山东省济南一中2019届高三二轮复习4月份质量检测数学(理)试题

高考数学精品复习资料2019.5山东省济南市高三上学期期末质量调研考试数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共4页,考试时间120分钟,满分150分,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．若ibi a 4325+=+(a 、b 都是实数,i 为虚数单位）,则a +b = A ．1B ． -1C ．7D ．-72．已知集合}1|{2+==x y y M ,}1|{22=+=y x y N ,则=N M A ．)}1,0{(B ．}2,1{-C ．}1{D ．),1[+∞-3．设,2.0e P =2.0ln =Q ,715sin π=R ,则 A ．Q R P << B ．P Q R <<C ．Q P R <<D ．P R Q <<4．等比数列}{n a 的前n 项和为S n ,若63=a ,xdx s 433⎰=,则公比q 的值为A ．1B ．21-C ．l 或21-D ．-1或21-5．将函数x x y cos sin +=的图象向左平移)0(>m m 个长度单位后,所得到的函数为偶函数,则m 的最小值是A ．4πB .6π C ．43π D ．65π 6．“m =3”是“直线057)3()1(21=-+-++m y m x m l ：与直线052)3(2=-+-y x m l ：垂直”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设变量x ,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≤-1210y x y x y x ,则目标函数y x z 5+=的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．58．函数)(22R ∈-=x x y x的图象大致为9．已知m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ；②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥；③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．①③10．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点,N 为AM 的中点,若μ+λ=,则λ+μ的值为 A ．21B ．31 C .41 D ．111．已知抛物线)0(22>=p px y 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ,点A 是两曲线的一个交点,且x AF ⊥轴,则双曲线的离心率为A ．2B ．31+C .22+D ．21+12．设)(x f 是定义在R 上的可导函数,当x ≠0时,0)()(>+xx f x f ＇,则关于x 的函数)(x g xx f 1)(+=的零点个数为 A ．lB ．2C ．0D ．0或 2第Ⅱ卷（非选择题,共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上． 2．答卷将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题（本题共4小题,共16分）13．执行如图所示的程序框图,则输出的结果S 是________．14．一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15．已知定点)1,2(-Q ,F 为抛物线x y 42=的焦点,动点P 为抛物线上任意一点,当||||PF PQ +取最小值时P 的坐标为________．16．已知0>m ,0>n ,若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切,则n m +的取值范围是________．三、解答题（本题共6小题,共74分） 17．（本小题满分12分）已知)cos sin ,sin 2(x x x -=,)cos sin ,cos 3(x x x +=,函数.)(x f ⋅= (1)求函数)(x f 的解析式；(2)在ABC ∆中,角C B A 、、的对边为c b a ,,,若2)2(=Af ,1=b ,ABC ∆的面积为23,求a 的值．18．（本小题满分12分）已知函数xx mx f 24)(+=是奇函数． (1)求m 的值：(2)设a x g x -=+12)(．若函数)(x f 与)(x g 的图象至少有一个公共点．求实数a 的取值范围．19.（本小题满分l2分）已知}{n a 为等比数列,其中a 1=1,且a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式：(2)设n n a n b ⋅-=)12(,求数列{n b }的前n 项和T n ．20．（本小题满分12分）在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中,AD ＝１,AA 1＝AB ＝２．点E 是线段AB 上的动点,点M 为D 1C 的中点．(1)当E 点是AB 中点时,求证：直线ME ‖平面ADD 1 A 1；(2)若二面角A - D 1Ｅ-Ｃ的余弦值为1554．求线段AE 的长．21．（本小题满分12分） 已知函数1ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，． (1)求f(x)的单调区间；(2)若x x a x g ln )2()(--=,)()(x g x f ≥在区间),[+∞e 恒成立,求a 的取值范围．22．（本小题满分14分）已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：经过点)12(，M ,离心率为22．(1)求椭圆C 的方程：(2)过点Q (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,点P (4,3),记直线P A ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2最大时,求直线l 的方程．1月高三教学质量调研考试数学（理科）试题答案（阅卷）一、选择题（共60分）BCDCA ADABA DC 二、填空题（共16分） 13. 100714.12 15．1(,1)4-16．2m n +≥+三、解答题（共74分） 17. （本小题满分12分）解：(1)∵()f x m n =⋅=(2sin ,sin cos ),sin cos )x x x x x x -⋅+=22cos sin cos x x x x +- ------------------------------------3分2sin(2)6x π=-故函数()f x 的解析式为()2sin(2)6f x x π=-------------------------------------6分(2)∵()2sin()226A f A π=-= 即sin()16A π-= 所以 23A π= -------------------8分又1sin 2bc A =2c = ------------------------------------10分所以2222cos 1427a b c bc A =+-=++=,得a =分18. （本小题满分12分）解：（1）由函数()f x 是奇函数可知：(0)1+0f m ==， ------------------------------2分解得1m =-. ------------------------------------4分 （2）函数()f x 与()g x 的图象至少有一个公共点即方程412x x-12x a +=-至少有一个实根 - -----------------------------------6分 即方程4210xxa -⋅+=至少有一个实根 ------------------------------------8分 令20xt =>，则方程210t at -+=至少有一个正根 方法一：由于12a t t=+≥∴a 的取值范围为[2,)+∞. ------------------------------------12分方法二：令2()1h t t at =-+，由于(0)10h =>，所以只须002a ∆≥⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2a ≥.∴a 的取值范围为[2,)+∞.19. （本小题满分12分）解：(1)设在等比数列{}n a 中，公比为q , 因为2354,,a a a a +成等差数列.所以 352()a a +24a a =+ ------------------------------2分2432()q q q q +=+解得 12q =------------------------------4分 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------6分(Ⅱ)11(21)2n n b n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.n n b b b b T ++++= 321211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2311111135(21)22222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ------------------------------8分①—②,得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2nn ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +-------------------------------10分 所以12362n n n T -+=- ------------------------------12分20. （本小题满分12分）（1）证明：取1DD 的中点N ，连结MN 、AN 、ME ， ------------------------------1分 MN ∥CD 21，AE ∥CD 21， ------------------------------3分 ∴ 四边形MNAE 为平行四边形，可知 ME ∥AN ------------------------------4分11AN ADD A ⊂平面11ME ADD A ⊄平面∴ME ∥平面1AD . ------------------------------6分（2）解：设 AE m =，如图建立空间直角坐标系---------------------------7分1(1,0,0),(1,,0),(0,2,0),(0,0,2)A E m C D ，11(1,0,2),(0,,0),(0,2,2),(1,2,0),AD AE m DC EC m =-==-=--平面1A D E 的法向量为1111(,,)n x y z =，由1n ⋅ 10AD =及1n ⋅0AE =得1(2,0,1)n = ------------------------------9分平面1D EC 的法向量为2(,,)n x y z =，由2n ⋅ 10DC =及2n ⋅0EC =得2(2,1,1)n m =- ------------------------------11分1212cos 5n n n n θ===，即2201161290m m -+=，解得343(210m m ==或舍）所以32AE = ------------------------------12分21．（本小题满分12分）解：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞. ------------------------------1分2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+== ------------------------------3分（i ）若11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=故()f x 在(0,)+∞单调增加. ------------------------------4分(ii)若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-或(1,)x ∈+∞时，'()0f x >；故()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调增加.-----------------------------5分(iii)若11a ->,即2a >,同理可得()f x 在(1,1)a -单调减少，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增. ------------------------------6分 （2） 由题意得21()()ln 202f xg x x a x x -=+-≥恒成立. 设21F()()()ln 22x f x g x x a x x =-=+-， ------------------------------8分则'F ()220ax x x=+-≥> 所以F()x 在区间+∞[e,）上是增函数， - -----------------------------10分 只需21F(e)202e a e =+-≥即2122a e e ≥- ------------------------------12分 22．（本小题满分14分）解:(1) 由已知可得2222212c a b a a -==，所以222a b = ① -----------------------------1分又点)M 在椭圆C 上，所以22211a b+= ② -----------------------------2分 由①②解之，得224,2a b ==.故椭圆C 的方程为12422=+y x . -----------------------------4分 (2)【解法一】①当直线l 的斜率为0时,则12k k ⋅=33342424⨯=-+; ----------------5分 ②当直线l 的斜率不为0时,设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线l 的方程为1x my =+, 将1x m y =+代入22142x y +=,整理得22(2)230m y m y ++-=.------------------------7分 则12222m y y m -+=+,12232y y m -=+ -----------------------------9分 又111x m y =+,221x m y =+, 所以,112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y m y m y --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++22222239322=239322m m m m m m m m ---⨯+++---+++2232546m m m ++=+23414812m m +=++ -----------------------------11分 令41t m =+,则122324225tk k t t ⋅=+-+ 当0t =时即14m =-时，1234k k ⋅=；当0t ≠时，122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++- 1273124k k ≤⋅< 或12314k k <⋅≤ 当且仅当5=t ,即1=m 时, 12k k ⋅取得最大值. -----------------------------13分 由①②得,分52=416-; ②当直线l (1)y k x =-,将(y k x =40-=.则12x x +=又1(y k x =所以,11k k ⋅2121222325,46k k k +++ 令22325(),46k k h k k ++=+由()0h k '=得1k =或23k =-所以当且仅当1k =时12k k ⋅最大，所以直线l 的方程为10x y --=.。

山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题（理工类）2013.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题涂黑。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知U ＝{1,2,3, 4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则C U (A ∪B)等于 A ．{6,8} B ．{5,7} C ．{4,6,7} D ．{1,3,5,6,8}2．已知i 为虚数单位，复数z=ii--221，则复数z 的虚部是 A ．i 53-B ．53-C ．i 54D ．543．函数y=3x 与y=2)21(-x 图形的交点为（a ，b ），则a 所在区间是A ．（0，1）B ．（1，2 ）C ．（2，3 ）D ．（3，4）4. 已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0， b>0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为 A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1 5. 阅读右边的程序框图，若输出S 的值为－14， 则判断框内可填写A ．i<6?B ．i<8?C ．i<5? D.i<7? 6. 函数A ．在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减B ．在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 C ．在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 D ．在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减 7. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是A ． 13B ．23C. 1D. 28. 已知点O 是边长为1的等边ABC △的中心，则()()OC OA OB OA +⋅+等于A ．19B ．19- C ．63-D ．16-9． 从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有 A ．96种B ．144种C ．240种D ．300种10．在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是 A ．95 B ．91 C ．88 D ．7511. 已知抛物线23y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于A ．3 B.4 C.12. 设函数f(x)=x-1x,对任意0)()(),,1[<++∞∈x mf mx f x 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．(-1 , 1) B. 0,≠∈m R m C. ∞（-，-1） D. ∞（-，-1）或（),1+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是 ________________.14. 已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||.a b a b ααββ==-=则cos()αβ-的值为.15. 在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为 。

济钢高中高三下学期4月考（一）答案1．解析：选B.∵集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z}＝{－1,0}，∴A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.2．解析：选D.由a －103－i ＝a －10(3＋i )(3－i )(3＋i )＝a －(3＋i)＝a －3－i 为纯虚数得a－3＝0，即a ＝3.3．解析：选C.作出约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x －2y ＋4≥0x －2≤0对应的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移知，当直线经过点A 时，z 取得最大值，当直线经过点B 时，z 取得最小值，由⎩⎨⎧ x ＝2x －2y ＋4＝0，得⎩⎨⎧x ＝2y ＝3，即A (2,3)，故z max ＝9.由⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧x ＝0y ＝2，即B (0,2)，故z min ＝2，故z 的最大值与最小值之差为7，选C.4．解析： 解析：选D.①y ＝x sin x 是偶函数；②y ＝x cos x 是奇函数；③当x ＝π时，y ＝πcos π＝－π＜0，∴y ＝x |cos x |是奇函数，且当x ＞0时，y ≥0；④y ＝x ·2x 是非奇非偶函数，故图象对应的函数序号为①④②③.5．解析：选C.通解：因为a ⊥(a －b )，所以a ·(a －b )＝0，即a·a －a·b ＝|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝0，所以cos 〈a ，b 〉＝2aa b＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角为π6，选C.优解：因为a ⊥(a －b )，所以利用三角形法则不难得出，向量a ，b ，a －b 构成直角三角形，且a ，b 的夹角必定为锐角，从而可知选C.6．解析：选D.该几何体是由一个圆锥和一个球组成的，球的半径和圆锥的底面半径都是1，圆锥的高为3，所以该几何体的体积V ＝13π×12×3＋43π×13＝4＋33π，故选D.7．解析：选C.8．解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．9．解析：选D.由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9.10.解析：选D.构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3，正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得：面积为S ＝2π⎰sin x d x ＝－2cos xπ＝4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝34π，故选D .11．解析：选D .∵直线y ＝33(x ＋c)过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P.∴|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，选D .12.13．解析：在多项式(1＋2x)6(1＋y)5的展开式中，通项为C r6(2x)r·C m5y m，其中r ＝0,1，…，6，m＝0,1，…，5.所以xy3项的系数为C16·2·C35＝120.答案：12014．解析：由正弦定理bsin B＝csin C⇒sin B＝b sin Cc＝12，又c＞b，且B∈(0，π)，所以B＝π6，所以A＝7π12，所以S＝12bc sin A＝12×2×22sin7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.答案：3＋115．解析：因为BC＝1，CD＝3，BC⊥CD，所以BD＝2，又AB＝AD＝2，所以AB⊥AD，所以三棱锥A-BCD的外接球的球心为BD的中点，半径为1，所以三棱锥A-BCD的外接球的体积为4π3.答案：4π316．①，③解析：选C.如图，与点D的距离为3的点P形成一个以D1为圆心，半径为2的圆弧MN ，其长度为14×2π×2＝2π2，所以①正确；因为平面A 1DC 1∥平面ACB 1，所以点P 必须在面对角线A 1C 1上运动，当点P 在A 1(或C 1)时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DA 1O(或∠DC 1O)，tan ∠DA 1O ＝63，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最小，当点P 在O 1时，DP 与平面ACC 1A 1所成的角为∠DO 1O ，tan ∠DO 1O ＝2，此时DP 与平面ACC 1A 1所成的角最大，所以DP 与平面ACC 1A 1所成角的正切值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤63，2，所以②错误；设P(x ，y,1)，则x 2＋y 2＝2，所以DP DP在6个面上的正投影长度之和为22⎡≤=⎢⎢⎣⎦.所以③正确．17．解：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2….. (2分)又q ＞1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. …………………………………………… (6分)(2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，……………………………………………..(7分) T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ①， 2T n＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n＋1②…………………………………...(9分)① －②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n＋1，…………………………………(11分)－T n ＝()22121n --－n ×2n＋1，T n ＝(n －1)×2n＋1＋2………………………………….(12分)18．解：(1)设AC ∩BD ＝O ，取EF 中点N ，连接NO ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵四边形BDEF 是矩形，∴ON ⊥BD ，……………………….(1分)∵平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ∩平面ABCD ＝BD ，ON ⊂平面BDEF ， ∴ON⊥平面ABCD ，…………………………………………………………………..(2分)以O 为原点，以OC ，OB ，ON 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD ＝60°，……………………………………(3分)∴OB ＝OD ＝1，OA ＝OC ＝3，∵四边形BDEF 是矩形，DE ＝2，∴A (－3，0,0)，B (0,1,0)，C (3，0,0)，E (0，－1,2)，D (0，－1,0)，设BM ＝h ，则M (0,1，h )，…..(4分)∴DM→＝(0,2，h )，AE →＝(3，－1,2)． ∵DM ⊥平面ACE ，∴DM →⊥AE →，………………………………………(5分)∴－2＋2h＝，解得h＝1，∴BM＝1………………………………………………..(6分)(2)AD →＝(3，－1,0)，DM →＝(0,2,1)，设平面ADM 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AD →＝0m ·DM →＝0，………………………………………………………………………(7分)∴⎩⎨⎧3x －y ＝02y ＋z ＝0，令x ＝3，得m ＝(3，3，－6)，………………………..(8分) 又AC ⊥平面BDM ，∴n ＝(1,0,0)是平面BDM 的一个法向量，…………(9分) ∴cos 〈m ，n 〉＝m·n|m ||n |＝343×1＝14，…………………………………(11分)∴二面角A -DM -B 的余弦值为14…………………………………………..(12分)20．解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为2222143x y c c+=.由2222143142x y c c x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0……………………………………(2分) ∵直线x 4＋y2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ， ∴Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1，∴椭圆E 的方程为22143x y +=…………………………………………………..(4分)(2)由(1)得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∵直线x 4＋y 2＝1与y 轴交于P (0,2)，∴|PM |2＝54， 当直线l 与x 轴垂直时，|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1，……………... (6分)∴λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝45，当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0，依题意得，x 1x 2＝2434k +，且Δ＝48(4k 2－1)＞0，………………………….(8分) ∴|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)2434k +＝1＋2134k +＝54λ，∴λ＝4521134k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，……(10分) ∵k 2＞14，∴4k 2＞1，∴3＋4k 2＞4，∴0＜2134k +＜14，∴1＜1＋2134k +＜54， ∴45＜4521134k ⎛⎫+⎪+⎝⎭＜1，即45＜λ＜1. 综上所述，λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，1…………………………………………(12分)21．解：(1)f ′(x )＝2e x ＋(2x －4)e x ＋2a (x ＋2)＝(2x －2)e x ＋2a (x ＋2)，依题意，当x ＞0时，函数f ′(x )≥0恒成立，即a ≥()12xx e x --+ 恒成立，记g (x )＝()12xx e x --+则g ′(x )＝()()()()()22212122xx xx x e xe x x e x x +++---=-++＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝12，所以a ≥12…………………………………………..(6分)(2)因为[f ′(x )]′＝2x e x ＋2a ＞0，所以y ＝f ′(x )是(0，＋∞)上的增函数，又f ′(0)＝4a －2＜0，f ′(1)＝6a ＞0，所以存在t ∈(0,1)使得f ′(t )＝0，………..(8分)又当x ∈(0，t )时，f ′(x )＜0，当x ∈(t ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以当x ＝t 时， f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t＋a (t ＋2)2.且有f ′(t )＝0⇒a ＝()12tt e t --+，则f (x )min ＝f (t )＝(2t －4)e t －(t －1)(t ＋2)e t ＝e t (－t 2＋t －2)，t∈(0,1)．……………..(10分)记h (t )＝e t (－t 2＋t －2)，则h ′(t )＝e t (－t 2＋t －2)＋e t (－2t ＋1)＝e t (－t 2－t －1)＜0，所以h (1)＜h (t )＜h (0)，即f (x )的最小值的取值范围是(－2e ，－2)．……………(12分)22．解：(1)∵曲线C 2的极坐标方程为ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ＋22sin θ＝22t ，∴曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －t ＝0………………………………………………..(4分)(2)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1(0≤x ≤2,0≤y ≤1)，为半圆弧，….(5分)如图所示，曲线C 2为平行于直线x ＋y ＝0的直线，或为直线x ＋y ＝0，当直线C 2与曲线C 1相切时，由|1＋1－t |2＝1，解得t ＝2－2或t ＝2＋2(舍去)，………………….(7分) 当直线C 2过A ，B 两点时，t ＝1，…………………..(9分)由图可知，当曲线C 2与直线C 1有两个公共点时，实数t 的取值范围是(2－2，1]．….(10分)23．解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≤23x －5，x ＞2…………………………………(1分)当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1，解得x ≤0，此时x ≤0； 当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1，解得x ≤43，显然不成立． 故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}．…………………………….(5分) (2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14……………(8分)令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0.故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0……………………………………………(10分)。

山东省济南市2019届高三第二次模拟考试数学试题（理）试题及答案一、选择题：本题包括13小题。

每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关生物体内物质运输的叙述，正确的是A．一种氨基酸只能由一种tRNA转运B．神经递质只能通过血液运输到作用部位C．胰岛B细胞分泌胰岛素的过程需要消耗能量D．神经细胞受到刺激后，细胞内的钠离子大量外流，产生动作电位2．下列有关细胞生命历程的叙述，正确的是A．细胞生长，其表面积增大，导致细胞的物质交换效率升高B．在一个细胞周期中，末期和间期是连续的C．细菌在无丝分裂过程中需进行DNA复制D．细胞凋亡受基因控制，有利于多细胞生物个体的生长发育3．关于下列生物实验相关图像的叙述，正确的是A．图甲中色素带IV的颜色为蓝绿色，它在层析液中的溶解度最小B．图乙所示的样方中，植物种群密度约为3株／m2C．图丙中细胞壁和细胞膜之间的液体是细胞中流出的水分D．图丁中的细胞为洋葱根尖分生区细胞，大部分处于细胞分裂间期4．下列有关植物激素调节的说法，不正确的是A．植物幼苗的向光生长现象说明生长素的作用具有两重性B．赤霉素和细胞分裂素分别通过促进细胞伸长和细胞分裂，从而促进植物生长C．脱落酸的主要作用是抑制细胞分裂，促进叶和果实的衰老和脱落D．植物体各个部位均能合成乙烯，乙烯具有促进果实成熟的作用5．下图表示生物体内遗传信息的传递和表达过程。

相关叙述不正确的是A．①②③④⑤⑥过程均遵循碱基互补配对原则B．艾滋病病毒侵染宿主细胞后会进行④①②③过程C．在硝化细菌体内②和③过程可同时进行D．在菠菜叶肉细胞的细胞核、线粒体、叶绿体中均可进行①②③过程6．果蝇的翻翅和正常翅是一对相对性状，由位于Ⅱ号染色体(常染色体)上的A基因和a基因控制，现有一只翻翅(杂合)雄果蝇仅因为减数分裂过程中部分染色体异常分离，而产生一个含有两个A基因但不含性染色体的配子。

下列分析正确的是A．Ⅱ号染色体可能在减数第一次分裂时未分离，其它过程正常B．性染色体一定在减数第一次分裂时未分离，其它过程正常C．同时产生的其他三个配子中，两个都含有一条性染色体，一个含有两条性染色体D．该果蝇形成配子的过程，遵循自由组合定律7．化学与社会、生产、生活密切相关。

数学（理科）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为所以本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z满足，则复数z的虚部为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.【详解】复数的虚部为本题正确选项：【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.3.设等差数列的前n项和为，若A. 8B. 18C.D. 14【答案】D【解析】【分析】利用和表示出已知条件，解出和，利用求出结果.【详解】因为，且所以，解得所以本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可．【详解】解：在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，则△ABC为直角三角形，且∠B为直角。

普通高中2019年第二学期高三年级教学质量检测卷理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|316,}xA x x N =<∈，2{|540}B x x x =-+<，则()R AC B 的真子集个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．72．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2()z z z i =+，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 3．若61(2)x x+展开式的常数项为（ ）A ．120B ．160C ．200D ． 2404．若101()2a =，121()5b -=，15log 10c =，则,,a b c 大小关系为（ ）A ． a b c >>B ．a c b >>C ． c b a >>D ．b a c >>5．如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．93+．97+． 105+ D ．109+6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出的a =（ ）A ． 0B ． 25C ． 50D ．757．将函数2()2sin cos f x x x x =--(0)t t >个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为（ ） A ．23π B ．3π C ． 2π D ．6π 8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高二抽取样本数分别为,a b ，且直线80ax by ++=与以(1,1)A -为圆心的圆交于,B C 两点，且120BAC ∠=，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)1x y -++= B ．22(1)(1)2x y -++= C ． 2218(1)(1)17x y -++=D ．2212(1)(1)15x y -++= 9．已知,x y 满足约束条件204230x y ax y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，目标函数23z x y =-的最大值是2，则实数a =（ ）A ．12 B ．1 C ． 32D ．4 10．已知正三棱锥A BCD -的外接球半径2R =，,P Q 分别是,AB BC 上的点，且满足5AP CQPB QB==，DP PQ ⊥，则该正三棱锥的高为（ ） A ．C ．D．11．已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ：22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A ．2 BC ．D ．112．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，则命题:P “12,x x R ∀∈，且12x x ≠，1212()()||2017f x f x x x -<-”是命题Q ：“x R ∀∈，'|()|2017f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量(1,)a m =-，(0,1)b =，若向量a 与b 的夹角为3π，则实数m 的值为 ． 14．已知1sin()33πα-=(0)2πα<<，则sin()6πα+= ． 15．在区间[0,1]上随机地取两个数,x y ，则事件“5y x ≤”发生的概率为 ． 16．已知在平面四边形ABCD中，AB =2BC =，AC CD ⊥，AC CD =，则四边形ABCD面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式； （2）若*11(1)()nn n n n n a a b n N a a +++=-∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18． 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）． （1）求图中a 的值；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）（3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19． 如图1，四边形ABCD 中，AC BD ⊥，2222CE AE BE DE ====，将四边形ABCD 沿着BD 折叠，得到图2所示的三棱锥A BCD -，其中AB CD ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面BAD ；（2）若F 为CD 中点，求二面角C AB F --的余弦值．20． 设点M 到坐标原点的距离和它到直线:(0)l x m m =->的距离之比是一个常数2． （1）求点M 的轨迹；（2）若1m =时得到的曲线是C ，将曲线C 向左平移一个单位长度后得到曲线E ，过点(2,0)P -的直线1l 与曲线E 交于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，过(1,0)F 的直线,AF BF 分别交曲线E 于点,D Q ，设AF FD α=，BF FQ β=，,R αβ∈，求αβ+的取值范围．21． 设函数()ln(1)(2)f x x x a x =---．（1）若2017a =，求曲线()f x 在2x =处的切线方程； （2）若当2x ≥时，()0f x ≥，求α的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程是22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），圆C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 23．选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x a a =-+．（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数n 使()()f n m f n ≤--成立，求实数m 的取值范围．试卷答案1.B 【解析】因为316,xA x x =<∈N {}0,1,2=，2540B x x x =-+<={}14x x <<， 故{}14B x x x =≤≥R 或ð，故(){}0,1A B =R I ð，故()R A B I ð的真子集个数为3，故选B. 2.C 【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈，则z a b i =-，又()2z z z i⋅=+，()()22221a b a b i ∴+=+-+，1,1,a b ∴==故1z i =+.故选C.3.B 【解析】61(2)x x+，展开式中的第1r +项为6261661()(2)2r r r r r r r T C x C x x--+=⋅⋅=⋅⋅， 令260r -=可得3r =，故展开式中的常数项为160．4.D 【解析】100110()()122<<=，即01a <<，同理1b >，而0c <，因此b a c >>．5. C 【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为3344461052S =⨯+⨯+⨯⨯= C.6. B 【解析】开始a =675, b =125;第一次循环：c =50, a =125, b =75;第二次循环：c =50, a =75,b =50;第三次循环：c =25, a =50, b =25; 第四次循环：c =0, a =25, b =0.退出循环，输出a =25. 7. D 【解析】()2sin 22cos(2)6f x x x x π=-=+图象向左平移(0)t t >个单位得到()2cos(22)6f x x t π=++为奇函数，所以2t 最小值3π,6t π=.选D.8.C 【解析】由分层抽样方法知抽样比例为25:1，故从高一、高三抽取40,24，故a=40,b=24,∴直线80ax by ++=为402480x y ++=，化简为5310x y ++=，圆心(1,1)A -到直线l 的距离为d ==R 2218(1)(1)17x y -++=.9.A 【解析】不等式组20230x y x y --⎧⎨-+⎩≤≥表示的平面区域如图中直线230x y -+=与直线20x y --=所夹的点A的左边部分，由于目标函数23z x y =-的最大值是2，作出直线232x y -=见图中虚线，可知点C 是直线20x y --=与232x y -=的交点，从而知点C 是不等式组204230x y ax y x y --⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥表示的平面区域的最下方的一个点，直线4ax y +=过定点(0,4)B 又过点(4,2)C ，所以得12a =.10.A 【解析】易知正三棱锥A BCD -中对棱互相垂直，则有AC BD ⊥，因为5AP CQPB QB==，所以//PQ AC ，而DP PQ ⊥，所以DP AC ⊥，所以AC ⊥平面ABD ，又因为该三棱锥是正三棱锥，所以正三棱锥A BCD -的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A BCD -补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接球直径，故2R =. 11．D 【解析】由题意得直线l 的方程是2y x a =-，由228y x a y ax=-⎧⎪⎨=⎪⎩得221240x ax a -+=，又由直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，得812162aa +=，得1a =，从而知抛物线1C 的准线方程是2x =-，由题意可以得双曲线的一个焦点是(2,0)-，即有2c =，222413b c a =-=-=，∴双曲线2C的渐近线方程是y =.又知点(0,2)P -，从而有1d ==，故选D.12.B 【解析】因为12,x x R ∀∈，且12x x ≠，所以不妨设12x x <，则由1212()()||2017f x f x x x -<-可得1221|()()|20172017f x f x x x -<-，于是12211212()()20172017()()20172017f x f x x x f x f x x x -<-⎧⎨->-⎩，即11221122()2017()2017()2017()2017f x x f x x f x x f x x +<+⎧⎨->-⎩.构造函数()()2017g x f x x =+，则由单调性的定义可知()g x 在R 上单调递增，所以()()20170g x f x ''=+≥在R 上恒成立，即()2017f x '≥-在R 上恒成立，同理可证()2017f x '≤在R 上恒成立，所以P 等价于“x R ∀∈|()|2017f x '≤”，显然Q 是P 的真子集，所以P 推不出Q ，而Q 可以推出P ，所以P 是Q 的必要不充分条件.【解析】由cos ,||||⋅<>=a b a b a b，得1cos 32π，从而解得m或m =.14.3【解析】因为1c o s ()c o s [()]s i n ()62333ππππααα+=--=-=，且α为锐角，所以sin()63πα+==. 15.16【解析】在区间[]0,1上随机地取两个数x 、y 构成的区域的面积为1，事件“5y x ≤”发生构成的区域的面积为15610011|66x dx x ==⎰，所以所求概率为16．16.3+【解析】设,(0,)ABC θθπ∠=∈，则在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos 6AC AB BC AB BC θθ=+-⋅=-，从而四边形ABCD 的面积1(sin )2ABC ACD S S S AB BC AC CD θ∆∆=+=⋅⋅+⋅，化简得16)2S θθ=+-32cos )θθ=-3)θϕ=+-，其中tan 2ϕ=，当sin()1θϕ-=时，S取得最大值317.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得2215a a a =，即2(1)14d d +=+，解得2d =或0d =（舍），所以21n a n =-. （Ⅱ）由21n a n =-，可得11411(1)(1)(1)()(21)(21)2121nn n n n n n n a a n b a a n n n n +++=-=-=-+-+-+，当n 为偶数时，111111112(1)()()()13355721212121n nS n n n n =--+++--+++=-+=--+++. 当n 为奇数时，1n +为偶数，于是1111111122(1)()()()13355721212121n n S n n n n +=--+++--+-+=--=--+++. 18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=，故0.005a =.(Ⅱ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.200.050.25+=， 故晋级成功的人数为1000.2525⨯=（人）， 故填表如下根据上表数据代入公式可得22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关．（III ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，这人晋级失败的概率为0.75， 故X 可视为服从二项分布，即3(4,)4X B :，4431()()()(0,1,2,3)44kk k P X k C k -===，故0044311(0)()()44256P X C ===，1134313(1)()()4464P X C === ， 22243154(2)()()44256P X C === ，331431108(3)()()44256P X C ===， 44043181(4)()()44256P X C ===，()434E X =⨯= 或（()01234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解析】（Ⅰ）因为AE BD ⊥且BE DE =，可得ABD ∆为等腰直角三角形， 则AB AD ⊥，又AB CD ⊥，且AD CD ⊂、平面ACD ，AD CD D =，故AB ⊥平面ACD ，又AB ⊂平面BAD ， 所以平面ACD ⊥平面BAD .（Ⅱ）以E 为原点，以EC 的方向为x 轴正方向，ED 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.过A 点作平面BCD 的垂线，垂足为G ，根据对称性，显然G 点在x 轴上，设AG h =.由题设条件可得下列坐标：(0,0,0)E ，(2,0,0)C ，(0,1,0)B -，(0,1,0)D，)A h ，1(1,,0)2F .(1)BA h =，(2,1,0)DC =-，由于AB CD ⊥，所以2110BA DC ⋅==，解得h =A 点坐标为1(2A . 由于1(2BA =，3(1,,0)2BF =，设平面ABF 的法向量(,,)u a b c =，由0u BA ⋅=及0u BF ⋅=得10,230,2a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令9a =，由此可得(9,u =-.由于AD AB ⊥，AD AC ⊥，则2(1,DA =-为平面ABC 的一个法向量，则·(2)cos ,251202u DA u DA u DA===，因为二面角C AB F --为锐角， 则二面角C AB F --的余弦值为5. 20.【解析】（Ⅰ）过点M 作MH l ⊥，H 为垂足， 设点M 的坐标为(,)x y，则|||||OM MHx m ==+，又||||OM MH =|x m +， 故点M 的轨迹方程为22211022x y mx m +--=. 可化为2222()12x m y m m-+=，显然点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆. （Ⅱ）1m =时，得到的曲线C 的方程是22(1)12x y -+=， 故曲线E 的方程是2212x y +=.设1122(,),(,)A x y B x y ,33(,)D x y ，则1133(1,),(1,)AF x y FD x y =--=-， 由AF FD α=，得13y y α-=，即13y y α=-.当AD 与x 轴不垂直时，直线AD 的方程为11(1)1y y x x =--，即111(1)x y y x y -+=，代入曲线E 的方程并注意到221112x y +=，整理可得221111(32)2(1)0x y y x y y -+--=，则2113132y y y x =--，即11332y x y -=-，于是132x α=-.当AD 与x 轴垂直时，A 点的横坐标为11x =，1α=，显然132x α=-也成立. 同理可得232x β=-.设直线1l 的方程为(2)y k x =+，联立22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 消去y 整理得2222(21)8820k x k x k +++-=，由0k ≠及2222(8)4(21)(82)0k k k ∆=-+->，解得2102k <<. 又2122821k x x k +=-+，则121228323262()14(6,10)21x x x x k αβ+=-+-=-+=-∈+.故求αβ+的取值范围是(6,10).21.【解析】（Ⅰ）当2017a =时，()ln(1)2017(2)f x x x x =---， 则()ln(1)20171xf x x x '=-+--，所以(2)220172015f '=-=-， 又(2)000f =-=，所以曲线()f x 在2x =处的切线方程为02015(2)y x -=--.，即20154030x y +-=.（Ⅱ）由()0f x ≥得ln(1)(2)0x x a x ---≥，而2x ≥， 所以(2)ln(1)0a x x x ---≥，设函数(2)()ln(1)(2)a x g x x x x-=--≥， 于是问题 转化为()0g x ≥，对任意的2x ≥恒成立. 注意到(2)0g =，所以若()0g x '≥，则()g x 单调递增，从而()(2)0g x g ≥=.而2221(2)2(1)()1(1)ax a x x a x g x x x x x ----'=-=--，所以()0g x '≥等价于22(1)0x a x --≥， 分离参数得211[(1)2]2(1)21x a x x x ≤=-++--， 由均值不等式可得11[(1)2]221x x -++≥-， 当且仅当2x =时等号成立，于是2a ≤. 当2a >时，设2()2(1)h x x a x =--，因为(2)422(2)0h a a =-=->，又抛物线2()2(1)h x x a x =--开口向上， 所以函数2()2(1)h x x a x =--有两个零点，设两个零点为12,x x ，则122x x <<，于是当2(2,)x x ∈时，()0h x <，故()0g x '<，所以()g x 单调递减，故()(2)0g x g <=，这与题设矛盾，不合题意.综上，a 的取值范围是(,2]-∞.22.【解析】（Ⅰ）∵4cos()4πρθθθ=+=-，∴2cos sin ρθθ=-，∴圆C的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y -++=∴圆心的直角坐标为.（Ⅱ）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为== ∴直线l 上的点向圆C引的切线长的最小值为.23.【解析】（Ⅰ）由|2|6x a a -+≤得，|2|6x a a -≤-,∴626a x a a -≤-≤-,即33a x -≤≤,∴32a -=-,∴1a =.（Ⅱ）由（1）知()|21|1f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-,则()124,211212124,22124,2n n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴()n ϕ的最小值为4， ∴实数m 的取值范围是[4,)+∞.。

山东省2019年高三4月模拟训练数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（）A. 的虚部为B.C. 为纯虚数D. 的共轭复数为【答案】C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】∵z，∴z的虚部为﹣1，|z|，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．，故选：AC．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积，所以由几何概型知，所求事件概率，故选A．考点：几何概型．5.如图，在中，是边上的高，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，•（）••；⊥；•||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°；从而求得．【详解】•（）•••＝||•||cos∠BAD＝||•sin30°•||•cos60°＝4×44；故选：C．【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，同时考查了线性运算，属于中档题．6.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A. 最低气温低于的月份有个B. 月份的最高气温不低于月份的最高气温C. 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在月份D. 每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关【答案】A【解析】【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个．【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A 中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A错误．在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温与最高气温为正相关，故D正确；故选：A．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】【分析】利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.【详解】从冬至起，日影长依次记为，根据题意，有，根据等差数列的性质，有，而，设其公差为，则有，解得，所以冬至的日影子长为尺，故选A.【点睛】该题考查的是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.9.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图像为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求.【详解】∵x∈（0，4），∴x +1＞1 ∴f （x ）＝x ﹣4x +15≥25＝1，当且仅当x ＝2时取等号，此时函数有最小值1， ∴a ＝2，b ＝1，,排除BC. 此时g （x ）＝2|x +1|，此函数可以看成函数y 的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A 正确 故选：A ．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。

济南市2019届高三年级学习质量评估理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|1},{1,0,1}A x x B ==-≥，则A B = （ ） A ．{1} B ．{1,1}-C ．{1,0,1}-D ．{|1}x x ≥1．答案：B解析：2{|1}(,1][1,),{1,0,1}A x x B ==-∞-+∞=- ≥，所以{1,1}A B =- ． 2．已知复数z 满足i 2z z +⋅=（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2．答案：A解析：由i 2z z +⋅=，得22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-，所以1i z =+． 3．已知命题p ：关于m 的不等式2log 1m <的解集为{|2}m m <；命题q ：函数32()1f x x x =+-有极值．下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝3．答案：C解析：由2log 1m <，得02m <<，故命题p 为假命题；2()32f x x x '=+，令()0f x '=得23x =-或 0x =，所以()f x 在2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和(0,)+∞上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 有极值，所以命题q 为真命题．所以()p q ⌝∧为真命题．4．如图，在ABC △中，90,2,3C BC AC ∠=︒==，三角形内的空白部分是由三个半径均为1的扇形构成，向ABC △内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）A ．6πB ．16π-C ．4πD ．14π-4．答案：B解析：三个空白部分的面积之和为一个半径为1的圆的面积的一半，即2π，ABC △的面积为3，故所求概率为21136ππ-=-．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．5B ．163C ．6D ．85．答案：C解析：该几何体是以左视图为底面的五棱柱，高为2，底面积为1212132⨯+⨯⨯=，故其体积为326⨯=． 6．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()g x 的最小正周期为4πB ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 C ．()g x 图象的一条对称轴为12x π= D ．()g x 图象的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭6．答案：D解析：()cos 2cos 2,()8123g x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的最小正周期为π，选项A 错误； 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误； cos 0122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 错误；73cos 0122g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()g x 的图象关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项D 正确． 7．函数2ln 8x y x =-的图象大致为（ ）7．答案：D解析：令2()ln 8x f x y x ==-，则()()f x f x -=，故函数为偶函数，排除选项B ；当0x >且0x →时，y →+∞，排除选项A ，当x =1ln 1ln 0y e =-<-=，排除选项C ，故选D ．8．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的轴重合），已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD 为平面α（α与两个圆锥侧面的交线为,AC BD ），用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥的面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线平行于,AC BD ，则双曲线Γ的离心率为（ ）A B CD ．28．答案：A解析：设与平面α平行的平面为β，以,AC BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x 轴，在平面β内与x 轴垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>．由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y x =，即b a =所以离心率c e a ===9．已知()1202a b a b c a b d c ==⋅==+-=，，，，则d 的取值范围是（ ）A ．[0,B ．[0,2]C ．D ．[0,1]9．答案：A解析：不妨令(2,0),(0,2)a b == ，则(1,1)c = ．设(,)d x y = ，则222(1)(1)2d c x y -=-+-= ，所以点(,)x y 在以(1,1)为半径的圆上，d 表示点(,)x y 到坐标原点的距离，故d的取值范围为[0,．10．执行如图所示的程序框图，若输入的,,a b c 依次为sin cos sin (sin ),(sin ),(cos )αααααα，其中,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则输出的x 为（ ）A ．cos (cos )ααB ．sin (sin )ααC ．cos (sin )ααD ．sin (cos )αα10．答案：C解析：该程序框图的功能是输出,,a b c 中的最大者．当,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0cos sin 1αα<<<，由指数函数()(cos )x f x α=单调递减可得(sin )(cos )f f αα<，即sin cos (cos )(cos )αααα<； 由幂函数cos ()g x x α=单调递增可得(cos )(sin )g g αα<，即cos cos (cos )(sin )αααα<． 由指数函数()(sin )x h x α=单调递减可得(sin )(cos )h h αα<，即sin cos (sin )(sin )αααα<． 所以,,a b c 中的最大者为cos (sin )αα，故输出的x 为cos (sin )αα．11．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线l ，交抛物线于点,M N ，交抛物线的准线于点P ，若2PM PN =，则直线l 的斜率为（ ） A． B ．2±C．±D ．4±11．答案：C解析：如图，设点M 在第一象限，分别过,M N 作抛物线准线的垂线，垂足为,M N ''，由2PM PN =，得N 为MP 的中点．设NN t '=，则2MM t '=，根据抛物线的定义，3MN MF NF MM NN t ''=+=+=，所以6MP t =，在Rt PMM '△中，PM '=，所以tan PMM '∠=，即直线l的斜率为．当点N 在第一象限时可得直线l 的斜率为-．综上，直线l的斜率为±．12．已知函数21,0(),0x x x f x e x -⎧+⎪=⎨>⎪⎩≤，若对任意[1,1]x ∈-，不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥ 恒成立，其中0a > ，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．13,37⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．答案：B解析：20x ≥，当20x =时，2()1f x =，当20x >时，22()x f x e -=，所以22()x f x e-=，因为0a >，所以222[()]()ax f x ef ax -==，所以对任意[1,1]x ∈-，不等式2[(12)42][()]a f a x a f x --+≥恒成立， 即对任意[1,1]x ∈-，2[(12)42]()f a x a f ax --+≥恒成立．易知()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，所以对任意[1,1]x ∈-，2(12)42a x a ax --+≤恒成立， 令2()(12)42(12)(2),()g x a x a a x h x ax =--+=-+=，则函数()g x 的图象是过点(2,0)-的直线，()h x 的图象是顶点在坐标原点，开口向上的抛物线，若2(12)42a x a ax --+≤在[1,1]-上恒成立，则420a -+≤，即12a ≥，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．（用数字作答）13．答案：15解析：621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为442261()15C x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭14．若实数,x y 满足约束条件03430x x y y ⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则43z x y =+的最大值为 ．14．答案：4解析：作可行域为如图所示的OAB △，其中3(1,0),0,4A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则max 94,,44A B A z z z z ==∴==15．我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m ，依据规定，该小区内住宅楼楼间距不小于52 m ．若该小区内某居民在距离楼底27 m 高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼xAB楼顶的仰角和楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为 m ． 15．答案：54解析：如图，设两住宅楼楼间距实际为m x ．根据题意可得27452718tan ,tan DCA DCB x x x-∠=∠==， 又45DCA DCB ∠+∠=︒，所以2718tan()127181x x DCA DCB x x+∠+∠==-⋅，整理得24527180x x --⨯=，解得54x =或9x =-（舍去）．所以该小区的住宅楼楼间距实际为54m ．16．已知球O 的半径为3，该球的内接正三棱锥的体积最大值为1V ，内接正四棱锥的体积最大值为2V ，则12V V 的值为 ． 16解析：设内接正三棱锥底面外接圆的半径为1r ，高为1h ，则2211(3)9h r -+=，即221116r h h =-，正三棱锥的体积)22321111111111()6)33V h S h h r h h h ====-+，2111()312)V h h h '=-+，令1()0V h '=，得14h =，易得1max (4)V V V ===． 设内接正四棱锥底面外接圆的半径为2r ，高为2h ，则2222(3)9h r -+=，即222226r h h =-，正四棱锥的体积)223202222222122()(6)333V h h r h h h ===-+，202222()(312)3V h h h '=-+， 令02()0V h '=，得24h =，易得2064(4)3V V ==，所以123V V ==三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增的等差数列，满足23415a a a ++=，2a 是1a 和5a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 17．解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由23415a a a ++=，得35a =，由2a 是1a 和5a 的等比中项，得2215a a a =⋅，所以2(5)(52)(52)d d d -=-+，解得0d =或2d =． 因为数列{}n a 为递增数列，所以2d =．所以21n a n =-．…………………………………………6分 （2）1111(21)(21)111(21)(21)2(21)(21)22121n n n n n b a a n n n n n n ++--⎛⎫===⋅=- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以11111111112335212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．………………12分 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，AC 交BE 于点F ，G 为PCD △的重心． （1）求证：//FG 平面PAD ；（2）若PA PD =，点H 在线段PD 上，且2PH HD =，求二面角H FG C --的余弦值．BD18．解析：（1）因为//AE BC ，所以AEF CBF △∽△，因为E 为AD 的中点，所以2AE AD BC ==， 所以2CF AF =．如图，延长CG ，交PD 于M ，连接AM ，因为G 为PCD △的重心，所以M 为PD 的中点，且2CG GM =，所以//FG AM ，因为AM ⊂平面PAD ，FG ⊄平面PAD ，所以//FG 平面PAD ．……………………………………6分 （2）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设3PA AD ==，则(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3),(1,1,0)C D P F ．因为2PH HD =，所以(0,2,1)H ．因为G 为PCD △的重心，所以(1,2,1)G ．(2,2,0),(0,1,1),(1,1,1)FC FG FH ===-，设平面FGC 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111111220n FC x y n FG y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取11x =，则111,1y z =-=，所以1(1,1,1)n =- ． 设平面FGH 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220n FH x y z n FG y z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取21y =，则220,1x z ==-，所以2(0,1,1)n =- ．所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅所以二面角H FG C --的余弦值为．…………………………………………………………12分B19．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a ba b +=>>，右焦点为F ，且该椭圆过点1,⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）当动直线l 与椭圆C 相切于点A ，且与直线x =B 时，求证：FAB △为直角三角形．19．解析：（1）由题意得221314c a a b=+=，又222a b c =+，所以221,4b a ==，即椭圆C 的方程为2214x y +=．………………………………………………………………………………………………4分（2）由题意可得直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，联立得2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得222(41)8440k x kmx m +++-=，判别式22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+-=，得2241m k =+．………………………………6分设11(,)A x y ，则21112288441,2(41)2km km k k x y kx m m k m m m m -=-==-=+=-+=+，即41,k A m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．易得,B m F ⎫+⎪⎪⎝⎭，则41,k FA FB m m m ⎫⎛⎫=--=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11分 12分（1）求a ，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值．（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值ξ服从正态分布2(,10)N μ，计算该产品该项指标值落在(180,220]上的概率；②国家有关部门固定每盒产品该项指标值不低于150均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中(180,220]为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价（单位：元）如表，求该公司每万盒的平均利润．等级 合格 优良 优秀 售价102030附：若2(,)N ξμσ～，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=． 20．解析：（1）由10(20.0020.0080.0090.0220.024)1a ⨯⨯+++++=，解得0.033a =，………2分 则平均值0.021700.091800.221900.332000.242100.082000.02230200x =⨯+++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，即这200盒产品的该项指标值的平均值为200．……………………………………………………………5分 （2）①由题意可得200,10μσx ===，则(22)(180220)0.9545P P μσξμσξ-<+=<≈≤≤．…………………………………………8分 ②设每盒该产品的售价为X 元，由①可得X 的分布列为X 10 20 30 P0.022750.95450.02275则每盒该产品的平均售价为()100.02275200.9545300.0227520E X =⨯+⨯+⨯=元，故每万盒的平均利润为20155-=（万元）．…………………………………………………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数21()(1)2xx f x e a e ax =-++． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．21．（1）2()(1)(1)()x x x x f x e a e a e e a '=-++=--， （i ）若0a ≤，当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． （ii ）当0a >时，令()0f x '=，则120,ln x x a ==，若1a =，则12,()0x x f x '=≥恒成立，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． 若01a <<，则12x x >，当(,ln )x a ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；当(ln ,0)x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 若1a >，则12x x <，当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '>单调递增；当(0,ln )x a ∈时，()0,()f x f x '<单调递减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增． 综上所述，当a ≤0时，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 当1a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增．……5分（2）（i ）当0a =时，211()122x x x x f x e e e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得ln 2x =，此时只有一个零点，不合题意．（ii ）当0a <时，由（1）可知，()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，若()f x 有两个零点，则1(0)02f a =--<，即12a >-．注意到 22111(1)(1)(1)(1)0222f e a a e e e a e e a e ⎛⎫=+-+=-+-=--> ⎪⎝⎭， 所以当(0,1)x ∈时，()f x 有一个零点． 当0x <时，1()1()(1)2x x x f x ax e e a ax a x e ax a ⎛⎫=+-->-+>-+ ⎪⎝⎭， 取0110x a<+<，则0()0f x >，所以当0(,0)x x ∈时，()f x 有一个零点． 所以当102a -<<时，()f x 有两个零点，符合题意． （iii ）当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，不可能有两个零点，不合题意．（iv ）当01a <<时，()f x 在(,ln )a -∞上单调递增，在(ln ,0)a 上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．2ln ln 22111(ln )(1)ln ln ln 1222a a f a e a e a a a a a a a a a a ⎛⎫=-++=--+=-- ⎪⎝⎭， 因为1ln 102a a --<，所以(ln )0f a <，此时()f x 最多有一个零点，不合题意． （v ）当1a >时，()f x 在(,0)-∞上单调递增，在(0,ln )a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为1(0)02f a =--<，所以此时()f x 最多有一个零点，不合题意． 综上所述，若()f x 有两个零点，则a 的取值范围是1,02⎛⎫-⎪⎝⎭．………………………………12分 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos sin ρθθ=，直线l的参数方程为12x y a t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），其中0a >，直线l 与曲线C 相交于,M N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）若点(0,)P a 满足114PM PN+=，求a 的值． 22．解析：（1）由2cos sin ρθθ=，得22cos sin ρθρθ=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得曲线C 的直角坐标方程为2y x =．…………………………………………………………………………………4分（2）将直线l的参数方程12x y a t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入2y x =，得23110,30424t t a a --=∆=+>．设,M N 对应的参数分别为12,t t ，则121224,33at t t t +==-，所以1212114PM PN t t PM PN PM PN t t +-+=====⋅．化简得：2641210a a --=，解得14a =或116a =-（舍去），所以14a =．……………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()33f x x x a =++-．（1）当2a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若()34f x x >+对任意的(1,)x ∈-+∞恒成立，求a 的取值范围．23．解析：（1）当2a =时，()332f x x x =++-，即41,1()25,1241,2x x f x x x x x ---⎧⎪=+-<<⎨⎪+⎩≤≥，当1x -≤时，不等式()4f x >即414x -->，解得54x <-，所以54x <-； 当12x -<<时，不等式()4f x >即254x +>，解得12x >-，所以122x -<<；当2x ≥时，不等式()4f x >即414x +>，解得34x >，所以2x ≥．所以不等式()4f x >的解集为51,,42⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………………………5分。