最大公约数和最小公倍数应用题

最大公约数和最小公倍数

知识对对碰

1. 基本知识

(1)约数与最大公约数

几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数，所有的公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

自然数a，b的最大公约数记作(a，b)，例如(12，8)=4，(4，6，10) =2。

如果(a，b)=l，则a与b互质。如果a是b的倍数，则（a，b）=b。

自然数a能被自然数b整除，则称a是b的倍数，b是a的约数。

(2)倍数与最小公倍数

几个自然数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。一般用符号[a，b]表示a，b的最小公倍数，例如：[4，10] =20。

(3)求解方法

①求最大公约数常用的方法：短除法，列举法，分解质因数法，辗转相除法。

②求最小公倍数常用的方法：短除法，分解质因数法，列举法，最大公约数法。

2.性质

(1)两个数的最大公约数的约数，都是这两个数的公约数。

如果（a，b）=d，c|d，那么c|a，c|b。

(2)两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商一定是互质的。

如果(a，b)=d，那么（a÷d，b÷d）=1。

(3)若一个数c能同时被两个自然数a，b整除，那么c一定能被这两个数的最小公倍数整除。或者说，一些数的公倍数一定是这些数的最小公倍数的倍数。

(4)两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。

例1(★)已知两个数分别是4和B，已知4 =2×2×3×5．B=2×3×3×5，求A，B的最大公约数。

例2(★)一箱图书可以平均分给2，3，4，5，6名小朋友，这箱图书最少有多少本？ 例3(★)三个人绕环行跑道练习骑自行车，他们骑一圈的时间分别是半分钟，45秒钟和1分15秒钟，三人同时从起点出发，最少需要多长时间才能再次同时在起点相会？

1 最大公约数和最小公倍数的比较和应用

最大公约数与最小公倍数的应用比较

在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）

1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？

分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）

或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）

2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？

分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长

（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形

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分数问题—专题03《分数的最大公约数和最小公倍数》

一．选择题

1．（2018•长沙）一个班不足50人，现大扫除，其中12扫地，14摆桌椅，15擦玻璃，这个班没有参加大扫除的人数有( )人．

A．1 B．2 C．3 D．1或2

【分析】12、14、15都是最简形式，所以这个班的人数是2、4和5的最小公倍数的倍数，2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1111245，再根据分数乘法的意义即可解答．

【解答】解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，

总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1111124520，

当总人数是20时：没参加大扫除的有：120120（人），

当总人数是40时：没参加大扫除的有：140220（人），

答：没参加大扫除的有1或2人．

故选：D．

2．（2013•黔西县）六（1）班的学生数在30~60人之间，其中的23喜爱跳绳，58的同学喜爱跳皮筋，六（1）班有( )人．

A．35 B．42 C．60 D．48

【分析】因为六（1）班的学生数在30~60人之间，且其中的23喜爱跳绳，58的同学喜爱跳皮筋，说明这个班的人数必须是3和8的公倍数，3和8是互质数，最小公倍数是3824，24的倍数也是3和8的公倍数，24248，24372就不符合要求了．

【解答】解：3和8的最小公倍数是：

3824，

在30~60人之间且是3和8的倍数的只能是24248，

所以这个班的人数是48人． 故选：D．

3．如果六（2）班有19的人参加书法兴趣小组，16的人参加武术兴趣小组（每人只参加一个小组），那么下列说法中不正确的是( )

A．参加书法组的不可能是5人

（完整版）最大公因数与最小公倍数应用题练习

1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？

解：【8，10】=40

2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？

解：【8，10】=40（人）

3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？

解：【2，3，4，6】=12 12-1=11

4、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动

的学生有多少人？

解：【3，4，6，8】=24（人） 24×2=48（人）

5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成

正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？解：【6，4】=12（公分） 12×12=144（CM2)

6、有一堆苹果，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？

解：【8，9，10】=360 360+3=363kg

7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？

解：【7，8】=56（人） 56-2=54（人）

8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？解：37-1=36（本） 38+2=40（本）（36，40）=4（人）

9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数

相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？解：（24，32）=8（盘） 24÷8=3（个） 32÷8=4（个）

10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？

解：【3，5】=15（分钟）

11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？