最大公约数与最小公倍数
基本概念：
1、公约数和最大公约数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：12的约数有1，2，3，4，6，12；30的约数有1，2，3，5，6，10，15，30。12和30的公约数有1，2，3，6，其中6是12和30的最大公约数。
一般地我们用（a,b）表示a,b这两个自然数的最大公约数，如（12，30）=6。如果（a,b）=1,则a,b两个数是互质数。
2、公倍数和最小公倍数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
例如：12的倍数有12，24，36，48，60，72，…
18的倍数有18，36，72，90，…
12和18的公倍数有：36，72…其中36是12和
18的最小公倍数。
一般地，我们用[a,b]表示自然数，a,b的最小公倍数，如[12，18]=36。
3、最大公约数与最小公倍数的求法
A．最大公约数
求两个数的最大公约数一般有以下几种方法
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）辗转相除法
（4）小数缩倍法
（5）公式法
前两种方法在数学课本中已经学过，在这里我们主要介绍辗转相除法。
当两个整数不容易看出公约数时（一般是数字比较大），我们可以合用辗转相除法。
B．最小公倍数
求几个数的最小公倍数的方法也有以下几种方法：
（1）分解质因数法
（2）短除法
（3）大数翻倍法
（4）a×b=（a,b）×[a,b]
上面的公式表示：两个数的乘积等于这两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积。
例1、437与323的最大公约数是多少？
LX1、24871和3468的最小公倍数是多少？
例2、把一块长90厘米，宽42厘米的长方形铁板剪成边长都是整厘米，面积都相等的小正方形铁板，恰无剩余。至少能剪 块。
【分析】根据题意，剪得的小正形的边长必须是90和42的最大公约6。所以原长方形的长要分90÷6＝15段，宽要分42÷6＝７段，至少能剪17×７＝105（块）
最大公约数与最小公倍数
一， 最大公约数
如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
如果数a能被数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做作a的约数．约数和倍数都表示一个数与另一个数的关系，不能单独存在．如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数．
“
几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数．例如12，16的公约数有1，2，4，其中最大的一个是4，4是12与16的最大公约数，一般记为（12，16）=4．12，15，18的最大公约数是3，记为（12，15，18）=3．
常用的求最大公约数的方法是分解质因数法和短除法．
分解质因数法，把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数．例如，求24和60的最大公约数．24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2，2和3，它们的积是2×2×3=12，所以（24，60）=12．
短除法，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几数的最大公约数．例如，求24，48，60的最大的公约数．
（24，48，60）=2×3×2=12
二，最小公倍数
最小公倍数（Least Common Multiple，缩写L.C.M.），如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数，对于两个整数来说，指该两数共有倍数中最小的一个。计算最小公倍数时，通常会借助最大公约数来辅助计算。其中，4是最小的公倍数，叫做他们的最小公倍数。
例如，十天干和十二地支混合称呼一阴历年，干支循环回归同一名称的所需时间，就是 12 和 10 的最小公倍数，即是
六年级数学《分数的最大公约数和最小公倍数》一课一练（人教版）
一、填空题
1.有些分数分别除以5
28、15
56、11
20所得的三个商都是整数，那么所有这样的分数中最小的一个是．
2.青蛙与小兔进行跳跃比赛，每秒都跳一次，青蛙每次跳22
9分米，小兔每次跳32
11分米．从起点开始，每隔12
7分米在地面上画一个白色标记，哪只动物先踩上白色标记就赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了分米．
3.小明的书架上放着一些书，书的本数在100到150本之间，其中4
9是故事书，1
4是科技书，书架上放着本书．
4.小兰的全家都很支持她收集各国的纪念币，目前她收集的纪念币1
19是英国发行的，1
8是美国发行的，3
4是中国发行的，此外还有多于20枚且少于25枚是其他国家发行的．那么小兰现在共有枚纪念币．
5.一个分数的分子比分母小16，约分后是5
9，原分数是．
6.有甲、乙两个小组去青年林参加义务植树活动，甲组植树棵数的7
8恰好是乙组植树棵数的1
6，那么，甲、乙两组至少共植树棵．
7.甲乙两数是非零的自然数，如果甲数的5
12恰好是乙数的1
6，那么甲乙两数之积的最小值是．
8.在甲、乙、丙三种溶液，分别为33
4千克，21
3千克，31
7千克，现在将它们分别放入小瓶中，使得每个小瓶的溶液重量相等，至少可以装瓶．
9.用5
14、7
8和11
20分别去除某分数，所得的商是整数，这个分数最小是．
二、选择题
1．一个班不足50人，现大扫除，其中1
2扫地，1
4摆桌椅，1
5擦玻璃，这个班没有参加大扫除
的人数有()人．
A．1B．2C．3D．1或2
2．六（1）班的学生数在30~60人之间，其中的2
3喜爱跳绳，5
8的同学喜爱跳皮筋，六（1）
班有()人．
A.35B.42C.60D.48
3．如果六（2）班有1
9的人参加书法兴趣小组，有1
6的人参加武术兴趣小组（每人只参加一个
小组），那么下列说法中不正确的是()
A．参加书法组的不可能是5人
B．六（2）班的总人数可能是45人
最大公因数与最小公倍数综合应用练习及答案（四）
1、有一些糖果，分给8个人或分给10个人，正好分完，这些糖果最少有多少粒？
2、有一包糖，不论分给8个人，还是分给10个人，都能正好分完。这包糖至少有多少块？
3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余4，被6除余5，此数最小是几？
4、五年级学生参加植树活动，人数在30~50之间。如果分成3人一组，4人一组，6人一组或者8人一组，都恰好分完。五年级参加植树活动的学生有多少人？
5、利用每一小块长6公分，宽4公分的长方形彩色瓷砖在墙壁上贴成正方形的图案。问：拼成的正方形的面积最小是多少？
6、有一堆苹果 ，每8千克一份，9千克一份，或10千克一份，都会多出3千克，这堆苹果至少有多少千克？
7、学校合唱队排练时，如果7人一排就差2人，8人一排也差2人，合唱队至少有多少人？
8、把37支钢笔和38本书，平均奖给几个学习成绩优秀的学生，结果钢笔多出一支，书还缺2本，最多有几个学习成绩优秀的同学？
9、有24个苹果，32个梨，要分装在盘子里，每盘的苹果和梨的个数相同，最多可以装多少盘？每个盘子里苹果和梨各多少？
10、阜沙市场是20路和21路汽车的起点站。20路汽车每3分钟发车一次，21路汽车每5分钟发车一次。这两路汽车同时发车以后，至少再过多少分钟又同时发车？
11、中心小学五年级学生，分为6人一组，8人一组或9人一组排队做早操，都刚好分完。这个年级至少有学生多少人？
12、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问个盘子里最少有多少个水果？
13、有一个电子表，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又亮灯，请问下一次既响铃又亮灯的是几点钟？
14、数学兴趣小组有24个男同学，20个女同学，现要分成小组，每个小组男、女同学人数分别相同，最多可以分成多少个小组？每组至少有多少个男同学？多少个女同学？
