实际问题与二次函数几何问题课件

第9讲 实际问题与二次函数

一、知识梳理

1. 根据实际问题列二次函数解析式

【例1】.（1）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y关于x的函数解析式为 y＝200x2+600x+600（x＞0） ．

【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．

【解答】解：由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），

故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．

（2）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．

（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．

（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．

【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．

（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．

【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），

又∵m＝162﹣3x，

∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），

即y＝﹣3x2+252x﹣4860，

∵x﹣30≥0，

∴x≥30．

又∵m≥0，

∴162﹣3x≥0，即x≤54．

∴30≤x≤54． ∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．

（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，

所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．

∵500＞432，

∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．

1 二次函数的实际应用

类型1 建立二次函数模型解决几何图形面积问题

设长方形的长(或宽)为自变量，从而表示出另一边长，然后将面积表示为长(或宽)的二次函数，最后利用二次函数的性质解题．

1．现有一块矩形场地，如图所示，长为40 m，宽为30 m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花．

(1)求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？

2．(安徽中考)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度是x米，矩形区域ABCD的面积为y平方米．

(1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

(2)x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

2

3．(莆田中考)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛．矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB＝4米，∠ABC＝60°.设AE＝x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S平方米．

(1)求S与x的函数关系式；

(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草，已知红色花草的价格为20元/平方米，黄色花草的价格为40元/平方米．当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号)?

类型2 建立二次函数模型解决体育运动中的问题

从实际问题中抽象出抛物线上点的坐标，从而确定二次函数解析式，然后根据二次函数的性质解决问题．通常球飞行的高度对应函数的纵坐标，球飞行的距离对应函数的横坐标．

4．(随州中考)如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》

评课稿

授课人

评课人

《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》

评课稿

聆听了周老师的课。下面就周老师执教的《实际问题与二次函数——利用二次函数求几何面积的最值问题》这一课谈谈自己的看法。

周老师这堂课紧凑有序，首先以一般式为例复习二次函数的图象与性质引入新课，然后出示抛掷球类的问题，学生对二次函数已经有了一定的了解，并且自发尝试用二次函数来表示。

周老师使用小组合作交流的方式开展教学，在自主探究一中，学生通过建立平面直角坐标系、求解析式、确定图象与x轴的交点坐标得出小球运动时间和特定时刻的高度。紧接着，周教师引导学生及时归纳总结最值问题及表达形式。

在探究二中，学生通过列实际问题的二次函数解析式，逐步探究熟悉的围篱笆问题，重点研究自变量的取值范围和最值问题。同时也夯实了学生们心中的疑惑，因为之前学生掌握的一条规律，但又不知道为什么。在周长一定的情况下，围成什么形状时，面积更大。

正因为教师课前掌握学情，备课时做了充分准备，问题由易到难地逐步安排，过渡语衔接有序，激励语言收放自如，学生在课堂中肯学，乐学。教学思路清晰，结构较严谨，环环相扣，过渡自然。

周老师这节课是一堂体现新课程理念的成功案例，具有一定的借鉴意义。

1 实际问题与二次函数

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

 会运用二次函数及其图象的知识解决现实生活中的实际问题.

 培养学生自主探究的能力，在运用知识解决问题中体会二次函数应用的意义及数学转化思想.

重点难点：

 重点：通过实际问题，建立数学模型，利用二次函数图象与性质去分析、解决问题.

 难点：建立数学模型，把实际问题转化为二次函数问题.

学习策略：

 二次函数既是中考的重点内容,也是热点问题.而二次函数综合题在各级各类考试中都属于难度较大的问题，要求同学们不但对于二次函数本身的内容掌握要牢固，而且还要善于将二次函数和其他的有关知识（方程、不等式以及几何等知识）“攀亲”，搞好关系，这样问题的综合层次和要求都比较高．解决这类问题的关键就是要“沉得住气”，认真仔细地将题目中所提供的信息进行加工梳理，有条不紊地进行“抽丝剥茧”，得意知“形”，由“形”想“数”；函数与方程“攀亲”，由方程求函数；函数与几何“联姻”，由图形性质建立函数关系式，最终解决问题。

二、学习与应用

（一）抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的性质：

（1）a>0时，抛物线开口 ，并向上无限伸展，图象有最 点，即函数有最 值，当bx2a时miny ，对称轴所在直线为 ，且在对称轴左侧b(x)2ay随x增大而 ，在对称轴右侧b(x)2ay随x增大而 ；

（2）a<0时，抛物线开口 ，并向下无限伸展，图象有最 点，即函数有最 值，当bx2a时maxy ，对称轴所在直线为 ，且在对称轴左侧b(x)2ay随x增大而 ，在对称轴右侧“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。