高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.5 向量的应用》

1 高中数学 2.5 向量的应用第一课时互动课堂学案 苏教版必修4

疏导引导

1.向量在平面几何中的应用

向量是数学中证明几何命题的有效工具之一.根据平面向量的基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时，可先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论.一般地，利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度问题.利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题.

案例1 求证平行四边形对角线互相平分，

【探究】如图所示，已知ABCD的两条对角线相交于点M，设AM=xAC，BM=yBD，则

AM=xAC=xAB+xAD，

AM=AB+BM=AB+yBD

=AB+y（AD-AB）

=（1-y）AB+yAD.

于是我们得到关于基底{AB、AD}的AM的两个分解式，因为分解式是唯一的，所以.,1yxyx

解得x=21，y=21，故M是AC、BD的中点，即对角线AC、BD在交点互相平分.

通过上例可以看出用向量方法解决平面几何的步骤为：

①建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.

②通过向量运算，解决几何元素之间的关系.

③把运算结果翻译成几何关系.

规律总结 （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的定义.

(2)证明线段平行,三角形相似,判断两直线是否平行,常运用向量共线的条件.

(3)证明线段的垂直问题,常用向量垂直的条件a⊥ba·b=0.

(4)求与夹角相关的问题,常用向量的夹角公式cosθ=||||baba••.

2.向量在解析几何中的应用 2 在平面直角坐标系中，有序实数对（x,y）既可表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决.

1 四队中学教案纸 （ 学科： 高一数学 ）

备课

时间 教学

课题 向量的乘积（2） 教时

计划 1 教学

课时 1

教学

目标 1、理解两个向量共线的含义，能根据条件判断两个向量是否共线，

2、能运用它们证明简单的几何问题。

重点难点 两个向量共线的含义

向量共线与几何共线的区别

教学过程

一、问题情境：

问题：如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，

求证： BC与DE共线，并将DE用BC线性表示.

证：因为D,E分别为AB,AC的中点，

所以DE∥BC

即BC与DE共线，

又BCDE21，且DE与BC同向

所以DE=21BC

你能从这道题目中发现什么吗?

二、互动探究

向量共线定理：如果有一个实数,使ba )0(a,那么b与a是共线向量;反之,如果

b与a)0(a是共线向量, 那么有且只有一个实数,使ba

证:由向量数乘的定义可知,对于向量a)0(a和b,如果有一个实数,

使ba,那么b与a是共线向量.

反过来,如果b与a)0(a是共线向量,

当b与a同方向时,令||||ba

2 当b与a反方向时, 令||||ba

若0b,则令0

从而有一个实数,使 ba ,

假设有两个',,使ba, 'b,则0)('abb,故0||||'a

因为0||a,所以‘即,0'

三、精讲点拨

例1、如图，△ABO中，C为直线AB上一点，ACCB（-1）.

求证：OAOBOC1

分析:将已知条件中AC,CB用结论式中的OCOBOA,,表示,进而解出OC

证 因为OAOCAC

1,01,1)1()(OBOAOCOBOAOCOCOBOAOCCBACOCOBCB所以即又因为即所以又

4.1.1 圆的标准方程

三维目标：

知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

1、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

2、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①

化简可得：②

引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究

例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点与圆的关系的判断方法：

（1）>，点在圆外

（2）=，点在圆上

（3）<，点在圆内

例（2）：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程

师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决）

例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。

第 9 课时：§2.4 向量的数量积（一）

【三维目标】：

一、知识与技能

1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件

3．掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

二、过程与方法

教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；从问题的探究和解决中感受什么是向量的数量积；为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了例题，通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.

三、情感、态度与价值观

通过本节内容的学习，使同学们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.

【教学重点与难点】：

重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；

难点：向量数量积的含义、数量积的运算性质；

【学法与教学用具】：

1. 学法：

(1)自主性学习+探究式学习法：

(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.

2. 教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？

二、研探新知

1.平面向量数量积的物理背景及其含义

物理学中，物体所做的功的计算方法：

||||SFW（其中是F与S的夹角）

2.向量夹角

已知两个向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB（0180）叫做向量a与b的夹角。 S F