阻尼牛顿算法在优化问题中的应用

动力学演变牛顿第一定律的历史及应用在物理学中，动力学是研究物体的运动和力学性质的学科。

牛顿第一定律，也被称为惯性定律，是动力学的基石之一。

本文将介绍动力学演变牛顿第一定律的历史以及其在实际生活中的应用。

一、历史回顾牛顿第一定律的历史可以追溯到古希腊时期，亚里士多德提出了关于运动的观点。

他认为物体只有受到外力作用时，才会运动，并且认为物体需要持续施加力才能保持运动。

然而，随着科学的发展和实验结果的不断积累，这一观点被质疑并逐渐被推翻。

17世纪末，英国物理学家艾萨克·牛顿提出了三个运动定律，其中第一定律就是关于物体惯性的定律。

牛顿第一定律的表述是：“没有外力作用下，物体将保持静止或匀速直线运动。

”这意味着物体若不受力作用，其运动状态将不发生改变。

这一定律对运动学和动力学的发展起到了重要的推动作用。

二、物理学中的应用牛顿第一定律在物理学中有着广泛的应用。

下面将介绍其中几个重要的应用领域。

1. 交通工程交通工程中的交通流模型基于牛顿第一定律的原理。

例如，在道路系统中，当没有外力作用时，车辆将保持匀速直线行驶或静止。

根据这一定律，可以推导出交通流的密度-速度关系、车辆加速度等关键参数，为道路交通规划和优化提供理论基础。

2. 航天工程航天科学中的火箭运动和航天器轨道也可以应用牛顿第一定律。

在没有外力作用时，火箭将保持惯性直线运动或静止。

航天器在太空中的运动轨迹及姿态控制都是基于这一原理进行设计和计算的。

3. 机械工程在机械工程中，牛顿第一定律被广泛应用于弹簧与阻尼系统的研究。

根据这一定律，可以推导出弹簧系统的振动频率和阻尼特性，进而优化设计和控制。

4. 生物医学在生物医学领域，牛顿第一定律也被用来研究人体运动学。

例如，在康复治疗中，通过测量和分析患者的运动轨迹，结合牛顿第一定律，可以评估患者的肌肉力量和平衡能力，为康复方案的制定提供依据。

三、结论牛顿第一定律作为物理学中的基本定律之一，对动力学的演变和应用产生了重要影响。

第四章
第四章
无约束优化问题标准形式：
无约束优化问题标准形式：
§
§
§
§
§
§
图最速下降法的收敛过程
αα
2
2
例4－1 求目标函数
取初始点
[2,2]
=
x
例4－2 求目标函数解取初始点[2,2]
=x
算出一维搜索最佳步长
§
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
例4－3 用梯度法求下面无约束优化问题：
梯度法的特点
x
给定0,ε
一般迭代式：
§4.3
§4.3
§4.3
§4.3
α0
d 0
x
x 1
x*
1
α1d 1
1()
f −∇x d 1
4-4 共轭方向法
假设目标函数f (x ) 在极值点附近的二次近似函数为
沿某个下降方向
如果能够选定这样的搜索方向，那么对于二
α
0d0
x0x1x*
1
α
1
d1
1
()
f
−∇x d
1。

用Matlab实现非线性无约束优化的几种方法比较王娜;朱逸夫【摘要】在实际规划问题的求解过程中,优化解的真值具有不可预知性,为了寻找可用的稳定解,往往需要用不同的算法进行试算,并对所有计算结果进行甄别,这需要应用者具备良好的经验.为此,利用Matlab工具箱中的fminunc和fminsearch命令格式,并根据牛顿法、拟牛顿法、最速下降法、阻尼牛顿法和修正牛顿法等方法,分别编程实现在经典算例中求解无约束非线性优化问题,并对计算结果进行了比较和分析.【期刊名称】《长春工程学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(019)004【总页数】5页(P95-99)【关键词】非线性规划;Matlab;无约束优化;一维搜索;搜索方向【作者】王娜;朱逸夫【作者单位】长春工程学院教务处 ,长春 130012;长春工程学院计算机技术与工程学院 ,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言非线性无约束最优化技术是一门实践性很强的方法，应用者往往要在实践中不断地总结[1-4]。

对有些应用者来说，不必要浪费了大量的时间和精力，系统而深入地学习优化算法及公式，他们只希望能够快速地找到有效的解法、合适的优化软件，并能在计算机上尽快地求出问题的解[5]。

为此本文针对非线性无约束优化模型，利用几种不同的Matlab求解非线性无约束优化问题的调用格式，或根据无约束优化的算法编程进行求解，并进行解的比较和分析，提高非线性规划模型的应用效果和能力。

1 非线性无约束优化的基本理论设无约束非线性规划的模型为minf(x)，x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn，(1)求解无约束优化问题的主要思想是下降算法：每一步都要求函数值有所下降，其迭代格式为x(k+1)=x(k)+αkd(k)，即对应于点列{xk}上的函数值列{f(xk)}必须是逐渐减小的，或者至少是不增加的，因而有f(x0)≥f(x1)≥…≥f(xk)≥f(xk+1)≥…(2)我们还要求这些点列收敛于全局最优解。

阻尼高斯牛顿法阻尼高斯牛顿法，是一种用于非线性最小二乘问题的数值优化方法。

这种方法在科学、工程、经济等领域都有着广泛的应用。

首先，我们需要了解什么是最小二乘问题。

在数学中，最小二乘问题是指寻找一个函数，使得这个函数的拟合值与实际值之间的平均平方误差最小。

这个问题可以表达为一个数学公式：minimize || f(x) – y ||^2其中，f(x)是我们拟合函数，y是实际值的向量。

通过求解这个问题，可以得到最适合实际值的拟合函数。

一般来说，最小二乘问题可以通过牛顿法来解决。

牛顿法本质上是一种迭代方法，每次迭代时，我们都会用当前点的局部二次近似来更新下一个点，直到达到一个有限的精度为止。

但是，如果我们使用一般的牛顿法来解决非线性最小二乘问题，它可能会收敛得很慢，或者会陷入局部最小值。

为了解决这个问题，我们可以使用阻尼牛顿法。

阻尼牛顿法的基本思想是，在每个迭代步骤中，我们会采用正则化策略来使函数具有更好的全局收敛性。

这种策略由一个参数λ控制，当λ趋近于0时，阻尼牛顿法就变成了一般的牛顿法。

λ的值通常是在每个迭代步骤中动态调整的，以确保算法能够快速收敛。

阻尼牛顿法的另一个问题是，它可能会遇到不可接受的步长。

这意味着，在某些情况下，我们可能需要采取更加保守的步骤，以避免算法出现失败。

为了解决这个问题，阻尼牛顿法引入了一个衰减因子α，它可以使步长逐渐减小，直到我们找到一个可接受的步长或者算法停止。

在阻尼牛顿法中，我们还需要对函数的梯度进行计算。

这个计算通常使用数值方法来完成，但如果函数具有解析式，我们也可以通过解析式来计算。

综上所述，阻尼牛顿法是一种用于解决非线性最小二乘问题的有效数值优化方法。

它独特的正则化策略和衰减因子，在解决最小二乘问题时，能够收敛得更快且更加可靠。

非线性优化与约束优化问题的求解方法非线性优化问题是在目标函数和约束条件中包含非线性项的优化问题。

约束优化问题是在目标函数中加入了一些约束条件的优化问题。

解决这些问题在实际应用中具有重要意义，因此研究非线性优化和约束优化问题的求解方法具有重要的理论和实际意义。

一、非线性优化问题的求解方法非线性优化问题的求解方法有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 黄金分割法：黄金分割法是一种简单但有效的搜索方法，它通过不断缩小搜索范围来逼近最优解。

该方法适用于目标函数单峰且连续的情况。

2. 牛顿法：牛顿法利用目标函数的一阶和二阶导数信息来逼近最优解。

该方法收敛速度较快，但在计算高阶导数或者初始点选取不当时可能产生不稳定的结果。

3. 拟牛顿法：拟牛顿法是对牛顿法的改进，它通过逼近目标函数的Hessian矩阵来加快收敛速度。

拟牛顿法可以通过不同的更新策略来选择Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）方法或者DFP方法。

4. 全局优化方法：全局优化方法适用于非凸优化问题，它通过遍历搜索空间来寻找全局最优解。

全局优化方法包括遗传算法、粒子群优化等。

二、约束优化问题的求解方法约束优化问题的求解方法也有很多，下面介绍几种常见的方法：1. 等式约束问题的拉格朗日乘子法：等式约束问题可以通过引入拉格朗日乘子来转化为无约束优化问题。

通过求解无约束优化问题的驻点，求得原始约束优化问题的解。

2. 不等式约束问题的罚函数法：不等式约束问题可以通过引入罚函数来转化为无约束优化问题。

罚函数法通过将违反约束条件的点处添加罚项，将约束优化问题转化为无约束问题。

3. 逐次二次规划法：逐次二次规划法是一种常用的求解约束优化问题的方法。

该方法通过依次处理逐个约束来逼近最优解，每次处理都会得到一个更小的问题，直至满足所有约束条件。

4. 内点法：内点法是一种有效的求解约束优化问题的方法。

该方法通过向可行域内部逼近，在整个迭代过程中都保持在可行域内部，从而避免了外点法需要不断向可行域逼近的过程。

毕业论文题目非线性最优化计算方法与算法学院数学科学学院专业信息与计算科学班级计算1201学生陶红学号20120921104指导教师邢顺来二〇一六年五月二十五日摘要非线性规划问题是一般形式的非线性最优化问题。

本文针对非线性规划的最优化问题进行方法和算法分析。

传统的求解非线性规划的方法有最速下降法、牛顿法、可行方向法、函数逼近法、信赖域法，近来研究发现了更多的求解非线性规划问题的方法如遗传算法、粒子群算法。

本文对非线性规划分别从约束规划和无约束规划两个方面进行理论分析。

利用最速下降法和牛顿法两种典型算法求解无约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。

另外给出了阻尼牛顿法，探讨其算法的收敛性和稳定性，求解无约束非线性规划比牛顿法的精确度更高，收敛速度更快。

惩罚函数是经典的求解约束非线性的方法，本文采用以惩罚函数法为核心的遗传算法求解有约束条件非线性规划问题，通过MATLAB程序求解最优值，探讨其收敛性和稳定性。

并改进遗传算法，给出适应度函数，通过变换适应度函数，提高算法的收敛性和稳定性。

关键词：非线性规划；最速下降法；牛顿法；遗传算法ABSTRACTNonlinear programming problem is the general form of the nonlinear optimization problem. In this paper, we carry on the analysis of the method and algorithm aiming at the optimization problem of nonlinear programming. The traditional methods of solving nonlinear programming problems include steepest descent method, Newton method, the feasible direction method, function approximation method and trust region method. Recent studies found more method of solving nonlinear programming problems, such as genetic algorithm, particle swarm optimization (pso) algorithm. In this paper, the nonlinear programming is analyzed from two aspects: the constraint programming and the unconstrained programming.We solve unconstrained condition nonlinear programming problem by steepest descent method and Newton's method, and get the optimal value through MATLAB. Then the convergence and stability are discussed. Besides, the damped Newton method is furnished. By discussing the convergence and stability of the algorithm, the damped Newton method has higher accuracy and faster convergent speed than Newton's method in solving unconstrained nonlinear programming problems.Punishment function is a classical method for solving constrained nonlinear. This paper solves nonlinear programming problem with constraints by using genetic algorithm method, the core of which is SUMT. Get the optimal value through MATLAB, then the convergence and stability are discussed. Improve genetic algorithm, give the fitness function, and improve the convergence and stability of the algorithm through transforming the fitness function.Key words：Nonlinear Programming; Pteepest Descent Method; Newton Method; GeneticAlgorithm目录摘要 (I)ABSTRACT .......................................................................................................................... I I 1 前言 .. (4)1.1 引言 (4)1.2 非线性规划的发展背景 (5)1.3 国内外研究现状 (5)1.4 研究主要内容及研究方案 (6)1.4.1 研究的主要内容 (6)1.4.2 研究方案 (6)1.5 研究难点 (7)2 预备知识 (8)2.1 向量和矩阵范数 (8)2.1.1 常见的向量范数 (8)2.1.2 谱范数 (9)2.2符号和定义 (9)2.3 数值误差 (10)2.4 算法的稳定性 (10)2.5 收敛性 (12)3 非线性规划模型 (13)3.1 非线性规划模型 (13)3.2 无约束非线性规划 (14)3.2.1 最速下降法 (16)3.2.2 牛顿法 (18)3.2.2 阻尼牛顿法 (18)3.3 约束非线性规划 (20)3.3.1 惩罚函数法 (21)3.3.2 遗传算法 (21)3.3.3 自适应遗传算法 (22)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)附录 (29)1 前言1.1 引言我们知道最优化是一门很古老的求极值问题，最优化在求解线性规划，非线性规划，随机规划，多目标规划，非光滑规划，整数规划，几何规划等方面研究得到迅速发展。

统计学梯度下降法（SGDs）易于实现，然而它有两个主要的缺陷。

第一个缺陷是它需要手动调谐大量的参数，比如学习速率和收敛准则。

第二个缺陷是它本质上是序列方法，不利于并行计算或分布式计算。

（然而，在计算资源如RAM受限的情况下，序列方法倒是一个不错的选择。

）这里介绍一些非线性优化算法：牛顿算法，伪牛顿算法和共轭梯度法。

其中，伪牛顿算法包括DFP、BFGS和L-BFGS算法。

考虑如下的无约束最小化问题：min x f(x)（1）其中x=(x1,…,x N)T∈ℝN. 为简便起见，这里假设f是凸函数，且二阶连续可导。

记（1）的解为x∗.牛顿算法（Newton‘s Method）基本思想：在现有的极小点估计值的附近对f(x)做二阶泰勒展开，进而找到下其中g(k)=∇f(x)|x(k)是梯度矩阵，H(k)=∇2f(x)|x(k)是海森矩阵。

牛顿算法是一种具有二次收敛性的算法。

对于非二次函数，若函数的二次性态较强，或迭代点已进入极小点的领域，则其收敛速度也是很快的，这是牛顿算法的主要优点。

但牛顿算法由于迭代公式中没有步长因子，而是定步长迭代，所以对于非二次函数，有时会出现f(x(k+1))>f(x(k))的情况，这表明牛顿算法不能保证函数值稳定地下降。

由此，人们提出了阻尼牛顿算法，在原始牛顿算法的第4步中，采用一维搜索（line search）算法给d(k)加一个步长因子λ(k)，其中：λ(k)=arg minλ∈ℝf(x(k)+λd(k))（2）一维搜索算法将另作介绍。

拟牛顿算法（Quasi-Newton Methods）基本思想：不直接计算二阶偏导数，而是构造出近似海森矩阵（或海森矩阵的逆）的正定对称阵，在拟牛顿条件下优化目标函数。

下文中，用B表示对H的近似，用D表示对H−1的近似，并令s(k)=x(k+1)−x(k)，y(k)=g(k+1)−g(k).⒈拟牛顿条件（割线条件）对f(x)做二阶泰勒展开可得：y(k)≈H(k+1)×s(k)（3）或s(k)≈(H(k+1))−1×y(k)（4）⒉DFP算法核心：通过迭代的方法，对(H(k+1))−1做近似。