北师大版八年级数学下1.3《线段的垂直平分线》同步练习含答案

2020年北师大版八年级下册课时训练：1.3 《线段的垂直平分线》一．选择题1．如图，∠B＝35°，CD为AB的垂直平分线，则∠ACE＝（）A．55°B．60°C．70°D．80°2．如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠P AQ＝40°，则∠BAC的度数是（）A．110°B．100°C．120°D．70°3．如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝4，BC的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E．连接CD，若CD⊥AB，则△ABC的面积为（）A．12B．14C．24D．284．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm5．在国家精准扶贫政策的指导下，湖南龙山县有两个村庄P、Q种植了大量猕猴桃，现在正是丰收的季节．为了让猕猴桃通过互联网迅速销往各地，当地准备在两个村庄的公路m旁建立公用移动通信基站，要使基站到两个村庄的距离相等，基站应该建立在（）A．A处B．B处C．C处D．D处6．如图，在△ABC中，∠ACD＝20°，∠B＝45°，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．68．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，过点E作BC的垂线交BD于点F，连结CF．若∠A＝50°，∠ACF＝40°，则∠CFD的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°二．填空题9．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝130°，则∠DAE＝°．10．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，若AB＝7，BC ＝5，则△BCE的周长等于．11．如图，在△ABC中，点D在BC边上，DE垂直平分AC边，垂足为E，若∠B＝70°，且AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为．12．如图，在△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线EF交BC于点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长．13．如图，AD垂直平分BC于点D，EF垂直平分AB于点F，点E在AC上，BE+CE＝20cm，则AB＝．14．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，垂足为E，交BC于点D，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为cm．三．解答题15．如图，△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，若∠B＝25°，求∠CAE的度数．16．如图，在钝角△ABC中，已知∠A＝135°，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，交AB、AC于点F、G．若BD＝12，CE＝9．求DE的长度．17．如图，△ABC中AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、N，若∠EAN＝34°，求∠BAC 的度数．18．如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若△ADE的周长为6，求BC的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线．（1）若AC＝5，BC＝7，求△ACD的周长；（2）若∠BAD：∠CAD＝2：1，求∠B的度数．20．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵CD为AB的垂直平分线，∴AC＝BC，∴∠B＝∠A＝35°∴∠ACE＝∠B+∠A＝70°．故选：C．2．解：∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴P A＝PB，QA＝QC，∴∠P AB＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠P AB+∠QAC＝∠B+∠C，∵∠P AB+∠B+∠P AQ+∠QAC+∠C＝180°，∴∠P AB+∠QAC＝70°，∴∠BAC＝∠P AB+∠QAC+∠P AQ＝110°，故选：A．3．解：∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC，∴△BCD为等腰直角三角形，∴BD＝CD＝BC＝×4＝4，在Rt△ADC中，AD＝＝3，∴AB＝4+3＝7，∴S△ABC＝×CD×AB＝×4×7＝14．故选：B．4．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴AE+BE＝CE+BE＝AB＝5cm，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝5+4＝9（cm）．5．解：基站应该建立在B处，故选：B．6．解：∵BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，∴BD＝DC，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∵∠ACD＝20°，∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝45°+25°＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣45°＝65°，故选：B．7．解：∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．故选：D．8．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，设∠ABD＝∠CBD＝x°，则∠CFD＝2x°，∵EF是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠CBD＝x°，∵∠A＝50°，∠ACF＝40°，∴50°+40°+x°+2x°＝180°，解得：x＝30，∴∠CFD＝2x°＝60°，故选：D．9．解：∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣130°＝50°，∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝50°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝80°，故答案为：80．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝12，故答案为：12．11．解：连接AD，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AB+BD＝BC＝BD+CD，∴AB＝CD，∴AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∴∠C＝∠ADB＝35°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝75°，故答案为：75°．12．解：∵FE、NM分别为AB、AC的垂直平分线，∴F A＝FB，NA＝NC，∴△AFN的周长＝AF+FN+NA＝FB+FN+NC＝BC＝12，故答案为：12．13．解：∵EF垂直平分AB于点F，∴AE＝BE，∵BE+CE＝20cm，∴AE+CE＝20cm，即AC＝20cm，∵AD垂直平分BC于点D，∴AB＝AC＝20cm，故答案为：20cm．14．解：∵DE是边AC的垂直平分线，∴AD＝CD，AE＝EC，∵AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，∴AC＝AE+EC＝3+3＝6（cm），△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝13（cm），所以，△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm）．故答案为：19．三．解答题15．解：∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∵∠B＝25°，∴∠EAB＝∠B＝25°，∵∠C＝90°，∴∠CAB＝65°，∴∠CAE＝65°﹣25°＝40°．16．解：连接AD、AE，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，∴DA＝DB＝12，EA＝EC＝9，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝90°，由勾股定理得，DE＝＝15．17．解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、N，∴AE＝BE，AN＝CN，∴∠BAE＝∠B，∠CAN＝∠C，∵∠AEN＝∠BAE+∠B＝2∠BAE，∠ANE＝∠CAN+∠C＝2∠CAN，∵∠EAN＝34°，∴∠AEN+∠ANE＝180°﹣∠EAN＝146°，∴2∠BAE+2∠CAN＝146°，∴∠BAE+∠CAN＝73°，∴∠BAC＝∠BAE+∠CAN+∠EAN＝107°．18．解：（1）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+EA＝6．∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（2）∵DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴AD＝BD，EA＝EC，∴∠B＝∠BAD＝∠ADE，∠C＝∠EAC＝∠AED．∵∠BAC＝∠BAD+∠DAE+∠EAC＝∠B+∠DAE+∠C＝100°，∴∠B+∠C＝100°﹣∠DAE，在△ADE中，∠DAE＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（2∠B+2∠C）∴∠DAE＝180°﹣2（100°﹣∠DAE）∴∠DAE＝20°．19．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+DA＝AC+CD+DB+AC+CB＝5+7＝12；（2）∵DA＝DB，∴∠BAD＝∠B，设∠CAD＝x，则∠BAD＝∠B＝2x，∵∠C＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，即x+2x+2x＝90°，解得，x＝18°，∴∠B＝2x＝36°．20．解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠F AC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠F AC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+F A＝20，由（2）可知，DA＝DB，F A＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+F A＝20．11 / 11。

2021-2022学年北师大版八年级数学下册《1-3线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）1．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）A．三条角平分线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三边中线的交点2．已知Rt△ABC，∠A＝90°，AD＝1，BD＝3，AC上的点D在BC的垂直平分线上，则AC的长度为（）A．6B．4C．5D．83．如图，点P是△ABC内的一点，若PB＝PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上D．点P在边BC的垂直平分线上4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB，垂足为D，如果∠A＝30°，AB ＝6cm，那么CE等于（）A．3cm B．2cm C．4cm D．cm5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AB的中点，且DE⊥AB于点E，∠CAD：∠EAD ＝1：2，则∠B与∠BAC的度数为（）A．30°，60°B．32°，58°C．36°，54°D．20°，70°6．如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为20，AC＝8，则DC为（）A．6B．8C．9D．107．如图，在△ABC中，BC＝10，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，则△ADE的周长是（）A．8B．10C．12D．148．如图，已知DE⊥BC，BE＝EC，且AB＝7、AC＝8，则△ABD的周长等于（）A．15B．20C．25D．309．如图，点D在△ABC的边BC上，且BC＝BD+AD，则点D在线段（）A．AB的垂直平分线上B．AC的垂直平分线上C．BC的垂直平分线上D．不能确定10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，在△ABC中，∠B＝40°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BD于点D，连接AD，则∠ADC的度数是．12．如图，在△ABC中，AC垂直平分线DE分别与BC、AC交于D、E，△ABD的周长是13，AE＝5，△ABC的周长是．13．已知点P在线段AB的垂直平分线上，P A＝4cm，则PB＝cm．14．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E是BC上一点，BD＝DE，且点E在AC的垂直平分线上，若△ABE的周长为10，则DC＝．15．如图所示，CD是AB的垂直平分线，若AC＝2cm，BD＝3cm，则四边形ACBD的周长是．16．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE＝3cm，BD＝5cm，则△ABD的周长是cm．17．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5cm，BC＝6cm，则AC＝，DE＝．18．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝60°，∠F AE＝21°，则∠C＝度．19．如图，点A为△PBC的三边垂直平分线的交点，且∠P＝72°，则∠BAC＝．20．如图，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝2cm，△ABD的周长是8cm，则△ABC的周长是．21．如图△ABC中，DE是BC的垂直平分线，△ABD的周长为7cm，BE＝2cm，则△ABC 的周长为cm．22．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB、BC于D、E，若∠CAE＝∠B+30°，则∠B＝度．23．如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，AG．（1）若△AEG的周长为10，求线段BC的长；（2）若∠BAC＝104°，求∠EAG的度数．参考答案1．解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：B．2．解：∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB＝DC＝3∴AC＝AD+CD＝1+3＝4．故选：B．3．解：∵PB＝PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选：D．4．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm，∴BC＝AB＝3cm，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，∴CE＝BC•tan30°＝3×＝3（cm）．故选：A．5．解：设∠CAD＝x，则∠EAD＝2x，∵E是AB的中点，且DE⊥AB于点E，∴ED是AB的中垂线，∴AD＝AB，∴∠DAB＝∠DBA，∴x+2x+2x＝90°，解得x＝18°，∴∠B＝2x＝36°，∠CAB＝90°﹣36°＝54°．故选：C．6．解：∵△ABC周长为20，∴AB+BC+AC＝20，∵AC＝8，∴AB+BC＝12，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝6，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝6，故选：A．7．解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA＝DB，EA＝EC，∴△ADE的周长＝AD+DE+EA＝BD+DE+EC＝BC＝10，故选：B．8．解：∵DE⊥BC，BE＝EC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝7+8＝15，故选：A．9．解：∵BC＝BD+AD＝BD+CD∴AD＝CD∴点D在AC的垂直平分线上．故选：B．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝40°，∵∠ADC是△ADB的一个外角，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝80°，故答案为：80°．12．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，∵△ABD的周长是13，∴AB+BD+DA＝13，∴AB+BD+DC＝AB+BC＝13，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝23，故答案为：23．13．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝P A，∵P A＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．14．解：∵AD⊥BC于D，BD＝DE，即AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∵△ABE的周长为10，∴AB+AE+BD+DE＝10，∴AE+DE＝5，∵点E在AC的垂直平分线上，∴EA＝EC，∴DC＝DE+EC＝DE+AE＝5．故答案为5．15．解：∵CD是AB的垂直平分线，AC＝2cm，BD＝3cm，∴AD＝BD＝3，AC＝BC＝2，∴四边形ACBD的周长＝10cm．故答案为：10cm．16．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，AE＝3cm，BD＝5cm，∴DA＝DB＝5（cm），AB＝6（cm），∴△ABD的周长＝BD+AD+AB＝16（cm），故答案为：16．17．解：∵BC＝6cm，∴BD＝DC＝3（cm），∵AD⊥BC，BD＝DC，AB＝5cm，∴AC＝AB＝5（cm），∵点C在AE的垂直平分线上，∴EC＝AC＝5（cm），∴DE＝DC+EC＝8（cm），故答案为：5cm；8cm．18．解：设∠C＝x，∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C＝x，∴∠F AC＝x+21°，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠F AC＝x+21°，∴x+x+21°+x+21°+60°＝180°，解得，x＝26°，即∠C＝x＝26°，故答案为：26．19．解：∵A为△PBC三边垂直平分线的交点，∴点A是△PBC的外心，由圆周角定理得，∠BAC＝2∠BPC＝144°，故答案为：144°20．解：∵DE是AC的垂直平分线．∴AD＝CD，AC＝2AE＝4cm．又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝8cm．∴AB+BD+CD＝8cm，即AB+BC＝8cm．∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝8cm+4cm＝12cm．故答案为：12cm21．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，CE＝BC＝2，∵△ABD的周长为7cm，∴AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝7，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝11（cm），故答案为：11．22．解：∵DE垂直平分斜边AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B，∴∠AEC＝2∠B，∴∠B+30°+∠B+∠B＝90°，解得，∠B＝20°，故答案为2023．解：（1）∵DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，∴EA＝EB，GA＝GC，∵△AEG的周长为10，∴AE+EG+AG＝10，∴BC＝BE+EG+GC＝AE+EG+GC＝10；（2）∵∠BAC＝104°，∴∠B+∠C＝180°﹣104°＝76°，∵EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAB+∠GAC＝∠B+∠C＝76°，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝104°﹣76°＝28°．。

线段的垂直平分线——巩固练习（提高）【巩固练习】一．选择题1.如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D．若AC=9，则AE 的值是（）A、6B、4C、6D、42.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB的长度为（）A、6B、5C、4D、33.如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）A、两人都正确B、两人都错误C、甲正确，乙错误D、甲错误，乙正确4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（）A、AE=BEB、AC=BEC、CE=DED、∠CAE=∠B5.如图，AC=AD，BC=BD，则有（）A、AB垂直平分CDB、CD垂直平分ABC、AB与CD互相垂直平分D、CD平分∠ACB6.（2015秋•陆丰市校级期中）如图，点P是△ABC内的一点，若PB=PC，则（）A．点P在∠ABC的平分线上 B．点P在∠ACB的平分线上C．点P在边AB的垂直平分线上 D．点P在边BC的垂直平分线上二．填空题7．（2016•长沙）如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC 于点E，则△BCE的周长为．8.如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________ ．9.（2015•西宁）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为______________．10.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_____ 度．11.如图:已知,在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________ ．12.如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD 的周长为_________ cm．三．解答题：13.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2-GE2=EA2．14.（2015秋•扬州校级月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为△ABC外一点，且AD=BD，DE⊥AC交CA的延长线于E点．求证：DE=AE+BC．15.（2016秋•农安县期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C；【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故选C．2．【答案】B;【解析】∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，∴PB=PA，而已知线段PA=5，∴PB=5．3.【答案】D；【解析】∵CP是线段AB的中垂线，∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACD，∠B=∠B CE，∵AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=EB，∵AD=DC，EB=CE，∴AD=DC=EB=CE．4【答案】B；【解析】A、根据线段垂直平分线的性质，得AE=BE．故该选项正确；B、因为AE＞AC，AE=BE，所以AC＜BE．故该选项错误；C、根据等角对等边，得∠BAE=∠B=30°；根据直角三角形的两个锐角互余，得∠BAC=60°．则∠CAE=∠BAE=30°，根据角平分线的性质，得CE=DE．故该选项正确；D、根据C的证明过程．故该选项正确．5.【答案】A；【解析】∵AC=AD，BC=BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上．∴AB垂直平分CD．6.【答案】D；【解析】解：∵PB=PC，∴P在线段BC的垂直平分线上，故选D．二．填空题7.【答案】13；【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．8.【答案】6；【解析】∵ED垂直平分BC，∴BE=CE，∠EDB=90°，∵∠B=30°，ED=3，∴BE=2DE=6，∴CE=6．9.【答案】；【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴CD=AD，∴AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，CD2=BC2+BD2，即x2=32+（4﹣x）2，解得x=．故答案为：．10.【答案】60；【解析】由AB=AC，∠BAC=120°，可得∠B=30°，因为点D是AB的垂直平分线上的点，所以AD=BD，因而∠BAD=∠B=30°，从而∠ADC=60度．11.【答案】8；【解析】∵△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，∴AD=BD，AE=CE∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+CE=BC=8．△ADE的周长等于8．12.【答案】13；【解析】∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足∴AD=DC，AC=2AE=6，∵△ABC的周长为19，∴AB+BC=13(cm).∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13(cm)．三．解答题13.【解析】证明：（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∵∠ABC=45°，∴∠BCD=180°-90°-45°=45°=∠ABC∴DB=DC，∵∠BDH=∠BEC=∠CDA=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠HBD=90°，∴∠HBD=∠ACD，∵在△DBH和△DCA中,BDH CDABD CDHBD ACD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC．（2）连接CG，∵∠ABC=45°，CD⊥AB（∠CDB=90°），∴∠BCD=45°=∠ABC，∴DB=CD，∵F为BC的中点，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴EC=EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2-GE2=CE2，∵CE=AE，BG=CG，∴BG2-GE2=EA2．14. 【解析】证明：连接CD，∵AC=BC，AD=BD，∴C在AB的垂直平分线上，D在AB的垂直平分线上，∴CD是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=∠ACB=45°，∵DE⊥AC，∴∠CDE=∠ACD=45°，∴CE=DE，∴DE=AE+AC=AE+BC．15.【解析】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，BN=CN，∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，∵△CMN的周长为15cm，∴AB=15cm；（2）∵∠MFN=70°，∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，∵AM=CM，BN=CN，∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°．。

线段的垂直平分线，角平分线课前测试【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠B=70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C的度数是度．【答案】44【解析】由DE垂直平分AC可得∠DAC=∠DCA；∠ADB是△ACD的外角，故∠DAC+∠DCA=∠ADB又因为∠B=70°⇒∠BAD=180°﹣∠B﹣∠BAD，由此可求得角度数．解：设∠BAD为x，则∠BAC=3x，∵DE是AC的垂直平分线，∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x，根据题意得：180°﹣（x+70°）=2x+2x，解得x=22°，∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故填44°．本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．考生需要注意的是角的比例关系的设法，应用列方程求解是正确解答本题的关键．【难度】3【题目】课前测试如图，在△ABC中，∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，CM=20cm，那么M到AB的距离为．【答案】20cm．【解析】过点D作DM⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM=CM．解：如图，过点D作DM⊥AB于D，∵∠C=90°，AM是∠CAB的平分线，∴DM=CM=20cm，即M到AB的距离为20cm．故答案为：20cm．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．【难度】2知识定位适用范围：北师大版，八年级知识点概述：本章重点部分是线段的垂直平分线和角平分线。

了解，掌握线段的垂直平分线的做法和性质以及角平分线的定义，性质。

能熟练的利用线段的垂直平分线和角平分线来做题适用对象：成绩中等偏下的学生注意事项：熟练掌握线段的垂直平分线以及角平分线的性质重点选讲：①线段的垂直平分线性质的几何应用②角平分线性质的几何应用③线段的垂直平分线和角平分线性质的解答题应用知识梳理知识梳理1：线段的垂直平分线线段的垂直平分线：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段上的两个端点的距离相等。

1.1等腰三角形一．选择题1．用一条长为36cm的细绳围成一个边长为8cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．12cm C．8cm或14cm D．14cm2．如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，线段DE＝1cm，则BC的长度为（）A．8cm B．4cm C．6cm D．10cm3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝（）A．2B．4C．6D．84．若等腰三角形的一个内角是40°，则这个等腰三角形的其他内角的度数为（）A．40°100°B．70°70°C．40°100°或70°70°D．以上都不对5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE 的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1；②内角比为2：2：5；③内角比为1：1：1；④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，若∠A＝α，则∠EDF等于（）A．90°﹣αB．45°+αC．90°﹣αD．45°+α8．如图，点D是AB的中点，DE⊥AC，AB＝7.2，∠A＝30°，则DE＝（）A．1.8B．2.4C．3.6D．4.89．如图，E为△ABC的边AB上一点，AC＝BC＝BE，AE＝EC，BD⊥AC的延长线于点D，则∠CBD的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．15°10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD 于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积等于△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，已知△ABC的角平分线CD交AB于D，DE∥BC交AC于E，若DE＝4，AC＝7，则AE＝．12．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是．13．等腰三角形两边长分别为2cm，5cm，该三角形的周长是．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D．若∠A＝36°，则∠BDC 的大小为度．15．如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠A n+1B n B n+1＝θn，则θn＝．（用含α的式子表示）三．解答题16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠BAD＝28°，且AD＝AE，求∠EDC的度数．17．如图，在△ABC中，点D在AC的垂直平分线上．（1）若AB＝AD，∠BAD＝24°，求∠B和∠C的度数；（2）若AB＝AD，AC＝BC，求∠C的度数；（3）若AC＝8cm，△ABD的周长为15cm，求△ABC的周长．18．已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，点D是BC边上一点，且AD＝AC，过点C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．（1）若∠CAD＝α，求∠ACD的度数．（2）在（1）的条件下，求∠BCF的大小；（用含α的式子表示）（3）判断△ACF的形状，并说明理由．参考答案1．D 2．C 3．C 4．C 5．D6．B 7．A 8．A 9．A 10．A11．312．∠1＝2∠2．13．12cm．14．72．15．．16．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAE＝∠BAD＝28°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣∠DAE）＝×（180°﹣28°）＝76°，∴∠EDC＝90°﹣∠ADE＝90°﹣76°＝14°．17．（1）∵点D在AC的垂直平分线上，∴AD＝DC，在三角形ABD中，AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣24°）×＝78°，在三角形ADC中，AD＝DC，∴∠C＝78°×＝39°；（2）设∠B＝x°．∵CA＝CB，∴∠A＝∠CAB＝x°，∵AB＝AD＝DC，∴∠B＝∠ABD＝x°，∠C＝x°，在△ABC中，x+x+x＝180，解得：x＝72，∴∠C＝×72°＝36°．故∠C的度数是36°；（3）如图，∵DE是AC的垂直平分线，AC＝8cm，∴DA＝DC，CE＝AE＝4（cm），∵△ABD的周长为15cm∴AB+BD+AD＝15（cm），即AB+BD+DC＝15（cm），∴AB+BC+AC＝15+8＝23（cm），∴△ABC的周长为23cm．18．（1）∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC，∵∠CAD＝α，∴∠ACD＝（180°﹣∠CAD）＝90；（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图所示：∴∠DAG+∠ADG＝90°，∵AD＝AC，∴∠CAG＝∠DAG＝∠CAD＝α，∵CF⊥AD于点E，∴∠DCE+∠ADG＝90°，∴∠DCE＝∠DAG＝∠CAD＝α，即∠BCF＝α；（3）△ACF是等腰三角形．理由：∵∠B＝45°，AG⊥BC，∴∠BAG＝45°，∵∠BAC＝45°+∠CAG，∠AFC＝45°+∠DCE，∠DCE＝∠DAG，∠CAG＝∠DAG，∴∠BAC＝∠AFC，∴AC＝FC，∴△ACF是等腰三角形．1.2 勾股定理及其逆定理1．在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )A．40° B．30° C．20° D．10°3. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )A ．48B ．60C ．76D ．80 5. 下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )A ．30,40,50B ．7,12,13C ．5,9,12D ．3,4,6 6. 如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为( )A.53 B ．52C ．4D ．5 7. 将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 8. 下列命题的逆命题是真命题的有( )①对顶角相等；②在一个三角形中，如果有两条边相等，那么这两条边的对角也相等；③不相交的两条直线叫做平行线；④有三个角对应相等的两个三角形全等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载，如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出( )A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和10. 直角三角形两个锐角 (互余；互补)；有两个角互余的三角形是三角形．11. 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方；若三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三角形．12. 下列命题中，其逆命题成立的是 (只填写序号)．①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a、b、c(c为最长边)满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．13．命题“两个全等直角三角形的面积相等”的逆命题是．，这个命题是．14．命题“对顶角相等”的逆命题是，该逆命题是(填“真”或“假”)命题．15．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为或 cm2.16．有一个三角形两边长为4和5，若使三角形为直角三角形，则第三边长为或 .17. 写出下列命题的逆命题，并判断它们是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同位角相等；(2)如果a 是偶数，b 是偶数，那么a ＋b 是偶数．18. 如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC ＝14BC.求证：∠EFA ＝90°.19. 如图，∠MAN ＝60°，若△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，求BC 的取值范围.20. 如图所示，某公路一侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC＝8km，BC＝15km，AB＝17km，∠1＝30°，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h.问：多长时间后这个人距B送奶站最近？答案：1---9 BCDCA CCCC10. 互余直角11. 斜边平方直角12. ①④13. 如果两个直角三角形的面积相等 那么它们全等 假命题14. 相等的角是对顶角 假15. 126 66 16. 3 4117. 解：(1)逆命题为：同位角相等，两直线平行(真命题)；(2)逆命题为：如果a ＋b 是偶数，那么a 为偶数，b 为偶数(假命题)．18. 证明：设正方形边长为4a ，则有AE 2＝AB 2＋BE 2，EF 2＝EC 2＋CF 2，AF 2＝DF 2＋AD 2，即AE 2＝(4a)2＋(3a)2＝25a 2，EF 2＝a 2＋(2a)2＝5a 2，AF 2＝(4a)2＋(2a)2＝20a 2，∴AE 2＝AF 2＋EF 2，∴∠AFE＝90°.19. 解：3＜BC ＜2320. 解：过B 作BD⊥CD 于D ，在△ABC 中，AC ＝8，BC ＝15，AB ＝17， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形．∵∠1＝30°，∴∠BCD＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝12BC ＝7.5km ，∴时间为7.5÷2.5＝3h.1.3《线段的垂直平分线》一．选择题1．到△ABC 三个顶点的距离相等的点是△ABC （ ）A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条边的垂直平分线的交点D ．三条高的交点2．如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．AC、BC两边高线的交点处B．AC、BC两边垂直平分线的交点处C．AC、BC两边中线的交点处D．∠A、∠B两内角平分线的交点处3．已知如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，AC＝8cm，DE垂直平分BC，则BE的长是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm4．如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝4cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（）A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm5．如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于点E，∠A＝30°，∠B＝70°，则∠BCE 等于（）A．40°B．45°C．50°D．60°6．在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝35°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．60°B．70°C．75°D．85°7．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB 于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（）A．1对B．2对C．3对D．4对二．填空题8．已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA＝4cm，则PB＝cm．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝20°，则∠C＝．10．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝4，△ABD的周长为12，则BC＝．11．如图，△ABC中，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，AB+AC＝20cm，则△ABD的周长为cm．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为．三．解答题13．如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离相等，请在图上找出这点P．14．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，添加什么条件可得AD垂直平分BC？证明你的判断．15．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC 的垂直平分线上．16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，△ABD的周长为13cm，求AE的长．17．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．18．在△ABC中，DE，HG分别为AB、AC的垂直平分线，与BC交于E、G两点，D、H 分别为垂足，直线DE、HG交于点F．（1）若BC＝12，求△AEG的周长；（2）若∠DFH＝80°，求∠EAG的度数．参考答案一．选择题1．解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到△ABC三个顶点的距离相等的点是△ABC三条边的垂直平分线的交点．故选：C．2．解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在边AC和BC 的垂直平分线上，故选：B．3．解：连接CE，∵Rt△ABC中，∠A＝90°，∠BCA＝75°，∴∠B＝90°﹣∠BCA＝90°﹣75°＝15°，∵DE垂直平分BC，∴∠BCE＝∠B＝15°，BE＝CE，∴∠ACE＝∠BCA﹣∠BCE＝75°﹣15°＝60°，∵Rt△AEC中，∠ACE＝∠BCA＝60°，AC＝8cm，∴∠AEC＝90°﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，∴CE＝2AC＝16cm，∵BE＝CE，∴BE＝16cm．故选：C．4．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，AB＝2AE＝8（cm），∵△ADC的周长为9cm，∴AC+CD+DA＝AC+CD+DB＝AC+BC＝9（cm），∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝17（cm），故选：D．5．解：∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣70°＝80°，∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝30°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝80°﹣30°＝50°，故选：C．6．解：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴∠DAC＝∠C＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣35°＝60°，故选：A．7．解：∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，又∵OE＝OE，∴Rt△AOE≌Rt△COE，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD轴对称，∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，综上所述，全等三角形共有4对．故选：D．二．填空题8．解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PB＝PA，∵PA＝4cm，∴PB＝4cm．故答案为4cm．9．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴∠C＝∠CAE，∵在Rt△ABE中，∠ABC＝90°，∠BAE＝20°，∴∠AEB＝70°，∴∠C+∠CAE＝70°，故答案为：35°．10．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，∴BC＝BD+DC＝BD+DA，∵AB＝4，△ABD的周长为12，∴BC＝12﹣4＝8．故答案为：8．11．解：∵l是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝20（cm），故答案为：20cm．12．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，连接AM，AN，∵ME是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∠BAM＝∠B＝30°，∴∠CAM＝∠BAC﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，∴CM＝2AM＝2BM，∴3BM＝BC＝12cm，∵BM＝4cm，同理可得，CN＝4，∴MN＝BC﹣CN﹣BM＝12﹣4﹣4＝4（cm）．故答案为：4cm．三．解答题13．解：如图所示，点P是AB线段的垂直平分线与直线m的交点．14．解：添加：AB＝AC，理由：∵∠1＝∠2，∴BD＝CD，∴点D在线段BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴当A在线段垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．15．证明：连接PA、PB、PC，∵l1是AB的垂直平分线，∴PA＝PB，∵l2是AC的垂直平分线，∴PA＝PC，∴PB＝PC，∴点P在BC的垂直平分线上．16．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝CE＝AC，∵△ABC的周长为21cm，∴AB+BC+AC＝21cm，∵△ABD的周长为13cm，∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴AC＝8cm，∴AE＝4cm．17．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．18．解：（1）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC＝12，∴△AEG的周长是12．（2）∵DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，∴AE＝BE，AG＝CG，∴∠DAE＝∠B，∠HAG＝∠C，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠DFH＝80°，∴∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝80°，∴∠DAE+∠HAG＝80°，∵∠DAE+∠HAG+∠EAG＝∠BAC＝100°，∴∠EAG＝40°．。

线段的垂直平分线----知识讲解(基础)责编：杜少波【学习目标】1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．【要点梳理】要点一、线段的垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的做法求作线段AB 的垂直平分线.作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点； （2）作直线CD ，CD 即为所求直线．要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于21AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了． (2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.要点二、线段的垂直平分线定理线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 要点诠释：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．要点三、线段的垂直平分线逆定理线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点诠释：到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．要点四、三角形的外心三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.要点诠释:1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.3.外心到三顶点的距离相等.要点五、尺规作图作图题是初中数学中不可缺少的一类试题，它要求写出“已知，求作，作法和画图”，画图必须保留痕迹，在现行的教材里，一般不要求写出作法，但是必须保留痕迹.证明过程一般不用写出来.最后要点题即“xxx即为所求”.【典型例题】类型一、线段的垂直平分线定理1、如图，△ABC中AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【思路点拨】先根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，即AD+CD=BD+CD=AC，再根据△BCD 的周长=BC+BD+CD即可进行解答．【答案】A；【解析】因为BD=AD,所以△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=5+4=9.【总结升华】此题正是应用了线段垂直平分线的性质定理，也就是已知直线是线段垂直平分线，那么垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，从而把三角形的边进行转移，进而求得三角形的周长．举一反三：【变式1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下述结论错误的是（）A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB+BCC．AD=BD=BC D．点D是线段AC的中点【答案】D；提示:根据等边对等角、三角形内角和定理及线段垂直平分线的性质定理即可推得选项A、B、C正确；所以选D,另外，注意排除法在解选择题中的应用．【变式2】（2015秋•江阴市校级月考）如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．【答案】解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．类型二、线段的垂直平分线的逆定理2、如图，已知AB=AC,∠ABD=∠ACD，求证：AD是线段BC的垂直平分线．A【答案与解析】证明：∵ AB=AC（已知）∴∠ABC=∠ACB (等边对等角)又∵∠ABD=∠ACD (已知)∴∠ABD-∠ABC =∠ACD-∠ACB (等式性质)即∠DBC=∠DCB∴DB=DC （等角对等边）∵AB=AC（已知）DB=DC（已证）∴点A和点D都在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）∴AD是线段BC的垂直平分线。

第三讲线段的垂直平分线一、单选题1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A．三条角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条中线的交点【答案】B【分析】根据到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得出即可．【详解】解：∵OA=OB,∴O在线段AB的垂直平分线上,∵OC=OA,∴O在线段AC的垂直平分线上,∵OB=OC,∴O在线段BC的垂直平分线上,即O是△ABC的三边垂直平分线的交点,故选：B．【点睛】本题考查了对线段垂直平分线性质的理解和运用,注意：线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．2．如图,已知△ABC,按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N；②作直线MN交AB于点D,连接C D．若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．105°D．110°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CDA=∠A=50°,根据三角形内角和定理可得∠DCA=80°,根据题目中作图步骤可知,MN垂直平分线段BC,根据线段垂直平分线定理可知BD=CD,根据等边对等角得到∠B=∠BCD,根据三角形外角性质可知∠B+∠BCD=∠CDA,进而求得∠BCD=25°,根据图形可知∠ACB=∠ACD+∠BCD,即可解决问题.【详解】∵CD=AC,∠A=50°∴∠CDA=∠A=50°∵∠CDA+∠A+∠DCA=180°∴∠DCA=80°根据作图步骤可知,MN垂直平分线段BC∴BD=CD∴∠B=∠BCD∵∠B+∠BCD=∠CDA∴2∠BCD=50°∴∠BCD=25°∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°故选C【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质,熟练掌握各个性质定理是解题关键.3．如图所示,△ABC中,AB+BC=10,A、C关于直线DE对称,则△BCD的周长是（）A．6 B．8 C．10 D．无法确定【答案】C【详解】∵A、C关于直线DE对称,∴DE垂直平分AC,∴AD=CD,∵AB+BC=10,∴△BCD的周长为：BC+BD+CD=BC+BD+AD=BC+AB=10故选C.4．在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,AC的垂直平分线MN分别与AB,AC交于点D,E,则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．40°D．50°【答案】A【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB,根据线段垂直平分线性质得出AD=CD,推出∠ACD=∠A=40°,即可得出答案．【详解】∵在Rt△ABC中,∠A=40°,∠B=90°,∴∠ACB=50°．∵AC的垂直平分线MN分别与A B,AC交于点D,E,∴AD=CD,∴∠ACD=∠A=40°,∴∠BCD=∠BCA﹣∠ACD=50°﹣40°=10°．故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质的应用,能根据线段垂直平分线性质求出AD=CD是解答此题的关键．5．如图,在△ABC中,直线MN为BC的垂直平分线,交BC于点E,点D在直线MN上,且在△ABC的外面,连接BD,CD,若CA平分∠BCD,∠A=65°,∠ABC=85°,则△BCD是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据三角形的内角和得到∠ACB=30°,由角平分线的定义得到∠BCD=2∠ACB=60°,根据线段垂直平分线的性质得到BD=CD,于是得到结论．【详解】∵∠A=65°,∠ABC=85°,∴∠ACB=30°．∵CA平分∠BCD,∴∠BCD=2∠ACB=60°．∵直线MN为BC的垂直平分线,∴BD=CD,∴△BCD是等边三角形．故选A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定,熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．6．如图所示,在△ABC中,AD垂直平分BC,AC＝EC,点B,D,C,E在同一条直线上,则AB＋DB与DE之间的数量关系是（）A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．无法判断【答案】C【解析】∵AD垂直平分BC,∵AB=AC,BD=CD,又∵AC＝EC,∴AB=AC=CE,∴AB+BD=CE+CD=DE．故选C.7．如图,已知AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线MN交AB于D,AC于M.以下结论：①△BCD是等腰三角形；②射线CD是△ACB的角平分线；③△BCD的周长C△BCD=AB+BC；④△ADM≌△BCD．正确的有（）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【解析】【分析】利用等腰三角形的性质,三角形的内角的定理及垂直平分线的性质计算出∠B＝∠ACB＝∠BDC＝72°,∠A＝∠ACD＝∠DCB＝36°.【详解】解：∵AB＝AC,∠A＝36°,MN垂直平分AC,∴∠B＝∠ACB＝72°,DA＝DC,∴∠A＝∠ACD＝36°.①∵∠BDC＝∠A＋∠ACD,∴∠BDC＝36°＋36°＝72°,∴∠B＝∠BDC,∴△BCD是等腰三角形.则①正确；②∵∠ACB＝72°,∠ACD＝36°,∴CD平分∠ACB. ∴线段CD是△ACB的角平分线；则②不正确；③∵DA＝DC,∴C△BCD＝BC＋CD＋DB＝BC＋DA＋DB＝BC＋AB.则③正确.④△ADM是直角三角形,△BCD不是直角三角形,则④不正确.故选B.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判断,在等腰三角形中如果已知一个角的度数,可以求出其它角的度数,用角之间的关系求解.8．如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E,若BC=4,AC=8,则BD=（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】试题解析：∵∠C=90°,BC=4,AC=8,∴AB=22=45BC AC+,∵DE是AB的垂直平分线,∴DA=DB,DE⊥AB,AE=BE=25,∴△AED∽△ACB,∴AE ADAC AB=,即25845AD=解得,AD=5,∴BD=5,故选C．9．如图,已知线段AB,分别以点A、点B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧交于点C和点D,作直线CD,在CD上取两点P、M,连接PA、PB、MA、MB,则下列结论一定正确的是(）A．PA=MA B．MA=PE C．PE=BE D．PA=PB【答案】D【解析】【分析】根据作图的过程可知PD是线段AB的垂直平分线,利用垂直平分线的性质即可得到结论．【详解】由题意可知：PD是线段AB的垂直平分线,所以P A=PB．故选D．【点睛】本题考查了基本作图﹣作已知线段的垂直平分线以及考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离线段．10．如图,△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AE＝3cm,△ADC的周长为9cm,则△ABC的周长是()A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm【答案】C【解析】分析：由DE是△ABC中边AB的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,即可得BD=AD,AB=2AE,又由△ADC的周长为9cm,即可得AC+BC=9cm,继而求得△ABC的周长．解答：解：∵DE是△ABC中边AB的垂直平分线,∴AD=BD,AB=2AE=2×3=6（cm）,∵△ADC的周长为9cm,即AD+AC+CD=BD+CD+AC=BC+AC=9cm,∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=6+9=15（cm）．∴△ABC的周长为15cm故答案选C．二、填空题11．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E．若∠DBC=33°,∠A的度数为______．【答案】38°【解析】设∠A的度数为x,∵MN是AB的垂直平分线,∴DB=DA,∴∠DBA=∠A=x,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=33°+x,∴33°+x+33°+x+x=180°,解得x=38°.故答案为38°.12．如图,AE是∠BAC的角平线,AE的中垂线PF交BC的延长线于点F,若∠CAF=50°,则∠B=_______．【答案】50°【解析】∵AE是中垂线PF交BC的延长线于点F,∴AF=EF,∴∠FAE=∠FEA,∵∠FAE=∠FAC+∠CAE,∠FEA=∠B+∠BAE,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE,∴∠FAC=∠B=50°.故答案为50°.13．如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB= cm．【答案】16．【解析】试题分析：首先根据DE是AB的垂直平分线,可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB,据此求出AB的长度是多少即可．解：DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE；∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,∴AB=△ABC的周长−△EBC的周长,∴AB=40−24=16(cm).故答案为16.14．如图：∠C=90°,DE⊥AB,垂足为D,BC=BD,若AC=3cm,则AE+DE=__________．【答案】3cm.【解析】试题分析：根据∠C=90°,DE⊥AB,又有BC=BD,BE=BE,得出△BDE≌△BCE,可得DE=CE,然后可得AE+DE=AE+EC=AC=3cm.故答案为3cm．考点：全等三角形的判定与性质．15．如图,∠BAC=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则∠PAQ的度数是______．【答案】40°【解析】∵MP与NQ分别垂直平分AB和AC∴∠B＝∠BAP,∠QAC＝∠C∵∠BAC＝110°,∴∠B＋∠C＝70°又∵∠APQ＝∠B＋∠BAP∠AQP＝∠C＋∠QAC∴∠APQ＋∠AQP＝2∠B＋2∠C＝140°在△APQ中∠PAQ＝180°－∠APQ－∠AQP＝180°－140°＝40°16．如图,在△ABC中,∠B=70°,DE是AC的垂直平分线,且∠BAD：∠BAC=1：3,则∠C的度数是_____度．【答案】44°【解析】试题分析：设∠BAD为x,则∠B AC=3x,∵DE是AC的垂直平分线,∴∠C=∠DAC=3x﹣x=2x,根据题意得：（x+70°）+2x+2x=180°,解得x=22°,∴∠C=∠DAC=22°×2=44°．故答案为44°．考点：线段垂直平分线的性质．17．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=60°,按以下步骤作图：①分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径做弧,两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于D,交BC于点E,连接AE．若CE=4,则AE=_________．【答案】8【解析】试题解析：由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线,∴AE=BE,∵在△ABC 中,∠C=90°,∠CAB=60°,∴∠CBA=30°,∴∠EAB=∠CAE=30°,∴CE=12AE=4, ∴AE=8．考点：1.作图—复杂作图；2.线段垂直平分线的性质；3.含30度角的直角三角形．18．如图,ABC 的边AB,AC 的垂直平分线相交于点P,连接PB,PC,若A 70∠=,则BPC ∠的度数是______．【答案】20°【分析】连接AP ,由MP 为线段A B 的垂直平分线,根据垂直平分线的性质可得AP =BP ,同理可得AP =CP ,等量代换可得AP =BP =CP ,然后根据等边对等角可得∠ABP =∠BAP ,∠P AC =∠ACP 及∠PBC =∠PCB ,由已知的∠BAC 的度数求出∠BAP +∠CAP 的度数,等量代换可得∠ABP +∠ACP 的度数,同时根据三角形的内角和定理可得∠ABP +∠PBC +∠PCB +∠ACP ,进而得到∠PBC +∠PCB 的度数,再根据两角相等,即可求出所求角的度数．【详解】连接AP ,如图所示．∵MP 为线段AB 的垂直平分线,∴AP =BP ,∴∠ABP=∠BAP又∵PN为线段AC的垂直平分线,∴AP=CP,∴∠P AC=∠ACP,∴BP=CP,∴∠PBC=∠PCB,又∵∠BAC=∠BAP+∠CAP=70°,∴∠ABP+∠ACP=70°,且∠ABP+∠PBC+∠PCB+∠ACP=110°,∴∠PBC+∠PCB=40°,∴∠PBC=∠PCB=20°．故答案为20°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,以及三角形的内角和定理,利用了转化的数学思想,其中作出辅助线AP是解答本题的突破点．19．如图：△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC 边与点E,连接AD,若AE=4cm,求△ABD的周长．【答案】22cm【解析】【分析】直接利用翻折变换的性质得出AE=EC,进而得出△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+CD+BC-CD=AB+BC,进而得出答案．【详解】由图形和题意可知：AD DC =,4AE CE cm ==,则()30822AB BC cm +=-=,故ABD 的周长22AB AD BD AB CD BC CD AB BC cm =++=++-=+=,答：ABD 的周长为22cm ．【点睛】考查折叠的性质,解题的关键是根据折叠的性质找到图形中相等的线段.三、解答题20．如图在△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝120°,EF 为AB 的垂直平分线,EF 交BC 于点F,交AB 于点E ．求证：BF ＝12FC ．【答案】见解析【解析】试题分析：连接AF,根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠B=∠C=30°,根据线段的垂直平分线的性质得出BF=AF,推出∠BAF=∠B=30°,求出∠FAC=90°,根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 试题解析：连接AF,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∵EF 为AB 的垂直平分线,∴BF=AF,∴∠BAF=∠B=30°,∴∠FAC=120°-30°=90°, ∵∠C=30°,∴AF=12 CF,∵BF=AF,∴BF=12 FC．。