为AB=2,AD=4,∠DAB=60∘,所以BD=√AB2+AD2−2AB⋅ADcos∠DAB=2√3.所以AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD.又因为平面EBD⊥平面ABD．平面EBD∩平面ABD=BD，AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面EBD．结合DE⊂平面EBD，可得AB⊥DE．（2）由（1）知AB⊥BD，因为CD∥AB，所以CD⊥BD，从而DE⊥BD．在Rt△DBE中，因为DB=2√3,DE=DC=AB=2,所以S△DBE=12DB⋅DE=2√3.又AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，所以AB⊥BE．因为BE=BC=AD=4,所以S△ABE=12AB⋅BE=4.又DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，故得到ED⊥平面ABD．而AD⊂平面ABD，所以ED⊥AD，因此S△ADE=12AD⋅DE=4.综上，三棱锥E−ABD的侧面积S=8+2√3.92. （1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，则仓库的体积V1=13S⋅ℎ=13×π×(162)2×4=2563π(m3)如果按方案二，仓库的高变成8m，则仓库的体积V2=13S⋅ℎ=13×π×(122)2×8=2883π(m3)（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m，半径为8m．圆锥的母线长为l1=√82+42=4√5(m)，则仓库的侧面积S1=π×8×4√5=32√5π(m2)；如果按方案二，仓库的高变成8m，圆锥的母线长为l2=√82+62=10(m)，则仓库的侧面积S2=π×6×10=60π(m2)．（3）因为V2>V1，S2<S1．所以方案二比方案一更加经济．93. （1）取AB的中点M，连接A1M．因为AF=14AB，所以F为AM的中点．。