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2021年高二12月阶段性检查数学试题含答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不写解答过程，将答案写在答题纸的指定位置上.1、命题“，”的否定是▲2、直线的倾斜角是▲ .3、命题“若，则”的否命题是___▲ ___命题(填：真或假)。
4、已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的___ ▲___(选填“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分又不必要条件”中的一种)．5、已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是▲．6、已知正四棱柱的底面边长为2，高为1，则该正四棱柱的外接球的表面积为▲．7、已知函数的定义域为，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围▲ .8、圆心在直线2x-y-3=0上，且过点A（5，2）和点B（3，2）的圆的标准方程是_ _▲_ ___．9、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是▲．10、下列命题结论中错误的有▲．①命题“若x=，则sinx=”的逆命题为真命题②已知命题，命题，则命题是命题的必要不充分条件。
③直线与平行的充要条件是。
11、在平面直角坐标系中,设点为圆:上的任意一点,点 (),则线段长度的最大值为__ ▲____.12、已知点A（1，﹣2）关于直线x+ay﹣2=0的对称点为B（m，2），则实数a的值为▲．13.过椭圆的左顶点A且斜率为的直线交椭圆于另一点，且点在轴上的射影恰为右焦点,若，则椭圆的离心率的取值范围是▲ .14．在直角坐标系中，已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点分别为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围是▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸的指定区域内.15. （本题满分14分）已知命题：椭圆的焦点在轴上．命题：，不等式恒成立，（1）若命题为真命题，求实数的取值范围.（2）若或为真命题，“且为假命题，求实数的取值范围.16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：（1）EF=BC；（2）平面EFD⊥平面ABC．17. （本题满分14分）已知三个顶点坐标分别为：，且,直线经过点．(1) 求值；(2) 求外接圆的方程；(3) 若直线与相切，求直线的方程；18、（本题满分16分）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且过点．（1）求椭圆的标准方程；⑵若P是椭圆上一点且在x轴上方，F1、F2为椭圆的左、右焦点，若为直角三角形，求p点坐标。
广东省江门市东方红中学2015-2016学年高二（上）第一次段考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°2．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2973．己知{a n}（n∈N*）为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则{a n}的首项a1=（）A．14 B．16 C．18 D．204．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．725．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5 B．4 C．3 D．26．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为（）A．9 B．18 C．9 D．187．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A．b=7，c=3，C=30° B．b=5，c=4，B=45°C．a=6，b=6，B=60°D．a=20，b=30，A=30°8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．69．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（）A．10 海里B．5海里C．5海里 D．5海里10．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形 D．直角三角形11．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（）A．3 B．C．D．12．已知由正数组成的等比数列{a n}中，公比q=2，a1•a2•a3•…•a30=245，则a1•a4•a7•…•a28=（）A．25B．210C．215D．220二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C= 度．14．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4= ．15．若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5= ．16．在等差数列{a n}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{a n}的公差等于；其前n 项和S n的最大值为．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．求a n及S n．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且 S n=n2﹣4n+4，求数列{a n}的通项公式．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=，b2+c2﹣bc=3．（1）求角A；（2）设cosB=，求边c的大小．20．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图所示）．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【选做题】（共1小题，满分10分）22．已知数列{a n}的首项a1=的等比数列，其前n项和S n中S3=，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log|a n|，T n=++…+，求T n．【选做题】（共1小题，满分0分）23．（2013春•西区校级期中）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度从A处出发沿北偏东60°的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处，发现在北偏西45°的方向上有一艘船C，船C位于A处北偏东30°的方向上，求缉私艇B与船C的距离．【选做题】（共1小题，满分0分）24．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．2015-2016学年广东省江门市东方红中学高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】解法一：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B不可能为钝角或直角，得到B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；解法二：由a=b，利用等边对等角，得到A=B，由A的度数求出B的度数即可．【解答】解：法一：∵a=4，b=4，∠A=30°，∴根据正弦定理=得：sinB==，又B为锐角，则∠B=30°；法二：∵a=b=4，∠A=30°，∴∠A=∠B=30°．故选A【点评】此题考查了正弦定理，等腰三角形的判定，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．2．等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【考点】等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．3．己知{a n}（n∈N*）为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，则{a n}的首项a1=（）A．14 B．16 C．18 D．20【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由{a n}（n∈N*）为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，知，由此能求出{a n}的首项a1．【解答】解：∵{a n}（n∈N*）为等差数列，其公差为﹣2，∴a7=a1﹣12，a3=a1﹣4，a9=a1﹣16，∵a7是a3与a9的等比中项，∴，解得a1=20．故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比中项的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．【点评】本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项，考查数列的和，属于基础题．5．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果．【解答】解：，故选C．【点评】等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．6．已知△ABC中，AB=6，∠A=30°，∠B=120°，则△ABC的面积为（）A．9 B．18 C．9 D．18【考点】三角形的面积公式．【专题】计算题．【分析】先画出草图，由RT△的边角关系，求出底和高，从而求出三角形的面积．【解答】解：如图示：，由∠A=30°，∠B=120°得∠c=30°，∴△ABC是等腰三角形，AB=BC，作BD⊥AC垂足为D，在RT△ABD中，由AB=6，∠A=30°，得出：BD=3，AD=3，∴AC=6，∴S△ABC=×6×3=9；故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系，考查三角形的面积公式，是一道基础题．7．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（）A．b=7，c=3，C=30° B．b=5，c=4，B=45°C．a=6，b=6，B=60°D．a=20，b=30，A=30°【考点】解三角形．【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形．【分析】由四个选项中的已知条件，分别利用正弦定理求解判断，能求出只有一个解的三角形．【解答】解：在A中，由正弦定理，得：，sinB=，无解；在B中，由正弦定理，得： =5，sinC=，c＞b，有二个解；在C中，由正弦定理，得： =12，sinA=，a＜b，只有一解；在D中，由正弦定理，得：，sinB=，a＜b，有两个解．故选：C．【点评】本题考查三角形中解的个数的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦定理的合理运用．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则当S n取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】根据等差数列的性质化简a3+a7=﹣6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式S n，配方后即可得到Sn取最小值时n的值．【解答】解：由等差数列的性质可得 a3+a7=2a5=﹣6，解得a5=﹣3．又a1=﹣11，设公差为d，所以，a5=a1+4d=﹣11+4d=﹣3，解得d=2．则a n=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，所以S n==n2﹣12n=（n﹣6）2﹣36，所以当n=6时，S n取最小值．故选D．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和公式化简求值，掌握等差数列的性质，是一道中档题．9．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是（）A．10 海里B．5海里C．5海里 D．5海里【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】先根据∠A和∠B求出∠C，进而根据正弦定理求得BC．【解答】解：由题意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°﹣60°﹣75°=45°根据正弦定理可得，∴BC==5故选C【点评】本题主要考查了正弦定理在实际中的应用．属基础题．10．在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形 D．直角三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题．【分析】由由条件利用二倍角的余弦公式可得，可得cos（A ﹣B）=1，又﹣π＜A﹣B＜π，故A﹣B=0．【解答】解：△ABC中，若，∴，，∴2sinAsinB=1﹣cosAcosB+sinAsinB，∴cos（A﹣B）=1．又﹣π＜A﹣B＜π，∴A﹣B=0，即 A=B，故△ABC是等腰三角形，故选B．【点评】本题考查二倍角的余弦公式，两角差的余弦公式，根据三角函数的值求角，得到cos （A﹣B）=1，是解题的关键．11．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（）A．3 B．C．D．【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，∴根据正弦定理，得解之得a=故选：D【点评】本题给出三角形中A的正弦和边角关系式，求a之长．着重考查了运用正弦定理解三角形的知识，属于基础题．12．已知由正数组成的等比数列{a n}中，公比q=2，a1•a2•a3•…•a30=245，则a1•a4•a7•…•a28=（）A．25B．210C．215D．220【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】根据a2•a5•a8••a29=a1•a4•a7••a28•210，a3•a6•a9••a30=a1•a4•a7••a28•220，进而根据公比q=2，a1•a2•a3•…•a30=245，求得答案【解答】解：已知由正数组成的等比数列{a n}中，公比q=2，a1•a2•a3••a30=245，则a2•a5•a8••a29=a1•a4•a7••a28•210a3•a6•a9••a30=a1•a4•a7••a28•220故a1•a4•a7••a28=25故选A【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=7：8：13，则C= 120 度．【考点】正弦定理．【专题】计算题；转化思想．【分析】利用正弦定理可将sinA：sinB：sinC转化为三边之比，进而利用余弦定理求得cosC，故∠C可求．【解答】解：∵由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c，∴a：b：c=7：8：13，令a=7k，b=8k，c=13k（k＞0），利用余弦定理有cosC===，∵0°＜C＜180°，∴C=120°．故答案为120．【点评】此题在求解过程中，先用正弦定理求边，再用余弦定理求角，体现了正、余弦定理的综合运用．14．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4= 15 ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】把已知的条件直接代入等比数列的前n项和公式，运算求得结果．【解答】解：首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S4==15，故答案为 15．【点评】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题．15．若等比数列{a n}满足a2a4=，则a1a32a5= ．【考点】等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等比数列{a n}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．【解答】解：∵等比数列{a n}满足=，则，故答案为．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．16．在等差数列{a n}中，若a5+a7=4，a6+a8=﹣2，则数列{a n}的公差等于﹣3 ；其前n项和S n的最大值为57 ．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】等差数列{a n}中，由a5+a7=4，a6+a8=﹣2，解得a1=17，d=﹣3，由此求出S n=﹣n2+，再用配方法能够求出S n的最大值．【解答】解：等差数列{a n}中，∵a5+a7=4，a6+a8=﹣2，∴，解得a1=17，d=﹣3，∴S n=17n+=17n﹣+=﹣n2+=﹣（n﹣）2+，∴当n=6时，S n取最大值S6=﹣=57．故答案为：﹣3，57．【点评】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，解题时要认真审题，注意配方法的合理运用．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．求a n及S n．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知数据易得数列的首项和公差，可得a n及S n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则，解得，∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1S n==n2+2n【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且 S n=n2﹣4n+4，求数列{a n}的通项公式．【考点】数列递推式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由数列的前n项和直接求出首项，当n≥2时，由a n=S n﹣S n﹣1求得通项公式，验证首项后得答案．【解答】解：由S n=n2﹣4n+4．当n=1时，a1=S1=1；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣4n+4﹣=2n﹣5．∵a1=1不适合上式，∴．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，关键是对首项的验证，是基础题．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=，b2+c2﹣bc=3．（1）求角A；（2）设cosB=，求边c的大小．【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用题设中的条件求得b2+c2=a2+bc，根据余弦定理进而求得cosA，进而求得A．（2）利用cosB，求得sinB，进而根据正弦的两角和公式求得sinC，最后根据正弦定理求得c．【解答】解：（1）∵a=，由b2+c2﹣bc=3得：b2+c2=a2+bc，∴cosA===，∴A=．（2）由cosB=＞0，知B为锐角，所以sinB=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．由正弦定理得：c==．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．要能熟练掌握正弦定理和余弦定理的公式及其变式，并灵活运用．20．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知DC=6000米，∠ACD=45°，∠ADC=75°，目标出现于地面点B处时，测得∠BCD=30°，∠BDC=15°（如图所示）．求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）．【考点】解三角形的实际应用；正弦定理．【专题】计算题．【分析】在△ACD中，依题意可求得，∠CAD，利用正弦定理求得BD的长，进而在△ABD中，利用勾股定理求得AB．【解答】解：在△ACD中，∠CAD=180°﹣∠ACD﹣∠ADC=60°，CD=6000，∠ACD=45°，根据正弦定理有，同理，在△BCD中，∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，CD=6000，∠BCD=30°，根据正弦定理有．又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°，根据勾股定理有．所以炮兵阵地到目标的距离为米．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．利用了正弦定理和余弦整体定理，完成了边角的问题的互化．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】等差数列与等比数列的综合．【专题】计算题．【分析】（I）将已知等式用等差数列{a n}的首项、公差表示，列出方程组，求出首项、公差；利用等差数列的通项公式求出数列{a n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即a n=2n+1．（Ⅱ），b n=a n•3n﹣1=（2n+1）•3n﹣1T n=3+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+7•33+…+（2n﹣1）•3n﹣1+（2n+1）•3n﹣2T n=3+2•3+2•32+…+2•3n﹣1﹣（2n+1）3n∴T n=n•3n．【点评】解决等差、等比两个特殊数列的问题，一般将已知条件用基本量表示，列出方程组解决；求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．【选做题】（共1小题，满分10分）22．已知数列{a n}的首项a1=的等比数列，其前n项和S n中S3=，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log|a n|，T n=++…+，求T n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；方程思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）求出数列的公比，然后求解数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）化简b n=log|a n|，利用裂项法求解T n=++…+，即可．【解答】解：（Ⅰ）若q=1，则不符合题意，∴q≠1，…（1分）当q≠1时，由得…（3分）∴…（5分）（Ⅱ）∵…（7分）∴…（8分）∴T n===…（10分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解前n项和的方法，是中档题．【选做题】（共1小题，满分0分）23．（2013春•西区校级期中）某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度从A处出发沿北偏东60°的方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处，发现在北偏西45°的方向上有一艘船C，船C位于A处北偏东30°的方向上，求缉私艇B与船C的距离．【考点】解三角形的实际应用．【专题】数形结合．【分析】由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理：，求出BC的值．【解答】解：如图，由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，即km，故缉私艇B与船C的距离为．【点评】本题考查三角形内角和定理，正弦定理的应用，求出AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，是解题的关键．【选做题】（共1小题，满分0分）24．（2013•浙江）在公差为d的等差数列{a n}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，a n；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式a n可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{a n}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，a n=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，a n=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以a n=﹣n+11或a n=4n+6；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，a n=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=﹣S n+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．。
一、单选题 1．命题“”的否定是（ ）20,0x x x ∀>-≤A ． B ． 20,0x x x ∃>-≤20,0x x x ∃>->C ． D ．20,0x x x ∀>->20,0x x x ∀≤->【答案】B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可. 【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 所以命题“”的否定为：“”.20,0x x x ∀>-≤20,0x x x ∃>->故选：B.2．“”是“”的（ ） 0x >220x x +>A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求解，由充分条件、必要条件的定义即得解 220x x +>【详解】由题意，或，2202x x x +>⇔<-0x >∴是的充分不必要条件 0x >220x x +>故选：A3．在中，角，，的对边分别为，，若，，，则ABC A A B C a b c 2c =sin 2sin A C =1cos 4B =的面积（ ）ABC A S =A B ．C ．1 D 【答案】A【分析】由已知利用正弦定理可得，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据24a c ==sin B 三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：，2c = ，由正弦定理可得，sin 2sin A C ∴=24a c ==， 1cos 4B =sin B ∴==的面积ABC ∴A 11sin 4222S ac B ==⨯⨯故选：A ．4．已知为公差不为0的等差数列的前项和，若成等比数列，且，则n S {}n a n 124,,a a a 684S =5a =（ ） A ．10 B ．15 C ．18 D ．20【答案】D【分析】由题可知，由等比中项得出，再结合条件并根据等差数列的通项公式及前0d ≠2214a a a =⋅项和公式，可求出和，从而得出.n 1a d 5a 【详解】解：由题可知，等差数列的公差，{}n a 0d ≠成等比数列，，124,,a a a 684S =则，即，2214684a a a S ⎧=⋅⎨=⎩()()21111361584a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩解得：，所以.144a d =⎧⎨=⎩51444420a a d =+=+⨯=故选：D.5．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（ ）(3,1,5)m =- (6,2,10)n =--A ．α⊥βB ．α∥βC ．α与β相交但不垂直D ．以上都不对【答案】B【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.【详解】解：∵，(3,1,5)m =- (6,2,10)n =--∴，2n m =- ∴，//m n ∴ //αβ故选：B.6．已知双曲线的左焦点，过点在且与轴垂直的直线与双曲()2222:10,0x y C a b a b-=>>()1,0F -F x 线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线渐近线的距离为（ ） A B O AOB A 32F CA ．B ．C ．D 121434【答案】D【分析】先由交点坐标和三角形面积联立方程组求出a 、b ，得到渐近线方程，利用得到直线的距离公式即可求解.【详解】因为双曲线的左焦点，所以c =1，即.()2222:10,0x y C a b a b-=>>()1,0F -221a b +=设，代入，解得：，即，所以,()1,A y -22221x y a b -=2b y a =21,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以的面积为.AOB A 2123122b a ⨯⨯=又有，解得：，. 221a b +=12a =b =所以渐近线方程：，y =所以到双曲线.F C 故选：D7．关于的一元二次不等式的解集为（ ） x 2560x x -->A ．或 B ． {1x x <-}6x >{}16x x -<<C ．或 D ．{2x x <-}3x >{}23x x -<<【答案】A【解析】根据一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出结果. 【详解】由得，解得或. 2560x x -->()()610x x -+>6x >1x <-即原不等式的解集为或. {1x x <-}6x >故选：A.8．如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，则异面111ABC A B C -1AB AC AA ===2BC =D BC 直线与所成的角为AD 1ACA ．B ．C ．D ．2π3π4π6π【答案】B【分析】取的中点，连结,这样求异面直线与所成的角就转化成求的大11B C 1D 11A D AD 1AC 11CA D ∠小．【详解】取的中点，连结,在直三棱柱，点为的中点,11B C 1D 111A D CD 、111ABC A B C -D BC 且，且，所以就是异面直线与所成的11AA DD ∴=11AA DD A 11AD A D ∴A 11AD A D =11CA D ∠AD 1AC 角．，可以求出，在中，由勾股定理可求出A B AC ==2BC =111AD A D ==11Rt CC D ∆1CD =，在中，由勾股定理可求出，显然是直角三角形，,1Rt AA C ∆12AC =11A D C ∆1111sin CD CA D AC ∠==所以，因此本题选B.113CA D π∠=【点睛】本题考查了异面直线所成角的问题，解决的关键转化成相交线所成的角，但要注意异面直线所成角的范围是．(0,2π9．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是 x y 211x y +=222x y m m +>+m ()A ．， B ．， (,2)[4-∞- )∞+(,4)[2-∞- )∞+C ． D ．(2,4)-(4,2)-【答案】D【分析】由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得2x y +m m 范围．【详解】正实数，满足，x y 211x y+=212(2)(x y x y x y∴+=++， 4448y x x y =+++=当且仅当即且时取最小值8， 4y xx y=4x =2y =2x y +恒成立，， 222x y m m +>+ 282m m ∴>+解关于的不等式可得 m 42m -<<故选：．D 【点睛】本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．10．已知实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）x y 1022020x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩z x y =+A ． B ．C ．D ．[]2,3[]1,3-[)1,-+∞(],3-∞【答案】B【分析】根据约束条件，画出可行域，将转化为，平移直线，由直线在y z x y =+y x z =-+y x =-轴上的截距最小和最大，则目标函数取得最小值和最大值求解.【详解】根据实数，满足约束条件，画出可行域如图所示：x y 1022020x y x y y -+≤⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩将转化为平移直线，z x y =+y x z =-+y x =-直线经过点时，直线在y 轴上的截距最小，目标函数取得最小值，最小值为-1； ()1,0A -直线经过点时，直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最大值，最大值为3； ()1,2B 所以的取值范围是. z x y =+[]1,3-故选：B11．已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F ，抛物线上任意一点P ，且PQ ⊥y 轴交y 轴于点Q ，则 PQ PF⋅的最小值为（ ） A ． B ． C ．l D ．1-14-12-【答案】A【解析】设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭()0,Q y ()1,0F ，利用二次函数的性质可得最值.()22112164PQ PF y =⋅-- 【详解】解：设点，则点，，2,4y P y ⎛⎫⎪⎝⎭()0,Q y ()1,0F ，22,0,1,44PQ P y F y y ⎛⎫⎛⎫∴=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22422211,01,244164164PQ P y y y y y F y ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅ 当时，取最小值，最小值为.22y =PQ PF ⋅ 14-故选：A.【点睛】本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题. 12．在中，内角，，所对的边分别为，，，则“”是“是等腰三角ABC A A B C a b c cos cos a B b A=ABC A 形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用余弦定理角化边，由探求出的形状，再结合充分条件、必要条件的定cos cos a B b A=ABC A 义直接判断即可.【详解】在中，由结合余弦定理得：，整理得： ABC A cos cos a B b A =22222222b c a a c b a b bc ac+-+-⋅=⋅，即，则或，为等腰三角形或直224224a c a b c b -=-22222()()0a b a b c -+-=a b =222+=a b c ABC A 角三角形， 即“”不能推出“是等腰三角形”，而为等腰三角形，不能确定哪两条边相等，cos cos a B b A=ABC A ABC A不能保证有成立， cos cos a B b A=所以“”是“是等腰三角形”的既不充分也不必要条件. cos cos a B b A=ABC A 故选：D二、填空题13．若关于的不等式的解集是，则___________. x 20x mx n ++<{|32}x x -<<m n +=【答案】5-【分析】由一元二次不等式的解集，利用根于系数的关系即可得解. 【详解】由题意知，是的两个根，3,2-20x mx n ++=则，()3232m n -+=-⎧⎨-⨯=⎩解得. 16m n =⎧⎨=-⎩故 5.m n +=-故答案为：.5-14．椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与C 交于两点，2222 : 1(0)bx y C a b a +=>>12,F F 2F x ,A B 与轴相交于点D ，若，则椭圆C 的离心率为_____________. 1F A y 1BD F A ⊥【分析】由已知可得，结合椭圆定义可知，结合122==BF AB AF 21232+==b AF AF a a，从而可求出离心率.222c a b =-【详解】,，又，则.12//,= F O F O OD AB 1∴=DF DA 1⊥ BD AF 12222===BF AB AF BF由在椭圆上，代入椭圆方程得，()0,A c y 2222 : 1+=y a bx C 4202b y a =所以，，，即22=b BF a 212=∴=b BF AB a 21232∴+==b BF BF aa 222223==-a b ac 解得，即a =e =故答案为:15．已知分别为三个内角的对边，，且,,a b c ABC A ,,A B C 4a =()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，则面积的最大值为____________． ABC A 【答案】【分析】首先根据正弦定理得到，利用余弦定理得到，222b c a bc +-=60A = ，再利用基本不等式得到，再求面积的最大值即可. 2222cos a b c bc A =+-16bc ≤ABC A 【详解】由，且， 4a =()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-由正弦定理得，化简得，()()()a b a b c b c +-=-222b c a bc +-=故，所以. 222122b c a cosA bc +-==60A = 又因为，即， 2222cos a b c bc A =+-2216b c bc bc =+-≥所以，当且仅当时取等号.16bc ≤4bc ==故1sin 602ABC S bc =≤△故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理角化边公式和面积公式，同时考查余弦定理解三角形和基本不等式求最值，属于中档题.16．等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则{}n a {}n b n n S n T n 2132nnS n T n -=-的值为___.51161079a a b b b b +++【答案】2943【分析】利用等差数列的下标和性质即可得到结果. 【详解】因为，是等差数列，所以，{}n a {}n b 51158116107988222a a a a a b b b b b b ++==++因为. 15115815115822151292315243S a a a T b b b +⨯-====+⨯-故答案为：2943【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体思想，属于基础题．三、解答题17．设命题：对任意实数，不等式恒成立；命题:方程表示p x 220x x m -+≥q 221(0)xy t m t m-=>-焦点在轴上的双曲线.x （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； p m （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. p q t 【答案】(1)；(2).m 1≥(0,1]【详解】试题分析：（1）由不等式恒成，可得立 ，从而可得命题220x x m -+≥440m ∆=-≤p 为真命题的的取值范围；（2）结合（1）所求的的取值范围，根据双曲线的定义求出为真时m m q 满足当，由是的充分条件，等价于，解不等式即可得结果. m t >p q {}{}1m m m m t ≥⊆≥试题解析：（1）不等式恒成立 ，220x x m -+≥∴440m ∆=-≤1m ∴≥当时，为真命题.∴p （2）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.221x y m t m-=-x ，得；当时，为真命题.∴00m t m ->⎧⎨>⎩m t >∴m t >q 是的充分条件，p q{}{}1m m m m t ∴≥⊆≥1t ∴≤综上，的取值范围是.t (]0,118．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．ABC A )2222sin a c b bc A +-=（1）求B ；（2）若，求b ． ABC A 2c a =【答案】（1）；（2）2.3B π=【分析】（1）根据余弦定理、正弦定理，结合同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.【详解】解：（1， )2222sin a c b bc A +-=sin b A a=， sin b AB a=，cos sin B b A =， cos sin sin A B B A =因为， sin 0A ≠sin B B =所以， tan B =因为，所以．0B π<<3B π=（2）若 ABC A则 11sin 222ac B a a =⨯⨯=a =所以． c =由余弦定理，可得， 2222cos b a c ac B =+-222122b =+-所以．2b =19．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项． {}n a 1a 2a 3a （1）求的公比；{}n a （2）若，求数列的前项和．11a ={}n na n 【答案】（1）；（2）. 2-1(13)(2)9n n n S -+-=【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；q （2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结{}n a {}n na 论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，{}n a q 1a 23,a a ， 212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ；1,2q q ≠∴=- （2）设的前项和为，，{}n na n n S 111,(2)n n a a -==-，①21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，②23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-①②得，-2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--- ， 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--. 1(13)(2)9nn n S -+-∴=【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.20．已知椭圆C ：（4. 22221x y a b +=0a b >>（1）求椭圆方程；（2）过作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长.()2,1P 【答案】（1）（2）直线方程为，弦长为221164x y +=240x y +-=【分析】（1）由已知信息，待定系数即可求解椭圆方程；（2）设出交点坐标，由点差法，即可求得直线斜率，再求弦长.【详解】（1， ca =根据短轴长可得：，，24b =2b =设，，，所以，2a k =c =2b k ==4a =所以椭圆方程为. 221164x y +=（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，，()2,1P ()11,A x y ()22,B x y 则，则，124x x +=122y y +=分别代入椭圆的方程得，，，两式相减可得 22111164x y +=22221164x y +=()()()()1212121240x x x x y y y y +-++-=，所以， ()()1212480x x y y ∴-+-=212112y y k x x -==--故以点为中点的弦所在直线方程为；()2,1P 240x y +-=由，得， 222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩()20y y -=所以，；，，0y =4x =2y =0x ==故该直线截椭圆所得弦长为【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中的中点弦问题，涉及弦长的求解，属综合中档题. 21．如图，在多边形中（图1）．四边形为长方形，为正三角形，，ABPCD ABCD BPC △3AB =，现以为折痕将折起，使点在平面内的射影恰好是的中点（图BC =BC BPC △P ABCD AD 2）．（1）证明：平面；AB ⊥PAD （2）若点在线段上，且，求二面角的余弦值． E PB 13PE PB =E DC B --【答案】（1）证明见解析；（2. 【分析】（1）过点作，垂足为，由于点在平面内的射影恰好是中点， P PO AD ⊥O P ABCD AD 可得平面，进一步得到，PO ⊥ABCD PO AB ⊥又因为，，则平面；AB AD ⊥PO AB O ⋂=AB ⊥PAD （2）取的中点，以为坐标原点，以，，分别为轴的正方向建立空间直角BC F O OA OF OP ,,x y z 坐标系，分别求出平面和平面的法向量，代入夹角公式可求出结果．EDC DCB 【详解】（1）作的中点，连接，由题知平面．AD O PO PO ⊥ABCD因为平面，所以，AB ⊂ABCD PO AB ⊥又因为，，AB AD ⊥PO AB O ⋂=所以平面．AB ⊥PAD （2）取的中点，连接，BC F OF 则，，，PO OA ⊥PO OF ⊥OA OF ⊥以为坐标原点，以，，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系．O OA OF OP ,,x y z则，12OA OD BC ===OP ==则，， B ⎫⎪⎪⎭P ⎛ ⎝，， ED ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,ED =-- (0,3,0)DC = 设平面的一个法向量为EDC (,,)n x y z = 则有，令，所以 030n ED y n DC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅==⎪⎩1x=(1,0,2)n =- 易知平面的一个法向量为DCB (0,0,1)m = 所以 cos ,||||m n m nm n ⋅〈〉=== 所以二面角． E DC B --【点睛】本题主要考查线面垂直的判定，二面角的求解，建立空间直角坐标系，用向量法求二面角是常用方法，本题属于中档题.22．已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的()2:20C y px p =>()1,0F O A B C O 两点．(1)求抛物线的方程；C (2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点． OA OB 12-AB x 【答案】(1)；24y x =(2)证明见解析.【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.AB【详解】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：. 12p =2p =24y x =（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为， AB (),0x my n n =+≠联立抛物线方程可得：，时， 24y x =2440y my n --=216160m n ∆=+>设两点的坐标分别为，则，，,A B ()()1122,,,x y x y 12124 ,4y y m y y n +==-()21221216y y x x n ==由题可知，，即，解得，此时满足， 121212y y x x ⨯=-2412n n -=-8n =0∆>故直线恒过轴上的定点.AB x ()8,0。
2021年高二数学上学期阶段性教学质量检测试题新人教版本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将答题纸和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动：用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试卷上的无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．不等式的解集为A. B ． C ． D ．2．若a 、b 、c ，则下列不等式成立的是A ．B ．C ．D ． 3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，∠B ＝45°，则∠A 为．A ．30°或150°B ．60°C ．60°或120°D ．30°4．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是A ．d ＞83B ．d ＜3 C.83≤d ＜3 D.83＜d ≤3 5．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A． B．C． D．6．关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－1,3)C．(1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)7．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有A．a3＋a9＜b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10 D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定8.已知满足，则的形状是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9．等差数列,的前项和分别为,,若,则=A． B． C． D．10．设x，y满足条件20360,(0,0) 0,0x yx y z ax by a bx y-+≥⎧⎪--≤=+>>⎨⎪≥≥⎩若目标函数的最大值为12，则的最小值为A．B．C．D．4第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填写的答题纸的相应位置. 11．在等比数列{a n}中，若a1＋a2＋a3＝8，a4＋a5＋a6＝－4，则＝；12．若关于的不等式的解集，则的值为13.如果一个等差数列中，前三项和为34，后三项和为146，所有项的和为390，则数列的项数是 ___________14．已知△ABC三边满足a2＋b2＝c2－3ab，则此三角形的最大内角为________．15．已知等差数列的前n项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论：①数列是递减数列；② 数列是递减数列；③ 数列的最大项是；④ 数列的最小的正数是．其中正确的结论的个数是___________三、解答题：本大题共6小题，共计75分。
2021-2022年高二数学上学期第2次阶段检测试题理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）:1．下列方程的曲线关于y轴对称的是（）A.x2－x＋y2＝1B.x2y＋xy2＝1C. x2－y2＝1D.x－y=12．同时掷两枚骰子，所得点数之和为5的概率为（）A． B． C． D．3．已知x，y的取值如下表所示：2 3 46 4 5如果与呈线性相关，且线性回归方程为，则b=( )A． B． C． D．4.下列有关命题的说法正确的是 ( )A．“若x≠a且x≠b，则x2－（a＋b）x＋ab≠0”的否命题为：“若x＝a且x＝b，则x2－（a＋b）x＋ab＝0”．B．“”是“”的必要不充分条件．C．命题“使得”的否定是：“均有”．D．命题“若，则”的逆否命题为真命题．5.设，则使成立的一个充分不必要条件是（）A． B. C． D．6.如图是将二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（） A． i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤57.为调查甲乙两个网络节目的受欢迎程度，随机选取了8天，统计上午8:00-10:00的点击量。
茎叶图如图，设甲、乙的中位数分别为，方差分别为,则（ ） A. B.C. D.8.在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于13的概率为( )A. 79B. 1718C. 29D. 1189.双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆的交点个数是（ ） A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．011. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)12.已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置上）: 13. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则a ＜b 的概率为________．14.设是椭圆的不垂直于对称轴的弦，是弦的中点，设直线的斜率为，直线（为坐标原点）的斜率为，则 ________． 15.已知命题，命题，若命题是真命题，则实数a 的取值范围是__________.16.已知点P 是抛物线上的点，设点P 到抛物线准线的距离为，到圆上一动点Q 的距离为的最小值是 .第7题图三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）： 17.(本题满分10分)某市四所重点中学进行高二期中联考，共有5000名学生参加，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机的抽取若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如右边的频率分布表：（Ⅰ）根据右面的频率分布表，推出①，②，③，④处的数字分别为，____ ，____ ，____ ，____ ； （Ⅱ）根据题中的信息估计总体：①120分及以上的学生人数； ②成绩在中的概率。
2019学年上学期高二年级12月月考数学(理科)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题：“”的否定是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】全称命题“”的否定为特称命题“”，故选C。
2. 下列图形不一定是平面图形的是( )A. 三角形B. 四边形C. 圆D. 梯形【答案】B【解析】三角形，圆，梯形一定是平面图形，但是四边形可以是空间四边形，故选B.3. 已知直线与直线垂直，则的值为( )A. 0B.C. 1D.【答案】C【解析】∵直线与直线垂直，∴，解得，故选C.4. 已知命题“且”为真命题，则下面是假命题的是( )A. B. C. 或 D.【答案】D【解析】命题“且”为真，则真真，则为假，故选D。
5. 已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，那么这个几何体的表面积是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱，所以几何体的表面积（），故选C.6. 下列命题：①若，则；②若，则；③若，则成等比数列；④若，则成等差数列.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C.D. 4【答案】B【解析】，若，则，故①正确；若，则或，故②错误；当时，不成等比数列，故③错误；若，则成等差数列，故④正确.故选B.7. 已知双曲线的实轴长为2，虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由题知，，焦距为.故选D.8. 在四棱锥中，底面，底面为矩形，，是上一点，若，则的值为( )A. B. C. D. 4【答案】C【解析】因为底面，所以，又，故平面，故，此时，，则.因为，所以，即.9. 若椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，若到的距离的最大值为5，最小值为3，则该椭圆的方程为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得：，故，所以椭圆方程为：.故选A.10. 已知过双曲线右焦点，斜率为的直线与双曲线的第一象限交于点，点为左焦点，且，则此双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，∵过双曲线右焦点的直线，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，∵，∴，故选C.11. 在四面体中，底面，，，，为的重心，为线段上一点，且平面，则线段的长为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，延长AG交BC于点H，过点G作GE//BC交AC于点E，过点E作EF//DC，交AD 于点F，则平面EFG//平面BCD，又FG平面BCD，所以FG//平面BCD，又，所以,，所以.12. 已知点是椭圆上的动点，过点作圆的切线，为其中一个切点，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】. 因为，所以.故选B.点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 正方体的棱长为，且正方体各面的中心是一个几何体的顶点，这个几何体的棱长为________.【答案】【解析】如图所示，取棱中点，连接，由正方体的性质可得，，则，即几何体的棱长为，故答案为.14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是________________. 【答案】【解析】由，解得或.“”是“”的充分不必要条件，所以.点睛：设对应的集合分别为，则有以下结论：（1）若的充分条件，则；（2）若的充分不必要条件，则；（3）若的充要条件，则。
二高2021-2021学年第一学期第二学段高二年级考试数学试卷〔理科〕考试时间是是：120分钟；一、选择题〔12*5=60分 请将正确答案填入题后的表格中〕 1．集合{}{}220,1,0M x x x N =--==-，那么M N ⋂= A. {}1,0,2- B. {}1- C. {}0D. ∅2．命题“假设－1＜x ＜1，那么x 2＜1〞的逆否命题是( )A. 假设x ≥1或者x ≤－1，那么x 2≥1 B. 假设x 2<1，那么－1<x<1C. 假设x 2>1，那么x>1或者x<－1 D. 假设x 2≥1，那么x ≥1或者x ≤－13．在ABC ∆中，ab c b a 2222-=+，那么C ∠=( ) A.030 B.045 C.0150 D.01354 在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，那么b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 65．命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，那么( )． A ．¬ p：∃x 0∈R ，sin x 0≥1 B ．¬ p：∀x ∈R ，sin x ≥1C ．¬ p：∃x 0∈R ，sin x 0>1 D ．¬ p：∀x ∈R ，sin x>16．命题“所有实数的平方都是正数〞的否认为 A ．所有实数的平方都不是正数7．椭圆的一个焦点为F(0，1)，离心率12e =，那么该椭圆的HY 方程为 A ．22134x y += B ．22143x y += C ．2212x y += D ．2212y x +=8．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，355,9a a ==，那么7S 等于〔 〕 A ．13 B ．35 C ．49 D ．639．椭圆2241x y +=的离心率为( )A ．12 B ． ±12D 10．以下命题正确的选项是A. “1<x 〞是“0232>+-x x 〞的必要不充分条件B. 对于命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，那么p ⌝：,R x ∈∀均有012≥-+x xC. 假设q p ∧为假命题，那么q p ,均为假命题D. 命题“假设0232=+-x x ，那么2=x 〞的否命题为“假设,0232=+-x x 那么2≠x11． 椭圆110222=-+-my m x 的长轴在x 轴上，焦距为4，那么m 等于 〔 〕 A ．8 B ．7 C ．6 D ．512．抛物线x ay 2=的准线方程是y=2,那么a 的值是〔 〕A.18B. 18-二、填空题〔4*5=20分〕 13．等比数列中，，那么公比14．把命题“012,0200<+-∈∃x x R x 〞的否认写在横线上15．椭圆22259x y +＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，那么△PQF 2的周长为____ ____．16．假设),,2,4(),3,1,2(x b a -=-=且b a ⊥，那么x = 三、解答题〔70分〕17.〔10分〕等差数列{}n a 满足：a 3=7，a a 75+=26，求数列{}n a 的通项公式及其前n项和S n ．18.〔12分〕设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA 。
高二上学期阶段性测试数学试题一、选择题（每小题5分）1.在等差数列{}n a 中,若261,1a a ==-,则4a = ( )A. 1-B. 1C. 0D. 12- 2.“0xy =”是“0x =且0y =”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知椭圆的焦点在x 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m =( )A.14B.12C.2D.44.与向量平行的一个向量的坐标为( )A. 1(,1,1)3B. (1,3,2)--C. 13(,,1)22-- D. (2,3,22)-- 5.已知,若,则0x 等于( )A. 2eB. eC. ln 22D. ln 2 6.如果等差数列{}n a 中,,那么( )A. 14B. 21C. 28D. 35 7.已知0a >,0b >,2a b +=,则14y a b=+的最小值是( ) A.72 B.4 C. 92D. 5 8.已知()f x 是定义在()0,+∞上的非负可导函数,且满足()()'0xf x f x +≤,对任意正数a ,b ,若a b <,则必有( )A. ()()af b bf a ≤B. ()()bf a af b ≤C. ()()af a f b ≤D. ()()bf b f a ≤ 9.已知(3cos ,3sin ,1)P αα和()2cos ,2sin ,1Q ββ,则的取值范围是( ) A.[]1,5B.(1,5)C.[]0,5D.[]0,2510.如图,点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上,且1122,,,n n n n n n A A A A A A n N *++++=≠∈1122,,N ,n n n n n n B B B B B B n *++++=≠∈ (P Q≠表示点P 与 Q 不重合).若,n n n n d A B S =为1n n n A B B +△的面积,则( )A. {}n S 是等差数列B. {}2n S 是等差数列C. {}n d 是等差数列D. {}2n d 是等差数列11.在直角坐标系中, ()2,3A -,()3,2B -沿x 轴把直角坐标系折成120的二面角,则此时线段AB 的长度为( )A. 25B. 211C. 52D. 4212.设P 为双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>上一点, 12,F F 分别为双曲线 C 的左、右焦点,212PF F F ⊥,若12PF F ∆的外接圆半径是其内切圆半径的176倍,则双曲线 C 的离心率为( )A. 2B. 4C. 2或3D. 4或53二、填空题（每小题5分） 13.“”是“”的_______________条件.14.直线与函数3()3f x x x =-的图象有三个相异的公共点,则a 的取值范围是__________. 16.设函数与是定义在同一区间上的两个函数.若对任意的,都有,则称与在上是“比邻函数”.若函数与在上是“比邻函数”,则实数m 的取值范围为_________.三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分） 17.已知，命题，命题．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围18.数列{}n a 中，，.(1).求{}n a 的通项公式； (2).设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前项和.19如图,在直三棱柱中,,点是的中点.1.求异面直线与所成角的余弦值;2.求平面与所成二面角的正弦值.20.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p （万元）和宿舍与工厂的距离x （km ）的关系为：()093kp x x =≤≤+，若距离为1km 时，宿舍建造费用为125万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需8万元，铺设路面每千米成本为5万元，设()f x 为建造宿舍与修路费用之和． （1）求()f x 的表达式，并写出其定义域;（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用()f x 最小，并求最小值．21.已知函数()2xf x e x a =-+,x ∈R ,曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.1.求函数()y f x =的解析式;2.当x ∈R 时,求证: ()2f x x x ≥-+;3.若()f x kx >对任意的()0,x ∈+∞恒成立,求实数的取值范围.22.如图, O 为坐标原点,点F 为抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点,且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y +=相切于点Q .1.当直线P Q 、的方程为20x y --=时,求抛物线1C 的方程;2.当正数P 变化时,记1S ,2S 分别为FPQ ∆,FOQ ∆的面积,求12S S 的最小值.参考答案一、选择题1.答案：C解析：∵4262110a a a =+=-=,∴40a =. 2.答案：B解析：因为0xy =等价于0x =或0y =，所以“0xy =”是“0x =且0y =”成立的必要不充分条件，故选B 3.答案：D解析：化为标准形式得2211y x m+=，所以长轴长为2，短轴长为22=⨯4m =. 4.答案：C解析：1311(,,1)(1,3,2)2222a --=--=-. 5.答案：B解析：()()''ln ln 'ln 1f x x x x x x =+=+,()00'ln 12f x x =+=,所以0x e =. 考点:本题考查求导公式及导数运算法则。
嘉兴高二年级12月阶段测试数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.已知直线l 的方程为10y ++=，则直线l 的倾斜角为（）A.30°B.60︒C.120︒D.150︒【答案】C 【解析】【分析】先将直线l 的方程化为斜截式，再利用倾斜角和斜率关系即可求解.10y ++=化为1y =-，则直线l 的斜率为k =设直线l 的倾斜角为α，0180α︒≤<︒，则tan k α==120α=︒.故选：C.2.若向量()()0,1,1,1,1,0a b =-= ，且()a b a λ+⊥，则实数λ的值为（）A.1 B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到(),1,1a b λλλ+=+-，结合向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.【详解】由向量()()0,1,1,1,1,0a b =-= ，可得(),1,1a b λλλ+=+-，因为()a b a λ+⊥ ，所以()0110a b a λλ+⋅=+++=，解得2λ=-.故选：D.3.已知抛物线22y x =，则其焦点到准线的距离为（）A.14B.12C.1D.4【答案】A 【解析】【分析】把抛物线方程化成标准形式，再借助p 的几何意义即得.【详解】抛物线方程22y x =化为212x y =，所以焦点到准线的距离14p =.故选：A4.四棱锥P ABCD -底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，1,3CM PN ND CB ==，设,,AB a AD b AP c === ，则向量MN 用基底{},,a b c表示为（）A.1162a b c--+ B.1162a b c-++C.1132a b c--+r r rD.1132a b c++【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用MN MC CD DN =++，结合题设条件，以及向量的运算法则，即可求解.【详解】因为,M N 分别为棱,BC PD 上的点，1,3CM PN ND CB ==，则()11113232MN MC CD DN AD AB DP AD AB AP AD =++=-+=-+-1162AB AD AP =--+ ，故1162MN a b c =--+.故选：A.5.已知数列{}n a 满足()*13n n a a n N +=∈，且12a=，n S 为其前n 项的和，则10S =（）A.103B.1031- C.931- D.93【答案】B 【解析】【分析】根据等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题可知{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，则()1010102133113S -==--.故选：B.6.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A.12+B.4C.1+D.7【答案】C 【解析】【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1+，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.7.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*n ∈N ，都有4n S S ，则6756a a a a ++的值不可能是（）A.32 B.2C.52D.3【答案】A【解析】【分析】由已知建立不等式组，可求得134d d a -≤-≤，再对各选项逐一验证可得选项.【详解】解：因为数列{}n a 是公差不为零的等差数列，n S 为其前n 项和．对任意的*n ∈N ，都有4n S S ，所以14243454S S S S S S S S ≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≤⎩，即()()()()()()111111114414+24412+4+23314413+4+225514415+4+22a a d a d a d a d a da d a d ⎧⨯-≤⎪⎪⎪⨯-≤⎪⎪⎨⨯-⨯-⎪≤⎪⎪⨯-⨯-⎪≤⎪⎩，解得134d a d -≤≤-，则当151676+13292+21d a a a a d a a +==+时，152a d =-，不成立；当116756222+11+9a a a d a a d a +==+时，172a d =-，成立；当151676+15292+21d a a a a d a a +==+时，1236a d =-，成立；当116756232+11+9a a a da a da +==+时，14a d =-，成立；所以6756a a a a ++的值不可能是32，故选：A.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，12,F F 分别是双曲线的左､右焦点，点()(),0,0,M a N b -，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F △的面积分别为12,S S ，则21S S =（）A.4B.8C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出,,a b c 的关系，结合向量数量积的公式，结合一元二次函数的性质求出函数的最值即可.【详解】由2ce a==，得2,c a b ==，故线段MN所在直线的方程为)y x a =+，又点P 在线段MN上，可设()P m +，其中[],0m a ∈-，由于()()12,0,,0F c F c -，即()()122,0,2,0F a F a -，得()()122,,2,PF a m PF a m =---=---，所以22221231346444PF PF m ma a m a a ⎛⎫⋅=+-=+- ⎪⎝⎭ .由于[],0m a ∈-，可知当34m a =-时，12PF PF ⋅取得最小值，此时4P y a =，当0m =时，12PF PF ⋅取得最大值，此时P y =，则2144S S ==，故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是设()P m ，然后计算出2212313444PF PF m a a ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭ ，利用二次函数性质则得到其最值，再代入得到P y ，则得到面积比.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知曲线22:1C ax by +=，则（）A.若0a >，0b >，则曲线C 表示椭圆B.若0ab <，则曲线C 表示双曲线C.若20a b +=，0b ≠，则曲线C表示双曲线，其渐近线方程为y =D.若20a b -=，0b >，则曲线C 表示焦点在x轴上的椭圆，其离心率2e =【答案】BC 【解析】【分析】利用曲线的方程逐项分析即得.【详解】对于A ，若0a >，0b >，当a b =时，则曲线C 表示圆，故A 错误；对于B ，若0ab <，当0,0a b ><时曲线C 表示焦点在x 轴上的双曲线，当0,0a b <>时曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，所以若0ab <，则曲线C 表示双曲线，故B 正确；对于C ，若20a b +=，0b ≠，则2a b =-，0ab <，所以曲线C 表示双曲线，方程为2221bx by -+=，令2220bx by -+=，得222y x =，即y =，故其渐近线方程为y =，故C 正确；对于D ，若20a b -=，0b >，则曲线C 方程为2221bx by +=，即221112x y b b+=，因为1102b b>>，所以曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故D 错误.故选：BC.10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其公差1d >，且7916+=a a ，则（）．A.88a =B.15120S =C.11a <D.22a >【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列基本量代换，对四个选项一一验证.【详解】对于A ：因为7916+=a a ，所以978216a a a +==，解得：88a =.故A 正确；对于B ：()1158151521581512022a a a S +⨯⨯===⨯=.故B 正确；对于C ：因为88a =，所以178a d +=，所以187a d =-.因为1d >，所以11a <.故C 正确；对于D ：因为88a =，所以268a d +=，所以286a d =-.因为1d >，所以22a <.故D 错误.故选：ABC11.已知斜率为k 的直线l 经过抛物线2:4C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交()11,M x y ，()22,N x y 两点，则以下结论正确的是（）A.若16MN =，则MN 的中点到y 轴的距离为6B.对任意实数k ，12y y ⋅为定值C.存在实数k ，使得113MN =成立D.若2MFNF=，则k =±【答案】BD 【解析】【分析】写出直线l 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，结合弦长公式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】抛物线的焦点()1,0F ，则直线l 的方程为()1y k x =-，0k ≠，由()214y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 并化简得204k y y k --=，所以124y y k+=，1244ky y k -==-，B 选项正确.所以22121212122422,144y y y y x x x x k k ++=+=+⋅=⋅=.当16MN =时，12216x x ++=，此时MN 的中点到y 轴的距离为12282x x ++=，A 选项错误.当113MN =时，即1222441122243x x k k ++=++=+=，此方程无解，所以C 选项错误.当2MF NF=时，11222,2y y y y ==，由于1240y y =-<，所以122y y =-.则221222224,2,y y y y y =-=-==，当2y =1124y y y k k =-=+=⇒=-当2y =1124y y y k k==+=⇒=所以当2MF NF=时，k =±D 选项正确.故选：BD12.数列{}n a 中，()()*122110,1,N 2n n n a a a a a n ++===+∈，则下列结论中正确的是（）A.01n a ≤≤B.{}1n n a a +-是等比数列C.8109a a a <<D.9108a a a <<【答案】ABD 【解析】【分析】由题意可得到()21112n n n n a a a a +++-=--，得到{}1n n a a +-是等比数列，进而得到1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用累加法得到121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，然后逐项判断.【详解】因为数列{}n a 中，()()122110,1,2n n n a a a a a n *++===+∈N ，所以()()2112n n n n a a a a +++-=--，即()21112n n n n a a a a +++-=--，则{}1n n a a +-是以1为首项，以12-为公比的等比数列，所以1112n n n a a -+⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故B 正确；由累加法得01211111111212112223212n n n n a a ---⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+-++-==--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，所以121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为奇数时，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦是递增数列，所以1302n a a ≤=<，当n 为偶数时，121132n n a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦是递减数列，所以2213n a a <≤=，所以01n a ≤≤，故A 正确；又810798921212111,13232,32a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以9108a a a <<，故C 不正确，D 正确，故选：ABD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________.【答案】4【解析】【分析】通过直线平行求出m ，然后利用平行线之间的距离求出结果即可．【详解】直线330x y +-=与直线610x my +-=平行，所以3126m m=⇒=，直线6260x y +-=与直线6210x y +-=的距离为4=．故答案为：4．14.已知圆22:60C x y y a +--=，直线:3420l x y +-=与圆C 交于A ，B 两点，且AB ==a ______．【答案】-2【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合垂径定理和勾股定理表示出圆心到弦AB 的距离，再由点到直线的距离公式表示出圆心到弦AB 的距离，解方程即可求得a 的值.【详解】解：将圆的方程化为标准方程可得()2239+x y a +-=，圆心为()0,3，半径r =圆C 与直线l 相交于A 、B 两点,且AB =，由垂径定理和勾股定理得圆心到直线l 的距离为d ==由点到直线距离公式得2d ==，2=，解得2a =-，故答案为：2-.15.等差数列{}n a 中，若357242,5a a a a ++==，数列11n n a a +⎧⎫⎨⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S =__________.【答案】64n n +【解析】【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，结合题意，根据等差数列的性质，求得其通项公式，得到1111113n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅- ⎪⋅⎝⎭，利用裂项相消法求和，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，因为35742a a a ++=，可得5342a =，所以514a =，又因为25a =，所以521453523a a d --===-，所以()2231n a a n d n =+-=-，又由1111113n n n n a a a a ++⎛⎫=⋅- ⎪⋅⎝⎭，则1223111111111111111133323264n n n n n S a a a a a a a a n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-==-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .故答案为：64nn +.16.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点P 在正方形ABCD 的边界及其内部运动.平面区域W由所有满足14A P ≤≤的点P 组成，则四面体1P A BC -的体积的取值范围_________.【答案】1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】连接AP ，由线面垂直的性质得到1A A AP ⊥，再由勾股定理求出0||2AP ≤≤，即可得到P 以A 为圆心2为半径的14圆面上，再根据1111,3P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ 得到当P 在边AD 上时四面体的体积最大，当P 在边AB 的中点时四面体的体积最小，再根据面体的体积公式计算可得取值范围.【详解】连接AP ，如图所示，因为1A A ⊥平面ABCD ，AP ⊂平面ABCD ，所以1A A AP ⊥，∵14A A =，由14A P ≤≤1A P =，则0||2AP ≤≤；所以P 在以A 为圆心2为半径的14圆面上，由题意可知，11113P A BC A PBC PBC V V AA S --==⋅ ，所以当P 在边AD 上时，四面体1P A BC -的体积的最大值是1132444323⨯⨯⨯⨯=.所以当P 在边AB 的中点时，PBC S 的面积取得最小值，此时14242PBC S =⨯⨯=△，所以四面体1P A BC -的体积的最小值是1164433⨯⨯=，所以11632,33P A BC V -⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为：1632,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】思路点睛：求解三棱锥体积的最值问题，要找准突破口，也即是按三棱锥的体积公式13V Sh =，通常会有以下两种：①如果底面积固定，则通过找高的最值来进行求解；②如果高已知确定，则求底面积的最值来进行求解（如本题）.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线l 过点()1,2P ，与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）若OAB 的面积为254，求直线l 的方程；（2）求OAB 的面积的最小值．【答案】（1）:250l x y +-=或8100x y +-=（2）4【解析】【分析】（1）设直线方程为()1,0x ya b a b+=>，根据所过的点及面积可得关于,a b 的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线():21l y k x -=-，利用面积求出k 后可得直线方程.（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.【小问1详解】法一：（1）设直线():1,0x y l a b a b +=>，则12112524a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得552a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或5410a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．法二：设直线():21l y k x -=-，0k <，则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,2B k -．则()21225122178024S k k k k ⎛⎫=--=⇒++= ⎪⎝⎭，∴12k =-或﹣8所以直线:250l x y +-=或8100x y +-=．【小问2详解】法一：∵121a b =+≥8ab ≥，∴142S ab =≥，此时2a =，4b =．∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．法二：∵0k <，∴()()12141124424222S k k k k ⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-+-≥+=⎢ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎣，此时2k =-，∴ABC 面积的最小值为4，此时直线:24l x y +=．18.已知双曲线22:13y C x -=的右焦点与抛物线E 的焦点重合．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）若过双曲线C 的右顶点且斜率为2的直线l 与抛物线E 交于M ，N 两点，求线段MN 的长度．【答案】（1）28y x =；（2）【解析】【分析】（1）利用双曲线与抛物线下的定义计算求抛物线标准方程即可；（2）利用弦长公式计算即可.【小问1详解】设双曲线的实轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，由22:13y C x -=可得21a =，23b =，所以2224c a b =+=，解得2c =，所以双曲线C 的右焦点为()2,0，所以可设抛物线E 的标准方程为22(0)y px p =>，其焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22p=，即4p =，所以抛物线E 的标准方程为28y x =；【小问2详解】由21a =，得双曲线C 的右顶点为()1,0，因为直线l 过点()1,0且斜率为2，所以直线l 的方程为()21y x =-，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线l 与拋物线E 的方程()221,8y x y x⎧=-⎨=⎩，消去y ，得2410x x -+=，所以124x x +=，121=x x ，所以MN ====．19.在柯桥古镇的开发中，为保护古桥OA ，规划在O 的正东方向100m 的C 处向对岸AB 建一座新桥，使新桥BC 与河岸AB 垂直，并设立一个以线段OA 上一点M 为圆心，与直线BC 相切的圆形保护区（如图所示），且古桥两端O 和A 与圆上任意一点的距离都不小于50m ，经测量，点A 位于点O 正南方向25m ，4tan 3∠=BCO ，建立如图所示直角坐标系．（1）求新桥BC 的长度；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最小？【答案】（1）80m ；（2）754OM =.【解析】【分析】（1）根据斜率的公式，结合解方程组法和两点间距离公式进行求解即可；（2）根据圆的切线性质进行求解即可.【小问1详解】由题意，可知()100,0C ，()0,25A -，43BC k =∵AB BC ⊥∴34AB k =-直线BC 方程：4(100)4340003y x x y =-⇒--=①，同理可得：直线AB 方程：341000x y ++=②由①②可知，∴()52,64B -，从而得80BC ==故新桥BC 得长度为80m ．【小问2详解】设OM a =，则025a ≤≤，圆心()0,a -，∵直线BC 与圆M 相切，∴半径3400400355a ar --==，又因为4003505025755255040032425505aa r a a r a a a -⎧-≥⎪-≥⎧⎪⇒⇒-≤≤⎨⎨+-≥-⎩⎪+-≥⎪⎩，∵025a ≤≤∴7504a ≤≤，所以当754OM =时，圆M 的面积达到最小．20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，D 为BC 的中点，平面11BB C C ⊥平面ABC ．（1）证明：1AD BB ⊥；（2）已知四边形11BB C C 是边长为2的菱形，且160B BC ∠=︒，问在线段1CC 上是否存在点E ，使得平面EAD 与平面EAC 的夹角的余弦值为155，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，1【解析】【分析】（1）由面面垂直证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【小问1详解】∵AB AC =，且D 为BC 的中点，∴AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥平面ABC ，交线为BC ，AD ⊥BC ，AD ⊂面ABC ，所以AD ⊥面11BB C C ，因为1BB ⊂面11BB C C ，所以1AD BB ⊥.【小问2详解】假设存在点E ，满足题设要求连接1B D ，1B C ，∵四边形11BB C C 为边长为2的菱形，且160B BC ∠=︒，∴1B BC 为等边三角形，∵D 为BC 的中点∴1B D BC ⊥，∵平面11BB C C ⊥平面ABC ，交线为BC ，1B D ⊂面11BB C C ，所以1B D ⊥面ABC ，故以D 为原点，DC ，DA ，1DB 分别为x ，y ，z轴的空间直角坐标系．则()0.0,0D，()A ，()1,0,0C，(1C，(1CC =．设()101CE CC λλ=≤≤，()1,AC =，()1,AE AC CE λ=+=+．设面AED 的一个法向量为(),,n x y z = ，则()10000x z n AE n DA λ⎧⎧+-+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，令1z λ=+，则(),0,1n λ=+．设面AEC 的一个法向量为(),,m x y z = ，则()10000x z m AE m AC x λ⎧⎧+-+=⋅=⎪⇒⎨⎨⋅==⎪⎩⎩，令1z =-，则)1m =-．设平面EAD 与平面EAC 的夹角为θ，则cos 5m n m n θ⋅=== ．解得：12λ=，故点E 为1CC 中点，所以1CE =．21.已知等差数列{}n a 的公差不为零，41a =，且4a ，5a ，7a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S ，满足()*24n n S b n N=-∈.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足：112c =-，()*1n n nn a c c n N b +=-∈，求使得216n n c -≥成立的所有n 值.【答案】（1）3n a n =-，12n n b +=（2）2，3，4【解析】【分析】（1）由2475a a a =得到公差d ，再结合等差数列求出{}n a 的通项公式，利用退位相减求出{}n b 的通项公式；（2）先利用累加法，再结合错位相减求出{}n c 的通项公式，最后解不等式即可.【小问1详解】2247513(1)1a a a d d d =⇒+=+⇒=，∴3n a n =-，由24n n S b =-得，在1n =时111244b b b =-⇒=，在2n ≥时1124n n S b --=-，作差得到11222nn n n n b b b b b --=-⇒=，所以在2n ≥时，12n n b +=，1n =时满足，故12n n b +=.【小问2详解】1132n n n n n a n c c b ++--=-=-，所以21222c c -=，32312c c -=，43402c c -=，…，142n n n n c c ---=-，累加后得123452101422222n nn c c --+-=+++++ ，()134561121014222222n n n c c +--+-=+++++ ，作差()1234561112111114122222222242n n n n n n c c ++--⎛⎫-=-++++++=+ ⎝⎭ ，1122222n n n n n n c c c ---=+⇒=，1n =时满足，222,3,4216n n n n --≥⇒=.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:11x y C a b a b +=>≥的离心率2e =，且椭圆C 上一点N到()0,3Q 距离的最大值为4，过点()3,0M 的直线交椭圆C 于点A 、B .（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当AB <时，求实数t 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）2t -<<2t <<.【解析】【分析】(1)由椭圆离心率结合222b c a +=化简方程，设()00,N x y ，由NQ 最大值为4即可作答；(2)设直线AB 斜率k ，写出直线AB 方程，联立直线AB 与椭圆C 的方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，用判别式0∆>和AB <求出k 的范围，再借助OA OB tOP +=及点P 在椭圆上建立起t 与k 的关系而得解.【详解】（1）椭圆C 的半焦距c ，22222234c a b e a a -===，即224a b =，则椭圆方程为222214x y b b+=，即22244x y b +=，设()00,N x y ，则NQ ====当01y =-时，NQ 4=，解得21b =，24a =，故椭圆方程是2214x y +=；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，(,)P x y ，直线AB 的方程为()3y k x =-，由()22314y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214243640k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ241691140kk k =---+>，解得215k <，21222414k x x k+=+，212236414k x x k -⋅=+，因AB <且12AB x =-，则()()221212143kx x x x ⎡⎤++-<⎣⎦，于是有()()()2242222436424131414k k k k k ⎡⎤-⎢⎥+-<⎢⎥++⎣⎦，化简，得()()228116130k k -+>，则2810k ->，即218k >，所以21185k <<，由OA OB tOP +=得()1212,(,)x x y y t x y ++=，则()()212212414k x x x tt k =+=+，()()()12122116614ky y y k x x k t t t k -=+=+-=⎡⎤⎣⎦+，而点P 在椭圆上，即()()()2222222222414441414k k t kt k+=++，化简得()2223614k t k =+，从而有222236991414k t k k==-++，而2239914562514k k <+<⇔<<+，于是得234t <<，解得2t -<<2t <<，。
