解：(1)由 3a＝2csin A 及正弦定理得，
ac＝2sin3A＝ ssiinnAC.
因为
sin
A≠0，所以
sin
C＝
3 2.
因为△ABC 是锐角三角形，所以 C＝π3.
(2)法一：因为 c＝ 7，C＝π3， 由面积公式得 12absinπ3＝323，即 ab＝6.(i) 由余弦定理得， a2＋b2－2abcosπ3＝7， 即 a2＋b2－ab＝7.(ii) 由(ii)变形得(a＋b)2＝3ab＋7.(iii) 将(i)代入(iii)，得(a＋b)2＝25， 故 a＋b＝5.
3
2 .
由正弦定理知
sin
C＝ABBC·sin
A＝
43×2
3
2＝
6 6.
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
1．在△ABC 中，AB＝8，BC＝10，AC＝13，则△ABC 的形状
是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．非钝角三角形
解析：选 C.由余弦定理得 cos B＝822＋×180×2－11032＝－312<0，所以
角 B 为钝角，故三角形为钝角三角形．
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，a＝8，b＝8 3，则三角形的
4．如图，在△ABC 中，D 是边 AC 上的点，且 AB＝AD，2AB ＝ 3BD，BC＝2BD，求 sin C 的值．
解：设
AB＝a，所以
AD＝a，BD＝
2a ， 3
BC＝2BD＝4a3，cos A＝AB22＋ABA·D2A－DBD2＝2a22－a243a2＝13，
所以 sin A＝
1－cos2A＝2
(2)由余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2. 因为 cos A＝12，所以b2＋2cb2c－a2＝12， 化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc， 将 a＝ 3，b＋c＝3 代入上式，得 bc＝2. 则由bbc＋＝c＝ 2，3，解得bc＝＝21，或bc＝＝12.，
【解】 (1)因为 A＝2B，所以 sin A＝sin 2B＝
2sin Bcos B．
由正、余弦定理得 a＝2b·a2＋2ca2c－b2. 因为 b＝3，c＝1，所以 a2＝12，a＝2 3.
(2)由余弦定理得 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝9＋16－12＝－13.
由于 0<A<π，所以 sin A＝ 1－cos2A＝
cos 2A＝cos2A－sin2A＝19－89＝－79.
所以 cos2A－π6＝cos 2Acos
π6＋sin 2Asin
π 6
＝－79× 23＋－492×12
＝－7183－4182＝－7
3＋4 18
2 .
对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦 定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为 角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒 等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论．
第二章 解三角形
1．3 正弦定理和余弦定理习题课
利用正、余弦定理解三角形 在△ABC 中，若 c·cos B＝b·cos C，且 cos A＝23，求 sin B 的值． 【解】 由 c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理得，sin Ccos B＝ sin Bcos C， 故 sin(B－C)＝0，易知 B＝C，故 b＝c.
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
①a 和 c 的值；
②cos(B－C)的值．
解：(1)选 B.因为A→B·A→C<0，所以∠BAC 为钝角，又 S△ABC＝12 |a||b|sin∠BAC＝145. 所以 sin∠BAC＝12，所以∠BAC＝150°，
(2)①由B→A·B→C＝2 得 c·acos B＝2. 又 cos B＝13，所以 ac＝6. 由余弦定理，得 a2＋c2＝b2＋2accos B． 又 b＝3，所以 a2＋c2＝9＋2×6×13＝13. 解aac2＋＝c62，＝13，得ac＝＝32，或ac＝＝23.， 因为 a>c，所以 a＝3，c＝2.
3．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已 知 8b＝5c，C＝2B，则 cos C＝________． 解析：由 C＝2B 得 sin C＝sin 2B＝2sin Bcos B， 由正弦定理及 8b＝5c 得 cos B＝2ssiinnCB＝2cb＝45， 所以 cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝2×452－1＝275. 答案：275
因为 cos A＝23，所以由余弦定理得 3a2＝2b2，再由余弦定理得
cos B＝ 66，
故 sin B＝
30 6.
正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不 同，灵活选择．
1.在锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 所对应的边，且 3a＝2csin A. (1)确定角 C 的大小； (2)若 c＝ 7，且△ABC 的面积为323，求 a＋b 的值．
2.在△ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin2B＋2 C－cos 2A＝72. (1)求 A 的度数； (2)若 a＝ 3，b＋c＝3，求 b 和 c 的值．
解：(1)由 4sin2B＋2 C－cos 2A＝72及 A＋B＋C＝180°， 得 2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝72， 4(1＋cos A)－4cos2A＝5， 即 4cos2A－4cos A＋1＝0， 所以(2cos A－1)2＝0，解得 cos A＝12. 因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
面积为( )
A．32 3
B．16
C．32 3或 16
D．32 3或 16 3
解析：选 D.根据sinb B＝sina A，解得 sin B＝ 23，则 B＝60°或 120°.当 B＝60°时，C＝90°，所以 S△ABC＝12absin C＝32 3； 当 B＝120°时，C＝30°，所以 S△ABC＝12absin C＝16 3.
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，cos B＝35，a＝7 且A→B·B→C＝－21，求角 C. 【解】 因为A→B·B→C＝－21. 所以B→A·B→C＝21. 所以B→A·B→C＝|B→A|·|B→C|·cos B＝accos B＝21.
所以 ac＝35，又因为 a＝7，所以 c＝5，
法二：前同法一，联立(i)、(ii) 得aa2b＋＝b62－ab＝7，⇒aa2b＋＝b62，＝13， 消去 b 并整理得 a4－13a2＋36＝0，
解得 a2＝4 或 a2＝9. 所以ab＝＝23或ab＝ ＝32. 故 a＋b＝5.
正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设△ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c， 且 b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求 a 的值； (2)求 sinA＋π4的值．
2019/8/6
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谢谢欣赏！
2019/8/6
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②在△ABC 中，
sin B＝ 1－cos2 B＝ 1－132＝232，
由正弦定理，得
sin
C＝bcsin
B＝23×2
3
2＝4
2 9.
因为 a＝b>c，所以 C 为锐角，
因此 cos C＝ 1－sin2 C＝
1－4
9
22＝79.
于是 cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C
1－19＝2 3
2 .
故
sinA＋π4＝sin
Acos
π4＋cos
Asin
π4＝2 3 2×
22＋－13×
2 2
＝4－6
2 .
本例所有条件不变，试求 cos2A－π6的值． 解：由例题(2)知 sin 2A＝2sin Acos A＝2×232×－13＝－492，
又 0<a<1，于是有14≤b2<1，即有12≤b<1.
(4 分) (6 分)
(10 分) (12 分)
(1) 据三角形内角和定理把已知条件转化为角 B 的一个三角
函数是求 B 的关键． 结合(1)的结果，应用余弦定理把 b2 表示成 a 的函数，根据 a
