高中数学第二章函数概念与基本初等函数I22函数的简单性质名师导航学案苏教版1

2．2．2 函数的奇偶性1．了解函数奇偶性的含义．2．会判断一些简单函数的奇偶性． 3．了解奇函数和偶函数图象的特点．1．奇函数和偶函数(1)一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．(2)如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．【做一做1】有下列函数：①y ＝2x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝x 2；④y ＝x 3＋x ；⑤y ＝x 2－x ；⑥y ＝－3x；⑦y ＝2x 2－1；⑧y＝2|x |＋2．其中奇函数有__________，偶函数有__________． 答案：①④⑥ ③⑦⑧ 2．奇偶性(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f (x )具有奇偶性． (2)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x ∈A ，－x ∈A ，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．【做一做2－1】已知f (x )＝ax 3＋bx －3中，f (－2)＝3，则f (2)＝__________． 解析：因为f (－x )＋f (x )＝－6， 所以由f (－2)＝3，得f (2)＝－9． 答案：－9【做一做2－2】函数f (x )＝－x ＋1x的奇偶性是__________．答案：奇函数如何判断函数的奇偶性？剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，－x 不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］是非奇非偶函数．②再看f (－x )与f (x )的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x 3＋1，它们的定义域都是R ，因为f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ≠±f (x )，所以它是非奇非偶函数．同理可证g (x )＝x 3＋1也是非奇非偶函数．③然后得出结论．(2)定义域关于原点对称，满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数也是偶函数，如f (x )＝0(x ∈R )．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)来代替．(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．题型一 判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ； (3)f (x )＝a (x ∈R )；(4)f (x )＝⎩⎨⎧x (1－x )，x ≥0，x (1＋x )，x ＜0.分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可． 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称， 所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， 当a ＝0时，f (x )既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，f (－x )＝a ＝f (x )，即f (x )是偶函数． (4)函数的定义域为R ，关于原点对称，当x ＞0时，－x ＜0，此时f (－x )＝－x ［1＋(－x )］＝－x (1－x )＝－f (x )； 当x ＜0时，－x ＞0，此时f (－x )＝－x ［1－(－x )］＝－x (1＋x )＝－f (x )； 当x ＝0时，－x ＝0，此时f (－x )＝0，f (x )＝0， 即f (－x )＝－f (x )．综上，f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．题型二 求函数解析式【例2】设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )的解析式．解：当x ＜0时，则－x ＞0，所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1． 又f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，所以－f (x )＝x 2＋2x ＋1．所以f (x )＝－x 2－2x －1．当x ＝0时，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以一定有f (0)＝0．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋1，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －1，x <0.反思：本题中x ∈R ，容易遗漏x ＝0的情况，对于定义在R 上的奇函数一定有f (0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．【例3】已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3．求f (x )和g (x )的解析式．分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．解：由条件得f (－x )－g (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3．又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．∴－f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋3．∵f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3， 两式相减得f (x )＝2x ，两式相加得g (x )＝－x 2－3．反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．题型三 函数奇偶性的应用【例4】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值． 分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．解：函数图象如图所示．由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．反思：本题中，已知函数满足f (－x )＝f (x )，说明f (x )是偶函数，它的图象关于y 轴对称，由此可先作出函数在y 轴右侧的图象，再将其沿y 轴翻折即可．1函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是__________．解析：因为f (－x )＝－x ［(－x )2－1］＝－f (x )， 所以原函数是奇函数．排除③④．又当x ＝12时，y ＝12×114⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－38＜0，说明点13,28⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限．排除②．答案：①2函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5是偶函数，则b ＝____，c ＝____．解析：由条件得f (－x )＋f (x )＝2bx 2＝0，∴b ＝0． 由条件得g (－x )＝g (x )，且g (－x )＝3x 2－(c －2)x ＋5， g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5，∴c ＝2． 答案：0 23判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝2x 2－7；(2)f (x )＝2x 3＋5x ； (3)f (x )＝5x －3．解：(1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )2－7＝2x 2－7＝f (x )，所以f (x )＝2x 2－7为偶函数；(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )3＋5(－x )＝－(2x 3＋5x )＝－f (x )，所以f (x )＝2x 3＋5x 为奇函数； (3)f (x )的定义域是R ．因为f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f (1)， 故f (x )＝5x －3不是奇函数．又f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f (1)， 故f (x )＝5x －3不是偶函数．综上所得f (x )＝5x －3为非奇非偶函数．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7xx 2＋x ＋1．求当x ＜0时，f (x )的解析式．解：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝－7×(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7xx 2－x ＋1． 又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝7xx 2－x ＋1(x ＜0)．5已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小．分析：利用单调性比较大小．解：∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－5)＝f (5)．又∵函数y ＝f (x )在［2,6］上是减函数，且5＞3， ∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．。

第2课时函数的最值1．理解函数最值的定义，知道最值是函数定义域上的一个整体性质．2．会求一些简单函数的最值．3．了解函数最值与函数单调性的关系．1．最大值一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y ma x＝f(x0)．【做一做1】函数y＝－x2＋5的最大值为________．答案：52．最小值一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在定值x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．【做一做2】函数y＝3x＋1，x∈［1,4］的最小值为________．答案：43．函数的最大值和最小值统称为函数的最值．(1)函数的值域是指函数值的集合．函数最大(小)值一定是值域中的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间右(左)端点的值．(2)函数的值域和最值既有区别又有联系．一般来讲，对于图象是连续不断的函数，知道函数在定义域上的最大值和最小值，可知函数的值域，而知道了函数的值域，不一定能确定最值．【做一做3－1】函数y＝－3x＋1，x∈［－2,3］时的值域是__________．解析：当x∈［－2,3］时，y ma x＝－3×(－2)＋1＝7，y min＝－3×3＋1＝－8．答案：［－8,7］【做一做3－2】函数y＝－x2－4x＋1，x∈［－3,3］的值域是__________．解析：y＝－(x＋2)2＋5，当x＝－2时，y有最大值5；当x＝3时，y有最小值－20．答案：［－20,5］求函数最值的三种方法剖析：(1)作出函数的图象，从图象直接观察可得最值；(2)求出函数的值域，其边界值即为最值，此时要注意边界值能否取到(即是否存在)的问题；(3)由函数的单调性求最值．①最大值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数，则f(x)在x＝c时取得最大值．②最小值：已知函数y＝f(x)的定义域是［a，b］，a＜c＜b，当x∈［a，c］时，f(x)是单调减函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调增函数，则f(x)在x＝c时取得最小值．题型一函数的最值【例1】已知一次函数y＝kx＋b，当x∈［－1,3］时，y ma x＝5，y min＝－3．试求函数解析式．解：若k ＞0，则由条件得⎩⎨⎧－k ＋b ＝－3，3k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧ k ＝2，b ＝－1，y ＝2x －1．若k ＜0，则由条件得⎩⎨⎧3k ＋b ＝－3，－k ＋b ＝5，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝3，y ＝－2x ＋3．反思：因一次函数y ＝kx ＋b 的单调性由k 来确定，所以当x ∈［m ，n ］时，y 的最值应根据k 来确定，若k ＞0，则y ∈［km ＋b ，kn ＋b ］；若k ＜0，则y ∈［kn ＋b ，km ＋b ］．【例2】已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，x ∈［－1,1］，求函数f (x )的最小值． 解：函数f (x )的对称轴为x ＝a ，且开口向上，如图，；a 2－3＝(1)f ＝min )x (f ］上单调递减，故1,1在［－)x (f 时，1＞a 当 ；2a －2＝)a (f ＝min )x (f ］上先减后增，故1,1在［－)x (f 时，≤1a 1≤当－ ．a 2＋3＝1)－(f ＝min )x (f ］上单调递增，故1,1在［－)x (f 时，1＜－a 当 ⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a>1，2－a2，－1≤a≤1，3＋2a ，a<－1.＝min )x (f 的最小值为)x (f 综上，可知 反思：求二次函数在闭区间上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的相对位置，简称“两看法”．只需作出二次函数相关部分的简图，利用数形结合法就可以得到问题的解．运用这个方法，同样可以解决对称轴确定而区间变化的问题，甚至开口方向、对称轴、区间同时都在变化的问题． 题型二 含参不等式恒成立问题，∞)，＋1［∈x ，x2＋2x ＋ax ＝)x (f 】已知函数3【例 的最小值；)x (f 时，求函数12＝a 当(1) (2)若对任意x ∈［1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．(2)可确定函数解析式，由函数的单调性可确定最值；问题12＝a 中，由(1)问题分析：为恒成立问题，常结合函数性质，合理构建．，2＋12x＋x ＝)x (f 时，12＝a 当(1)解： －2x (＝)1x (f －)2x (f ，2x ＜1x 上的任意两个值，且∞)，＋1是［2x ，1x 设，)1x．0＞12x1x2－1，所以12＜12x1x2＜2,0＞2x 1x 2 ，0＞)1x (f －)2x (f ，所以0＞1x －2x 又 ∞)，＋1在区间［)x (f 上为增函数，则∞)，＋1在区间［)x (f ．所以)2x (f ＜)1x (f 则．72＝(1)f 上的最小值为 (2)方法一：在区间［1，＋∞)上，恒成立，0＞x2＋2x ＋ax ＝)x (f 恒成立．0＞a ＋x 2＋2x 即 ．∞)，＋1［∈x ，a ＋x 2＋2x ＝y 设 上递增，∞)，＋1在区间［1－a ＋21)＋x (＝y 则 ．a ＋3＝min y 时，1＝x 所以当 时，0＞a ＋3＝min y 于是当且仅当 函数f (x )＞0恒成立，故a ＞－3．，∞)，＋1［∈x ，2＋ax＋x ＝)x (f 方法二： 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正，当a ＜0时，函数f (x )递增，恒成0＞)x (f 时，函数0＞a ＋3＝min )x (f ，于是当且仅当a ＋3＝min )x (f 时，1＝x 故当立，故a ＞－3．反思：求函数的最值，先求函数的定义域．函数的最值及值域经常与函数的单调性联系在一起，所以有时先求函数单调性再根据单调性求函数最值．．a ≤x ma )x (f 恒成立的条件是a )≤x (f ，a ≥min )x (f 恒成立的条件是a )≥x (f 不等式 题型三 最值的应用【例4】某工厂拟建造一座平面图如图所示为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米．如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计，且无池盖)．求污水处理池的长和宽各为多少米时，总造价最低？并求出最低总造价．解：设污水处理池的长为x 米，0＜x ≤16，．≤16＜0米，则宽为＝80×200＋248×2×＋400×2×＝y 根据题意，总造价为．16 000＋800×］．5,16．12得定义域为［由 16＝x 当∴］上是单调减函数，5,16．12在［16 000＋800×＝y 函数∵时，y 取最小值为45 000．故当污水处理池的长为16米，宽为12．5米时，总造价最低，最低总造价为45 000元．反思：在利用函数的单调性处理有关实际问题的最值时，一定要注意函数的定义域要使实际问题有意义．1函数f (x )＝3x ＋a ，x ∈［－1,2］的最大值与最小值的差为__________．解析：由题意知f (x )为增函数，最大值与最小值的差为f (2)－f (－1)＝3×2＋a －3×(－1)－a ＝9．答案：9．__________的值域是11－x(1－x)＝)x (f 函数2 ．43＝x ma )x (f ，从而34≥34＋＝1＋x －2x ＝)x －(1x －1因为解析： ．的值域是)x (f ，所以0＞)x (f 又 答案：3以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开(如图)，已知篱笆总长为定值L ，写出场地面积y 为一边长x 的函数， 并求出函数的定义域及面积的最大值．解：根据题意，可得y ＝(L －3x )x ，．L3＜x ＜0解得⎩⎨⎧x ＞0，L －3x ＞0.由题意知 ．的定义域为x )x 3－L (＝y 函数∴ x L ＋2x 3＝－x )x 3－L (＝y ∵ ．L212＋3＝－ ．L212＝x ma y 时，L 6＝x 当∴ 4若不等式|x －2|＋|x ＋3|≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：由f (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝得其图象如图所示，所以f (x )min ＝5，从而a ∈(－∞，5］．］上的最值．2＋t ，t ，求函数在区间［3＋x 4－2x ＝)x (f 已知5，作出如图所示的图象，1－22)－x (＝3＋x 4－2x ＝)x (f 解： 图象的对称轴为x ＝2．①当t ＋2＜2，即t ＜0时，f (x )在区间［t ，t ＋2］上单调递减，，3＋4t －2t ＝)t (f ＝x )ma x (f 所以 ；1－2t ＝2)＋t (f ＝)min x (f ②当2≤t ＋2＜3，即0≤t＜1时，．1＝－(2)f ＝min )x (f ，3＋t 4－2t ＝)t (f ＝x ma )x (f ③当3≤t ＋2＜4，即1≤t ＜2时，，1＝－(2)f ＝min )x (f 同上可知 ．1－2t ＝2)＋t (f ＝x ma )x (f )t (f ＝min )x (f ］上单调递增，所以2＋t ，t 在区间［)x (f 时，≥2t ，即2≥4＋t 当④，3＋t 4－2t ＝ ．1－2t ＝2)＋t (f ＝x ma )x (f。

2.1 函数的概念和图象2.1.1 函数的概念名师导航知识梳理 1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f(x)，x ∈A. 其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f(x)的__________；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}(⊆B)叫做函数y=f(x)的__________. 函数符号y=f(x)表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数__________. (1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A,B 为__________的数集. (2)A ：定义域；{f(x)|x ∈A}：值域,其中{f(x)|x ∈A}__________B ； f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B.(3)函数符号：y=f(x)↔y 是x 的函数，简记f(x). 2.已学函数的定义域和值域(1)一次函数f(x)=ax+b(a ≠0):定义域为__________,值域为__________; (2)反比例函数f(x)=xk(k ≠0):定义域为__________,值域为__________; (3)二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0):定义域为__________，值域：当a>0时，为__________；当a<0时，为__________. 3.函数的值：关于函数值f(a)例：f(x)=x 2+3x+1,则f(2)= __________. 4.函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x)|x ∈A}.只有当这三要素__________时，两个函数才能称为同一函数. 疑难突破有关函数概念的理解剖析：(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集. (2)求定义域的基本步骤为:根据所给函数按照基本要求列出不等式组,解不等式组即可. (3)定义域是一个集合，要用集合作答.也可写成区间的形式，定义域用区间表示有时显得非常简捷.(4)随着今后的学习，自变量x 的取值范围还可能受到一些新的限制，如对数函数，三角函数等.(5)两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同时，才是同一函数.(6)注意：我们可以定义一个函数f ：A →B ，该函数的值域C 并不一定等于集合B ，但C 一定是B 的一个子集.(7)理解函数符号“y=f(x)”的含义.符号“y=f(x)”用语言通俗解释为“y 是x 的函数”，它仅仅是抽象的、简洁的函数符号，每一部分都有其特定的含义. 问题探究问题1 高中阶段学习的函数的概念和初中阶段学习的函数的概念有什么异同？探究思路：初中阶段的概念是这样的：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.高中阶段的概念是这样的：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A.其中，x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.两种函数概念有以下的相同点：(1)两种表示的定义域和值域完全相同；(2)对应关系本质上也是一样的；(3)都是描述变量之间的依赖关系.两种函数概念有以下的不同点：(1)用集合的观点说明变量；(2)用对应关系表示变化过程；(3)表示法的不同：初中里的表示法比较单一，在高中更全面.问题2 对于函数f(x)=x2+2x-3，试画出它的图象.你能根据它的图象画出下列各函数的图象吗？你从中能总结出什么结论？(1)y=-f(x)；(2)y=f(-x)；(3)y=-f(-x)；(4)y=f(|x|)；(5)y=|f(x)|；(6)y=f(x+1)；(7)y=f(x)+1.探究思路：已知函数y=f(x)，求作其图象有两种思路.思路一：列表描点法.思路二：利用函数图象的变换去画图，题(1)—(5)可通过对称变换，(6)(7)可用平移变换.如下图所示.典题精讲例1 下列各题中的两个函数表示同一个函数的是( )A.f(x)=x ，g(x)=n n x 22B.f(n)=2n+1(n ∈Z )，g(n)=2n-1(n ∈Z )C.f(x)=x-2，g(t)=t-2D.f(x)=xx --112，g(x)=1+x思路解析 两个函数相同必须有相同的定义域、值域和对应法则.A 中两函数的值域不同；B 中虽然定义域和值域都相同，但对应法则不同；C 中尽管表示自变量的两个字母不同，但两个函数的三个要素是一致的，因此它们是同一函数；D 中两函数的定义域不同. 答案:C例2 求下列函数的定义域： (1)y=2+23-x ； (2)y=x -3·1-x ；(3)y=(x-1)0+12+x . 思路解析 给定函数时，要指明函数的定义域.对于用函数解析式表示的函数，如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合.因为函数的定义域是同时使函数解析式各部分有意义的x 值的集合，所以应取各部分的交集.解答：(1)要使函数有意义，当且仅当x-2≠0，即x ≠2，所以这个函数的定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.(2)要使函数有意义，当且仅当⎩⎨⎧≥-≥-,01,03x x 解得1≤x ≤3，所以这个函数的定义域为{x|x ∈R且1≤x ≤3}.(3)要使函数有意义，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧≥+≠-,012,01x x 解得x>-1且x ≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>-1且x ≠1}.例3 求下列函数的值域：(1)y=x 2-2x-1，x ∈［0，3］； (2)y=2-x +3；(3)y=1222+-x x ；(4)y=|x-1|+|x-2|.思路解析 求二次函数的值域一般要数形结合，先配方找出对称轴，再考察给定区间与对称轴的关系，利用二次函数在对称轴两侧的单调性，求出给定区间上的最大值和最小值，即可得到函数的值域.除数形结合之外，求函数的值域的方法还有逐步求解法、判别式法、分离常数法和利用有界性等.绝对值函数通常先化为分段函数.解答：(1)将原式变形，得y=(x-1)2-2，此函数的对称轴为x=1，由于x ∈［0，3］，∴当x=1时，y 有最小值-2.根据函数的对称性知，x=3比x=1的值要大，∴当x=3时，y 有最大值2.∴这个函数的值域为［-2，2］. (2)易知x ≥2，∴2-x ≥0.∴y=2-x +3≥3.∴这个函数的值域为［3，+∞］.(逐步求解法)(3)先分离常数，y=1222+-x x =131131222+-=+-+x x x . ①解法一：(逐步求解法)∵x 2+1≥1，∴0＜112+x ≤1. ∴1＞1-132+x ≥-2.∴y ∈［-2，1). 解法二：(判别式法)两边同乘以x 2+1并移项，得(y-1)x 2+y+2=0，又由①可知y ≠1，∴Δ=-4(y-1)(y+2)≥0.∴y ∈［-2，1). 解法三：(利用有界性)∵y ≠1，易得x 2=yy -+12. 又∵x 2≥0，∴yy -+12≥0.∴y ∈［-2，1). (4)原函数可化为y=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤-.2,32,21,1,1,23x x x x x 由下图可知y ∈［1，+∞).例4 下图是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f(-3)、f(1)的值； (3)若f(x)=16，求x 的值；思路解析 本题是一个分段函数问题，当输入值x ≥1时，先将输入值x 加2再平方得输出值y ；当输入值x ＜1时，则先将输入值x 平方再加2得输出值y.解答：(1)y=⎩⎨⎧<+≥+.1,2.1,)2(22x x x x(2)f(-3)=(-3)2+2=11；f(1)=(1+2)2=9.(3)若x ≥1，则(x+2)2=16，解得x=2或x=-6(舍). 若x ＜1，则x 2+2=16，解得x=14(舍)或x=-14.综上可得x=2或x=-14.例5 已知函数y=f(2x-1)的定义域为［-1，1］，求函数y=f(x-2)的定义域.思路解析 求函数y=f(x-2)的定义域，是求式子x-2中x 的范围.这里决不能将前后两个x 看成是相等的量，但是2x-1与x-2都是对应法则f 的作用对象，因此，这两个代数式的范围是一致的.解答：设t=2x-1， ∵-1≤x ≤1， ∴-3≤2x-1≤1，即函数y=f(t)的定义域为t ∈［-3，1］. 再设x-2=t ，则-3≤x-2≤1， ∴-1≤x ≤3.∴函数y=f(x-2)的定义域为［-1，3］. 知识导学1.函数的三要素构成函数的三要素：定义域A ，对应法则f ，值域B.其中核心是对应法则f ，它是联系x 和y 的纽带，是对应得以实现的关键，对应法则可以由多种形式给出，可以是解析法，可以是列表法和图象法，不管是哪种形式，都必须是确定的，且使集合A 中的每一个元素在B 中都有唯一的元素与之对应.当一个函数的定义域和对应法则确定之后，值域也就唯一的确定了，所以值域是定义域这个“原材料”通过对应法则“加工”而成的“产品”.因此，要确定一个函数，只要定义域与对应法则确定即可.2.函数的图象所谓函数y=f(x)的图象，就是将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x 0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x 0，f(x 0)).当自变量取遍函数定义域A 中的每一个值时，就得到一系列这样的点.所有这些点组成的集合(点集)为{(x 0，f(x 0))|x ∈A}，即{(x ，y)|y=f(x)，x ∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y=f(x)的图象. 函数的图象是数形结合应用的典范. 函数图象是函数关系的一种表示方法，它能够也必须把函数的三要素全面而直观地反映出来，它是研究函数关系、性质的重要工具.函数图象是函数部分运用数形结合思想方法的基础.函数图象部分应解决好画图、识图、用图这三个基本问题，即对函数的图象有三点要求：(1)会画各种简单函数的图象；(2)能以函数的图象识别相应函数的性质；(3)能用数形结合思想以图辅助解题. 疑难导析1.两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同，例如函数f(x)=｜x ｜，与f(x)=x 2是同一个函数.2.函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)中，f 是表示函数的对应关系，等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x ，在对应关系f 的作用下，可得到y ，因此，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学表示，它不表示“y 等于f 与x 的乘积”.f(x)可以是解析式，也可以是图象或数表.符号f(a)与f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当自变量x=a 时函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x 的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.3.值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况下，一旦定义域和对应关系确定，函数的值域也就随之确定. 问题导思关于函数的两个定义实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高中定义却是从集合、对应的观点出发.初中阶段学习的函数的概念的优点是直观、生动.高中阶段学习的函数的概念的优点：更具一般性.比如按初中的定义就很难判断下面的表达式是不是函数： ⎩⎨⎧,,0,,1为无理数时当为有理数时当x x现在用高中学的函数概念来判断则是没有问题的.事实上，在判断两个函数是不是同一个函数时，只要定义域和对应法则相同，则必为同一函数，还有一点，如果三者中有一个不同，则必不是同一函数.根据这组函数图象可得到如下结论：(1)函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x 轴对称； (2)函数y=f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于y 轴对称；(3)函数y=-f(-x)的图象与y=f(x)的图象关于原点(0，0)对称；(4)函数y=f(|x|)=⎩⎨⎧<-≥,0),(,0),(x x f x x f 即在y 轴上及其右侧的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将y 轴右侧的图象作关于y 轴的对称图象可得x ＜0时的图象；(5)函数y=|f(x)|= ⎩⎨⎧<-≥,0)(),(,0)(),(x f x f x f x f 即在x 轴上及其上方的图象与函数y=f(x)的图象相同，再将x 轴下方的图象作关于x 轴的对称图象可得f(x)＜0时的图象； (6)函数y=f(x ＋1)的图象是将y=f(x)的图象向左平移一个单位得到的； (7)函数y=f(x)＋1的图象是将y=f(x)的图象向上平移一个单位得到的. 在函数图象平移时，记住一个口诀：“平移变换，左加右减.”左是往左平移，指的是图象往左平移几个单位，则函数解析式的自变量要加几个单位；右是往右平移，指的是图象往右平移几个单位，解析式的自变量要减去几个单位. 典题导考绿色通道 给定两个函数，要判断它们是否是同一函数，主要看两个方面：一看定义域是否相同；二看对应法则是否一致.只有当两函数的定义域相同且对应法则完全一致时，两函数才可称为同一函数.若判断两个函数不是同一个函数，只要三者中有一者不同即可判断不是同一个函数. 典题变式下列四对函数中表示同一函数的是( ) A.f(x)=x ，g(x)=(x )2B.f(x)=x ，g(x)=2xC.f(x)=x ，g(x)=33x D.f(x)=242--x x ，g(x)=x+2答案:C绿色通道 一般地，求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的取值的集合： (1)解析式是整式的函数，其定义域为R ；(2)解析式是分式的函数，其定义域为使分母不为零的实数的集合；(3)解析式是偶次根式的函数，其定义域是使被开方式为非负数的实数的集合；(4)如果解析式是由实际问题得出的，则其定义域不仅是要使实际问题有意义，还必须是使函数解析式有意义的实数的集合；(5)求函数的定义域的步骤通常是先根据题意列不等式(组)，后解不等式(组)，而后得出结论.典题变式已知函数f(x)=322--x x 的定义域为F ，g(x)=31-+x x 的定义域为G ，那么集合F 、G 的关系是( )A.F=GB.F ⊆GC.G ⊆FD.F ∪G=G答案:C绿色通道 求值域一定要注意定义域的限制，一定要在定义域的范围内求函数的值域.当然，求值域一定要根据函数的对应关系来确定.如果我们抓住了这些解决问题的关键，求这类问题就能得心应手. 典题变式 1.函数y=1-+x x 的值域为______________.答案:［1，+∞)2.求下列函数的值域: (1)y=245x x -+； (2)y=2x-1-x ；(3)y=651222+---x x x x ；(4)y=|x+1|+|x-2|. 答案:(1)［0,3］；(2){y|y ≥815}； (3)R ；(4)［3,+∞）.3.设A=［1,b ］(b>0)，函数f(x)=21(x-1)2+1，当x ∈A 时，f(x)的值域也是A ，试求b 的值.答案:b=3.绿色通道 通过实例，了解简单的分段函数并能简单应用是新课程标准的基本要求.对于分段函数来说，给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围利用相应的解析式直接求值；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解.但应注意要检验该值是否在相应自变量的取值范围内. 典题变式1.已知函数y=f(x)满足f(0)=1，f(x)=xf(x-1)(x ∈N *)，则f(4)的值为( ) A.4 B.12 C.24 D.32 答案:C 2.已知函数y=⎩⎨⎧>+-≤+,1,3,1,1x x x x 求f ［f(25)］的值.答案:f ［f(25)］=23. 绿色通道 本题是已知复合函数的定义域求另一个复合函数的定义域问题.解决这类问题的重要原则是：相同的对应法则所作用对象的范围是一致的.这里函数y=f(2x-1)的定义域为［-1，1］是指自变量x 的取值范围，而不是指2x-1这个式子的值的范围.解决这类问题的关键是找出原函数y=f(t)的定义域.这里的定义域［-1，1］是函数y=f(2x-1)中x 的范围，即x ∈［-1，1］，而不是2x-1∈［-1，1］. 典题变式函数f(x)的定义域为［0，2］，则函数f(x+1)的定义域是( )A.［-2，2］B.［-1，1］C.［0，2］D.［1，3］ 答案:B。

2.1.1 函数的概念第2课时函数的图象在实际情境中了解图象法是描述两个变量之间函数关系的一种重要方法．通过函数图象，从“形”的角度进一步加深对函数概念的理解．函数的图象将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))．当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．作函数图象，应明确函数定义域，明确函数图象形状，体会定义域对图象的控制作用．k＞0时，图象如下：k＞0，b＞0时，图象如下：b＞0，c＜0时，图象如下：函数新概念，记准要素三；定义域值域，关系式相连；函数表示法，记住也不难；图象和列表，解析最常见．【做一做1－1】作出函数y ＝x 2－2x 在［0,3］上的图象． 解：图象如下：【做一做1－2】在同一直角坐标系中，分别作出直线y 1＝x －2和双曲线y 2＝3x的图象，并根据图象回答x 取何值时，(1)y 1＞y 2；(2)y 1＝y 2；(3)y 1＜y 2．解：图象如图所示．(1)当x ∈(－1,0)∪(3，＋∞)时，y 1＞y 2； (2)当x ＝－1或3时，y 1＝y 2；(3)当x ∈(－∞，－1)∪(0,3)时，y 1＜y 2．函数的图象都是连续的曲线吗？图形都是函数的图象吗？剖析：(1)函数的图象不一定都是连续的曲线．一般来说，如果自变量的取值是连续的，那么它的图象是连续的，如一次函数、二次函数，但如果自变量的取值不是连续的，那么它的图象就是一些孤立点．例如：y ＝3x (x ∈{1,2,3,4,5})．有时函数的图象是由几段线段组成．(2)检查一个图形是否为某个函数的图象，只要用一条垂直于x 轴的直线沿x 轴方向左右平移，观察图形与该直线交点个数，当交点个数为两个或两个以上时，该图形一定不是函数图象．这是因为直线x ＝a (a ∈R )与图形有两个或两个以上交点时，表示变量x 取实数a 时对应两个或两个以上的y 值，这与只有惟一y 值与x 对应矛盾．题型一 函数的图象【例1】设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，下面的四个图形中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是__________．解析：由函数的定义知①不是，因为集合M中1＜x≤2时，在N中无元素与之对应；③中x＝2对应的元素y＝3N，所以③不是；④中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，④也不是．答案：②【例2】试画出下列函数的图象：(1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝(x＋1)2－1，x∈(－3,0］．解：描点，作出图象，则函数图象分别如下图(1)(2)所示．(1) (2)反思：当自变量x的定义域为某一区间时，其函数y＝f(x)的图象也是某一局部，本题(2)中，(－3,3)是空心点，(0,0)是实心点．题型二图象的应用【例3】求下列函数的值域：(1)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)；(2)y＝x＋2x－1．解：(1)可以用“图象法”，根据自变量的变化范围(－5≤x ≤－2)来确定y ＝－x 2－2x ＋3的值的变化范围．∵y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，其图象是开口向下的抛物线，顶点坐标为(－1,4)， 当x ∈［－5，－2］时，其图象如图所示． ∴当x ＝－5时，y min ＝－12； 当x ＝－2时，y max ＝3．∴y ＝－x 2－2x ＋3(－5≤x ≤－2)的值域是［－12,3］．(2)可以通过“变量代换法”把问题转化成二次函数，再求其值域．要注意在进行换元的过程中，新变量的取值范围．设u u ≥0，且212u x +=，∴2221111(1)2222u y u u u u +=+=++=+． 其图象如图所示，由图象可知12y ≥．∴函数y x =1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．反思：本题介绍了两种求函数值域的方法：①图象法：通过图象观察知函数在某一定义域内的最值；②换元法：通过换元，将某些函数化归为我们熟知的函数，再求值域．【例4】如图，已知抛物线与x 轴交于A (－1,0)、E (3,0)两点，与y 轴交于点B (0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)分别写出当x 取何值时，y ＜0，y ＝0，y ＞0； (3)设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积．分析：根据待定系数法，求出二次函数的解析式，再从图象上观察，位于x 轴上方部分的点，其纵坐标y ＞0；下方部分的点，其纵坐标y ＜0．解：(1)设y ＝ax 2＋bx ＋c ，则由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.从而y ＝－x 2＋2x ＋3．(2)令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，所以当x ＞3或x ＜－1时，y ＜0； 当x ＝3或x ＝－1时，y ＝0； 当－1＜x ＜3时，y ＞0．(3)因为y ＝－(x －1)2＋4， 所以点D (1,4)．从而S 四边形AEDB ＝12×3×1＋12×(3＋4)×1＋12×4×2＝9．反思：我们可以利用函数图象来求解形如ax 2＋bx ＋c ＞0和ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)的不等式．1二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a ＋c ；③4a ＋2b ＋c ＞0；④b 2－4ac ＞0．其中正确的结论有__________个．解析：图象开口向下，所以a ＜0． 图象与y 轴交于正半轴，所以c ＞0．因为－b2a＝1，所以b ＝－2a ＞0．从而abc ＜0，结论①错误；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＜0，得b ＞a ＋c ，结论②错误； 由对称性可知，当x ＝2时，4a ＋2b ＋c ＞0， 所以结论③正确；又因为抛物线与x 轴有两个交点，所以Δ＝b 2－4ac ＞0．所以结论④正确． 答案：22下列各图，可以作为以x 为自变量的函数的图象的有________．答案：②④3已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1)，(2，y 2)，试比较y 1和y 2的大小：y 1__________y 2(填“＞”“＜”或“＝”)．解析：因为对称轴为x ＝1，所以当x ＝2时与x ＝0时的函数值相等．作出如图所示的大致图象，由图象可知，y 1＞y 2．答案：＞求函数y ＝2x 2－2x ＋2(x ∈［4,5］)的值域．解：f (x )＝2x 2－2x ＋2＝2(x －1)2＋1，∵x ∈［4,5］，∴(x －1)2＋1∈［10,17］．∴2(x －1)2＋1∈21,175⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 即所求函数的值域为21,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

第2章复习与小结（1）教学目标：1．梳理本章知识结构，找出重点；2．函数的概念、图象及其性质．复习重点：函数的概念与图象及函数的简单性质．复习过程：一．知识梳理本章主要运用数形结合的方法来研究函数的性质．可以通过函数的图象来探究函数的性质，利用函数的性质又可以作出函数的图象．二、学生活动完成下表：三、数学应用（一）函数的有关概念例1二次函数的图象顶点为A(1，16)，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式．练习：1．已知二次函数f (x )同时满足条件：（1）对称轴是x ＝1；（2）f (x )的最大值为15；（3）f (x )的两个零点的立方和等于17．求f (x )的解析式．2．已知f (2x ＋1)＝4x ＋3，求f (x )．3．已知22∈≠≠1()+()=(,,R,0,)af x bf cx a b c abc a b x，求f (x )．例2 判断下列各组函数是否表示同一个函数21(1)==+1(2)=1=11x y y x y y x x 与与----例3求函数23y x =--的定义域与值域． （二）函数的图象例4 下列关于函数y = f (x )(x ∈D )的图象与直线x ＝a 交点的个数的结论，（1）有且只有1个；（2）至少有1个；（3）至多有1个，其中正确的是 ．练习：画出下列函数的图象． （1） f (x )＝|x 2－x |； （2） f (x )＝|2x －1|； （3）f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|； （4） f (x )＝|x －1|－|x ＋1|．（三）函数的单调性例5 若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b ＞0，则有下列关系式：（1）f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )；（2）f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )；（3）f (a )－f (b )＞f (－a )－f (－b )；（4）f (a )－f (b )＜f (－a ) －f (－b )；其中一定正确的有 ．（四）函数的奇偶性例6 判断下列函数的奇偶性： （1）f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|；（2）f (x )＝|x －1|－|x ＋1|；（3）(f x（4）2220()0.2,,x x x f x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩+<=>-+,练习：设函数f (x )在R 上有定义，下列函数（1）y ＝－|f (x )|；（2）y ＝xf (x 2)； （3）y ＝－f (－x )；（4）y ＝f (x )－f (－x )中必为奇函数的有____________．（五）函数奇偶性的综合应用例7 设函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，试求当x ＞0时，f (x )的解析式．例8已知函数21()axf xbx c+=+(a，b，c∈Z)是奇函数，又f(1)＝2，f(2)＜3，求a，b，c的值．练习：（1）与y＝x2－2x＋5的图象关于y轴对称的图象的函数解析式是_____．（2）已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则a＝，b＝．（3）已知函数f(x)为偶函数，且其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和为________．（4）f(x)是偶函数，且在[a，b]上是减函数(0＜a＜b)，则f(x)在[－b，－a]上的单调性为_____．（若改为奇函数呢？）四、作业课本第93页4，5，7，9．。

第1课时函数的概念1.理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.我国著名数学家华罗庚说过这样一句话:从具体到抽象是数学发展的一条重要大道.我们来看三个现象:①清晨,太阳从东方冉冉升起;②随着二氧化碳的大量排放,地球正在逐渐变暖;③中国的国内生产总值在逐年增长.问题1:在初中,我们学习过函数,函数是刻画和描述两个变量之间依赖关系的数学模型,上述三个事例,向我们阐述了一个事实,世界时刻都是变化的,那么变化的本质是什么呢?从数学的角度看,我们发现在这些变化着的现象中,都存在着两个变量,当一个变量变化时,另一个变量随之发生变化.若当第一个变量确定时,另一个变量也随之确定,则它们之间具有.问题2:设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的数x,在集合B中都有的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作.其中x叫作,x的取值集合叫作函数的;与x的值相对应的y值叫作,函数值的集合叫作函数的.问题3:(1)函数f:A→B应该满足什么样的对应关系?一个函数的构成要素有几部分?(2)两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗?由此你对函数的三要素有什么新的认识?(1)应满足:①集合A、B都是;②对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有的元素y与之对应.一个函数的构成要素:、和,简称为函数的三要素.(2)如果两个函数的和分别相同,那么它们的值域一定相同.由此可以认识到:只要两个函数的和分别相同,那么这两个函数就相等.问题4:如何求函数的定义域?函数的定义域主要通过解不等式(组)或方程(组)来求解,定义域要用集合或区间表示.求给出解析式的函数的定义域需注意:①分式的分母不能为;②偶次根式的被开方数;③0次幂的底数不能为;④实际问题中定义域要由确定.1.四个函数:①y=x+1;②y=x3;③y=x2-1;③y=.其中定义域相同的函数有.2.若[a,3a-1]为一确定区间,则a的取值范围是.3.已知f(x)=2x+1,则f(5)=.4.已知函数f(x)=-.(1)求函数的定义域;(2)求f(-1),f(12)的值.对函数概念的考查(1)设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数y=f(x)的定义域为M,值域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y=f(x)的图象的是.(2)下列函数中,与函数y=x+1相等的函数是.①y=(x+1)0;②y=t+1;③y=()2;④y=|x+1|.函数值的求法已知f(x)=x3+2x+3,求f(1),f(t),f(2a-1)和f[f(-1)]的值.函数定义域的求法求下列函数的定义域:(1)f(x)=;(2)f(x)=(a为不等于0的常数).判断下列各组函数是否表示相等函数.(1)f(x)=与g(x)=;(2)f(x)=与g(x)=1;(3)f(x)=x2-x与g(t)=t(t-1);(4)f(x)=与g(x)=()2.已知函数f(x)=x2+|x-2|,求f(1)和f(x2+2).求下列函数的定义域.(1)y=+;(2)y=.1.函数y=的定义域是.2.设全集U=R,集合A=[3,7),B=(2,10),则R(A∩B)=.3.把下列集合用区间表示出来.(1){x|≥0}=;(2){x|-2≤x<8且x≠1}=.4.已知f(x)=,g(x)=x2+2,求f(2),f(g(2)).(2013年·陕西卷)设全集为R,函数f(x)=的定义域为M,则RM为().A.[-1,1]B.(-1,1)C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)考题变式(我来改编):第二章函数第1课时函数的概念知识体系梳理问题1:函数关系问题2:任意一个唯一确定y=f(x),x∈A自变量定义域函数值值域问题3:(1)①非空数集②唯一确定定义域对应关系值域(2)定义城对应关系定义域对应关系问题4:①0②非负③0④实际意义基础学习交流1.①②③①②③的定义域都是R,④的定义域是{x∈R|x≠0}.2.(,+∞)由题意,得3a-1>a,则a>.3.11f(5)=2×5+1=11.4.解:(1)由题意知,x-1≠0且x+4≥0,即x≥-4且x≠1.即函数的定义域为[-4,1)∪(1,+∞).(2)f(-1)=-=-3-;f(12)=-=-4=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)由函数定义可知,任意作一条直线x=a,则与函数的图象至多有一个交点,结合选项可知③中的图象不表示y是x的函数.(2)①③选项中定义域与y=x+1不同;④项中对应关系不同.对于②,尽管自变量不一样,但定义域、对应关系均相同,二者表示相等函数.【答案】(1)③(2)②【小结】(1)给定图象判断是否为函数关系时,可用垂直于x轴的直线与已知图象的交点个数来判断,若交点多于一个,则不是函数关系;(2)当且仅当定义域和对应关系完全相同时,两个函数才相等.探究二:【解析】f(1)=13+2×1+3=6;f(t)=t3+2t+3;f(2a-1)=(2a-1)3+2(2a-1)+3=8a3-12a2+10a;f[f(-1)]=f[(-1)3+2×(-1)+3]=f(0)=3.【小结】求函数的值只需将自变量的值代入函数的解析式化简即可.探究三:【解析】(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,故函数的定义域为x≠2.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0,故函数的定义域为{x|x≥}.[问题]上面两个题目的解答正确吗?[结论](1)中的定义域应用集合来表示;(2)中含有参数,解该不等式时要对参数进行讨论.于是,正确解答如下:(1)要使函数有意义,需满足x-2≠0,即x≠2.故函数的定义域为{x|x≠2}.(2)要使函数有意义,需满足ax-3≥0.当a>0时,函数的定义域为{x|x≥};当a<0时,函数的定义域为{x|x≤}.【小结】在求函数的定义域时,列出使函数有意义的自变量所满足的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.其依据有分式的分母不为0、偶次根式中被开方数不小于0、零次幂的底数不等于零等.当一个函数是由两个或两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的取值集合.思维拓展应用应用一:(1)f(x)与g(x)不相等;(2)f(x)与g(x)不相等;(3)f(x)与g(t)是相等函数;(4)f(x)与g(x)不相等.应用二:f(1)=12+|1-2|=2.f(x2+2)=(x2+2)2+|x2+2-2|=x4+5x2+4.应用三:(1)为使函数式有意义,则有解得即x>-2,且x≠3.故所求函数的定义域为(-2,3)∪(3,+∞).(2)要使函数有意义,需满足即解得x<0且x≠-1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,0).基础智能检测1.{x|x≠0}要使函数有意义,需满足x≠0,用集合表示为{x|x≠0}.2.(-∞,3)∪[7,+∞)∵A∩B=[3,7),∴R(A∩B)=(-∞,3)∪[7,+∞).3.(1)[2,+∞)(2)[-2,1)∪(1,8)4.解:f(2)==,g(2)=22+2=6,故f(g(2))=f(6)==.全新视角拓展D∵1-x2≥0,即x∈[-1,1],∴f(x)的定义域M=[-1,1],则RM=(-∞,-1)∪(1,+∞).思维导图构建唯一定义域、值域、对应法则定义域对应关系。

2．2．2 函数的奇偶性课堂导学三点剖析一、函数奇偶性的概念【例1】 已知f(x)为R 上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x 3+2x 2-1,求f(x)的解析式.思路分析:由于给出了f(x)在x>0时的解析式，求f(x)在x<0时的解析式应转化到x>0上，利用已知解析式求.f(0)利用奇函数的定义求.解析：∵f(x)为奇函数，且0在定义域内，∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.设x<0，则-x>0,∴f(-x)=(-x)3+2(-x)2-1=-x 3+2x 2-1.∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=-f(-x)=x 3-2x 2+1.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+-=>-+-.012,00,0122323x x x x x x x 温馨提示已知函数的奇偶性求函数的解析式,可根据函数奇偶性的定义（记住，奇函数若在0处有定义，一定是f(0)=0）.除此法外，也可根据奇函数、偶函数图象的特点求解.二、函数奇偶性的判定【例2】 判断下列函数的奇偶性.（1）f(x)=x 3+2x; (2)f(x)=2x 4+3x 2; (3)f(x)=x 3+x 2.解析：(1)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x 3-2x=-(x 3+2x).即f(-x)=-f(x),所以函数f(x)=x 3+2x 是奇函数.(2)函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x 4+3x 2,即f(-x)=f(x),所以函数f(x)=2x 4+3x 2为偶函数.（3）函数的定义域为R ，它关于坐标原点对称，f(-x)=(-x)3+(-x)2=-x 3+x 2,与-f(x)和f(x)都不相等，所以f(x)=x 3+x 2为非奇非偶函数.温馨提示在判断函数奇偶性时，首先求函数定义域，看它是否关于原点对称，这点千万不能忘了.三、函数奇偶性的综合应用【例3】 函数f(x),x ∈R ，若对于任意实数，a,b 都有f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数.思路分析：先验证f(0)=0,再验证f(-x)=-f(x).证明：设a=0，则f(b)=f(0)+f(b),∴f(0)=0.又设a=-x,b=x,则f(0)=f(-x)+f(x).∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.温馨提示判断函数奇偶性都是紧扣定义，抽象函数奇偶性的判断也不例外，但判断一个抽象函数是奇函数，必须验证f(0)=0是否成立，而判断一个抽象函数是否是偶函数就不需验证f(0)=0.这是因为，对于偶函数f(x),f(0)可以取任意值.各个击破类题演练 1已知f(x)是R 上的奇函数，且当x ∈(0,+∞)时，f(x)=x(1+3x ),求f(x).解析：当x<0时,-x>0,由已知f(-x)=(-x)［1+3)(x -］=-x(1-3x ).∵f(x)是奇函数，故f(-x)=-f(x)，∴-f(x)=-x(1-3x ),∴f(x)=x(1-3x),(x<0).又由f(x)是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.∴f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+.0)1(,0)1(33x x x x x x变式提升 1已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=x|x-2|,求x<0，f(x)的表达式.解析：设x<0时，则-x>0，且满足表达式f(x)=x|x-2|,∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.又f(x)是奇函数，有f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-x|x+2|.∴f(x)=x|x+2|.故当x<0时，f(x)=x|x+2|.类题演练 2判断下列各函数的奇偶性. (1)f(x)=-31x； （2）f(x)=|x+a|-|x-a|.解析：（1）f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称，且f(-x)=-31x -=31x =-f(x). ∴f(x)=-31x是奇函数. (2)f(x)=|x+a|-|x-a|的定义域为R ，且f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x).∴f(x)为奇函数.变式提升 2判断函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-)0(1),0(0),0(1x x x x x 的奇偶性.解析：f(-x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=-<---),0(1),0(0),0(1x x x x x =⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-),0()1(),0(0),0()1(x x x x x =-f(x).∴f(x)是奇函数.类题演练 3对任意x,y ∈R,且x,y ≠0,已知函数y=f(x)(x ≠0)满足f （xy)=f(x)+f(y). 求证：（1）f(1)=f(-1)=0；（2）y=f(x)为偶函数.证明：（1）令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,同理f(-1)=0.(2)令y=-1，得f(-x)=f(x)+f(-1),则f(-x)=f(x)，故f(x)为偶函数.变式提升 3定义在（-1，1）上的奇函数f(x)=12+++nx x m x ,试确定常数m 、n 的值. 解析：∵f(x)为奇函数，且0∈(-1,1),∴由f(0)=0，可得m=0.又∵f(-x)+f(x)=0,∴12+--nx x x +12++nx x x =0, 即x 2-nx+1=x 2+nx+1,∴2nx=0.∵x ∈(-1,1),∴n=0.∴m=n=0.。

2．2．1 函数的单调性第1课时 函数的单调性1．理解函数单调性，能用定义来证明某一函数在确定区间上的单调性． 2．了解一次函数、二次函数和反比例函数的单调性的判断方法．1．增函数一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I A ．如果对于区间I 内任意两个值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数，I 称为y ＝f (x )的单调增区间．【做一做1】函数y ＝(k 2＋1)x ＋3是__________函数．(填“增”或“减”) 答案：增 2．减函数 一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为A ，区间I A ．如果对于区间I 内任意两个值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)，那么就说y ＝f (x )在区间I 上是单调减函数，I 称为y ＝f (x )的单调减区间．【做一做2】函数y ＝－x 2－4x ＋5在(3，＋∞)上是__________函数．(填“增”或“减”)答案：减 3．单调区间如果函数y ＝f (x )在区间I 上是单调增函数或是单调减函数，就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．(1)对于单独的一点，由于其函数值是惟一的，因而无增减变化，所以不存在单调性问题，因此，在考虑函数单调区间时，若端点处有意义，包括不包括端点均可．(2)有的函数在整个定义域内具有单调性，有的函数在定义域的某个子集上具有单调性，有的函数没有单调区间．【做一做3－1】函数y ＝3x的单调减区间是__________．答案：(－∞，0)和(0，＋∞)【做一做3－2】函数y ＝x 2－2x －3的单调增区间是______． 答案：(1，＋∞)要正确理解单调性的定义，应该抓住哪几个重要字眼？ 剖析：(1)第一关键——“定义域内”．研究函数的很多性质，我们都应有这样一个习惯：定义域优先原则．函数的单调性是对定义域内某个子区间而言的，即单调区间是定义域的子集．(2)第二关键——“某个区间”．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开相应的区间就谈不上函数的单调性．我们不能说一个函数在x ＝5时是递增的或递减的，因为这时没有一种可比性，没突出变化．所以我们不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数．比如二次函数y ＝x 2，在y轴左侧它是减函数，在y 轴右侧它是增函数．因而我们不能单一地说y ＝x 2是增函数或是减函数，必须加上区间进行区别．当然，有些函数在其整个定义域内单调性一致，如y ＝x ，我们会说y ＝x 在定义域内是增函数．此时，“在定义域内”常被忽略，这就是说法上的一种错误了．(3)“任意”和“都有”别忽略． 在定义中，“任意”两个字很重要，它是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”的意思是：只要x 1＜x 2，f (x 1)就必须都小于f (x 2)，或f (x 1)都大于f (x 2)．对“任意”二字不能忽视，我们可以构造一个反例：考查函数y ＝x 2，在区间［－2,2］上，如果取两个特定的值x 1＝－2，x 2＝1，显然x 1＜x 2，而f (x 1)＝4，f (x 2)＝1，有f (x 1)＞f (x 2)，若由此判定y ＝x 2在［－2,2］上是减函数，那就错了．同样地，理解“都有”，我们也可以举例说明：y ＝x 2在［－2,2］上，当x 1＝－2，x 2＝－1时，有f (x 1)＞f (x 2)；当x 1＝1，x 2＝2时，有f (x 1)＜f (x 2)．从上例我们可以看到对于x 1＜x 2，f (x 1)并没始终小于(或者大于)f (x 2)．因此就不能说y ＝x 2在［－2,2］上是增函数或减函数．题型一 函数单调性的证明【例1】已知函数f (x )＝x ＋1x，(1)画出函数的图象，并求其单调区间； (2)用定义证明函数在(0,1)上是减函数．分析：运用描点法作图应避免描点的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所画图的存在范围、大致特征、变化趋势等先作一个大概的研究．单调区间一般是函数定义域的子集，同一个函数在定义域内可以有几个不同的单调增(或减)区间，函数的两个单调区间之间可以用“，”或“和”字连接，而不能用符号“∪”连接．“定义作差法”是证明函数单调性的一般方法，而有时通过定义作差法也可以直接找出单调区间．由图象可知，增区间：(－∞，－1］，［1，＋∞)，减区间：［－1,0)，(0,1］． (2)证明：设x 1，x 2是区间(0,1)内的任意的两个值，且x 1＜x 2．∴0＜x 1＜x 2＜1．则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－x 2－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)121(1)x x， ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,0＜x 1x 2＜1．∴1x 1x 2＞1．∴1－1x 1x 2＜0．∴f (x 1)－f (x 2)＞0．∴f (x 1)＞f (x 2)．∴f (x )＝x ＋1x在区间(0,1)上是减函数．反思：“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a ＞0)是高中数学具有代表性的一个函数，应掌握其图象及特点，并懂得其函数的性质：①定义域：{x |x ∈R ，x ≠0}；②值域：(－∞，－2a ］∪［2a ，＋∞)； ③图象：如下图所示；④奇偶性：为定义域上的奇函数；(下课时学习) ⑤单调性：(－∞，－a ］，［a ，＋∞)上是增函数，［－a ，0)，(0，a ］上是减函数；⑥渐近线：x ＝0(即y 轴)和y ＝x ． 题型二 二次函数的单调性讨论【例2】讨论函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(－2,2)内的单调性．分析：判断二次函数的单调性，主要判断对称轴是在区间内、区间左边或是区间右边．解：因为f (x )＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，对称轴为x ＝a ，所以若a ≤－2，则f (x )＝x 2－2ax ＋3在(－2,2)上是增函数；若－2＜a ＜2，则f (x )＝x 2－2ax ＋3在(－2，a )上是减函数，在［a,2)上是增函数；若a ≥2，则f (x )＝x 2－2ax ＋3在(－2,2)上是减函数．反思：此题容易忽略对称轴所在的位置，没有分类讨论而产生漏解． 题型三 利用单调性求解不等式【例3】已知定义在［－3,3］上的函数f (x )是增函数，求不等式f (2x －1)＜f (x ＋1)的解集．分析：本题不知道函数解析式，只有从定义出发；若x 1＜x 2，且f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )单调递增．反之，若f (x )单调递增，且f (x 1)＜f (x 2)，则x 1＜x 2．解：由题意得－3≤2x －1＜x ＋1≤3， 解得－1≤x ＜2，即原不等式的解集为［－1,2)．反思：在求解本题时，必须考虑函数f (x )的定义域，若仅从2x －1＜x ＋1来求解是错误的．1若函数y ＝2k －1x在(0，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是__________．解析：由题意得2k －1＜0，k ＜12．答案：1(,)2-∞2如图是定义在闭区间［－5,5］上的函数y ＝f (x )的图象，根据图象，y ＝f (x )的单调递增区间为__________，单调递减区间为__________．答案：［－2,1)和［3,5］ ［－5，－2)和［1,3)3函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)__________3()4f ．(填“≥”或“≤”)解析：要比较f (a 2－a ＋1)与3()4f 的大小，由于f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，只需比较a 2－a ＋1与34的大小．因为a 2－a ＋1＝21()2a -＋34≥34，所以f (a 2－a ＋1)≤3()4f ．答案：≤作出函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象，并写出它的单调区间．解：∵y ＝|x 2－4x ＋3|＝2243,13431<<3.x x x x x x x ⎧-+≤≥⎪⎨-+-⎪⎩或，，∴函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象如下图所示．∵原函数的对称轴为x ＝2，∴单调增区间为(1,2)和(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，1)和(2,3)．5已知函数y ＝ax 和y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，试判断y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上的单调性，并予以证明．解：由条件得a ＜0，b ＜0，从而函数y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上单调递减． 证明如下：设x 1，x 2为区间(0，＋∞)内的任意两个值，且x 1＜x 2， 则y 1－y 2＝(ax 21＋bx 1)－(ax 22＋bx 2) ＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋b (x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)［a (x 1＋x 2)＋b ］， ∵x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＞0，∴a (x 1＋x 2)＋b ＜0．∴y 1－y 2＞0，即y 1＞y 2．从而函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上单调递减．。

2.2 函数的简单性质(1)教学目标:1•在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上，进一步感知函数的单调性，并能结合图形，认识函数的单调性；2•通过函数的单调性的教学，渗透数形结合的数学思想，并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3•通过函数的单调性的教学，让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象.教学重点：用图象直观地认识函数的单调性，并利用函数的单调性求函数的值域.教学过程：一、问题情境如图(课本37页图2-2-1 ),是气温关于时间t的函数，记为 =f (t)，观察这个函数的图象，说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征?二、学生活动1.结合图2 —2 —1,说出该市一天气温的变化情况；2•回忆初中所学的有关函数的性质，并画图予以说明；3•结合右侧四幅图，解释函数的单调性.三、数学建构1 •增函数与减函数：一般地，设函数y = f(x)的定义域为A,区间I A.如果对于区间I内的任意两个值x i, X2，当x i v X2时，都有f(xj v f(X2)，那么就说y =f(x)在区间I是单调增函数，区间I称为y = f (x)的单调增区间.如果对于区间I内的任意两个值x i, X2，当x i V X2时，都有f(xj > f(X2)，那么就说y =f(x)在区间I是单调减函数，区间I称为y = f (x)的单调减区间.2 •函数的单调性与单调区间：如果函数y = f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y = f (x)在区间I上具有单调性.单调增区间与单调减区间统称为单调区间.注：一般所说的函数的单调性，就是要指出函数的单调区间，并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数.四、数学运用例1画出下列函数的图象，结合图象说出函数的单调性.2 21 • y= x + 2x—1 2. y = 一x1例2 求证：函数f (x) =—- —1在区间(一g, 0)上是单调增函数.X练习：说出下列函数的单调性并证明.2 21. y = —x + 22. y = 一+ 1x五、回顾小结利用图形，感知函数的单调性T给出单调性的严格意义上的定义T证明一个函数的单调性.六、作业课堂作业：课本44页1, 3两题.。