第五讲二次函数的实际应用
【知识速览】
1．实际问题中函数解析式的求法
设x为自变量，y为x的函数，在求解析式时，一般与解应用题列方程一样，先列出关于变量x，y的二元方程，再用含x的代数式表示y，最后还要写出自变量x的取值范围.
2．利用函数知识解应用题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立变量与变量之间的函数关系式，如一次函数、二次函数或其他复合而成的函数式；
（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；
（4）解答函数问题，如最值等；
（5）写出答案
2.与二次函数有关的实际问题大概有以下几种类型：
图形问题、销售利润问题、抛物线形建筑物问题等
【典型例题】
例1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（考查应用二次函数解决销售利润问题）
例2. 恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的
香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润=销售总金额-收购成本-各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？（考查应用二次函数解决销售利润问题）
例3.现有60米长的篱笆，准备围成一个如图所示的养鸡场，为了节省篱笆，养鸡场一面可以用墙来替代，另一面的篱笆与墙平行，中间再用篱笆分开.设与墙平行的一边长为x米，养鸡场的总面积为y平方米.
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课题：26.3实际问题与二次函数（1）
教学目标：
1、知识与技能：
经历数学建模的基本过程.
2、方法与技能：
会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3、情感、态度与价值观：
体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值.
教学重点和难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用.
难点：例1是从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解.
教学方法：
学生学法：
教学设计：
一、创设情境、提出问题
给你长8m的铝合金条，设问：
①你能用它制成一矩形窗框吗？
②怎样设计，窗框的透光面积最大？
③如何验证？
二、观察分析，研究问题
- 2 - 演示动画，引导学生观察、思考、发现：当矩形的一边变化时，另一边和面积也随之改变.深入探究如设矩形的一边长为x米，则另一边长为(4-x)米，再设面积为ym2,则它们的函数关系式为xxy42，并当x =2时，即当设计为正方形时，面积最大=4(m2)
引导学生总结，确定问题的解决方法：
在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决.
步骤：
第一步设自变量；
第二步建立函数的解析式；
第三步确定自变量的取值范围；
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值（在自变量的取值范围内）.
三、例练应用，解决问题
在上面的矩形中加上一条与宽平行的线段，出示图形
设问：用长为8m的铝合金条制成如图形状的矩形窗框，
问窗框的宽和高各是多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？
引导学生分析，板书解题过程.
变式（即课本例1）：现在用长为8米的铝合金条制成如图所示的窗框（把矩形的窗框改为上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形），那么如何设计使窗框的透光面
积最大？（结果精确到0.01米）
- 3 - 四、知识整理，形成系统
1、这节课学习了用什么知识解决哪类问题？
2、解决问题的一般步骤是什么？应注意哪些问题？
2010-2011学年第一学期 初三数学 导学案 编号： 使用时间：2012年12月 审核人： 负责人：
第 页共 页 第 页共 页 26.3实际问题与二次函数(1)第1课时
学习目标 ：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数求出实际问题中的最大（小）值，发展学生解决问题的能力。
学习重点：让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决经济中最大（小）值问题。
学习难点：如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。
学习方法：经历探索商品销售中最大利润问题的过程，增强数学应用能力。
一、知识回顾：函数y=6(x-2)2中，x=________时，y的最小值是
二、合作交流，解读探究
问题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
[议一议]涨价与降价有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？
1、 在涨价的情况下，最大利润是多少？
想一想：若每件涨价x元，由此商品
① 每件的利润为 元
②每星期的销售量为 件
③所获利润是 元
若设所获得利润为y元，则y与x的函数关系为：
④自变量x的取什范围是 ⑤如何求最大值？（能否利用二次函数的图像求最大值？）
人教版义务教育课程标准
教科书九年级数学下册
实际问题与二次函数(第3课时)
教学设计
实际问题与二次函数（第3课时）
教学目标 知识技能 通过对抛物线型拱桥的探究，让学生掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系数法求二次函数解析式，解决实际问题。
数学思考 通过对生活中实际问题的探究，体会建立数学建模的思想，并渗透转化及数形结合的数学思想方法。
解决问题 通过对生活实际问题的探究，体会数学知识在生活实际的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。
情感态度 通过二次函数的有关知识灵活用于实际，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。
教学重点 探究建立直角坐标系，待定系数法求出二次函数解析式，解决实际问题的方法。
教学难点 如何建立适当的平面直角坐标系。
教学过程设计
问题与情境
师生行为 设计意图
一、创设情境 引出问题
（本环节大约需要1分钟）
同学们，你们知道世界上最早的石拱桥是哪一座吗（学生回答：赵州桥）其实，最早的石拱桥是位于我们漯河的小商桥！因为，在1982年的9月，桥梁专家茅以升曾派考察组进行了实地考察，认定小商桥的建造时间比赵州桥还要早！更令我们漯河人自豪的是，2003年3月29日，国家邮政局发行的《中国古桥—拱桥》邮票中，第2枚就是我们漯河的小商桥！结构独特的小商桥在桥拱的造型上就用到了我们的数学知识——美丽的抛物线，今天，我们就来学习抛物线在拱桥中的有关应用。首先，请看由小商桥呈现的问题情境1。
（漯河小商桥图片）
教师用满腔的热爱家乡之情去感染每一位学生，并引导学生观察桥拱的形状。
学生聆听并欣赏图片：
教师关注：
学生是否对教师提出的知识产生深厚的兴趣，注意力是否迅速集中，最后是否注意到了桥拱的形状。 通过学生的认知冲突，激发了学生的好奇心和学习的兴趣，同时为探究二次函数的实际应用提供了背景材料。
问题与情境 师生行为 设计意图
