函数的定义域和值域3

函数的定义域和值域3

第五讲 函数的定义域和值域

知识点：1.确定函数定义域的主要依据：

(1)当f (x )是整式时，定义域为R ；

(2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 取值的集合；

(3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开⽅式取⾮负值的x 取值的集合；

(4)当f (x )是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数⾮零或⼤于0

的x 取值范围；

（值域）(1)观察法

(2)换元法 y x =+ y x =+(3)中间变量法 y =)

1()1(22x x +-

(4)配⽅法 y = 232y x x =-+，[1,3]x ∈

(5)数形结合法 |1||4|y x x =-++；

(6)判别式法 ∵210x x ++>恒成⽴，∴函数的定义域为R ． 由22221

x x y x x -+=++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈

②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时⽅程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠，

∴原函数的值域为[1,5]．

⼀、 典型解析

例1、求下列函数的定义域

⑴ x x y ---+=331 ⑵ )3)(3(++=x x y ⑶ 831522-+-=x x x y 分析：对于⑴因偶次根式的根号内的值⾮负，所以?

≥-≥-0303x x 解得3=x 故定义域为{}3，对于⑵因幂指数为零时，底数不可以为零，所以03≠+x 故函数定

义域为 ),3()3,(+∞---∞ ，对于⑶因分式函数分母不可以为零，，并且偶次根

式的根号内的值⾮负，所以?≠-+≥--08301522x x x 解得 -≠≠≥-≤11553x x x x 或或 故其定义域 (]),5(3,11)11,(+∞----∞

说明：对于给定解析式的函数的定义域的求法，通常考虑偶次根式的根号内的

值应当⾮负，分式函数的分母不能为零，幂指数为零时，底数不为零等。

在有限个实数上定义的函数，其定义域就是这有限个实数的集合；有限个基本初算函数的四则运算⽽合成的新函数的定义域，是各个基本初算函数的定

义域的交集，并考虑新出现的分母不能为零。

例2、已知函数)(x f y =的定义域是[]4,0，求)3()1(2x x f x f y -++=的定义域。 分析：因)(x f 的定义域是[]4,0，所以要使)3()1(2x xf x f y -++=有意义，必

须有≤-≤≤+≤4304102x x x 解得 ≤≤-≥≤≤≤-413031x x x x 或或 即 01≤≤-x 或3=x 故定义域为[]{}30,1 -

说明：⼀般地，复合函数[])(x g f y =的定义域，应使“内层函数”)(x g 的值域

不超出“外层函数”)(t f y =的定义域。

例3、求21322+-=x x y 的值域 分析：由2

1322+-=x x y 得y x y 21)3(2+=- 这⾥3≠y ，否则07=，所以y y x -+=3212，因函数定义域为R ，有02≥x ，解0321≥-+y y 得值域为??-1,21 【例4】已知)51(62)(2≤≤-+-=x x x x f 求值域

分析：本例是⼆次函数在闭区间上的值域问题，通过作函数622+-=x x y 夹在1-=x 和5=x 的两条直线内的⼀段图象，容易知道当1=x 时，5min =y ，

当5=x 时21max =y ，故值域为[]21,5

说明：对闭区间上连续函数的值域问题，可由求函数的最值的办法求值域，尤

其应当熟练⼆次函数闭区间上的最值问题。

【例5】求函数322122+-+-=x x x x y 的值域 分析：将函数改写成0)13()21()12(2=++-+-y x y x y 视此等式为关于x 的⽅

程，从原函数定义域为R ，断定此⽅程应有实根，若012=-y ，则⽅程为0123=-⽭盾，所以2

1≠y ，且0)13)(12(4)12(2≥+---=?y y y 解得21103<≤y ，故值域是??

21,103。 说明：关于''2'2c

x b x a c bx ax y ++++=型函数的值域求法，可转化为视y 为参数的x ⽅程2)(x y m *0)()(=++y t x y n 有解（因函数定义域⾮空）讨论，值得强调的

有两点：⼀是应分0)(=y m 与0)(≠y m 两种情况，仅由0≥?确定值域的做

法，事实上是认定⽅程*为⼆次⽅程，这是对⽅程*讨论的⽚⾯认识，从这

个意义上讲通常此法称作“判别式法”有些不妥，不如称为“⽅程法”贴

切些，⼆是此法适⽤范围虽然很⼴，但注意定义域⼗分重要，此类函数若

限定在某区间上，或者是某⼏个区间上时，值域的确定便转化对⽅程*在区

间上有解的讨论——根的分布讨论（另⼀个重要话题），否则⼀味地运⽤“⽅

程法”会扩⼤函数本⾝的值域，请同学们试试例6便知。

【例6】求函数2341812322--+-=x x x x y 的值域 分析：改写成23418)4(322--+--=x x x x y 设24x x t -=则224t x x =-，=y 4)3(32318322+--=-+-t t t 由44)2(422≤+--=-x x x 知20≤≤t ，

⾄此转化为⼆次函数在闭区间上的值域问题，仿例5由最值法获解。

定义域值域练习 练习1．已知)(x f 的定义域为[-1，2]，则)12(-x f 的定义域是（ ）

A ．23,0

B ．[]3,3-

C ．[]3,0

D ．??

-23,1 2．已知)2(x f -的定义域是[-1，1]，则)12(-x f 的定义域是（ ）

A ．[]2,1

B ．[]2,1-

C ．[]3,1

D ．[]3,3-

练习：1.若函数g(x )=2

1log 2x 的值域是［-1，1］，则g -1(x )的值域是

2.若函数f (x )=x 2-2x 的值域为［-1，3］，定义域为［m ，3］，则m 的取值范

围是3.当x ≥4时，函数y =x +x

4的最⼩值为

4.在周长为m (m >0)的等腰三⾓形中，设其腰长为x ，底边为y ，则x ∈ ，

y ∈ .

能⼒检验：

已知函数f (x )=xa x x ++22,x ∈［1,+∞) (1)当a =2

1时，求函数f (x )的最⼩值 (2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成⽴，试求实数a 的取值范围

⾼⼀数学定义域、值域练习1．已知函数2

3x 2x x 1y 2---=的定义域为 （A ）]1,(-∞ （B ）]2,(-∞ （C ）]2,21()21,(-?--∞ （D ）]1,2

1()21,(-?--∞ 2. 函数]5,1[,142∈+-=x x x y 的值域是 （ ）

A 、 ]61

[， B 、 ]13[，- C 、]63[，- D 、),3[+∞-

3．使式⼦

x 的取值范围是 （ ）

A 、1[,1]2-

B 、1[1,]2-

C 、1(,1][,)2-∞-+∞D 、1(,][1,)2

-∞-+∞ 4．若集合21{|}M y y x ==

，{|P y y =，那么M P = （ ） A ．),0(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1(+∞ D ． ),1[+∞5．下⾯各组函数中为相同函数的是（ ） (A)1)(,)1()(2-=-=x x g x x f ( B)11)(,1)(2-+=-=x x x g x x f (C)22)1()(,)1()(-=-=x x g x x f(D)21)(,21)(22+-=+-=x x x g x x x f

6．Rt ABC 如图1所⽰,直⾓边3AB =，4AC =.D 点

是斜边BC 上的动点，DE AB ⊥交于点E ，DF AC ⊥交于点F .设x AE =，四

边形FDEA 的⾯积为y ，求y 关于x 的函数()f x = .

7.设函数()1f x x x =--，则12f f = ??? .

7. 函数22(0)()1(0)

x x f x x x -≤?=?+>?，则[(2)]f f -= ；若()10f x =，则x= 8．已知集合}023|{2=+-=x ax x A ⾄多有⼀个元素，则a 的取值范围是 ；

9.函数2()(2)2(2)4f x a x a x =-+--的定义域为R ，值域为(],0-∞，则满⾜条

件的实数a 组成的集合是 .10.求下列函数的定义域

C

图111. . 某车站有快慢两种车，始发站距终点站为7.2km ，慢车到终点需16min ，快车⽐慢车晚发车3min,且⾏驶10min 以后到达终点站，设慢车⾏驶时间为t ，快、慢车⾏驶的路程分别为(),().f t g t

（1）分别写出(),()f t g t 的函数关系式并写出定义域；在同⼀坐标系中作出(),()f t g t 的图象。

（2）两车中途何时相遇，此时距离始发站多远？ 0)1(4122++---=x x x x y 2

112---=

x x y