湖南省岳阳一中2015-2016学年高一下学期期中数学试卷 含解析
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2015—2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U=｛2,3,5，7，9｝，A=｛2，|a﹣5｜，7},CUA=｛5，9}，则a的值为（ ）
A．2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8
2．已知数列，，2，，…，则2在这个数列中的项数为（ ）
A．6 B．7 C．19 D．11
3．在等差数列{2﹣3n}中，公差d等于（ ）
A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣3
4．若α为第三象限角，则+的值为( ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
5．在△ABC中, =， =．若点D满足=（ ）
A． + B． C． D．
6．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（ )
A． B． C． D．
7．在△ABC中，a=1,B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（ ）
A． B．5 C．5 D．6
8．若函数y=sin（ωx+φ)（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．在△ABC中，D是BC的中点，||=3，点P在AD上，且满足=,则(+）=( ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
11．已知函数f（x)=e｜lnx|﹣|x﹣｜,则函数y=f（x+1）的大致图象为（ )
A． B． C． D．
12．已知定义在R上的函数f(x）满足：f（x）=，且f(x+2)=f(x），g（x）=，则方程f（x）=g（x）在区间[﹣5，1］上的所有实根之和为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数,且f(x）+g（x）=，则f（x）= ．
14．已知三条直线l1:4x+y=1，l2：x﹣y=0，l3：2x﹣my=3，若l1关于l2对称的直线与l3垂直，则实数m的值是 ．
15．已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上,直线l：y=x﹣1被圆C所截得的弦长为,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为
．
16．在锐角△ABC中，BC=1，B=2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知=（2，1），=(1，7)，=（5，1），设R是直线OP上的一点，其中O是坐标原点．
（Ⅰ）求使取得最小值时的坐标的坐标；
(Ⅱ)对于（1）中的点R，求与夹角的余弦值．
18．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小时追上．
(1）求渔船甲的速度；
(2）求sinα的值．
19．如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中AB⊥AD，AB=BC=1且AD=AA1=2．
（1）求证：直线C1D⊥平面ACD1；
（2)试求三棱锥A1﹣ACD1的体积．
20．函数是定义在(﹣1，1)上的奇函数，且．
（1)确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
(3）解不等式f（t﹣1）+f(t)＜0．
21．已知f（x）=sin2x+2+2cos2x．
（1)求f(x）的最小正周期与单调递减区间;
（2）在△ABC中，a，b,c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4,b=1,△ABC的面积为，求a的值．
22．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为M（,3）．
（1)求f(x）的解析式;
（2)先把函数y=f(x）的图象向左平移个单位长度,然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象,试写出函数y=g（x）的解析式．
(3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[﹣,],使得不等式g(x0)+2≤log3m成立，求实数m的最小值．
2015—2016学年湖南省岳阳一中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集U={2，3,5，7,9｝，A=｛2,|a﹣5｜，7}，CUA=｛5，9｝，则a的值为（ )
A．2 B．8 C．2或8 D．﹣2或8
【分析】求出集合A中的元素，得到|a﹣5｜=3，解出即可．
【解答】解：U={2，3，5，7,9｝，CUA={5，9},
∴A=｛2,|a﹣5|,7}=｛2，3，7}，
∴|a﹣5｜=3，解得:a=2或8，
故选：C．
【点评】本题考查了补集的定义,考查绝对值问题,是一道基础题．
2．已知数列，，2，，…，则2在这个数列中的项数为（ ）
A．6 B．7 C．19 D．11
【分析】化简数列，找出规律，判断即可．
【解答】解:数列，，2，，…, 即：数列，，，，…，被开方数是等差数列，被开方数的首项为2，公差为3， 2=,可得20=2+（n﹣1）3,解得n=7．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式的应用，考查计算能力．
3．在等差数列{2﹣3n｝中,公差d等于（ ）
A．2 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【分析】由题意可得等差数列的通项公式，由公差的定义可得．
【解答】解：由题意可得等差数列的通项公式an=2﹣3n，
∴公差d=an+1﹣an=2﹣3（n+1）﹣2+3n=﹣3 故选：D
【点评】本题考查等差数列的通项公式,属基础题．
4．若α为第三象限角，则+的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【分析】由α为第三象限角得到sinα与cosα都小于0，原式分母利用同角三角函数间的基本关系及二次根式的性质化简，即可得到结果．
【解答】解：∵α为第三象限角，
∴sinα＜0，cosα＜0，
则原式=+=﹣1﹣1=﹣2．
故选：B．
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．
5．在△ABC中, =， =．若点D满足=（ ）
A． + B． C． D．
【分析】由向量的运算法则,结合题意可得═=，代入已知化简可得．
【解答】解：由题意可得= == ==
故选A
【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题．
6．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣sinα=（ ) A． B． C． D．
【分析】利用正弦函数与余弦函数的单调性可知当＜α＜，时，则cosα﹣sinα＜0，于是可对所求关系式平方后再开方即可．
【解答】解：∵＜α＜,
∴cosα＜sinα，即cosα﹣sinα＜0,
设cosα﹣sinα=t（t＜0）,
则t2=1﹣2sinαcosα=1﹣=，
∴t=﹣,即cosα﹣sinα=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，着重考查正弦函数与余弦函数的单调性，判断知cosα﹣sinα＜0是关键，考查分析、运算能力，属于基本知识的考查．
7．在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（ ）
A． B．5 C．5 D．6
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将a，sinB以及已知面积代入求出c的值，再利用余弦定理求出b的值，最后利用正弦定理求出外接圆直径即可．
【解答】解：∵在△ABC中,a=1,B=45°，S△ABC=2, ∴acsinB=2，即c=4,
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=1+32﹣8=25,即b=5,
则由正弦定理得：d==5．
故选：C．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
8．若函数y=sin(ωx+φ）(ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ )
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．
【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0)与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，
所以函数的周期T=2（）=,
所以T==,所以ω==4．
故选B．
【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．
9．将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是( ）
A． B． C． D．
【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．
【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin(x+），
∴图象向左平移m(m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+］=2sin（x+m+），
∵所得的图象关于y轴对称, ∴m+=kπ+（k∈Z），
则m的最小值为．
故选B
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin（ωx+φ)的图象变换,熟练掌握公式是解本题的关键．
10．在△ABC中，D是BC的中点,||=3，点P在AD上，且满足=,则（+）=（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【分析】由题意可得|｜=｜｜=1，｜|=2，再由中点的向量表示,可得（+）=2，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求值．
【解答】解：由｜｜=3，点P在AD上，且满足=， 可得｜｜=｜|=1，｜｜=2,
由D是BC的中点，可得2=+, 即有(+）=2
=﹣2||||=﹣2×1×2=﹣4．
故选D．
【点评】本题考查向量的数量积的定义，考查中点的向量表示形式，考查运算能力，属于中档题．
11．已知函数f（x）=e|lnx｜﹣｜x﹣|，则函数y=f（x+1)的大致图象为（ ）
