高中数学 2.5向量的应用(一)课时作业 苏教版必修4
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2.5 向量的应用(一)
课时目标
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
1．向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔________⇔________________.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b⇔________⇔________________.
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝________________________＝________________________________.
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝________.
2．直线的方向向量和法向量
(1)直线y＝kx＋b的方向向量为________，法向量为________．
(2)直线Ax＋By＋C＝0的方向向量为________，法向量为________．
一、填空题
1.
如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为______．
2．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是________．
3．已知平面上三点A、B、C满足|AB→|＝3，|BC→|＝4，|CA→|＝5.则AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝____.
4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→，则点O是
△ABC的________．(从重心、垂心、外心、内心中选择)
5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是________．
6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是______三角形．
7．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则
△ABC的形状一定是________三角形．
8．已知点A(3，1)，B(0,0)，C(3，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC→＝λCE→，其中λ＝________.
9．已知非零向量AB→与AC→满足AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC的形状是________三角形．
10．在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的角平分线上且|OC→|＝2，则OC→＝__________________.
二、解答题
11．在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的角平分线的方程．
12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF.
能力提升
13．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，NA→＋NB→＋NC→＝0，PA→·PB→＝PB→·PC→＝PC→·PA→，则点O，N，P依次是△ABC的________．
①重心、外心、垂心； ②重心、外心、内心；
③外心、重心、垂心； ④外心、重心、内心．
(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)
14．求证：△ABC的三条高线交于一点．
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解
决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．
2．在直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)上任取两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1P2→(λ∈R且λ≠0)也是直线l的方向向量．所以，一条直线的方向向量有无数多个，它们都共线．同理，与直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的向量都叫直线l的法向量．一条直线的法向量也有无数多个．熟知以下结论，在解题时可以直接应用．
①y＝kx＋b的方向向量v＝(1，k)，法向量为n＝(k，－1)．
②Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量v＝(B，－A)，法向量n＝(A，B)．
§2.5 向量的应用(一)
知识梳理
1．(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0
(2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
(3)a·b|a||b|
x1x2＋y1y2x21＋y21 x22＋y22 (4)x2＋y2
2．(1)(1，k) (k，－1)
(2)(B，－A) (A，B)
作业设计
1．2
解析 ∵O是BC的中点，
∴AO→＝12(AB→＋AC→)＝m2AM→＋n2AN→，
∴MO→＝AO→－AM→＝(m2－1)AM→＋n2AN→.
又∵MN→＝AN→－AM→，MN→∥MO→，
∴存在实数λ，使得MO→＝λMN→，
即 m2－1＝－λ，n2＝λ，
化简得m＋n＝2.
2.525
解析
BC中点为D32，6，AD→＝－52，5，
∴|AD→|＝525.
3．－25
解析 △ABC中，B＝90°，cos A＝35，cos C＝45，
∴AB→·BC→＝0，BC→·CA→＝4×5×－45＝－16，
CA→·AB→＝5×3×－35＝－9.
∴AB→·BC→＋BC→·CA→＋CA→·AB→＝－25.
4．垂心
解析 ∵OA→·OB→＝OB→·OC→，
∴(OA→－OC→)·OB→＝0.
∴OB→·CA→＝0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为垂心．
5．45°
解析 设l1、l2的方向向量为v1，v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝|v1·v2||v1|·|v2|＝255×52＝22.
∴l1与l2的夹角为45°.
6．直角
解析 ∵|OB→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，
|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，
∴|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
7．等腰
解析 ∵(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)
＝[(DB→－DA→)＋(DC→－DA→)]·(AB→－AC→)
＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2
＝|AB→|2－|AC→|2＝0，
∴|AB→|＝|AC→|，
∴△ABC是等腰三角形．
8．－3
解析 如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝33，
∴|BC||CE|＝3，
∴BC→＝－3CE→.
9．等边
解析 由AB→|AB→|＋AC→|AC→|·BC→＝0，得∠A的角平分线垂直于BC.∴AB＝AC.
而AB→|AB→|·AC→|AC→|＝cos〈AB→，AC→〉＝12，
又〈AB→，AC→〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.
故△ABC为正三角形．
10.－105，3105
解析
已知A(0,1)，B(－3,4)，
设E(0,5)，D(－3,9)，
∴四边形OBDE为菱形．
∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.
设C(x1，y1)，|OD→|＝310，
∴OC→＝2310OD→.
∴(x1，y1)＝2310×(－3,9)＝－105，3105，
即OC→＝－105，3105.
11．解 AB→＝(3,4)，AC→＝(－8,6)，
∠A的角平分线的一个方向向量为：
AB→|AB→|＋AC→|AC→|＝35，45＋－45，35
＝－15，75.
∵∠A的角平分线过点A.
∴所求直线方程为－75(x－4)－15(y－1)＝0.
整理得7x＋y－29＝0.
12.
证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，|DP→|＝λ，则A(0,1)，
P2λ2，2λ2，E1，22λ，
F22λ，0，
于是PA→＝－22λ，1－22λ，
EF→＝22λ－1，－22λ.
∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，
同理|EF→|＝λ2－2λ＋1，
∴|PA→|＝|EF→|，∴PA＝EF.
∵PA→·EF→＝－22λ2λ2－1＋1－22λ－22λ
＝0，
∴PA→⊥EF→.∴PA⊥EF.
13．③
解析 如图，∵NA→＋NB→＋NC→＝0，
∴NB→＋NC→＝－NA→.依向量加法的平行四边形法则，知|NA→|＝2|ND→|，故点N为△ABC的重心．
∵PA→·PB→＝PB→·PC→，
∴(PA→－PC→)·PB→
＝CA→·PB→＝0.
同理AB→·PC→＝0，BC→·PA→＝0，
∴点P为△ABC的垂心．
由|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，知点O为△ABC的外心．
14．证明
如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．
设BE，CF交于H点，
令AB→＝b，AC→＝c，AH→＝h，
则BH→＝h－b，CH→＝h－c，
BC→＝c－b.
∵BH→⊥AC→，CH→⊥AB→，
∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b
整理得h·(c－b)＝0，∴AH→·BC→＝0
∴AH⊥BC，∴AH→与AD→共线．
故△ABC的三条高线交于一点．
