福建省南平市2015年普通高中毕业班质量检查理科数学试卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2015年福建，理1，5分】若集合{}234i,i ,i ,i A =（i 是虚数单位），{}1,1B =-，则A B 等于（ ）（A ）{}1- （B ）{}1 （C ）{}1,1- （D ）φ 【答案】C【解析】由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1AB =-，故选C ．（2）【2015年福建，理2，5分】下列函数为奇函数的是（ ）（A）y = （B ）sin y x = （C ）cos y x = （D ）x x y e e -=- 【答案】D【解析】函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．（3）【2015年福建，理3，5分】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ） （A ）11（B ）9 （C ）5 （D ）3【答案】B 【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即2326PF a -==，解得29PF =，故选B ．（4）【2015年福建，理4，5分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，万元家庭年支出为（ ）（A ）11.4万元 （B ）11.8万元 （C ）12.0万元 （D ）12.2万元 【答案】B【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元）， 6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+，当社区一户收入为15万元家庭年支出为0.76150.411.8y =⨯+=（万元），故选B ．（5）【2015年福建，理5，5分】若变量,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =-的最小值等于（ ）（A ）52- （B ）2- （C ）32- （D ）2【答案】A 【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将 直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取到最小值，最小值为()152122z =⨯--=-，故选A ．（6）【2015年福建，理6，5分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【解析】程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．（7）【2015年福建，理7，5分】若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂，若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件，故选B ．（8）【2015年福建，理8，5分】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三 个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1,4a b ==；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4,1a b ==，综上所述，5a b p +==，所以9p q +=，故选D ．（9）【2015年福建，理9，5分】已知1,,AB AC AB AC t t⊥==，若点p 是ABC ∆所在平面内一点，且4AB ACAP AB AC=+，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） （A ）13 （B ）15 （C ）19 （D ）21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0B t ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,C t ，AP =即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--，因此111416174PB PC t t t t ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为144t t +≥=，所以当14t t =，即12t =时取等号，PB PC ⋅的最大值等于13，故选A ． （10）【2015年福建，理10，5分】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）（A ）11f k k ⎛⎫< ⎪⎝⎭ （B ）111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ （C ）1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ （D ）111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故()101g g k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭，所以1111k f k k ⎛⎫->- ⎪--⎝⎭，1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断，故选C ． 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年福建，理11，5分】()52x +的展开式中，2x 的系数等于 （用数字填写答案）． 【答案】80【解析】()52x +的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．（12）【2015年福建，理12，5分】若锐角ABC ∆的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于 ．【解析】由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==所以sin A =0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=．由余弦定理得2222cos 49BC AB AC AB AC A =+-⋅=，7BC =．（13）【2015年福建，理13，5分】如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4，函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等 ．【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．（14）【2015年福建，理14，5分】若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(]1,2【解析】当2x ≤，故64x -+≥，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +≥，解得12a <≤，所以实数a 取值范围是(]1,2． （15）【2015年福建，理15，5分】一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈，其中()1,2,,k x k n = 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：456723671357000x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=，其中运算⊕定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕=．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 __． 【答案】5【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个，综上，第5位发生码元错误．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （16）【2015年福建，理16，13分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用 的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝 试，直至该银行卡被锁定．（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X ，求X 的分布列和数学期望．解：（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则543()654P A =⨯⨯12=．（2）依题意得，X 所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P X P X P X ====⨯===⨯⨯=所以X所以()1236632E X =⨯+⨯+⨯=．（17）【2015年福建，理17，13分】如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEG ，BE EC ⊥，2AB BE EC ===，G ，F 分别是线段BE ，DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值．（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，又G 是BE 中点，所以//GH AB ，且12G H A B =，又F 是CD 中点，所以12DF CD =，由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =所以//GH DF ．且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ， 又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图，在平面BEG 内，过点B 作//BQ EC ，因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥，因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以,,BE BQ BA 的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2,1A B E F ， 因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =为平面AEF 的法向量，又()2,0,2AE =-，()2,2,1AF =-，由00n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z =得()2,1,2n =-．从而42cos ,323||||n BA n BA n BA ⋅===⨯⋅，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接,MG MF ，又G 是BE 的中点，可知//GM AE ，又AE ⊂平面,ADE GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别 是AB ，CD 的中点得//MF AD ，又AD ⊂平面,ADE MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平 面ADE ，又因为,GM MF M GM =⊂平面,GMF MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADF ，因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ． （2）同解法一．（18）【2015年福建，理18，13分】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b a b+=>>过点，且离心率为e ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线():1l x my m R =-∈交椭圆E 于A ，B两点，判断点9,04G⎛⎫- ⎪⎝⎭与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．解：解法一：（1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22142x y +=．（2）设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点为00(,)H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以1222+=2m y y m +，1223=2y y m +，从而0222y m =+．所以222222200000095525||()()(1)44216GH x y my y m y my =++=++=+++．故222012||525||(1)4216AB GH my m y y -=+++222253(1)25-2(2)216m m m m +=+++2217216(2)m m +=+0>所以||||2AB GH >，故9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：（1）同解法一．（2）设点11()A x y ，22(,)B x y ，则119(,)4GA x y =+，229(,)4GB x y =+．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =+．从而121299()()44GA GB x x y y ⋅=+++121255()()44my my y y =+++21212525(1)()416m y y m y y =++++所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9(4G -,0)在以AB 为直径的圆外．（19）【2015年福建，理19，13分】已知函数()f x 的图像是由函数()cos g x x =的图像经如下变换得到：先将()g x 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图像向右平移2π个单位长度． （1）求函数()f x 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[]0,2π内有两个不同的解α，β；（i ）求实数m 的取值范围；（ii ）证明：22cos()15m αβ-=-．解：解法一：（1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos(-)2y x π=的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k Z ππ=+∈．（2）（i ）()()2sin cos f x g x x x +=+)x x =+)x ϕ=+（其中sin ϕϕ==）依题意，sin()x ϕ+=在区间[0,2]π内有两个不同的解,αβ当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．（ii ）因为,αβ)x m ϕ+=在[0,2]π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=sin()βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当1m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+，所以cos )cos2()αββϕ-=-+(22sin ()1βϕ=+-21=-2215m =-．解法二：（1）同解法一． （2）（i ）同解法一．（ii ）因为α，β)x m ϕ+=在区间[0,2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，s i n (βϕ+=，当1m ≤2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ+=-+；当1m <时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ+=-+，所以cos )cos()αββϕ+=-+(于是cos()cos[()()]αβαϕβϕ-=+-+cos()cos()sin()sin()αϕβϕαϕβϕ=+++++2cos ()sin()sin()βϕαϕβϕ=++++22[1]=--+2215m =-．（20）【2015年福建，理20，14分】已知函数()()ln 1f x x =+，()g x kx k R =∈．（1）证明：当0x >时，()f x x <；（2）证明：当1k <时，存在00x >，使得对任意的()0,x t ∈恒有()()f x g x >；（3）确定k 的所以可能取值，使得存在0t >，对任意的()0,x t ∈，恒有2|()()|f x g x x -<． 解：解法一：（1）令()()ln(1),[0,)F x f x x x x x =-=+-∈+∞，则有1()111xF x x x -'=-=++，当(0,)x ∈+∞时，()0F x '<， 所以()F x 在[0,)+∞上单调递减，故当0x >时，()(0)0F x F <=，即当0x >时，()f x x <．（2）令()()()ln(1),[0,)G x f x g x x kx x =-=+-∈+∞，则有1(1)()11kx k G x k x x -+-'=-=++， 当0k ≤时，()0G x '>，故()G x 在[0,)+∞单调递增，()(0)0G x G >=，故对任意正实数0x 均满足题意当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意0(0,)x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0G x G >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意0(0,)x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故()()g x f x >．|()()|()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+令2()ln(1),[0,)M x kx x x x =-+-∈+∞，则有212(2)1()21x k x k M x k x -+-+-'=--=+故当)x ∈时，()0M x '>，()M x 在上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2|()()|f x g x x ->．所以满 足题意的t 不存在，当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()()f x g x -，此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+-，令2()ln(1),[0,)N x x kx x x =+--∈+∞，则有212(2)1()211x k x kN x k x x x --++-'=--=++，当(0,x ∈时，()0N x '>，()N x 在上单调递增，故()(0)0N x N >=，即2()()f x g x x ->．记0x 1x ，则当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，|()()|()()ln(1)f x g x g x f x x x -=-=-+，令2()ln(1),[0,)H x x x x x =-+-∈+∞，则有212()1211x xH x x x x --'=--=++，当0x >时，()0H x '<， 所以()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=，故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<， 此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =． 解法二： （1）解法一． （2）解法二．（3）当1k >时，由（1）知，对于(0,),()()x g x x f x ∀∈+∞>>，故|()()|()()ln(1)(1)f x g x g x f x kx x kx x k x -=-=-+>-=-，令2(1)k x x ->，解得01x k <<-． 从而得到，当1k >时，对于(0,1)x k ∈-，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<，由（2）知，存在00x >，使得01(0,),()()x x f x k x kx g x ∈>>=，此时11|()()|()()()2k f x g x f x g x k k x x --=->-=，令212k x x ->，解得102kx -<<，2()()f x g x x ->， 记0x 与12k-的较小者为1x ，当1(0,)x x ∈时，恒有2|()()|f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0,|()()|()()ln(1)x f x g x f x g x x x >-=-=-+，令2()ln(1),[0,)M x x x x x =-+-∈+∞，则有212()12x xM x x --'=--=，当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0M x M <=．故当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意，综上，1k =．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2015年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵2111,4301⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A Β． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）求矩阵C ，使得=AC B ．解：（1）因为||23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122--⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭A ． （2）由=ACB 得11()AC A B --A =，故1313112==222012123-⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭C A B ． （21）【2015年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为13cos 23sin x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，直线lsin()()4m m R πθ-=∈．（1）求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．解：（1）消去参数t ，得到圆C 的普通方程为22(1)(2)9x y -++=sin()4m πθ-=，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=．（2）依题意，圆心C 到直线l 的距离等于2|12|2m --+=，解得3m =-± （21）【2015年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知0a >，0b >，0c >，函数()f x x a x b c =++-+的最小值为4．（1）求a b c ++的值；（2）求2221149a b c ++的最小值．解：（1）因为()|||||()()|||f x x a x b c x a x b c a b c =++++≥+-++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立．又0,0a b >>，所以||a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++，又已知()f x 的最小值为4， 所以4a b c ++=．（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923a ba b c c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即222118()497a b c ++≥，当且仅当1132231b ac ==，即8182,,777a b c ===时等号成立， 故2221149a b c ++的最小值为87．。

2015年高考理数真题试卷（福建卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.(2015·福建)1．若集合A ={i.i2.i3.i 4} （i 是虚数单位），B ={1.−1} ，则A ∩B 等于 ( ) A.{−1} B.{1} C.{1.−1} D.∅2.·下列函数为奇函数的是( ) A.y =√x B.y =|sinx | C.y =cosx D.y =e x −e −x3.·若双曲线E:x 29−y 216=1 的左、右焦点分别为F 1，F 2点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2| 等于（ ） A.11 B.9 C.5 D.34.·为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如根据上表可得回归直线方程y ∧=b ∧x +a ∧，其中b ∧=0.76,a ∧=y −−b ∧x −，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元答案第2页，总13页外…………○…………装…………○…………订…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※内…………○…………装…………○…………订…………○C.12.0万元 D.12.2万元5.若变量x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0则z =2x −y 的最小值等于 ( )A.−52B.-2C.−32D.26.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A.2B.1C.0D.-17.若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l ⊥m ”是“l//α" 的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.若a ，b 是函数f (x )=x 2−px +q (p >0.q >0) 的两个不同的零点，且a,b,-2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.9 9.已知AB →⊥AC,→AB →=1t ，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且AB →=AB →|AB →|+4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于（ ） A.13 B.15 C.19 D.2110.若定义在R 上的函数f (x ) 满足f (0) ，其导函数f′(x ) 满足f′(x )>k >1 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A.f (1k )<1kB.f (1k)>1k−1C.f (1k−1)<1k−1D.f (1k−1)>kk−1第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.(x +5)5的展开式中，x 2的系数等于 ．（用数字作答） 12.若锐角△ABC 的面积为10√3，且AB=5，AC=8，则BC 等于 。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．计算：﹣=．14．分解因式：ab2﹣9a=．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．19．解分式方程：=．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．解答：解：|﹣6|=6，故选：B．点评：本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．专题：计算题．分析：从上边看几何体得到俯视图即可．解答：解：如图所示的几何体的俯视图是，故选C点评：此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体上边看的试图．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形考点：中心对称图形．分析：根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4考点：众数；算术平均数．分析：根据众数和平均数的概念求解．解答：解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选B．点评：本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得：，解得：x=8，故选C点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．6．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．解答：解：（8﹣2）×180°=1080°，故选B．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°是解答此题的关键．7．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．解答：解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选A．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）考点：一次函数图象与几何变换．分析：根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．解答：解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．点评：此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式．10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m考点：圆锥的计算．分析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．解答：解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2πr=，解得：r=．故答案是：．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．考点：点的坐标．专题：开放型．分析：让横坐标、纵坐标为负数即可．解答：解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．点评：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在第三象限内点的横坐标、纵坐标为负．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）考点：全面调查与抽样调查．分析：根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．解答：解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．点评：本题考查的是全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．13．计算：﹣=2．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．14．分解因式：ab2﹣9a=a（b+3）（b﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ab2﹣9a=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3）．故答案为：a（b+3）（b﹣3）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．考点：图形的剪拼．分析：分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．解答：解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．点评：本题考查了图形的简拼，此类题目，关键在于确定出重叠的边和图形的方法，难点在于考虑问题要全面．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．解答：解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S△OAB=OA•BD=××2x=．故答案为．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA长是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．考点：整式的混合运算．分析：直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．19．解分式方程：=．考点：解分式方程．分析：两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．解答：解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．点评：本题考查的是解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？考点：扇形统计图；统计表；概率公式．分析：（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．解答：解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．点评：本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．（2分）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．（4分）∴BE=CF．（5分）点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）考点：切线的性质；解直角三角形．分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．解答：证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．点评：此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．解答：解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．点评：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．解答：解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在RT△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．点评：此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）考点：相似形综合题．分析：（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．解答：（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．故A n﹣1A n=a．点评：此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA1，A1A2的长是解题关键．2015年甘肃省天水市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．（4分）计算：﹣=．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．（8分）解分式方程：=．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．（4分）﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣ D．【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．【解答】解：|﹣6|=6，故选：B．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】从上边看几何体得到俯视图即可．【解答】解：如图所示的几何体的俯视图是，故选：C．3．（4分）下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选：D．4．（4分）一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4【分析】根据众数和平均数的概念求解．【解答】解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选：B．5．（4分）在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解：由题意可得：，解得：x=8，故选：C．6．（4分）八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°【分析】利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．【解答】解：（8﹣2）×180°=1080°，7．（4分）下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy【分析】根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．【解答】解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选：C．8．（4分）不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．【解答】解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选：A．9．（4分）直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2） D．（2，0）【分析】根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．【解答】解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），10．（4分）如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m【分析】连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB 的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．【解答】解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2π×1=，解得：r=．故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．【分析】让横坐标、纵坐标为负数即可．【解答】解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．12．（4分）端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）【分析】根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．【解答】解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．13．（4分）计算：﹣=2．【分析】因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．【解答】解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．14．（4分）分解因式：am2﹣9a=a（m+3）（m﹣3）．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：am2﹣9a=a（m2﹣9）=a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．（4分）将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．【分析】分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．【解答】解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．【分析】作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．【解答】解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S=OA•BD=××2x=．△OAB故答案为．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．【分析】先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．【解答】解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．18．（8分）化简：（x+2）2+x（x﹣4）．【分析】直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．【解答】解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．19．（8分）解分式方程：=．【分析】两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．【解答】解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．20．（8分）近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数10060m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？【分析】（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．【解答】解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．21．（8分）如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．【分析】要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．∴BE=CF．22．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O 相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）【分析】（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．【解答】证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．23．（10分）现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）【分析】（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（）求抛物线的解析式；（）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．【分析】（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取符合题意的点P坐标即可．【解答】解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在Rt△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形时，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．25．（14分）定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AC=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，A n．（n为大于1的整数，直接依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1回答，不必说明理由）【分析】（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．【解答】（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．A n=a．故A n﹣1第23页（共23页）。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，45．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．126．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜19．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．计算：﹣=．14．分解因式：ab2﹣9a=．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．19．解分式方程：=．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m=时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B．6 C．﹣D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．解答：解：|﹣6|=6，故选：B．点评：本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．专题：计算题．分析：从上边看几何体得到俯视图即可．解答：解：如图所示的几何体的俯视图是，故选C点评：此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体上边看的试图．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形考点：中心对称图形．分析：根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A．1，3 B．3，1 C．3，3 D．3，4考点：众数；算术平均数．分析：根据众数和平均数的概念求解．解答：解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选B．点评：本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得：，解得：x=8，故选C点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．6．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．解答：解：（8﹣2）×180°=1080°，故选B．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°是解答此题的关键．7．下列运算正确的是（）A．a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C．a4•a=a5D．3x+5y=8xy考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B．x＞﹣1 C．x＜2 D．﹣2＜x＜1考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．解答：解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选A．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）考点：一次函数图象与几何变换．分析：根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．解答：解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．点评：此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式．10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D．1m考点：圆锥的计算．分析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．解答：解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2πr=，解得：r=．故答案是：．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1，﹣1）．考点：点的坐标．专题：开放型．分析：让横坐标、纵坐标为负数即可．解答：解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．点评：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在第三象限内点的横坐标、纵坐标为负．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）考点：全面调查与抽样调查．分析：根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．解答：解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．点评：本题考查的是全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．13．计算：﹣=2．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．14．分解因式：ab2﹣9a=a（b+3）（b﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ab2﹣9a=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3）．故答案为：a（b+3）（b﹣3）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．考点：图形的剪拼．分析：分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．解答：解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．点评：本题考查了图形的简拼，此类题目，关键在于确定出重叠的边和图形的方法，难点在于考虑问题要全面．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．解答：解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S△OAB=OA•BD=××2x=．故答案为．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA长是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．考点：整式的混合运算．分析：直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．19．解分式方程：=．考点：解分式方程．分析：两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．解答：解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．点评：本题考查的是解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m=40；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？考点：扇形统计图；统计表；概率公式．分析：（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．解答：解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．点评：本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．（2分）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．（4分）∴BE=CF．（5分）点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）考点：切线的性质；解直角三角形．分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．解答：证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．点评：此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．解答：解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．点评：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m，m），D（2m，0）；②当m=1时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．解答：解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在RT△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．点评：此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB 交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）考点：相似形综合题．分析：（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．解答：（1）证明：∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．故A n﹣1A n=a．点评：此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA1，A1A2的长是解题关键．。

2015年福建省南平市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B． 6 C．﹣D．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A． 1，3 B． 3，1 C． 3，3 D． 3，45．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 126．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°7．下列运算正确的是（）A． a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C． a4•a=a5D． 3x+5y=8xy8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B． x＞﹣1 C． x＜2 D．﹣2＜x＜19．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D． 1m二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（，）．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是．（填“全面调查”或“抽样调查”）13．计算：﹣= ．14．分解因式：ab2﹣9a= ．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．19．解分式方程：=．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m= ；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（，），D（，）；②当m= 时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）2015年福建省南平市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个正确选项）1．﹣6的绝对值等于（）A．﹣6 B． 6 C．﹣D．考点：绝对值．分析：根据一个负数的绝对值是它的相反数进行解答即可．解答：解：|﹣6|=6，故选：B．点评：本题考查的是绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．2．如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．专题：计算题．分析：从上边看几何体得到俯视图即可．解答：解：如图所示的几何体的俯视图是，故选C点评：此题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体上边看的试图．3．下列图形中，不是中心对称图形的为（）A．圆B．正六边形C．正方形D．等边三角形考点：中心对称图形．分析：根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．一组数据1，1，4，3，6的平均数和众数分别是（）A． 1，3 B． 3，1 C． 3，3 D． 3，4考点：众数；算术平均数．分析：根据众数和平均数的概念求解．解答：解：平均数为：=3，∵1出现的次数最多，∴众数为1．故选B．点评：本题考查了众数和平均数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5．在一个不透明的袋子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为（）A． 4 B． 6 C． 8 D． 12考点：利用频率估计概率．分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．解答：解：由题意可得：，解得：x=8，故选C点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．6．八边形的内角和等于（）A．360°B．1080°C．1440°D．2160°考点：多边形内角与外角．分析：利用多边形内角和定理：（n﹣2）•180°计算即可．解答：解：（8﹣2）×180°=1080°，故选B．点评：本题主要考查了多边形的内角和定理，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°是解答此题的关键．7．下列运算正确的是（）A． a3﹣a2=a B．（a2）3=a5C． a4•a=a5D． 3x+5y=8xy考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．分析：根据幂的乘方、同底数的幂的乘法以及合并同类项的法则即可判断．解答：解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；B、（a2）3=a6，选项错误；C、正确；D、不是同类项，不能合并，选项错误．故选C．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．8．不等式组的解集是（）A．﹣1＜x＜2 B． x＞﹣1 C． x＜2 D．﹣2＜x＜1考点：解一元一次不等式组．分析：分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．解答：解：，由①得，x＜2；由②得，x＞﹣1；所以，不等式组的解集为﹣1＜x＜2．故选A．点评：此题主要考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后与x轴的交点坐标是（）A．（﹣4，0）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，0）考点：一次函数图象与几何变换．分析：根据平移可得直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，再求出与x轴的交点即可．解答：解：直线y=2x+2沿y轴向下平移6个单位后解析式为y=2x+2﹣6=2x﹣4，当y=0时，x=2，因此与x轴的交点坐标是（2，0），故选：D．点评：此题主要考查了一次函数与几何变换，关键是计算出平移后的函数解析式．10．如图，从一块半径是1m的圆形铁皮（⊙O）上剪出一个圆心角为60°的扇形（点A，B，C在⊙O 上），将剪下的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径是（）A．m B．m C．m D． 1m考点：圆锥的计算．分析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，则AB的长可以求得，然后利用弧长公式即可求得弧长，即底面圆的周长，再利用圆的周长公式即可求得半径．解答：解：连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=∠BAC=30°，则AD=OA•cos30°=．则AB=2AD=，则扇形的弧长是：=，设底面圆的半径是r，则2πr=，解得：r=．故答案是：．点评：本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：（﹣1 ，﹣1 ）．考点：点的坐标．专题：开放型．分析：让横坐标、纵坐标为负数即可．解答：解：在第三象限内点的坐标为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．故答案为：（﹣1，﹣1）（答案不唯一）．点评：本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是掌握在第三象限内点的横坐标、纵坐标为负．12．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式是抽样调查．（填“全面调查”或“抽样调查”）考点：全面调查与抽样调查．分析：根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．解答：解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．点评：本题考查的是全面调查与抽样调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．13．计算：﹣= 2 ．考点：分式的加减法．分析：因为分时分母相同，直接通分相加减，再化简即可．解答：解：﹣，=，=，=2．故答案为：2．点评：此题主要考查了分式的加减法运算，注意分式运算方法的应用可以减小计算量．14．分解因式：ab2﹣9a= a（b+3）（b﹣3）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．专题：因式分解．分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．解答：解：ab2﹣9a=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3）．故答案为：a（b+3）（b﹣3）．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．15．将正方形纸片以适当的方式折叠一次，沿折痕剪开后得到两块小纸片，用这两块小纸片拼接成一个新的多边形（不重叠、无缝隙），给出以下结论：①可以拼成等腰直角三角形；②可以拼成对角互补的四边形；③可以拼成五边形；④可以拼成六边形．其中所有正确结论的序号是①②③④．考点：图形的剪拼．分析：分剪开的两个部分是等腰直角三角形和梯形和全等的梯形三种情况，将正方形的边重合或剪开的相等的边重合作出图形即可得解．解答：解：如图1，剪成两个等腰直角三角形时可以拼成等腰直角三角形；如图2，剪成两个梯形可以拼成对角互补的四边形；如图3，图4，剪成两个全等的梯形可以拼成五边形和六边形；所以，正确结论的序号①②③④．故答案为：①②③④．点评：本题考查了图形的简拼，此类题目，关键在于确定出重叠的边和图形的方法，难点在于考虑问题要全面．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B，C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则BD∥CE，得出===，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=，OE=，OA=，然后根据三角形面积求得即可．解答：解：作BD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，∴BD∥CE，∴==，∵OC是△OAB的中线，∴===，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为，B的横坐标为，∴OD=，OE=，∴DE=﹣=，∴AE=DE=，∴OA=+=，∴S△OAB=OA•BD=××2x=．故答案为．点评：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA长是解题关键．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．计算：（﹣2）3+3tan45°﹣．考点：实数的运算；特殊角的三角函数值．分析：先根据数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣8+3×1﹣3=﹣8+3﹣3=﹣8．点评：本题考查的是实数的运算，熟知数的乘方及开方法则、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．18．化简：（x+2）2+x（x﹣4）．考点：整式的混合运算．分析：直接利用完全平方公式以及整式的乘法运算法则化简求出即可．解答：解：原式=x2+4x+4+x2﹣4x=2x2+4．点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．19．解分式方程：=．考点：解分式方程．分析：两边同时乘最简公分母：2x（x+1），可把分式方程化为整式方程来解答，把解出的未知数的值代入最简公分母进行检验，得到答案．解答：解：方程两边同时乘2x（x+1）得，3（x+1）=4x，解得，x=3，把x=3代入2x（x+1）≠0，∴x=3是原方程的解，则原方程的解为x=3．点评：本题考查的是解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．20．近年来，“在初中数学教学中使用计算器是否直接影响学生计算能力的发展”这一问题受到了广泛关注，为此，某校随机调查了若干名学生对此问题的看法（看法分为三种：没有影响，影响不大，影响很大），并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图：学生对使用计算器影响计算能力发展的看法统计表看法没有影响影响不大影响很大学生人数100 60 m根据以上图表信息，解答下列问题：（1）统计表中的m= 40 ；（2）统计图中表示“影响不大”的扇形的圆心角度数为108 度；（3）从这次接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是多少？考点：扇形统计图；统计表；概率公式．分析：（1）用没有影响的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总人数，减去没有影响和影响不大的人数即可得到m；（2）利用360°乘以影响不大所占的百分比即可求得影响不大对应扇形的圆心角；（3）用影响很大的人数除以总人数即可解答．解答：解：（1）调查的总数为：100÷50%=200人，则影响很大的人数为：200﹣100﹣60=40；故答案为：40．（2）“影响不大”的扇形的圆心角度数为：360°×=108°．故答案为：108．（3）接受调查的学生中随机调查一人，恰好是持“影响很大”看法的概率是：=0.2．答：持“影响很大”看法的概率是0.2．点评：本题考查了扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图和统计表中得到必要的信息是解决问题的关键．21．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：要证BE=CF，可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等．解答：证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC=BD，则BO=CO．（2分）∵BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，∴∠BEO=∠CFO=90°．又∵∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF．（4分）∴BE=CF．（5分）点评：本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法．解此题的主要错误是思维顺势，想当然，由ABCD是矩形，就直接得出OB=OD，对对应边上的高的“对应边”理解不透彻．22．如图，AB是半圆O的直径，C是AB延长线上的一点，CD与半圆O相切于点D，连接AD，BD．（1）求证：∠BAD=∠BDC；（2）若∠BDC=28°，BD=2，求⊙O的半径．（精确到0.01）考点：切线的性质；解直角三角形．分析：（1）连接OD，利用切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行证明即可；（2）根据三角函数进行计算即可．解答：证明：（1）连接OD，如图，∵CD与半圆O相切于点D，∴OD⊥CD，∴∠CDO=90°，即∠CDB+∠BDO=90°，∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠BDO=90°，∴∠CDB=∠ODA，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴∠BAD=∠BDC；（2）∵∠BAD=∠BDC=28°，在Rt△ABD中，sin∠BAD=，∴AB=，∴⊙O的半径为．点评：此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和直径的性质转化为角的关系进行分析．23．现正是闽北特产杨梅热销的季节，某水果零售商店分两批次从批发市场共购进杨梅40箱，已知第一、二次进货价分别为每箱50元、40元，且第二次比第一次多付款700元．（1）设第一、二次购进杨梅的箱数分别为a箱、b箱，求a，b的值；（2）若商店对这40箱杨梅先按每箱60元销售了x箱，其余的按每箱35元全部售完．①求商店销售完全部杨梅所获利润y（元）与x（箱）之间的函数关系式；②当x的值至少为多少时，商店才不会亏本．（注：按整箱出售，利润=销售总收入﹣进货总成本）考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用．分析：（1）根据题意得出a、b的方程组，解方程组即可；（2）①根据利润=销售总收入﹣进货总成本，即可得出结果；②商店要不亏本，则y≥0，得出不等式，解不等式即可．解答：解：（1）根据题意得：，解得：；答：a，b的值分别为10，30；（2）①根据题意得：y=60x+35（40﹣x）﹣（10×50+30×40），∴y=25x﹣300；②商店要不亏本，则y≥0，∴25x﹣300≥0，解得：x≥12；答：当x的值至少为12时，商店才不会亏本．点评：本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用；根据题意得出等量关系列出方程组或得出函数关系式或由不等关系得出不等式是解决问题的关键．24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．（1）求抛物线的解析式；（2）填空：①用含m的式子表示点C，D的坐标：C（m ，m ），D（2m ，0 ）；②当m= 1 时，△ACD的周长最小；（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于a，b的方程组，解方程组可得抛物线的解析式；（2）①设OA所在的直线解析式为y=kx，将点A（2，1）代入求得OA所在的解析式为y=x，因为PC⊥x轴，所以C得横坐标与P的横坐标相同，为m，令x=m，则y=m，所以得出点C（m，m），又点O、D关于直线PB的对称，所以由中点坐标公式可得点D的横坐标为2m，则点D的坐标为（2m，0）；②因为O与D关于直线PB的对称，所以PB垂直平分OD，则CO=CD，因为，△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO，AO===，所以当AD最小时，△ACD的周长最小；根据垂线段最短，可知此时点D与E重合，其横坐标为2，故m=1．（3）由中垂线得出CD=OC，再将OC、AC、AD用m表示，然后分情况讨论分别得到关于m的方程，解得m，再根据已知条件选取复合体艺的点P坐标即可．解答：解：（1）依题意，得，解得∴y=x2﹣x（2）C（m，m），D（2m，0），m=1（3）依题意，得B（m，0）在RT△OBC中，OC2=OB2+BC2=m2+=m2，∴OC=m 又∵O，D关于直线PC对称，∴CD=OC=m在RT△AOE中，OA===∴AC=OA﹣OC=﹣m在RT△ADE中，AD2=AE2+DE2=12+（2﹣2m）2=4m2﹣8m+5分三种情况讨论：①若AC=CD，即﹣m=m，解得m=1，∴P（1，）②若AC=AD，则有AC2=AD2，即5﹣5m+m2=4m2﹣8m+5解得m1=0，m2=．∵0＜m＜2，∴m=，∴P（，）③若DA=DC，则有DA2=DC2，即4m2﹣8m+5=m2解得m1=，m2=2，∵，0＜m＜2，∴m=，∴P（，）综上所述，当△ACD为等腰三角形是，点P的坐标分别为P1（1，），P2（，），P3（，）．点评：此题看出二次函数的综合运用，待定系数法求函数解析式，中心对称，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，渗透分类讨论思想．25．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．（1）证明：AB2=AA1•AC；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示A n﹣1A n．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）考点：相似形综合题．分析：（1）根据角平分线的性质结合相似三角形的判定与性质得出△ABC∽△AA1B，进而得出=，求出即可；（2）利用AC=1，利用AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，得出答案即可；（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．解答：（1）证明：∵A C=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴=，即AB2=AA1•AC；（2）解：△ABC是黄金等腰三角形，理由：由（1）知，AB2=AC•AA1，设AC=1，∴AB2=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴AB2=1﹣AB，设AB=x，即x2=1﹣x，∴x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；（3）解：由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB=a﹣a=a，同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1=a﹣a﹣A1C=a﹣a﹣[a﹣a]=（）3a．故A n﹣1A n=a．点评：此题主要考查了相似形综合以及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，得出AA1，A1A2的长是解题关键．。

2015年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知∈y x ，R ，i 为虚数单位，且i y 1yi x i -=-+ i ，则(1)x y i +-i )x y i +-的值为 A ．2 B ．-2i C ．-4D ．2i2．已知直线1=+y x 与圆122=+y x 相交B A ，两点，则=||AB A ．22B ． 2C ．23D ．3 3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且87465=+a a a a ，则12log a +22log a +…+102log a =A ．10B ． 8C ． 6D ． 44．当α为锐角时，“⎰=α21cos xdx ”是“6π=α”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+. 若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．35B ．35-C ．3D ．3-6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x输出相应的y 值，若要使输入的x 值相等，则这样的x 值的个数是第6题图A ．4B ．2C ．1D ．37A ．16π+B ．4πC ．24π+D ．24 8．已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()2,3，点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++62623y x y x y x ，，所确定的平面区域内（包括边界）运动，则OA OP ⋅的取值范围是A ．[]4,10B ．[]6,9C ．[]6,10D ．[]9,109．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则P 到直线1l ：0634=+-y x 和2l ：20x +=的距离之和的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知R ∈b a ，，函数bx x ax x f ++-=23231)(有两个极值点)(2121x x x x <，，12)(x x f =，则方程0)()(2=--b x af x f 的实根个数A ．4B ．3C ．2D ．0正视图侧视图俯视图第7题图≥ ≤≤第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形ABCD 中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是________．12．已知βααβαβα，53sin )cos(cos )sin(=---是第三象限角，则)4πtan(+β=________．13．102)1)(1(x x x -++展开式中4x 的系数是________． 14．已知()yx y x ⎪⎭⎫⎝⎛=∞+∈-31302，，，，则12xy+的最小值为________．15．若实数c b a ，，成等差数列，点)01(，-P 在动直线0=++c by ax 上的射影为点M ， 已知点)33(，N ，则线段MN 长度的最大值与最小值的和为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）B第11题图已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈，2,R f x x x x x -∈． (Ⅰ) 求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C 4f A c π===，4π=C ， ,24f A c π===，求ABC ∆的面积．17．（本题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率； (Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(Ⅲ) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．18．（本题满分13分）如图，在四面体P -ABC 中，PAM 是PA 的中点，E 是BM 的中点，F 是线段PC 上的点，且EF ∥面(Ⅰ) 求证：BC AF ⊥； (Ⅱ) 求CF CP；(Ⅲ) 若异面直线EF 与CA 求EF 与面PAB 所成角θ的正弦值.19．（本题满分13分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率33=e ，点)126(，P 在 椭圆Γ上.(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 过Γ的右焦点F 作两条垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，，证明：直线MN 必过定点，并求此定点.20．（本题满分14分）已知函数x b a x f --=e )(（e 是自然对数的底数，e =2.71828…）的图像在0=x 处的切线方程为x y =. (Ⅰ) 求b a ，的值；(Ⅱ) 若)0(1)1(21e ln )(2>++-+-=-m x m x x m x g x ，求函数)()()(x f x g x h -=的单调区间； (Ⅲ) 若正项数列}{n a 满足)(e 2111n an a f a a n ==+-，，证明：数列}{n a 是递减数列.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11m M n ⎛⎫=⎪⎝⎭，若向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12在矩阵M 的变换下得到向量13⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅰ) 求矩阵M ； (Ⅱ) 设矩阵1021N ⎛⎫=⎪⎝⎭，求直线10x y -+=在矩阵NM 的对应变换作用下得到的曲线C 的方程.（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线1C：sin()4πρθ+=2C ：12sin 12cos x y αα=--⎧⎨=-+⎩，（α为参数）.(Ⅰ) 求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程； (Ⅱ) 求曲线2C 上的点到曲线1C 上的点的最小距离.（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数()1222=--+.f x x x(Ⅰ) 解不等式)(xf≥1；(Ⅱ) 若22()+>恒成立，求实数a的取值范围.a a f x2015年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．B ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．C ； 9．C ； 10．B ．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．67.0； 12．7； 13．135； 14．223+； 15．10.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题满分13分．解：(Ⅰ)∵x x x x f 2cos cos sin 32)(-=，R (∈x ) 3=x x 2cos 2sin - ………………… 1分∴)62sin(2)(π-=x x f . ………………… 3分由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈. …………………… 5分 ∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.……………………6分(Ⅱ)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.……………………8分又0A π<<，∴3A π=. …………………… 9分依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得 (10)分∴512B AC ππ=--=. ……………………11分∴113sin 22242ABCS ac B ∆+==⋅=. ……………………13分17．本题满分13分．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，21)(2423==C C A P , 103)(2523==C C B P . (2)分∴取出的4个球均为黑球的概率为203)()()(=⋅=⋅B P A P B A P ……………………3分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且103)(2513122423=⋅=C C C C C C P ,203)(25232413=⋅=C C C C D P ……………………5分所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为209)()()(=+=+D P C P D C P . …………………… 6分（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3. 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得203)0(==ξP , 209)1(==ξP ,. 207)2(252224232513122413=⋅+⋅==C C C C C C C C C P ξ,201)3(25222413=⋅==C C C C P ξ……………10分ξ的分布列为 (11)∴ξ的数学期望10132013207220912030=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………… 13分立空间直角坐标系，则)002(，，A 、)000(，，C 、)402(，，P 、)202(，，M ……………4分设λ=CPCF，)0,,0(m B ,可得)1,2,1(mE ，)4,0,2(λλF , 则)14,2,12(---=λλm……………………5分因为)4,0,0(=是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥0)14(4)14,2,12()400(=-=---⋅=⋅∴λλλm，，……………………6分41=λ 即41=CP CF (7)分(Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知)0,2,21(m EF --=，)0,0,2(=CA 22112441145cos 22=+=⋅+-==∴mm………………8分解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(--=，)0,1,0(B ,又)002(，，A 、)402(，，P )0,1,2(-=BA ,)4,1,2(-=BP设面PAB 的一个法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BP n 可得⎩⎨⎧=-⋅=-⋅0)0,1,2(),,(0)4,1,2(),,(z y x z y x ……………………11分即⎩⎨⎧=-=+-02042y x z y x ，可取)0,2,1(=n (12)分 EF与面PAB所成角θ的正弦值：1010321523sin ===θ…………13分（Ⅱ）解法二：如图以A 为原点，过A 且与CB 平行的直线为x轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则)000(，，A 、)020(，，C 、)400(，，P)200(，，M (4)分设λ=CPCF,)0,2,(m B ,可得：)1,1,2(mE )4,22,0(λλ-F ,则)14,21,2(---=λλmEF (5)分 因为)4,0,0(=是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥)14(4)14,21,2()400(=-=---⋅=⋅∴λλλmEF AP ，， ……………………6分41=λ 即41=CP CF (7)分(Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知)0,21,2(--=m EF ，)0,2,0(-=B22112441145cos 22=+=⋅+-==∴mm ……………………8分解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(-=EF ，)0,2,1(B又)000(，，A 、)400(，，P 、)0,2,1(--=,)4,2,1(--= 设面PAB 的一个法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BP n 可得⎩⎨⎧=--⋅=--⋅0)0,2,1(),,(0)4,2,1(),,(z y x z y x ， (11)分即⎩⎨⎧=--=+--02042y x z y x ， 可取)0,1,2(-= (12)分 EF与面PAB所成角θ的正弦值1010321523sin ===θ……………13分（Ⅱ）解法三：取MA 中点G ，连结EG ，FG ， ∵E 是MB 中点，∴EG 是△MAB 的中位线．∴∥EG AB ……………………4分 而ABC EG ABC AB 面面⊄⊂,∴EG ∥面ABC ……………………5分 又EF ∥面ABC ,E EG EF = ∴面EFG ∥面ABC , 而EFG FG 面⊂ ∴FG ∥面ABC ……………………6分PB∵AC ABC PAC PAC FG =⊂面面面 , ∴FG ∥AC,41==∴AP AG CPCF ……………………7分解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为)0,0(12222>>=+b a by a x .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+31114622222ab a b a ……………………3分解得2,322==b a 即椭圆Γ的方程为12322=+y x (5)分(Ⅱ)由题意得)0,1(F .（1）当弦CD AB ,的斜率均存在时，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为k1-.……………………6分令),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 中点),(00y x M .将直线AB 方程代入椭圆方程12322=+y x ,并化简得.0)63(6)23(2222=-+-+k x k x k ……………………7分则233222210+=+=k k x x x ,232)1(200+-=-=k k x k y ,于是,)232,233(222+-+k kk k M .因为AB CD ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为k1-，即得点).322,323(22++k kk N …………………9分 ① 当1±≠k 时，直线MN 的方程为).323(335322222+---=+-k x k k k k y 令0=y 得53=x ，则直线MN 过定点).0,53(……………………10分② 当1±=k 时，易得直线MN 的方程53=x ,也过点).0,53(……………………11分 （2）当弦CD AB 或的斜率不存在时，易知，直线MN 为x 轴，也过点).0,53(综上，直线MN 必过定点).0,53(……………………13分解：（Ⅰ）由题意得1)0(,0)0(='=f f ，则1,0==-b b a ，……………………2分解得1,1==b a .……………………3分（Ⅱ）由题意得x m mx x m x h )1(21ln )(2+-+=,),0(+∞∈x .xx m x x m x m x m x x m x h )1)(()1()1()(2--=++-=+-+=' (5)分（1）当10<<m 时, 令0)(>'x h ，并注意到函数的定义域),0(+∞ 得m x <<0或1>x ，则)(x h 的增区间是),1(),,0(+∞m ； 同理可求)(x h 的减区间是)1,(m ………………6分 （2）当1=m 时,)(≥'x h ,则)(x h 是定义域),0(+∞内的增函数……………………7分（3）当1>m 时, 令0)(>'x h ,并注意到函数的定义域),0(+∞得10<<x 或m x >， 则)(x h 的增区间是),(),1,0(+∞m ; 同理可求)(x h 的减区间是),1(m …………………8分（Ⅲ）证明: 因为正项数列}{n a 满足),(,2111n an a f e a a n ==+-所以)1ln()ln(1nn a a n eea ---=+,即na n a e a n-+--=1ln1……………………10分要证数列}{n a 是递减数列n n a a <⇐+1⇐n n a a a e n <---1ln ⇐n na na e a e -->-1⇐1+>n a a e n (12)分设1)(--=x e x u x ,),0(+∞∈x . 01)(>-='x e x u ，∴)(x u 是),0(+∞上的增函数，则0)0()(=>u x u ，即1+>x e x ，故1+>n a a e n ， 则数列}{n a 是递减数列……………………14分21．本题满分14分． (1) 解：（Ⅰ）由121113m n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………1分得21213m n -+=⎧⎨-+=⎩解得13n m =-⎧⎨=⎩……………………2分1311M ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭……………………3分（Ⅱ）101313211117NM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………4分设点(,)x y 是直线10x y -+=上1一点，在矩阵NM 的对应变换作用下得到的 点''(,)x y ，则''1317x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得''37x y xx y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩……………………5分''''4734y x y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入10x y -+=得''210x y -+=……………………6分∴曲线C 的方程210x y -+=……………………7分(2) 解：（Ⅰ）由曲线1C 的极坐标方程，得sin cos cos sin 44ππρθρθ+=分即：sin cos 2ρθρθ+= ………………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2y x +=,即20x y +-= (3)分由曲线2C 的参数方程得2C 的普通方程为：22(1)(1)4x y -+-=……………………4分（Ⅱ） 2C 表示圆心为(1,1)--，半径2r =的圆， 因为圆心(1,1)--到直线20x y +-=的距离2d ==>………6分所以圆上的点到直线20x y +-=的距离的最小值为2 (7)分(3) 解：（Ⅰ）()1f x ≥可化为：21221x x --+≥……………………1分即212211x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或21221112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2122112x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩……………3分 解得12x ≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为1(,2⎤-∞-⎥⎦ (4)分（Ⅱ）22()a a f x +>恒成立⇔2max 2()a a f x +>122212223x x x x --+≤-++=Q （当1x ≤-时取等号）……………………5分max ()3f x ∴= 由223a a +>，解得3a <-或1a >……………………6分即a 的取值范围是(,3)(1,)-∞-⋃+∞……………………7分。

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合234{i,i ,i ,i }A =（i 是虚数单位），{1,1}B =-，则A B I 等于（ ）A. {1}-B. {1}C. {1,1}-D. ∅ 2. 下列函数为奇函数的是（ ）A. y =B. |sin |y x =C. cos y x =D. e e x x y -=-3. 若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ，点P 在双曲线E 上，且1||3PF =，则2||PF 等于（ ）A. 11B. 9C. 5D. 34. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到根据上表可得回归本线方程ˆˆybx a =+，其中0.76b =，ˆˆa y bx =-，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭年支出为（ ）A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D. 12.2万元5. 若变量x ，y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥则2z x y =-的最小值等于（ ）A. 52-B. 2-C. 32-D. 26. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为 （ ）A. 2B. 1C. 0D. 1-7. 若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 若a ，b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ）A. 6B. 7C. 8D. 99. 已知AB AC ⊥u u u r u u u r ,1||AB t =u u u r ，||AC t =u u u r ，若P 点是ABC △所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，则 PB PC u u u r u u u r g 的最大值等于 （ ）A. 13B. 15C. 19D. 2110. 若定义在R 上的函数()f x 满足(0)1f =-，其导函数'()f x 满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ）A. 11()f k k<B. 11()1f k k >- C. 11()11f k k <-- D. 1()11k f k k >-- 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 5(2)x +的展开式中，2x 的系数等于________.（用数字作答）12. 若锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，则BC 等于________.13. 如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数2()f x x =.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.14. 若函数6,2,()3log ,2,a x x f x x x -+⎧=⎨+⎩≤＞（0a >且1a ≠）的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是________.15. 一个二元码是由0和1组成的数字串*12()n x x x n ∈N L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元.二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为）.已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩ 其中运算⊕定义为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那姓名________________ 准考证号_____________---------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------么利用上述校验方程组可判定k等于________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定.小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.（Ⅰ）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（Ⅱ）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望.17.（本小题满分13分）如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE EC⊥，2AB BE EC===，G，F分别是线段BE，DC的中点.（Ⅰ）求证：GF∥平面ADE；（Ⅱ）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.（本小题满分13分）已知椭圆22221(a0)x yE ba b+=>>：过点，且离心率为e=.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线:1,()l x my m=-∈R交椭圆E于A，B两点，判断点9(,0)4G-与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知函数()f x的图象是由函数()cosg x x=的图象经如下变换得到：先将()g x图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度.（Ⅰ）求函数()f x的解析式，并求其图象的对称轴方程；（Ⅱ）已知关于x的方程()()f xg x m+=在[0,2π)内有两个不同的解α，β.（ⅰ）求实数m的取值范围；（ⅱ）证明：22cos)15mαβ-=-(.20.（本小题满分14分）已知函数()ln(1)f x x=+，()g x kx=()k∈R.（Ⅰ）证明：当0x>时，()f x x<；（Ⅱ）证明：当1k<时，存在x>，使得对任意的(0)x x∈,，恒有()()f xg x>；（Ⅲ）确定k的所以可能取值，使得存在0t>，对任意的(0,)x t∈恒有2|()()|f xg x x-<.21. 本题设有（1），（2），（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵2143⎛⎫= ⎪⎝⎭A，1101⎛⎫= ⎪-⎝⎭B.（Ⅰ）求A的逆矩阵1-A；（Ⅱ）求矩阵C，使得=AC B.（2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为13cos,23sin,x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）.在极坐标系（与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线lπsin(),()4m mθ-=∈R.（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知0a>，0b>，0c>，函数()||||f x x a x b c=++-+的最小值为4.（Ⅰ）求a b c++的值；（Ⅱ）求2221149a b c++的最小值.2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】∵234{i }{i ,i ,i ,i ,1,}i,1A ==--，}1{1,B =-， ∴{i }{}{}1i 11111A B =---=-I I ，，，，，．【提示】利用虚数单位i 的运算性质化简A ，然后利用交集运算得答案． 【考点】虚数单位i 及其性质，交集及其运算． 2.【答案】D【解析】A ．函数的定义域为[0,)+∞，定义域关于原点不对称，故A 为非奇非偶函数． B ．()|()|||()f x sin x sinx f x -=-==，则()f x 为偶函数． C ．cos y x =为偶函数．D ．()e e (e e ())x x x x f x f x ---=-=--=-，则()f x 为奇函数 【提示】根据函数奇偶性的定义进行判断即可． 【考点】函数奇偶性的判断，余弦函数的奇偶性． 3.【答案】B【解析】由题意，双曲线22:1916x y E -=中3a =∵3a =，∴P 在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得21|||6|PF PF -=，∴2||9PF =【提示】确定P 在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论． 【考点】双曲线的简单性质 4.【答案】B 【解析】由题意可得(8.28.610.011.311.9)1501x ++++==，(6.27.58.08.5915.8)8y ++++==，代入回归方程可得80.76100.4a =-⨯=$， ∴回归方程为0.760.4y x =+$， 把15x =代入方程可得0.76150.411.8y =⨯+=【提示】由题意可得x 和y ，可得回归方程，把15x =代入方程求得y 值即可． 【考点】线性回归方程5.【答案】D【解析】由约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立20220x y x y +=⎧⎨-+=⎩，解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭．∴2z x y =-的最小值为152(1)22⨯--=-．【提示】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【考点】简单线性规划 6.【答案】C【解析】模拟执行程序框图，可得AGB ∠，0S =πcos 2S =，i 2=不满足条件i 5>，πcoscos π2S =+，i 3= 不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos 22S =++，i 4=不满足条件i 5>，π3πcos cos πcos cos2π22S =+++，i 5=不满足条件i 5>，π3π5πcoscos πcos cos2πcos 010100222S =++++=-+++=+，i 6= 满足条件i 5>，退出循环，输出S 的值为0【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当i=6时满足条件i>5，退出循环，输出S 的值为0 【考点】循环结构 7.【答案】B【解析】l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”可能“l α∥”也可能l α⊂，反之，“l α∥”一定有“l m ⊥”所以l m ，是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l α∥”的必要而不充分条件．【提示】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可． 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 8.【答案】D【解析】由题意可得：a b p ab q +==，， ∵00p q >>，， 可得00a b >>，，又2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得224b a ab =-⎧⎨=⎩①或224a b ab =-⎧⎨=⎩②．解①得：41a b =⎧⎨=⎩；解②得：14a b =⎧⎨=⎩．∴5144p a b q =+==⨯=，，则9p q += 【考点】等比数列的性质，等差数列的性质．【提示】由一元二次方程根与系数的关系得到a b p ab q +==，，再由2a b -，，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a b ，的方程组，求得a b ，后得答案． 9.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算【提示】建系，由向量式的几何意义易得P 的坐标，可化1144(1)4PB PC t t t t ⎛⎫⎛⎫=----=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g g ，由基本不等式可得．【解析】由题意建立如图所示的坐标系， 可得1(0,0),0(0,)t A B C t ⎛⎫⎪⎝⎭，，，∵4||||AB AC AP AB AC =+uu u r uuu ruu u r uu u r uuu r ，∴(1,4)P ，∴11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uu r ，(1,4)C t P -=-uu ur ，∴114(1)1744t t t PB t PC ⎛⎫⎛⎫---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭-uu r uu u r g ，由基本不等式可得144t t +≥=，∴117417413t t ⎛⎫-+≤-= ⎪⎝⎭当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC uu r uu u rg 的最大值为13，10.【答案】C【解析】解；∵lim()(0)(0)0x f x f f x →-'=-()1f x k '>>， ∴()(0)1f x f k x ->>，即()11f x k x+>>，当11x k =-时，1111111f k k k k ⎛⎫+>⨯= ⎪---⎝⎭，即1111111f k k k ⎛⎫>-= ⎪---⎝⎭ 故1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭，一定出错， 另解：设()()1g x f x kx =-+，0(0)g =，且()()0g x f x k ''=->，()g x 在R 上递增，1k >，对选项一一判断，可得C 错．【提示】根据导数的概念得出()(0)1f x f k x ->>，用11x k =-代入可判断出1111f k k ⎛⎫>⎪--⎝⎭，即可判断答案． 【考点】函数的单调性与导数的关系第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】80【解析】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=g g ，令52r -=，求得3r =，可得展开式中2x 项的系数为335280C =g ，【提示】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于2，求得r 的值，即可求得展开式中的2x 项的系数． 【考点】二项式定理 12.【答案】7【解析】因为锐角ABC △的面积为，且5AB =，8AC =，所以158sin 2A ⨯⨯⨯=，所以sin A =所以60A =︒，所以1cosA =， 所以7BC ==【提示】利用三角形的面积公式求出A ，再利用余弦定理求出BC ． 【考点】余弦定理的应用 13.【答案】512【解析】由已知，矩形的面积为4(21)4⨯-=，阴影部分的面积为22321115(4)433x dx x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于512； 【提示】分别求出矩形和阴影部分的面积，利用几何概型公式解答． 【考点】定积分的简单应用，几何概型 14.【答案】(1,2]【解析】由于函数6,2()(01)3log ,2a x c f x a a x x -+≤⎧=>≠⎨+>⎩且的值域是[4,)+∞， 故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，∴log 1a x ≥，∴log 21a ≥，∴12a <≤ 综上可得，12a <≤，【提示】当2x ≤时，满足()4f x ≥．当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，即log 1a x ≥，故有log 21a ≥，由此求得a 的范围，综合可得结论． 【考点】对数函数的单调性与特殊点 15.【答案】5【解析】依题意，二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101， ①若1k =，则12345670101101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得45671x x x x ⊕⊕⊕=，故1k ≠；②若2k =，则12345671001101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故2k ≠；③若3k =，则12345671111101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故3k ≠；④若4k =，则12345671100101x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得13571x x x x ⊕⊕⊕=，故4k ≠；⑤若5k =，则12345671101001x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得4567236713570,0,0x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=， 故5k =符合题意；⑥若6k =，则12345671101111x x x x x x x =======，，，，，，， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故6k ≠；⑦若7k =，则123456110110x x x x x x ======，，，，，，70x =， 从而由校验方程组，得23671x x x x ⊕⊕⊕=，故7k ≠； 综上，k 等于5【提示】根据二元码127x x x L 的码元满足的方程组，及“⊕”的运算规则， 将k 的值从1至7逐个验证即可． 【考点】通讯安全中的基本问题 三、解答题16.【答案】52【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式． 【提示】（1）根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）随机变量X 的取值为：1，2，3，分别求出对应的概率，即可求出分布列和期望． 【解析】（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则5431()=6542P A =⨯⨯．（2）有可能的取值是1，2，3 又则1(1)6P X ==， 511(2)656P X ==⨯=，542(3)653P X ==⨯=1236632EX =⨯+⨯+⨯=17.【答案】（1）见解析（2）23【解析】解法一：（1）如图，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ， ∵G 是BE 的中点，∴GH AB ∥，且12GH AB =， 又∵F 是CD 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴DF AB ∥，且12DF AB =，即GH DF ∥，且GH DF =， ∴四边形HGFD 是平行四边形，∴GF DH ∥，又∵DH ADE ⊂平面，GF ADE ⊄平面，∴GF ADE ∥平面． （2）如图，在平面BEG 内，过点B 作BQ CE ∥， ∵BE EC ⊥，∴BQ BE ⊥，又∵AB BEC ⊥平面，∴AB BE ⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r ，BA uu r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,0,2)(0,0,0)2,0,0)(2,2,1)(A B E F ，，， ∵AB BEC ⊥平面，∴(0,0,2)BA =uu r为平面BEC 的法向量，设(,,)n x y z =r为平面AEF 的法向量．又(2,0,2)BE =-uur ，(2,2,1)AF =-uuu r由垂直关系可得220220n AE x z n AF x y z ⎧==-=⎪⎨==+-=⎪⎩r uu u r r uuu r，取2z =可得(2,1,2)n =-r ． ∴2cos ,3||||n BA n BA n BA 〈〉>=r uu rr uu r g r uu r∴平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． 解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ， 又G 是BE 的中点，可知GM AE ∥，且12GM AE =又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ， ∴GM ∥平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点可得MF AD ∥． 又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，∴MF ADE ∥平面． 又∵GM MF M =I ，GM ⊂平面GMF ，MF GMF ⊂平面∴平面GMF ADE ∥平面，∵GF GMF ⊂平面，∴GF ADE ∥平面 （2）同解法一．【提示】解法一：（1）取AE 的中点H ，连接HG ，HD ，通过证明四边形HGFD 是平行四边形来证明GF DH ∥，由线面平行的判定定理可得；（2）以B 为原点，分别以BE uur ，BQ uu u r，BA uu r 的方向为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，可得平面BEC 和平面AEF 的法向量，由向量夹角的余弦值可得．解法二：（1）如图，取AB 中点M ，连接MG ，MF ，通过证明平面GMF ∥平面ADE 来证明GF ∥平面ADE ； （2）同解法一．【考点】用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定．18.【答案】（1）22142x y +=（2）见解析【解析】解法一：（1）由已知得222b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪⎨==⎪⎩，∴椭圆E 的方程为22142x y +=． （2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00)(,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为22(2)230m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，∴022m y m =+． 9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴222222200000095525||(1)44216GH x y my y m y my ⎛⎫⎛⎫=++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．222222212121212012()()(1)[()4]||(1)()444x x y y m y y y y AB m y y y -+-++-===+-， 故222222012222||52553(1)25172||(1)042162(2)21616(2)AB m m m GH my m y y m m m ++-=+++=-+=>+++. ∴2||||2AB GH >，故G 在以AB 为直径的圆外． 解法二：（1）同解法一．（2）设点11)(A x y ，22)(,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu r ，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭uu u r ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为222)230(m y my +--=，∴12222m y y m +=+，12232y y m -=+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g12125544my my y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21212525(1)()416m y y m y y =++++22222253(1)2517202(2)21616(2)m m m m m m ++=-+=>+++ ∴0GA GB >uu r uu u r g 又GA uu r ，GB uu u r不共线，∴AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外．【提示】解法一：（1）由已知得2222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得即可得出椭圆E 的方程．（2）设点11)(,A x y ，22)(,B x y ，AB 中点为00(),H x y ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：022m y m =+．222009||4GH x y ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．2221212(1)[()4]||44m y y y y AB ++-=，作差22|||4|AB GH -即可判断出． 解法二：（1）同解法一．（2）设点1122(,(,))A x y B x y ，，则119=,4GA x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu r ，229=,4GB x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭uu u r ．直线方程与椭圆方程联立化为22(2)230m y my +--=，计算12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r g即可得出AGB ∠，进而判断出位置关系． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题 19.【答案】（1）()2sin f x x =ππ()2x k k =+∈Z（2）（i）( （ii ）见解析【解析】（1）将c (s )o x g x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移π2个单位长度后得到π2cos 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为ππ()2x k k =+∈Z ．（2）（i）()()2sin cos )f x g x x x x x x ϕ⎫+=++=+⎪⎭（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，in )(s x ϕ+在区间[0,2π)内有两个不同的解αβ，，1<，故m的取值范围是(． （ii ）因为αβ，)x m ϕ+=在区间[0,2π)内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当1m ≤<时，π22αβϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即π2()αββϕ-=-+；当1m <时，23π2αβϕ+=-⎛⎫⎪⎝⎭，即3π2()αββϕ-=-+；所以2222cos()cos2()2sin ()12115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．【提示】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）（i ）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得：()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=，cos ϕ=，1<，即可得解．（ii）由题意可得sin()αϕ+=，sin()βϕ+=当1m ≤π2()αββϕ-=-+，当0m <时，可求3π2()αββϕ-=-+，由2cos()2sin ()1αββϕ-=+-，从而得证． 【考点】三角函数中的恒等变换应用，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换． 20.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）见解析【解析】（1）证明：令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥ 则有1()111xf x x x '=-=-++， ∵0x ≥，∴()0f x '≤，∴()f x 在[0,)+∞上单调递减， ∴当,()0x ∈+∞时，有()(0)0f x f =＜， ∴0x >时，()f x x <；（2）证明：令()()ln(1())g x f x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，则有1(1)()11kx k g x k x x -+-'=-=++，当0k ≤时，()0g x '>， ∴()g x 在(0,)+∞上单调递增， ∴()(0)0g x g >=，故对任意正实数0x 均满足题意．当01k <<时，令()0g x '=，得1110k x k k-==->．取011x k =-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，∴()g x 在0(0,)x 上单调递增，()(0)0g x g >=，即()()f x g x >．综上，当1k <时，总存在00x >，使得对任意的0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； （3）解：当1k >时，由（1）知，对于任意,()0x ∈+∞，()()x g x f x >>， 故()()g x f x >，()()()()ln(1)f x g x g x f x kx x -=-=-+， 令2ln(1)()M x kx x x =-+-，,()0x ∈+∞，则有212(2)1()211x k x k M x k x x x -+-+-'=--=++，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在0⎡⎢⎣⎢⎭上单调递增，故()(0)0M x M >=，即2()()||f x x g x ->，∴满足题意的t 不存在． 当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的0(0,)()()f x x x g x ∈>，． 此时|()()|()()ln(1)f x g x f x g x x kx -=-=+- 令2ln(1)0(),)[N x kx x x x =+--∈+∞，，则有212(2)121(1)x x k x k N k x x x--+-+'=--=++， 故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，0()N x '>，()N x在⎡⎢⎢⎭⎣上单调递增，故()(0)0N x N >=， 即2()()x f x g x ->，记0x1x ，则当1)(0,x x ∈时，恒有2()()||f x x g x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =，由（1）知，当,()0x ∈+∞时，()()|()|()ln(1)f x g x g x f x x x =-=-+-， 令2ln(1)([0),)H x x x x x =-+-∈+∞，，则有2121)121(x xH x x xx --'=--=++， 当0x >，()0H x '<，∴()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H <=， 故当0x >时，恒有2()()||f x x g x -<，满足0t >的实数t 存在． 综上，1k =【提示】（1）令()()ln(1)f x f x x x x =-=+-，0x ≥，求导得到()0f x '≤， 说明()f x 在[0,)+∞上单调递减，则0x >时，()f x x <；（2）令(()ln (1))()f x g x g x x kx =-=+-，,()0x ∈+∞，可得0k ≤时，()0g x '>， 说明()g x 在(0,)+∞上单调递增，存在00x >，使得对任意0)(0,x x ∈，恒有()()f x g x >； 当01k <<时，由()0G x '=求得1110k x k k-==->． 取011x k=-，对任意0)(0,x x ∈，恒有()0g x '>，()g x 在上单调递增， ()0)0(g x g >=，即()()f x g x >；（3）分1k >、1k <和1k =把不等式2|()()|f x g x x -<的左边去绝对值， 当1k >时，利用导数求得2|()()|f x g x x ->，满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知存在00x >，使得对任意的任意0()0,x x ∈，()()f x g x >． 令2()(ln 1)N x x x x k =+--，,[)0x ∈+∞，求导数分析满足题意的t 不存在． 当1k =，由（1）知，当,[)0x ∈+∞时，()|()()()n |l (1)g x f x x f x x x g -=-=-+， 令2()ln(1)H x x x x =-+-，,[)0x ∈+∞，则有0x >，()0H x '<，()H x 在[0,)+∞上单调递减，故()(0)0H x H =＜，说明当0x >时，恒有2|()()|f x g x x -<，此时，满足0t >的实数t 存在．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用21.【答案】（1）312221⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（2）32223⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭【解析】（1）因为||23142A =⨯-⨯=，所以131312222422122A --⎛⎫⎛⎫ ⎪-⎪==⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，故1313112222012123C B A -⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭---⎝⎭⎝⎭． 【提示】（1）求出矩阵的行列式，即可求A 的逆矩阵1A -； （2）由AC B =得11()A A C A B --=，即可求矩阵C ，使得AC B =． 【考点】逆变换与逆矩阵22.【答案】（1）22(1)(2)9x y -++=0x y m -+=（2）3-±【解析】（1）消去参数t ，得到圆的普通方程为22(1)(2)9x y -++=，πsin 4m θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=，所以直线l 的直角坐标方程为：0x y m -+=.（2）依题意，圆心(1,2)C -到直线0l x y m -+=:的距离等于22=，解得3m =-±．【提示】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可． （2）直接利用点到直线的距离个数求解即可． 【考点】圆的参数方程，简单曲线的极坐标方程． 23.【答案】（1）4 （2）87【解析】（1）因为|()|||||()()||f x x a x b c x a x b c a b c =++-+≥+--+=++， 当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，又00a b >>，，所以||a b a b +=+， 所以()f x 的最小值为a b c ++，所以4a b c ++=；（2）由（1）知4a b c ++=，由柯西不等式得，2222211(491)231()164923a b a b c c a b c ⎛⎫⎛⎫++++≥++=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g g， 即222118497a b c ++≥ 当且仅当1132231b a c ==，即87a =，187b =，27c =时，等号成立．所以2221149a b c ++的最小值为87．【提示】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值； （2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值． 【考点】一般形式的柯西不等式。