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作
������ ������
f(x)dx,即
������ ������
f(x)dx=
限,b 称为积分 上 限.
.其中 f(x)称为 被积 函数,a 称为积分 下
课前双基巩固
2.定积分的几何意义
如果在区间[a,b]上函数
f(x)连续且恒有
f(x)≥0,那么定积分
������ ������
f(x)dx 表示由直线
f(x)dx=2
������ 0
f(x)dx;若 f(x)是区间[-a,a](a>0)
上的连续的奇函数,则
������ -������
f(x)dx=0.
课前双基巩固
对点演练
题组一 常识题
1.[教材改编]
2 1
e������
-
2 ������
dx=
.
[答案] e2-2ln 2-e
[解析]
2 1
������x - 2
2
������ 0
=112,即12x2+x=112,即
x2+2x=224,得
x=14,则该质点到达另一点所需要的时间
是 14 s,整个运动过程中的平均速度是11142=8(m/s).
课堂考点探究
[总结反思] (1)做变速直线运动的物体在时间段[a,b]内所经过的路程 S 等于其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即
.
[答案] 3t2+3
[解析]
2 -1
(t2+1)dx=(t2+
1)x
2 -1
=2(t2+1)+(t2+1)=3t2+3.
课前双基巩固
6.曲线 y=-x2(x∈[-1,1])与 x 轴所围成的封闭图
形的面积为
.
[答案] 2
3
[解析]
所求面积 S=-
1 -1
(-x2)dx=2
1 0
x2dx=23.
课前双基巩固
D.
(2)∵
1 0
(ex-2ax)dx=(ex-ax2)
1
0=e-a-1=e,
∴-a-1=0,∴a=-1.
课堂考点探究
[总结反思] (1)计算定积分的常用方法有三种:定义法、几何意义法、微积分基本定理法. (2)使用微积分基本定理的关键是找到一个函数,使该函数的导数等于被积函数.
课堂考点探究
变式题 (1)[2018·曲靖一中月考] 已
S=
1 0
������dx+
2 1
(2-x)dx=23
������
3 2
1
0+
2������-
1 2
������
2
2 1
=23+2-32=76.
课堂考点探究
[总结反思] (1)利用定积分求曲边梯形的面积的基本步骤:画草图,解方程得积分上、下限, 把面积表示为已知函数的定积分. (2)注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系.
[思路点拨] 第(1)(2)问只要根据 定积分的物理意义求解即可,第(3) 问先求函数 v=t+1 在[0,x]上的定 积分,再求使得这个定积分等于 112 时的 x 值,x 的值即为质点的 运动时间.
课堂考点探究
解:(1)该质点在前 10 s 所走的路程 S1=
10 0
(t+1)dt=12t2
10
[解析]
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
4 1
f(x)dx=8.
课前双基巩固
4.[教材改编] 直线 y=x-4、曲线 y= 2������及 x 轴所围成的封闭
图形的面积是
.
[答案]
40 3
[解析] 画出图形(图略)可知所求
的面积
S=
4 0
2xdx+
8 4
2xd������-
8 (������-4) d������
面积 S 的定积分表达式是
.
π
[答案]
S=
2
0
������������������x-������������������x dx
课堂考点探究
探究点一 定积分的计算
sin������,������∈[-π,0],
例 1 (1)已知函数 f(x)=
则
1-������2,������∈(0,1],
1 -π
x
dx=(ex-2ln x)
2 1
=e2-2ln
2-e.
课前双基巩固
2.[教材改编]
3π 0
sin xdx=
.
[答案] 2
[解析]
3π 0
sin xdx
=
-cos x
3������ 0
=
2.
课前双基巩固
3.[教材改编]
已知
4 1
f(x)dx=8,则
2 1
f(x)dx+
4 2
f(x)dx=
.
[答案] 8
知
π 2
0
sin(x-φ)dx= 47,则
sin
2φ=(
)
A.34
B.196
C.-34
D.-
3 4
(2)[2018·莱芜模拟]
2 1
2������ + 1
������
dx 的
值为
.
[答案] (1)B (2)3+ln 2
[解析] (1)根据微积分基本定理,得
π
π
2
0
sin(x-φ)dx=-cos(x-φ)
7.计算
-1 -2
���1��� dx=
.
[答案] -ln 2
[解析]
根据
-1 -2
���1���dx 的几何意义,可得
-1 -2
���1��� dx=-
2 1
���1���dx=-ln x
2
1=-ln 2.
本题若做成
-1 -2
���1���dx=ln x
-1 -2
则是错误的.
课前双基巩固
8.直线 x=0,x=π2与曲线 y=sin x,y=cos x 所围成的封闭图形的
0 +t
10
0 =60(m).
(2)该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程 S2=
10 5
(t+1)dt=12t2
10
5 +t
10
5 =42.5(m).
(3)设质点到达另一点所需要的时间为
x,显然
x>0,则根据题意有
������ 0
(t+1)dt=112,即
1 ������2 + ������
f(x)dx=(
)
A.2+π C.-2+π2
B.π2 D.π4-2
(2)[2018·湖北咸宁重点高中联考] 若
1 0
(ex-2ax)dx=e,则
a=
.
[思路点拨] (1)根据定积分的几 何意义、定积分的性质、微积 分基本定理求解;(2)a 是常量, 确定原函数,建立关于 a 的方程 求解.
课堂考点探究
) D.238
课堂考点探究
[答案] (1)B (2)C
5π
[解析]
(1)根据定积分的几何意义可得,阴影部分的面积
S=
4 π
(sin x-cos x)dx=(-cos4 5π源自x-sin x)4 π
=2
2,故选 B.
4
(2)由题意得,直线 l 的方程为 x=2,
将 y2=8x 化为 y=±2 2������.
解:由题意得,变力 F(x)在这一过程中所做的功为
F(x)在[8,18]上的定积分,
即
18 8
F(x)dx=-36x-1
18 8
=(-36×18-1)-(-36×8-1)=(-2)-
-
9 2
=52.
从而可得变力 F(x)在这一过程中所做的功为52 J.
教师备用例题
【备选理由】例1考查定积分的计算,特别是需要结合函数的奇偶性与定积分的 几何意义进行分析,有一定的综合性;例2考查根据图像求解函数解析式的能力以 及分段计算定积分的方法;例3在知识点的交汇处命题,将利用定积分求面积与几 何概型结合起来考查.
由定积分的几何意义得,所求面积
S=2
2 0
(2
2������)dx=4
2
2 0
1
������2dx=4
2×
2
������
3 2
3
2
0=4
2×23×2
2=332.
课堂考点探究
探究点三 定积分在物理中的应用
例 3 两点之间相距 112 m,一质点从一点出发,沿直线向 另一点做变速直线运动,其速度方程是 v=t+1(v 的单 位:m/s,t 的单位:s). (1)计算该质点在前 10 s 所走的路程; (2)计算该质点在第 5 s 到第 10 s 所经过的路程; (3)计算该质点到达另一点所需要的时间,以及该质点在 整个运动过程中的平均速度.
个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点
������
������
ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑
������ =1
������ =1
������-������ ������
f(ξi),当
n→∞时,上述和式无限接近某个 常数 ,这个常数叫作函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
