(必修五)提高练习试题二

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人教版英语必修二Unit5 Music 练习题一、本单元语法知识复习---—-- “介词+关系代词”定语从句Ⅰ、把下列句子中定语从句部分下划线，并在横线上写出定语从句的先行词.1。

He often dreams of playing in front of thousands of people ata concert, at which everyone is clapping and appreciating his music. _________________________2。

They may start as a group of students, for whom practicing their music in someone’s house is the first step to fame。

Unit 2 课下能力提升（五）阅读理解ALondon —A morning’s train ride away, across the Channel, English kids about Liverpool’s soccer team in a Paris pub.Some Parisians have even started to go to work in London.In the 19th century, Charles Dickens pared the two great rival cities, London and Paris, in A Tale of T w o Cities. These days, it might be A Tale of One City.Parisians are these days likely to smile in sympathy at a visitor’s broken French and respond in polite English.As jobs grew lacking at home over recent years, perhaps 250,000 Frenchmen moved across the Channel. With an undersea tunnel, they could travel between cities in three hours. The European Union freed them from immigration and customs.Paris, rich in beauty, is more attractive, but London feels more full of life, and more fun until the pubs shut down.“For me, the difference is that London is real, alive，” said Trevor Wheeler, a banker.Chantal Jaouen, a professional designer, agrees. “I am French, but I’ll stay in London，”she said.There is, of course, the other view. Julie Lenoux is a student who moved to London two years ago. “I think people laugh more in Paris，” she said.In fact, London and Paris, with their obvious new similarities, are beyond the old descriptions. As the European Union gradually loosened controls, Londoners flocked into Paris to shop, eat and buy property.“Both cities have changed beyond recognition，”said Larry Collins, a writer and sometimes a Londoner.Like most people who know both well, he finds the two now fit together fortably.“I first fell in love with Paris in the 1950s, and it is still a wonderful place，” Collins said.“But if I had to choose, it would be London. Things are so much more ordered, and life is better, but certainly not cheaper.”In fancy parts of London, rents can be twice those on Avenue Foch in Paris.Deciding between London and Paris requires a lifestyle choice.Like Daphne Benoit, a French journalism student with perfect English, many young people are happy to be close enough so they don’t have to choose.“I love Paris, my little neighborhood, the way I can walk around a center, but life is so structured，”she said. “In London, you can be who you want. No one cares.”语篇解读：文章用大量的篇幅对伦敦和巴黎进行对比，可称为“现代版的双城记”。

课时提升作业二十二必修5Unit 2The United Kingdom(限时35分钟)Ⅰ. 阅读理解AA British friend told me he couldn’t understand why Chinese people love eating sunflower seeds as a snack so much. “I’ve met a lot of older Chinese and many have a crack in their front teeth; I believe that’s from cracking the seeds, ” he said.I had never noticed the habit, but once he mentioned it, I suddenly became more aware. I realized that whenever I’m watching TV or typing a report, I always start mindlessly cracking sunflower seeds. My friend doesn’t like sunflower seeds, and, to him, it se ems unnecessary to work so much just to get one small seed.When we were young, the whole family would usually get together for Chinese New Year. Then, we all lived close to one another, usually in a small city, and sometimes even neighbors would go door-to-door on Chinese New Year’s Eve to check out what every household was making.I remember my parents would be in the kitchen cooking. Out in theliving room , a large table would already be laid out, complete with fancy tablecloth, ready-made dumpling fillings, and dishes full of candy, fruits and sunflower seeds. Some of the dishes were to be offered to our ancestors later, while others were for neighbors and children to eat before the evening feast. I must have learned how to crack sunflower seeds back then.I don’t think it’s right to criticize one’s choice in food or eating habits, no matter how strange they may seem.It’s not only in China. When I went abroad, I found people had all sorts of strange habits when it came to food. In Denmark, they put salted red fish on bread and eat it for dinner, no matter how much it ruins your breath. They think it’s a delicacy, and it’s connected to their culture. I think it’s a wonderful tradition.【文章大意】本文讲述了直到作者的英国朋友提到中国人都爱嗑瓜子, 作者才意识到自己也有这个习惯。

能力提升——欲穷千里目，更上一层楼作业时限：45分钟作业满分：60分积累运用1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一组是()A．恐吓．(hè)伎俩．(liǎ)沐猴而冠．(ɡuàn) 拈．轻怕重(niān)B．款识．(zhì) 悖．逆(bèi)滂．沱大雨(pānɡ) 胼手胝．足(zhī)C．澎湃．(pài) 痼．疾(ɡù)暴戾恣睢．(suī) 歃．血为盟(chà)D．脐．带(qí) 箭镞．(cù)钟鼓馔．玉(zhuàn) 不分畛．域(zhěn)解析：A.“俩”读liǎnɡ；C.“歃”读shà；D.“镞”读zú。

答案：B2．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是()A．中国的城市化道路和房地产政策，不是小修小补的问题，而是要整体反思，改弦易辙．．．．，跳过中等收入陷阱，顺利实现城市化、现代化，同时又保持贫富差距逐步缩小的趋势。

B．2011年上海游泳世锦赛混合接力赛中，美国队实力强大，特别是第二棒的索尼和第四棒的富兰克林，她们在比赛中完全甩开了其他选手，让现场观众叹为观止．．．．。

C．北约对利比亚的军事行动已经持续了4个多月，但战局依然处于胶着状态，卡扎菲部队与反对派武装此起彼伏．．．．，卡扎菲压力不断增加，反对派至今没有强劲的进攻力。

D．政府角色是否公正？政府措施是否得当？甚至包括政府公布的信息中，是否存在虚假？这些质疑后来都被证实了。

与之对应的是，政府的信用一落千丈．．．．解析：此起彼伏：这里起来，那里落下，表示接连不断。

此处应该为“相持不下”。

A.改弦易辙：改换琴弦，变更行车道路，比喻改变方法或态度。

B.叹为观止：赞美看到的事物好到极点。

D.一落千丈：形容地位、景况、声誉等下降得很快。

答案：C3．下列各句中，没有语病的一句是()A．2011年8月12日晚上8时，第26届世界大学生夏季运动会正式开幕。

能力提升——欲穷千里目，更上一层楼错误!ó解析：A应为“烜uǎn赫一时”；C应为“惩创chuānɡ”；D应为“装模mú作样”。

答案：B2．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是A．长期以来，社会公众对慈善救济款物的管理不良指责不断，捐赠信息常常石沉大海．．．．，了无音讯。

B．铁道部将“7·23”甬温线特别重大铁路交通事故责任归咎于信号灯问题，实在是差．强人意．．．，民众质疑声一片。

C．从街坊们的只言片语．．．．中，我了解到爷爷曾是一位屡立奇功、威名赫赫的抗日英雄。

D．一个健康发展的社会，信息可以共享，但并不意味着不加选择地共享，对那些混淆．．视听．．、别有用心及“挂羊头卖狗肉”的信息是必须予以控制的。

解析：差强人意：大体上还能使人满意。

此处属望文生义，与句意不符。

A石沉大海：像石头掉到大海里一样，不见踪影，比喻始终没有消息。

C只言片语：个别词句或片断的话。

D混淆视听：用假象或谎言让旁人分辨不清是非。

答案：B3．下列各句中，没有语病的一句是A．为让网络春晚更加贴近海内外华人华侨，特别推出“游子吟·中国心”——2022年CCTV网络北美赛区选拔活动。

B．故宫博物院2011年7月31日证实，国家一级文物宋代官窑代表作品青釉葵瓣口盘在进行无损分析测试时发生文物损坏事件，经过26天的调查认证初步判断为科研人员操作失误所致。

C．深圳世界大学生运动会女子足球比赛中国队对中华台北队之战在宝安区体育场今天下午进行，中国队依靠庞丰月和李冬娜上下半场各进一球，取得本次大运会的开门红，这也是中国代表团在本次大运会上的首次亮相。

D．西安世园会充分演示了“天人长安·创意自然——城市与自然和谐共生”的主题，意味着城市与自然和谐共生，在尊重自然和不破坏自然的前提下，利用自然、修复自然，使自然为人类服务。

解析：A主语残缺，应在“特别”前面加上“本届网络春晚”。

C语序不当，时间应在地点前，改为“今天下午在宝安区体育场”。

第二单元素质升级检测(本试卷满分150分，测试时间150分钟)第Ⅰ卷(选择题30分，每小题3分)一、(12分)1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一项是()A．出岫．(yòu) 睇．眄(dì) 逋．慢(bū) 鹤汀．凫渚(tīnɡ)B．船棹．(zhào) 潦．水(liáo) 簪笏．(hù) 茕茕孑．立(jié)C．盘桓．(yuán) 翱．翔(áo) 田畴．(chóu) 涸辙．之鲋(zhé)D．耘耔．(zǐ) 优渥．(wò) 懿．范(yì) 门衰祚．薄(zuò)【答案】D(A.“岫”读xiù。

B.“潦”读lǎo。

C.“桓”读huán。

)2．下列各项中，没有错别字的一项是()A．荒芜惆怅唇枪舌剑时矫首而暇观B．休憩窈窕甘败下风不坠青云之志C．险衅衣袂欣欣向荣园日涉以成趣D．沟壑熹微厚积薄发气凌彭泽之尊【答案】C(A.暇—遐。

B.败—拜。

D.尊—樽。

)3．下列加点词的解释不完全正确的一项是()A．拜．臣郎中(授给官职)恭疏．短引(写)数．数然也(拼命追求)B．载．欣载．奔(一边……一边……)不矜．名节(自夸)窈窕．．寻壑(女子姿态美好)C．门衰祚．薄(福分)除臣洗马．．(雨后初晴)．．(官职)云销雨霁D．猥．以微贱(自谦词，犹“鄙”)北海虽赊．(远)生当陨首．．(牺牲生命)【答案】B(窈窕：深远曲折的样子。

)4．下列各项中对文章的分析和鉴赏有误的一项是()A．《归去来兮辞并序》一文语言朴素，清丽淡雅，表现了作者淡泊明志的思想品质。

B．《滕王阁序》一文，作者运用了大量典故，充实了文章内容，加强了表达效果。

C．《逍遥游》一文表现了庄子去除功利之心和忘怀荣辱得失的积极人生态度。

D．《陈情表》一文的主旨是李密请求司马炎不要让他做官而让他奉养祖母。

【答案】C(“积极人生态度”不对，应是消极人生态度。

Unit 2 高考提能练第一部分听力(满分30分，限时20分钟)第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What does the woman's son do most probably?A．A postman.B．A policeman.C．A guard.2．Why is the woman late?A．The traffic was heavy.B．The bus broke down.C．She took the wrong bus.3．What do we know from the conversation?A．The woman lost her new book.B．The man will buy a new book.C．The man doesn't care about the book.4．How long does the man work every week?A．For 50 hours. B．For 55 hours. C．For 66 hours.5．Who travelled with the man last month?A．Jeff and Richard. B．The man's dog. C．No one.第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6．Where does this conversation probably take place?A．In a store. B．In a restaurant. C．In a museum.7．How much does the woman pay for the bowl?A．60 dollars. B．80 dollars. C．90 dollars.听第7段材料，回答第8、9题。

一、选择题1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若13,3,60a b A ===︒，则边c =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．62．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若22212a b c =+，则tan A 的取值范围是（ ） A ．)3,⎡+∞⎣ B ．()3,+∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞3．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）A ．2,4,120a b A ===︒B ．3,2,45a b A ===︒C ． 6,43,60b c C ===︒D ．4,3,30b c C ===︒4．已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若1,3a b ==，B 是,A C 的等差中项，则角C =（ ） A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos 2a B c=，21sin sin (2cos )sin 22A B C A -=+，则A =（ ） A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 6．如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：A ．10kmB ．20kmC ．3kmD ．53km7．在ABC 中，内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若sin 3cos 0b A a B -=，且2b ac =，则a cb+ 的值为（ ） A ．22B ．2C ．2D ．48．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且BC 边上的高为3a ，则c bb c+的最大值是（ ） A ．8B ．6C ．32D ．49．ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等差数列，且2C A =，若AC 边上的中线792BD =，则△ABC 的周长为（ ） A ．15B ．14C ．16D ．1210．在ABC ∆中，30,10B AC =︒=，D 是AB 边上的一点，25CD =，若ACD ∠为锐角，ACD ∆的面积为20，则BC =（ ） A ．25B ．35C ．45D ．65 11．在ABC 中，若2a =，23b =，30A =︒，则B 等于（ ） A ．30B ．30或150︒C ．60︒D ．60︒或120︒12．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<二、填空题13．在ABC 中，已知1AC =，A ∠的平分线交BC 于D ，且1AD =，2BD =，则ABC 的面积为_________.14．如图，三个全等的三角形ABF ，BCD ，CAE 拼成一个等边三角形ABC ，且DEF 为等边三角形，若2EF AE =，则tan ACE ∠的值为__________.15．如图，在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D 且CD AD =.若3AC =，2BC =，则AB =________16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222a b =，sin 3sin C B =，则cos A =________.17．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A 、B 两点的距离为______18．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中23a c ==，，且满足(2)cos cos a c B b C -⋅=⋅，则AB BC ⋅=______．19．在锐角ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且满足cos 2b aC a-=，则tan A 的取值范围是__． 20．在三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，222a c b ac +-=，3b =2a c +的最大值为______．三、解答题21．如图，在ABC 中，6AB =，3cos 4B =，点D 在BC 边上，4=AD ，ADB ∠为锐角．（1）若62AC =DC 的长度； （2）若2BAD DAC ∠=∠，求sin C 的值．22．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin c bC -=tan cos A C -． （1）求角A 的大小；（2）若32b =，2c =，点D 在边BC 上，且2CD DB =，求a 及AD ． 23．在ABC 中，内角A 、B 、C 对应的边长分别为a b c 、、，且,,a b c 满足5cos 44cos 5sin sin cos a B b cB A BC -=+.（1）求cos A ；（2）若3a =，求b c +的最大值.24．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 12+=A C a c ，且2b =.（1）证明：4+≥a c ；（2）若ABC 的周长为232+S .25．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos cos 2cos b C c B a A +=．（1）求角A ；（2）若3a =ABC 的面积为23b c +的值．26．在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin A C A C = ，求b【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】试题分析：2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）． 考点：余弦定理，正弦定理．2．B解析：B 【分析】根据题中条件，由三角形的余弦定理、正弦定理和两角和的正弦公式，化简可得tan 3tan A B =，再由两角和的正切公式，以及锐角三角形的定义，可得tan 0A >，tan 0C >，解不等式可得所求范围． 【详解】因为22212a b c =+，由余弦定理可得，2222cos a b c bc A =+-，则222212cos 2b c b c bc A +=+-，可得4cos c b A =，由正弦定理可得：sin 4sin cos C B A =，可得sin()sin cos sin cos 4sin cos A B A B B A B A +=+=， 化为3sin cos sin cos B A A B =， 在锐角ABC 中，cos 0A ≠，cos 0B ≠， 则tan 3tan A B =，又21tan tan tan tan 3tan tan()11tan tan 1tan 3A AA B C A B A B A ++=-+=-=---，由tan 0A >，tan 0C >，可得211tan 03A -<，解得tan A >， 故选：B ． 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及两角和的三角函数公式，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．3．D解析：D 【分析】运用正弦定理公式，可以求出另一边的对角正弦值，最后还要根据三角形的特点：“大角对大边”进行合理排除. 【详解】A. 2,4,120a b A ===︒,由,a b <A B ⇒<所以不存在这样的三角形.B. 3,2,45a b A ===︒,由sin sin sin 3a b B A B =⇒=且,a b >所以只有一个角BC. 6,60b c C ===︒中，同理也只有一个三角形.D. 4,3,30b c C ===︒中2sin sin sin 3c b B C B =⇒=此时b c >，所以出现两个角符合题意，即存在两个三角形. 所以选择D 【点睛】在直接用正弦定理求另外一角中，求出 sin θ后，记得一定要去判断是否会出现两个角.4．A解析：A 【详解】由题设可得060B =11sin sin 2A A =⇒=，则030A =或0150A =，但a b A B <⇔<，应选答案A ．5．C解析：C 【分析】先利用余弦定理化简条件得sin sin B C =，再利用三角恒等变换即求得B ，C ，再求A 角. 【详解】∵cos 2a B c =，∴22222a c b aac c+-=，解得b c =，∴sin sin B C =． ∵212cos sin sin (2cos )sin 222A AB C A --=+=，易知2cos 0A -≠，∴1sin sin 2B C =，又sin sin B C =，∴sin sin 2B C ==，即4B C π==，∴2A π=.故选：C ． 【点睛】本题考查了三角恒等变换与解三角形的综合，属于中档题.6．C解析：C 【分析】在ABP ∆中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，在ABP ∆中，利用正弦定理得30sin 30sin120PB ==即这时船与灯塔的距离是km ，故选C ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．C解析：C 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可求得sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，从而确定3B π=；利用余弦定理构造方程可求得()24+=a c ac ，代入所求式子即可化简得到结果. 【详解】sin cos 0b A B =，()sin sin cos sin sin 2sin sin 03B A A B A B B A B π⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，()0,A π∈，sin 0A ∴≠，sin 03B π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，又()0,B π∈，3B π∴=.()22222231cos 2222a c ac a cb ac ac B ac ac ac +-+-+-∴====，整理可得：()24+=a c ac ，2a cb+∴====. 故选：C . 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角、余弦定理的应用等知识；解决此类问题的关键是能够通过正弦定理，将边的齐次式转化为角的关系，属于常考题型.8．D解析：D 【分析】首先利用面积公式可得：2sin a A =，再利用余弦定理2222cos b c a bc A +=+，两者结合可得22sin 2cos b c A bc A +=+，而22c b b c b c bc++=，即可得c bb c +2cos A A =+，再利用辅助角公式即可求解. 【详解】由已知可得：11sin 226bc A a a =⨯，所以2sin a A =，因为222cos 2b c a A bc+-=，所以2222cos sin 2cos b c a bc A A bc A +=+=+所以222cos 4sin 46c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+≤ ⎪⎝⎭， 所以c bb c +的最大值是4 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、余弦定理、以及辅助角公式，属于中档题.9．A解析：A 【分析】由已知结合等差数列的性质及二倍角公式，正弦定理及余弦定理进行化简，即可求得结果. 【详解】由a ，b ，c 成等差数列可知，2b a c =+， 因为2C A =，所以sin sin 22sin cos C A A A ==，由正弦定理及余弦定理可得，22222b c a c a bc+-=⋅，所以2223bc ab ac a =+-， 所以32c a =，54b a =，若AC 边上的中线BD =所以2225379242a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解可得4a =，5b =，6c =， 故△ABC 的周长为15. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，正弦定理，等差数列的条件，以及边角关系，属于简单题目.10．C解析：C先利用面积公式计算出sin ACD ∠，计算出cos ACD ∠，运用余弦定理计算出AD ，利用正弦定理计算出sin A ，在ABC ∆中运用正弦定理求解出BC ． 【详解】解：由ACD ∆的面积公式可知，11sin 1025sin 2022ACAD ACD ACD ∠=∠=，可得sin ACD∠=，ACD ∠为锐角，可得cos ACD ∠==在ACD ∆中，21002021025805AD =+-=，即有AD =由sin sin AD CDACD A =∠可得sin sin CD ACD A AD ∠=，由sin sin AC BCB A=可知sin sin 2AC A BC B ===．故选C ． 【点睛】本题考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查方程思想，属于中档题．11．D解析：D 【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sin sin a bA B=， 即sin sin sin 3022b B A a ==︒=， 又由a b <，且0180B ︒<<︒， 所以60B =︒或120B =︒， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．C解析：C 【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==sin A =，三角形有两解，故sin 12A <=<，解得2a << 故选：C. 【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题13．【分析】设将利用三角形面积公式表示出来可得在中利用余弦定理可得解得即可求出进而可得的值再利用三角形面积公式即可求解【详解】因为平分所以设则因为设所以所以因为所以即在中所以可得解得：所以所以所以故答案【分析】设12BAD CAD BAC θ∠=∠=∠=，AB x =，将BAD CAD ABC S S S +=△△△利用三角形面积公式表示出来，可得1cos 2x xθ+=，在ABD △中，利用余弦定理可得212cos 2x xθ+-=，解得2x =，即可求出cos θ，sin θ，进而可得sin BAC ∠的值，再利用三角形面积公式即可求解. 【详解】因为AD 平分BAC ∠，所以12BAD CAD BAC ∠=∠=∠， 设BAD θ∠=，则CAD θ∠=，2BAC θ∠=， 因为BAD CAD ABC S S S +=△△△，设AB x =， 所以111sin sin sin 2222x x θθθ+=， 所以，sin sin 2sin cos x x θθθθ+=， 因为sin 0θ≠，所以12cos x x θ+=，即1cos 2x xθ+=， 在ABD △中，212cos 2x x θ+-=，所以21122x x x x-+=， 可得220x x --=，解得：2x =，所以3cos cos 4BAD θ∠==，所以sin BAD ∠==，3sin 2sin cos 24BAC θθ∠===，所以1sin 28ABC S AC AB BAC =⋅∠=，【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是将BAD CAD ABC S S S +=△△△用面积公式表示出来可得边角之间的关系，再结合余弦定理即求出边和角即可求面积.14．【分析】首先设中利用正弦定理表示的值【详解】设因为三角形互为全等三角形且是等边三角形所以且在中根据正弦定理有所以所以即故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理三角函数恒等变换属于中档题型【分析】首先设AE x =，CBD ACE θ∠=∠=，CBD 中，CD AE x ==,3BD x =,6060BCE ACE θ∠=-∠=-,利用正弦定理表示tan ACE ∠的值.【详解】设AE x =，22EF AE x ==，因为三角形ABF ，BCD ，CAE 互为全等三角形，且ABC 是等边三角形， 所以CBD ACE θ∠=∠=，CD AE x ==，3BD AF AE EF x ==+=，且6060BCE ACE θ∠=-∠=-,在CDB △中，根据正弦定理有sin sin CD BD CBD BCD=∠∠， 所以()3sin sin 60x x θθ=-，所以()13sin sin 60sin 2θθθθ=-=-，即7sin 2θθ=，sin tan cos θθθ==.【点睛】本题主要考查正弦定理，三角函数恒等变换，属于中档题型.15．【分析】不妨令易知然后在中利用正弦定理求出的值最后在中利用正弦定理可求出的值【详解】解：在中角的平分线交于且设则即整理得所以：结合得即显然是锐角所以再由得：解得故答案为：【点睛】本题考查正弦定理三角【分析】不妨令A α∠=，易知ACD BCD α∠==，3B πα∠=-，然后在ABC 中，利用正弦定理，求出sin α，cos α的值，最后在ABC 中，利用正弦定理，可求出AB 的值．【详解】解：在ABC 中，角C 的平分线交AB 于D ，且CD AD =．设A α∠=，则ACD BCD α∠==，3B πα∠=-， ∴sin sin AC BC B A =∠∠，即32sin(3)sin παα=-， 整理得2sin33sin αα=，所以：2(sin cos2cos sin 2)3sin ααααα+=，结合sin 0α≠得222(2cos 12cos )3αα-+=， 即258cos α=，显然α是锐角，所以cos αα=∴sin 22sin cos ααα==． 再由ABC 得：2sin sin 2AB αα=，∴= 解得10AB ．【点睛】本题考查正弦定理，三角恒等变换的知识方法在解题中的作用，属于中档题．16．【分析】由根据正弦定理边化角可得根据余弦定理结合已知联立方程组即可求得角【详解】根据正弦定理：根据余弦定理：又故可联立方程：解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角解题关键是掌握由正【分析】由sin C B =，根据正弦定理“边化角”，可得=c ，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，结合已知联立方程组，即可求得角cos A .【详解】sin C B=，根据正弦定理：sin sinb cB C=，∴=c，根据余弦定理：2222cosa b c bc A=+-，又222a b=，故可联立方程：222222cos2ca b c bc Aa b⎧=⎪=+-⎨⎪=⎩，解得：cos A=..【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.17．【分析】由与求出的度数根据以及的长利用正弦定理即可求出的长【详解】解：在中即则由正弦定理得：故答案为：【点睛】本题考查正弦定理以及特殊角的三角函数值熟练掌握正弦定理是解本题的关键解析：【分析】由ACB∠与BAC∠，求出ABC∠的度数，根据sin ACB∠，sin ABC∠，以及AC的长，利用正弦定理即可求出AB的长．【详解】解：在ABC∆中，50AC m=，45ACB∠=︒，105CAB∠=︒，即30ABC∠=︒，则由正弦定理sin sinAB ACACB ABC=∠∠，得：50sin21sin2AC ACBABABC∠===∠．故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．【分析】由题意利用正弦定理边化角求得∠B的值然后结合数量积的定义求解的值即可【详解】根据正弦定理得：故答案为【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理的应用等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3-【分析】由题意利用正弦定理边化角，求得∠B的值，然后结合数量积的定义求解AB BC⋅的值即可.【详解】()2a c cosB bcosC -=根据正弦定理得：()2sinA sinC cosB sinBcosC -=2sinAcosB sinBcosC sinCcosB =+()2sinAcosB sin B C =+2sinAcosB sinA =12cosB ∴=, 60B ∴=1||2332AB BC AB BC cosB ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭ 故答案为3-【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【分析】先由余弦定理可将条件整理得到利用正弦定理得到；结合二倍角公式；再由和差化积公式得：代入①整理得；求出和的关系求出角的范围即可求解【详解】解：由余弦定理可知则整理得即由正弦定理可得即①由和差化解析：，1) 【分析】先由余弦定理可将条件整理得到22c a ab -=，利用正弦定理得到22sin sin sin sin C A A B -=；结合二倍角公式1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==；再由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①整理得sin sin()sin()A A C C A =--=-；求出A 和C 的关系，求出角的范围即可求解．【详解】解：由余弦定理可知222cos 2a b c C ab+-=，则22222a b c b a ab a +--=， 整理得2222a b c b ab +-=-，即22c a ab -=，由正弦定理可得，22sin sin sin sin C A A B -=，即1cos21cos2cos2cos2sin sin 222C A A C A B ----==①， 由和差化积公式得：cos2cos22sin()sin()A C A C A C -=-+-代入①得sin()sin()sin sin A C A C A B -+-=；因为sin()sin 0A C B +=≠；sin sin()sin()A A C C A ∴=--=-；在锐角ABC ∆中，C A A -=即2C A =，则3B A C A ππ=--=-， 因为02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩， ∴64A ππ<<，tan A ∴的取值范围是，1)；故答案为：，1)． 【点睛】 本题主要考查正弦定理、余弦定理以及和差化积公式的应用，特殊角的三角函数值，属于中档题．20．【分析】由余弦定理可求出角再根据正弦定理即可表示出然后利用消元思想和辅助角公式即可求出的最大值【详解】因为所以而∴∵∴∴其中所以的最大值为当时取得故答案为：【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中解析：【分析】由余弦定理可求出角B ，再根据正弦定理即可表示出2a c +，然后利用消元思想和辅助角公式，即可求出2a c +的最大值．【详解】因为222a cb ac +-=，所以2221cos 222a c b ac B ac ac +-===，而0B π<<，∴3B π=．∵2sin sin sin sin 3a b c A B C π====，∴2sin ,2sin a A c C ==．∴222sin 4sin 2sin 4sin 4sin 3a c A C A A A A π⎛⎫+=+=+-=+ ⎪⎝⎭()A ϕ=+，其中tan 2ϕ=．所以2a c +的最大值为2A πϕ=-时取得．故答案为：【点睛】 本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及利用三角函数求解三角形中的最值问题，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）7；（2 【分析】（1）分别在△ABD 、△ABC 中，由余弦定理求BD ，BC ，即可求DC 的长度； （2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=，在△ABD 中由余弦定理求sin 2θ、sin θ、cos θ，法一：即可求sin3θ、cos3θ，由已知求sin B ，又()sin sin 3C B πθ=--即可求值；法二：由余弦定理求cos BDA ∠，sin BDA ∠，又()sin sin C BDA θ=∠-即可求值.【详解】（1）在△ABD 中，由余弦定理得22223616312co 24s AB BD AD B AB B BD D BD +-⋅⋅=+-==， ∴5BD =或4BD =．当4BD =时，161636cos 0244ADB +-∠=<⨯⨯，则2ADB π∠>，不合题意，舍去； 当5BD =时，162536cos 0245ADB +-∠=>⨯⨯，则2ADB π∠<，符合题意． ∴5BD =． 在△ABC 中，22223672312co 24s AB BC AC B AB B BC C BC +-⋅⋅=+-==， ∴12BC =或3BC =-（舍）．∴7DC BC BD =-=．（2）记DAC ∠θ=，则2BAD θ∠=．在△ABD 中，2229cos cos2216AB AD BD BAD AB AD θ+-∠===⋅，∴2θ为锐角，得21cos27sin 232θθ-==，sin 2θ=sin θ=，cos θ=，法一：sin3sin 2cos cos2sin θθθθθ=+=，同理cos3θ=由3cos 4B =知：sin B =，∴()()sin sin 3sin 3sin cos3cos sin3C B B B B πθθθθ=--=+=+法二：2221625361cos 22458AD BD AB BDA AD BD +-+-∠===⋅⨯⨯，sin BDA ∠．∴()sin sin sin cos cos sin C BDA BDA BDA θθθ=∠-=∠-∠=【点睛】关键点点睛：（1）应用余弦定理求三角形的边长，根据边的数量关系求DC ；（2）由余弦定理，利用诱导公式及两角和或差的正弦公式，求角的正弦值即可.22．（1）π4A =；（2）a =3AD =． 【分析】（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，再化简计算即可求出cos A =（2）由余弦定理求得a =，求得cos B =3a BD ==，再由余弦定理即可求出AD .【详解】解：（1()sin sin sin tan cos C B A C A C -=-，()()sin sin sin tan cos C A C A C A C -+=-，∴2sin sin cos cos sin sin sin cos cos A C A C A C C A C A--=-，∵sin 0C ≠，∴2sin cos cos A A A+=∴cos 2A =0πA <<，∴π4A =． （2）由余弦定理可得：2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=， ∴a =∵点D 在边BC 上，且2CD DB =，∴33a BD ==，又222cos 2a c b B ac +-==∴222582cos 9AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=，∴3AD =． 【点睛】关键点睛：本题考查正余弦定理的应用，解题的关键是正确利用正弦定理化边为角处理条件，再结合三角恒等变换化简运算.23．（1）45-；（2 【分析】 （1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式、余弦公式，化简整理，即可求得答案.（2）由（1）可得4cos 5A =-，根据余弦定理，可得25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，根据基本不等式，即可求得b c +的最大值.【详解】（1）由题意得5cos cos 4cos 4cos 5sin sin a C B b C c B c A B -=+， 正弦定理边化角得：5sin cos cos 4sin cos 4sin cos 5sin sin sin A C B B C C B C A B -=+，所以5sin (cos cos sin sin )4(sin cos sin cos )A C B C B C B B C -=+，所以5sin cos()4sin()A B C B C +=+，又A B C π++=，所以sin()sin()sin ,cos()cos()cos B C A A B C A A ππ+=-=+=-=-，所以5sin cos 4sin A A A -=，又因为(0,)A π∈，所以sin 0A ≠， 所以4cos 5A =-. （2）由（1）可得4cos 5A =-， 由余弦定理得2222()294cos 225b c a b c bc A bc bc +-+--===-， 所以25()92bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦， 由基本不等式可得22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以225()922b c b c +⎛⎫⎡⎤+-≤ ⎪⎣⎦⎝⎭，解得b c +≤ 当且仅当b c =时等号成立，所以b c +【点睛】解题的关键是熟练掌握正余弦定理、基本不等式等知识，并灵活应用，考查计算化简的能力，属中档题.24．（1）证明见解析；（2）2. 【分析】（1）解法一：用正弦定理化边为角，得到2sin sin sin B A C =，再变成2b ac =，运用基本不等式可证明解法二：用余弦定理化角为边，得到关系式2b ac =，再用基本不等式求解即可. （2）用余弦定理求出3cos 4B =，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解法一：由已知及正弦定理，得cos cos 1sin sin sin A C A C B += 因为cos cos cos sin cos sin sin()sin sin sin sin sin sin sin sin sin +++===A C A C C A A C B A C A C A c A c所以sin 1sin sin sin =B A c B，2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =，即4ac =.4a c +≥=. 解法二：由已知及余弦定理，得222221222+-+-+=b c a a b c abc abc ，得24==ac b ，所以4a c +≥=.（2）因为ABC 的周长为2+a c +=因为22222cos ()22cos b a c ac B a c ac ac B =+-⋅=+--⋅又因为4ac =，所以3cos 4B =得sin B =.所以1sin 2sin 2===ABC S ac B B 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．25．（1）π3A =；（2）6. 【分析】（1）由正弦定理把条件cos cos 2cos b C c B a A +=转化为角的关系，再由两角和的正弦公式及诱导公式得A 的关系式，从而可得结论；（2）首先可根据解三角形面积公式得出8bc =，然后根据余弦定理计算出6b c +=.【详解】（1）因为cos cos 2cos b C c B a A +=由正弦定理得，sin cos sin cos 2sin cos B C C B A A +=所以()sin sin 2sin cos B C A A A +==因为0πA <<所以，sin 0A ≠所以1cos 2A =，所以π3A =（2）因为ABC 的面积为所以1sin 2bc A =因为π3A =，所以1πsin 23bc =， 所以8bc =．由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，因为a =，π3A =， 所以()()2222π122cos 3243b c bc b c bc b c =+-=+-=+-， 所以6b c +=．【点睛】关键点点睛：解题时要注意边角关系的转化.求“角”时，常常把已知转化为角的关系，求“边”时，常常把条件转化为边的关系式，然后再进行转化变形.26．4【分析】根据题意，在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，结合已知条件222a c b -=，联立即可得解.【详解】在ABC 中，因为sin cos 3cos sin A C A C =，由正弦定理及余弦定理可得:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-⋅=⋅ 化简并整理得：2222()a c b -=，又由已知222a c b -=，所以24b b =，解得4b =或0b =，由0b ≠，所以4b =.。

3.3.2 简单的线性规划问题双基达标 (限时20分钟)1．(2010·福建高考)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，且z ＝x ＋2y 的最小值等于 ( )． A ．2 B ．3 C ．5 D ．9解析 可行域如图阴影部分所示，则当直线x ＋2y－z ＝0经过点M (1,1)时，z ＝x ＋2y 取得最小值，为1＋2＝3.答案 B2．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≥4x －y ≥－1，x －2y ≤2则z ＝x ＋y ( )．A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最小值D ．既无最小值，也无最大值解析 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，令z ＝0，作直线l ：y ＝－x .当平移直线l 至经过A (2,0)时，z取得最小值，z min＝2，由图可知无最大值．故选B.答案 B3．已知点P(x，y)的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤4，y≥x，x≥1，则x2＋y2的最大值为()．A.10 B．8 C．16 D．10解析画出不等式组对应的可行域如图所示：易得A(1,1)，|OA|＝2，B(2,2)，|OB|＝22，C(1,3)，|OC|＝10.∴(x2＋y2)max＝|OC|2＝(10)2＝10.答案 D4．已知⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y≤6x－y≥0y≥0，则z＝3x－y的最大值为________．解析画出可行域如图所示，当直线z＝3x－y过点(3,0)时，z max＝9.答案95．已知实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0，则yx的最大值为________．解析画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－5≤0，x≥1，y≥0，x＋2y－3≥0对应的平面区域Ω，yx＝y－0x－0表示平面区域Ω上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A (1,2)，B (3,0)，∴0≤y x≤2. 答案 26．已知f (x )＝3x －y ，且－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，求f (x )的取值范围．解 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3表示的平面区域，即可行域，如图中 阴影部分所示．在可行域内平移直线l ：3x －y ＝0，当直线l 向下平移过B (0，－1)，即直线x －y －1＝0与x ＋y＋1＝0的交点时，f (x )min ＝3×0＋1＝1；当直线l 向下平移过A (2，－1)即直线x －y －3＝0与x ＋y －1＝0的交点时，f (x )max ＝2×3＋1＝7， ∴1≤f (x )≤7.综合提高 (限时25分钟)7．如图所示的坐标平面的可行域内(包括边界)，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )． A.14B.35 C ．4D.53 解析 由y ＝－ax ＋z 知当－a ＝k AC 时，最优解有无穷多个．∵k AC ＝－35，∴a ＝35. 答案 B8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝ ( )． A ．2 B ．9 C ．310 D ．0解析 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.故选D.答案 D9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0.则z ＝3x ＋2y 的最小值是________．解析 由不等式组得可行域是以A (0,0)，B (0,1)，C (－0.5,0.5)为顶点的三角形，易知当x＝0，y ＝0时，z ′＝x ＋2y 取最小值0.所以z ＝3x＋2y 的最小值是1.答案 1 10．某公司租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为________元．解析 设需租赁甲种设备x 台，乙种设备y 台，则⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋6y ≥50，10x ＋20y ≥140，x ∈N *，y ∈N *.目标函数为z ＝200x ＋300y .作出其可行域，易知当x ＝4，y ＝5时，z ＝200x ＋300y 有最小值2 300元．答案 2 30011．某企业生产A ，B 两种产品，生产每吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：已知生产每吨A 产品的利润是7万元，生产每吨B 产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360 t ，并且供电局只能供电200 kW ，试问该企业生产A ，B 两种产品各多少吨，才能获得最大利润？产品品种 劳动力(个) 煤(t) 电(kW)A 产品 3 9 4B 产品 10 4 5解 设生产A ，B 两种产品各为x ，y 吨，利润为z 万元，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋10y ≤300，9x ＋4y ≤360，4x ＋5y ≤200，x ≥0，y ≥0.z ＝7x ＋12y .作出可行域(如图)，作出在一组平行直线7x ＋12y ＝t (t 为参数)，此直线经过M (20,24)，故z的最优解为(20,24)，z 的最大值为7×20＋12×24＝428(万元)．12．(创新拓展)(2011·三明高二检测)制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？解 设投资人分别用x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8，x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y ，作出平面区域如图所示：作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，即2x ＋y ＝0.并作平行于直线l 0的一组直线l ：z ＝x ＋0.5y ，当l 过点M 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8.得M (4,6)． 此时z max ＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．所以投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．。

2.5 等比数列的前n 项和前7项的和为 ( )．答案 C2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( )．A ．2B ．4C.152D.172解析 S 4a 2＝a 1(1－q 4)1－q a 1q ＝a 1(1－16)－a 1·2＝152.答案 C3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )． A ．33B ．72C ．84D ．189解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q ＋q 2－6＝0.∵q >0，∴q ＝2. ∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝22·S 3＝84. 答案 C4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.解析 由a 1＝1，S 6＝4S 3， ∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q ，∴1－q 6＝4(1－q 3)．得q 3＝3， 故a 4＝a 1q 3＝1×3＝3. 答案 35．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2.则该数列前15项的和S 15＝________.解析 由性质知：a 1＋a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9，…成等比数列，其公比q ＝－21＝－2，首项为a 1＋a 2＋a 3＝1，其前5项和就是数列{a n }的前15项的和S 15＝1·[1－(－2)5]1－(－2)＝11. 答案 116．已知数列{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和记为S n ，证明：S n <128(n ＝1,2,3，…)． (1)解 设等比数列{a n }的公比为q (q ∈R )， 由a 7＝a 1q 6＝1，得a 1＝q －6， 从而a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2， a 6＝a 1q 5＝q －1.因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列， 所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3＋q －1＝2(q －2＋1)，q －1(q －2＋1)＝2(q －2＋1)． 所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝64⎝⎛⎭⎫12n －1.(2)证明 S n ＝a 1(1－q n)1－q＝64⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝128⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n <128. 综合提高(限时25分钟)7．在等比数列{a n }中，已知前4项和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为 ( )．A ．2B ．－2C ．2或－2D ．2或－1解析 已知⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝1，S 8＝17，即S 4＝1，S 8－S 4＝16.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝16， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·q 4＝16. 两式相除得q 4＝16，∴q ＝±2. 答案 C8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2等于 ( )． A ．(2n －1)2 B.13(2n －1)2C ．4n －1 D.13(4n －1)n ⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋ (12)＝n [1＋(2n －1)]2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n10．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于________． 解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n－a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1. 答案 2n －111．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，在数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解 (1)由S n ＝2a n －2，得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a n a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＝2n . ∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列，∵b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1② ①－②得：－T n ＝1×2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6 ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.12．(创新拓展)n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列： a 11 a 12 a 13 a 14 … a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 … a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 … a 3n … … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 a n 4 … a n n其中第一行的数成等差数列，每一列中的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a 24＝1，a 42＝18，a 43＝316，求a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n .解 设第1行的公差为d ，各列公比为q ，则得 a 1k ＝a 11＋(k －1)d ，a 24＝a 14q ＝(a 11＋3d )q ＝1① a 42＝a 12q 3＝(a 11＋d )q 3＝18②a 43＝a 13q 3＝(a 11＋2d )q 3＝316③由①②③，解得a 11＝d ＝q ＝12.∴a kk ＝a 1k q k －1＝[a 11＋(k －1)d ]q k －1＝k 2k .设S n ＝a 11＋a 22＋a 33＋…＋a n n ，则 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ④12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2n ＋1⑤。