北师大版数学必修1《3.4.2换底公式》教学设计

3.4．2 换底公式1. 能推导出对数的换底公式．(重点)2. 会用对数换底公式进行化简与求值．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理 换底公式阅读教材P 83～P 86有关内容，完成下列问题．换底公式：log b N ＝log a Nlog a b(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．特别地，log a b ·log b a ＝1，log b a ＝．1. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a b ＝lg b lg a ＝ln bln a .( )(2)log 52＝log －3 2log －3 5.( )(3)log a b ·log b c ＝log a c ．( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2. (log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 【解析】 法一：原式＝lg 9lg 2·lg 4lg 3＝2lg 3·2lg 2lg 2·lg 3＝4.法二：原式＝2log 23·log 24log 23＝2×2＝4.【答案】 D[小组合作型]1681(2)已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256.【精彩点拨】 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值．【尝试解答】 (1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3·log 32log 37＋log 32＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.1. 换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a 为底．2. 换底公式的派生公式：log a b ＝log a c ·log c b ； log an b m＝m nlog a b .[再练一题]1. 化简：(log 43＋log 83)(log 32＋log 92) 【解】 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9＝⎝⎛⎭⎪⎫lg32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3＝56log 23·32log 32＝54.1836【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以18为底的对数． 【尝试解答】法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a， 又5＝18b，所以log 3645＝log 2×18(5×9) ＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818.又因为log 2×1818＝1log 18 18×2＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a，所以原式＝a ＋b2－a.法二：∵18b＝5， ∴lo g 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18 5×9log 18 4×9＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b2log 18189＋log 189＝a ＋b2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a.法三：∵log 189＝a,18b＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18， ∴log 3645＝lg 9×5 lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b2－a.用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点： 1 增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换； 2 巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键； 3 注意一些派生公式的使用.[再练一题]2. 若本例条件不变，求log 92545(用a ，b 表示)．【解】 由18b＝5，得log 185＝b ，∴log 92545＝log 1845log 18925＝log 185＋log 189log 189－log 1825＝b ＋aa －2b.[探究共研型]探究 1 设光线原来的强度为a ，通过x 块玻璃板以后的强度值为y .试写出y 关于x 的函数关系式．【提示】 依题意得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ，其中x ≥1，x ∈N .探究 2 探究1中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来强度的12以下？(根据需要取用数据lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)【提示】 依题意得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫910x≤a ×12⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫910x ≤12⇒x (2lg 3－1)≤－lg 2⇒x ≥0.301 01－2×0.477 1≈6.572，∴x min ＝7.即通过7块以上(包括7块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以下．某城市现有人口数为100万，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题． (1)写出该城市x 年后的人口总数y (万人)与年数x (年)的函数关系式；(2)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万？(精确到1年)(lg 1.012≈0.005 2，lg 1.2≈0.079 2)【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出y 与x 的函数关系式，再利用对数求值． 【尝试解答】 (1)由题意y ＝100(1＋1.2%)x＝100·1.012x(x ∈N ＋)． (2)由100·1.012x＝120，得1.012x＝1.2， ∴x＝log 1.0121.2＝lg 1.2lg 1.012≈0.079 20.005 2≈15，故大约15年以后，该城市人口将达到120万．解对数应用题的步骤[再练一题]3. 某种汽车安全行驶的稳定性系数μ随使用年数t 的变化规律是μ＝μ0e－λt，其中μ0，λ是正常数．经检测，当t ＝2时，μ＝0.90 μ0，则当稳定性系数降为0.50μ0时，该种汽车已使用的年数为__________．(结果精确到1，参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)【解析】 由0.90μ0＝μ0(e －λ)2，得e－λ＝0.90，又0.50μ0＝μ0(e－λ)t，则12＝(0.90)t，两边取常用对数，得lg 12＝ t2lg 0.90，故t ＝2lg 21－2lg 3＝2×0.301 01－2×0.477 1≈13.【答案】 131. 若lg 3＝a ，lg 5＝b ，则log 53等于( ) A.b aB.a bC ．a bD ．b a【解析】 log 5 3＝lg 3lg 5＝ab .【答案】 B2. log 2125·log 3 18·log 5 19＝________.。

换底公式【学习目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【学习重难点】1．能推导出对数的换底公式。

(重点)2．会用对数换底公式进行化简与求值。

(难点、易混点)【学习过程】一、预习提问思考：换底公式的作用是什么？[提示] 换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、合作探究【例1】 计算：log 1627log 8132．[思路探究] 在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解] log 1627log 8132＝lg 27lg 16·lg 32lg 81＝lg 33lg 24·lg 25lg 34＝3lg 34lg 2·5lg 24lg 3＝1516。

【例2】 已知log 189＝a ，18b ＝5，用a ，b 表示log 3645．[解] 法一：因为log 189＝a ，所以9＝18a ，又5＝18b ，所以log 3645＝log 2×18(5×9)＝log 2×1818a ＋b＝(a ＋b )·log 2×1818．又因为log 2×1818＝1log 1818×2 ＝11＋log 182＝11＋log 18189＝11＋1－log 189＝12－a， 所以原式＝a ＋b 2－a。

法二：∵18b ＝5，∴log 185＝b ，∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185×9log 184×9 ＝log 185＋log 1892log 182＋log 189＝a ＋b 2log 18189＋log 189＝a ＋b 2－2log 189＋log 189＝a ＋b 2－a。

法三：∵log 189＝a ，18b ＝5，∴lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18，∴log 3645＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝a lg 18＋b lg 182lg 18－a lg 18＝a ＋b 2－a。

第2课时 对数的运算性质及换底公式 内 容 标 准学 科 素 养 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算．2.了解换底公式、能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数. 准确定义概念 熟练等价转化 提升数学运算授课提示：对应学生用书第52页[基础认识]知识点一 对数的运算性质预习教材P 80－82，思考并完成以下问题当m ＞0，N ＞0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定成立．知识梳理 对数的运算性质 条件 a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0性质 log a (MN )＝log a M ＋log a Nlog a M N＝log a M －log a N log a M n ＝n log a M (n ∈R )思考并完成以下问题(1)换底公式中的底数a 是特定数还是任意数？提示：是大于0且不等于1的任意数．(2)换底公式有哪些作用？提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于运用对数的运算性质进行化简、求值．知识梳理log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1；b ＞0)． 2．用换底公式推得的两个常用结论：(1)log a b ·log b a ＝1(a ＞0，且a ≠1；b ＞0，且b ≠1)；(2)log am b n ＝n mlog a b (a ＞0，且a ≠1；b ＞0；m ≠0)． 知识点三 常用结论思考并完成以下问题结合教材P 81－82，例4和例5，你认为怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示：第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化．第二步：利用对数的性质化简、求值．知识梳理 常用结论由换底公式可以得到以下常用结论：(1)log a b ＝1log b a； (2)log a b ·log b c ·log c a ＝1；(3)log an b n ＝log a b ；(4)log an b m ＝m nlog a b ； (5)log 1ab ＝－log a b . 思考：M ·N ＞0，则式子log a (M ·N )＝log a M ＋log a N 成立吗？提示：不一定成立．当M ＞0，N ＞0时成立；当M ＜0，N ＜0时不成立．2．换底公式一般在什么情况下应用？提示：(1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值时，可化成以10为底的常用对数进行运算．(2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进行化简与求值．[自我检测]1．若a ＞0，a ≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( )①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a ⎝⎛⎭⎫x y ＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据对数运算性质知4个式子均不正确，③应为log a x y＝log a x －log a y ，④应为log a (xy )＝log a x ＋log a y .答案：A2．(log 29)×(log 34)＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：∵log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝4. 答案：D3．若lg a 与lg b 互为相反数，则a 与b 的关系式为________．解析：∵lg a ＋lg b ＝0，∴lg(ab )＝0，∴ab ＝1.答案：ab ＝1授课提示：对应学生用书第52页探究一 利用对数的运算性质化简求值[例1] 计算下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18； (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg； (3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. [思路点拨] 灵活运用对数的运算性质求解． [解析] (1)法一：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18 ＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)lg 27＋lg 8－3lg 10lg ＝lg (33)12＋lg 23－3lg 1012lg 3×2210＝32lg 3＋3lg 2－32lg 10lg 3＋2lg 2－1＝32(lg 3＋2lg 2－1)lg 3＋2lg 2－1＝32. (3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.方法技巧 1.在应用对数运算性质时应注意保证每个对数式都有意义，应避免出现lg(－5)2＝2lg(－5)等形式的错误，同时应注意对数性质的逆用在解题中的应用．譬如在常用对数中，lg 2＝1－lg 5，lg 5＝1－lg 2的运用．2．对于底数相同的对数式的化简，常用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．3．对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．跟踪探究 lg 243lg 9的值． 解析：lg 243lg 9＝lg 35lg 32＝5lg 32lg 3＝52. 探究二 利用换底公式化简、求值[例2] 已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 312＝( )A.2a ＋b bB.2a ＋b aC.a 2a ＋bD.b 2a ＋b[思路点拨] 把log 312利用换底公式：log 312＝lg 12lg 3建立log 312同a ，b 的关系． [解析] ∵log 312＝lg 12lg 3＝lg 3＋lg 4lg 3＝lg 3＋2lg 2lg 3， 又lg 2＝a ，lg 3＝b ，∴log 312＝b ＋2a b.[答案] A延伸探究 把题设条件换成“log 23＝b a”试求相应问题． 解析：∵log 23＝b a， ∴log 312＝log 212log 23＝log 23＋2log 23＝b a ＋2b a＝b ＋2a b. 方法技巧 1.换底公式的主要用途在于将一般对数化为常用对数或自然对数，然后查表求值，解决一般对数求值的问题．2．换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．跟踪探究 2.(1)已知log 23＝a,3b ＝7，用a ，b 表示log 1256；(2)已知log 32＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 28498. 解析：(1)∵3b ＝7，∴b ＝log 37.log 1256＝log 356log 312＝3log 32＋log 371＋2log 32＝3a ＋b 1＋2a＝3＋ab a ＋2. (2)∵log 32＝a ，log 37＝b ，log 28498＝log 3498log 328＝log 349－log 38log 34＋log 37 ＝2log 37－3log 322log 32＋log 37＝2b －3a 2a ＋b. 探究三 换底公式、对数运算性质的综合应用[例3] (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值； (2)若26a ＝33b ＝62c ≠1，求证：1a ＋2b ＝3c. [思路点拨] 用对数式表示出x ，y ，a ，b ，c 再代入所求(证)式．[解析] (1)∵3x ＝4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＝2log 336＝2log 3636log 363＝2log 363＝log 369， 1y ＝1log 436＝1log 3636log 364＝log 364. ∴2x ＋1y＝log 369＋log 364＝log 3636＝1. (2)证明：设26a ＝33b ＝62c ＝k (k ＞0，且k ≠1)．则6a ＝log 2k ≠0,3b ＝log 3k ≠0,2c ＝log 6k ≠0.∴1a ＝6log 2k ＝6log k 2，1b ＝3log 3k＝3log k 3， 1c ＝2log 6k＝2log k 6， ∴1a ＋2b ＝6log k 2＋2×3log k 3＝log k 26＋log k 36＝log k 66＝6log k 6＝3c， ∴1a ＋2b ＝3c. 方法技巧 1.带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质．要整体把握 对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化．2．解对数方程时，先要对数有意义(真数大于0，底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可．跟踪探究 ．(1)12(lg x －lg 3)＝lg 5－12lg(x －10)； (2)lg x ＋2log (10x )x ＝2；(3)log (x 2－1)(2x 2－3x ＋1)＝1.解析：(1)方程中的x 应满足x ＞10，原方程可化为lgx 3＝lg 5x －10， ∴x 3＝5x －10，即x 2－10x －75＝0.解得x ＝15或x ＝－5(舍去)，经检验，x ＝15是原方程的解．(2)首先，x ＞0且x ≠110， 其次，原方程可化为lg x ＋2lg x1＋lg x ＝2， 即lg 2x ＋lg xt ＝lg x ，则t 2＋t －2＝0，解得t ＝1或t ＝－2，即lg x ＝1或lg x ＝－2.∴x ＝10或x ＝1100. 经检验，x ＝10，x ＝1100都是原方程的解． (3)首先，x 2－1＞0且x 2－1≠1，即x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.由2x 2－3x ＋1＞0，得x ＜12或x ＞1. 综上可知，x ＞1或x ＜－1且x ≠±2.其次，原方程可化为x 2－1＝2x 2－3x ＋1.∴x 2－3x ＋2＝0，∴x ＝1或x ＝2.又∵x ＞1或x ＜－1且x ≠±2，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解.授课提示：对应学生用书第53页[课后小结]1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简．2．运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质．(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．[素养培优]忽略对数的真数为正致错易错案例：lg(x ＋1)＋lg x ＝lg 6易错分析：解对数方程时要注意验根，以保证所得方程的根满足对数的真数为正数，底数为不等于1的正数，否则得到的新方程与原方程不等价，产生了增根，考查概念、定义、数学运算的学科素养．自我纠正：∵lg(x＋1)＋lg x＝lg(x2＋x)＝lg 6，∴x2＋x＝6，解得x＝2或x＝－3，经检验x ＝－3不符合题意，∴x＝2.。

换底公式【教学目标】1．通过对数换底公式的推导，提升逻辑推理素养。

2．通过用对数换底公式进行化简求值，培养数学运算素养。

【教学重难点】1．能推导出对数的换底公式。

重点2．会用对数换底公式进行化简与求值。

难点、易混点【教学过程】一、问题引入换底公式：og b N＝错误!a，b＞0，a，b≠1，N＞0。

特别地，og a b·og b a＝1，og b a＝思考：换底公式的作用是什么？[提示]换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运用对数的性质进行运算。

二、新知探究1．利用换底公式化简求值【例1】计算：og1627og8132．[思路探究]在两个式子中，底数、真数都不相同，因而要用换底公式进行换底以便于计算求值。

[解]og1627og8132＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!。

【教师小结】（1）换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一般来讲，对数的底越小越便于化简，如a n为底的换为a为底。

（2）换底公式的派生公式：og a b＝og a c·og c b；og an b m＝错误!og a B．2．用已知对数表示其他对数【例2】已知og189＝a，18b＝5，用a，b表示og3645．[解]法一：因为og189＝a，所以9＝18a，又5＝18b，所以og3645＝og2×185×9＝og2×1818a＋b＝a＋b·og2×1818．又因为og2×1818＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!，所以原式＝错误!。

法二：∵18b＝5，∵og185＝b，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

法三：∵og189＝a，18b＝5，∵g 9＝a g 18，g 5＝b g 18，∵og3645＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

【教师小结】用已知对数的值表示所求对数的值，要注意以下几点：（1）增强目标意识，合理地把所求向已知条件靠拢，巧妙代换；（2）巧用换底公式，灵活“换底”是解决这种类型问题的关键；（3）注意一些派生公式的使用。

安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 邹英 总第 27课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第八周集体备课 个人空间一、课题： 3.4.2换底公式二、学习目标1.理解换底公式推到过程和应用的规律和方法；2. 熟练掌握换底公式，提高运算求解能力。

三、教学过程【温故知新】1、对数的运算性质：如果 0,0,1,0>>≠>N M a a 有：（1） ；（2） ；（3） 。

2、求值。

（1）852l g (42)o ⨯= ；（2）lg 4lg 25+= ；（3）()=⨯52339log ；（4）3lg 3000lg -= 。

3、求下列各式中的x 。

（1）91log 27=x ； （2）327log -=x ；（3）363=x ；【导学释疑】阅读教材P 83-P 85页。

1、你能用计算器计算下列对数吗？（1）3ln )4(;33lg )3(;4log )2(;15log 412。

2、换底公式： 。

3、b a log 与a b log 有什么关系吗？【巩固提升】例1、⑴27log 9； ⑵81log3； ⑶32log 9log 278⨯。

例2、见P85页例9。

【检测反馈】1、 计算：（1）()3lg 2lg 3log 3log 84+；（2）()()32log 32-+。

2、若,7log ,3log 32b a ==用b a ,表示（1）27log 4；（2）56log 143、P 86页练习1、2（选做3、4）。

反思栏。

4.2换底公式导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，log a b＝log c blog c a.教师直接点出课题．思路 2.前两节课我们学习了以下内容： 1.对数的定义及性质； 2.对数恒等式； 3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．思路 3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．推进新课新知探究提出问题①已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log23的值.②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？③更一般地，我们有log a b＝log c blog c a，如何证明？④证明log a b＝log c blog c a的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1，100．301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x＝0.477 1，x＝0.477 10.301 0＝lg 3lg 2.因此log23＝lg 3lg 2＝0.477 10.301 0≈1.585 1.②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a为底的对数，得log a2x＝log a3，x log a2＝log a3，x＝log a3log a2，也就是log23＝log a3log a2.这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．③证明log a b＝log c b log c a.证明：设log a b＝x，由对数定义知道，a x＝b；两边取c为底的对数，得log c a x＝log c b x log c a＝log c b；所以x＝log c blog c a，即log a b＝log c blog c a.一般地，log a b＝log c blog c a(a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则log a M＝log a N.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝lg 3lg 2，即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log 1.0118 13，所以x＝log 1.011813＝lg1813lg 1.01＝lg 18－lg 13lg 1.01≈1.255 3－1.1390.043＝32.883 7≈33年．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．应用示例思路1例1计算：(1)log927；(2)log89·log2732.活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．(1)解：log927＝log327log39＝32.(2)解法一：log89·log2732＝lg 9lg 8·lg 32lg 27＝2lg 33lg 2·5lg 23lg 3＝109.解法二：log89·log2732＝log29log28·log232log227＝2log233·53log23＝109.解法三：log89·log2732＝log39log38·log332log327＝23log32·5log323＝109.点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：log248；log310；log8π；log550；log 1.0822.解：log248＝5.585；log310＝2.096；log8π≈0.550；log550＝2.431；log 1.0822＝8.795.例3 (1)证明log a xlog ab x＝1＋log a b；(2)已知log a1b1＝log a2b2＝,＝log a n b n＝λ，求证：log a1a2,a n(b1b2,b n)＝λ.活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设log a x＝p，log ab x＝q，log a b＝r，则x＝a p，x＝(ab)q＝a q b q，b＝a r.所以a p＝(ab)q＝a q(1＋r)，从而p＝q(1＋r)．因为q≠0，所以pq＝1＋r，即log a xlog ab x＝1＋log a b(获证)．证法二：左边＝log a xlog ab x＝log x ablog x a＝log a ab＝1＋log a b＝右边．(2)证明：因为log a1b1＝log a2b2＝,＝log a n b n＝λ，所以由换底公式得lg b1lg a1＝lg b2lg a2＝,＝lg b nlg a n＝λ.由等比定理，所以lg b1＋lg b2＋,＋lg b nlg a1＋lg a2＋,＋lg a n＝λ.所以lg b1b2,b nlg a1a2,a n＝λ.所以log a1a2,a n(b1b2,b n)＝lg b1b2,b nlg a1a2,a n＝λ.点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.则经过1年，剩留量是y＝0.84；经过2年，剩留量是y＝0.842；,,经过x年，剩留量是y＝0.84x.方法一：根据函数关系式列下表．根据表内数据描点画出函数的图像．x 01235, y＝0.84x10.840.710.590.42,从图中观察，y≈0.5时对应有x＝4，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．方法二：依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算得x＝log0.840.5＝ln 0.5ln 0.84＝3.98，即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．图2点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．思路2例1 (1)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.(2)若log83＝p，log35＝q，求lg 5.活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．解：(1)因为log23＝a，则1a＝log32，又因为log37＝b，所以log4256＝log356log342＝log37＋3·log32log37＋log32＋1＝ab＋3ab＋a＋1.(2)因为log83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p.所以log32＝1 3p.又因为log35＝q，所以lg5＝log35log310＝log35log32＋log35＝3pq1＋3pq.点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.变式训练已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.解：因为log189＝a，所以log18182＝1－log182＝a.所以log182＝1－a.因为18b＝5，所以log185＝b.所以log3645＝log1845log1836＝log189＋log1851＋log182＝a＋b2－a.点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.例2 设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z.(1)求证：1x＋12y＝1z；(2)比较3x,4y,6z的大小．活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x，y，z表示出来，根据对数的定义把3x＝4y＝6z转化为指数式，求出x，y，z，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．(1)证明：设3x＝4y＝6z＝k，因为x，y，z∈(0，＋∞)，所以k＞1.取对数，得x＝lg klg 3，y＝lg klg 4，z＝lg klg 6，所以1x＋12y＝lg 3lg k＋lg 42lg k＝2lg 3＋lg 42lg k＝2lg 3＋2lg 22lg k＝lg 6lg k＝1z，即1x＋12y＝1z.(2)解：因为3x－4y＝3lg 3－4lg 4lg k＝lg 64－lg 81lg3·lg 4lg k＝lg k·lg6481lg 3·lg 4＜0，所以3x＜4y.又因为4y－6z＝4lg 4－6lg 6lg k＝lg 36－lg 64lg 2·lg 6lg k＝lg k·lg916lg 2·lg 6＜0，所以4y＜6z.所以3x＜4y＜6z.点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．例3 已知log a x＝log a c＋b，求x.活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b 转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式来解．解法一：由对数定义，可知x ＝a log a c ＋b ＝a log a c ·a b ＝c ·a b.解法二：由已知移项可得log a x －log a c ＝b ，即log a xc ＝b ，由对数定义，知x c＝a b ，所以x ＝c ·a b.解法三：因为b ＝log a a b ，所以log a x ＝log a c ＋log a a b ＝log a c ·a b.所以x ＝c ·a b.点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．知能训练(1)已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 15等于()．A.2a ＋b 1＋a ＋bB.a ＋2b 1＋a ＋b C.2a ＋b 1－a ＋bD.a ＋2b 1－a ＋b(2)已知2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则xy的值为()．A ．1B ．4C ．1或4D ．4或－1(3)若3a＝2，则log 38－2log 36＝__________. (4)lg 12.5－lg 58＋lg 0.5＝__________.答案：(1)C (2)B(3)a －2 (4)1拓展提升探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设log a N ＝x ，则a x＝N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c a x＝log c N ，所以x log c a ＝log c N ，即x ＝log c N log c a .故log a N ＝log c Nlog c a .证法二：由对数恒等式，得N ＝a log a N ，两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得log c N ＝log a N ·log c a ，所以log a N ＝log c Nlog c a.证法三：令log c a ＝m ，log a N ＝n ，则a ＝c m，N ＝a n，所以N ＝(c m )n＝c mn. 两边取以c (c ＞0且c ≠1)为底的对数，得mn ＝log c N ，所以n ＝log c N m ，即log a N ＝log c Nlog c a .对数换底公式的应用：换底公式log a N ＝log c Nlog c a(c ＞0且c ≠1，a ＞0且a ≠1，N ＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：log a M log a N ＋log b M log b N ＋log c M log c N ＋log d Mlog d N .解：原式＝log N M ＋log N M ＋log N M ＋log N M ＝4log N M . 课堂小结1．对数换底公式．2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．作业1．已知1271log7＝a，131log5＝b，求log81175的值．解：因为1271log7＝log277＝13log37＝a，所以log37＝3a.又因为131log5＝log35＝b，所以log81175＝14log325×7＝14(log325＋log37)＝14(2log35＋log37)＝3a＋2b4.2．求证：(log23＋log49＋log827＋,＋log2n3n)log9n32＝52.证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋,＋log2n3n)log9n32＝＝n log23·1nlog332＝log23·52log32＝52＝右边．设计感想本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．备课资料【备选例题】【例1】化简：log a Mlog b N·log b Mlog c N·log c Mlog d N·log d Mlog a N.解：原式＝log a Mlog a N·log b Mlog b N·log c Mlog c N·log d Mlog d N＝log N M·log N M·log N M·log N M＝(log N M)4.【例2】求证：log a b＝1log b a(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)．证法一：log a b＝log b blog b a＝1log b a.证法二：1log b a＝log b blog b a＝log a b.【例3】试证：1log2x＋1log3x＋1log4x＋,＋1log n x＝1log n！x.证明：1log2x＋1log3x＋1log4x＋,＋1log n x＝log x(2×3×4×,×n)＝log x(1×2×3×4×,×n)＝log x n！＝1log n！x.对数的创立对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，,.1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，,.这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．(设计者：刘菲)。

《换底公式》教学设计一．教学内容：北师大版数学必修一第三章指数函数与对数函数第4节《换底公式》。

二．三维目标：1、知识与技能（1）理解对数的换地公式思想—两边同时取相同的对数运算（2）进一步掌握对数的运算性质,能灵活运用换底公式化简计算（3）拓展学生思维空间，培养学生的计算能力，交流合作能力，语言表达能力，培养学生探究问题，解决问题的兴趣和能力2、过程与方法.利用多媒体教学，采取学生合作讨论的方法，3、情感态度与价值观通过本章节的学习，使学生明白可以多角度思考问题，未知问题要用已有知识来解决，树立正确的人生价值观，不怕困难，勇于挑战的精神。

三、学生分析学生基础不错，大部分学生学习自觉性很强理解力很强，极少数学生学习吃力，不得方法，通过互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。

四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容是进一步学习对数运算，通常情况下，计算对数需要使用计算工具，而一般的科学计算器只能对常用对数和自然对数进行计算，因此需要对数换底公式。

2．本节主要内容、换底公式的证明以及应用3.教学重点难点：教学重点：对数的换底公式，教学难点：对数换底公式的证明及公式的合理运用4.课时要求：1课时五、教学理念通过学生自主探究，合作交流，让部分技术水平高的同学带动学习吃力的同学，让学生在参与中学到新的知识，培养相互帮扶的能；通过探究发现新问题，再用已有知识解决问题六、教学策略在教学中，尽量采用合作探究式，提问式，案例分析，例题讲解，练习等手段七、教学手段多媒体教学八、教学过程（一）复习回顾：对数的三条运算性质：如果则,0,0,1,0>>≠>NMaa(1))(log log log MN N M a a a =+ (2)NM N M a a a log log log =- (3))(log log R n M n M a n a ∈=（二）新知探究1. 请同学们用计算器计算下列对数思考1： 如何计算15l 2og =？探究1：设15215log 2=⇒=x x两边取以10为底的对数得探究2: 两边取以e 为底的对数得思考2： 成立吗？且)10(2log 15log 15log 2≠>=a a a a 猜一猜：这就是对数换底公式，下面我们给出证明。

《换底公式》尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是换底公式。

接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。

一、说教材从教材的地位和作用来看，本课选自北师大版高中数学必修一第四章第二节。

本课是在学生学习了对数的概念和运算性质的基础上研究换底公式，是解决对数运算的重要基础。

二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在学习本节课之前已经学习了对数的概念和运算性质，具有一定的分析、归纳的能力。

三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.理解并掌握换底公式，会用换底公式将一般对数化为常用对数或自然对数，并能进行简单的化简和证明。

2.通过换底公式的学习过程，使学生体会化归与转化的数学思想，培养学生分析、归纳的能力。

3.通过知识的形成过程，使学生体会知识之间的联系，培养学生数学运算的核心素养。

四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。

根据本节课的内容，确定教学重点为换底公式的应用，我会通过例题来突出重点。

教学难点为换底公式的推导，我会通过详细板书举例论证来突破难点。

五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。

在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。

六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。

2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。

为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课在这个环节，我会提问学生：“同学们，你能说出计算器里面的对数键有哪些吗？”“我要如何用计算器算出log a b的对数呢？”我这样设计的意图是通过设计问题情境，激发学生的学习兴趣，为后面的学习做铺垫。

［教学目的］使学生理解对数换底公式的意义，掌握其推导方法，初步学会它在对数式恒等变形中的应用。

［教学重点］对数换底公式的应用［教学难点］对数换底公式的推导一、新课引入：已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求log二?像log这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出的。

能不能将以5为底的对数，换成以10为底的对数呢？这就要学习对数换底公式。

什么是对数换底公式？怎样用我们所掌握的知识来得到它呢？又如何运用它呢？这就是本节课要解决的问题。

二、新课讲解：公式：证明：设，贝打两边取以a为底的对数，得x, 即。

1、成立前提：b>0且b z 1,a>0,且12、公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”，这是对数恒等变形中常用的工具。

一般常换成以10为底。

3、自然对数lnN=log e=2.71828三、巩固新课：例1、求证：1:2：例2、求下列各式的值。

(1) 、log 98?log 3227(2) 、(log 43+log 83)?(log 32+log 92)(3) 、log 49?log 32(4) 、log 48?log 39(5) 、(log 2125+log 425+log s5)?(log s2+log 2s4+log 1258) 例3、若log 1227二a,试用a 表示log 616.解：法一、换成以2为底的对数。

法二、换成以3为底的对数。

法三、换成以10为底的对数。

练习：已知log 1s9=a,18b=5,求log 3645。

例4、已知12x=3,12y=2,求的值。

2 2练习：已知log8a log4b = 5，log8b log4a =7，求a?b 的值;例5、有一片树林，现有木材2xx方，如果每年比上一年增长2.5%，求15年后约有多少方木材？解：设15年后约有木材A方，则A=2xx (1+2.5%)15=2xx X 1.02515LgA=lg2xx+15 x lg1.025=4.3424+15 x 0.0107=4.5029••• A=131840答：15年后约有木材131840方。