2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.5 向量的应用-含答案

数学

[例1] 如图所示，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°、60°，求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小．

[思路点拨] 解决本题的关键是把力的问题转化为向量问题解决，注意力的合成可以用平行四边形法则，也可用三角形法则．

[精解详析] 如图，作平行四边形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.

在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，

∠OAC＝90°.

|OA|＝|OC|cos 30°＝300×32

＝1503(N)，

|OB|＝|OC|sin 30°＝12×300＝150(N)．

故与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.

[一点通] 在解决力的合成与力的分解问题时，一般是通过作出受力分析图结合力的平衡原理，再辅之以向量加法的平行四边形法则使问题获得简捷、有效的解决．因此，在运用向量解决物理问题时，一定要把数学知识和物理的实际情况有机结合起来，这是有效解决此类问题的根本方法．

1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为________．

解析：由已知得F1＋F2＋F3＝0，

∴F3＝－(F1＋F2)．

∴F23＝F21＋F22＋2F1·F2＝F21＋F22＋2|F1||F2|cos 60°＝28.

∴|F3|＝27.

答案：27 数学

2．在水流速度为43 km/h的河中，一艘船以12 km/h的实际速度垂直对岸行驶，求这艘船在静水中航行速度的大小与方向．

解：如图，设AB表示水流速度，AC表示船行驶的实际速度，以AB为一边，AC为一对角线作平行四边形ABCD，则AD就是船在静水中的航行速度．

∵|AB|＝43.|AC|＝12，

∴|AD|＝|BC|＝83，tan∠ACB＝4312＝33，

∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠BAD＝120°.

故船在静水中的航行速度大小为83 km/h，与水流方向夹角为120°.

[例2] 如图，在等腰直角△ABC中，角C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.

[思路点拨]

欲证AD⊥CE，即证AD·CE＝0.由于已有CA·CB＝0，故考虑选此两向量为基底，从而应用此已知条件．另外，如果进一步考虑到此组基底是垂直关系，还可以建立直角坐标系．

[精解详析] 法一：记CA＝a，CB＝b，

则AB＝b－a，且a·b＝0，|a|＝|b|.

因为AD＝CD－CA＝12b－a，

CE＝AE－AC＝23(b－a)＋a＝23b＋13a，所以

AD·CE＝12b－a·23b＋13a＝13b2－13a2＝0.

可得AD⊥CE.

数学

法二：建立如图所示的直角坐标系，不妨设AC＝BC＝2，

则C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，

因为D是CB的中点，则D(0,1)．

所以AD＝(－2,1)，AB＝(－2,2)

又CE＝CA＋AE＝CA＋23AB＝(2,0)＋23(－2,2)＝23，43，

所以AD·CE＝(－2,1)·23，43＝(－2)×23＋43＝0，

因此AD⊥CE.

[一点通] (1)证明直线平行，可用平行向量定理；证明直线垂直，可用数量积运算；

(2)用向量法证明几何问题，需要选取恰当的基底，进而将其他向量用基底正确表示；如果能够建系，则可用向量的坐标法，借助代数运算达到证明的目的．

3．点O是△ABC所在平面内一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的三条________的交点．

解析：由OA·OB＝OB·OC得OB·(OA－OC)＝0，

即OB·AC＝0，所以OB⊥AC.

同理，OC⊥AB，OA⊥BC.所以O为三条高的交点．

答案：高

4.已知：如图，AD，BE，CF是△ABC的三条高，且相交于点O，若DG⊥BE于G，DH⊥CF于H，求证：GH∥EF.

证明：设OA＝λOD (λ≠0)，

∵DG⊥BE，AE⊥BE，∴DG∥AE，同理DH∥AF，

则AE＝λDG，AF＝λDH，

∴EF＝AF－AE＝λ(DH－DG)＝λGH.

∴GH∥EF，又∵GH，EF没有公共点，∴GH∥EF.

[例3] 已知点P(－3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴上的正半轴上，点M在直线AQ上，满足PA·AM＝0，AM＝－32MQ，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程．

[思路点拨] 先设出动点坐标即M(x，y)，再结合已知条件用动点坐标与已知点坐标表示AM，MQ，找出坐标间的关系，从而求出动点的轨迹方程． 数学

[精解详析] 设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，

设A(0，b)，Q(a,0)(a>0)，

则AM＝(x，y－b)，MQ＝(a－x，－y)，

∵AM＝－32MQ，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)，

∴a＝x3，b＝－y2，则A0，－y2，Qx3，0，

PA＝3，－y2，AM＝x，32y.

∵PA·AM＝0，

∴3，－y2·x，32y＝0.∴3x－34y2＝0，

∴所求轨迹方程为y2＝4x(x>0)．

[一点通] (1)正确写出点的坐标，并由已知条件转化为向量坐标是解题的关键．

(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．

5．过点M(2,3)且平行于向量a＝(2,3)的直线方程为________．

解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(M除外)，则MP＝(x－2，y－3)．

∵该直线平行于向量a＝(2,3)，

∴2(y－3)＝3(x－2)即3x－2y＝0.

又点M(2,3)在直线3x－2y＝0上，

故所求直线方程为3x－2y＝0.

答案：3x－2y＝0

6．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4及点A(1,1)，M是圆C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且MA＝2AN，求点N的轨迹方程．

解：设M(x0，y0)，N(x，y)，

由MA＝2AN得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)．

∴ x0＝3－2x，y0＝3－2y.代入方程：(x0－3)2＋(y0－3)2＝4，

得x2＋y2＝1.

∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.

1．向量法解决物理问题的步骤

(1)抽象出物理问题中的向量，转化为数学问题； 数学

(2)建立以向量为主体的数学模型；

(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；

(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．

2．利用向量研究平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系．

3．向量在解析几何中的应用

利用向量法解决解析几何问题，如有关平行、共线、垂直、夹角、距离等问题均可用向量表示或用向量解决，要先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算通过坐标运算将问题解决．对于直线l：Ax＋By＋C＝0，则向量a＝(A，B)即为直线l的法向量，b＝(1，k)或c＝(－B，A)为直线l的方向向量．两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋c2＝0是否垂直，均可由向量解决．由于n1＝(A1，B1)，n2＝(A2，B2)，则n1·n2＝0⇔n1⊥n2⇔l1⊥l2.

课下能力提升(二十二)

一、填空题

1．已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，若a·b<0，则△ABC的形状为________．

解析：由a·b<0⇒∠A>90°，故为钝角三角形．

答案：钝角三角形

2．过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为________．

解析：设P(x，y)是所求直线上的任意一点(A点除外)，

则AP⊥a，∴AP·a＝0.

又∵AP＝(x－2，y－3)．

∴2(x－2)＋(y－3)＝0，即2x＋y－7＝0.

又∵点A(2,3)在直线2x＋y－7＝0上，∴所求直线方程为2x＋y－7＝0.

答案：2x＋y－7＝0

3．作用于原点的两个力F1＝(1,1)，F2(2,3)，为使它们平衡，需要加力F3＝________. 数学

解析：要使它们平衡，则合力大小为0，F1＋F2＋F3＝0，设F3＝(x，y)，则 1＋2＋x＝0，1＋3＋y＝0，解得 x＝－3，y＝－4，故F3＝(－3，－4)．

答案：(－3，－4)

4．当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力都为|F|，夹角为θ，若|F|＝|G|，则θ的值为________．

解析：作OA＝F1，OB＝F2，OC＝－G，则OC＝OA＋OB，当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，

∴∠AOC＝60°，从而∠AOB＝120°.

答案：120°

5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝3，则OA·OB＝__________.

解析：如图，取D为AB的中点，

∵OA＝1，AB＝3，∴∠AOD＝π3.

∴∠AOB＝2π3.

∴OA·OB＝1×1×cos2π3＝－12.

答案：－12

二、解答题

6.如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．

解：设AD＝a，AB＝b，则AC＝a＋b，BD＝a－b，

由已知|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2.

则(a－b)2＝|a－b|2＝4，即a2－2a·b＋b2＝4，

则1－2a·b＋4＝4，所以a·b＝12.

所以|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×12＋4＝6，即|a＋b|＝6.

故|AC|＝6，即对角线AC的长为6.

7．在直角三角形ABC中，AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，CD是直角三角形ABC的角平分线，求CD的长．