第五章中值定理的证明技巧(一)

中值定理证明方法总结中值定理（Intermediate Value Theorem）是微积分中的一项重要定理，它表明如果一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上取两个不同的值$f(a)$和$f(b)$，那么在开区间$(a,b)$内，函数$f(x)$必然取到介于$f(a)$和$f(b)$之间的所有值。

中值定理的证明是通过构造一个辅助函数$g(x)$，它将闭区间$[a,b]$映射到实数区间$[f(a),f(b)]$上，并利用连续函数的性质来证明中值定理。

证明过程如下：1.首先，我们定义辅助函数$g(x)=f(x)-k$，其中$k$是一个常数。

我们的目标是证明如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$必然等于$0$。

2.根据函数$g(x)$的定义，我们可以得到$g(a)=(f(a)-k)$和$g(b)=(f(b)-k)$。

由于$g(a)$和$g(b)$异号，即$(f(a)-k)$和$(f(b)-k)$异号，所以$g(x)$在$[a,b]$上一定有一个根。

3. 接下来，我们要证明在开区间$(a,b)$内，$g(x)$没有其他根。

假设在$(a,b)$内存在一个根$x=c$，即$g(c)=0$。

根据连续函数的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = g(c) = 0$。

又因为$f(x)$是连续函数，所以$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。

4. 根据极限的性质，我们有$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} [f(x)-k] = f(c)-k$。

由于$\lim_{x \to c} g(x) = 0$，所以$f(c)-k=0$，即$f(c)=k$。

这意味着$f(c)-k=0$是$g(x)$的唯一根。

5.综上所述，我们可以得出结论，如果$g(a)$和$g(b)$异号，那么在开区间$(a,b)$内，$g(x)$的根只有$f(c)-k=0$。

中值定理证明解微分方程中值定理是微积分中的一个重要定理，它是解微分方程的基础。

本文将介绍中值定理的证明和如何利用它来解微分方程。

一、中值定理的证明中值定理也被称为罗尔定理或拉格朗日中值定理，它的表述如下：设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，在开区间 $(a,b)$ 内可导，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $c$，使得 $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

证明如下：由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，$f(x)$ 在该区间内必有最大值 $M$ 和最小值 $m$，即 $m\leqf(x)\leq M$，且存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)=M$，$f(x_2)=m$。

当 $f(x)$ 为常数函数时，结论显然成立。

当 $f(x)$ 不为常数函数时，存在 $x_0\in[a,b]$，使得 $f(x_0)\neq f(a)$，$f(x_0)\neq f(b)$。

不失一般性，假设 $f(x_0)>f(a)$。

若 $f(x_0)<f(b)$，则由连续性，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到$f(x_0)$ 的值，设为 $d$。

根据介值定理，存在 $[a,x_0]$ 和$[x_0,b]$ 上的某点 $c_1$ 和 $c_2$，使得 $f(c_1)=d$，$f(c_2)=d$。

由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，根据导数的定义，有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $$ 根据极限的性质，可以找到两个数列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$，满足$$ \lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}y_n=x_ 0 $$$$ x_n\in(a,x_0),\ y_n\in(x_0,b) $$$$ f(x_n)<f(x_0),\ f(y_n)>f(x_0) $$于是有$$ f'(x_0)=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(x_n)-f(x_0)}{x_n-x_0}=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_0)}{y_n-x_0} $$根据介值定理，存在 $\alpha\in[c_1,x_0]$ 和$\beta\in[x_0,c_2]$，使得 $f'(\alpha)=f'(\beta)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

积分中值定理的证明
积分中值定理的证明
积分中值定理（又称拉格朗日中值定理）是非常重要的定理。

该定理认为，如果某函数在闭区间[a, b]上连续，则存在c∈(a,b)使得：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
证明：
首先，容易看出，由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在c∈[a,b]使得f(c)=m，其中m为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值或最小值，而这个m又是一个定值。

接下来，我们将证明：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
我们将[a,b]分为n个等量的子区间，即
[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_n-1,x_n]，由于f(x)在[a,b]上连续，所以存在c_i∈[x_i-1,x_i]使得
f(c_i)=m_i，其中m_i为f(x)在[x_i-1,x_i]上的最大值或最小值，而这个m_i也是一个定值。

此外，我们也需要将[a,b]分割成n+1个等量的子区间，即[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_n-1,x_n]，其中
x_i=(a+i*h)，h=(b-a)/n。

根据梯形公式，我们可以得到：
∫a^bf(x)dx=∑_(i=1)^nf(c_i)(x_i-x_i-1)
=∑_(i=1)^nm_i((a+(i-1)*h+ih)-(a+(i-1)*h)) =∑_(i=1)^nm_i(h)=(b-a)∑_(i=1)^nm_i
=f(c)(b-a)
对于上式，由于f(c)=m，m_i都相等，所以
∑_(i=1)^nm_i=nf(c)，综上所述，我们可以得出：∫a^bf(x)dx=f(c)(b-a)
完成了证明。

中值定理的使用方法和技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。

微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。

积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。

积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。

积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

一、 微分中值定理的使用方法和技巧三大微分中值定理可使用于含有中值的等式证明，也可使用于恒等式及不等式证明。

由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此使用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。

这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。

证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。

证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。

任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 使用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。

壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。

证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。

那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。

因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。

当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。

当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。

那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。

当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。

定积分的中值定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们更加深入地了解定积分的本质和性质，同时也为我们解决各种实际问题提供了非常有效的方法和手段。

在本文中，我们将探讨的相关知识和应用。

一、中值定理的基本概念和定义中值定理是微积分学中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均值与函数在该区间内某一点的取值之间的关系。

具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$，则$c$就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的中值点。

这个定理的基本思想是：将函数在某个区间上的积分值与该区间的长度相乘，得到的是函数在该区间上的平均值，这个平均值可以通过中值定理求得。

中值定理的重要性在于它建立了积分与函数取值之间的联系，使得我们能够更加深入地理解和应用积分的相关知识和技巧。

二、中值定理的证明方法中值定理的证明方法有很多种，其中比较常用和直观的方法是通过构造辅助函数来进行证明。

具体来说，我们可以这样做：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$。

我们定义一个辅助函数$F(x)=f(x)-f(c)$，则有$\int_a^bF(x)dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bf(c)dx=\int_a^bf(x)dx-f(c)\times(b-a)=0$。

根据介值定理，由于$F(x)$是连续函数，所以一定存在一个点$d\in(a,b)$，使得$F(d)=0$。

即$f(d)-f(c)=0$，从而得到$c=d$。

三、中值定理的应用中值定理在实际问题中有着广泛的应用，其中比较常见和重要的应用包括：1. 求函数在某个区间上的平均值。

根据中值定理，函数在区间$[a,b]$上的平均值可以通过$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$来计算，其中$\int_a^bf(x)dx$是函数在该区间上的积分值。

中值定理知识点总结中值定理的表述：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在一个点c∈(a, b)，满足f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

中值定理的证明比较简单，可以根据函数的连续性和可导性来进行推导。

接下来我们来详细介绍中值定理的知识点。

一、中值定理的条件中值定理的前提是函数在闭区间上连续，在开区间上可导。

这两个条件都是至关重要的，只有同时满足这两个条件，中值定理才成立。

1. 函数在闭区间上连续：闭区间[a, b]是一个包含了a和b的区间，函数在闭区间上连续意味着函数在这个区间内没有间断点，没有跳跃点，图象是一条连续的曲线。

一般来说，函数在有限区间上都是连续的，因此这个条件通常是满足的。

2. 函数在开区间上可导：开区间(a, b)是一个不含a和b的区间，函数在开区间上可导意味着函数在这个区间上具有导数。

可导性是指函数在这个区间内存在切线，即函数在这个区间内是光滑的。

这个条件比较严格，只有在一些特殊的情况下才能满足。

二、中值定理的应用中值定理主要用来描述函数在某个区间内的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。

它可以推导出一些重要的结论和定理，对于理解函数的性质和特点有很大的帮助。

1. 平均变化率和瞬时变化率：中值定理可以用来比较函数在闭区间上的平均变化率和在开区间上的瞬时变化率。

平均变化率指的是函数在某个区间内的整体变化情况，而瞬时变化率指的是函数在某一点的瞬间变化情况。

中值定理表明，这两者之间存在着某种联系，通过中值定理可以求得函数在某个区间内的平均变化率和在某一点的瞬时变化率之间的对应关系。

2. 函数的增减性：中值定理可以用来研究函数的增减性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的导数值，在这个区间上的函数是增加还是减小。

这对于研究函数的极值和拐点有很大的帮助。

3. 函数的凹凸性：中值定理可以用来研究函数的凹凸性。

通过中值定理可以求得函数在某个区间内的二阶导数值，根据二阶导数的正负性可以判断函数在这个区间上的凹凸性，这对于求解函数的拐点和凹凸区间有很大的帮助。

中值定理首先我们来看看几大定理：1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ<b).Ps:c 是介于A 、B 之间的，结论中的ξ取开区间。

介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有最大值M ，最小值m,若m ≤C ≤M,则必存在ξ∈[a,b], 使得f(ξ)=C 。

（闭区间上的连续函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值。

此条推论运用较多）Ps ：当题目中提到某个函数f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续，那么该函数或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值，那么就对于在最大值和最小值之间的任何一个值，必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。

2、 零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号，即f(a).f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)=0.Ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.3、 罗尔定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b). 那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得f`(x)=0;4、 拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导;那么在(a,b)内至少有一点ξ(<a ξ<b),使得 f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).5、 柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足（1）、在闭区间[a,b]上连续； （2）、在开区间(a,b)内可导; （3）、对任一x(a<x<b),g`(x)≠0, 那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得)`()`()()()()(ξξg f a g b g a f b f =--Ps ：对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。