第２７卷第６期 、，０１．２７ Ｎｏ．６ 辽宁工程技术大学学报（自然科学版）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） ２００８年ｌ２月
Ｄｅｃ． ２００８
文章编号：１ ００８．０５６２（２００８）０６—０９５５—０３
线性切换系统二次稳定性分析与设计
孙文安 ，张强 ，陈胜责
（１．大连大学辽宁省智能信息处理重点实验室，辽宁大连ｌ１６６２２；２．大连大学信息工程学院，辽宁大连１ｌ６６２２）
摘要：基于区间矩阵的等价表示方法，把线性切换系统转化为区间系统，利用矩阵不等式得到了在任意的切换
策略下线性切换系统二次稳定性的充分条件，给出了控制器的实现算法。这个条件等价于共同二次正定Ｌｙａｐｕｎｏｖ
函数判定条件，但共同二次正定Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数判定条件需要求解若干个矩阵不等式，当子系统较多时计算量是
相当大的，而这个条件只需找到一个Ｒｉｃｃａｔｉ不等式的的正定解就可以判定该系统的二次稳定性，大大降低计算
工作量。用数值例子对所得结果加以验证，说明了文中结果的正确性。
关键词：线性切换系统：二次稳定性：Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数：Ｒｉｃｃａｔｉ不等式：区间矩阵：线性矩阵不等式
中图分类号：ＴＰ １３ 文献标识码：Ａ
Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｆｏｒ ｓｗｉｔｃｈｅｄ ｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ
ＳＵＮ Ｗｅｎａｎ ，ＺＨＡＮＧ Ｑｉａｎｇ ，ＣＨＥＮ Ｓｈｅｎｇｇｕｉ‘
（１．Ｌｉａｏｎｉｎｇ Ｋｅｙ Ｌａｂ ｏｆＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｌｉａｎ １１６６２２，Ｃｈｉｎａ；
２．Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｆｉａｎ １１６６２２，Ｃｈｉｎａ）
Linear System Theory and Design SA01010048 LING QING
1 2.1 Consider the memoryless system with characteristics shown in Fig 2.19, in which u denotes
the input and y the output. Which of them is a linear system? Is it possible to introduce a new
output so that the system in Fig 2.19(b) is linear?
Figure 2.19
Translation: 考虑具有图2.19中表示的特性的无记忆系统。其中u表示输入，y表示输出。
下面哪一个是线性系统？可以找到一个新的输出，使得图2.19(b)中的系统是线性的吗？
Answer: The input-output relation in Fig 2.1(a) can be described as:
uay*
Here a is a constant. It is a memoryless system. Easy to testify that it is a linear system.
The input-output relation in Fig 2.1(b) can be described as:
buay*
Here a and b are all constants. Testify whether it has the property of additivity. Let:
第一章 线性定常系统的状态空间描述及运动分
析
1.1 线性定常系统的传递函数描述
传递函数描述 局部的,有局限性的描述
传递函数描述的是系统的输入--输出关系,即假定对系统结构的内部信息一无所知,只能得到系统的输入信息和输出信息,系统内部结构就像一个"黑箱"一样,因此,传递函数只能刻画系统的输入--输出
特性,它被称为系统的输入--输出描述和外部描述.
常用的数学工具:拉普拉斯变换 主要适用于描述线性定常系统
1.单变量情形回顾
已知由下列常系数微分方程描述的定常系统
其中 : 系统的输出 ; :系统的输入 ; : 时间 ; 均为常数 ,
(希望input少,收益大)
假定所有初始值(包括导数的值)全为0,对上式两边取拉普拉斯变换,得到
其中 为 的拉普拉斯变换,则下式称为系统的传递函数 :
传递函数为 的真有理分式,则称系统为物理能实现的. 单输入--单输出系统的传递函数必为真有理分式.
系统的特征多项式 : 多项式
系统的特征方程 : 代数方程
系统的极点 : 特征方程的根或者说特征方程的零点
系统的零点 : 多项式 的零点
传递函数的零点和极点 : 零极相消后剩下的系统的零点和极点 (若系统有相同的零点和极点,则称
系统有零极点相消)
2.传递函数矩阵
考察多输入--多输出的线性定常系统.
令 输入变量组 : {} , 输出变量组 : {} 且假定系统的初始变量为 0 .
用 和 分别表示 和 的拉普拉斯变换, 表示系统的由第 个输入端到第 个输出端的
传递函数,其中
则由系统的线性属性(即满足叠加原理) 可以导出:
称由上式所定义的 为系统的传递函数矩阵. 容易看出, 为 的一个有理分式矩阵. 当
的元传递函数 除严格真 还包含真有理分式时,即它的一个或一些元传递函数中分母和分子多项式具有相等的最高幂次时,称 为真有理分式矩阵.通常,当且仅当 为
真的或严格真的时,它才是物理上可实现的.
作为一个判别准则,当且仅当
线性二自由度汽车模型的运动微分方程
为了便于建立运动方程，做以下简化：
（1）忽略转向系统的影响，直接以前轮转角作为输入；
（2）忽略悬架的作用；车身只作平行于地面的平面运动，沿z 轴的位移、绕 y轴的俯仰角和绕 x 轴的侧倾角均为零，且lrZZFF；
（3）汽车前进速度u视为不变；
（4）侧向加速度限定在0.4g一下，确保轮胎侧偏特性处于线性范围；
（5）驱动力不大，不考虑地面切向力对轮胎侧偏特性的影响，没有空气动力的作用。
在上述假设下，汽车被简化为只有侧向和横摆两个自由度的两轮摩托车模型。
分析时，令车辆坐标系原点与汽车质心重合。
首先确定汽车质心的（绝对）加速度在车辆坐标系中的分量。 与为车辆坐标系的纵轴和横轴。质心速度于时刻在轴上的分量为，在轴上的分量为。由于汽车转向行驶时伴有平移和转动，在时刻，车辆坐标系中质心速度的大小与方向均发生变化，而车辆坐标系中的纵轴和横轴亦发生变化，所以沿 轴速度分量变化为： 考虑到很小并忽略二阶微量，上式变成： 除以并取极限，便是汽车质心绝对加速度在车辆坐标系上的分量
同理得：
下面计算二自由度汽车的动力学方程 二自由度汽车受到的外力沿轴方向的合力与绕质心的力矩和为
式中，，为地面对前后轮的侧向反作用力，即侧偏力；为前轮转角。
考虑到很小，上式可以写成：
下面计算二自由度汽车的动力学方程
二自由度汽车受到的外力沿轴方向的合力与绕质心的力矩和为
式中，，为地面对前后轮的侧向反作用力，即侧偏力；为前轮转角。 考虑到很小，上式可以写成：
汽车前后轮侧偏角与其运动参数有关。如上图所示，汽车前后轴中点的速度为，；前后轮侧偏角为，；质心侧偏角为，；为与轴的夹角，其值为：
根据坐标系的关系，前后轮侧偏角为
由此，可以列出外力，外力矩与汽车参数的关系式为
所以，二自由度汽车的运动微分方程为
由此，可以列出外力，外力矩与汽车参数的关系式为
