当前位置：文档之家 › 第2讲-分数的拆分问题

第2讲-分数的拆分问题

  • 格式：docx
  • 大小：237.28 KB
  • 文档页数：7

………………………………………………最新资料推荐………………………………………

1 / 7 第二讲分数的拆分问题

一．分数拆分的初步知识

我们已经学过分数的加法运算，反过来你能把一个分数拆成几个分数的和的形式吗？我们先看下面的例题。

1111131210152535253352

512356

如果把上题改为填空：1116( )( )，你会填吗？有了上面的结果，就可以填出1116(10)(15)。把一个分数拆成两个或两个以上的分数的和的形式，叫做分数的拆分。

怎样才能把一个分数拆成两个分数和的形式呢？我们仍然以1116( )( )为例，

因为115623235（扩分）

2323=235235235（拆开）

231130301510（约分）

所以1116(15)(10)。

通过以上可以看出，拆分主要有以下几个步骤：

（1）把16的分母写成质因数乘积的形式。即11623；

（2）把123的分子和分母同时乘以5，成为11523235的形式，这叫做扩分；

注意为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数2与3的和。

（3）把分子拆成分母的两个质因子的和，再拆成两个分数的和。即：

52323=235235235235；

（4）把拆开后的两个分数约分，化为最简分数。

例1．填空：11114( )( )，并写出过程。

解：1119291427279279279

1111==+79296318，

事实上，我们把分母分解质因数后，可以得到这个分母的不同的约数，只要把分子和分母都乘以这个分母的任意两个约数的和，就可以把一个分数拆成两个分数的和。

例2．填空：11118( )( )。

解：18分解质因数后有六个约数：1、2、3、6、9、18，取不同的两个约数的和，可以得到不同的结果。 ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

2 / 7 ①11(12)12111818(12)54545427；

②11(23)23111818(23)90904530；

③11(36)36111818(36)1621625427；

④11(69)69111818(69)2702704530；

⑤11(918)918111818(918)4864865427；

⑥11(29)29111818(29)1981989922；

……

可以看出，由于每次所选的两个约数不同，所得的解也就不相同。但是当选用的四个约数成比例时，它们的解就相同。如选1和2、3和6、9和18时，或选2和3、6和9时，解就相同。

二．把一个分数拆成几个分数的和

以上拆分的方法同样也适用于把一个分数拆成三个或三个以上分数的和。

例3．填空：111118( )( )( )。

解：18分解质因数后有六个约数：1、2、3、6、9、18，可以任意取不同的三个约数的和，得到不同的结果。

①11(12+3)123111++1818(12+3)1081081081085436；

②11(23+6)236111++1818(23+6)198198198996633；

③11(1+36)136111++1818(1+36)1801801801806030；

……

三．把一个分数拆成两个分数的差

能不能把一个分数拆成两个分数的差的形式呢？观察下面的分数运算，看看左右两边有什么关系。

11=122和111122；11=236和111236；11=3412和1113412；

由上面的例子可知：当一个分数为1(1)nn（n为自然数）时，可以拆分成111nn的形式。即111(1)1nnnn。（公式1）

例4．填空：①1116( )( )；②11112( )( )；③11156( )( )。

解：①1111=62323；

②1111=123434； ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

3 / 7 ③1111=567878；

观察下面几个分数的运算，左右两边有什么关系？

55=1116176和11161151116176176；

663==28168和118263=2816168；

22=7963和11972796363；

以上每个分数的分子都是分母中两个因数的差。当n、n+d都是自然数时，()dnnd可以转化为两个分数相减的形式。即：

11()dnndnnd（公式2）

当d=1时，公式（2）转化为公式（1）。利用公式（2），可以把一些分数拆成两个分数差的形式。

例5．把下列各数写出两个分数差的形式：

（1）524；（2）328；（3）263；（4）718。

解：（1）5511=243838；

（2）3311=284747；

（3）2211=637979；

（4）7711=182929；

由公式（2）11()dnndnnd可以导出1111()()nnddnnd（公式3）。

如1111()24538，1111()28347，1111()63279，1111()18729。

观察下面的等式，左右两边有什么关系？

111236与1111()212236，

1123424与1111()2233424，

1134560与1111()2344560，

通过上面的算式，可以得到这样的结论：

1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn（公式4）

如11111==()6123226；11111==()242342612；

11111==()6034521220。 ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

4 / 7 由此可知，一个分数可以根据需要拆成两个或若干个分数的和或两个分数的差的形式。

四．拆分方法在分数加减运算中的应用

例5．计算1111112612203042。

解：原式=111111122334455667

=11111111111(1)()()()()()22334455667

=16177。

例6．计算：11112013201420142015201520162016。

解：前三个分数相加可直接写成1120132016，所以

原式=11112013201620162013。

例7．计算：22221121414161618182020。

解：由公式（2）

原式=111111111()()()()121414161618182020

=112。

例8．计算：11111155991313171721。

解：由公式（3）

原式=11111111111111(1)()()()()4545949134131741721

=111205(1)42142121。

例9．计算：1111112123123412350。

解：由等差数列的求和公式(1)1232nnn得

12112()123(1)1nnnnn，

所以原式中每个分数可以拆分为1112()1223，1112()12334，1112()123445，……，1112()123505051，

因此

原式=1111111112()2()2()2()2334455051

=1124912()212515151。 ………………………………………………最新资料推荐………………………………………

5 / 7 例10．计算：11116246040。

解：6=1×2×3，24=2×3×4，60=3×4×5，根据公式（4），

1111()621223，1111()2422334，1111()6023445，

所以原式=1111111111()+()+()+21223223342344540

=11111()2220404。

例11．计算：11114565676789899100。

解：根据公式（4），

原式=111111111(+++)2455656676778989999100

=11111494247()245991004019800198009900。

例12．求121123211234321, , , , ,

,

, , , , , , , , 222333334444444的和。

解：先把同分母的分数相加。

12112122222，12321123213333323，

12343211234321444444444，

所以原式=2+3+4=9.

例13．计算112112201621122220162016201620162016。

解：利用例12的结论进行计算。

原式=1+2+3+……+2016=201620172=2033136。

练习题

1．在下列各式中填上适当的整数：

①11128( )( )；②11115( )( )；

答案：①11128(77)(44)；②11115(40)(24)

解：①111147112847471147117744；

②118351115353583584024。

2．在下列各式中填上适当的整数：

①111132( )( )( )；②1111+24( )( )( )；

答案：①111132(224)(112)(56)；②1111+24(144)(72)(48)；

解：①32的约数有1、2、4、8、16、32，

合集下载

分数的拆分问题【讲义]精选.

分数的拆分问题【讲义]精选.

1 / 10word. 分数的基本性质

例1、分数38 的分子加上9，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

分析： 38 =3+98+（ ） ，分子增加3倍，说明分子扩大了4倍，分母也要增加3倍或扩大4倍。

拓展：分数154的分子加上8，要使分数值不变，分母要扩大多少倍？

例2、分数47 的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是34 ，求分子和分母都加上的这个数是几？

分析：方法一 试一试：将34 的分子、分母同时扩大相同的倍数

34 =68= 912= 1216 =1520 用这些分数的分子、分母与47 的分子、分母相减，结果相同的就是。

方法二 先观察下面的几组等式：23 =46 35= 915 43= 1612

交叉相乘可以发现3×4=2×6 5×9=3×15 4×12=3×16，因此我们得出这样一个结论，当ab= dc 时，a×c=b×d。

解：设分子和分母都加上的这个数为x，根据题意可得：

4+x7+x= 34

(4+x)×4=(7+x)×3

16+4x=21+3x

X=21-16

X=5

方法三 ：【利用分母与分子差不变】

拓展：分数4111的分子和分母都加上一个数，得到的新分数化简以后是83，求分子和分母都加上的这个数是几？

原来相差30 加同样的数还是相差30 但新数相差为5， 必须5×6 =30

例3：一个分数，分子比分母大20，如果分子减去6，得到新分数约分后等于321，求原分数。

方法：【利用分母与分子差不变】

2 / 10word. 例4、一个分数，如果分子加上1，就变成34 ，如果分子减去1，就变成12 ，那么原来的分数是多少？

方法一、将分子，分母数字较大的采用“等值放大”

第七讲 分数的拆分

第七讲 分数的拆分

第七讲 分数的拆分

在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。

例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。问：最少要切几刀？

分析与解答：

方法一：

1．计算每人得到的根数：11÷12=11／12根；

2．考虑一般的情况：

由于每人都得到11／12根，所以每根可以分成12份，才能使每人都得到一份。把一根糖棒平均分成12份，需要切11刀，11根糖棒最多就要切11×11＝121刀。

怎样才能减少切的刀数呢？

3．考虑每根切的段数与12的关系。

每人得的块数要尽量少，才能使切的刀数少。由于每人都得到11/12根，所以也可以说若干个分数的和一定是11/12。这几个分数在相加时，通分后分母是12，通分前分母必是12的约数，即每根糖棒在平均分时，切出的段数一定是12的约数。

若每根平均分成2段，需要1刀，每段长1/2，即6/12；

若每根平均分成3段，需切2刀，每段长1/3，即4/12；

若每根平均分成4段，需切3刀，每段长1/4，即3/12；

若每根平均分成6段，需切5刀，每段长1/6，即2/12；

若每根平均分成12段，需切11刀，每段长1/12。

4．把1/12、2/12、3/12、4/12、6/12通过枚举的方法组成11/12。

（1）11/12=6/12＋4/12＋1/12=1/2＋1/3＋1/12；

（2）11/12=6/12＋3/12＋2/12=1/2＋1/4＋1/6； （3）11/12=4/12＋4/12＋3/12=1/3＋1/3＋1/4。

分数拆项与裂项

分数拆项与裂项

分数的速算与巧算

1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力

2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。

3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．

4、通项归纳法

通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．

知识点拨

一、裂项综合

（一）、“裂差”型运算

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那么有1111()abbaab

(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)nnn，1(1)(2)(3)nnnn形式的，我们有：

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

（二）、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11abababababba （2）2222ababababababba

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

三、整数裂项

(1) 122334...(1)nn1(1)(1)3nnn

六年级数学-分数的拆分

六年级数学-分数的拆分

学习必备 欢迎下载

什么叫分数的拆分？

把一个分数拆成两个或两个以上分数的和或差的形式，叫做分数的拆分。

例如：

271541181；

301451181；

221991181；

312161；

4131121；等等。

下面具体讲一下怎样把一个分数拆成两个分数的差。

当一个分数为)1(1n＋n的形式时，可以拆分为111n＋－n的形式（n为自然数，且n不为0）

即：111)1(1n＋－n＝n＋n

例如：5141541201；7161761421

分数拆分的具体应用

例·计算：4213012011216121

7671171616151514141313121214213012011216121

当分数的分子正好等于分母中两个因数的差时，这个分数也可以拆成两个分数之差。

例如：

9171972632；

8131835245；

7141743283

用公式表示就是：当n、n+d （n不为0）都是自然数时，dnndnnd11)( 学习必备 欢迎下载

具体应用：

计算：20182181621614214122

12120120118118116116114114112120182181621614214122

dnndnnd11)(

这个公式同学们已经熟悉了。对这个公式可以进行变形：

例如：

)8131(5124551241

因为8-3=5 所以提取一个51，当然，24也可以看成4×6，而6-4=2，所以也可以提取一个21，)6141(2124221241，这得看计算时的需要了。

练习：计算21171171311391951511

215212041)2111(41)211171171131131919151511(41)21174171341394954514(4121171171311391951511 学习必备 欢迎下载