2023年九年级数学中考专题培优训练实际问题与二次函数 应用题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数与动态几何一、单选题y=−x2+2x+31．如图，直线l为抛物线的对称轴，点P为抛物线上一动点（在顶点或顶点的右PA⊥x PA=ℎPB=m侧），过点P作轴于点A，作PB∥x轴交抛物线于点B，设，，则h与m 的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q 同时从点A 出发，在正方形的边上，分别按A→D→C A→B→C，的方向，都以1cm/s 的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ ，设运动时间为x（s），△APQ的面积为y（cm²），则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 作垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC ＝2，BD ＝1，AP ＝x ，则△AMN 的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )A ．B ．C ．D ．4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x 2＋2x 的顶点为A 点，且与x 轴的正半轴交于3点B ，P 点为该抛物线对称轴上一点，则OP ＋AP 的最小值为（ ）.12A ．3B ．C ．D ．233+22143+2325．如图，在矩形ABCD 中，AB=2a ，AD=a ，矩形边上一动点P 沿A→B→C→D 的路径移动．设点P 经过的路径长为x ，PD 2=y ，则下列能大致反映y 与x 的函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．7．如下图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线l：x=t（0≤t≤2）截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x 轴交于A 、C 两点，与y 轴交于y =x 2+3x−4点B ，若P 是x 轴上一动点，点Q （0，2）在y 轴上，连接PQ ，则的最小值是（ ）PQ +22PCA ．6B ．C ．D ．2+3222+3232二、填空题9．已知：如图，直线y ＝kx +b （k ，b 为常数）分别与x 轴、y 轴交于点A （﹣4，0），B （0，3），抛物线y ＝﹣x 2+4x +1与y 轴交于点E 在抛物线y ＝﹣x 2+4x +1的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是　　．10．如图，已知 ， 为线段 上的一个动点，分别以 、 为边在 的同侧作AB =6P AB AP PB AB 菱形 和菱形 ．点 、 、 在一条直线上， ， ， 别是对角APCD PBFE P C E ∠DAP =60°M N 线 、 的中点，当点 在线段 上移动时，点 、 之间的距离最短为　　．AC BE P AB M N11．已知抛物线 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点y =x 2−2x−3 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点．当 的值最小时， 的面积为 D(4，y)BE +DE △ACE ．12．一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，AD BC ，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾AB CD AB =4cm CD =8cm 12cm C 斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，如图2所示，此时液面宽度 ∠ABE =45°BE =，液面到点所在水平地面的距离是　　．cm BE C cm13．如图，抛物线y=x 2+x+3与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴交于点C ，点F 为抛物线的顶点，在−14抛物线的对称轴上存点G ，当点G 的坐标为 时△AFG 为等腰三角形．14．如图，已知抛物线 与直线y=2x+3交于点M （0，3）， A （a ，15）．点B 是抛y =12x 2+bx +c物线上M ，A 之间的一个动点，过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线MA 交于点C ，E ．以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），请写出m，n之间的关系式 ．三、综合题15．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，1）、B（4，3）两点，顶点为点P，连接PA，PB．（1）求抛物线及直线AB的解析式；（2）请你直接写出△PAB的面积；（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，平行于y轴的直线交直线AB于点N，交抛物线于点M，否存在点M，使以点B、点C、点M、点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．xoy y=a(x−ℎ)2+k y=a(x−ℎ)+k16．在平面直角坐标系中，规定：抛物线的伴随直线为.例如：抛y=2(x+1)2−3y=2(x+1)−3y=2x−1物线的伴随直线为，即．（1）在上面规定下，抛物线的顶点为 ．伴随直线为　　；y =(x +1)2−4抛物线与其伴随直线的交点坐标为　　和　　；y =(x +1)2−4（2）如图，顶点在第一象限的抛物线与其伴随直线相交于点(点A 在点By =m(x−1)2−4m A ，B 的右侧)与x 轴交于点C ，D .①若求m 的值；∠CAB =90°，②如果点是直线上方抛物线的一个动点，的面积记为S ，当S 取得最大值时，P(x ，y)BC ΔPBC 274求m 的值．17．已知，抛物线y=ax 2+ax+b （a≠0）与直线y=2x+m 有一个公共点M （1，0），且a ＜b ．（1）求b 与a 的关系式和抛物线的顶点D 坐标（用a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N ，求△DMN 的面积与a 的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x 与抛物线在第二象限交于点G ，点G 、H 关于原点对称，现将线段GH 沿y 轴向上平移t 个单位（t ＞0），若线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求t 的取值范围．18．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， ，与 轴交于y =43x 2+bx +cx A(3，0)B(−1，0)y 点C.若点P ，Q 同时从 点出发，都以每秒 个单位长度的速度分别沿 ， 边运动，其中A 1AB AC 一点到达端点时，另一点也随之停止运动.（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当P ，Q 运动到t 秒时，将△APQ 沿 翻折，若点 恰好落在抛物线上D 点处，求出D PQ A 点坐标；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 停止运动，这时，在 轴上是否存在点E ，使得以A ，E ，Q x 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由.E 19．如图，抛物线y ＝ax 2+（4a ﹣1）x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ，点D为线段OB 上一动点（不与点B 重合），过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．20．综合与探究：在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与 轴交于xOy y =−36x 2+233x +23x A ， 两点(点 在点 的右侧)，与 轴交于点 ，它的对称轴与 轴交于点 ，直线 经B B A y C x D l 过 ， 两点，连接 ．C D ACA B l（1）求，两点的坐标及直线的函数表达式；l E△ACE E （2）探索直线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；P l Q（3）若点是直线上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点：A C P Q Q①使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；A C P Q Q②使以点，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】410．【答案】33211．【答案】412．【答案】；527213．【答案】（2，0）或（2，-4）或（2，4+ ）或（2，4-）.424214．【答案】m =116n 2−58n +211615．【答案】（1）解：∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过A （0，1）、B （4，3）两点，∴，{−16+4b +c =3c =1解得 ，{b =92c =1∴抛物线解析式为 ；y =−x 2+92x +1设直线AB 的解析式 ，y =kx +b 1则，{b 1=14k +b 1=3解得，{k =12b 1=1∴直线AB 的解析式为 ；y =12x +1（2）过点P 作 轴交AB 于D ，PD ∥y ∵P 是抛物线的顶点，y =−x 2+92x +1=−(x 2−92x +8116)+9716=−(x−94)2+9716∴ ，P(94，9716)∴D 点的横坐标为 ，94∴D 点的纵坐标 ，y D =12×94+1=178∴D(94，178)∴，PD =9716−178=6316∴；S △PAB =S △PAD +S △PBD =12PD ⋅(x D −x A )+12PD ⋅(x B −x D )=638（3）∵直线MN 与y 轴平行，BC ⊥x 轴， ∴ ，MN ∥BC ∵以点B 、点C 、点M 、点N 为顶点的四边形为平行四边形，∴MN 和BC 是这个平行四边形的一组对边，∴MN=BC ，∵B （4，3），∴MN=BC=3，设 ，则 ，N(n ，12n +1)M(n ，−n 2+92n +1)∴ ，MN =|−n 2+92n +1−12n−1|=|n 2−4n|=3∴ ，n 2−4n =±3当 时，即 n 2−4n =−3n 2−4n +3=0解得 或 ，n =1n =3∴此时M 的坐标为或 ；(1，92)(3，112)当 时，即 ，n 2−4n =3n 2−4n +4=7∴(n−2)2=7解得 或 ，n =2+7n =2−7∴此时M 的坐标为 或 ，(2+7，7−22)(2−7，−10−72)综上所述，存在M 的坐标为 或 或 或 ，使得(1，92)(3，112)(2+7，7−2)(2−7，−10−7)以点B 、点C 、点M 、点N 为顶点的四边形为平行四边形．16．【答案】（1）(﹣1，﹣4)；y=x﹣3；(0，﹣3)；(﹣1，﹣4)（2）解：①∵抛物线解析式为y=m(x －1)2－4m ，∴其伴随直线为y=m(x －1)－4m ，即y=mx －5m ．联立抛物线与伴随直线的解析式可得解得或，∴A(1，－4m)，{y =m(x−1)2−4m y =mx−5m {x =1y =−4m {x =2y =−3m B(2，－3m)．在y=m(x －1)2－4m 中，令y=0可得x=－1或x=3，∴C(－1，0)，D(3，0)，∴AC 2=4＋16m 2，AB 2=1＋m 2，BC 2=9＋9m 2．∵∠CAB=90°，∴AC 2＋AB 2=BC 2，即4＋16m 2＋1＋m 2=9＋9m 2，解得：m= (抛物线开口向下，舍22去)或m=－，∴当∠CAB=90°时，m 的值为－．2222②设直线BC 的解析式为y=kx ＋b ．∵B(2，－3m)，C(－1，0)，∴，解得，∴直线BC 的解析式为{2k +b =−3m −k +b =0{k =−m b =−m y=－mx －m ．过P 作x 轴的垂线交BC 于点Q ．∵点P 的横坐标为x ，∴P(x ，m(x －1)2－4m)，Q(x ，－mx －m)．∵P 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，∴PQ=m(x －1)2－4m ＋mx ＋m=m(x 2－x －2)=m[(x －)2－]，1294∴S △PBC=×[2－(－1)]PQ=m(x －)2－m ，∴当x=时，△PBC 的面积有最大值－m ，∴S 取最12321227812278大时，即－m=，解得：m=－2．27427827417．【答案】（1）解：∵抛物线 有一个公共点M(1，0)，y =ax 2+ax +b ∴a+a+b=0，即b=−2a ，∴y =ax 2+ax +b =ax 2+ax−2a =a(x +12)2−9a 4，∴抛物线顶点D 的坐标为 (−12，−9a4)；（2）解：∵直线y=2x+m 经过点M(1，0)，∴0=2×1+m ，解得m=−2，∴y=2x−2，则 {y =2x−2y =ax 2+ax−2a 得 ax 2+(a−2)x−2a +2=0，∴(x−1)(ax+2a−2)=0，解得x=1或x =2a −2，∴N 点坐标为 (2a−2，4a −6)，∵a<b ，即a<−2a ，∴a<0，如图1，设抛物线对称轴交直线于点E ，∵抛物线对称轴为x =−a 2a =−12，∴E(−12，−3)，∵M(1，0)，N(2a −2，4a−6)，设△DMN 的面积为S ，∴S =S △DEN +S △DEM =12|(2a −2)−1|⋅|−9a 4−(−3)|=274−3a −278a ，（3）解：当a=−1时，抛物线的解析式为：有 y =−x 2−x +2=−(x−12)2+94，{y =−x 2−x +2y =−2x ， 解得： ∴G(−1，2)，∵点G 、H 关于原点对称，∴H(1，−2)，−x 2−x +2=−2x ，x 1=2，x 2=−1，如图，设直线GH 平移后的解析式为：y=−2x+t ，−x2−x+2=−2x+t ，x2−x−2+t=0，△=1−4(t−2)=0，当点H 平移后落在抛物线上时，t =94，坐标为(1，0)，把(1，0)代入y=−2x+t ，t=2，∴当线段GH 与抛物线有两个不同的公共点，t 的取值范围是2≤t <94.18．【答案】（1）解：将 ， 代入 ，求得， A(3，0)B(−1，0)y =43x 2+bx +c b =−83c =−4∴ ；y =43x 2−83x−4（2）解：如图，D 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作 于 FQ ⊥AP F ∵ ， ， AP =AQ =t AP =DP AQ =DQ ∴AP =AQ =QD =DP ∴四边形 为菱形AQDP ∵FQ//OC∴AF AO =FQ OC =AQ AC ∴AF 3=FQ 4=t 5∴， AF =35t FQ =45t∴Q(3−35t ，−45t)∵DQ =AP =t∴D(3−35t−t ，−45t)∵D 在二次函数 上y =43x 2−83x−4∴−45t =43(3−85t)2−83(3−85t)−4∴，或 （舍去）t =14564t =0∴；D(−58，−2916)（3）解：存在满足条件的点E ，点E 的坐标为 或 或 或 (−13，0)(−95，0)(−1，0)(7，0)如上图，过点Q 作 于D ，此时 QD ⊥OA QD//OC ∵ ， ， ， A(3，0)B(−1，0)C(0，−4)O(0，0)∴ ， ， AB =4OA =3OC =4∴ ， AC =32+42=5AQ =4∵QD//OC∴QD OC =AD AO =AQAC ∴QD 4=AD 3=45∴， ；QD =165AD =125①如下图，作AQ 的垂直平分线，交AQ 于E此时 ，即 为等腰三角形AE =EQ ΔAEQ 设 ，则 ，AE =x EQ =x DE =AD−AE =125−x ∴在 中， ，解得RtΔEDQ (125−x)2+(165)2=x 2x =103∴OA−AE =3−103=−13∴ ；E(−13，0)②如下图，以Q 为圆心，AQ 长半径画圆，交x 轴于E此时 QE =QA =4∵ED =AD =125∴AE =245∴OA−AE =3−245=−95∴ ；E(−95，0)③当 时AE =AQ =41）当E 在A 点左边时∵OA−AE =3−4=−1∴E(−1，0)2）当E 在A 点右边时∵OA +AE =3+4=7∴ ；E(7，0)综上所述，存在满足条件的点E ，点E 的坐标为 或 或 或 .(−13，0)(−95，0)(−1，0)(7，0)19．【答案】（1）解：在抛物线y ＝ax 2+（4a﹣1）x﹣4中，当x ＝0时，y ＝﹣4，∴C （0，﹣4），∴OC ＝4，∵OC ＝2OB ，∴OB ＝2，∴B （2，0），将B （2，0）代入y ＝ax 2+（4a﹣1）x﹣4，得，a ＝ ，12∴抛物线的解析式为y ＝ x 2+x﹣4；12（2）解：设点D 坐标为（x ，0），∵四边形DEFH 为矩形，∴H （x ， x 2+x﹣4），12∵y ＝ x 2+x﹣4＝ （x+1）2﹣ ，∴抛物线对称轴为x ＝﹣1，121292∴点H 到对称轴的距离为x+1，由对称性可知DE ＝FH ＝2x+2，∴矩形DEFH 的周长C ＝2（2x+2）+2（﹣ x 2﹣x+4）＝﹣x 2+2x+12＝﹣（x﹣1）2+13，12∴当x ＝1时，矩形DEFH 周长取最大值13，∴此时H （1，﹣ ），∴HF ＝2x+2＝4，DH ＝ ，5252∴S 矩形DEFH ＝HF•DH ＝4× ＝1052（3）解：如图，连接BH ，EH ，DF ，设EH 与DF 交于点G ，过点G 作BH 的平行线，交ED 于M ，交HF 于点N ，则直线MN 将矩形DEFH 的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x ＝﹣1，H （1，﹣ ）， 52∴G （﹣1，﹣ ），54设直线BH 的解析式为y ＝kx+b ，将点B （2，0），H （1，﹣ ）代入，52 得，，解得， ， {2k +b =0k +b =−52{k =52b =−5∴直线BH 的解析式为y ＝ x﹣5，52∴可设直线MN 的解析式为y ＝ x+n ，52将点（﹣1，﹣ ）代入，得n ＝ ，∴直线MN 的解析式为y ＝ x+ ，54545254当y ＝0时，x ＝﹣ ，12∴M （﹣ ，0），12∵B （2，0）， ∴将抛物线沿着x 轴向左平移 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，52连接M 、N ，则MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，∴m 的值为 ．5220．【答案】（1）解：当 时， y =0−36x 2+233x +23=0解得 ， x 1=−2x 2=6∵y =−36x 2+233x +23=−36(x−2)2+833∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 A (−2,0)B (6,0)∴抛物线的对称轴为直线 x =2∴点 的坐标为 D (2,0)当 时， x =0y =23∴点 的坐标为 C (0,23)设直线 的表达式为 ，则 l y =kx +b {b =232k +b =0解得 {k =−3b =23∴直线 的表达式为 ．l y =−3x +23（2）解：结论：直线 上存在点 ，使 为直角三角形． l E △ACE 证明：∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 A (−2,0)D (2,0)∴AD =4又∵点 的坐标为 ， C (0,23)CO ⊥AD∴AC =CD =22+(23)2=4∴AC =CD =AD ∴ 为等边三角形△ACE ∴∠ADC =∠CAD =60°分两种情况：①当 时，∠AE 1C =90°∵AC =AD∴CE 1=E 1D =12CD =2作 轴于点 ，如图：E 1M ⊥x M∵在 中， Rt △DE 1M ∠E 1DM =60°∴ ，DM =1E 1M =E 1D ⋅sin 60°=2×32=3∴点 的坐标为 ．E 1(1,3)②作 轴于点 ，如图：E 2N ⊥x N当 时∠CAE 2=90°∵∠ADC =∠CAD =60°∴ ， ∠DAE 2=30°∠ADE 2=120°∴∠DE 2A =∠DAE 2=30°∴DE 2=AD =4在 中， Rt △DE 2N ∠E 2DN =∠E 1DM =60°∴ ，DN =2E 2N =DE 2⋅sin 60°=4×32=23∵ON =OD +DN =4∴点 的坐标为 E 2(4,−23)l E△ACE E(1,3)∴综上所述：直线上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或(4，−23)Q A, C, P,Q Q（3）①抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为(4,23)Q A, C, P,Q Q ；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为(6,0)。

2023年九年级中考数学专题复习：实际问题与二次函数应用题1．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月降价()0x x >元，销售这批T 恤能获利w 元. (1)填表：(2)求w 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利多少元？2．如图，用一段长为36m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长28m ．设AB 长为m x ，矩形的面积为2m y ．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)当AB 长为多少米时，所围成的花圃面积最大？最大值是多少？ (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为多少米？3．某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y与x的函数关系式；(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？(3)某农户今年共采摘蜜柚4800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．4．某商店试销一种新型节能灯，每盏节能灯进价为18元，试销过程中发现，每周销量y（盏）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数2100y x=-+．（利润=售价-进价）(1)写出每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间函数解析式；(2)当销售单价定为多少元时，这种节能灯每周能够获得最大利润？最大利润是多少元？(3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于30元．若商店想要这种节能灯每周获得不低于350元的利润，则销售单价应在哪个范围内？5．某商店销售A，B两种类型的篮球，具体信息如下表：(注：厂家要求该商店每季度B类篮球的销量是A类篮球销量的2倍)根据以上信息解答下列问题：(1)用含x的代数式表示y；(2)今年第三季度该商店销售A，B两种类型篮球的利润恰好相同(利润不为0)，试求x 的值；(3)求该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润．6．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每月可卖出500件．市场调查反映：如果调整价格，售价每涨价1元，月销售量就减少10件，但每件售价不能高于75元．设每件商品的售价上涨x元（x为整数），月销售利润为y元．(1)根据题意填表：(2)求y与x之间的函数关系式和x的取值范围；(3)当售价定为多少时，商场每月销售这种商品所获得的利润y（元）最大，最大利润是多少？7．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．(1)直接写出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？(3)在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该园林专业户至少应投资种植花卉 万元．（直接写出结果）8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A ，B ，C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC ，BC ．动点P 从A 点出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从B 点出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．(1)b = ，c = ；(2)在P ，Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？ (3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点，当点P 运动1秒时，若要使得线段MA MP +的值最小，则试求出点M 的坐标．9．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．实验中学数学兴趣小组统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为()351225，，其中035x ≤≤．校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测48人．(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？(3)检测体温到第2分钟时，为减少排队等候时间，学校在校门口临时增设一个人工体温检测点．已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．10．某商场将每件进价为80元的某商品按每件100元出售，每天可售出100件．后来经过市场调查发现：这种商品单价每降低1元，其销售量就增加10件．若该商品降价销售，设每件商品降价x 元，商场每天获利y 元． (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)①若商场经营该商品每天要获利2160元，则每件商品应降价多少元？ ①每件商品降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)商场为避免恶意竞争，规定降价范围为16x ≤≤（元），请直接写出销售该商品每天的销售利润y （元）的取值范围．11．古镇景区研发了一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元．试销售期间发现，每天的销售数量m （件）与销售单价x （元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：(1)求m 与x 的函数关系式；(2)若每天销售所得利润记为y 元，请求出y 与x 的函数关系式；(3)若要保证利润不低于1200元，销售单价至少定为多少元?12．网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于32元/kg．设公司销售板栗的日获利为w（元），(1)直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为________；（不用写自变量的取值范围）(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？(3)当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于42000元？13．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价．经市场调查，每月的销售量y(个)与每个篮球的售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：(1)求y与x之间的函数关系式；(不需求自变量x的取值范围)(2)该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？(3)物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w(元)，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？14．农户销售某农产品，经市场调查发现：若售价为6元/千克，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．现设售价为x 元/千克（6x 且为正整数）．(1)若某日销售量为24千克，求该日产品的单价；(2)若政府将销售价格定为不超过18元/千克．设每日销售额为w 元，求w 关于x 的函数表达式，并求w 的最大值和最小值；(3)市政府每日给农户补贴a 元后（a 为正整数），发现最大日收入（日收入=销售额+政府补贴）还是不超过450元，并且只有5种不同的单价使日收入不少于440元，请直接写出所有符合题意的a 的值．15．某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠已有的墙（墙长大于48m ），中间用一道墙隔开，正面开两个门，如图所示，已知每个门的宽度为1.5m ，计划中的建筑材料总长45m ，设两间饲养室的宽度为m x ，总占地面积为2m y ．(1)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围． (2)求饲养室的宽度为多少m 时，饲养室最大面积多少2m ？(3)若要使两间饲养室合计占地总而积不低于2189m ，求饲养室的宽度m x 的范围．16．某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为60元/件时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售价格上涨x 元/件（x 为偶数），每天的销售量为y 件． (1)当销售价格上涨10元时，每天对应的销售量为______件． (2)请写出y 与x 的函数关系式．(3)设每天的销售利润为w 元，为了让利于顾客，则每件商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少?17．九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A 处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为185米，水平距离为4米．(1)试求实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式；(2)设实心球落地点为C ，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩；(3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度y （米）与水平距离x （米）之间的函数表达式．（实心球运行到最高点时，水平距离范围()9m m 5m 2x ≤≤）18．11月1日，区里进行了一次全民核酸检测．某小区上午9点开始检测，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，居民陆续到采集点排队，10点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表．小明把数据在平面直角坐标系里，描成点连成线，得到如图所示函数图象，在0~90分钟，y 是x 的二次函数，B 是二次函数图象的顶点；在90~110分钟，y 是x 的一次函数．(1)求二次函数表达式．(2)若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？ (3)采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，社区要求10点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？参考答案：1．(1)80x -，20010x +；40010x -； (2)2102008000(030)w x x x =-++<<(3)批发商通过销售这批T 恤最多能获利9000元2．(1)2236y x x =-+；(2)当AB 长为9m 时，花圃面积最大，最大面积为2162m ； (3)当花圃的面积为2144m 时，AB 长为6米或12米．3．(1)10300y x =-+(2)定价为19元时，利润最大，最大利润是1210元 (3)不能销售完这批蜜柚，4．(1)221361800w x x =-+-(2)当销售单价为34元时，厂商每周能获得最大利润是512元 (3)2530x ≤≤时350≥w5．(1)25y x =- (2)x 的值为90(3)该商店第四季度销售这两种类型的篮球能获得的最大利润为675元6．(1)50x +，50010x -(2)y 与x 之间的函数关系式为2104005000(025,y x x x x =-++≤≤为整数)(3)当售价定为70元时，商场每月销售这种商品所获得的利润最大，最大利润是9000元7．(1)12(0)y x x =≥；221(0)2y x x =≥ (2)他至少获得14万元利润，他能获取的最大利润是32万元 (3)68．(1)2，3(2)当=2t 时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为4 (3)21,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)270y x x =-+(2)排队等待人数最多时是121人(3)人工检测10分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况10．(1)2101002000y x x =-++(2)①2元或8元，①每件商品降价5元时，商场可获得最大利润，最大利润为2250元 (3)20902250y ≤≤11．(1)2160m x =-+ (2)222204800y x x =-+- (3)至少定价为50元12．(1)1005000y x =-+；(2)当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w 最大，最大利润为48400元； (3)当2030x ≤≤时，日获利w 不低于42000元．13．(1)101100y x =-+ (2)70元(3)售价定为75元可获得最大利润，最大利润是8750元14．(1)14(2)2252w x x =-+，最大338元，最小240元 (3)110,111,112a =答案第3页，共3页 15．(1)()234816y x x x =-+0<<(2)当8x =时，饲养室的宽度为8m 时，饲养室最大面积2192m(3)79x ≤≤16．(1)200(2)y 与x 的函数关系式为30010y x =-(3)每件商品的销售单价定为64元时，每天获得的利润最大，最大利润是6240元．17．(1)()21184105y x =--+ (2)10米 (3)2112182y x x =-++（答案不唯一）18．(1)2146045y x x =-++ (2)953分 (3)4个。

2023年九年级中考数学专题培优训练：二次函数的综合题一、单选题△ABC△DEF BC,EF1．如图和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线l上，点ΔABCC，E重合，现将沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（ ）A．B．C．D．y=ax2+bx+c(a≠0)abc>02c>3b2．如图为二次函数的图象，有下列结论：①；②；③a+2b>m(am+b)(m≠1)|ax2+bx+c|=1；④若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个y=ax2+bx+c A(1，0)B(m，0)3．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（−2<m<−12b+c>02a+c<0a(m+1)−b+c>0），下列结论：①；②；③；④若方程a(x−m)(x−1)−1=04ac−b2<4a有两个不相等的实数根，则 .其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，对称轴为x=2的抛物线y= 反比例函数ax 2+bx(a ≠0)与x 轴交于原点O 与点A ，与y =b x （x ＞0）交于点B ，过点B 作x 轴的平行线，交y 轴于点C ，交反比例函数于点D ，连接y =a x OB 、OD 。

则下列结论中：①ab ＞0；②方程 的两根为ax 2+bx =00，4；③3a+b ＜0；④tan ∠BOC=4tan ∠COD不符合题意的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．以x 为自变量的二次函数y=x 2﹣2（b﹣2）x+b 2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b≥B ．b≥1或b≤﹣154C ．b≥2D ．1≤b≤26．在下列函数图象上任取不同的两点P （x 1， y 1）， Q （x 2， y 2）， 一定能使的是（ y 2−y 1x 2−x 1<0）A ．y=（x>0）B ．y=-（x-2）2+5（x≥0）−2x C ．y=（x-3）2-4（x<0）D ．y=3x+77．如图，抛物线 与 轴交于点 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 是对称轴上的y =x 2−2x−3y A x B M 一个动点.连接 ,当 最大时，点 的坐标是（ ）AM,BM |AM−BM|M(1,4)(1,2)(1,−2)(1,−6) A．B．C．D．y=ax2+bx+c a≠0x=2x8．抛物线（）的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为(−2,0)4ac<b2ax2+bx+c=0，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是x1=−2x2=612a+c>0y>0x−2⩽x<2，；③；④当时，的取值范围是；⑤当x<0y x时随的增大而增大．其中正确结论的个数是（ ）A．4B．3C．2D．1二、填空题9．如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．A(3，0)B(1，0)C(−3，9)D(2，4)y=x210．如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左C D C′D′ABC′D′或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为 .11．定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为 ．12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为CD边上的一个动点，以CE为边向外作正方形ECFG，连结BG，点H为BG中点，连结EH，则EH的最小值为 。

2023年九年级中考数学专题培优训练实际问题与二次函数一、单选题1．图，已知18AB =，点C 在线段AB 上，且6AC =，以AC 为一边向上作等边ACD ，再以CD 为直角边向右作Rt DCE ，使90DCE ∠=︒，F 为斜边DE 的中点，连接BF ，随着CE 边长的变化，BF 长也在改变，则BF 长的最小值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．62．方形ABCD 中，AD ＝4，点E 为AB 边上一动点（不与点B 重合），将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCF ，过E 作EG //DF 交BC 于点G ，则GC 的最小值为（ ）A ．2B C ．D ．33．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系如表：下列结论不正确的是（ ）A ．足球距离地面的最大高度超过20mB ．足球飞行路线的对称轴是直线92t = C ．点（10，0）在该抛物线上 D ．足球被踢出57ss 时，距离地面的高度逐渐下降．4．在矩形ABCD 中，动点P 从A 出发，沿A D C →→运动，速度为1m/s ，同时动点Q 从点A 出发，以相同的速度沿路线A B C →→运动，设点P 的运动时间为(s)t ，CPQ 的面积为2(m )S ，S 与t 的函数关系的图象如图所示，则CPQ 面积的最大值是（ ）A ．3B ．6C ．9D ．185．如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为m x ，另一边的长为m y ，矩形的面积为2m S ．当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，那么y 与x ．S 与x 满足的函数关系分别是（ ）A ．一次函数关系，二次函数关系B ．反比例函数关系，二次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．反比例函数关系，一次函数关系6．如图，某大门的形状是一抛物线形建筑，大门的地面宽8 m ，在两侧距地面3.5 m 高处有两个挂单位名牌匾用的铁环，两铁环的水平距离是6 m ．若按图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）．（建筑物厚度忽略不计）A ．2182y x =-+B ．2172y x =-+C ．2182y x =+D ．2172y x =+7．在中考体育训练期间，小学对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系式为y ＝－2110x ＋35x ＋85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ） A ．83米B ．2米C ．8米D ．10米8．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，6AC =，8BD =，动点P 从点B 出发，沿着B A D →→在菱形ABCD 的边AB ，AD 上运动，运动到点D 停止．点'P 是点P 关于BD 的对称点，连接'PP 交BD 于点M ，若(08)BM x x =<<，'DPP 的面积为y ，下列图象能正确反映y 与x 的函数关系的（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题9．教练对小明投掷实心球的训练录像进行了技术分析，发现实心球在行进过程中高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为()224225y x =--+，由此可知小明此次投掷的成绩是________m ．10．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度(m)y 与水平距离(m)x 之间的关系是2820y x x =-++，则他将铅球推出的距离是____m ．11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽______________m ．12．高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离(m)s 与时间(s)t 的函数关系式为2305s t t =-，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 _____m ，才能停下来． 13．汽车刹车后行驶的距离s （单位：m ）关于行驶的时间t （单位：s ）的函数解析式是2122s t t =-，则汽车从开始刹车到完全停下这段时间的最后2秒前行了________米．14．如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数213y x =与213y x =-的图象，则阴影部分的面积是______．15．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行时间t （单位：s ）的函数解析式是21202S t t -＝，则飞机着陆滑行到停止，最后6s 滑行的路程_____m ．16．设计师以2248=+y x x -的图形为灵感设计杯子如图所示，若43AB DE ＝，＝，则杯子的高CE =_____．三、解答题17．在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m ，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m 时，达到最大高度3.86m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.84m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m 处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？18．如图，学校要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙（外墙足够长），其余三边用竹篱笆围成．其中AD AB ≥（即长不小于宽），设矩形的宽AB 的长为x 米，矩形ABCD 面积为y 平方米．(1)若矩形ABCD 的面积150平方米，求宽AB 的长； (2)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)矩形地块的宽为多少时，矩形ABCD 面积最大，并求出最大面积．19．双手头上前掷实心球是锻炼青少年上肢力量和全身协调性的一个项目，实心球出手后飞行的路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某校一名学生在投掷实心球时，从出手到落地的过程中，实心球的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2132.84y x x =-++(1)求该同学投掷实心球时，实心球在空中飞行时竖直高度的最大值； (2)判断并说明，该同学此次投掷实心球的水平距离能否超过10米．20．某商家出售一种商品的成本价为20元/千克，市场调查发现，该商品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：280y x =-+．设这种商品每天的销售利润为w 元．(1)求w 与x 之间的函数关系式；(2)该商品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种商品的销售价不高于每千克28元，该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？参考答案：1．B2．D3．C4．C5．A6．A7．C8．D9．910．1011．12．4513．814．815．1816．1117．(1)20.09 3.86y x=-+(2)0.28m18．(1)宽AB的长为5米(2)y与x的函数关系式为2240y x x=-+，自变量x的取值范围为40 03x<≤(3)当矩形地块的宽为10米时，矩形ABCD面积最大，最大面积为200平方米19．(1)25 8(2)不能超过10米20．(1)221201600w x x=-+-(2)该商品销售价定为每干克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元(3)该商家想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元答案第1页，共1页。

2023年九年级中考数学专题训练:实际问题与二次函数一、单选题1．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元()44x >，商家每天销售纪念品获得的利润w 元，则下列等式正确的是（ ）A ．10740y x =+B ．10140y x =-C ．()()1070040w x x =-+-D ．()()1074040w x x =-+- 2．如图所示，是一座抛物线型的拱桥，当桥下水面宽度是4m 时，拱顶到水面的距离是2m ，当水面下降1m 后，水面的宽度是( )m ．A ．6BC ．D ．3．如图1，一张边长为a 、8a +的长方形纸片的面积等于30k +，将它通过割、拼，再补一个正方形，拼成一个新的正方形(如图2)，k 可以取得的最小整数是( )A ．28-B ．21-C ．10-D ．3 4．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．给出下列结论：①小球在空中经过的路程是80m ；①小球运动的时间为6s ；①小球抛出3s 时，速度为0；①当 4.5s t =时，小球的高度h 是30m ，其中正确的是（ ）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①① 5．某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y （千克）与售价x （元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（ ）A ．y 与x 之间的函数关系式为300y x =-+B ．当售价为72元时，月销售利润为7296元C ．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元D ．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的运动高度h （米）与运动时间t （秒）之间的解析式是2305h t t =-()06t ≤≤，则小球运动到最高点时的高度是（ ）A ．30米B ．35米C ．36米D ．45米 7．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）A ．方案1B ．方案2C ．方案3D ．方案1或方案2 8．如图，当某运动员以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h （单位：m ）与飞行时间t （单位：s ）之间具有函数关系2205h t t =-．下列结论不正确的是（ ）A ．小球从飞出到落地要用4sB ．小球飞行的最大高度为20mC ．当小球飞出时间从1s 到2s 时，飞行的高度随时间的增大而减小D ．当小球飞出时间从3s 到3.8s 时，飞行的高度随时间的增大而减小二、填空题9．如图是一座抛物线形拱桥侧面示意图，水面宽AB 与桥长CD 均为12m ，桥拱顶部O 离水面的距离为6m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．OD 的中点E 到桥拱的距离EF 为______m ．10．如图，一个横截面为抛物线形的隧道部宽12米、高6米．车辆双向通行，若规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2米的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于一米的空隙，则通过隧道车辆的高度限制应为 _____米．11．在边长为5m 的正方形铅皮中间挖去一个面积至少是24m 的小正方形，则剩下的四方框形铅皮的面积2(m )y 与小正方形边长(m)x 之间的函数关系式是_________， 12．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为2116y x =-，当水面离桥顶的高度OH 为4m 时，水面的宽度AB 为______m ．13．如图，小明对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系为：217910105y x x =-++，则小明此次实心球训练的成绩为______米．14．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()236042y x x x =-+≤≤，那么水珠达到的最大高度为___________米．15．公园草坪上，自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的离地高度y （米）关于水珠与喷头的水平距离x （米）的函数解析式是()2140433y x x x =-+≤≤．那么水珠的最大离地高度是________米．16．体育课上小明推铅球，若铅球离开手的水平距离为x （米）、铅球离地面的高度为y （米），铅球的运行路线为抛物线()20.13 2.5y x =--+；当铅球下降过程中高度达到2.4米时，铅球离开手的水平距离为_______________米．三、解答题17．一名高校毕业生响应国家创业号召，回乡承包了一个果园，并引进先进技术种植一种优质水果，经核算这批水果的种植成本为16元/千克、设销售时间为x （天），通过一个月（30天）的试销，该种水果的售价P （元/千克）与销售时间x （天）满足如图所示的函数关系（其中030x ≤≤，且x 为整数）．已知该种水果第一天销量为60千克，以后每天比前一天多售出4千克．(1)直接写出售价P （元/千克）与销售时间x （天）的函数关系式；(2)求试销第几天时，当天所获利润最大，最大利润是多少？18．我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y 件是销售单价x 元的一次函数，如表是该商品的销售数据．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？19．李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．(1)直接写出日销售y （件）与销售价x （元/件）之间的函数关系式；(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元20．如图1，拋物线21y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求该拋物线的函数表达式；(2)在平面直角坐标系内是否存在一点P 使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有满足该条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，若点D 在该抛物线上且横坐标为2，直线l 与抛物线交于A ，D 两点，点M 在y 轴上，当45ADM ∠=︒时，求点M 的坐标．参考答案：1．D2．C3．B4．B5．C6．D7．C8．C9．3210．73##12311．225(25)y x x =-<<12．1613．914．615．4316．417．(1)()1342242030x P x ⎧-+⎪=⎨⎪<≤⎩(2)试销第30天时，当天所获利润最大，最大利润是1408元18．(1)y 与x 的函数关系式为2180y x =-+；(2)每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．19．(1)21404058825871x x y x x -+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（）（）； (2)3人．(3)每天能获得的最大利润是180元，此时，每件服装的价格应定为55元．20．(1)212133y x x =-- (2)点P 的坐标为()2,1或()4,1--或()41-,；(3)()0,2-或()0,3。

用二次函数解决实际问题考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题考点七 用二次函数解决图形运动问题考点一 用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造 产量年均增长率为x 已知2020年产量为1万件 那么2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为___________．【答案】2(1)y x =+【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同 所以2021的产量为()11+x ⨯ 2022年的产量为()()11+1+x x ⨯⨯ 由此即可知道2022年的产量y （万件）与x 间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件 且产量年均增长率为x ．∴2021年产量为()11+x ⨯；2022年的产量为()()()211+1+=1x x x ⨯⨯+． ∴2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为2(1)y x =+．故答案为：2(1+)y x =【点睛】本题考查二次函数的实际问题 能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件 计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x 倍 那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定 那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【解析】【分析】根据平均增长问题 可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y ＝2（x +1）2．故答案为：y ＝2（x +1）2．【点睛】本题考查了函数关系式 利用增长问题获得函数解析式是解题关键 注意增加x 倍是原来的（x +1）倍． 2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程 该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设 改善民生 优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户 求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造 如果计划改造300户 计划投入改造费用平均20000元/户 且计划改造的户数每增加1户 投入改造费平均减少50元/户 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x 根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户 最高投入费用为w 元 根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+ 然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x 则x >0由题意得：()231+ 4.32x =解得：x =0.2或x =-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户 最高投入费用为w 元由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+∵a =-50 抛物线开口向下∴当a -50=0 即a =50时 w 最大 此时w =612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用 解题的关键是正确读懂题意列出式子 然后根据二次函数的性质进行求解．考点二 用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件．(1)若降价3元 则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时 该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意可列出函数关系式 进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥ 解得：15x ≤∵-2＜0 对称轴为直线15x =∴当15x 时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500 在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 利润=（定价-进价）×销售量 从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式 根据函数性质 确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴 然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w =（x -20）•y=（x -20）•（-10x +500）=-10x 2+700x -10000即w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）；(2)由题意可知：-10x 2+700x -10000=2000解这个方程得：x 1=30 x 2=40．由（1）得 20≤x ≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w =-10x 2+700x -10000的图象的对称轴是直线x =()700210-⨯-=35．又∵a =-10＜0 抛物线开口向下．∴当20≤x ≤32时 w 随着x 的增大而增大∴当x =32时 w =2160答：当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用 还考查抛物线的性质 另外将实际问题转化为求函数最值问题 从而来解决实际问题．考点三 用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽6米 水面下降________米 水面宽8米．【答案】149##519【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系 通过代入A 点坐标（-3 0） 求出二次函数解析式 再根据把x =4代入抛物线解析式得出下降高度 即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系 设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点 则通过画图可得知O 为原点 由题意可得：AO =OB =3米 C 坐标为（0 2）通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2 把点A 点坐标（-3 0）代入得∴920a +=∴29a =- ∴抛物线解析式为：2229y x =-+； 当水面下降 水面宽为8米时 有把4x =代入解析式 得2221442162999y =-⨯+=-⨯+=-； ∴水面下降149米； 故答案为：149； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥 当拱顶高距离水面2m 时 水面宽4m 如果水面上升1.5m 则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系 设出抛物线的解析式 从而可以求得水面的宽度增加了多少 本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y =ax 2由已知可得 点（2 -2）在此抛物线上则-2=a ×22 解得12a =-∴212y x =- 当y =-0.5时 210.52x解得x =±1 此时水面的宽度为2m故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的应用 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图 在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)()245425y x =--+ (2)在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式 然后根据抛物线过点()0,0 代入即可求解；（2）根据对称轴为：5x = 得出对称轴右边1m 处为：6x = 代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为()5,4设抛物线解析式为：()254y a x =-+∵抛物线过点()0,0∴()20054a =-+ 解得：425a =- ∴这条抛物线所对应的函数关系式为：()245425y x =--+． (2)解：对称轴为：5x = 则对称轴右边1m 处为：6x =将6x =代入()245425y x =--+ 可得：()2465425y =--+ 解得：9625y = 答：在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用 解答此题的关键是明确题意 求出抛物线的解析式．考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观 喷出的水柱呈抛物线形状 她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m 水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高 最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系 并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+ 其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离 y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m 身高1.6m 的小红在水柱下方走动 当她的头顶恰好接触到水柱时 求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点()5,3.2 设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+ 将点()0,0.7P 代入即可求解； （2）将 1.6y =代入（1）的解析式 求得x 的值 进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+将点()0,0.7代入 得0.725 3.2a =+解得0.1a =-∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+ (2)由()20.15 3.2y x =--+ 令 1.6y =得()21.60.15 3.2x =--+解得121,9x x ==爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m∴当她的头顶恰好接触到水柱时 她与爸爸的水平距离为312-=(m ) 或936-=(m )． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用 掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图 水池中心点O 处竖直安装一水管 水管喷头喷出抛物线形水柱 喷头上下移动时 抛物线形水柱随之竖直上下平移 水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现 喷头高2.5m 时 水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时 水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时 水柱落点距O 点4m ．【答案】8【解析】【分析】由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化 则当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5 将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0；喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4 将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0 联立可求出a 和b 的值 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m 则此时的解析式为y =ax 2+bx +h 将（4 0）代入可求出h ．【详解】解：由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0①喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0② 联立可求出23a =- 23b = 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m∴此时的解析式为22233y x x h =-++ 将（4 0）代入可得22244033h -⨯+⨯+= 解得h =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用 重点是二次函数解析式的求法 直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1 灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度3mDE=竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.5m灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h=0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0)；③2231d≤≤(2)65 32【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线OB d≤计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点D F恰好分别在两条抛物线上设出D、F 坐标计算即可．(1)（1）①如图1 由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.∴1.542a =+∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时 21(2)208x --+= ∴16x = 22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的即点B 是由点C 向左平移4m 得到 则点B 的坐标为(2,0)．③如图2 先看上边缘抛物线∵0.5EF =∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时21(2)20.58x --+=． 解得223x =±∵0x >∴223x =+当0x >时 y 随着x 的增大而减小∴当26x ≤≤时 要使0.5y ≥则223x ≤+∵当02x ≤<时 y 随x 的增大而增大 且0x =时 1.50.5y =>∴当06x ≤≤时 要使0.5y ≥ 则023x ≤≤+∵3DE = 灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴d 的最大值为(23)331+-=．再看下边缘抛物线 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤∴d 的最小值为2．综上所述 d 的取值范围是231d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0 h ）∴40.5y a h h =++= 解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低 且恰好能浇灌到整个绿化带时 点D F 恰好分别在两条抛物线上∵DE =3∴设点(),0D m ()3,0E m + 213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭∵D 在下边缘抛物线上∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦解得 2.5m =代入21(2)0.508m h -+++= 得6532h =． 所以h 的最小值为6532． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题 构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图 以地面为x 轴 一名男生推铅球 铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y =0时x 的值 所以解方程即可求解本题． 【详解】 解：当y =0时 212501233x x -++= 解得：x 1=10 x 2=-2（不合题意 舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 把函数问题转化为方程问题来解 渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 其中y 是实心球飞行的高度 x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m【答案】C【解析】【分析】 根据题意待定系数法求解析式 再令0y = 即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 点A 的坐标为16(0,)9 ∴2161399k =-⨯+ 解得259k =∴2125(3)99y x =--+令0y = 2125(3)099x --+= 即()2325x -=解得12x =-（舍去）2,8x =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用 待定系数法求解析式 求二次函数与坐标轴的交点 掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图 球在点A 处离手 且1m OA =．第一次在点D 处落地 然后弹起在点E 处落地 篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点 最高点C 距地面的高度4m BC = 点E 到篮球框正下方的距离2m EF = 篮球框的垂直高度为3m ．据试验 两次划出的抛物线形状相同 但第二次的最大高度为第一次的12 以小明站立处点O 为原点 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框 他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）【答案】(1)()()2164043612y x x =--+≤≤ (2)篮球第二次的落地点E 到点O 的距离为23m ；(3)小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【解析】【分析】（1）设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠ 将()()0164A C ，、，代入即可求解； （2）将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得12626626x x =+=-，（3）令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-， 由()43468m OF OE EF =+=即可求解．(1)解：由题意知 ()()0164A C ，、， 设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠； 将()()0164A C ，、，代入表达式得 ()21064a =-+ 解得：112a =-； ∴()216412y x =--+； 令0y =得 ()4360D ，∴抛物线ACD 的函数解析式为()()2164043612y x x =--+≤≤； (2)由题意 将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得 ()2106212x =--+ 解得：12626626x x =+=-，∴(4366264326--= ∴432662643466+= ∴()434660E ，∴()4346623m OE =≈(3)令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-，()43468m OF OE EF =+=(()434686234623215.3m -+=≈∴小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为x米．(1)AB＝米（用含x的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为867 4【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB 的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7 x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26 不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21 符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,∵-3<0∴当x=172时S有最大值最大值为8674即最大面积为8674∵8674>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)2220(510)s x x x=-+<．(2)当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由AD x = 可得出202AB x =- 由墙长10米 可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再利用矩形的面积公式即可得出s 关于x 的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解． (1)解：AD BC x ==202AB x ∴=-．又墙长10米∴20210220x x -⎧⎨<⎩ 510x ∴<．2(202)220(510)s x x x x x ∴=-=-+<．(2)解：由（1）可知：()222202550s x x x =-+=--+∴当5x =时 矩形的场地面积最大 最大值为50；答：当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE 为正方形）的三条边围成 已知城门宽度为4米 最高处距地面6米．如图1所示 现以O 点为原点 OM 所在的直线为x 轴 OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式 并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米 高4.5米的消防车需要通过该城门 请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛 需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD 该“装饰门”关于抛物线对称轴对称 如图2所示 其中AB AD CD 为三根承重钢支架 A 、D 在抛物线上 B C 在地面上 已知钢支架每米70元 问搭建这样一个矩形“装饰门” 仅钢支架一项 最多需要花费多少元？【答案】(1)2124(04)2y x x x =-++ (2)能正常进入 理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y 轴交点E 的坐标 可设解析式为顶点式 进行求解 由城门宽度为4米知x 的取值范围是0≤x ≤4；（2）根据对称性当车宽3米时 x ＝12 求此时对应的纵坐标的值 与车高4.5米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和 再运用性质求最大值 可设点B 的坐标 表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知 抛物线的顶点(2,6)∴设抛物线的表达式为2(2)6y a x =-+ 抛物线过点(0,4)E446a ∴=+12a ∴=- ∴抛物线的表达式为21(2)62y x =--+ 即2124(04)2y x x x =-++； (2)解：由题意知 当消防车走最中间时 进入的可能性最大 即当12x =时 211124 4.875 4.5222y ⎛⎫=-⨯+⨯+=> ⎪⎝⎭∴消防车能正常进入；(3)解：设B 点的横坐标为m AB AD CD ++的长度为l由题意知42BC m =-即42AD m =- 21242CD AB m m ==-++221224(42)2122l m m m m m ⎛⎫∴=⨯-+++-=-++ ⎪⎝⎭当212(1)m =-=⨯-时 l 最大 l 最大21211213=-+⨯+= ∴费用为1370910⨯=（元）答：仅钢支架一项 最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在直角边BC 上 以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点） 根据相关信息 计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【答案】B【解析】【分析】根据题意 得出()cm PB a t =- 2cm BQ t = 在Rt PBQ ∆中 根据面积公式得到BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系2y t at =-+ 利用顶点式2224a a y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得出当2a t =时 y 有最大值为244a = 从而求出P Q 、运动时间是4t s = 求出4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间()s t cm AB a = 则cm AP t = 2cm BQ t =∴在Rt PBQ ∆中 90ABC ∠=︒ ()cm PB a t =- 2cm BQ t = 则()2221122224a a y PB BQ t a t t at t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当2a t =时 y 有最大值为244a = 解得4a = 即2t =根据BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系可知抛物线与x 轴交于()0,0和()4,0两点 即P Q 、运动时间是4t s =4cm,8cm AB BC ∴==在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理可得22224845cm AC AB BC +=+故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题 涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点 看懂题意 将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图 在矩形ABCD 中 BC ＞CD BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根 连接BD 并过点C 作CN ⊥BD 垂足为N 点P 从B 出发 以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动 到点A 为止 点P 与点M 同时出发 设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中 当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值 最大值是多少？【答案】(1)125(2)当4t =时 2425S =最大 【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC =4 CD =2 然后利用等积法求出CN ；（2）分0＜t ≤165 和165＜t ≤4两种情况列出函数解析式 利用二次函数的性质求出最大值． (1)解：27120x x -+=解得13x = 24x =∵BC CD >∴4BC = 3CD =∵四边形ABCD 是矩形 4BC = 3CD =∴5BD =∴113422BD CN ⋅=⨯⨯ ∴125CN =； (2) 由题可知 165BN =①当1605t <≤时 过点M 作MH ⊥BD 垂足为H设△PMN 的面积为S 则221116331638962255105105125S PN MH t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵816055<≤ ∴当85t =时96125S =最大 ②当1645t ≤＜时 111632255S PN MH t t ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 此时 S 随t 的增大而增大∴当4t =时 2425S =最大 综合①②知 当t =4时 △PMN 的面积取得最大值 最大值是2425 ． 【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题 解决问题的关键是根据t 值分情况列出函数解析式． 2．（2021·北京·九年级期中）如图 Rt ABC ∆中 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．动点P Q 分别从A C 两点同时出发 点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动 点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动 当P Q 到达终点C B 时 运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时 t 的值为 ．②设P C 之间的距离为y 则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系” “一次函数关系” “二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数与一次函数的综合应用一、单选题1．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点.若二次函数（为y =x 2−x +c c 常数）在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）−2<x <4c A ．B ．C ．D ．−2<c <14−4<c <94−4<c <14−10<c <942．已知直线 过一、二、三象限，则直线 与抛物线 的交点y =kx +2y =kx +2y =x 2−2x +3个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个3．抛物线 （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y =x 2+bx +c （ ）有交点，则c 的值不可能是（ ） y =2x−11≤x <3A ．5B ．7C ．10D ．144．函数y=ax+b 和y=ax 2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知0＜x ＜1，10＜y ＜20，且y 随x 的增大而增大，则y 与x 的关系式不可以是（ ）A ．y ＝10x+10B ．y ＝﹣10（x﹣1）2+20C ．y ＝10x 2+10D ．y ＝﹣10x+206．在同一坐标系中，函数y=ax 2与y=ax+a （a ＜0）的图象的大致位置可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于题目“一段抛物线L ：y=﹣x （x﹣3）+c （0≤x≤3）与直线l ：y=x+2有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（ ）A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确8．将二次函数 的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图y =−x 2+2x +3所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）y =x +bA ． 或B ． 或 −214−3−134−3C ． 或D ． 或 214−3134−39．已知抛物线 与直线 相交，若 ，则 的取值范围是（ y 1=−2x 2+2y 2=2x +2y 1>y 2x ）.A ．B ．x >−1x <0C ．D ． 或 −1<x <0x >0x <−110．给出定义：设一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：①直线y=0是抛物线y= x 2的切线；14②直线x=﹣2与抛物线y= x 2 相切于点（﹣2，1）；14③若直线y=x+b 与抛物线y= x 2相切，则相切于点（2，1）；14④若直线y=kx﹣2与抛物线y= x 2相切，则实数k= ．142其中正确命题的是（ ）A ．①②④B ．①③C ．②③D ．①③④11．一次函数与二次函数的图象交点（ ）y =2x +1y =x 2−4x +3A ．只有一个B ．恰好有两个C ．可以有一个，也可以有两个D ．无交点12．将抛物线y=x 2+2x+3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y=3的交点坐标是（ ）A ．（0，3）或（﹣2，3）B ．（﹣3，0）或（1，0）C ．（3，3）或（﹣1，3）D ．（﹣3，3）或（1，3）二、填空题13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 交y 轴于点A ，直线AB 交x 轴正半轴于y =x 2−2x +2点B ，交抛物线的对称轴于点C ，若 ，则点C 的坐标为　 .OB =2OA14．函数 与 的图象如图所示，有以下结论：① ，②y =x 2+bx +c y =x b 2−4c >0 ，③ ，④当 时， ．则正确的个数为 b +c +1=03b +c +6=01<x <3x 2+(b−1)x +c <0个．15．已知一次函数y 1＝kx+m （k≠0）和二次函数y 2=ax 2+bx+c （a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是 ．y=ax2+c y=mx+n A(−1,p)B(3,q)16．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式ax2+mx+c<n的解集是 ．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝kx+m（k≠0）的抛物线y2＝ax2+bx+c（a≠0）交于点A（0，4），B（3，1），当y1≤y2时，x的取值范围是 ．y=ax+b(a<0，b>0)18．如图，一次函数的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函y=−kx+k(k>0)数关联的二次函数．如果一次函数的关联二次函数是y=mx2+2mx+c m≠0（），那么这个一次函数的解析式为 ．三、综合题19．如图，边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P 运动的时间是t 秒．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP 、CA ．过点P 作PD ⊥OB 于D 点（1）直接写出BD 的长并求出点C 的坐标（用含t 的代数式表示）（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（3）点P 从点O 运动到点A 时，点C 运动路线的长是多少？20．如图，函数 的图象与函数 ( )的图象相交于点P （3，k ），Q 两点.y =2x y =ax 2−3a ≠0（1） = ， =　　；a k （2）当 在什么范围内取值时， ＞ ；x 2x ax 2−3（3）解关于 的不等式： ＞1.x |ax 2−3|21．如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的y =3+3x 2+bx +c x A B A B 左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， BO =3AO =3B y C D .BC =3CD（1）求 ， 的值；b c （2）求直线 的函数解析式；BD 22．如图，抛物线y=-x 2+bx+c 的图像过点A(-1，0)、C(0，3)，顶点为M 。

2023年九年级数学中考专题：实际问题与二次函数压轴应用题1．某工厂生产A 型产品，每件成本为20元，当A 型产品的销售单价为x 元时，销售量为y 万件．要求每件A 型产品的销售单价不低于20元且不高于28元．经市场调查发现，y 与x 之间满足一次函数关系，且当x ＝23时，y ＝34；x ＝25时，y ＝30． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若某次销售刚好获得182万元的利润，则每件A 型产品的销售单价是多少元？ (3)设该工厂销售A 型产品所获得的利润为w 万元，将该产品的销售单价定为多少元时，才能使销售该产品所获得的利润最大？最大利润是多少万元？2．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为12m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的宽AB 为m x ，面积为2m S ．(1)求S 与x 的函数表达式．(2)如果要围成面积为245m 的花圃，AB 的长是多少米？(3)根据（1）中求得的函数关系式，判断当x 取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？3．2022年2月4日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京举行，吉祥物“冰墩墩”备受人民的喜爱，某商店经销吉祥物“冰墩墩”玩具，销售成本为每件40元，据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出500件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，针对这种玩具的销售情况，请解答以下问题：(1)求当销售单价涨多少元时，月销售利润能够达到8000元；(2)商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，求销售定价应为多少元？4．某大型商场准备购买一批A 型和B 型商品，已知一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元，用6000元采购A 型商品的件数是用1200元采购B 型商品的件数的2倍．(1)求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？(2)该商场购进A 型和B 型商品若干，准备采取“买二送一”的优惠销售方案，即：买两件A 型商品赠送一件B 型商品，通过一段试销发现A 型商品每天的销售量y （件）与A 型商品的销售单价x （元）满足：2200y x =-+，若商场继续以上述优惠销售方案进行销售，当A 型商品的销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大，并求出此时的最大销售利润．5．某数学兴趣小组想借助如图所示的直角墙角ADC ∠（两边足够长），用20m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD （篱笆只围AB ，BC 两边）．(1)若围成的花园面积为291m ，求矩形花园AB 的长；(2)在点P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别为12m 和6m ，要能将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），又使得花园面积有最大值，求此时矩形花园AB 的长．6．第一届全国青年运动会射箭项目决赛于10月20-24日在福建省莆田市体育公园举行．我市某工艺厂为青运会设计了一款成本为每件20元的工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数：当售价为20元/件时，每天销售量为800件；当售价为25元/件时，每天的销售量为750件． (1)求y 与x 的函数关系式(2)如果该工艺品售价最高不能超过每件50元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少元?(利润=售价-成本)7．中秋节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：小王：该水果的进价是每千克22元；小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低1元，每天的销售量将增加40千克．根据他们的对话，解决下面所给问题：设降价(0)x x>元，每天所获得的利润为w元．(1)超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？(2)这种水果的销售价定为多少时，可使每天销售利润最大？最大的利润是多少？8．贫困户李大爷在某单位精准扶贫工作队的帮扶下，将一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：①第1天卖出20千克，以后每天比前一天多卖4千克：①销售价格y（元/千克）与时间x（天）之间满足如下函数关系：76(120)(2030)mx m x xyn x x-≤<⎧=⎨≤≤⎩，为正整数，为正整数，且第12天的售价为32元/千克，第23天的售价为25元/千克．(1)填空：m＝_______，n＝_______；试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为_______；(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润W最大？最大利润是多少元？(3)求试销的30天中，当天利润W不低于870元的天数共有几天？9．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月售出500kg，销售价每涨价1元，月销售量就减少5kg．(1)当销售单价定为60元时，计算月销售量和销售利润．(2)商店想让顾客获得更多实惠的情况下，使月销售利润达到9000元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．10．某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）](1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式．(2)①填空：该产品的成本单价是元，表中a的值是．①求该商品日销售利润的最大值．11．小茗同学准备用一段长为50米的篱笆在家修建一个一边靠墙的矩形花圃（矩形ABCD，墙长为25米．设花圃的一边AD为x米．)(1)如图1，写出花圃的面积S（平方米）与x（米）的函数关系式；(2)图1中花圃的面积能为300平方米吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由；(3)为方便进出，小茗同学决定在BC边上留一处长为a米(04)<<的门（如图2)，且最a终围成的花圃的最大面积为325平方米，直接写出a的值．12．包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄，已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元/kg，如果在未来40天葡萄的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为：120(120)4135(2140)2t t tpt t t⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且葡萄的日销量y（千克）与时间t（天）的关系如下表：(1)请直接写出y与t之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？(2)在后20天（即2140t≤≤，t为整数），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？(3)在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（8n<）给留守儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，请求出n的取值范围．13．红灯笼，象征着国家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对，若规定每对乙灯笼的利润不能高于30元，设乙灯笼每对售价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．①求出y与x之间的函数解析式；①乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？14．跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡BC 上的点P 处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA 表示起跳点A 到地面OB 的距离，OC 表示着陆坡BC 的高度，OB 表示着陆坡底端B 到点O 的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系：2116y x bx c =-++，已知70m OA =，60m OC =，落点P 的水平距离是40m ，竖直高度是30m ．(1)点A 的坐标是_____，点P 的坐标是_______； (2)求满足的函数关系2116y x bx c =-++； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC 竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离．15．某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y 个，销售单价为x 元．(1)在横线上直接写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大？最大利润是多少元？16．金秋十月，我省某农业合作社有机水稻再获丰收，加工成有机大米后通过实体和电商两种渠道进行销售．该有机大米成本为每千克 14 元，销售价格不低于成本，且不超过25 元/千克，根据各销售渠道的反馈，发现该有机大米一天的销售量y（千克）是该天的售价x（元/千克）的一次函数，部分情况如表：(1)求一天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系式并写出x的取值范围．(2)若某天销售这种大米获利2400 元，那么这天该大米的售价为多少？(3)该有机大米售价定为多少时，当天获利w最大？最大利润为多少？17．某公司为了宣传一种新产品，在某地先后举行18场产品促销会，已知该产品每台成本为4万元，设第x场产品的销售量为y(台)，在销售过程中获得以下信息：信息1：已知第一场销售产品38台，然后每增加一场，产品就少卖出2台；信息2：产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1场—第10场浮动价与销售场次x成正比，第11场—第18场浮动价与销售场次x成反比，经过统计，得到如下数据：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)求销售单价p与销售场次x之间的函数关系式；(3)当产品销售单价为6.5万元时，求销售场次是第几场？(4)在这18场产品促销会中，哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？(结果保留整数) 18．某商场经营A种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元()40x >，请用含x 的代数式表示该玩具的销售量______．(2)若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于450件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润．(3)该商场计划将（2）中所得的利润的一部分采购一批B 种玩具并转手出售，根据调查准备两种方案：方案①：月初出售，获利15%，并可用本和利再投资C 种玩具，到月末又可获利10%； 方案①：只到月末出售直接获利30%，但要另支付仓库保管费350元．请问商场如何使用这笔资金，采用哪种方案获利较多？尝试填写以下表格．参考答案：1．(1)y 与x 的函数关系式为280y x =-+，自变量x 的取值范围是2028x ≤≤ (2)每件A 型产品的销售单价是27元(3)该产品的销售单价定为28元时，才能使销售该产品所获得的利润最大，最大利润是192万元2．(1)()232448S x x x =-+≤<； (2)AB 的长为5m ；(3)当4x =时，围成的花圃的面积最大，最大面积为248m ．3．(1)涨10元或30元 (2)80元4．(1)一件A ，B 型商品的进价分别为50元，20元(2)A 型商品的销售单价定为80元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为800元5．(1)13m 和7m ． (2)8m6．(1)101000y x =-+(2)当售价定为50元时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为12000元．7．(1)每千克29元(2)定为32元时可使每天销售利润最大，最大的利润是4000元8．(1)12-，25，416P x =+；(2)第18天的利润最大，最大利润为968元； (3)共有12天9．(1)销售单价定为60元时，月销售量为450千克，销售利润为9000元 (2)销售单价应定为60元(3)当售价定为95元时会获得最大利润，求出最大利润为15125元．10．(1)10900y x =-+(2)①40，4560 ①该商品日销售利润的最大值为6250元11．(1)21252S x x =-+(2)能为300平方米，此时x 的值为20 (3)a 的值为112．(1)2120y t =-+；90kg (2)21天，1131元 (3)58n ≤＜13．(1)甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对；(2)①222686930y x x =-+-，①乙种灯笼的销售单价为每对65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元．14．(1)()0,70A ，()40,30P ； (2)21370162y x x =-++； (3)18m15．(1)()107404452y x x =-+≤≤(2)当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元(3)将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w 元最大，最大利润是2640元答案第3页，共3页 16．(1)5501504201yx x(2)18元 (3)当22x =时，w 有最大值3200元．17．(1)240y x =-+ (2)()()1411044541118x x p x x⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩ (3)当产品销售单价为6.5万元时，销售场次是第10场和第18场(4)在这18场产品促销会中，第11场获得的利润最大，最大利润约为74万元18．(1)101000x -+(2)max 11250w =元。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数一、单选题1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当x＜0时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图图形中阴影部分的面积相等的是（ ）A．①②B．②③C．①③D．①②③3．将二次函数y=x22个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）A．y=(x-2)2B．y=(x+2)2C．y=x2-2D．y=x2+24．二次函数y=a（x-4）2-4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（ ）A．1B．-1C．2D．-2m1m25．已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程m1m2m1m2ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝ x＋在坐标系中的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二次函数y=ax2+bx+3自变量x 的部分取值和对应函数值y 如表：则在实数范围内能使得y+5>0成立的x 取值范围是( )A ．x>-2B ．x<-2C ．-2<x<4D ．x>-2或x<47．已知点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（2，0）．若顶点在x 轴下方的二次函数y=x 2+（a﹣3）x+3的图象与线段AB 恰好只有一个交点，则a 的取值范围（ ） A ．B ．−1≤a <−12−1≤a ≤12C ．D ．﹣1＜a≤112<a <28．下列函数中，y 随x 的增大而增大的是（ ）A ．y=﹣2x+3B ．y=﹣ （x ＜0）2xC ．y=D ．y=﹣2x 2（x ＞0）2x9．如图，坐标平面上，二次函数y ＝﹣x 2+4x﹣k 的图形与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其顶点为D ，且k ＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为1：4，则k 值为何？( )A ．1B ．C ．D ．12434510．如图，直线yx +3分别与x 轴，y 轴交于点A 、点B ，抛物线y =x 2+2x ﹣2与y 轴交于点C ，=−34点E 在抛物线y =x 2+2x ﹣2的对称轴上移动，点F 在直线AB 上移动，CE +EF 的最小值是（ ）A ．4B ．4.6C ．5.2D ．5.611．把抛物线y=3x 2向右平移一个单位，则所得抛物线的解析式为 ( )A ．y=3(x+1)2B ．2C ．y=3x 2+1D ．y=3x 2-112．如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度不变，则以点B 为圆心，线段BP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若二次函数y ＝ax 2－3x ＋a 2－1的图象开口向下且经过原点，则a 的值是　　．14．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣12，y 2）、点C （ ，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x﹣5）=﹣3的两根72为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论是　　．15．抛物线y ＝ax 2+bx+c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是 16．将抛物线 向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是 ．y =2x 217．抛物线y=x 2+2向左平移2个单位得到的抛物线表达式为　　．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为B （4，0），抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E ．现有下列结论：①a ＞0；②b ＞0；③4a+2b+c ＜0；④AD+CE ＝4．其中所有正确结论的序号是　　．三、解答题19．已知y=(m+1)，当m 为何值时，是二次函数？xm 2−2m−1+(m−3)x +m 20．已知二次函数y=﹣x 2﹣2x ，用配方法把该函数化为y=a （x﹣h ）2+c 的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标．21．已知：二次函数y=（n﹣1）x 2+2mx+1图象的顶点在x 轴上．（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．22．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．23．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，求该抛物线的解析式并写出顶点坐标．24．二次函数图象过A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2）三点，求此抛物线的解析式．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】－114．【答案】①③⑤15．【答案】﹣1＜x＜316．【答案】y=2x2−317．【答案】y=（x+2）2+218．【答案】②④19．【答案】解：根据题意得：原函数为二次函数，则有{m+1≠0 m2−2m−1=2解得：m=3．20．【答案】解：y=﹣x2﹣2x，=﹣（x2+2x）=﹣（x2+2x+1﹣1）=﹣（x+1）2+1即对称轴是直线x=﹣1，顶点坐标是（﹣1，1）21．【答案】解：（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，∴4m2﹣4（n﹣1）=0，∴n﹣1=m2，∴n=m2+1，∵n﹣1≠0，且m 2≥0∴n﹣1＞0，∴图象开口向上；（2）∵y=（n﹣1）x 2+2mx+1，∴对称轴x=，−b 2a=−m n−1=1m 要使为整数，−1n ∵m ，n 为整数，∴只要m=±1，此时n=2，∴存在m=±1，n=2，符合要求；（3）①y=nx 2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n （x 2﹣x﹣2）+x﹣2，令x 2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，若n≠0：b 2﹣4ac=（n﹣1）2+4n （2n+2）=（3n+1）2≥0，当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，当抛物线不过原点时，n=时，b 2﹣4ac=0，图象与x 轴，y 轴各有1个交点，−13综上，当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．−1322．【答案】解：将点A （0，4）与B （1，﹣2）代入解析式，得： ， {c =4−2+b +c =−2解得： ，{b =−4c =4则此函数解析式为y ＝﹣2x 2﹣4x+4．23．【答案】解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线y=﹣x 2+bx+c 上两点，∴代入得 ，{c =3−4+2b +c =3解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）24．【答案】解：由题意得：设 ，y =a(x +1)(x−2)点C （0，﹣2）代入： ，－2=a(0+1)(0−2)∴a ＝1，y=(x+1)(x−2)∴，y=x2−x−2即．。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为，若抛物线(−1，3)，(3，3)与线段MN 只有一个公共点，则的取值范围是（ ）y =x 2−2mx +m 2−m +2m A ．或B ．或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C ．或D ．m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722．如图，已知△ABC 为等边三角形，AB=2，点D 为边AB 上一点，过点D 作DE ∥AC ，交BC 于E点；过E 点作EF ⊥DE ，交AB 的延长线于F 点．设AD=x ，△DEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发，以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B ．动点Q 同时从点A 出发，以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B ．设△APQ 的→面积为y （cm 2）.运动时间为x （s ），则下列图象能反映y 与x 之间关系的是（ ）A．B．C．D．4．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）14(x−4)2A．5B．C．4D．17﹣4π2255．已知如图，抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点，顶点为C，CH⊥AB交x轴于H，在CH右侧的抛物线上有一点P，已知PQ⊥AC，垂足为Q，当∠ACH=∠CPQ时，此时CP的长为（）A．B．C．D．4522521692096．如图，抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A，B顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D’，点A对应点C，连接DD’，CD’，DC，当△CDD’是直角三角形时，a的值为（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ， 12321332133312337．如图1，E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止，它们运动的速度都是1cm/s ．若P ，Q 同时开始运动，设运动时间为t （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2）．已知y 与t 的函数图象如图2，则下列结论错误的是()A ．AE=6cmB ．sin∠EBC =45C ．当0＜t≤10时，D ．当t=12s 时，△PBQ 是等腰三角形y =25t 28．如图，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）A ． cm 2B ． cm 2C ． cm 2D ． cm 2332392327239．如图， 在平面直角坐标系中放置 ， 点 .现将 沿Rt △ABC ，∠ABC =90∘A(3，4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转，依次得到 连续翻转 14 次， 则经过 △A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为（ ）△A 14B 14C 14A ．B ．y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C ．D ．y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10．用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（ ）A ．y ＝－x 2＋50x B ．y ＝x 2－50x C ．y ＝－x 2＋25xD ．y ＝－2x 2＋2511．如图，点E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH.设A 、E 两点间的距离为x ，四边形EFGH 的面积为y ，则y 与x 的函数图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5，第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离，则a 的值为( )4141A．3B．C．3或D．不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13．如图，矩形中，，点为边上一动点（不与重合）、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形，且，连接点是线段BF的中点.连接，则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14．如图，已知点，点，点在二次函数的图象上，作射线AB A45°C C，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交二次函数图象于点，则点的坐标为 15．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ．16．在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD，则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长，则这个养鸡场最大面积24m 10m 为　　.m 218．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是　三、综合题19．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ，BC=30m ，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为 米，花圃的面x 积为 （ ）.S m 2（1）求 关于 的函数关系式；S x （2）如果通道所占面积是184 ，求出此时通道的宽 的值；m 2x （3）已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元，花圃每平方米的造价是60元，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ，则通道宽为13多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y= （x ＞0，m ＞1）图象上一点，m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ，点B （0，﹣m ）是y 轴负半轴上的一点，连接AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使得AD=AC ，过点A 作AE 平行于x 轴，过点D 作y 轴平行线交AE 于点E ．（1）当m=3时，求点A 的坐标；（2）DE=　　，设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围；（3）连接BD ，过点A 作BD 的平行线，与（2）中的函数图象交于点F ，当m 为何值时，以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形？21．如图，矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上，已知正△EFG 的边长为2，记矩形ABCD 的面积为S ，边长AB 为x 。