高数资料2

高数2知识点总结
高等数学2是大学数学的一门课程，是高等数学的延伸和拓展。

它包含了多个知识点，总结如下：
1. 无穷级数：
- 收敛和发散的概念；
- 正项级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等； - 任意级数的绝对收敛和条件收敛概念。

2. 函数的连续性和可导性：
- 函数的连续性概念及连续性定理；
- 可导函数的导数定义及性质，如导数的四则运算、链式法则、隐
函数导数等。

3. 多元函数的偏导数：
- 多元函数的偏导数定义和求导法则，如常见的偏导函数的求导法则；
- 高阶偏导数、混合偏导数及其次序可换性。

4. 多元函数的极值和最值：
- 多元函数的极值和最值的概念及存在性定理；
- 极值和最值的求解方法，如拉格朗日乘数法。

5. 重积分：
- 二重积分和三重积分的概念；
- 重积分的计算方法，如累次积分法、极坐标法、柱坐标法、球坐
标法等；
- 坐标变换的雅可比行列式及其应用。

6. 曲线与曲面积分：
- 曲线积分和曲面积分的概念；
- 曲线积分与路径无关性质的应用，如格林公式、斯托克斯公式；
- 曲面积分的计算方法，如参数化计算、高斯公式。

以上是高等数学2的主要知识点总结，通过学习这些知识点，可以进一步理解和应用高等数学的相关内容。

第七章 常微分方程一、本章学习要求与重点和难点 （一）基本要求1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念.2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为xm x P λe)(或x x P xm βαcos e)(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非齐次线性微分方程的解.6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f yn =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题.重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。

难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题.二、主要解题方法 1．一阶微分方程的解法 例1 求微分方程2d d d d xy y x y x y y +=+ 满足条件02x y==的特解.解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有21d d 11y y x y x =--两边积分，得21d d 11y y x y x =--⎰⎰求积分得 211ln 1ln 12y x C -=-+221ln 1ln(1)2y x C -=-+，112222221(1)e1e(1)C C y x y x -=-⇒-=±-记12e 0C C ±=≠，得方程的解 221(1)y C x -=-.可以验证0C =时，1y =±，它们也是原方程的解，因此，式221(1)y C x -=-中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 221(1)y C x -=- （C 为任意常数）.代入初始条件2x y== 得 3C =，所以特解为2213(1)y x -=-. 例2 求微分方程（1）y y y x '=+，（2） 22ecos x y xy x '-=的通解. （1）解一 原方程可化为 d d 1y y xy x x=+ ，令 y u x=， 则 d d 1u u u x x u +=+，即 21d d u xu u x +=- ，两边取积分2111()d d u x u u x +=-⎰⎰，积分得1ln ln ln u x C u -=-，将yu x=代入原方程，整理得原方程的通解为 e xyy C =（C 为任意常数）.解二 原方程可化为d 11d x x y y -= 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 d 10d x x y y-=，得其通解为 x C y =. 设()x C y y =为原方程的解，代入原方程，化简得1()1()lnyC y y C y C '=⇒=所以原方程的通解为1ln x y y C =，即exyy C = （C 为任意常数）.（2）解 这里2()2,()e cos x P x x Q x x =-=，代入通解的公式得22d 2d e (e cos e d )x xx x x y x x C ---⎰⎰=⋅+⎰222=e (e cos ed )x x x x x C -⋅+⎰22=e (cos d )e (sin )x x x x C x C +=+⎰（C 为任意常数）.小结 一阶微分方程的解法主要有两种：分离变量法，常数变易法.常数变易法主要适用线性的一阶微分方程，若方程能化为标准形式()()y P x y Q x '+=，也可直接利用公式()d ()d e (()e d P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰）求通解.2． 可降阶的高阶微分方程 例3 求微分方程321x y x y '''+=的通解.解 方程中不显含未知函数y ，令d ,d P y P y x'''== 代入原方程，得 32d 1d P x x P x+= 微分方程3d 11d P P x x x+=是关于未知函数()P x 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以11d d 131()e(e d )x x xxP x x C x-⎰⎰=+⎰ln ln 131=e(e d )xxx C x-+⎰1113211111(d )()C x x C C x x x x x x =⋅+=-+=-+⎰ 由此 12d 1d C y x x x=-+112211()d ln C y x C x C x x x=-+=++⎰因此，原方程的通解为 121ln y C x C x =++ （12,C C 为任意常数）.例4 求微分方程 22()(1)y y y '''=-满足初始条件112,1x x yy =='==-，的特解.解 方程不显含x ，令 d ,d P y P y P y '''==，则方程可化为 2d 2(1)d P P Py y=- 当 0P ≠时d 2d 1P y P y =-，于是 21(1)P C y =-. 根据112,1x x yy =='==-，知21y y ='=- 代入上式，得11C =-，从而得到2d d (1)y x y =--，积分得 211x C y =+-， 再由12x y==，求得 20C =，于是当0P ≠时，原方程满足所给初始条件的特解为11x y =-，当0P =时，得y C =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解11x y =-中.故原方程满足所给初始条件的特解为11x y =-，即 11y x=+.3． 二阶常系数线性齐次微分方程的求解方法 例5 求微分方程20y ay y '''-+=的通解.解 原方程对应的特征方程为21,222102a r ar r a ±-+=⇒==±（1） 当1a >，即 1a >或1a <-时，特征方程有两个不相等的实根：12r a r a =+=-，， 故原方程的通解为((12eea xa xy C C =+.（2） 当1a =，即1a =或1a =-时，特征方程有两个相等的实根12r r a ==故原方程的通解为12()e ax y C C x =+.（3） 当1a <，即 11a -<<时，特征方程有两个共轭复根1,2r a =±故原方程的通解为12e (cos sin )ax y C C =+.4．二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法 例6 求微分方程4e x y y x ''-=满足初始条件0,1x x yy =='==，的特解.解 对应齐次方程的特征方程为210r -=，特征根 1,21r =±．故对应齐次微分方程的通解为 12e e x x c y C C -=+.因为1λ=是特征方程的单根，所以设特解为01()e x P y x b x b =+代入原方程得0102244b b b x x ++=比较同类项系数得 011,1b b ==-，从而原方程的特解为 (1)e x P y x x =- 故原方程的通解为12e e (1)e x x x y C C x x -=++-，由初始条件0x =时，0y y '==，得 12120,2,C C C C +=⎧⎨-=⎩从而121,1C C ==-，.因此满足初始条件的特解为e e (1)e x x x y x x -=-+-.例7 求微分方程248e sin2x y y y x '''-+=的通解.解 对应的齐次微分方程的特征方程 2480r r -+=，特征根 1,222i r =±.于是所对应的齐次微分方程通解为212e (cos2sin 2)x c y C x C x =+为了求原方程248e sin2x y y y x '''-+=的一个特解, 先求(22i)48e ()x y y y +'''-+=*的特解.由于22i λ=+是特征方程的单根，且()1m P x =是零次多项式。

高等数学第二册第七章空间解析几何与向量代数在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，并以坐标和向量为基础，用代数的方法讨论空间的平面和直线，在此基础上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。

通过这一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力。

也为学习多元微积分做准备。

重点：曲面方程，曲线方程难点：较深刻地理解曲面（平面）、曲线（直线）方程，并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）1．空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点O，连同三个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。

当1e，2e，3e 的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐标系。

在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。

关于一般的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析几何》这类专业教材。

2．空间向量可以从两个途径来认识：①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向（可由方向角来确定）连同大小（模长）来确定（注意，这样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和终点无关）。

书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方便，常在字母上面加一个箭头表示，例：AB ，a 等。

②可由向量的坐标来把握向量。

必须分清向量坐标与点坐标这两个概念，一般情况下，设{}z y x a ,,= 的始点的坐标分别为()321,,x x x ，()321,,y y y ，则{}121212,,z z y y x x a ---= ，即向量的坐标与向量的起点及终点的坐标间有下列关系：12x x x -=，12y y y -=，12z z z -=。

因此，若确定了向量的坐标，则这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向量的终点的坐标在数值上相等。

3．在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比较容易掌握。

如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

考研高数二全部知识点总结一、多元函数微分学1. 多元函数的概念多元函数是指自变量有两个以上的函数。

在多元函数微分学中，需要掌握多元函数的定义、取值范围、图像等知识。

2. 偏导数偏导数是多元函数微分学的基础，偏导数的概念、性质、计算方法是高数二中的重点内容。

在复习过程中，需要重点掌握偏导数的计算方法，包括利用定义求偏导数、隐函数求导、高阶偏导数等内容。

3. 方向导数和梯度方向导数是用来表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，梯度是方向导数的一种特殊情况，是多元函数在某一点的变化率最大的方向。

复习时需要掌握方向导数和梯度的定义、性质、计算方法等知识点。

4. 隐函数与参数方程在高数二中，隐函数与参数方程是重要的内容，需要掌握隐函数的存在性与偏导数求法、参数方程的导数、相关方程的结论等知识点。

5. 全微分全微分是多元函数微分学中的重要概念，包括全微分的定义、性质、计算方法等内容，需要在复习过程中重点掌握。

6. 泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要内容，需要掌握泰勒公式的一阶、二阶、多元泰勒公式等内容。

二、多元函数积分学1. 重积分重积分是多元函数积分学的重要内容，包括重积分的定义、性质、计算方法等内容。

复习时需要重点掌握二重积分、三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分等内容。

2. 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高数二中的难点内容，需要复习时掌握曲线积分和曲面积分的定义、性质、计算方法等知识。

3. 格林公式格林公式是多元函数积分学中的重要内容，复习时需要掌握格林公式的定义、性质、应用等知识点。

4. 散度和旋度在多元函数积分学中，散度和旋度是重要的内容，需要掌握散度和旋度的定义、性质、计算方法等知识。

5. 曲线积分公式和斯托克斯定理曲线积分公式和斯托克斯定理是多元函数积分学中的重要内容，需要复习时掌握曲线积分公式和斯托克斯定理的定义、性质、应用等知识点。

总结：多元函数微分学和多元函数积分学是高数二的重要内容，在复习高数二的过程中，需要掌握多元函数微分学和多元函数积分学的全部知识点，包括偏导数、方向导数、梯度、全微分、泰勒公式、重积分、曲线、曲面积分、格林公式、散度和旋度、曲线积分公式和斯托克斯定理等内容。

高数二复习资料高数二复习资料高等数学是大学数学的重要组成部分，也是让许多学生头疼的科目之一。

高数二作为高数的进阶课程，内容更加深入和复杂。

为了帮助同学们更好地复习高数二，我整理了一些复习资料，希望能对大家有所帮助。

一、函数与极限函数与极限是高数二的基础，也是后续章节的重要基石。

在这一部分的复习中，我们需要掌握函数的性质和常见函数的图像特征。

同时，对于极限的计算和性质也需要有清晰的认识。

可以通过大量的练习题来巩固这些知识点。

二、导数与微分导数与微分是高数二中的重要内容，也是数学在自然科学和工程技术中的应用基础。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握导数的定义和性质，包括导数的四则运算、复合函数的导数、隐函数的导数等。

同时，对于微分的计算和应用也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。

三、定积分与反常积分定积分与反常积分是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、经济学等领域中的重要工具。

在这一部分的复习中，我们需要掌握定积分的性质和计算方法，包括换元积分法、分部积分法等。

同时，对于反常积分的计算和性质也需要有一定的了解。

通过大量的练习题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。

四、级数与幂级数级数与幂级数是高数二中的重要内容，也是数学分析的基础。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握级数的性质和判敛方法，包括比较判别法、积分判别法、根值判别法等。

同时，对于幂级数的性质和收敛半径的计算也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地理解和掌握这一部分知识。

五、微分方程微分方程是高数二中的重要内容，也是数学在物理学、生物学等领域中的重要工具。

在这一部分的复习中，我们需要熟练掌握一阶和二阶微分方程的解法，包括可分离变量法、齐次方程法、常系数线性齐次方程法等。

同时，对于常微分方程的应用也需要有一定的了解。

通过大量的例题和实际问题的应用，可以更好地掌握这一部分知识。

高等数学（二）归纳（归纳不完全，仅供期末复习参考）第一部分：空间解析几何与向量代数||21.6.sin ,.5cos .4,,Pr Pr cos ..3,cos Pr .2}co ,cos ,{cos cos cos ,cos },,{cos ,cos ,cos .1222222222222222AC AB ABC b a c b b b a a a kj ib ac b b b a a a b a b a b a b a b a b a b j a a j b b a b a u AB AB j z y x z z y x y z y x xz y x AB zyxz y xzy x z y x zz y y x x z z y y x x a b u ⨯=⋅==⨯=++⋅++++=++===⋅=⋅=++=++=++==面积三角形两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。

与是向量在轴上的投影：为与则：式：设称为方向余弦。

计算公称为方向角；，，的夹角弦：向量与三个坐标轴向量的方向角与方向余θθθϕϕγβαγβαγβαγβα⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+===-=-=-+++++==++=+++==-+-+-ptz z nty y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A DCz By Ax d c zb y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 00000022200000000002;},,{,)1(.9.81)3(0)2(),,(},,,{0)()()()1(.7）参数方程：（为直线的方向向量其中点向式：空间直线方程：面的距离：平面外任意一点到该平截距式方程：一般方程：，其中点法式：平面的方程：9.二次曲面（常见的）（1）旋转曲面 例如：旋转抛物面22y x z +=（2）锥面 例如 圆锥面222y x z +=（3）球面 例如2222a z y x=++zyzx yx yxFF y zF F x z y x z z z y x F FF dx dy x y y y x F dy yv dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u xvv z x u u z x z y x v y x u f z tvv z t u u z dt dz t v t u f z yy x f x y x f dz z dzz udy y u dx x u du dy y z dx x z dz -=∂∂-=∂∂==-===∂∂+∂∂=∂∂+∂∂===∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=， ，　则：所确定的函数）方程（， ， 则：所确定的函数）方程（隐函数的求导公式： 时，，当 ：多元复合函数的求导法近似计算： 全微分：分法及其应用第二部分：多元函数微),(0),,(2)(0),(1.4),(),()],(),,([)](),([.3),(),(.2.1性方程组的法则求）　不必记忆公式，用解线数的偏导求法 所确定的两个二元函）方程组：（(0),,,(0),,,(3⎩⎨⎧==v u y x G v u y x F 5.多元函数可微，偏导存在，连续，方向导数存在，偏导连续之间的关系。

第一章 函数、极限和连续第一节 函 数一、函数的概念1. 函数的定义 〔了解〕设在某个变化过程中有两个变量x 和y ，变量y 随变量x 的变化而变化。

当变量x 在一个非空实数集合D 上取某一个数值时，变量y 依照某一对应规则f 总有唯一确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为D)(x )(∈=x f y ，其中x 叫做自变量，y 叫做因变量或函数。

数集D 称为这个函数的定义域，记为D 或)(f D 。

当x 取定值x 0时所对应的y 的数值)(00x yf =或|0x x y =，称为当x x =0时，函数)(x f y =的函数值。

全体函数值的集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数)(x f y =的值域，记为Z 或)(f Z 。

2.分段函数 〔了解〕函数不能用一个统一的公式表示出来，必须要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数。

形如：⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=D D x x g x x f y 21 )( )(例如：⎩⎨⎧>≤+=1, 1, 1x 32x x x y 就是定义在()∞+∞- , 内的分段函数。

3.隐函数 〔了解〕函数y 与自变量x 的对应规则用一个方程0),(=y x F 表示的函数，称为隐函数。

例如0422=-+y x 就是一个隐函数。

4.反函数 〔了解〕二、函数的简单性质1.函数的单调性 〔了解〕设函数)(x f y =在区间()b , a 内有定义，如果对于()b , a 内的任意两点21x x <，假设恒有)()(21x f x f ≤,则称)(x f 在区间()b , a 内单调增加； 假设恒有)()(21x f x f ≥,则称)(x f 在区间()b , a 内单调减少；假设恒有)()(21x f x f <,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调增加；假设恒有)()(21x f x f >,则称)(x f 在区间()b , a 内严格单调减少。

高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。

本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。

1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。

偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。

1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。

全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。

1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。

大学高等数学第二册复习资料第一章一元函数微分学1. 函数的极限1.1 无穷大与无穷小在微积分中，我们常常需要研究函数在某一点附近的变化情况。

为此，引入了极限的概念。

在这一小节中，我们将学习无穷大与无穷小的定义以及它们之间的关系。

1.2 极限的定义极限的定义是微积分的基础，我们通过一些具体的例子来介绍极限的概念和求解方法。

1.3 一些重要的极限在微积分的应用中，有一些特殊的极限需要我们掌握。

这些极限在求解一些复杂问题时经常会出现，并且在证明一些定理时也起到关键作用。

2. 导数与微分2.1 导数的概念导数是一元函数微分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

2.2 导数的计算我们将介绍一些计算导数的方法，例如使用定义计算导数、使用基本导数公式以及利用导数的运算法则等。

2.3 高阶导数和隐函数求导在实际问题中，我们常常需要求解高阶导数或者对隐函数进行求导。

这些都是导数计算的一些扩展应用。

3. 微分学的基本定理与应用3.1 微分学的基本定理微分学的基本定理是微积分中的一些重要定理，它们建立了微积分的基础和框架。

3.2 微分学的应用微积分的应用非常广泛，例如在物理学、工程学、经济学等领域，都会用到微积分的相关概念和方法。

第二章一元函数积分学1. 不定积分与积分的定义1.1 不定积分的概念不定积分是微积分的重要内容，它是导数运算的逆运算。

1.2 积分的定义与性质我们将介绍积分的几何意义、定义和一些基本性质，例如积分的线性性、积分中值定理等。

2. 定积分2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要工具，在实际问题中有着广泛的应用。

2.2 定积分的计算我们将介绍一些定积分的计算方法，例如分部积分法、换元积分法、定积分的性质等。

2.3 定积分的应用定积分在几何学、物理学等领域有着广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积等。

3. 微积分基本定理与应用3.1 微积分基本定理微积分基本定理是微积分中的重要定理，它将微积分的导数和积分联系起来。